Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
1
/
34
POLITECHNIKA POZNAŃSKA
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ
NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH
Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
ZŁOŻONE STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE
Materiały pomocnicze do wykładu (v1)
1
k
2
k+1
…
…
n
„k z n”
…
…
…
…
…
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
2
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
1. Wprowadzenie
1. Wprowadzenie
Struktura niezawodnościowa systemu
Struktura niezawodnościowa systemu
Strukturę niezawodnościową systemu otrzymuje się ze struktury ogólnej (o zbiorze E elementów)
systemu przez wydzielenie z niej podzbioru E”.
Strukturę niezawodnościową systemu otrzymuje się ze struktury ogólnej (o zbiorze E elementów)
systemu przez wydzielenie z niej podzbioru E”.
Zbiór E”
⊂ E jest podzbiorem zbioru E, którego
elementy spełniają następujący warunek – być ele-
mentem aktywnym systemu, to znaczy elementem,
którego istnienie w systemie i prawidłowe działanie
jest niezbędne do realizacji przez system wyzna-
czonych zadań (elementy podstawowe) lub być
elementem zdolnym do przejmowania funkcji dzia-
łania innego elementu system (elementy rezerwo-
we), w przypadku, gdy element ten się uszkodzi.
Zbiór E”
⊂ E jest podzbiorem zbioru E, którego
elementy spełniają następujący warunek – być ele-
mentem aktywnym systemu, to znaczy elementem,
którego istnienie w systemie i prawidłowe działanie
jest niezbędne do realizacji przez system wyzna-
czonych zadań (elementy podstawowe) lub być
elementem zdolnym do przejmowania funkcji dzia-
łania innego elementu system (elementy rezerwo-
we), w przypadku, gdy element ten się uszkodzi.
ZBIÓR E ELEMENTÓW
SYSTEMÓW / OBIEKTÓW
ELEMENTY
AKTYWNE
ELEMENTY
PASYWNE
Elementy podstawowe
E
N
Elementy rezerwowe
E
R
Rys. 1.1. Klasyfikacja elementów systemów (obiektów)
Rys. 1.1. Klasyfikacja elementów systemów (obiektów)
Jest to forma połączeń (sprzężeń) między elementami systemu, która w sposób jednoznaczny wy-
znacza niezawodność systemu w zależności od niezawodności jego elementów.
Jest to forma połączeń (sprzężeń) między elementami systemu, która w sposób jednoznaczny wy-
znacza niezawodność systemu w zależności od niezawodności jego elementów.
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
3
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Klasyfikację form połączeń między elementami systemu (struktur niezawodnościowych) pokazano
na
rys. 1.2
.
Klasyfikację form połączeń między elementami systemu (struktur niezawodnościowych) pokazano
na
rys. 1.2
.
STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE
SYSTEMÓW
PROSTE STRUKTURY
NIEZAWODNOŚCIOWE
szeregowe struktury nieza-
wodnościowe
równoległe struktury nieza-
wodnościowe
szeregowo-równoległe struk-
tury niezawodnościowe
ZŁOŻONE STRUKTURY
NIEZAWODNOŚCIOWE
mostkowe struktury nieza-
wodnościowe
progowe struktury nieza-
wodnościowe
struktury niezawodnościowe
typu siatka
struktury niezawodnościowe
typu sieć
struktury niezawodnościowe
typu ściana
struktury niezawodnościowe
typu komin
równoległo-szeregowe struk-
tury niezawodnościowe
Rys. 1.2. Klasyfikacja struktur niezawodnościowych systemów (obiektów)
Rys. 1.2. Klasyfikacja struktur niezawodnościowych systemów (obiektów)
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
4
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE
SYSTEMÓW
PROSTE STRUKTURY
NIEZAWODNOŚCIOWE
szeregowe struktury nieza-
wodnościowe
równoległe struktury nieza-
wodnościowe
szeregowo-równoległe struk-
tury niezawodnościowe
ZŁOŻONE STRUKTURY
NIEZAWODNOŚCIOWE
mostkowe struktury nieza-
wodnościowe
progowe struktury nieza-
wodnościowe
struktury niezawodnościowe
typu siatka
struktury niezawodnościowe
typu sieć
struktury niezawodnościowe
typu ściana
struktury niezawodnościowe
typu komin
równoległo-szeregowe struk-
tury niezawodnościowe
1
2
n
y y y
y
y
y
1
2
n
R
11
R
13
R
23
R
12
R
11
R
12
R
22
R
13
R
23
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
5
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
1
2
n
y y y
∏
=
=
n
i
i
R
R
1
y
y
y
1
2
n
(
)
∏
=
−
−
=
n
i
i
R
R
1
1
1
R
11
R
12
R
22
R
13
R
23
∏
∏
=
=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
n
j
m
i
ij
r
s
j
R
R
1
1
1
1
(
)
∏
∏
=
=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
n
j
m
i
ij
s
r
j
R
R
1
1
1
1
R
11
R
13
R
23
R
12
Ważne!!!
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
6
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
2. Niezawodność obiektów / systemów
o złożonych strukturach niezawodnościowych
2.1. Uwagi wstępne
Obiektami/systemami o strukturach niezawodnościowych złożonych przyjęto w teorii i praktyce nie-
zawodności nazywać systemy nie należące do klasy systemów szeregowo-równoległych.
Podstawowym problemem w procesie analizy i syntezy niezawodnościowej systemów o złożonych
strukturach niezawodnościowych jest problem obliczania ich niezawodności. Szczegółowo problem
ten przedstawiono w pracy Profesora Janusza Migdalskiego
.
