EKSTREMA LOKALNE
Silne ekstrema lokalne
Definicja
Niech X – przestrzeń topologiczna,
1° f ma w
silne minimum lokalne
istnieje takie
sąsiedztwo
punktu x
0
2° f ma w
silne maksimum lokalne
Słabe ekstrema lokalne
Definicja
1° f ma w
słabe minimum lokalne
2° f ma w
słabe maksimum lokalne
Niech * oznacza następujące ogólne założenia
Twierdzenie
(
warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
)
Zakładamy, że zachodzi * oraz dodatkowo:
, tzn. f jest różniczkowalna w
i
f ma ekstremum lokalne w x
0
.
Teza:
(pierwsza różniczka funkcji f w punkcie x
0
jest równa 0).
Uwaga
Macierz pochodnych cząstkowych odpowiadająca danej różniczce jest równa zero wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie pochodne cząstkowe tworzące macierz są równe zero,
Definicja
Punktem stacjonarnym
funkcji różniczkowalnej f nazywamy taki punkt x
0
, w którym różniczka jest
równa 0; czyli
1
0
x
0
x
0
x
0
x
0
x
U
x
U
f
U
n
0
:
Top
*
R
R
.
,
:
0
X
x
X
f
R
*
0
0
*
.
dla
)
(
)
(
:
)
(
*
Top
:
V
x
x
f
x
f
x
V
def
z
*
0
0
*
.
dla
)
(
)
(
:
)
(
*
Top
:
V
x
x
f
x
f
x
V
def
z
*
0
0
*
dla
)
(
)
(
:
)
(
*
Top
:
V
x
x
f
x
f
x
V
*
0
0
*
dla
)
(
)
(
:
)
(
*
Top
:
V
x
x
f
x
f
x
V
)
(
0
x
D
f
0
0
f
d
x
n
j
x
f
f
d
j
x
,...,
1
0
0
0
0
0
f
d
x
Dygresja (przypomnienie z algebry)
Definicja
Niech - przestrzeń unormowana nad ciałem K
Wtedy g jest
formą kwadratową
, jeśli
Definicja
g –
określona dodatnio
g –
określona ujemnie
g –
półokreślona dodatnio
g –
półokreślona ujemnie
Twierdzenie Sylwestera
(
o określoności formy kwadratowej
)
Zał: A – macierz formy kwadratowej g
minory wyznaczniki
główne podmacierzy
Teza: 1° forma g – jest określona dodatnio
(wszytskie minory (wyznaczniki) główne są większe od zera)
2° forma g jest
określona ujemnie
Twierdzenie
(
o półokreśloności formy kwadratowej
)
Zał: A – macierz formy kwadratowej
Teza: 1° g – półokreślona dodatnio
2° g – półokreślona ujemnie
Koniec dygresji
2
,
X
że
takie,
i
e
symetryczn
),
,
(
2
G
K
X
G
L
.
:
K
X
g
.
)
,
(
)
(
X
h
h
h
G
h
g
n
k
a
d
n
j
i
a
a
A
k
j
i
ij
k
ij
n
j
i
ij
,...,
1
dla
det
,...,
1
,
dla
gdzie
,
,...,
1
,
,...,
1
,
R
0
\
0
)
(
X
h
h
g
0
\
0
)
(
X
h
h
g
X
h
h
g
0
)
(
X
h
h
g
0
)
(
.
0
:
,...,
1
k
d
n
k
.
0
)
1
(
:
,...,
1
k
k
d
n
k
n
k
a
d
n
j
i
R
a
a
A
k
j
i
ij
k
ij
n
j
i
ij
,...,
1
dla
det
,...,
1
,
dla
gdzie
,
,...,
1
,
,...,
1
,
0
:
,...,
1
k
d
n
k
0
)
1
(
:
,...,
1
k
k
d
n
k
Twierdzenie
(
warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego
)
Zał: Zachodzi * oraz
tzn. funkcja f jest dwukrotnie rózniczkowalna w punkcie x
0.
Teza: 1° Jeśli określona dodatnio f ma w x
0
minimum lokalne
.
2° Jeśli określona ujemnie f ma w x
0
maximum lokalne
.
Dowód (szkic):
Ad. 1°,
z zał.=0
jest określona dowodzi się
dodatnio >0 że jest >0
więc w punkcie jest ekstremum (minimum) lokalne.
□
Wniosek
(
warunek wystarczjący istnienia ekstremum lokalnego
)
Zał: Zachodzi* oraz
Teza: 1° Jeśli jest określona dodatnio, to f ma w punkcie x
0
minimum lokalne
.
2° Jeśli jest określona ujemnie, to f ma w punkcie x
0
maksimum lokalne
.
Twierdzenie
(
silny warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
)
Zał:
Teza: 1° f ma minimum w półokreślona dodatnio)
2° f ma maksimum w półokreślona ujemnie)
Wniosek
Jeśli jest nieokreślona w punkcie stacjonarnym , to wtedy w nie istnieje ekstremum
lokalne funkcji f.
Uwaga
Z półokreśloności formy
3
f
d
m
x
2
0
f
d
m
x
2
0
f
d
f
d
f
d
x
x
x
x
2
2
0
0
0
0
tzn.
(
0
0
f
d
f
d
f
d
x
x
x
x
2
2
0
0
0
0
(
0
0
0
x
0
x
.
w
lokalnego
ekstremum
istnienie
wynika
nie
0
2
0
x
f
d
x
0
x
.
)
(
oraz
*
Zachodzi
0
2
x
D
f
f
d
f
d
x
x
2
0
0
0
f
d
f
d
x
x
2
0
0
0
)
(
0
2
x
D
f
0
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
2
2
0
0
2
2
0
0
0
0
0
h
o
h
f
d
x
f
h
x
f
h
o
h
f
d
h
f
d
x
f
h
x
f
x
x
x
.
0
:
1
2
,...,
1
,
0
2
f
d
m
j
U
C
f
j
x
m
f
d
x
2
0
Przykład
Zbadać określoność drugiej różniczki funkcji
w punkcie P(3,1).
bo zakładaliśmy, że
Z powyższych rozważań wynika że, jest formą określoną dodatnio.
Przykład
Zbadać ekstrema funkcji:
1)
Pierwsza różniczka funkcji f musi być równa 0 (szukamy punktów stacjonarnych):
Obliczamy drugie pochode cząstkowe
4
.
0
,
0
h
x
y
f
x
f
y
y
f
x
y
x
f
y
f
y
y
f
x
x
f
x
x
f
y
x
y
f
y
x
x
f
2
2
2
2
2
2
2
1
4
6
5
4
7
3
0
3
17
3
2
17
4
2
18
)
(
)
(
2
)
(
)
(
Wtedy
.
0
,
0
,
,
Niech
0
2
2
1
0
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
P
y
f
h
h
P
y
x
f
h
P
x
f
h
f
d
h
h
h
h
P
4
4
,
y
x
y
x
f
y
stacjonarn
punkt
0
,
0
)
0
,
0
(
)
,
(
0
4
0
4
4
4
0
3
3
3
3
P
y
x
y
x
y
y
f
x
x
f
3
5
7
2
)
,
(
2
3
y
x
y
xy
x
y
x
f
f
d
P
2
x
y
f
y
x
f
y
y
f
x
x
f
2
2
2
2
2
2
2
2
0
12
12
Stąd
forma kwadratowa drugiej różniczki jest półokreślona w punkcie P
0
, więc
może tam istnieć ekstremum. Aby je znaleźć sprawdzamy czy:
Ponieważ
zatem w P
0
istnieje minimum lokalne funkcji f.
2)
Postępujemy tak jak w przykł 1).
forma kwadratowa jest półokreślona w punkcie P
0
w P
0
może istnieć ekstremum, więc wracamy do badania funkcji z definicji
5
)
0
,
0
(
)
,
(
0
).
0
,
0
(
)
,
(
)
0
,
0
(
)
,
(
4
4
?
y
x
y
x
y
x
f
y
x
f
y
stacjonarn
punkt
0
,
0
)
0
,
0
(
)
,
(
0
3
0
3
3
3
)
,
(
0
2
2
2
2
3
3
P
y
x
y
x
y
y
f
x
x
f
y
x
y
x
f
0
0
0
0
oraz
12
0
0
12
2
2
2
2
0
f
d
y
x
f
d
P
P
0
0
0
0
6
0
0
6
0
6
6
2
2
2
2
2
2
2
2
0
f
d
y
x
f
d
x
y
f
y
x
f
y
y
f
x
x
f
P
P
f(0,0)=0
Jednak dla prostej y=x funkcja f przyjmuje wartość
czyli nie jest stałego znaku w okolicy punktu (0,0).
Mianowicie
Stąd wnioskujemy, że funkcja nie ma ekstremów lokalnych, ponieważ P
0
był jedynym punktem
„podejrzanym” o istnienie ekstremum.
opracował Marcin Uszko
6
V*
y
x
y=x
0
P
0
?
3
3
y
x
3
2
)
,
(
x
x
x
f
.
0
)
,
(
0
0
)
,
(
0
x
x
f
x
x
x
f
x
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron