Egzamin 2

WSTĘP DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

2.07.2013

Imię i nazwisko:

W poniższym teście, jeśli podana odpowiedź jest poprawna (Państwa zdaniem), to zaznaczamy ją

następująco:

T , w przeciwnym wypadku: N . Za każdą poprawną odpowiedź otrzymujemy +1 punkt,

za każdą błędną odpowiedź −0.5 punktu, za brak odpowiedzi 0 punktów. Ostatnie trzy pytania

punktowane są inaczej (od 0 do 2 lub 4 punktów).

Punktacja: [15,18) punktów - ocena 3, [18,21) punktów - ocena 3.5, [21,25) punktów- ocena 4, [25,28)

punktów- ocena 4,5, [28,30] punktów - ocena 5. Powodzenia.

Równanie y

0

(x) + xy(x) = 2xy

2

(x) jest równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu;

Funkcje: 3 i exp(3t) są liniowo niezależne;

Równanie u

x

= u

y

jest równaniem różniczkowym cząstkowym;

Przypuśćmy, że równanie x

000

= f (x) posiada dla dowolnego warunku początkowego dokładnie jedno rozwiązanie

globalne. Wówczas rozwiązanie to jest funkcją co najmniej klasy C

3

;

Równanie x

00

+ x = 0 posiada nieskończenie wiele rozwiązań okresowych;

Zagadnienie x

0

= a(t)x + b(t), x(t

0

) = x

0

, dla a, b : R → R ciągłych, może nie posiadać rozwiązania globalnego;

Równanie x

0

= x posiada nieskończenie wiele rozwiązań;

Równanie x

0

= (2 − x)(x + 1) posiada dokładnie dwa rozwiązania stałe: x(t) = 2 i x(t) = −1;

Równanie x

0

=

√

t x

2

posiada dla dowolnego warunku początkowego x(t

0

) = x

0

, t

0

> 0, dokładnie jedno

rozwiązanie lokalne;

Równanie x

000

(t) = 0, t ∈ R, posiada dokładnie jedno rozwiązanie stałe;

Funkcja y(t) jest rozwiązaniem zagadnienia: y

00

= t − 5y, y(2) = 1. Wówczas y

00

(2) = −3;

Równanie (cos x − x sin x)ydx + (x cos x − 2y)dy = 0 jest zupełne;

Czynnik całkujący równania y

2

dx + (x

2

− 2xy)dy = 0 jest postaci

1

x

2

;

Wiemy, że bazą rozwiązań równania x

00

+ bx

0

+ cx = 0 są funkcje sin t oraz cos t. Wówczas rozwiązaniem zagad-

nienia x

00

+ bx

0

+ cx = 0, x(0) = 0, x(π/2) = 2 jest funkcja 2 sin t;

Funkcja u(x, y) =

x

x

2

+y

2

nie jest harmoniczna na R

2

− {(0, 0)};

Funkcja u(x, y) =

x

x

2

+y

2

spełnia równanie różniczkowe Laplace’a na R

2

− {(0, 0)};

Równanie u

xx

− u

xy

+

1
2

u

yy

+ 5u

y

− 5u

x

= 0 jest eliptyczne;

Rozwiązanie zagadnienia początkowego dla równania ciepła wyraża się wzorem d’Alamberta;

W przypadku dwuwymiarowym równanie falowe stanowi uproszczony model drgań membrany;

Równanie u

xx

+ u

yy

= f (x, y) jest równaniem Poissona;

1. (4 punkty) Rozważmy równanie x

000

+ k(t) − h(x) + x

0

− g(x

0

, x

00

) = 0, gdzie x : R → R. Zapisać równanie w

postaci układu trzech równań pierwszego rzędu. Wypisać szczegółowo wszystkie założenia, dla których problem
ma jednoznaczne rozwiązanie lokalne dla dowolnego warunku początkowego.

2. (4 punkty) Podaj definicję e

tA

dla dowolnej macierzy kwadratowej A. Niech A =



1

0

−1

1



. Wyznacz z definicji

element drugiego wiersza i pierwszej kolumny macierzy B(t) = e

tA

(to znaczy element b

21

(t)).

3. (2 punkty) Niech A będzie obszarem ograniczonym w R

3

. Załóżmy, że f ∈ C(A). Wykaż, że zagadnienie



u

xx

+ u

yy

+ u

zz

= f (x, y, z)

w A

u = 0

na ∂A

,

posiada co najwyżej jedno rozwiązanie u ∈ C

2

(A) ∩ C( ¯

A).