Do wyznaczania niezawodności systemów o złożonych strukturach niezawodnościowych stosuje się
tzw. metody dekompozycyjne. W myśl tych metod system o złożonych strukturach niezawodnościo-
wych dekomponuje się na pewną liczbę podsystemów o prostych strukturach niezawodnościowych.
Metody te różnią się sposobem dekompozycji systemu o złożonych strukturach niezawodnościowych.
Jedną z tych metod jest metoda dekompozycji prostej.
1
Migdalski J., Podstawy strukturalnej teorii niezawodności. Skrypt Politechniki Świętokrzyskiej nr 57. Kielce, 1978.
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
7
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
2.2. Metoda dekompozycji prostej obliczania niezawodności systemów
o złożonych strukturach niezawodnościowych
Metoda dekompozycji prostej należy do efektywniejszych metod obliczania niezawodności syste-
mów o złożonych strukturach niezawodnościowych. Idea tej metody polega na tym, że system o nie-
zawodnościowej strukturze złożonej zostaje drogą kolejnych operacji strukturalnych przekształcony na
pewną liczbę podsystemów o prostych strukturach niezawodnościowych, tj. podsystemów
o strukturach szeregowych, równoległych, szeregowo-równoległych i równoległo-szeregowych.
Cechą charakterystyczną metody dekompozycji prostej jest to, że dekompozycję n-elementowego
systemu o złożonej strukturze niezawodnościowej wykonuje się zawsze względem
jednego
odpowied-
nio wybranego elementu systemu, w wyniku czego otrzymuje się na dwa podsystemy
(n–1)-
elementowe
nie zawierające elementu według, którego dokuje się dekompozycji. W przypadku gdy
struktury tak otrzymanych
(n–1)-elementowych
podsystemów są nadal złożonymi strukturami nieza-
wodnościowymi, to przeprowadza się ich kolejne dekompozycje dopóty, dopóki nie otrzyma się pod-
systemów o strukturach prostych.
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
8
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
2.3. Ogólna formuła wyznaczania niezawodności systemu
2.3. Ogólna formuła wyznaczania niezawodności systemu
Formalnym zapisem algorytmu obliczeń, opierającego się na opisanej wcześniej metodzie dekompo-
zycji prostej, jest zależność zwana ogólną formułą niezawodności systemu. Dalej przedstawiono kolej-
ne kroki procedury pozyskania ogólnej formuły niezawodności systemu.
Formalnym zapisem algorytmu obliczeń, opierającego się na opisanej wcześniej metodzie dekompo-
zycji prostej, jest zależność zwana ogólną formułą niezawodności systemu. Dalej przedstawiono kolej-
ne kroki procedury pozyskania ogólnej formuły niezawodności systemu.
Niech istnieje system składający się z n elementów i o dowolnej strukturze niezawodnościowej.
Schemat ideowy takiego systemu przedstawia
rys. 2.1a
. Niech i-ty element tego systemu jest elemen-
tem według którego odbywa się jego dekompozycja. Po takiej operacji system n-elementowy składa
się z dwóch podsystemów (
rys. 2.1b
) – pierwszy z nich jest podsystemem
jednoelementowym
a drugi
jest podsystemem
(n–1)-elementowym
.
Niech istnieje system składający się z n elementów i o dowolnej strukturze niezawodnościowej.
Schemat ideowy takiego systemu przedstawia
rys. 2.1a
. Niech i-ty element tego systemu jest elemen-
tem według którego odbywa się jego dekompozycja. Po takiej operacji system n-elementowy składa
się z dwóch podsystemów (
rys. 2.1b
) – pierwszy z nich jest podsystemem
jednoelementowym
a drugi
jest podsystemem
(n–1)-elementowym
.
SYSTEM
n
− elementowy
O DOWOLNEJ
STRUKTURZE
NIEZAWODNOŚCIOWEJ
Podsystem
(n
− 1) − elementowy
i-ty element
a)
b)
Rys. 2.1. Schemat ideowy systemu n-elementowego (a)
i system n-elementowy po dekompozycji prostej (b)
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
9
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Przyjmuje się interpretację geometryczną (
rys. 2.2
), opis i oznaczenia następujących zdarzeń:
Przyjmuje się interpretację geometryczną (
rys. 2.2
), opis i oznaczenia następujących zdarzeń:
A
– zdarzenie, że system n-elementowy znajduje się w stanie zdatności,
i
A
– zdarzenie, że i-ty element systemu jest zdatny,
i
A
– zdarzenie, że i-ty element systemu jest niezdatny,
I
– zdarzenie pewne, tzn. takie które musi wystąpić.
I
A
i
A
A
i
Rys. 2.2. Interpretacja geometryczna zdarzeń A, A
i
, Ā
i
, i I
Na podstawie opisanych wcześniej zdarzeń oraz na podstawie
rys. 2.2
, można zapisać następujące
tożsamości:
A
I
A
∩
=
(2.1)
i
i
A
A
I
∪
=
(2.2)
a stąd
(
)
A
A
A
A
i
i
∩
∪
=
(2.3)
i
(
)
(
)
A
A
A
A
A
i
i
∩
∪
∩
=
.
(2.4)
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
10
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
(
)
A
A
i
∩
Ponieważ zdarzenia
i
Ponieważ zdarzenia
i
(
)
A
A
i
∩
(
)
A
A
i
∩ są rozłączne (
rys. 2.2
), to na podstawie tożsamości
(2.4)
,
prawdopodobieństwo zdarzenia A przedstawia zależność:
(
)
(
)
A
A
A
A
A
i
i
∩
∪
∩
=
( )
(
)
(
)
A
A
A
A
A
i
i
∩
+
∩
=
P
P
P
.
(2.5)
Ze znanych zależności na prawdopodobieństwa warunkowe postaci:
(
)
(
)
( )
i
i
i
A
A
A
A
A
P
P
P
∩
=
(2.6)
( ) (
)
( )
i
i
i
A
A
A
A
A
P
P
P
∩
=
(2.7)
i zależności
(2.5)
wynika, że:
( )
( )
(
)
( ) ( )
i
i
i
i
A
A
A
A
A
A
A
P
P
P
P
P
⋅
+
⋅
=
(2.8)
Dla uproszczenia zapisu przyjmuje się następujące oznaczenia:
( )
( )
(
)
(
)
i
n
i
A
A
R
P
=
−1
( )
(
)
( )
i
n
i
A
A
R
P
1
=
−
A
R
n
s
P
=
( )
i
i
A
R
P
=
( )
i
i
A
R
P
1
=
−
a na tej podstawie zależność
(2.8)
ma postać:
( )
(
)
(
)
( )
(
)
1
1
1
−
−
⋅
−
+
⋅
=
n
i
i
n
i
i
n
s
R
R
R
R
R
(2.9)
Ważne!!!
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
11
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
( )
(
)
(
)
( )
(
)
1
1
1
−
−
⋅
−
+
⋅
=
n
i
i
n
i
i
n
s
R
R
R
R
R
(2.9)
Zależność
(2.9)
to postać matematyczna
ogólnej formuły niezawodności systemu
. W wyznaczonej
formule, poszczególnym jej częściom, można nadawać interpretację geometryczną.
W myśl takiego podejścia, element na pewno uszkodzony (R
i
= 0) przedstawić można za pomocą
„przerwy” dla przepływu strumienia informacji lub energii (brak możliwości przepływu), zaś element
na pewno zdatny (tzn. R
i
= 1) przedstawia się przez „zwarcie” (brak oporu) dla przepływu strumienia
informacji lub energii.
W myśl interpretacji geometrycznej, realny element struktury niezawodnościowej systemu/obiektu
przedstawia dla przepływu informacji lub energii pewną rezystancję (opór), którego miara określona
jest na przedziale 0 < R
i
< 1.
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
12
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
2.4. Niezawodność systemu o strukturze niezawodnościowej mostkowej
2.4. Niezawodność systemu o strukturze niezawodnościowej mostkowej
System o strukturze niezawodnościowej
mostkowej
jest najprostszym systemem z klasy systemów
złożonych. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej mostkowej (zwanego dalej sys-
temem mostkowym) przedstawiono na
rys. 2.3
.
System o strukturze niezawodnościowej
mostkowej
jest najprostszym systemem z klasy systemów
złożonych. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej mostkowej (zwanego dalej sys-
temem mostkowym) przedstawiono na
rys. 2.3
.
STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE
SYSTEMÓW
PROSTE STRUKTURY
NIEZAWODNOŚCIOWE
szeregowe struktury nieza-
wodnościowe
równoległe struktury nieza-
wodnościowe
szeregowo-równoległe struk-
tury niezawodnościowe
ZŁOŻONE STRUKTURY
NIEZAWODNOŚCIOWE
mostkowe struktury nie-
zawodnościowe
progowe struktury nieza-
wodnościowe
struktury niezawodnościowe
typu siatka
struktury niezawodnościowe
typu sieć
struktury niezawodnościowe
typu ściana
struktury niezawodnościowe
typu komin
równoległo-szeregowe struk-
tury niezawodnościowe
5
1
2
3
4
Rys. 2.3. Schemat ideowy systemu o strukturze
niezawodnościowej mostkowej
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
13
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Zgodnie z procedurą obliczeniową, odbywającą się z wykorzystaniem formuły
(2.9)
, dokonuje się
dekompozycji systemu mostkowego względem jednego jego elementu. Dobór elementu do dokonania
dekompozycji systemu jest dowolny. Dalej przyjęto, że system mostkowy będzie dekomponowany
względem elementu piątego (
rys. 2.3
). Uwzględniając ten fakt, formułę
(2.9)
można zapisać w postaci:
Zgodnie z procedurą obliczeniową, odbywającą się z wykorzystaniem formuły
(2.9)
, dokonuje się
dekompozycji systemu mostkowego względem jednego jego elementu. Dobór elementu do dokonania
dekompozycji systemu jest dowolny. Dalej przyjęto, że system mostkowy będzie dekomponowany
względem elementu piątego (
rys. 2.3
). Uwzględniając ten fakt, formułę
(2.9)
można zapisać w postaci:
( )
( )
(
)
( )
( )
4
5
5
4
5
5
5
1
R
R
R
R
R
M
⋅
−
+
⋅
=
(2.10)
W wyniku dekompozycji systemu mostkowego względem piątego elementu otrzymuje się m.in. pod-
systemy 4-elementowe o strukturach niezawodnościowych przedstawionych na
rys. 2.4
. Jeden z nich
jest systemem 4-elementowym o strukturze niezawodnościowej równoległo-szeregowej (
rys. 2.4b
),
zaś drugi jest systemem 4-elementowym o strukturze szeregowo-równoległej (
rys. 2.4c
).
Rys. 2.4. Schematy ideowe systemu mostkowego 5-elementowego i podsystemów 4-elementowych otrzymanych
po dekompozycji systemu mostkowego względem jego piątego elementu
5
1
2
3
4
1
3
2
4
1
3
2
4
b)
c)
0
5
=
R
1
5
=
R
a)
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
14
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
( )
( )
(
)
( )
( )
4
5
5
4
5
5
5
1
R
R
R
R
R
M
⋅
−
+
⋅
=
(2.10)
Na tej podstawie składowe formuły
(2.10)
, posiłkując się zależnościami na niezawodność obiek-
tów/systemów o strukturach niezawodnościowych prostych, przedstawiają się następująco:
( )
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
4
2
3
1
4
5
1
1
1
1
1
1
R
R
R
R
R
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
−
−
=
(2.11)
1
3
2
4
a)
( )
( )
(
) (
)
4
3
2
1
4
5
1
1
1
R
R
R
R
R
−
⋅
−
−
=
(2.12)
1
3
2
4
b)
a stąd niezawodność systemu mostkowego przedstawia zależność:
( )
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
+
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
−
−
⋅
=
4
2
3
1
5
5
1
1
1
1
1
1
R
R
R
R
R
R
M
(
)
(
) (
)
(
)
4
3
2
1
5
1
1
1
1
R
R
R
R
R
−
⋅
−
−
⋅
−
(2.13)
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
15
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
( )
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
+
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
−
−
⋅
=
4
2
3
1
5
5
1
1
1
1
1
1
R
R
R
R
R
R
M
(
)
(
) (
)
(
)
4
3
2
1
5
1
1
1
1
R
R
R
R
R
−
⋅
−
−
⋅
−
(2.13)
skąd
( )
(
) (
)
+
−
+
⋅
−
+
⋅
=
4
2
4
2
3
1
3
1
5
5
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
M
(
)
(
)
4
3
2
1
4
3
2
1
5
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
−
+
⋅
−
(2.14)
a po redukcji wyrażenia
(2.14)
otrzymuje się:
( )
+
−
−
+
+
+
=
5
4
3
2
5
4
2
1
5
3
2
5
4
1
4
3
2
1
5
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
M
5
4
3
2
1
5
4
3
1
5
3
2
1
4
3
2
1
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
+
−
−
−
(2.15)
Ważne!!!
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
16
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
2.5. Niezawodność systemów o progowych strukturach niezawodnościowych
2.5. Niezawodność systemów o progowych strukturach niezawodnościowych
Definicja
Definicja
Ważne!!!
System o progowej strukturze niezawodnościowej jest w stanie zdatności tylko
wówczas, gdy co najmniej
k
spośród
n
jego elementów jest w stanie zdatności.
System o progowej strukturze niezawodnościowej jest w stanie zdatności tylko
wówczas, gdy co najmniej
k
spośród
n
jego elementów jest w stanie zdatności.
Systemy o progowej strukturze niezawodnościowej w teorii i praktyce niezawodnościowej nazywa
się systemami typu „
k
z
n
” zdatnych elementów. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodno-
ściowej progowej przedstawiono na
rys. 2.5
.
Systemy o progowej strukturze niezawodnościowej w teorii i praktyce niezawodnościowej nazywa
się systemami typu „
k
z
n
” zdatnych elementów. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodno-
ściowej progowej przedstawiono na
rys. 2.5
.
STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE
SYSTEMÓW
PROSTE STRUKTURY
NIEZAWODNOŚCIOWE
szeregowe struktury nieza-
wodnościowe
równoległe struktury nieza-
wodnościowe
szeregowo-równoległe struk-
tury niezawodnościowe
ZŁOŻONE STRUKTURY
NIEZAWODNOŚCIOWE
mostkowe struktury nieza-
wodnościowe
progowe struktury nieza-
wodnościowe
struktury niezawodnościowe
typu siatka
struktury niezawodnościowe
typu sieć
struktury niezawodnościowe
typu ściana
struktury niezawodnościowe
typu komin
równoległo-szeregowe struk-
tury niezawodnościowe
„k z n”
Rys. 2.5. Schemat ideowy systemu o strukturze
niezawodnościowej progowej
1
k
2
k+1
…
…
n
…
…
…
…
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
…
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
17
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Warto wiedzieć
, że systemy o szeregowych i równoległych strukturach niezawodnościowych są
szczególnymi przypadkami systemów typu „
k
z
n
” zdatnych elementów. System o szeregowej struktu-
rze niezawodnościowej jest systemem „
n
z
n
”, zaś system o równoległej strukturze niezawodnościo-
wej jest systemem „
1
z
n
”.
Warto wiedzieć
, że systemy o szeregowych i równoległych strukturach niezawodnościowych są
szczególnymi przypadkami systemów typu „
k
z
n
” zdatnych elementów. System o szeregowej struktu-
rze niezawodnościowej jest systemem „
n
z
n
”, zaś system o równoległej strukturze niezawodnościo-
wej jest systemem „
1
z
n
”.
1
k
2
k+1
…
…
n
„k z n”
…
…
…
…
…
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1
2
n
y y y
„n z n”
„k = n”
y
y
y
1
2
n
„1 z n”
1
k
2
k+1
…
…
n
„k z n”
…
…
…
…
…
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
„k = 1”
Warto…!
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
18
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
( )
(
)
(
)
Niezawodność systemu „2 z 3” o różnej niezawodności elementów
Niezawodność systemu „2 z 3” o różnej niezawodności elementów
Niech istnieje system 3-elementowy o strukturze niezawodnościowej „
2
z
3
” (
rys. 2.6
) i o nieza-
wodności początkowej elementów R
i
(i = 1,2,3). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,
gdy co najmniej
2
spośród
3
jego elementów są w stanie zdatności.
Niech istnieje system 3-elementowy o strukturze niezawodnościowej „
2
z
3
” (
rys. 2.6
) i o nieza-
wodności początkowej elementów R
i
(i = 1,2,3). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,
gdy co najmniej
2
spośród
3
jego elementów są w stanie zdatności.
„2 z 3”
1
2
1
3
2
3
Rys. 2.6. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej „2 z 3”
Wyznaczenie niezawodności systemu „
2
z
3
”, zgodnie z procedurą obliczeniową wykorzystującą
formułę
(2.9)
, dokonuje się dekomponując ten system względem jednego jego elementu. Dobór ele-
mentu do dokonania dekompozycji systemu jest dowolny. Dalej przyjęto, że system „
2
z
3
” będzie de-
komponowany względem elementu drugiego (
rys. 2.6
). Uwzględniając ten fakt, formułę
(2.9)
można
zapisać w postaci:
Wyznaczenie niezawodności systemu „
2
z
3
”, zgodnie z procedurą obliczeniową wykorzystującą
formułę
(2.9)
, dokonuje się dekomponując ten system względem jednego jego elementu. Dobór ele-
mentu do dokonania dekompozycji systemu jest dowolny. Dalej przyjęto, że system „
2
z
3
” będzie de-
komponowany względem elementu drugiego (
rys. 2.6
). Uwzględniając ten fakt, formułę
(2.9)
można
zapisać w postaci:
( )
(
)
(
)
( )
(
)
1
1
1
−
−
⋅
−
+
⋅
=
n
i
i
n
i
i
n
s
R
R
R
R
R
(2.9)
( )
( )
(
)
( )
( )
2
2
2
2
2
2
3
"
3
2
"
1
R
R
R
R
R
z
⋅
−
+
⋅
=
(2.16)
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
19
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
( )
( )
(
)
( )
( )
2
2
2
2
2
2
3
"
3
2
"
1
R
R
R
R
R
z
⋅
−
+
⋅
=
(2.16)
W wyniku dekompozycji systemu „
2
z
3
” względem drugiego elementu otrzymuje się podsystemy
2-elementowe. Jeden z nich jest systemem 2-elementowym o strukturze niezawodnościowej równole-
głej (gdy element 2-gi jest na pewno zdatny, tzn. R
2
= 1), zaś drugi jest systemem 2-elementowym o
strukturze szeregowej (gdy element 2-gi jest na pewno niezdatny, tzn. R
2
= 0).
Na tej podstawie składowe formuły
(2.16)
, posiłkując się zależnościami na niezawodność obiek-
tów/systemów o strukturach niezawodnościowych prostych, przedstawiają się następująco:
( )
(
) (
)
3
1
2
2
1
1
1
R
R
R
−
⋅
−
−
=
(2.17)
( )
( )
3
1
2
2
R
R
R
⋅
=
(2.18)
a stąd niezawodność systemu „
2
z
3
” przedstawia zależność:
( )
(
) (
)
(
) (
)
3
1
2
3
1
2
3
"
3
2
"
1
1
1
1
R
R
R
R
R
R
R
z
⋅
−
+
−
⋅
−
−
⋅
=
(2.19)
1
2
1
3
2
3
„2 z 3”
skąd
( )
3
2
1
3
1
3
2
2
1
3
"
3
2
"
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
z
⋅
−
+
+
=
(2.20)
Ważne!!!
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
20
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
( )
(
)
(
)
Niezawodność systemu „2 z 4” o różnej niezawodności elementów
Niezawodność systemu „2 z 4” o różnej niezawodności elementów
Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej „
2
z
4
” (
rys. 2.7
) i o nieza-
wodności początkowej elementów R
i
(i = 1,2,3,4). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,
gdy co najmniej 2 spośród 4 jego elementów jest w stanie zdatności.
Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej „
2
z
4
” (
rys. 2.7
) i o nieza-
wodności początkowej elementów R
i
(i = 1,2,3,4). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,
gdy co najmniej 2 spośród 4 jego elementów jest w stanie zdatności.
1
2
1
3
1
4
2
3
2
4
3
4
„2 z 4”
Rys. 2.7. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej „2 z 4”
Niezawodność systemu „
2
z
4
” można wyznaczyć dekomponując sys-
tem względem elementu czwartego (
rys. 2.7
). Uwzględniając ten fakt,
formułę
(2.9)
można zapisać w postaci:
Niezawodność systemu „
2
z
4
” można wyznaczyć dekomponując sys-
tem względem elementu czwartego (
rys. 2.7
). Uwzględniając ten fakt,
formułę
(2.9)
można zapisać w postaci:
( )
(
)
(
)
( )
(
)
1
1
1
−
−
⋅
−
+
⋅
=
n
i
i
n
i
i
n
s
R
R
R
R
R
(2.9)
( )
( )
(
)
( )
( )
3
4
4
3
4
4
4
"
4
2
"
1
R
R
R
R
R
z
⋅
−
+
⋅
=
(2.21)
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
21
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
( )
( )
(
)
( )
( )
3
4
4
3
4
4
4
"
4
2
"
1
R
R
R
R
R
z
⋅
−
+
⋅
=
(2.21)
W wyniku dekompozycji systemu „
2
z
4
” względem
czwartego
elementu otrzymuje się podsystemy
3-elementowe. Jeden z nich jest systemem 3-elementowym o strukturze niezawodnościowej równole-
głej (gdy element 4-ty jest na pewno zdatny, tzn. R
4
= 1), zaś drugi jest systemem 3-elementowym
o strukturze typu „
2
z
3
” (gdy element 4-ty jest na pewno niezdatny, tzn. R
4
= 0).
Na tej podstawie składowe formuły
(2.21)
, posiłkując się zależnościami posiłkując się zależnościami
na niezawodność obiektów/systemów o strukturach niezawodnościowych prostych
oraz
(2.16)
i
(2.19)
,
przedstawiają się następująco:
( )
(
) (
) (
)
3
2
1
3
4
1
1
1
1
R
R
R
R
−
⋅
−
⋅
−
−
=
(2.22)
( )
( )
(
) (
)
(
) (
)
3
1
2
3
1
2
3
4
1
1
1
1
R
R
R
R
R
R
R
⋅
−
+
−
⋅
−
−
⋅
=
(2.23)
a stąd niezawodność systemu „
2
z
4
” przedstawia zależność:
( )
(
) (
) (
)
(
)
+
−
⋅
−
⋅
−
−
⋅
=
3
2
1
4
4
"
4
2
"
1
1
1
1
R
R
R
R
R
z
(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
3
1
2
3
1
2
4
1
1
1
1
1
R
R
R
R
R
R
R
⋅
−
+
−
⋅
−
−
⋅
⋅
−
(2.24)
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
22
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
skąd
( )
+
+
−
−
−
+
+
=
4
3
2
1
4
3
2
4
3
1
4
2
1
4
3
4
2
4
1
4
"
4
2
"
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
z
−
⋅
−
+
+
+
3
2
1
3
1
3
2
2
1
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
4
3
2
1
4
3
1
4
3
2
4
2
1
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
⋅
+
−
−
(2.25)
i ostatecznie
( )
+
+
+
+
+
+
=
4
3
4
2
3
2
4
1
3
1
2
1
4
"
4
2
"
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
z
4
3
2
1
4
3
2
4
3
1
4
2
1
3
2
1
3
2
2
2
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
(2.26)
1
2
1
3
1
4
2
3
2
4
3
4
„2 z 4”
Ważne!!!
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
23
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
( )
(
)
(
)
Niezawodność systemu „3 z 4” o różnej niezawodności elementów
Niezawodność systemu „3 z 4” o różnej niezawodności elementów
Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej „
3
z
4
”
(rys. 2.8)
i o nieza-
wodności początkowej elementów R
i
(i = 1,2,3,4). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,
gdy co najmniej 3 spośród 4 jego elementów jest w stanie zdatności.
Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej „
3
z
4
”
(rys. 2.8)
i o nieza-
wodności początkowej elementów R
i
(i = 1,2,3,4). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,
gdy co najmniej 3 spośród 4 jego elementów jest w stanie zdatności.
1
2
3
1
2
4
1
3
4
2
3
4
„3 z 4”
Rys. 2.8. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej „3 z 4”
Niezawodność systemu „
3
z
4
” wygodnie jest wyznaczać dekomponując system względem elementu
czwartego
(ze względu na wyznaczoną wcześniej formułę na niezawodność systemu „
2
z
3
” – formuła
(
2.20
)). Biorąc to pod uwagę, formułę (
2.9
) dla systemu „
3
z
4
”można zapisać jako:
Niezawodność systemu „
3
z
4
” wygodnie jest wyznaczać dekomponując system względem elementu
czwartego
(ze względu na wyznaczoną wcześniej formułę na niezawodność systemu „
2
z
3
” – formuła
(
2.20
)). Biorąc to pod uwagę, formułę (
2.9
) dla systemu „
3
z
4
”można zapisać jako:
( )
(
)
(
)
( )
(
)
1
1
1
−
−
⋅
−
+
⋅
=
n
i
i
n
i
i
n
s
R
R
R
R
R
(2.9)
( )
( )
(
)
( )
( )
3
4
4
3
4
4
4
"
4
3
"
1
R
R
R
R
R
z
⋅
−
+
⋅
=
(2.27)
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
24
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
( )
( )
(
)
( )
( )
3
4
4
3
4
4
4
"
4
3
"
1
R
R
R
R
R
z
⋅
−
+
⋅
=
(2.27)
W wyniku dekompozycji systemu „
3
z
4
” względem
czwartego
elementu otrzymuje się podsystemy
3-elementowe. Jeden z nich jest systemem 3-elementowym o strukturze niezawodnościowej „
2
z
3
”
(gdy element 4-ty jest na pewno zdatny, tzn. R
4
= 1), zaś drugi jest systemem 3-elementowym o struk-
turze szeregowej (gdy element 4-ty jest na pewno niezdatny, tzn. R
4
= 0).
Na tej podstawie składowe formuły
(2,27)
przedstawiają się następująco:
( )
( )
(
) (
)
(
) (
)
3
1
2
3
1
2
3
4
1
1
1
1
R
R
R
R
R
R
R
⋅
−
+
−
⋅
−
−
⋅
=
(2.28)
( )
( )
3
2
1
3
4
R
R
R
R
⋅
⋅
=
(2.29)
Uwzględniając zależność
(2,20)
można zapisać, że
( )
( )
( )
3
2
1
3
1
3
2
2
1
3
"
3
2
"
3
4
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
z
⋅
−
+
+
=
=
(2.20)
a stąd
( )
(
)
(
)
3
2
1
4
3
2
1
3
1
3
2
2
1
4
4
"
4
3
"
1
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
z
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
−
+
+
⋅
=
(2.30)
a stąd ostatecznie niezawodność systemu „
3
z
4
” przedstawia zależność:
( )
4
3
2
1
4
3
2
4
3
1
4
2
1
3
2
1
4
"
4
3
"
3
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
z
⋅
−
+
+
+
=
(2.31)
Ważne!!!
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
25
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Niezawodność systemów typu „k z n” o identycznej niezawodności elementów
Niezawodność systemów typu „k z n” o identycznej niezawodności elementów
Niech istnieje system n-elementowy o strukturze niezawodnościowej „
k
z
n
” i o identycznej nieza-
wodności elementów
Niech istnieje system n-elementowy o strukturze niezawodnościowej „
k
z
n
” i o identycznej nieza-
wodności elementów
R
1
= R
2
= ... = R
n
= R
(2.32)
R
1
= R
2
= ... = R
n
= R
(2.32)
1
k
2
k+1
…
…
n
„k z n”
…
…
…
…
…
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
System „
k
z
n
” jest w stanie zdatności tylko wówczas, gdy co najmniej
k
spośród
n
jego elementów
tego systemu jest w stanie zdatności. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia gdy spełniony jest waru-
nek
(2.32)
można wyznaczyć z zależności:
System „
k
z
n
” jest w stanie zdatności tylko wówczas, gdy co najmniej
k
spośród
n
jego elementów
tego systemu jest w stanie zdatności. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia gdy spełniony jest waru-
nek
(2.32)
można wyznaczyć z zależności:
( )
(
)
(
)
i
n
i
n
k
i
n
n
k
R
R
i
n
n
k
R
R
−
=
−
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
1
,
,
"
z
"
(2.33)
Ważne!!!
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
26
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
( )
(
)
(
)
i
n
i
n
k
i
n
n
k
R
R
i
n
n
k
R
R
−
=
−
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
1
,
,
"
z
"
(2.33)
Dalej, wykorzystując zależność
(2.33)
przedstawiono formuły na niezawodność wybranych syste-
mów o strukturach niezawodnościowych typu „
k
z
n
” przy założeniu identycznej niezawodności ich
elementów:
•
niezawodność systemu typu „
2
z
3
” o identycznej niezawodności elementów
( )
(
)
(
)
3
2
3
3
2
3
"
3
z
2
"
2
3
1
3
3
,
2
,
R
R
R
R
i
R
R
i
i
i
⋅
−
⋅
=
−
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
=
∑
,
(2.34)
•
niezawodność systemu typu „
2
z
4
” o identycznej niezawodności elementów
( )
(
)
(
)
4
3
2
4
4
2
4
"
4
z
2
"
3
8
6
1
4
4
,
2
,
R
R
R
R
R
i
R
R
i
i
i
⋅
+
⋅
−
⋅
=
−
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
=
∑
,
(2.35)
•
niezawodność systemu typu „
3
z
4
” o identycznej niezawodności elementów
( )
(
)
(
)
4
3
4
4
3
4
"
4
z
3
"
3
4
1
4
4
,
3
,
R
R
R
R
i
R
R
i
i
i
⋅
−
⋅
=
−
⋅
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
=
∑
.
(2.36)
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
27
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
3. Zasada maksymalnej wrażliwości
Zasada maksymalnej wrażliwości wskazuje uwagę na elementy dowolnego systemu, których popra-
wa niezawodności daje maksymalną zmianę niezawodności systemu.
Niezawodność systemu
n
-elementowego można wyznaczyć z formuły:
( )
(
)
(
)
( )
(
)
1
1
1
−
−
−
+
⋅
=
n
i
i
n
i
i
n
s
R
R
R
R
R
(
)
(
)
n
i
i
n
i
R
R
R
R
R
R
,...,
,
1
,
,...,
,
1
1
2
1
1
+
−
−
( )
(
)
(
)
n
i
i
n
i
R
R
R
R
R
R
,...,
,
0
,
,...,
,
1
1
2
1
1
+
−
−
Mając niezawodność systemu
n
-elementowego oblicza się wrażliwości poszczególnych elementów
systemu, przez liczenie kolejnych pochodnych cząstkowych:
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
Δ
=
−
=
Δ
=
−
=
Δ
=
−
=
−
−
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
s
i
n
i
n
i
i
n
s
n
n
n
s
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
..
..........
..........
..........
..........
..
..........
..........
..........
..........
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
28
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Następnie w oparciu o uzyskane wartości liczbowe szuka się wartości maksymalnej z listy wrażli-
wości:
( )
( )
( )
( )
{
}
n
i
n
i
Δ
Δ
Δ
Δ
=
Δ
<
<
,...,
,...,
,
max
2
1
1
oraz element charakteryzujący się największą wrażliwością na zmianę niezawodności systemu (tzn.
taki, że poprawa jego niezawodności daje maksymalną zmianę niezawodności systemu).
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
29
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
3
2
1
R
R
R
R
4. Zastosowanie zasady maksymalnej wrażliwości
4. Zastosowanie zasady maksymalnej wrażliwości
Dla systemu o szeregowej strukturze niezawodnościowej
Dla systemu o szeregowej strukturze niezawodnościowej
1
2
3
R
1
= 0,7 R
2
= 0,8
R
R
3
= 0,9
3
2
1
R
R
R
R
⋅
⋅
=
( )
( )
( )
56
,
0
8
,
0
7
,
0
63
,
0
9
,
0
7
,
0
72
,
0
9
,
0
8
,
0
2
1
3
3
3
1
2
2
3
2
1
1
=
⋅
=
⋅
=
=
Δ
=
⋅
=
⋅
=
=
Δ
=
⋅
=
⋅
=
=
Δ
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
∂
∂
∂
∂
∂
∂
( )
( )
( )
{
}
( )
72
,
0
,
,
max
1
3
2
1
3
1
=
Δ
=
Δ
Δ
Δ
=
Δ
<
<i
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
30
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
(
)
Dla systemu o równoległej strukturze niezawodnościowej
Dla systemu o równoległej strukturze niezawodnościowej
(
)(
)(
)
3
2
1
1
1
1
1
R
R
R
R
−
−
−
−
=
(
)(
)
(
)(
)
[
]
3
2
1
3
2
1
1
1
1
1
R
R
R
R
R
R
−
−
−
−
−
−
=
(
)(
)
(
)(
)
[
]
3
1
2
3
1
1
1
1
1
1
R
R
R
R
R
R
−
−
−
−
−
−
=
(
)(
)
(
)(
)
[
]
2
1
3
2
1
1
1
1
1
1
R
R
R
R
R
R
−
−
−
−
−
−
=
R
3
= 0,9
R
1
= 0,7
1
2
3
R
R
2
= 0,8
( )
(
)(
) (
)(
)
02
,
0
1
,
0
2
,
0
9
,
0
1
8
,
0
1
1
1
3
2
1
1
=
⋅
=
−
−
=
−
−
=
=
Δ
R
R
R
R
∂
∂
( )
(
)(
) (
)(
)
03
,
0
1
,
0
3
,
0
9
,
0
1
7
,
0
1
1
1
3
1
2
2
=
⋅
=
−
−
=
−
−
=
=
Δ
R
R
R
R
∂
∂
( )
(
)(
) (
)(
)
05
,
0
2
,
0
3
,
0
8
,
0
1
7
,
0
1
1
1
2
1
3
3
=
⋅
=
−
−
=
−
−
=
=
Δ
R
R
R
R
∂
∂
( )
( )
( )
{
}
( )
05
,
0
,
,
max
3
3
2
1
3
1
=
Δ
=
Δ
Δ
Δ
=
Δ
≤
≤i
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
31
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Dla systemu mostkowej strukturze niezawodnościowej
( )
(
)(
)
[
]
+
⋅
−
+
⋅
−
+
=
4
2
4
2
3
1
3
1
5
5
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
M
(
)
[
]
4
3
2
1
4
3
2
1
5
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
⋅
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
−
Badanie wrażliwości
( )
(
)(
) (
)(
)
4
3
2
2
5
3
4
2
4
2
5
1
1
1
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
M
⋅
⋅
−
−
+
−
⋅
−
+
=
=
Δ
∂
∂
( )
(
)(
) (
)(
)
4
3
1
1
5
4
3
1
3
1
5
2
2
1
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
M
⋅
⋅
−
−
+
−
⋅
−
+
=
=
Δ
∂
∂
( )
(
)(
) (
)(
)
4
2
1
4
5
1
4
2
4
2
5
3
3
1
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
M
⋅
⋅
−
−
+
−
⋅
−
+
=
=
Δ
∂
∂
( )
(
)(
) (
)(
)
3
2
1
3
5
2
3
1
3
1
5
4
4
1
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
M
⋅
⋅
−
−
+
−
⋅
−
+
=
=
Δ
∂
∂
( )
(
)(
) (
)
4
3
2
1
4
3
2
1
4
2
4
2
3
1
3
1
5
5
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
M
⋅
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
+
⋅
−
+
=
=
Δ
∂
∂
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
32
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
5
4
3
2
1
5
1
,
,
,
,
max
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
=
Δ
≤
≤i
Gdyby przyjąć, że elementy struktury mostkowej mają wszystkie tę samą niezawodność
Ri = R dla i = 1,2,3,4,5
to
(
)(
) (
)(
)
=
⋅
⋅
−
−
+
−
⋅
−
+
=
Δ
=
Δ
=
Δ
=
Δ
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
1
1
4
3
2
1
(
)(
)
(
)
(
)
=
+
−
−
+
+
−
−
=
−
−
+
−
−
=
4
2
3
4
3
3
2
3
2
2
2
2
1
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
4
3
2
2
4
R
R
R
R
+
−
+
=
( )
(
)(
) (
)
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
+
⋅
−
+
=
Δ
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
5
(
)(
) (
)
=
+
−
+
−
−
=
−
+
−
−
−
=
4
2
4
3
3
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
4
3
2
2
4
2
R
R
R
+
−
=
4
3
2
2
4
R
R
R
R
+
−
+
(
< = >
)
4
3
2
2
4
2
R
R
R
+
−
4
3
2
2
4
R
R
R
R
+
−
+
>
4
3
2
2
4
2
R
R
R
+
−
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
33
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
5
4
3
2
1
5
1
,
,
,
,
max
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
=
Δ
≤
≤i
Gdyby przyjąć, że elementy struktury mostkowej mają wszystkie tę samą niezawodność
Ri = R dla i = 1,2,3,4,5
to
(
)(
) (
)(
)
=
⋅
⋅
−
−
+
−
⋅
−
+
=
Δ
=
Δ
=
Δ
=
Δ
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
1
1
4
3
2
1
(
)(
)
(
)
(
)
=
+
−
−
+
+
−
−
=
−
−
+
−
−
=
4
2
3
4
3
3
2
3
2
2
2
2
1
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
4
3
2
2
4
R
R
R
R
+
−
+
=
( )
(
)(
) (
)
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
+
⋅
−
+
=
Δ
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
5
(
)(
) (
)
=
+
−
+
−
−
=
−
+
−
−
−
=
4
2
4
3
3
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
4
3
2
2
4
2
R
R
R
+
−
=
4
3
2
2
4
R
R
R
R
+
−
+
(
< = >
)
4
3
2
2
4
2
R
R
R
+
−
4
3
2
2
4
R
R
R
R
+
−
+
>
4
3
2
2
4
2
R
R
R
+
−
Plik:
TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc
34
/
34
A. KADZIŃSKI,
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Syntetycznie przypomniano problematykę niezawodności systemów/obiektów o niezawodno-
♦
Ogólna formuła niezawodności – metoda dekompozycji prostej, wyprowadzenie i postać ma-
♦
Niezawodność systemów/obiektów o niezawodnościowych strukturach złożonych – systemy
♦
Sterowanie niezawodnością systemów/obiektów – reguła maksymalnej wrażliwości, sterowa-
5. Podsumowanie
W ramach wykładu przedstawiono niżej przedstawione zagadnienia.
♦
Pojęcie struktury niezawodnościowej.
♦
Klasyfikacje struktur niezawodnościowych i elementów struktur niezawodnościowych.
♦
ściowych strukturach prostych (szeregowych, równoległych, równoległo-szeregowych, szere-
gowo-równoległych).
tematyczna, zastosowanie dla niezawodnościowych struktur prostych.
o strukturze mostkowej, systemy o strukturach progowych.
nie niezawodnością struktur prostych i złożonych.