Wyższa Szkoła Finansów i Zarządzania
materiały pomocnicze do ćwiczeń
Warunki zaliczenia ćwiczeń z ekonometrii I:
1. I Kolokwium – 40 pkt.
2. Aktywny udział w zajęciach: 5 pkt,
3. Obecność na zajęciach.
Punktacja:
<37 -
– 5,0
<33 - 37) – 4,5
<29 - 33) – 4,0
<25 - 29) – 3,5
<21 - 25) – 3,0
2
Podstawowe zagadnienia programu przedmiotu EKONOMETRIA I
1.
Model procesu decyzyjnego. Podstawy programowania matematycznego:
zmienne decyzyjne, warunki ograniczające, funkcja celu, zbiór rozwiązań
dopuszczalnych, rozwiązanie optymalne.
2.
Programowanie liniowe: postać klasyczna i standardowa, rozwiązanie
graficzne (własności zbioru rozwiązań dopuszczalnych, gradient funkcji celu, typy
rozwiązań).
3.
Podstawy metody simpleksowej: bazowe rozwiązanie dopuszczalne, wskaźniki
optymalności i ich interpretacja, sąsiednie rozwiązanie bazowe dopuszczalne, tablica
simpleksowa, wzory przejścia, zmienne sztuczne i metoda kar, interpretacja ostatniej
tablicy sympleksowej.
4.
Analiza postoptymalizacyjna: możliwości zmian współczynników funkcji celu
i wyrazów wolnych w ograniczeniach. Zastosowanie programu Solver do
rozwiązywania zadań PL.
5.
Symetryczne zagadnienie dualne: zmienne sprzężone, ostatnia tabela programu
prymalnego a rozwiązanie dualu.
6.
Modele ekonometryczne: specyfikacja zmiennych modelu. Estymacja
parametrów modelu MNK z jedną zmienną objaśniającą.
7.
Weryfikacja merytoryczna i statystyczna jednorównaniowego modelu
ekonometrycznego.
8.
Prognozowanie na podstawie modelu jednorównaniowego.
9.
Analiza szeregów czasowych (wygładzanie szeregu, analiza wahań
okresowych).
Literatura
1.
Buga J., Nykowski I.
Zagadnienie transportowe w programowaniu liniowym, PWN, Warszawa 1974
2.
Busłowski A.
Stabilność rozwiązania optymalnego zadania programowania liniowego, UwB,
Białystok 2000
3.
Doroszkiewicz S.,
Koładkowski D., i in:
Ekonometria, SGH, Warszawa 1996 i następne wydania
4.
Gajda J.
Ekonometria praktyczna, Absolwent, Łódź 1998
5.
Gruszczyński M., Kuszewski
T., Podgórska M.
Ekonometria i badania operacyjne. Podręcznik dla studiów licencjackich.,
PWN, Warszawa 2009
6.
Kukuła K. [red.]
Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 1993
7.
Kufel T.
Ekonometria. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem programu GRETL,
PWN, Warszawa 2004 i następne wydania
8.
Nowak E.
Zarys metod ekonometrii, PWN, Warszawa 1997 i następne wydania
9.
Maddala G. S.
Ekonometria, WN PWN, Warszawa 2006
10.
Marcinkowska-Lewandowska
W. i inni
Ekonometria w zadaniach i przykładach, SGH, Warszawa 2000 i następne
wydania
11. Sadowski W. [red.]
Elementy ekonometrii i programowania matematycznego, PWN, Warszawa 1985
12. Welfe A.
Ekonometria, PWE, Warszawa 1995 i następne wydania
12a Welfe A.
Ekonometria. Zbiór zadań, PWE, Warszawa 1997 i następne wydania
3
PROGRAMOWANIE LINIOWE
Zad. 1 Przedsiębiorstwo zamierza produkować dwa wyroby A i B. Dwa z wielu środków
produkcji jest limitowanych. Limity te wynoszą:
na środek I - 36 tys. jednostek
na środek II - 50 tys. jednostek
Nakłady limitowanych środków na jednostkę produkcji wynoszą przy:
wyrobie A : 6 jednostek środka I i 10 jednostek środka II
wyrobie B : 6 jednostek środka I i 5 jednostek środka II.
Należy także uwzględnić, że zdolność jednego z agregatorów nie pozwala wyprodukować
więcej niż 4 tys. sztuk wyrobu B.
Zbudować model maksymalizacji zysku, wiedząc, że jest on jednakowy na obu wyrobach.
Zad. 2 Zakład produkuje dwa wyroby A i B za pomocą dwu rodzajów maszyn : M1 i M2.
Park maszynowy składa się z 10 maszyn typu M1 i 4 maszyn typu M2. Ze względu na
zmianowość pracy i zabiegi konserwacyjne, czasy pracy tych maszyn mogą w ciągu doby
wynosić co najwyżej : M1 - 15 godzin, M2 - 20 godzin. Ułóż optymalny plan produkcji,
wiedząc, że jednostkowy zysk z wyrobu A wynosi 6 zł., a z wyrobu B - 25 zł. i jednocześnie
liczba godzin pracy danej maszyny na jednostkę produktu kształtuje się , jak to przedstawiają
dane w poniższej tablicy:
Godz. pracy maszyn na jedn.
Produktu
M1
M2
A
2
2
B
1
2
Zad. 3 Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby A i B, zużywając w tym celu trzy rodzaje
surowców S
1
, S
2
, S
3
, których dobowe zasoby wynoszą: S
1
-32 jednostki, S
2
-60 jednostek, S
3
-
52 jednostki.. Jednostkowe zużycie surowców kształtuje się następująco:
Surowiec
Wyrób
S
1
S
2
S
3
A
4
3
8
B
4
15
4
Ułożyć plan produkcji gwarantujący przedsiębiorstwu maksymalny zysk, wiedząc że zysk
jednostkowy z tytułu produkcji wyrobu A wynosi 40 zł., a z wyrobu B – 100 zł.
Zad. 4 Spółdzielnia „Psi Raj” wytwarza da rodzaje pokarmów dla psów: AA i BB. Pokarmy
te są sporządzane z trzech surowców X, Y, Z. Ilości surowców (w kg) niezbędne do
wytworzenia 1 kg pokarmów zawarte są w poniższej tabeli:
Surowiec
Rodzaj pokarmu
X
Y
Z
AA
0,3
0,4
0,1
BB
0,2
0,7
0,6
W ciągu dnia spółdzielnia może zużyć do produkcji nie więcej niż 0,4: 0,5; 0,8 tony
odpowiednio, surowców X, Y, Z. Z uwagi na zapotrzebowanie zgłaszane przez miejscowy
oddział Związku Kynologicznego dzienna produkcja pokarmu AA nie może być niższa niż 50
kg. Ceny i kg pokarmów AA i BB wynoszą odpowiednio 100 zł. oraz 150 zł., a koszty
wytworzenia 1 kg tych pokarmów są równe odpowiednio 55 zł. i 100 zł.
Zbudować model matematyczny służący do ustalenia, ile kilogramów poszczególnych
pokarmów powinna produkować dziennie spółdzielnia, aby przy podanych ograniczeniach
osiągnąć największy zysk.
4
Zad. 5 W spółdzielni z zadania 4 zmienił się zarząd. Nowy postuluje ustalenie takiego planu
produkcji, aby przy podanych ograniczeniach surowcowych i zawartych kontraktach
rentowność produkcji była największa.
Zad. 6 Pewien zakład może produkować dwa wyroby I i II. Produkcja zakładu w ustalonym
okresie musi spełniać określone warunki:
a) wartość wytworzonej produkcji liczonej w cenach zbytu musi wynosić niemniej niż
300 jednostek pieniężnych,
b) wielkość produkcji wyrobu II ma stanowić co najmniej 125% wielkości produkcji
wyrobu I, a ta z kolei nie może być mniejsza niż 20 jednostek.
Koszty bezpośrednie ponoszone przy produkcji poszczególnych wyrobów są proporcjonalne
do wielkości produkcji. Koszt bezpośredni wytworzenia jednostki wyrobu każdego rodzaju
oraz ich cenę podaje poniższa tabela:
Wyrób
Koszt bezpośredni
Cena
I
2
3
II
3,5
5
Ustalić takie rozmiary produkcji obu wyrobów, które uwzględniając warunki a) i b) zapewnią
minimalizację związanej z nią całości kosztów bezpośrednich.
Zad. 7 Zakład blacharski ma wyprodukować 90 kompletów detali. Na jeden komplet składają
się dwa detale typu A i dziesięć detali typu B. Detale są wycinane z arkuszy blachy o
standardowych wymiarach czterema sposobami. Liczbę detali i odpad surowca z jednego
arkusza blachy, przy zastosowaniu każdego ze sposobów cięcia podaje poniższa tabela:
Sposoby cięcia
I
II
III
IV
Detal A
4
3
1
0
Detal B
0
4
9
12
Odpad (w kg)
12
5
3
0
Ile razy i które sposoby cięcia należy zastosować, aby odpad blachy był minimalny?
Zad. 8 Kłody o długości 5,6 m są cięte na kawałki 1,2 m; 1,6 m; i 1,9 m. Tartak ma wykonać
dzienny plan produkcji, który zakłada oddania 200 kłód o długości 1,2 m, 300 kłód o długości
1,6 m oraz 100 kłód o długości 1,9 m. Jaki sposób należy pociąć kłody, aby z jednej strony
wykonać plan, z drugiej strony zaś uzyskać jak najmniej odpadu? Za odpad przyjmuje się
kawałki drewna krótsze niż 1,2 m. Zbudować model matematyczny tego zagadnienia.
Zad. 9 Oddział przedsiębiorstwa LOT posiada 8 samolotów transportowych typu I, 15 typu II
i 12 typu III. Maksymalna zdolność przewozowa poszczególnych typów samolotów wynosi
45, 7, 9 4 t. Wpłynęły zamówienia na realizację dostaw do miejscowości A i B.
Zapotrzebowanie miejscowości A wynosi 120 ton, a miejscowości B 130 tok. Koszty przelotu
podane są w poniższe tablicy:
Samolot
Miejscowość
Typ I
Typ II
Typ III
A
23
5
1,4
B
58
10
3,8
Nie wykorzystanego tonażu zleceniodawca nie opłaca. Każdy samolot może wykonać tylko
jeden rejs dziennie. Wyznaczyć plan przelotów minimalizujący ogólne koszty transportu
poniesione przez LOT.
Zad. 10 Tartak otrzymał zamówienie na dostarczenie 100 kompletów belek o jednakowych
przekrojach, z których każdy składa się z trzech belek o długościach odpowiednio równych
2,9 m; 2,1 m; 1,5 m. Tartak dysponuje kłodami o wymaganym przekroju, ale ich długość
wynosi 7,4 m. Zamówienie można zrealizować przez odpowiednie pocięcie wymienionych
kłód.
5
Należy zestawić w postaci tablicy wszystkie warianty cięcia kłód na belki długie, średnie i
krótkie. Przy których odpad ma długość mniejszą od 1,5 m.
Ile kłód i według których wariantów należy ciąć, aby zrealizować zamówienie przy jak
najmniejszym łącznym odpadzie? Zbudować model matematyczny zagadnienia.
Zad. 11 Zakład produkuje dwa wyroby, zużywając między innymi dwa podstawowe surowce,
których zasoby wynoszą: S1 - 140 jednostek, S2 - 300 jednostek. Do produkcji 1 sztuki
pierwszego wyrobu zużywa się 1 jednostkę surowca S1 i 5 jednostek surowca S2, do
produkcji wyrobu drugiego po dwie jednostki każdego surowca. Ze względu na różnice w
popycie produkcja pierwszego wyrobu nie może być mniejsza niż 1/3 produkcji wyrobu
drugiego. Zysk jednostkowy z tytułu produkcji wyrobu pierwszego wynosi 40 zł., a z
drugiego 30 zł. Wyznaczyć optymalny plan produkcji, wiedząc, że ze względu na krótki
termin przydatności i wysoką cenę surowiec S1 musi być zużyty w całości.
Zad. 12 Firma sprzedaje 3 typy komputerów osobistych montowanych z gotowych
elementów. Cena komputera A wynosi 600 zł., B - 1300 zł., C - 2000 zł. Zmontowanie
komputera A trwa 1 godzinę, B - 3 godziny, C - 4 godziny. W skład komputera A wchodzi 5
modułów elektronicznych, B - 7 modułów, C - 10 modułów. Ułożyć model optymalizacji
struktury produkcji komputerów na najbliższy miesiąc przyjmując jako kryterium
optymalności dochód ze sprzedaży komputerów oraz wiedząc, że ogólny czas montażu nie
może przekroczyć 300 godzin, w zapasie jest 900 modułów elektronicznych oraz 90
monitorów i 90 klawiatur komputerowych.
Zad. 13 Zbudować model minimalizacji powierzchni gospodarstwa rolnego zapewniającego
parytet dochodu na poziomie 75% w stosunku do działów pozarolniczych dla 4 - osobowej
rodziny, w której jest 1,8 osoby zdolnej do pracy, przyjmując dochód poza rolnictwem na
poziomie 2.550 tys. zł. Miesięcznie na osobę w rodzinie. Gospodarstwo specjalizować się
będzie w produkcji zbóż. Żyto może być obsiane na 45 % obszaru w gospodarstwie,
potrzebuje 60 robgodz/ ha w roku i zapewnia dochód 1.811 zł./ha.
Pszenica odpowiednio : 28, 72, 2.222
Jęczmień 24, 61, 2.055
Owies...........................31, 57, 1.688.
Powierzchnia upraw jarych nie powinna przekroczyć 23% powierzchni gospodarstwa. Zasoby
pracy w gospodarstwie wynoszą 2.100 roboczogodzin na rok na 1 osobę pełnozdolną do
pracy.
Zad. 14 Pan Ważny chce ulokować 10 ml zł w akcje interesuje go co najmniej 30 % stopa
zysku. W grę wchodzą 4 rodzaje akcji po 50, 80, 110 i 30 tys.zł przynoszące odpowiednio
przewidywaną dywidendę roczną w wysokości 14, 20, 45 i 11 tys. zł. Szacuje się, że ryzyko
otrzymania dywidend niższych od podanych w odniesieniu do akcji pierwszego, drugiego i
trzeciego rodzaju jest wyższe 4, 2, 5 razy od ryzyka dla akcji czwartego rodzaju.
Jaki plan zakupu akcji zapewniłby panu Ważnemu minimalny poziom łącznego
ryzyka, jeśli określa się go sumą iloczynów wielkości i liczby zakupionych akcji.
Zapisać otrzymane równanie w postaci standardowej i wyjaśnić sens wprowadzonych
zmiennych dodatkowych.
Zad. 15 Pan Ważny chce ulokować 30 tys. zł. w akcje, aby uzyskać z nich dochód co
najmniej 9,5 tys. zł. W grę wchodzą cztery rodzaje akcji po 30, 100, 50 i 120 zł przynoszące
odpowiednio przewidywaną dywidendę roczną w wysokości: 12, 30, 15 i 45 zł. Szacuje się,
że ryzyko otrzymania dywidend niższych od podanych w odniesieniu do akcji pierwszego,
drugiego, trzeciego i czwartego rodzaju jest wyższe 4, 2, 5 razy od ryzyka dla akcji trzeciego
rodzaju. Jaki plan zakupu akcji zapewniłby Panu Ważnemu minimalny poziom łącznego
ryzyka, jeśli określa się go sumą iloczynów wielkości ryzyka i liczby zakupionych akcji.
Zad. 16 Pewna firma zamierza rozpocząć kampanię reklamową swojego nowego produktu.
W tym celu chce zamówić emisję swoich trzydziestosekundowych reklam w trzech kanałach
6
TV. Wiadomo, że cena jednorazowej emisji reklamy w poszczególnych kanałach wynosi
odpowiednio w kanale I - 2000 zł, w II - 3000 zł, w III - 5000 zł. Budżet kampanii
reklamowej przewiduje, że wydatki na zakup czasu reklamowego w TV nie mogą
przekroczyć 300 tys. zł. Dodatkowo wiadomo, że w okresie kampanii reklamowej kanał II
dysponuje piętnastoma minutami czasu reklamowego. Kanał I przyjmuje zamówienia pod
warunkiem, że firma zakupi co najmniej tyle czasu reklamowego, ile w kanałach I i II łącznie.
Zbudować model maksymalizujący liczbę wyemitowanych reklam.
Zapisać otrzymane równanie w postaci standardowej i wyjaśnić sens wprowadzonych
zmiennych dodatkowych.
Zad. 17 Sprowadź do postaci klasycznej i standardowej:
-4x
1
+ 6x
2
+ x
3
+ x
4
max
x
1
+ x
2
- x
3
- 2x
4
14
3x
1
-5x
2
+2x
3
+ x
4
6
x
1
0, x
2
0, x
3
0
Zad. 18 Sprowadź do postaci klasycznej i standardowej:
a) -2x
1
+ 5x
2
+ x
3
+2 x
4
max
x
1
+ 2x
2
- x
3
- 2x
4
12
4x
1
-3x
2
+2x
3
+ x
4
8
x
1
0, x
2
0, x
3
3
b) 2x
1
– 5x
2
– x
3
– 2x
4
min
x
1
+ 2x
2
- x
3
- 2x
4
12
4x
1
-3x
2
+2x
3
+ x
4
8
x
1
0, x
2
0, x
3
0, x
4
0
METODA GRAFICZNA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ PL
Zad. 1 Metodą graficzną rozwiązać następujące zadanie PL.:
a) 18x
1
+ 15x
2
max
przy ograniczeniach:
8x
1
+ 4x
2
52
6x
1
+ 9x
2
69
x
1
, x
2
0
b) 2 x
1
+ 2 x
2
max
przy ograniczeniach:
x
1
+ 4/3 x
2
8
5/4 x
1
+ 1/2 x
2
5
x
1
0, x
2
0
c) -2 x
1
- 2 x
2
min (lub max)
przy ograniczeniach:
x
1
+ x
2
2
x
2
4
x
1
0, x
2
0
d) 3 x
2
max
przy ograniczeniach:
x
1
+ x
2
2
7
x
2
4
x
1
0, x
2
0
e) 2 x
1
+ 2 x
2
max (lub min)
przy ograniczeniach:
x
1
+ 4/3 x
2
0
5/4 x
1
+ 1/2 x
2
5
x
1
0, x
2
0
f) 3 x
1
+ 2 x
2
max
przy ograniczeniach:
3x
1
+ 2 x
2
11
-2 x
1
+ x
2
2
x
1
- x
2
0
x
1
0, x
2
0
g) x
2
max
p. o.
x
1
– x
2
2
x
1
+ x
2
1
x
2
4
x
1
0, x
2
0
Zad. 2 Korzystając z metody graficznej rozwiązywania zadań PL. Proszę ustalić, dla jakich
wartości parametru
zadanie
- x
1
+
x
2
min
przy ograniczeniach:
x
1
1
x
1
+ x
2
1/2
x
1
0, x
2
0
a) jest sprzeczne
b) ma dokładnie jedno rozwiązanie
c) ma nieskończenie wiele rozwiązań
d) nie istnieje skończone rozwiązanie optymalne
Odpowiedź proszę uzasadnić.
Zad 3. Korzystając z metody graficznej rozwiązywania zadań PL ustal, dla jakich wartości
parametru
zadanie:
max
x
x
2
1
przy ograniczeniach:
0
x
,
0
x
x
x
1
x
2
1
2
1
1
a) jest sprzeczne;
b) funkcja celu jest nieograniczona w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych;
c) ma jedno rozwiązanie optymalne;
d) ma więcej niż jedno rozwiązanie optymalne.
Odpowiedź uzasadnij.
8
METODA SYMPLEKS ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ PL
Zad. 1 Rozwiązać dane zadania PL za pomocą algorytmu simpleks:
a) 2 x
1
+ 2 x
2
max
przy ograniczeniach:
x
1
+ 4/3 x
2
8
5/4 x
1
+ 1/2 x
2
5
x
1
0, x
2
0
b) -2 x
1
- 2 x
2
max
przy ograniczeniach:
x
1
+ x
2
2
x
2
4
x
1
0, x
2
0
c) 3 x
2
min
przy ograniczeniach:
x
1
+ x
2
2
x
2
4
x
1
0, x
2
0
d) -2 x
1
- 2 x
2
min
(M.K.)
przy ograniczeniach:
x
1
+ 4/3 x
2
0
5/4 x
1
+ 1/2 x
2
5
x
1
0, x
2
0
e) -3 x
1
- 2 x
2
min
przy ograniczeniach:
3x
1
+ 2 x
2
11
-2 x
1
+ x
2
2
x
1
- x
2
0
x
1
0, x
2
0
f) –2x
1
+ x
2
max
p.o.
-2x
1
+ x
2
4
3x
1
– 8x
2
24
x
1
0, x
2
0
g) 2x
1
+ x
2
– 2x
3
min
(M.K.)
p.o.
x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 7
2x
1
+ 3x
2
+ x
3
= 12
x
1
0, x
2
0, x
3
0
Zad 2. Dysponując tablicą sympleksową pierwszego kroku (max):
9
10
0
0
0
0
C
B
X
B
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
b
0,2
0,04
0
0
0
48
3
-0,4
1
0
0
120
6
0
0
1
0
420
8
-0,4
0
0
1
420
z
j
-c
j
-6
0
960
1. Uzupełnij brakujące dane.
2. Wyznacz tablicę kroku następnego.
3. Wyznacz tablicę kroku zerowego.
4. Podaj postać klasyczną zadania.
ANALIZA POOPTYMALIZACYJNA
Warunek dopuszczalności
0
b
B
BRD
I
1
Warunek optymalności
cji
minimaliza
dotyczy
e
zagadnieni
gdy
,
0
z
c
acji
maksymaliz
dotyczy
e
zagadnieni
gdy
,
0
z
c
j
j
j
j
Wzory
)
m
,
,
2
,
1
i
(
0
r
ma
nie
gdy
)
m
,
,
2
,
1
i
(
0
r
gdy
,
r
b
min
PD
i
i
i
opt
i
)
m
,
,
2
,
1
i
(
0
r
ma
nie
gdy
)
m
,
,
2
,
1
i
(
0
r
gdy
,
r
b
min
PG
i
i
i
opt
i
PG
b
;
PD
b
b
PG
;
PD
b
BRD
I
i
BRD
I
i
i
i
Zad. 1 Dany jest następujący program liniowy: f(x) = 3x
1
+ 2x
2
max
przy warunkach x
1
- x
2
2
x
1
+ 2x
2
8
x
1
, x
2
0
po rozwiązaniu którego otrzymano poniższą tablicę sympleksową:
3
2
0
0
c
B
x
B
x
1
x
2
x
3
x
4
b
3
x
1
1
0
2/3 1/3
x
2
0
1
-1/3 1/3
cj-zj
1.
Sprawdź, czy tablica wyznaczałaby rozwiązanie optymalne gdyby współczynnik c
1
był
równy 2.
2.
Wyznacz zakres zmienności współczynnika c
3
, dla którego rozwiązanie optymalne nie
ulegnie zmianie.
3.
Wyznacz zakres zmienności współczynnika c
2
, dla którego rozwiązanie optymalne nie
ulegnie zmianie.
4.
Wyznacz zakres zmienności wyrazu wolnego b
1
, dla którego struktura bazowa rozwiązanie
nie ulegnie zmianie.
5.
Sprawdź, czy tablica zawierałaby rozwiązanie optymalne, gdyby współczynnik b
2
był
równy 4.
10
6.
Wyznacz zakres zmienności wyrazu wolnego b
2
, dla którego struktura bazowa rozwiązania
nie ulegnie zmianie.
7. Jakie rozwiązanie otrzymaliśmy i jakie otrzymamy, jeżeli zmienimy wyrazy wolne z 2 i 8
odpowiednio na 1 i 1.
8. Zinterpretować graficznie wyniki uzyskane w punktach 1, 3, 4 i 5.
Zad. 2 Dane jest zadanie PL.: - 10x
1
- 6 x
2
min
1. Uzupełnij brakujące elementy poniższej tablicy sympleksowej i znajdź wszystkie
rozwiązania optymalne metodą simpleks.
-10
c
B
x
B
x
1
x
2
x
3
x
4
b
1
1
x
4
5
-3
1
30
cj-zj
10
-150
2.W jakim zakresie mogą zmieniać się współczynniki funkcji przy x
1
i x
3
bez zmiany
optymalności tego rozwiązania?
3. Jakie wartości może przyjąć c
1
, aby nie zmieniły się otrzymane rozwiązania optymalne?
3.Wyznacz zakres zmienności wyrazu wolnego b
2
, dla którego struktura bazowa rozwiązania
nie ulegnie zmianie.
4.Jakie jest rozwiązanie optymalne zadania dualnego i jak może się zmieniać wartość
współczynnika funkcji celu stojącego przy zmiennej
1
d
y
w programie dualnym?
Zad. 3 Wykorzystując podaną niżej tablicę sympleksową należy ustalić stabilność podanego
w niej rozwiązania optymalnego ze względu na zmienności:
a) współczynnika c
2
;
b) współczynnika c
4
;
c) współczynnika b
2
;
4
2
5
8
0
0
0
c
B
x
B
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
b
x
4
1/24
11/24
1/8
-1/24
x
1
5/3
1/3
0
1/3
x
7
-241/24 13/24
-1/8
-47/24
cj-zj
-5
0
-1
-1
36000
jeśli dodatkowo wiadomo, że wektor z pierwszego bazowego rozwiązania dopuszczalnego
wynosi:
30000
12000
24000
BRD
I
b
.
Zad. 4. Rozwiązanie optymalne następującego ZPL:
0
x
0
x
600
x
x
2
350
x
x
125
x
:
iach
ograniczen
przy
max
x
3
x
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
znajduje się w podanej tablicy sympleksowej:
11
-2 -3 0 0 0 -M -M
c
B
x
B
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
b
x
1
1 0 0 1 1 0 -1 250
x
2
0 1 0 -2 -1 0
2 100
x
3
0 0 1 1 1 -1 -1 125
c
j
-z
j
Ustal:
1. przy jakich wartościach parametru c
1
, zadanie to ma więcej niż jedno rozwiązanie
optymalne?
2. przy jakich wartościach parametru c
3
, zadanie ma dokładnie jedno rozwiązanie
optymalne?
3. przy jakich wartościach parametru b
2
, baza rozwiązania optymalnego nie zmieni się?
Zad. 5 Dla następującego zadania PL:
0
x
,
0
x
6
x
x
4
x
x
.
w
.
p
max
x
x
2
2
1
2
1
2
1
2
1
otrzymano tablicę sympleksową zawierającą rozwiązanie optymalne:
c
b
x
b
x
1
x
2
x
3
x
4
b
x
3
0
2
1
1
1
1
0
1
c
j
-z
j
1. Uzupełnij brakujące dane.
2. Sprawdź, czy tablica wyznaczałaby rozwiązanie optymalne zadania, gdyby
współczynnik c
1
był równy 1.
3. Sprawdź, czy tablica wyznaczałaby rozwiązanie optymalne zadania, gdyby
współczynnik c
4
był równy 2.
4. Wyznacz zakres zmienności dla współczynnika c
2
.
5. Wyznacz zakres zmienności dla współczynnika c
3
.
6. Czy dla b
2
= 8 struktura bazowa rozwiązania ulegnie zmianie?
7. Wyznacz zakres zmienności wyrazu wolnego b
1
.
SYMETRYCZNE ZAGADNIENIE DUALNE
Zad. 1 Proszę podać symetryczne zadania dualne do postaci podanych niżej zadań PL. Podaj
zmienne sprzężone obu zadań dla tych przykładów.
a) 2x
1
+ 3x
2
+ x
3
min
p.o.
4x
1
– 6x
2
+ 5x
3
4
x
1
+ 2x
2
+ 4x
3
7
x
1
0, x
2
0, x
3
0
b) x
1
+ x
2
max
12
p.o.
2x
1
+ x
2
+ x
3
d
= 100
x
1
+ 2x
2
+ x
4
d
= 80
x
1
0, x
2
0, x
3
0, x
4
0
Zad. 2 Proszę podać symetryczne zadania dualne do postaci standardowej podanych niżej
zadań PL. Podaj zmienne sprzężone obu zadań dla tych przykładów.
Znajdź rozwiązania optymalne poniższych zadań przez zadania dualne.
-4x
1
+ 6x
2
+ x
3
+ x
4
max
x
1
+ x
2
- x
3
- 2x
4
14
3x
1
-5x
2
+2x
3
+ x
4
6
x
1
0, x
2
0, x
3
0, x
4
0
-2x
1
+ 5x
2
+ x
3
+2 x
4
max
x
1
+ 2x
2
- x
3
- 2x
4
12
4x
1
-3x
2
+2x
3
+ x
4
8
x
1
0, x
2
0, x
3
0, x
4
0
Zad. 3 Dany jest następujący program liniowy: 3x
1
+ 2x
2
max
przy warunkach:
x
1
- x
2
2
x
1
+ 2x
2
8
x
1
0, x
2
0
3
2
0
0
x
B
c
B
x
1
x
2
x
3
x
4
B
x
1
3
1
0
2/3
1/3
x
2
2
0
1
-1/3
1/3
c
j
-z
j
0
0
-4/3
-5/3
Jakie jest rozwiązanie optymalne zagadnienia dualnego?
Wypisz zmienne sprzężone obu zadań.
Zad. 4 Dana jest tablica simpleksowa zawierająca BRO zadania dualnego:
0
0
x
B
c
B
y
1
y
2
Y
3
y
4
B
y
1
1
0
1
2
100
y
2
0
1
-5
2
10
c
j
-z
j
0
0
2
3
Napisz postać bazową związanego z nim zadania prymalnego, jeżeli wiadomo, że zmiennymi
bazowymi w pierwszej tablicy simpleksowej były zmienne dodatkowe y
3
i y
4
.
Zad. 5
Na podstawie poniższego ZPL przedstaw zagadnienie dualne oraz wyznacz rozwiązanie
optymalne ZD:
2x
1
– x
2
+ 3x
3
min
p.o.
4x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
10
2x
1
+ 3x
3
6
x
1
0, x
2
0, x
3
0
13
Zad. 6 Dane jest zadanie PL:
max
x
x
2
2
1
4
,
3
,
2
,
1
i
,
0
x
1
x
x
x
3
x
1
x
x
x
3
x
i
4
3
2
1
4
3
2
1
a) zapisz to zadanie w postaci standardowej,
b) podaj symetryczne zadanie dualne do postaci standardowej tego zadania,
c) podaj zmienne sprzężone.
Zad. 7
1. Rozwiąż metodą sympleks zadanie PL:
0
x
0
x
2
x
2
x
12
x
4
4x
:
iach
ograniczen
przy
min
x
2
x
2
1
1
2
2
1
2
1
1. Wyznacz zmienne sprzężone.
2. Wyznacz rozwiązanie optymalne zadania dualnego.
WPROWADZENIE DO MODELOWANIA EKONOMETRYCZNEGO
Zad. 1 Dany jest model ekonometryczny:
,
1
0
X
Y
w którym
Y - oznacza produkcję cukru w Polsce (w tys. ton),
X – powierzchnię uprawy buraka cukrowego (w tys. ha).
Omów poszczególne składowe modelu.
Zad. 2. Dany jest model ekonometryczny:
t
t
t
t
Z
K
PKB
2
1
0
,
w którym
PKB
t
- produkt krajowy brutto w roku t,
K
t
– majątek produkcyjny w roku t,
Z
t
– zatrudnienie w gospodarce w roku t,
2
1
0
,
,
parametry,
t
czynnik losowy.
Sklasyfikuj ten model.
Zad. 3. Dany jest model ekonometryczny:
,
2
1
0
1
2
3
1
2
1
0
t
t
t
t
t
t
t
t
PKB
I
I
I
Z
PKB
w którym
PKB – produkt krajowy brutto,
I – inwestycje,
Z – zatrudnienie,
14
1
0
3
2
1
0
,
,
,
,
,
parametry modelu,
t
t
2
1
,
składniki losowe,
t – numer roku.
Wyznacz podzbiory:
A. – zmiennych endogenicznych (wyjaśnianych przez model),
B. – zmiennych egzogenicznych (nie wyjaśnianych przez model),
C. – zmiennych objaśnianych,
D. – zmiennych objaśniających,
E. – zmiennych opóźnionych,
F. – zmiennych nieopóźnionych,
G. – zmiennych łącznie współzależnych,
H. – zmiennych z góry ustalonych.
Zad. 4. W modelu postaci :
D
t
= a
11
P
t
+ a
12
Y
t
+ a
13
D
t-1
+ v
1
S
t
= a
21
P
t-1
– a
22
K
t
+ a
23
K
t-1
+ v
2
P
t
= a
31
S
t
– D
t
+ a
32
P
t-1
+ v
3
D
t
oznacza poziom popytu na dany produkt w momencie t, S
t
stanowi poziom podaży tego
dobra w momencie t, P
t
jest ceną na to dobro w momencie t, natomiast Y
t
oznacza przeciętny
dochód w momencie t przypadający na jednego konsumenta, zaś K
t
stanowi przeciętny koszt
produkcji rozpatrywanego dobra w momencie t.
1. Dokonaj klasyfikacji modelu według znanych Ci kryteriów.
2. Wyznacz następujące podzbiory zmiennych: egzogenicznych, nieopóźnionych, a także
łącznie współzależnych.
Zad. 5. Dany jest następujący model ekonometryczny:
I
t
=
13
P
t
+
11
I
t-1
+
1
+
1
,
Z
t
=
23
P
t
+
22
K
t
+
2
+
2
,
P
t
=
32
Z
t
+
31
I
t-1
+
3
+
3
,
gdzie:
I – nakłady inwestycyjne, Z – zatrudnienie, P – produkcja, K – wartość produkcyjnego
majątku trwałego.
1. Dokonaj klasyfikacji modelu według znanych Ci kryteriów.
2. Wyznacz następujące podzbiory zmiennych: endogenicznych, opóźnionych, a także z góry
ustalonych.
Zad. 6. Dany jest model ekonometryczny
D
t
= a
11
Z
t-1
+ a
12
M
t-1
+ v
1
Z
t
= a
21
Z
t-1
+ a
22
B
t-1
+ v
2
M
t
= a
31
M
t-1
+ a
32
M
t-2
+ v
3
D
t
– dochód narodowy, M
t
– majątek produkcyjny, Z
t
– zatrudnienie, B
t
– bezrobocie.
Dokonaj klasyfikacji modelu według znanych Ci kryteriów. Sklasyfikuj zmienne modelu.
Zad. 7. Dany jest następujący model ekonometryczny:
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
c
Z
c
K
c
P
c
c
Z
I
b
I
b
I
b
P
b
b
I
I
a
K
a
Z
a
a
P
3
4
1
3
2
1
0
2
3
4
2
3
1
2
1
1
0
1
3
3
2
1
0
gdzie: P
t
– produkcja, K
t
– majątek trwały, Z
t
– zatrudnienie, I
t
– nakłady inwestycyjne,
it
-
składniki losowe. Zakładamy, że parametry strukturalne modelu są różne od zera. Określ,
które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.
15
A. Zbiór zmiennych egzogenicznych opóźnionych jest zbiorem pustym.
B. Zbiór zmiennych endogenicznych tego modelu jest podzbiorem zbioru zmiennych z
góry ustalonych.
C. Zbiór zmiennych objaśnianych tego modelu jest podzbiorem zbioru zmiennych z góry
ustalonych.
D. Zbiór łącznie współzależnych zmiennych tego modelu jest podzbiorem zbioru
zmiennych objaśniających.
SZACOWANIE PARAMETRÓW MODELU EKONOMETRYCZNEGO Z JEDNĄ
ZMIENNĄ OBJAŚNIAJĄCĄ
Zad. 1. W dziesięciu gospodarstwach domowych zaobserwowano następujące miesięczne
wydatki na gazety (w zł) oraz na cele kulturalno-oświatowe (w zł):
Gazety
4
3
6
5
7
8
8
11
10
13
Kultura
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Przyjęto, że wydatki na gazety zależą liniowo od wielkości wydatków na cele kulturalno-
oświatowe.
1. Korzystając z klasycznej metody najmniejszych kwadratów, oszacuj parametry
modelu.
2. Jakiego miesięcznego wydatku na gazety można się spodziewać w gospodarstwie
domowym, w którym na cele kulturalno-oświatowe wydaje się miesięcznie 120 zł?
Zad. 2. Dany jest model:
t
t
x
y
6
,
0
150
ˆ
gdzie: y
t
– miesięczna wartość wydatków konsumpcyjnych w przeliczeniu na osobę w zł, x
t
–
miesięczne dochody w rodzinie w przeliczeniu na osobę w zł, t = 1, 2, ..., n. Jak zmienią się
oszacowania parametrów modelu, gdy:
a) zmienna objaśniająca będzie wyrażona w tys. zł, a zmienna objaśniana w zł;
b) zmienna objaśniająca będzie wyrażona w zł, a zmienna objaśniana w tys. zł;
c) zmienna objaśniająca i objaśniana będą wyrażone w zł?
Zad. 3. Przypuśćmy, że liczba punktów otrzymanych, jako wynik egzaminu (y
t
) zależy od
godzin nauki do tego egzaminu (x
t
). Badano grupę 20 studentów i otrzymano (zakresy
sumowania 1-20):
1600
y
t
,
400
x
t
,
1800
y
x
t
t
,
9000
x
2
t
.
a) obliczyć i zinterpretować
,
, y
x
oszacować i zinterpretować parametry modelu
Zad. 4. Oszacować parametry modelu
, t=1,2,...,10, jeżeli wiadomo, że
Zad. 5. Koszty całkowite w mln zł (Y) oraz produkcja w tys. szt. (X) w 6 zakładach
produkcyjnych kształtowały się następująco:
t
Y
t
X
t
1
2
2
2
5
4
16
3
4
3
4
4
2
5
7
6
6
2
1
Oszacować parametry strukturalne, wariancję odchyleń losowych, standardowe i względne
błędy szacunku parametrów strukturalnych liniowego modelu kosztów całkowitych
względem wielkości produkcji oraz wyznacz współczynnik determinacji.
Zad. 6. Wartość produkcji w mln zł (Y) oraz wartość zużycia materiałów w mln zł (X) w 7
zakładach produkcyjnych kształtowały się następująco:
t
Y
t
X
t
1
1
3
2
2
4
3
2
6
4
3
7
5
3
6
6
4
4
7
5
7
Oszacować parametry strukturalne, wariancję odchyleń losowych oraz standardowe i
względne błędy szacunku parametrów strukturalnych liniowego modelu opisującego
zależność wartości produkcji od wartości zużycia materiałów oraz wyznacz współczynnik
determinacji.
Zad. 7. Postawiono hipotezę, że wielkość kosztów handlowych przedsiębiorstw (tys. zł)
liniowo zależy od wielkości obrotów (mln zł, ceny stałe). Wartości tych zmiennych w latach
1991-2001 podaje tabela:
lata
zmienne
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Koszty
60
80
90
110 110 140 220 270 310 390 400
Obroty
11,0 11,1 11,2 11,3 11,5 11,7 12,0 12,2 12,4 12,6 12,7
Oszacuj parametry modelu na podstawie KMNK. Dokonaj interpretacji otrzymanych
wyników.
Zad. 8. Które z podanych niżej macierzy nie mogłyby być macierzą (X
T
X)
-1
dla modelu
t
t
t
x
y
1
1
0
:
a)
8
; b)
8
25
,
0
25
,
0
2
; c)
7
4
8
2
; d)
4
2
1
8
.
Zad. 9. Oszacować parametry strukturalne modelu złożonego z jednego równania o jednej
zmiennej objaśniającej. Zakładamy, że zmienną objaśnianą jest poziom wydatków
inwestycyjnych (w cenach stałych) na oświatę, naukę i kulturę, a zmienną objaśniającą jest
poziom dochodu narodowego (również w cenach stałych).
Dochód narodowy i inwestycje w latach 1988-95 w cenach z 1993 r. (w bln zł)
lata
zmienne
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Dochód narodowy
30
33
35
36
38
41
41
45
Inwestycje
2
3
3
4
5
5
5
6
17
Zad. 10. Na dużym uniwersytecie wybrano losowo z populacji siedmiu studentów wydziału
ekonomicznego i poproszono o wypełnienie ankiety. Dwa z zadanych pytań brzmiały
następująco: (1) Jaka była Twoja średnia ocen w poprzednim semestrze? (2) Ile godzin,
średnio w ciągu tygodnia, w poprzednim semestrze spędzałeś w „Pomarańczach i chmielu”?
(„Pomarańcze i chmiel” to jedyny pub na terenie miasteczka akademickiego). Na podstawie
niżej podanych danych, oszacuj metodą najmniejszych kwadratów równanie:
,
H
G
gdzie: G – średnia ocen, H – liczba godzin średnio tygodniowo spędzanych w „Pomarańczach
i chmielu”. Jakiego znaku spodziewasz się przy b? Czy dane potwierdzają Twoje
oczekiwania?
Student
Średnia ocen
G
Godziny średnio tygodniowo
spędzone w „Pomarańczach
i chmielu”
H
1
3,6
3
2
2,2
15
3
3,1
8
4
3,5
9
5
2,7
12
6
2,6
12
7
3,9
4
Zad. 11. Przedstawione w tablicy dane obrazują strukturę płac i doświadczenia zawodowego
ekonomistów zatrudnionych w University of Michigan w latach 1983-1984. Zmienne
zdefiniowano w następujący sposób:
y – płaca (w tys. USD), x – doświadczenie zawodowe (w latach od zdobycia stopnia doktora).
y
x
y
x
y
x
y
x
63,0 43 44,5 22 45,0 18 51,3 12
54,3 32 43,0 21 50,7 17 50,3 12
51,0 32 46,8 20 37,5 17 62,4 10
39,0 30 42,4 20 61,0 16 39,3 10
52,0 26 56,5 19 48,1 16 43,2 9
55,0 25 55,0 19 30,0 16 40,4 7
41,2 23 53,0 19 51,5 15 37,7 6
47,7 22 55,0 18 40,6 13 27,7 3
Oszacuj równanie regresji y względem x. Dokonaj interpretacji otrzymanych wyników.
WERYFIKACJA MERYTORYCZNA I STATYSTYCZNA MODELU
Zad. 1. Otrzymano następujące równanie ekonometryczne wydatków w cenach stałych na osobę
(WYD) względem dochodu realnego DOCH i wskaźnika cen CENA.
1,0
CENA
0,4
DOCH
0,3
WYD
Dokonaj weryfikacji merytorycznej modelu.
Zad. 2. Na podstawie informacji o 14 transakcjach sprzedaży mieszkań, oszacowano liniowy
model opisujący zależność ceny mieszkania (CENA, tys. USD) od jego powierzchni (POW,
m
2
), liczby sypialni (SYP) i liczby łazienek (WAN). Otrzymano oszacowanie:
18
WANt
31,01
SYPt
24,58
-
POWt
0,87
60,82
CENA t
1. dokonaj interpretacji ocen oszacowanych parametrów,
2. zbadaj zgodność znaków ocen parametrów,
3. sprawdź czy model jest koincydentny, jeżeli wiadomo, że R
0
=
0 75
0 01
0 55
,
,
,
Zad. 3. Oszacowano liniowy model ekonometryczny opisujący konsumpcję lodów w rodzinie
Kowalskich. Ilość konsumowanych tygodniowo lodów (KONS, l) objaśniono średnią ceną
lodów (CENA, zł.), tygodniowymi dochodami rodziny Kowalskich (DOCH, tys. zł.) oraz
średnią temperaturą tygodnia (TEMP, stop. Celsjusza). Obserwacje wartości wymienionych
zmiennych prowadzono przez 32 tygodnie, w okresie od 7 marca do 16 października 1994
roku. Uzyskano oszacowania:
TEMPt
0,25
DOCHt
1,39
CENAt
0,13
-
0,20
t
KONS
1. dokonaj interpretacji ocen oszacowanych parametrów,
2. zbadaj zgodność znaków ocen parametrów,
3. sprawdź czy model jest koicydentny, jeżeli wiadomo, że R
0
=
0 80
0 69
0 94
,
,
,
Zad. 4. Na podstawie danych statystycznych pochodzących z 15 województw oszacowano
parametry strukturalne oraz standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych modelu
liniowego opisującego zależność wartości sprzedaży w mln zł (Y) sieci handlowych od liczby
sklepów (X
1
) i zatrudnienia (X
2
).
2
1
0,647X
2,092X
0,0001
-
Y
(1,84) (0,2126) (0,124)
Zbadać istotność parametrów strukturalnych przy zmiennych objaśniających X
1
i X
2
na poziomie
istotności
Zad. 5. Na podstawie danych statystycznych pochodzących z 10 lat oszacowano parametry
strukturalne oraz standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych modelu liniowego
opisującego zależność rozmiarów produkcji Y od zatrudnienia X
1
oraz mocy maszyn X
2
.
2
1
6,44X
23,4X
54
Y
(6,5) (5,1) (2,9)
Na poziomie istotności
zbadać, czy zmienne objaśniające X
1
i X
2
mają istotny wpływ na
zmienną objaśnianą Y.
Zad. 6. Oszacowano model ekonometryczny popytu na sprzęt komputerowy w Gdańsku
2,0t
1,9X
0,86X
-
19,1
Y
2t
1t
t
(5,3) (0,4) (0,2) (0,8)
R
2
= 0,85, n = 12,
w którym:
Y
t
– kwartalna sprzedaż komputerów (w mln. zł),
X
1t
– przeciętna cena komputera (w tys. zł),
19
X
2t
– przeciętna miesięczna płaca (w tys. zł).
Podaj interpretację parametrów i oceń jakość oszacowania modelu.
Na poziomie istotności
zbadaj, czy zmienne objaśniające X
1
i X
2
mają istotny wpływ na
zmienną objaśnianą Y.
Zad. 7. Oszacowano model ekonometryczny:
y = 1,22 x
1t
– 0,55 x
2t
– 90,50 x
3t
R
2
= 0,67 n = 30
(0,5) (0,3) (53,5)
1.
Oceń dokładność dopasowania modelu do danych.
2.
Na poziomie istotności
=0,05 zbadaj, czy zmienne objaśniające mają istotny wpływ na
zmienną objaśnianą.
Zad. 8. Na podstawie 20 pomiarów oszacowano parametry strukturalne oraz wariancje ocen
parametrów strukturalnych:
y = 10 + 8 x
1t
+ 2 x
2t
D
2
(a
0
) = 9, D
2
(a
1
) = 4, D
2
(a
2
) = 16.
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezy o istotności parametrów strukturalnych
modelu.
Zad. 9. Na podstawie 30 – elementowej próby oszacowano parametry strukturalne oraz
standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych następującego modelu:
y = 100 + 21 X
1
+ 6 X
2
– 9 X
3
(10) (3) (10) (1)
Na poziomie istotności 0,01 zbadaj czy zmienne objaśniające X
1
i X
2
w powyższym modelu
mają istotny wpływ na zmienną objaśnianą.
Zad. 10. Na podstawie danych statystycznych pochodzących z 10 lat oszacowano parametry
strukturalne oraz standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych modelu liniowego
opisującego zależność rozmiarów produkcji Y od zatrudnienia X
1
oraz mocy maszynX
2
.
^
Y =
2
1
44
,
6
4
,
23
54
X
X
(6,5) (5,1) (0,83)
Na poziomie istotności
= 0,05 zbadaj, czy zmienne objaśniające X
1
i X
2
mają istotny wpływ
na zmienną objaśnianą Y.
Zad. 11. Standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych modelu liniowego przy
zmiennych X
1
i X
2
wynoszą odpowiednio:
S(
1
) = 0,5 i S (
2
) = 4
Wartości empirycznych statystyk t Studenta odpowiadających poszczególnym parametrom
strukturalnym są równe:
t
1
= 4,5; t
2
= 20
Oblicz wartość ocen parametrów strukturalnych.
Zad. 12. W celu zbadania zależności między wielkością produkcji Y a zatrudnieniem X
1
, mocą
zainstalowanych maszyn i urządzeń X
2
oraz zużyciem surowca X
3
w 16 zakładach produkcyjnych
oszacowano następujący model:
3
2
1
37
,
0
8
,
2
21
,
0
5
,
25
ˆ
X
X
X
y
20
Współczynnik determinacji wynosi 0,416. Na poziomie istotności
05
,
0
ocenić
dopasowanie modelu do danych empirycznych.
PREDYKCJA NA PODSTAWIE MODELI JEDNORÓWNANIOWYCH
Zad. 1. Na podstawie trzydziestu obserwacji dokonano estymacji KMNK parametrów
następującego modelu ekonometrycznego:
t
t
t
t
x
X
y
2
2
1
1
0
.
a) znajdź oszacowania parametrów strukturalnych modelu (
2
1
ˆ
,
ˆ
) wiedząc, że:
9
;
13
;
7
;
10
;
63
ˆ
;
51
ˆ
;
10
ˆ
24
,
2
24
,
1
20
,
2
20
,
1
24
20
0
X
X
X
X
Y
Y
.
b) wyznacz prognozę zmiennej Y na okres t = 31 wiedząc, iż
25
;
35
31
,
2
31
,
1
X
X
.
Zad. 2. Na podstawie informacji o wielkość produkcji y
t
, zatrudnieniu x
1t
i wartości majątku
trwałego x
2t
w pewnym zakładzie w latach 1997-2003 oszacowano następujący model
ekonometryczny:
t
t
x
x
y
2
1
65
,
2
83
,
10
19
,
1
ˆ
a) wyznaczyć prognozę wielkości produkcji na 2004 rok, wiedząc że na podstawie planu dla
2004 r. :
25
7
1
*
X
b) dokonać oceny dokładności ustalonej predykcji obliczając wariancję i błąd średni
predykcji
(ex ante) wiedząc, że ocena wariancji składnika losowego s
2
= 6,40, a macierz odwrotna
do
macierzy X
T
X jest następująca:
07
,
0
89
,
0
13
,
3
89
,
0
68
,
14
77
,
55
13
,
3
77
,
55
56
,
216
1
X)
(X
T
c) dokonać oceny dokładności ustalonej predykcji obliczając błąd prognozy (ex post) przy
założeniu, że zrealizowana wielkość produkcji rozpatrywanego wyrobu wyniosła 150,03
tys. sztuk
d) wyznaczyć prognozę przedziałową wielkości produkcji rozpatrywanego wyrobu dla lat
2004, 2005, 2006, tj. dla T = 8, 9, 10, wiedząc że:
dla 2004 r.
22
6
1
*
X
, dla 2005 r.
23
6
1
*
X
,dla 2006 r.
25
7
1
*
X
Zad. 3. Na podstawie następujących danych:
t
y
t
x
1t
x
2t
1
2
3
4
1
2
3
4
0
1
0
2
0
0
1
1
Oszacowano model postaci :
21
2
1
7
,
1
6
,
0
2
,
1
ˆ
x
x
y
Wariancja odchyleń losowych wynosi S
2
e
= 0,1. Macierz wariancji i kowariancji parametrów
strukturalnych ma postać:
11
,
0
02
,
0
04
,
0
02
,
0
04
,
0
02
,
0
04
,
0
02
,
0
06
,
0
)
(
2
a
D
Wyznaczyć prognozę punktową i przedziałową na okres T = 5 przy następujących
wartościach zmiennych objaśniających na okres prognozowany: 2, 1. Oszacować średni błąd
prognozy.
Zad. 4. Na podstawie danych z lat 1970-1986 oszacowano model:
2
1
10
18
200
ˆ
X
X
Y
;
wariancja resztowa wynosi
331
2
e
S
; ocena macierzy wariancji i kowariancji ocen
parametrów strukturalnych wynosi:
5
?
?
1
4
?
1
0
2
)
(
2
a
D
. Trendy zmiennych objaśniających są
następujące:
).
17
,
,
2
,
1
(
5
,
0
20
ˆ
);
17
,
,
2
,
1
(
2
,
0
6
ˆ
2
1
t
t
X
t
t
X
Wiedząc, że odchylenia losowe modelu mają
rozkład normalny oraz przyjmując wiarygodność prognozy
9
,
0
1
wyznaczyć prognozę
punktową i przedziałową zmiennej Y na rok 1989 wraz ze średnim błędem prognozy.
Zad. 5. Na podstawie danych z kolejnych kwartałów lat 1994-98 oszacowano parametry
strukturalne modelu opisującego średni koszt kwartalny energii cieplnej (Y) ceny realnej w zł
przypadający na 1 m
2
powierzchni mieszkalnej:
t
X
X
X
y
25
,
0
2
,
5
5
,
2
1
,
3
5
,
6
ˆ
3
2
1
;
gdzie zmienne objaśniające są zmiennymi zero-jedynkowymi postaci:
roku
o
każ
kwartalach
h
pozostalyc
w
roku
o
każ
kwartale
I
w
X
deg
0
deg
1
1
;
roku
o
każ
kwartalach
h
pozostalyc
w
roku
o
każ
kwartale
II
w
X
deg
0
deg
1
2
;
roku
o
każ
kwartalach
h
pozostalyc
w
roku
o
każ
kwartale
III
w
X
deg
0
deg
1
3
; natomiast t oznacza zmienną czasową,
przyjmującą wartości t=1 dla I kwartału 1994 r., t=2 dla II kwartału 1994 r., …, itd. Na
podstawie tego modelu obliczyć o ile zmienił się średni koszt energii cieplnej w II kw. ’96 r.
w porównaniu z II kw. ’95 r. Podać prognozę kosztów energii cieplnej przypadających na 1
m
2
powierzchni mieszkalnej dla kolejnych czterech kwartałów 2000 roku.
ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH
Zad. 1. Obroty (y
t
) firmy ALFA (w tys. zł) w ciągu kolejnych okresów (t) przedstawia poniższa
tabela. Sporządź wykres danego szeregu czasowego. Wyznacz trend w sposób mechaniczny
wykorzystując średnią ruchomą 3- i 6-okresową.
t 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
y
t
121 146 132 204 132 212 192 211 209 303 247 316
Zad. 2. Zużycie nawozów sztucznych w przeliczeniu na czysty składnik na 1 ha użytków rolnych (w
kg) w Polsce (y
t
) w latach 1992-1998 przedstawia poniższa tabela.
22
t 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
y
t
62
66
71
80
85
88
90
Wyznacz liniowy model trendu oraz oceń dopasowanie oszacowanego modelu do danych
rzeczywistych.
Zad. 3. Informacje dotyczące liczby samochodów zarejestrowanych na 1000 osób (stan w dniu 31
XII) w Polsce w latach 1990-1998 zawarto w tablicy:
Lata
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
Liczba samochodów na 1000 osób 138 159 169 176 185 195 208 221 230
Oszacuj i zinterpretuj parametry trendu liniowego oraz wyznacz prognozę na rok kolejny.
Zad. 4. W zakładzie usługowym zajmującym się naprawą sprzętu RTV notowano w ciągu kolejnych
pięciu tygodni liczbę zgłaszanych napraw w poszczególnych roboczych dniach tygodnia:
Tygodnie Poniedziałek Wtorek
Środa
Czwartek
Piątek
1
47
50
26
40
21
2
50
53
27
46
28
3
55
40
32
35
30
4
46
44
20
38
24
5
49
43
36
46
23
Przeprowadź analizę wahań sezonowych dla poszczególnych dni tygodnia.
Zad. 5. Kwartalna produkcja energii elektrycznej w TWh w Polsce w latach 1993-1995 kształtowała
się następująco:
Lata
Kwartał
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
1993 38,4 28,9 27,6 38,0
1994 37,9 30,4 28,7 38,2
1995 39,9 30,6 29,1 38,9
Przeprowadź analizę sezonowości produkcji energii elektrycznej w Polsce.
Zad. 6. Przeprowadź analizę sezonowości wielkości produkcji opakowań szklanych w pewnej hucie
szkła w latach 2005-2009:
Lata
Kwartał
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
2005 11,4 11,7 10,5 11,4
2006 11,8 12,0 10,7 11,8
2007 12,3 12,7 10,9 12,1
2008 12,8 13,3 11,2 12,9
2009 13,6 14,4 11,8 13,8
WZORY
I. Dobór zmiennych
Współczynnik zmienności
x
s
V
Indywidualna pojemność informacyjna
s
C
i
ij
j
sj
r
r
h
2
Integralna pojemność informacyjna
s
C
i
sj
s
h
H
23
II. Estymatory – metoda analityczna modelu (
t
t
t
x
y
)
x
y
ˆ
ˆ
T
y
y
T
t
t
1
T
y
x
T
t
t
1
T
t
t
T
t
t
t
T
t
t
T
t
t
t
T
t
T
t
t
t
T
t
t
T
t
t
T
t
t
t
x
x
y
y
x
x
x
T
x
y
x
T
y
x
x
x
T
y
x
y
x
T
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
)
(
)
)(
(
)
(
ˆ
Błędy średnie szacunku parametrów
i
T
t
t
T
t
t
e
T
t
t
T
t
t
e
x
x
T
x
s
x
T
x
T
x
s
D
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
)
(
)
(
)
ˆ
(
T
t
t
e
T
t
t
e
x
x
s
x
T
x
s
D
1
2
1
2
2
)
(
)
(
)
ˆ
(
Ocena wariancji składnika losowego:
T
t
T
t
t
t
t
e
e
T
y
y
T
s
1
1
2
2
2
2
1
ˆ
2
1
ˆ
t
t
t
y
y
e
reszta, błąd
Względne błędy szacunku parametrów
i
:
%
100
ˆ
)
ˆ
(
D
%
100
ˆ
)
ˆ
(
D
III. Współczynnik determinacji
T
t
t
T
t
t
T
t
t
T
t
t
T
t
t
T
t
t
y
y
e
y
y
y
y
y
y
y
y
R
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
)
(
1
)
(
)
ˆ
(
1
)
(
)
ˆ
(
SST
SSE
SST
SSR
R
1
2
Skorygowany współczynnik determinacji
)
1
(
)
1
(
2
2
2
R
k
T
k
R
R
Współczynnik zbieżności:
2
2
1 R
Statystyka, która jest sprawdzianem hipotezy o istotności współczynnika korelacji wielorakiej:
)
1
(
;
,
2
2
)
1
(
1
k
T
k
F
k
k
T
R
R
F
Statystyka, która jest sprawdzianem hipotezy o istotności pojedynczej zmiennej objaśniającej:
);
1
(
ˆ
ˆ
k
T
i
i
t
S
t
i
IV. Predykcja
Prognoza punktowa:
ˆ
*
*
T
x
y
Błąd średni predykcji (ex ante):
2
1
*
1
*
2
1
2
*
2
*
)
)
(
1
(
)
)
(
(
x
X
X
x
x
D
x
T
T
T
e
e
p
s
s
a
S
24
Względny średni błąd predykcji ex ante:
*
*
y
p
S
v
Błąd prognozy ex post:
*
y
y
Prognoza przedziałowa:
1
)
(
)
1
(
,
*
)
1
(
,
*
p
k
T
p
k
T
S
t
y
y
S
t
y
P
Średni absolutny błąd prognozy ex post zdefiniowany jest:
m
y
y
m
AAE
1
*
1
,
gdzie:
*
y
- oznacza prognozę punktową;
y
- rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej w okresie
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron