Spis treści
1
1
Definicja macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie macierzy . . . . . . . .
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Transponowanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Numeryczne obliczanie wyznacznika
. . . . . . . . . . . . .
4
5
1
Algebra macierzy
Macierze pełnią bardzo ważną rolę w grafice komputerowej i geometrii obli-
czeniowej. Poniżej zamieszczone zostały podstawowe wiadomości dotycące
operacji algebraicznych na macierzach. Więcej informacji na temat operacji
na macierzach można znaleźć w każdym podręczniku algebry liniowej (np.
praca [1]).
1.1
Definicja macierzy
Macierz to nic innego jak prostokątna (w szczególności kwadratowa) tabela
liczb. Oto przykładowa macierz posiadająca 2 wiersze i 4 kolumny:
1
2
1
5
3
2
4
3
Ogólnie macierz posiadająca m wierszy i n kolumn wygląda następująco:
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
m1
a
m2
· · ·
a
mn
Indeksy przy poszczególnych elementach macierzy (a
11
, a
12
, · · · , a
mn
) ozna-
czają kolejno: numer wiersza i numer kolumny.
1.2
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie macierzy
Macierze można m.in. dodawać, odejmować i mnożyć:
a
11
a
12
a
21
a
22
+
b
11
b
12
b
21
b
22
=
a
11
+ b
11
a
12
+ b
12
a
21
+ b
21
a
22
+ b
22
a
11
a
12
a
21
a
22
−
b
11
b
12
b
21
b
22
=
a
11
− b
11
a
12
− b
12
a
21
− b
21
a
22
− b
22
a
11
a
12
a
21
a
22
b
11
b
12
b
21
b
22
=
a
11
b
11
+ a
12
b
21
a
11
b
12
+ a
12
b
22
a
21
b
11
+ a
22
b
21
a
21
b
12
+ a
22
b
22
1
ALGEBRA MACIERZY
2
Dodawanie i odejmowanie jest intuicyjne i sprowadza się do odpowied-
niej operacji arytmetycznej na poszczególnych elementach macierzy. Nato-
miast mnożenie na początku może sprawić kłopot. Zasada jest jednak bar-
dzo prosta: bierzemy kolejne wiersze pierwszej macierzy (mnożna) i mno-
żymy je przez kolejne kolumny drugiej macierzy (mnożnik). Jak pomnożyć
wiersz przez kolumnę? Bardzo prosto - pierwszy element wiersza mnoży-
my przez pierwszy element kolumny, podobnie mnożymy kolejne elemen-
ty wiersza i kolumny, a suma otrzymanych iloczynów daje w efekcie je-
den element macierzy wynikowej. Zatem po przemnożeniu przez pierwszy
wiersz wszystkich kolumn drugiej macierzy, otrzymujemy w wyniku pierw-
szy wiersz iloczynu macierzy. I tak mnożymy przez kolejne wiersze, aż do
uzyskania pełnego wyniku.
Ważną własnością działania mnożenia macierzy jest jego nieprzemien-
ność, tzn. istnieją macierze M
1
i M
2
, dla których nie jest prawdziwe rów-
nanie: M
1
M
2
= M
2
M
1
.
Łatwo zauważyć, że mnożenie macierzy jest wykonalne tylko wówczas,
gdy ilość kolumn w pierwszej macierzy jest równa ilości wierszy w drugiej.
Rolę jedynki lub elementu neutralnego w mnożeniu macierzy kwadra-
towych spełnia macierz jednostkowa (tradycyjnie oznaczana E), o następu-
jącej budowie:
E =
1
0
· · ·
0
0
1
· · ·
0
..
.
..
.
. .. ...
0
0
· · ·
1
Jak widać macierz E posiada niezerowe elementy (jedynki) wyłącznie na
tzw. głównej przekątnej. Macierz posiadająca dowolne niezerowe elementy
wyłącznie na głównej przekątnej nazywamy macierzą diagonalną.
1.3
Wyznacznik macierzy
Kolejną ważną operacją wykonywaną na macierzach kwadratowych jest li-
czenie wyznaczników. Zgodnie ze wzorem Laplace’a, wyznacznik (det M )
1
ALGEBRA MACIERZY
3
macierzy:
M =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
opisuje następujące równanie rekurencyjne:
n = 1
niech A = (a
11
) , wówczas det
1
A = a
11
n 2
det
n
A =
n
P
j=1
(−1)
1+j
a
1j
det
n−1
A
1j
gdzie A
1j
to macierz powstała po usunięciu z macierzy A pierwszego wiersza
i j-tej kolumny.
Wyznacznik macierzy oznacza się symbolem:
det M =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
Dla ilustracji podanego wzoru, policzymy wyznacznki macierzy 2 × 2
i 3 × 3:
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
|a
22
| − a
12
|a
21
| = a
11
a
22
− a
12
a
21
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
= a
11
a
22
a
23
a
32
a
33
− a
12
a
21
a
23
a
31
a
33
+ a
13
a
21
a
22
a
31
a
32
=
a
11
a
22
a
33
+ a
21
a
32
a
13
+ a
31
a
12
a
23
− a
13
a
22
a
31
− a
23
a
32
a
11
− a
33
a
12
a
21
1.4
Transponowanie macierzy
Kolejną operacją specyficzną dla macierzy jest transponowanie. Polega ono
na zamianie miejscami kolumn i wierszy według następującego schematu:
1
ALGEBRA MACIERZY
4
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
T
=
a
11
a
21
· · ·
a
n1
a
12
a
22
· · ·
a
n2
..
.
..
.
. ..
..
.
a
1n
a
2n
· · ·
a
nn
Jak łatwo zauważyć w przypadku transponowania macierzy kwadrato-
wej jedynie elementy znajdujące się na głównej przekątnej nie zmieniają
swojego położenia. Jako ćwiczenie Czytelnik może udowodnić własność:
det A
T
= det A.
1.5
Numeryczne obliczanie wyznacznika
Jedna z metod numerycznego obliczania wyznacznika macierzy kwadrato-
wej M postaci
M =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
polega na sprowadzeniu jej, metodą eliminacji Gaussa, do postaci macierzy
trójkątnej górnej:
U =
u
11
u
12
u
13
. . .
u
1n
0
u
22
u
23
. . .
u
2n
0
0
u
33
. . .
u
3n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
0
0
0
. . .
u
nn
Wyznacznik takiej macierzy równy jest iloczynowi elementów na głównej
przekątnej:
|A| = |U | = u
11
· u
22
· · · u
nn
Szczegółowy opis metody eliminacji Gaussa oraz prezentację wielu in-
nych metod numerycznych Czytelnik znajdzie w pracy [2].
LITERATURA
5
Literatura
[1] Maria Moszyńska, Joanna Święcicka: Geometria z algebrą liniową. Pań-
stwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987
[2] Andrzej Marciniak, Dorota Gregulec, Jan Kaczmarek: Podstawowe pro-
cedury numeryczne w języku Turbo Pascal. Wydawnictwo Nakom, Po-
znań 1997
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron