WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ENERGETYKI  

2 kwietnia 

2013 

 

 

 
 

Strona 1 

Zarządzanie i Inżynieria Produkcji, 1 rok, 2 stopień  

Matematyka Stosowana – Kolokwium nr 1 

Zadanie 1. 

a)  Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt               i prostopadłej do 

wektora                 

b)  Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt                  i równoległej do 

płaszczyzny                   

c)  Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt                  i prostopadłej do 

płaszczyzn                      oraz                     

d)  Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt               i prostopadłej do 

prostej, będącej częścią wspólną płaszczyzn                       i                    
  

e)  Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty             ,              , 

            

f)  Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt             i równoległej do trójkąta 

o wierzchołkach              ,            ,             

Zadanie 2. 

a)  Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty               ,             
b)  Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt                 prostopadłej do 

płaszczyzny                      

Zadanie 3. 

Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez proste 

   

 

 

   

 

 

   

  

 oraz 

   

 

 

 

  

 

 

  

 

Zadanie 4. 

Znajdź równanie płaszczyzny zawierającej punkt              , która jest prostopadła do płaszczyzny 
           oraz równoległa do prostej   

 
 

 

   

  

 

   

  

 

Zadanie 5. 

Znajdź równanie płaszczyzny zawierającej punkt              oraz prostą 

   

 

 

 

  

 

   

 

 

Zadanie 6. 

Znajdź równanie płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzny                      zawierającą prostą 

   

 

 

   

 

    

Zadanie 7. 

Oblicz odległość punktu               od płaszczyzny                 

Zadanie 8. 

WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ENERGETYKI  

2 kwietnia 

2013 

 

 

 
 

Strona 2 

Zarządzanie i Inżynieria Produkcji, 1 rok, 2 stopień  

Dla jakich wartości parametru   płaszczyzny                 i                      są równoległe. 
Oblicz ich odległość. 

Zadanie 9. 

Znajdź równania płaszczyzn równoległych do płaszczyzny                      w odległości równej 
trzy od niej. 

Zadanie 10. 

Dla jakich wartości parametru   płaszczyzny                     i 3                    są 
prostopadłe. Wyznacz równanie krawędzi tych płaszczyzn. 

Zadanie 11. 

Wyznacz kąt między płaszczyznami    

                i                       

Zadanie 12. 

Znajdź rzut punktu               na płaszczyznę                    

Zadanie 13. 

Znajdź punkt symetryczny do punktu               względem płaszczyzny                      

Zadanie 14. 

Zbadaj wzajemne położenie prostej i płaszczyzny 

  

   

 

 

 
 

 

   

  

 i                   

Jeżeli prosta przebija płaszczyznę, znajdź punkt przebicia oraz kąt między prostą i płaszczyzną. Jeżeli 
prosta jest równoległa do płaszczyzny znajdź odległość między nimi. 

Zadanie 15. 

Wykaż, że prosta   jest równoległa do płaszczyzny   oraz oblicz odległość prostej    od płaszczyzny  . 

  

   

 

 

   

  

 

 
 

 i                    

Zadanie 16. 

Wykaż, że prosta 

    

                    

                   

  

leży w płaszczyźnie                         

Zadanie 17. 

WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ENERGETYKI  

2 kwietnia 

2013 

 

 

 
 

Strona 3 

Zarządzanie i Inżynieria Produkcji, 1 rok, 2 stopień  

Znajdź rzut punktu                na prostą   

   

 

 

   

 

 

   

 

 

Zadanie 18. 

Na prostej   

 
 

 

   

 

 

   

  

 znajdź punkt leżący najbliżej punktu             

Zadanie 19. 

Znajdź odległość punktu                 od prostej   

   

 

 

   

  

 

 
 

 

Zadanie 20. 

Zbadaj wzajemne położenie prostych 

a)   

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 

  i  

 

 

   

 

 

   

  

 

   

 

 

b)   

 

 

   

  

 

   

 

 

 

  

  i  

 

 

   

 

 

 

  

 

   

 

 

Jeżeli proste są współpłaszczyznowe wyznacz równanie płaszczyzny w której leżą. Jeżeli proste te 
przecinają się znajdź ich punkt wspólny oraz kąt między nimi. 

Zadanie 21. 

Wykaż, że proste  

 

   

          

       

           

  i  

 

 

   

  

 

   

 

 

 

  

 

są równoległe. Oblicz odległość między nimi i wyznacz równanie płaszczyzny, w której leżą. 

Zadanie 22. 

Wykaż, że proste  

 

 i  

 

 są skośne. Oblicz odległość między nimi: 

a)   

 

 

   

 

 

   

  

 

   

  

  i  

 

 

   

 

 

   

  

 

   

  

 

b)   

 

 

   

 

 

   

  

 

 
 

  i  

 

 

 

  

 

   

 

 

   

 

 

Zadanie 23. 

Oblicz pole równoległoboku zbudowanego na wektorach               oraz                , gdzie 
                  oraz            

 

 

 

Zadanie 24. 

Oblicz objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach                   ,                     , 
                  , gdzie   ,        są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi.