GEOMETRIA I GRAFIKA INŻYNIERSKA
(2)
6. RZUT RÓWNOLEGŁY I JEGO WŁASNOŚCI
6.1. Podstawowe definicje i określenia
.
Rzutem równoległym nazywamy jedno-
znaczne przekształcenie przestrzeni trój-
wymiarowej na dwuwymiarową za pomocą
utworzonego w przestrzeni aparatu rzuto-
wania równoległego.
Aparat rzutowania równoległego stanowią:
płaszczyzna
nazywana rzutnią i prosta
k
nazywana kierunkiem rzutowania (lub
prostą kierunkową), przy czym
k ||
..
Rys. 6.1. Aparat rzutowania równoległego
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI
KATEDRA URZĄDZEŃ ELEKTRYCZNYCH I TECHNIKI ŚWIETLNEJ
Prosta rzutująca
p
równoległa do kierunku rzutowania
k
(
p || k
) i
przechodząca przez punkt
A
jest prostą rzutującą punkt
A
(rys. 6.2a).
Rzutem równoległym punktu
A
na płaszczyznę
w kierunku
k
jest
punkt
A’
. Jest to punkt w którym prosta
p
przebija rzutnię
.
A’ = p
lub A’(p,
)
Rys. 6.2. Rzutowanie punktu A i prostej m
Proste i płaszczyzny równoległe do kierunku rzutowania nazywamy
prostymi (promieniami) i płaszczyznami rzutującymi.
Rzutem prostej
m
na płaszczyznę
w kierunku
k
jest prosta
m’
w której płaszczyzna rzutująca
przecina rzutnię
.
m’ =
lub
m’(
,
)
Twierdzenie 6.1. Rzutem równoległym prostej
m
. na płaszczyznę
w
kierunku
k
jest:
prosta – jeżeli prosta
m || k
punkt – jeżeli prosta
m || k
Twierdzenie 6.2. Rzutem równoległym płaszczyzny
na płaszczyznę
w kierunku
k
jest:
prosta – jeżeli płaszczyzna
|| k
,
płaszczyzna – jeżeli płaszczyzna
|| k
Przy rzutowaniu prostej
m
na płaszczyznę
rzutujemy poszczególne jej
punkty przy pomocy prostych rzutujących przechodzących przez te punkty
(rys. 6.2b). Aby wyznaczyć rzut prostej wystarczą dwa punkty. Zgodnie z
rysunkiem 6.2b zbiór prostych rzutujących wyznacza płaszczyznę
zawierającą prostą
m
, którą nazywamy płaszczyzną rzutującą.
Rys. 6.3. Rzutowanie płaszczyzny
na
płaszczyznę
Rys. 6.4. Rzutowanie kuli na płaszczyznę
Twierdzenie 6.3. Rzutem równoległym przestrzeni
E
na płaszczyznę
w kierunku
k
jest płaszczyzna.
Jeżeli obiektem rzutowania jest część przestrzeni – bryła, np. kula, to jej rzutem będzie
część płaszczyzny - koło.
Figura, będąca zbiorem punktów będących rzutami punktów w których proste rzutujące
są styczne do bryły stanowi
zarys
,
brzeg
lub
kontur
bryły.
Rzutowanie brył jest rzutowaniem figur utworzonych przez punkty w
których promienie rzutujące są styczne do bryły.
6.2. Rzutowanie równoległe ukośne i prostokątne
Definicja 6.1. Rzutowaniem równoległym nazywamy przyporządkowa-
nie punktom i figurom ich rzutów równoległych, przy czym:
a) gdy kierunek rzutowania
k
oraz
k ||
mówimy o rzutowaniu
równoległym ukośnym,
b) gdy kierunek rzutowania
k
mówimy o rzutowaniu
równoległym prostokątnym.
Rzutowanie równoległe prostokątne (lub krócej: prostokątne) ma
kierunek prostopadły do rzutni.
Rys. 6.4. Rzutowanie prostokątne
punktu
Jeżeli punkt
A’
jest rzutem
prostokątnym punktu
A
na rzutnię
to odcinek
AA’
leżący na prostej
rzutującej prostopadły do
płaszczyzny
jest równy odległości
punktu
A
od rzutni
.
Rys. 6.5. Rzutowanie ukośne i prostokątne odcinka
Jeżeli
A’B’
jest rzutem prostokątnym odcinka
AB
to kąt
jest kątem między tym
odcinkiem a rzutnią. Długość rzutu prostokątnego wynosi:
|A’B’| = |AB|
cos
Ponieważ cos
1 to |A’B’|
|AB
|
Rzut równoległy prostokątny odcinka nie może być dłuższy od tego odcinka.
Przy rzucie ukośnym
odcinka długość jego
rzutu równoległego
może być mniejsza,
równa lub większa od
długości tego odcinka.
Współczynnikiem deformacji liniowej, lub stosunkiem skróceń,
nazywamy liczbę wyrażającą stosunek długości rzutu równoległego
odcinka do długości tego odcinka.
|
AB
|
|
'
B
'
A
|
6.3. Niezmienniki rzutowania równoległego
Definicja 6.3. Niezmiennikami rzutowania równoległego (zwanego też
przekształceniem równoległym) nazywamy takie właściwości figur
geometrycznych, które nie ulegają zmianie w trakcie rzutowania.
Są zatem właściwościami zarówno rzutowanych figur jak i ich rzutów.
1. Współliniowość punktów
Rzuty punktów zawartych w jednej prostej
m
nierównoległej do
kierunku rzutowania
k
, są zawarte w jednej prostej m’ będącej
rzutem prostej m
A, B, C
m || k
A’, B’, C’
m’
Rzutem punktów zawartych w jednej prostej
m
równoległej do
kierunku rzutowania
k
(
m || k
) jest punkt, gdyż rzutem tej prostej
jest punkt.
Niezmiennikiem rzutowania równoległego jest stosunek podziału
odcinka na części.
Rys. 6.6. Podział odcinka i rzutu odcinka
2. Stosunek podziału
Jeżeli punkty
A
,
B
i
C
leżą na prostej
m
, to ich rzuty
A’
,
B’
i C’ leżą na
rzucie
prostej
m’
w
punktach
przecięcia z równoległymi prostymi
rzutującymi.
Na mocy twierdzenia Talesa możemy
napisać
|
'
B
'
C
|
|
'
C
'
A
|
|
CB
|
|
AC
|
Oznacza to, że przy rzutowaniu równoległym zachowany jest stosunek
podziału odcinka
AB
na części.
3. Równoległość prostych
Rzuty dwóch prostych równoległych, nierównoległych do kierunku
rzutowania
k
, są prostymi równoległymi
m || n || k
m’ || n’
Rys. 6.7. Równoległość prostych i płaszczyzn rzutujących
Jeżeli rzutujemy
odcinki równoległe
i równe, to ich rzuty
są również
równoległe i równe.
Płaszczyzny rzutujące proste równoległe są również równoległe.
4. Związki miarowe figur płaskich równoległych do rzutni
Rzutem równoległym figury
F
równoległej do rzutni jest figura do niej
przystająca
F’
.
Przesuwając figurę
F
równolegle w
kierunku rzutowania, nałożymy ją na
jej rzut
F’
.
Oznacza to, że przy rzutowaniu
równoległym figury równoległej do
rzutni zachowane są wszystkie jej
związki miarowe - czyli metryka.
Pole rzutu figury jest równe polu figury rzutowanej
F
||
S
F
= S
F’
Rys. 6.8. Rzutowanie figury F
równoległej do rzutni
5. Rzut prostokątny kąta prostego
Rys. 6.9. Rzutowanie prostokątne kąta prostego i prostokąta
Rzut równoległy kąta prostego o jednym ramieniu równoległym
do rzutni jest również kątem prostym.
Proste
a
i
b
mogą być również prostymi skośnymi z kątem
prostym między nimi.
Niezmiennikiem rzutowania równoległego prostokątnego
jest kąt
prosty o jednym ramieniu równoległym do rzutni.
ZADANIA DO WYKONANIA
Przykład 1.
Mając rzuty równoległe 3 kolejnych wierzchołków sześciokąta
foremnego wyznaczyć rzut tego sześciokąta.
B’
A’
C’
D’
E’
F’
A’D’ || B’C’
C’F’ || A’B’
S’
|A’S’| = |S’D’|
|C’S’| = |S’F’|
|B’S’| = |S’E’|
Przykład 2.
Mając rzuty równoległe 3 kolejnych boków równoległościanu,
wyznaczyć rzut tego równoległościanu.
A’
B’
C’
B
1
’
D’
A
1
’
D
1
’
C
1
’
A
D
C
B
C
1
B
1
A
1
D
1
Dziękuję za uwagę
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron