1

Liliana Janicka

ELEMENTY

ALGEBR

Y

ABSTRAK

CYJNEJ

(materiaªy do wykªadu w semestrze letnim 2007)

Instytut Matematyki i Informatyki

Politechnika Wrocªawska

Spis

tre±ci

1 Grupy

3

1.1 Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. . . . . . . . . . . 3

1.2 Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna. . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Homomorzmy i izomorzmy grup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Zadania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Pier±cienie i ciaªa

25

2.1 Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. . . . . . . . 25

2.2 Kongruencje w pier±cieniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Poj¦cie ciaªa. Podstawowe wªasno±ci i przykªady. . . . . . . . . . . 42

2.4 Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª. . 44

2.5 Zadania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2

Rozdziaª

1

Grup

y

1.1 Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przy-

kªady.

Teoria grup powstaªa na pocz¡tku wieku XIX, gdy matematycy, zm¦czeni wie-

lusetletnimi próbami znalezienia wzorów na pierwiastki równa« stopnia wy»szego

ni» czwarty, dali za wygran¡ i dopu±cili my±l, »e takie wzory po prostu nie istniej¡.

Nawet najbardziej ogólny szkic konstrukcji rozumowania potwierdzaj¡cego ostatni

wniosek wykracza daleko poza ramy naszego wykªadu, jednak w Rozdziale 2.4 uda

nam sie pokaza¢ ciekawe zastosowanie algebry abstrakcyjnej do rozwi¡zania pro-

blemów, z którymi nie mogªy sobie poradzi¢ ju» nie - stulecia, a - tysi¡clecia prac.

Twórcami podstaw teorii grup byli: Wªoch Runi (1765-1822), Norweg Niels Abel

(1802-1829) i Francuz Evaryst Galois (1811-1832).

Niech X b¦dzie zbiorem niepustym.

Dziaªaniem

(dwuargumentowym) w zbiorze

X nazywamy ka»de przyporz¡dkowanie uporz¡dkowanej parze (x;y) elementów

zbioru X jakiego± elementu tego zbioru, czyli dziaªaniem jest dowolna funkcja

f : X



X

!

X:

Przyj¦te jest zamiast f(x;y) pisa¢ x



y; x



y; x + y; itp.

Mówimy, »e dziaªanie



okre±lone w zbiorze X jest:



ª¡czne

, je»eli dla dowolnych x;y;z

2

X zachodzi równo±¢

(x



y)



z = x



(y



z)



przemienne

, je»eli dla dowolnych x;y

2

X zachodzi równo±¢

x



y = y



x.

3

4

1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.

Element e

2

X nazywamy

elementem neutralnym lewostronnym (prawo-

stronnym)

dziaªania



, je»eli dla ka»dego x

2

X zachodzi równo±¢ e



x = x

(x



e = x). Element speªniaj¡cy oba te warunki nazywamy

elementem neutral-

nym

. Je»eli w zbiorze X jest element neutralny dziaªania



, to element

e

x

2

X

nazywamy

elementem odwrotnym

lub

elementem przeciwnym

do elementu

x

2

X, je»eli

e

x



x = x



e

x = e. W dalszym ci¡gu element odwrotny do elementu

x oznacza¢ b¦dziemy symbolem x

1

(lub x.)



Fakt 1.1.1

Niech

X

b¦dzie zbiorem niepustym z okre±lonym w nim dziaªaniem

dwuargumentowym.

(a) Element neutralny dziaªania



jest wyznaczony jednoznacznie.

(b) Je»eli dziaªanie



jest ª¡czne i istnieje element odwrotny do elementu

x

2

X

,

to jest on wyznaczony jednoznacznie.

D o w ó d.

(a) Niech e

1

;e

2

2

X speªniaj¡ warunek z denicji elementu neutralnego. Wówczas

e

1

= e

1



e

2

= e

2

(b) Je»eli x



e

x

1

=

e

x

1



x = e oraz x



e

x

2

=

e

x

2



x = e, to

e

x

2

= e



e

x

2

= (

e

x

1



x)



e

x

2

=

e

x

1



(x



e

x

2

) =

e

x

1



e =

e

x

1

.

Niepusty zbiór X z okre±lonym w nim jednym lub kilkoma dziaªaniami okre±lamy

mianem

struktury algebraicznej

i oznaczamy

h

X;

i

,

h

X;



;

i

; itd.



Przykªad 1.1.1

Dodawanie jest dziaªaniem ª¡cznym i przemiennym w ka»dym ze zbiorów liczbo-

wych

I

N

,

Z

Z

,

C

Q

,

I

R

,

C

C

. W ka»dym z tych zbiorów jest element neutralny dodawa-

nia. Jest nim oczywi±cie liczba 0. W zbiorze

Z

Z

(a tak»e w

C

Q

,

I

R

oraz w

C

C

) ka»dy

element ma element odwrotny (nazywamy go raczej elementem przeciwnym), na-

tomiast elementy zbioru

I

N

nie posiadaj¡ elementów przeciwnych w

I

N

. Podobnie

ka»dy potra omówi¢ wªasno±ci mno»enia rozwa»anego w ka»dym z powy»szych

zbiorów liczbowych.



Przykªad 1.1.2

Niech X oznacza zbiór liczb rzeczywistych z przedziaªu [0;1). Wówczas wzór

x



y = x + y [x + y];

gdzie [x] oznacza cz¦±¢ caªkowit¡ liczby x, okre±la dziaªanie w X. Oczywi±cie jest

ono przemienne i ª¡czne. Elementem neutralnym jest liczba 0, a przeciwnym do

a

2

[0;1) - liczba (1 a)

2

[0;1).

1.1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.

5



Przykªad 1.1.3

Niech X b¦dzie dowolnym zbiorem niepustym i oznaczmy symbolem X

X

zbiór

wszystkich przeksztaªce« zbioru X na siebie. Skªadanie (superpozycja) przeksztaª-

ce« (oznaczane w dalszym ci¡gu symbolem



) jest dziaªaniem w X

X

. Dziaªanie to

jest ª¡czne, bo dla dowolnych funkcji f;g;h

2

X

X

oraz dowolnego x

2

X mamy

((f



g)



h)(x) = (f



g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((g



h)(x) = (f



(g



h))(x):

Dziaªanie to nie jest na ogóª przemienne. Elementem neutralnym jest oczywi±cie

przeksztaªcenie identyczno±ciowe (id

X

(x) = x dla dowolnego x

2

X.) Symbolem

S(X) b¦dziemy w dalszym ci¡gu oznacza¢ zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacz-

nych przeksztaªce« zbioru X na siebie. W tym zbiorze ka»dy element ma element

odwrotny. Jest nim oczywi±cie funkcja odwrotna do danej funkcji.
Dziaªanie w zbiorze sko«czonym wygodnie jest zdeniowa¢, podaj¡c tzw.

tabelk¦

dziaªania

.



Przykªad 1.1.4

Niech

Z

Z

n

=

f

0;1;2;:::;n 1

g

a dziaªanie +

n

okre±lmy jako branie reszty z dziele-

nia sumy x+y przez n. Oto tabliczki dziaªa« w strukturach

hZ

Z

5

;+

5

i

oraz

hZ

Z

6

;+

6

i

.

+

5

0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

+

6

0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

Nietrudno sprawdzi¢ bezpo±rednio, »e dziaªania +

n

s¡ ª¡czne i przemienne. Ele-

mentem neutralnym w ka»dym z tych zbiorów jest liczba 0, a elementem przeciw-

nym do liczby a

2

Z

Z

n

jest liczba (n a).



Cwiczenie 1.1.2

Sprawdzi¢, w którym ze zbiorów liczbowych (

I

N

;

Z

Z

;

C

Q

;

I

R

) nast¦puj¡ce wzory okre-

±la dziaªanie.

a) a



b = a + b + 1,

b) a



b = a + b + ab,

c) a



b =

a

+

b

2

W przypadku odpowiedzi pozytywnej sprawdzi¢ ª¡czno±¢, przemienno±¢, istnienie

i posta¢ elementu neutralnego i wyznaczy¢ element odwrotny.

R o z w i ¡ z a n i e.

(i) Šatwo sprawdzi¢, »e pierwsze z dziaªa« jest ª¡czne i przemienne. Rozwa»ane w

6

1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.

ka»dym ze zbiorów z wyj¡tkiem

I

N

ma element neutralny (jest nim liczba ( 1)),

a elementem odwrotnym (mówimy w tym przypadku raczej - przeciwnym) do ele-

mentu a jest element (a 2):

(ii) Sprawdzenie ª¡czno±ci i przemienno±ci drugiego dzaªania nie sprawia kªopotu.

Poszukajmy elementu neutralnego. Niech a b¦dzie dowolnym elementem którego-

kolwiek z rozwa»anych zbiorów. Szukamy e, dla którego zachodzi równo±¢ a



e = a

czyli a+e+ae = a: Poniewa» równo±¢ e(1+a) = 0 powinna zachodzi¢ dla ka»dego

a; wi¦c e = 0: Zastanówmy si¦ jeszcze, jaki jest element odwrotny do elementu a.

Powinna zachodzi¢ równo±¢ a



a

1

= 0 czyli a + a

1

+ aa

1

: Zatem a

1

=

a

1+

a

:

c) Przemienno±¢ jest oczywista. Poniewa»

a



(b



c) =

a

+

b

+

c

2

2

=

a

2

+

b

4

+

c

4

oraz (a



b)



c =

a

+

b

2

+

c

2

=

a

4

+

b

4

+

c

2

,

wi¦c dziaªanie nie jest ª¡czne, bo równo±¢

a

2

+

b

4

+

c

4

=

a

4

+

b

4

+

c

2

nie jest oczywi±cie prawdziwa dla wszystkich liczb a;b;c.

Poszukajmy elementu neutralnego e. Dla ustalonej liczby a musiaªaby zachodzi¢

równo±¢

a

+

e

2

= a; co daje e = a.

St¡d wynika, »e element neutralny nie istnieje, bo wy»ej wyznaczone e zale»y od

wyboru a. Nie ma wi¦c sensu szukanie elementu odwrotnego.



Denicja 1.1.3

Niepusty zbiór

G

, w którym okre±lone jest dziaªanie



nazywamy

grupa

,

, je»eli:

(G1)

dziaªanie



jest ª¡czne;

(G2)

w

G

istnieje element neutralny dziaªania



;

(G3)

dla ka»dego elementu

a

2

G

istnieje w

G

element odwrotny do

a

.

Grup¦, w której dziaªanie jest przemienne nazywamy

grup¡ przemienn¡

lub

abelow¡

. Je»eli grupa G ma n elementów, to liczb¦ n nazywamy

rz¦dem grupy

.

Je»eli G ma niesko«czenie wiele elementów, to nazywamy j¡

grup¡ niesko«czon¡

lub

grup¡ rz¦du niesko«czonego

. Piszemy:

j

G

j

= n i

j

G

j

=

1

, odpowiednio.

W dalszym ci¡gu, mówi¡c o dowolnej grupie, b¦dziemy jej dziaªanie oznacza¢ sym-

bolem



. W pozostaªych konkretnych przypadkach b¦dziemy u»ywa¢ standardo-

wych oznacze«: +;+

n

;

;

n

; itd. Symbolem



b¦dziemy zawsze oznacza¢ zªo»enie,

tzn. dziaªanie w grupie przeksztaªce« S(X). Wynik dziaªania w dowolnej grupie

b¦dziemy cz¦sto nazywa¢ iloczynem, a o samej "czynno±ci" - mówi¢ "mno»enie"

(np. "pomnó»my stronami...").

1.1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.

7



Fakt 1.1.4

Niech

h

G;

i

b¦dzie grup¡. Wówczas:

(a)

Element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie.

(b)

Dla dowolnego elementu grupy

G

istnieje dokªadnie jeden element do niego

odwrotny.

(c)

Dla dowolnego

a

2

G

elementem odwrotnym do

a

1

jest

a;

czyli

(a

1

)

1

= a:

(d)

Dla dowolnych

a;b

2

G

zachodzi równo±¢

(a



b)

1

= b

1



a

1

.

(e)

Dla dowolnych

a;x;y

2

G

,

je»eli

a



x = a



y

lub

x



b = y



b

, to

x=y

Mówimy, »e w ka»dej grupie zachodzi

lewo- i prawostronne prawo skre



sle



n

.

(f)

Dla dowolnych

a;b

2

G

istniej¡ jednoznacznie wyznaczone

x;y

2

G

takie, »e

a



x = b

oraz

y



a = b

.

Mówimy, »e w ka»dej grupie

istnieja

,

jednoznaczne rozwia

,

zania r



owna



n

a



x = b

oraz

y



a = b

.

D o w ó d.

(a) i (b) ju» udowodnili±my.

(c) i (d) wynikaj¡ z faktu, »e element odwrotny do danego elementu jest wyznaczo-

ny jednoznacznie. Zarówno a jak i b

1



a

1

speªniaj¡ warunek z denicji elementu

odwrotnego, bo:

(c) a



a

1

= a

1



a = e

(d) (a



b)



(b

1



a

1

) = a



(b



b

1

)



a

1

= a



e



a

1

) = e

(e) Wystarczy pomno»y¢ stronami równo±¢ a



x = a



y z lewej strony przez

element a

1

i skorzysta¢ z ª¡czno±ci mno»enia.

(f) Šatwo sprawdzi¢, »e x = a

1



b.

a



(a

1



b) = (a



a

1

)



b = e



b = b.



Denicja 1.1.5

Niech

h

G;

i

b¦dzie grup¡. Podzbiór

H

zbioru

G

, który sam tworzy

grup¦ z dziaªaniem



nazywamy

podgrupa

,

grupy

h

G;

i

.

Fakt, »e H jest podgrup¡ grupy G b¦dziemy zapisywali krótko: H < G.



Fakt 1.1.6

Podzbiór

X

zbioru

G

rozwa»any z dziaªaniem



jest podgrup¡ grupy

h

G;

i

wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych

a;b

2

X

element

a



b

1

nale»y do

zbioru

X

.

8

1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.

D o w ó d. (

)

) Je»eli podzbiór X zbioru G rozwa»any z dziaªaniem



jest podgrup¡

grupy

h

G;

i

, to z denicji grupy wynika, »e dla a;b

2

X zarówno b

1

jak i a



b

1

s¡ elementami zbioru X, bo pami¦tamy, »e element odwrotny do danego elementu

grupy jest wyznaczony jednoznacznie.

(

(

) Je»eli dla dowolnych a;b

2

X element a



b

1

nale»y do X, to w szczególno±ci

e = a



a

1

2

X, a co za tym idzie: a

1

= e



a

1

2

X i a



b = a



(b

1

)

1

2

X.



Przykªad 1.1.5

Oczywi±cie grup¡ przemienn¡ jest ka»dy ze zbiorów

Z

Z

,

C

Q

,

I

R

i

C

C

rozwa»any z

dodawaniem i zachodz¡ inkluzje

Z

Z

<

C

Q

<

I

R

<

C

C

.

Cz¦sto w odniesieniu do tych grup b¦dziemy u»ywa¢ terminu

addytywne grupy

liczbowe

. Zbiór

Z

Znf

0

g

rozwa»any z mno»eniem nie jest grup¡. Co prawda jest w

nim element neutralny mno»enia (liczba 1), ale odwrotno±¢ »adnej liczby caªkowitej

oprócz 1 nie jest liczb¡ caªkowit¡. Natomiast zbiory

C

Q

n

f

0

g

,

I

R

n

f

0

g

i

C

C

n

f

0

g

rozwa»ane z mno»eniem s¡ grupami. B¦dziemy je nazywa¢

multyplikatywnymi

grupami liczbowymi

.



Przykªad 1.1.6

Grup¡ jest struktura

hZ

Z

n

;+

n

i

zdeniowana w Przykªadzie 1.1.5. Jest to tzw.

addytywna grupa reszt modulo

n.



Przykªad 1.1.7

Zajmiemy si¦ teraz wa»n¡ klas¡ grup. Napiszmy najpierw tabliczki mno»enia mo-

dulo 6 i modulo 7 w zbiorach

f

1;2;3;4;5

g

oraz

f

1;2;3;4;5;6

g

.

6

1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5

2 2 4 0 3 4

3 3 0 3 0 3

4 4 2 0 4 2

5 5 4 3 2 1

7

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 1 3 5

3 3 6 2 5 1 4

4 4 1 5 2 6 3

5 5 3 1 6 4 2

6 6 5 4 3 2 1

Przede wszystkim od razu wida¢, »e mno»enie modulo 6 nie jest dziaªaniem w

zbiorze

f

1;2;3;4;5

g

, wi¦c si¦ tym dalej nie zajmujmy. Ogólnie - je»eli n jest

liczb¡ zªo»on¡, to dla pewnych 1

¬

k;l < n jest k

l = n = 0(mod n), wi¦c

mno»enie modulo n nie jest dziaªaniem w zbiorze

f

1;2;:::;n

g

. Natomiast zbiory

Z

Z



p

=

f

1;2;:::;p 1

g

dla p, które s¡ liczbami pierwszymi tworz¡ grup¦ z mno-

»eniem modulo p. Nietrudno sprawdzi¢ bezpo±rednio, »e mno»enie

p

jest ª¡czne i

przemienne. Elementem neutralnym w

Z

Z



p

jest liczba 1, a elementem odwrotnym

do liczby k

2

Z

Z



p

jest liczba l

2

Z

Z



p

taka, »e k

p

l = 1, czyli k

l = 1 (mod p).

Ostatni przykªad mo»na uogólni¢. Niech n b¦dzie dowoln¡ liczb¡ naturaln¡ i niech

Z

Z



n

oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od n, wzgl¦d-

nie pierwszych z n, czyli

1.1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.

9

Z

Z



n

=

f

k

2

I

N

: k > 0;NWD(k;n) = 1

g

.



Fakt 1.1.7

hZ

Z



n

;

n

i

jest grup¡ (przemienn¡).

D o w ó d. Wiemy ju», »e mno»enie modulo n jest dziaªaniem ª¡cznym i przemien-

nym w 1

2

Z

Z



n

. Poniewa» 1

2

Z

Z



n

, wi¦c w

hZ

Z



n

;

n

i

jest element neutralny.

Niech k b¦dzie ustalonym elementem 1

2

Z

Z



n

. Aby pokaza¢, »e k ma element

odwrotny w 1

2

Z

Z



n

, wystarczy zauwa»y¢, »e

1

2

Z

Z



n

=

f

k

n

l : l

2

Z

Z



n

g

.

Ale:

po pierwsze - zbiór

f

k

n

l : l

2

Z

Z



n

g

jest podzbiorem zbioru

Z

Z



n

, bo je»eli (k;n) = 1

i (l;n) = 1, to (k

l;n) = 1, a w konsekwencji (k

n

l;n) = 1,

po drugie - wszystkie elementy zbioru

f

k

n

l : l

2

Z

Z



n

g

s¡ parami ró»ne, bo z

równo±ci k

n

i = k

n

j wynika równo±¢ k

n

(i j) = 0; co oznacza, »e n

j

(i j)

(bo (k;n) = 1). To jednak nie jest mo»liwe, bo (i j) < n.

Zbiór

f

k

n

l : l

2

Z

Z



n

g

jest wi¦c podzbiorem zbioru

Z

Z



n

i oba maj¡ tyle samo

elementów. Zatem

2

Z

Z



n

=

f

k

n

l : l

2

Z

Z



n

g

.

Z powy»szej równo±ci wynika, »e w±ród elementów postaci k

n

l jest liczba 1, a to

oznacza, »e l = k

1

w

hZ

Z



n

;

n

i

.

Rz¡d tej grupy oznaczamy w dalszym ci¡gu (n) (tzw.

liczba Eulera

).



Przykªad 1.1.8

Niech b¦dzie dany na pªaszczy¹nie trójk¡t równoboczny

4

ABC. Rozwa»my zbiór

D

3

wszystkich przeksztaªce« pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych ten trójk¡t na sie-

bie z dziaªaniem skªadanie przeksztaªce«. S¡ to obroty 

0

;

1

;

2

(umówmy si¦,

»e w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara) o k¡ty 0;

2



3

;

4



3

oraz sy-

metrie 

A

;

B

;

C

wzgl¦dem symetralnych boków trójk¡ta przechodz¡cych przez

wierzchoªki A;B;C. Sprawdzaj¡c kolejno, na co przechodz¡ przy skªadaniu takich

przeksztaªce«, poszczególne wierzchoªki, piszemy tabelk¦ dziaªania w tej grupie.

Dla przykªadu:

(

2





A

)(A) = 

2

(

A

(A)) = 

2

(A) = C ,

(

2





A

)(B) = 

2

(

A

(B)) = 

2

(C) = B ,

(

2





A

)(C) = 

2

(

A

(C)) = 

2

(B) = A

I wida¢, »e 

2





A

= 

B

: Takie rachunki prowadz¡ do nast¦puj¡cej tabelki dzia-

ªania w grupie

h

D

3

;

i

.





0



1



2



A



B



C



0



0



1



2



A



B



C



1



1



2



0



B



C



A



2



2



0



1



C



A



B



A



A



C



B



0



2



1



B



B



A



C



1



0



2



C



C



B



A



2



1



0

10

1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.

Z powy»szej tabelki mo»na odczyta¢ podstawowe wªasno±ci tej grupy. Wida¢, »e

nie jest ona przemienna (tabelka nie jest symetryczna wzgl¦dem gªównej przek¡t-

nej!), elementem neutralnym jest 

0

, ka»de z przeksztaªce« 

A

, 

B

, 

C

jest swoj¡

odwrotno±ci¡ (

A





A

= 

0

, 

B





B

= 

0

, 

C





C

= 

0

).

Grupa D

3

jest przykªadem

grupy izometrii gur pªaskich

, tzn. przeksztaªce«

pªaszczyzny zachowuj¡cych odlegªo±¢ punktów, które przeprowadzaj¡ zadan¡ gu-

r¦ pªask¡ na siebie. Podobnie mo»na napisa¢ tabelk¦ dziaªania w grupie izometrii

n-k¡ta foremnego

h

D

n

;

i

.



Przykªad 1.1.9

W zyce i chemii du»e znaczenie maj¡ tzw.

grupy symetrii

. Pozwalaj¡ one w jed-

nolity sposób opisa¢ bardzo ró»ne struktury czy zjawiska zyczne lub chemiczne.

Na przykªad klasykacja poziomów energetycznych elektronu w krysztale wyzna-

czona jest przez symetri¦ pola wyst¦puj¡c¡ w tym krysztale i dlatego podstawow¡

spraw¡ jest wyliczenie wszystkich mo»liwych typów symetrii jakie mo»e posiada¢

dana cz¡stka czy krysztaª. Symetria ciaªa zycznego opisana jest przez podanie

wszystkich przeksztaªce« zachowuj¡cych odlegªo±ci mi¦dzy punktami. Fizycy na-

zywaj¡ je

przeksztaªceniami (transformacjami) symetrii

. Šatwo wida¢, »e zbiór

takich przeksztaªce« tworzy grup¦ ze skªadaniem przeksztaªce« jako dziaªaniem.

Jest to tzw.

grupa symetrii

. Mo»na udowodni¢, »e wszystkie transformacje prze-

strzeni zachowuj¡ce odlegªo±¢ mog¡ by¢ otrzymane jako zªo»enie przeksztaªce«

trzech nast¦puj¡cych typów:

1. obrót o okre±lony k¡t wokóª ustalonej osi,

2. odbicie zwierciadlane wzgl¦dem ustalonej pªaszczyzny,

3. przesuni¦cie równolegªe (translacja).



Przykªad 1.1.10

W Przykªadzie 1.1.4 rozwa»ali±my grup¦ wzajemnie jednoznacznych przeksztaªce«

dowolnego zbioru X na siebie. Wspomniane w poprzednim przykªadzie, stosowa-

ne w zyce czy w chemii, grupy symetrii s¡ podgrupami tzw.

grup permutacji

(oznaczane S

n

), czyli grup wzjemnie jednoznacznych przeksztaªce« zbiorów sko«-

czonych na siebie. Permutacj¦ zbioru n-elementowego

f

1;2;:::;n

g

zapisujemy na

ogóª w postaci

 =



1

2 ::: n

(1) (2) ::: (n)



Zªo»enie permutacji



1

=



1

2

::: n



1

(1) 

1

(2) ::: 

1

(n)



; 

2

=



1

2

::: n



2

(1) 

2

(2) ::: 

2

(n)



wygl¡da nast¦puj¡co

1.1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.

11



2





1

=



1

2

:::

n



2

(

1

(1)) 

2

(

1

(2)) ::: 

2

(

1

(n))



Mówimy, »e elementy (i) i (j) s¡ w

inwersji

, je»eli przy i<j jest (i) > (j).

Permutacj¦ posiadaj¡c¡ parzyst¡ liczb¦ inwersji nazywamy

permutacj¡ parzy-

st¡

, a permutacj¦ posiadaj¡c¡ nieparzyst¡ liczb¦ inwersji -

permutacj¡ niepa-

rzyst¡

. Permutacje parzyste tworz¡ podgrup¦ grupy wszystkich permutacji S

n

.

Jest to tzw.

grupa alternuj¡ca

A

n

.

Napiszmy tabelk¦ dziaªania w grupie S

3

. Oznaczaj¡c



0

=



1 2 3

1 2 3





1

=



1 2 3

2 3 1





2

=



1 2 3

3 1 2





3

=



1 2 3

1 3 2





4

=



1 2 3

3 2 1





5

=



1 2 3

2 1 3



otrzymujemy





0



1



2



3



4



5



0



0



1



2



3



4



5



1



1



2



0



4



5



3



2



2



0



1



5



3



4



3



3



5



4



0



2



1



4



4



3



5



1



0



2



5



5



4



3



2



1



0

Permutacje 

0

;

1

;

2

;

3

;

4

;

5

maj¡ kolejno 0;2;2;1;3;1 inwersji, a podgrup¦

alternuj¡c¡ tworz¡ permutacje 

0

;

1

;

2

:



Przykªad 1.1.11

Zbiór macierzy wymiaru m



n tworzy grup¦ z dziaªaniem dodawania macierzy.



Przykªad 1.1.12

Zbiór GL

n

macierzy kwadratowych odwracalnych stopnia n tworzy grup¦ z dzia-

ªaniem mno»enia macierzy. Z twierdzenia Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu ma-

cierzy wynika, »e podzbiór zªo»ony z macierzy o wyznaczniku 1 jest podgrup¡ tej

grupy.

12

1. Poj¦cie grupy. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.



Cwiczenie 1.1.8

Niech G b¦dzie dowoln¡ grup¡. Udowodni¢, »e zbiór tych wszystkich elementów

grupy G, które s¡ przemienne z ka»dym innym elementem grupy tworzy podgrup¦.

Jest to tzw.

centrum grupy

.

R o z w i ¡ z a n i e.

Niech C =

n

a

2

G :

V

g

2

G

a



g = g



a

o

. Rozwa»my dwa dowolne elementy

a;b

2

C. Zgodnie z Faktem 1.1.6 wystarczy pokaza¢, »e a



b

1

2

C. Poniewa»

a;b

2

C, wi¦c

V

g

2

G

a



g = g



a oraz

V

g

2

G

b



g = g



b.

Z ostatniej równo±ci wynika, »e dla dowolnego g

2

G

b

1



g = g

1



b

1

= b



g

1

1

= b

1



g,

wi¦c dla dowolnego g

2

G mo»emy napisa¢

(a



b

1

)



g = a



(b

1



g) = a



(g



b

1

) = (a



g)



b

1

= (g



a)



b

1

= g



(a



b

1

,

co oznacza, »e a



b

1

2

C.



Cwiczenie 1.1.9

Niech G b¦dzie dowoln¡ grup¡, a H jej dowoln¡ podgrup¡. Udowodni¢, »e zbiór

A =

n

a

2

G :

V

g

2

G

g



a



g

1

2

H

o

tworzy podgrup¦.

R o z w i ¡ z a n i e.

Rozwa»my dwa dowolne elementy

a;b

2

A. Zgodnie z Faktem 1.1.6 wystarczy pokaza¢, »e a



b

1

2

A. Poniewa»

a;b

2

A, wi¦c

V

g

2

G

g



a



g

1

2

H oraz

V

g

2

G

g



b



g

1

2

H.

Z ostatniej równo±ci wynika, »e dla dowolnego g

2

G

g



b

1



g

1

= g



b



g

1

1

2

H (bo H jest podgrup¡).

St¡d dla dowolnego g

2

G mo»emy napisa¢

g



(a



b

1

)



g

1

= g



(a



g

1



g



b

1

)



g

1

= (g



a



g

1

)



(g



b

1



g

1

).

To oznacza, »e a



b

1

2

A.

1.2. Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna.

13

1.2 Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna.



Denicja 1.2.1

Niech

X

b¦dzie dowolnym podzbiorem zbioru

G

.

Podgrupa

,

ge-

nerowana

,

przez zbi



or

X

nazywamy najmniejsz¡ podgrup¦ grupy

h

G;

i

zawie-

raj¡c¡ zbiór

X

. Oznaczamy j¡ symbolem

h

X

i

. Podgrup¦

H

generowan¡ przez zbiór

jednoelementowy

X =

f

a

g

nazywamy

podgrupa

,

cykliczna

,

, a element

a

-

genera-

torem

tej podgrupy. Piszemy

H =

h

a

i

. Je»eli caªa grupa

G

jest generowana przez

jeden element, to nazywamy j¡

grupa

,

cykliczna

,

.

Šatwo sprawdzi¢, »e przekrój (cz¦±¢ wspólna) dowolnej ilo±ci podgrup grupy

h

G;

i

jest grup¡.



Fakt 1.2.2

Je»eli

G

i

: i

2

I

jest zbiorem wszystkich podgrup grupy

G

zawieraj¡-

cych zbiór

X

, to

h

X

i

=

T

i

2

I

G

i

.

D o w ó d. Zbiór wszystkich podgrup grupy G zawieraj¡cych zbiór X ten jest

niepusty), bo jednym z jego elementów jest sama grupa G.

h

X

i

jako podgrupa

zawieraj¡ca zbiór X jest jednym z elementów zbioru G

i

: i

2

I, wi¦c

T

i

2

I

G

i



h

X

i

.

Poniewa»

T

i

2

I

G

i

jest grup¡ zawieraj¡c¡ zbiór X (zawiera go ka»da z G

i

;i

2

I), a

h

X

i

jest najmniejsz¡ podgrup¡ grupy

h

G;

i

zawieraj¡c¡ X, wi¦c

h

X

i



T

i

2

I

G

i

:

Dzi¦ki ª¡czno±ci dziaªania w dowolnej grupie mo»emy okre±li¢

pot¦g¦

elementu

a

2

G o wykªadniku caªkowitym w sposób nast¦puj¡cy:

(i) a

0

= e,

(ii) dla ka»dego n

2

I

N

:

a

n

+1

= a

n



a; a

n

= (a

n

)

1

:

Ma ona wszystkie znane nam wªasno±ci pot¦gi.



Denicja 1.2.3

Rze

,

dem elementu

a

2

G

nazywamy najmniejsz¡ liczb¦ natural-

n¡

n

, dla której

a

n

= e:

Je»eli takie

n

nie istnieje, to mówimy, »e

a

jest elementem

rz¦du niesko«czonego.



Fakt 1.2.4

Rz¡d elementu równy jest rz¦dowi podgrupy cyklicznej generowanej

przez ten element.

D o w ó d. Je»eli rz(a) = n, to zbiór A =

f

a;a

2

;a

3

;:::;a

n

= e

g

tworzy podgrup¦.

Zauwa»my przede wszystkim, »e wszystkie elementy tego zbioru s¡ równe. Gdyby

bowiem dla pewnych 1

¬

i < j

¬

n zachodziªa równo±¢ a

i

= a

j

; to a

j i

= e

dla 0 < j i < n, co przeczy denicji rz¦du elementu jako najmniejszej liczby

naturalnej o tej wªasno±ci. Šatwo sprawdzi¢, »e (a

k

)

1

= a

n k

; wi¦c dla dowolnych

a

i

;a

j

2

A mamy a

i



a

n j

= a

i

+

n j

: Je»eli i + n j

¬

n; to a

i

+

n j

2

A: Je»eli

za± i + n j > n; to zapiszmy i + n j w postaci i + n j = 2n + (i j n):

14

1. Zbiór generatorów grupy. Grupa cykliczna.

Poniewa» a

i

+

n j

= a

2

n

+(

i j n

)

= a

n

)

2



a

i j n

oraz 0 < i j n < n, wi¦c i

tym razem a

i

+

n j

2

A:.

Oczywi±cie w grupie rz¦du sko«czonego nie ma elementów rz¦du niesko«czonego.

Je»eli a jest elementem rz¦du niesko«czonego, to

f

a

g

generuje podgrup¦ cyklicz-

n¡ rz¦du niesko«czonego. Podgrup¦ cykliczn¡ generowan¡ przez element a

2

G

mo»emy wi¦c krótko przedstawi¢ w postaci

h

a

i

=

f

a

n

: n

2

Z

Z g

gdy jest ona

niesko«czona.



Fakt 1.2.5

Niech

h

G;

i

b¦dzie grup¡. Je»eli

a

2

G

jest elementem rz¦du

k

, to dla

dowolnej liczby caªkowitej

m

równo±¢

a

m

= e

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

k

jest dzielnikiem

m

.

D o w ó d.

a) Je»eli n = k

m, to a

n

= a

k

m

= e

m

= e.

Z drugiej strony, je»eli zapiszmy n w postaci n = kq+r; gdzie 0

¬

r < n. Wówczas

a

n

= a

kq

+

r

= a

k

q

a

r

= a

r

= e wtedy i tylko wtedy, gdy r = 0,

bo k jest najmniejsz¡ liczb¡ naturaln¡, dla której zachodzi warunek a

k

= e.

Podobnie dowodzi si¦ nast¦puj¡cego faktu.



Fakt 1.2.6

Niech

h

G;

i

b¦dzie grup¡ cykliczn¡ rz¦du

n

. Wówczas rz

a

k

= m;

gdzie

m=

n

NWD

(

k;n

)

.

W szczególno±ci

h

a

i

=

h

a

k

i

wtedy i tylko wtedy, gdy NWD

(k;n)=1

.



Fakt 1.2.7

Dowolna podgrupa

H

grupy cyklicznej

G =

h

a

i

jest te» grup¡ cyklicz-

n¡. Podgrupa

H

skªada si¦ z samego elementu neutralnego (

H=

f

e

g

) lub

H =

h

a

m

i

,

gdzie

m

jest najmniejsz¡ liczb¡ naturaln¡ tak¡, »e

a

m

2

H

. Je»eli rz

G = n

, to dla

ka»dej liczby naturalnej

k

dziel¡cej

n

istnieje dokªadnie jedna podgrupa rz¦du

k

.



Przykªad 1.2.1

Zbiór obrotów stanowi podgrup¦ cykliczn¡ grupy D

3

: Jej generatorem jest ka»de

z przeksztaªce« 

1

i 

2

. Natomiast caªa grupa D

3

ma dwuelementowy zbiór ge-

neratorów. Šatwo bowiem sprawdzi¢, »e ka»dy jej element mo»na otrzyma¢ jako

zªo»enie jednego z obrotów 

1

i 

2

i dowolnie ustalonej symetrii.



Przykªad 1.2.2

Grupa

C

C

n

pierwiastków stopnia n z jedno±ci jest grup¡ cykliczn¡ generowan¡ przez

element e

i

n

. Jej generatorem jest te» ka»dy element e

i

k

n

, gdzie k jest liczb¡

wzgl¦dnie pierwsz¡ z n. Je»eli n nie jest liczb¡ pierwsz¡, to ka»dy jej dzielnik

generuje podgrup¦ grupy

C

C

n

.



Przykªad 1.2.3

Zbiór G =

1

S

n

=1

C

C

n

rozwa»any z mno»eniem jest grup¡ rz¦du niesko«czonego, w

której ka»dy element ma rz¡d sko«czony. Ponadto dla ka»dej liczby naturalnej n

istnieje w G element rz¦du n.

1.3. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa.

15

1.3 Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa.



Denicja 1.3.1

Niech

H

b¦dzie dowoln¡ podgrup¡ grupy

G

, a

g

- dowolnie usta-

lonym elementem

G

.

Wartwa

,

lewostronna

,

(

prawostronna

,

) grupy

G

wzgl¦dem

podgrupy

H

nazywamy zbiór

gH =

f

g



h : h

2

H

g



Hg =

f

h



g : h

2

H

g



Oczywi±cie w grupie przemiennej te dwa poj¦cia pokrywaj¡ si¦. Wszystko, co po-

wiemmy o warstwach lewostronnych jest prawdziwe dla warstw prawostronnych,

wi¦c skupimy si¦ na tych pierwszych.



Fakt 1.3.2

Niech

H

b¦dzie dowoln¡ podgrup¡ grupy

G

. Wówczas:

(a)

Dla dowolnego

h

0

2

H

zachodzi równo±¢

h

0

H = H

,

(b)

Dla dowolnych

a;b

2

G

:

j

aH

j

=

j

bH

j

,

(c)

Dla dowolnych

a;b

2

G

:

aH

\

bH =

;

lub

aH = bH

.

D o w ó d.

a) h

0

H



H, bo H jest grup¡ z dziaªaniem



. H



h

0

H, bo h = h

0



(h

1

0



h) dla

dowolnego h

2

H.

b) Równoliczno±¢ warstw ustala odwzorowanie  : aH

!

bH zdeniowane wzorem

(ah) = bh.

c) Zaªó»my, »e aH

\

bH

6

=

;

i niech x = a



h

1

= b



h

2

2

aH

\

bH. Wówczas

a = (b



h

2

)



h

1

1

i dla dowolnego h

2

H mo»emy napisa¢

a



h = (b



h

2

)



h

1

1



h = b



h

3

,

gdzie h

3

= h

2



h

1

1



h

2

H. To oznacza, »e ka»dy element warstwy aH jest

jednocze±nie elementem warstwy bH.
Dowolna podgrupa H wyznacza wi¦c podziaª grupy na rozª¡czne warstwy, przy

czym G =

S

a

2

G

aH, bo ka»dy element do jakiej± warstwy nale»y (a

2

aH).



Denicja 1.3.3

Liczb¦ warstw, na jakie podgrupa

H

dzieli grup¦

G

nazywamy

indeksem podgrupy

H w grupie G i oznaczamy

j

G : H

j

.



Twierdzenie 1.3.1 (Lagrange)

Je»eli

G

jest grup¡ sko«czon¡, to rz¡d jej dowolnej podgrupy

H

jest dzielnikiem

rz¦du grupy. Dokªadnie:

j

G

j

=

j

G : H

j

j

H

j

.

D o w ó d. Jest to natychmiastowy wniosek z ostatniego Faktu.



Wniosek 1.3.1

Rz¡d dowolnego elementu grupy sko«czonej jest dzielnikiem rz¦du

tej grupy.

D o w ó d. Poniewa» rz¡d elementu równa si¦ rz¦dowi podgrupy generowanej przez

ten element, wi¦c jest to natychmiastowy wniosek z Twierdzenia Lagrange'a.

16

1. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa.



Wniosek 1.3.2

Je»eli rz¡d grupy sko«czonej

G

jest liczb¡ pierwsz¡, to

G

jest

grup¡ cykliczn¡.



Wniosek 1.3.3

Je»eli

G

jest grup¡ sko«czon¡ rz¦du

n

, to dla dowolnego elementu

g

2

G

zachodzi równo±¢

g

n

= e

.

D o w ó d. Je»eli k jest rz¦dem elementu g, to k

m = n dla pewnego m, wi¦c

g

n

= (g

k

)

m

= e

m

= e.

Wró¢my do podziaªu grupy G na warstwy wzgl¦dem dowolnej podgrupy H. Je»eli

podgrupa H ma pewne specjalne wªasno±ci, to w zbiorze tych warstw (mówimy -

w zbiorze ilorazowym G

j

H) mo»emy wprowadzi¢ struktur¦ grupy.



Denicja 1.3.4

Podgrupa

H

grupy

G

nazywa si¦ jej

dzielnikiem normalnym

,

je»eli dla dowolnego

g

2

G

zachodzi równo±¢

gH = Hg

.

Powinni±my zdawa¢ sobie spraw¦ z tego, »e równo±¢ w powy»szej denicji oznacza

tylko równo±¢ pewnych zbiorów, dokªadniej - w denicji powiedzane jest tylko, »e

dla dowolnego h

1

2

H istnieje h

2

2

H takie, »e g



h

1

= h

2



g. Oczywi±cie ka»da

podgrupa grupy przemiennej jest jej dzielnikiem normalnym.



Fakt 1.3.5

Je»eli podgrupa

H

jest dzielnikiem normalnym grupy

G

, to zbiór ilo-

razowy

G

j

H

tworzy grup¦ z dziaªaniem



okre±lonym wzorem

aH



bH = (a



b)H

D o w ó d. Przede wszystkim musimy wykaza¢, »e dziaªanie



jest okre±lone po-

prawnie. Przecie» jedna i ta sama warstwa mo»e by¢ uwa»ana za wyznaczon¡

przez ka»dy swój element! Trzeba zatem pokaza¢, »e je»eli a

0

2

aH oraz b

0

2

bH,

to (a

0



b

0

)H = (a



b)H.

Niech a

0

2

aH oraz b

0

2

bH, czyli a

0

= a



x oraz b

0

= y



b dla pewnych x;y

2

H

(pami¦tajmy, »e H jest dzielnikiem normalnym!). St¡d

a

0



b

0

= (a



x)



(y



b = a



(x



y)



b = a



z



b = a



b



z

0

dla pewnych z;z

0

2

H. Zatem a

0



b

0

2

(a



b)H, sk¡d (a

0



b

0

)H = (a



b)H.

Š¡czno±¢ dziaªania w G

j

H wynika natychmiast z ª¡czno±ci dziaªania w G

(aH



bH)



cH = (a



b)H



cH = ((a



b)



c)H = (a



(b



c))H

= aH



(b



c)H = aH



(bH



cH)

Elementem neutralnymw G

j

H jest warstwa eH =H i ªatwo sprawdzi¢, »e (aH)

1

=

a

1

H.

Grup¦

h

G

j

H;

i

nazywamy

grup¡ ilorazow¡

.

Komentarz.

Zauwa»my, »e podziaª grupy G na warstwy wzgl¦dem podgrupy H

jest rozbiciem zbioru G wzgl¦dem relacji równowa»no±ci

1.3. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa.

17

a



b mod H

(

)

a



b

1

2

H

(

)

a

1



b

2

H

O elementach a;b mówimy wówczas, »e

przystaj¡ wzgl¦dem moduªu

H. Je»eli

podgrupa H jest dzielnikiem normalnym, to post¦puj¡c, jak w dowodzie Faktu1.1

mo»na wykaza¢, »e

a



b mod H

^

c



d mod H

(

)

a



b



c



d.

Relacj¦ równowa»no±ci w grupie, speªniaj¡c¡ powy»szy warunek, nazywamy

kon-

gruencj¡

.



Cwiczenie 1.3.6

Wyznaczy¢ wszystkie wartstwy grupy G=

hZ

Z

;+

i

wzgl¦dem podgrupy H =5

Z

Z

=

f

5k : k

2

Z

Zg

.

R o z w i ¡ z a n i e.

Poniewa» G =

hZ

Z

;+

i

jest grup¡ przemienn¡, wi¦c ka»da jej podgrupa jest dziel-

nikiem normalnym. Niech H = 5

Z

Z

=

f

5k : k

2

Z

Z g

i wyznaczmy warstwy poszcze-

gólnych elementów grupy G.

0H =

f

0 + 5k : k

2

Z

Z g

; 1H =

f

1 + 5k : k

2

Z

Z g

; 2H =

f

2 + 5k : k

2

Z

Z g

;

3H =

f

3 + 5k : k

2

Z

Z g

; 4H =

f

0 + 5k : k

2

Z

Z g

; 5H = 0H; 6H = 1H , itd.

Nietrudno zauwa»y¢, »e grupa ilorazowa G =

hZ

Z j

5

Z

Z

;

i

jest izomorczna z grup¡

hZ

Z

5

;+

5

i

.



Cwiczenie 1.3.7

Wyznaczy¢ grup¦ ilorazow¡ D

3

j

H; gdzie H =

f



0

;

1

;

2

;

g

.

R o z w i ¡ z a n i e.

Warstwy poszczególnych elementów s¡ nast¦puj¡ce:



0

H = 

1

H = 

2

H = H; 

A

H =

f



A

;

B

;

C

g

= 

B

H = 

C

H

Poniewa», co ªatwo sprawdzi¢ bezpo±rednio, 

A

H





A

H = H; wi¦c oznaczaj¡c

elementy zbioru ilorazowego krótko g

0

= H; g

1

= 

A

H otrzymujemy nast¦puj¡c¡

tabelk¦ dziaªania w grupie ilorazowej



g

0

g

1

g

0

g

0

g

1

g

1

g

1

g

0

18

1. Homomorzmy i izomorzmy grup.

1.4 Homomorzmy i izomorzmy grup.

Zauwa»yli±my w przykªadach 1.1 i 1.1 »e dwie, z pozoru caªkiem ró»ne struktury

maj¡ takie same tabelki dziaªania.



Denicja 1.4.1

Niech

h

G

1

;



1

i

i

h

G

2

;



2

i

b¦d¡ dwiema grupami. Odwzorowanie

 : G

1

!

G

2

nazywamy

homomorzmem

, je»eli dla dowolnych

a;b

2

G

1

speª-

niony jest warunek

(a



1

b) = (a)



2

(b):

Homomorzm, który jest odwzorowaniem ró»nowarto±ciowym grupy

G

1

na grup¦

G

2

nazywamy

izomorzmem

.



Fakt 1.4.2

Je»eli

 : G

1

!

G

2

jest izomorzmem grupy

h

G

1

;



1

i

na grup¦

h

G

2

;



2

i

,

to:

(a) (e

1

) = e

2

,

(b)

dla dowolnego

a

2

G

1

,

(a

1

) = (a)

1

,

(c)

dla dowolnego

a

2

G

1

i dowolnego

n

2

I

N

z równo±ci

a

n

= e

1

wynika równo±¢

(a)

n

= e

2

.

D o w ó d.

(a) Niech y b¦dzie dowolnym elementem grupy G

2

. Poniewa»  przeksztaªca gru-

p¦ G

1

na caª¡ grup¦ G

2

, wi¦c istnieje x

2

G

1

takie, »e y = (x). Z denicji

homomorzmu mo»emy napisa¢ nast¦puj¡cy ci¡g równo±ci:

(e

1

)



2

y = (e

1

)



2

(x) = (e

1



1

x) = (x) = y

Podobnie sprawdzamy, »e y



2

(e

1

) = y i teza wynika z jednoznaczno±ci elementu

neutralnego.

(b) Z denicji homomorzmu wynika, »e

(a)



2

(a

1

) = (a



1

a

1

) = (e

1

) = e

2

i podobnie (a

1

)



2

(a) = (a

1



1

a) = (e

1

) = e

2

.

(c) Prosty dowód indukcyjny.



Fakt 1.4.3

Wszystkie grupy cykliczne rz¦du

n

s¡ izomorczne z grup¡

hZ

Z

n

;+

n

i

.

Wszystkie niesko«czone grupy cykliczne s¡ izomorczne z

hZ

Z

;+

i

.

D o w ó d. Niech a b¦dzie generatorem grupy sko«czonej G, czyli

G =

f

a;a

2

;a

3

;:::;a

n

= e

g

.

Z wªasno±ci pot¦gi wynika, »e a

k

1

= a

n k

a odwzorowanie  :

Z

Z

n

!

G

zadane wzorem (k) = a

k

dla k = 1;2;:::;n jest izomorzmem.

1.4. Homomorzmy i izomorzmy grup.

19



Przykªad 1.4.1

Widzieli±my,»e tabelki dziaªa« dla grup D

3

i S

3

s¡ identyczne. Przyporz¡dkowanie

(

k

) = 

k

; gdzie k = 0;1;2;3;4;5 jest oczywi±cie izomorzmem.



Przykªad 1.4.2

Przyporz¡dkowanie  :

Z

Z

n

!

C

C

n

zadane wzorem

(k) = e

i

k

2

n

; gdzie k = 0;1;:::n 1

ustala izomorzm addytywnej grupy reszt modulo n i grupy pierwiastków stopnia

n a jedno±ci, bo

(k +

n

l) = e

i

(

k

+

n

l

)

2

n

= e

i

k

2

n

e

i

l

2

n

= (k)

(l):



Przykªad 1.4.3

Dla dowolnego a > 0;a

6

= 1 funkcja f

a

(x) = a

x

ustala izomorzm addytywnej

grupy liczb rzeczywistych z multyplikatywn¡ grup¡ liczb rzeczywistych dodatnich.



Fakt 1.4.4

Dla dowolnego elementu

a

2

G

funkcja



a

: G

!

G

okre±lona wzorem



a

(x) = a



x

jest wzajemnie jednoznacznym przeksztaªceniem grupy

G

na siebie

(tzn. jest elementem grupy

S(G)

).

D o w ó d. Ró»nowarto±ciowo±¢ funkcji 

a

wynika z prawa skre±le«. Ponadto dla

dowolnego x

2

G zachodzi równo±¢ x = 

a

(a

1



x); co oznacza, »e  odwzorowuje

G na caªe G.



Twierdzenie 1.4.1 (Cayley)

Ka»da grupa

h

G;

i

jest izomorczna z pewn¡ pod-

grup¡ grupy

S(G)

. W szczególno±ci grupa sko«czona rz¦du

n

jest izomorczna z

pewn¡ podgrup¡ grupy

S

n

.

D o w ó d. Niech H =

f



a

: a

2

G

g

. Przede wszystkim zauwa»my, »e dla dowolnego

a

2

G zachodzi równo±¢ 

a

1

= 

a

1

, poniewa»

(

a

1





a

)(x) = 

a

1

(

a

)(x)) = 

a

1

(a



x) = a

1



(a



x) = (a

1



a)



x = x

dla dowolnego x

2

G. St¡d wynika, »e H jest podgrup¡ grupy G, bo dla dowolnych



a

;

b

2

H i dowolnego x

2

G zachodzi równo±¢



a



(

b

)

1

(x) = 

a





b

1

(x) = 

a

(

b

1

(x)) = a



b

1



x = 

a



b

1

(x),

co oznacza, »e 

a



(

b

)

1

2

H. Zatem H jest podgrup¡ grupy S(G).

Sprawdzimy, »e odwzorowanie  : G

!

H zadane jest wzorem

(a) = 

a

jest izomorzmem.

1)  jest odwzorowaniem ró»nowarto±ciowym.

Gdyby bowiem dla pewnych a;b

2

G byªo (a) = (b), czyli

20

1. Homomorzmy i izomorzmy grup.



a

(x) = 

b

(x) dla ka»dego x

2

G,

to bior¡c x = e otrzymaliby±my a = b.

2)  jest odwzorowaniem na caª¡ podgrup¦ H, co wynika wprost z jej denicji.

3) (a



b) = (a)



(b); bo

(a



b)(x) = 

a



b

(x) = (a



b)



x = a



(b



x) = 

a

(b



x)

= (a)(

b

(x)) = ((a)



(b))(x)

dla wszystkich x

2

G, co oznacza równo±¢ przeksztaªce« (a



b) = ((a)



(b)).



Przykªad 1.4.4

Niech

h

G;

i

b¦dzie grup¡ obrotów trójk¡ta równobocznego. Wówczas G =

f



0

;

1

;

2

g

jest zbiorem trzyelementowym z dziaªaniem zadanym tabelk¡





0



1



2



0



0



1



2



1



1



2



0



2



2



0



1

Przyporz¡dkowanie (

i

) = 



i

; gdzie 



i

zdeniowane jest wzorem





i

(

k

) = 

i





k

ustala szukany izomorzm. Wyznaczmy funkcje 



i

dla i = 0;1;2.





0

(

0

) = 

0





0

= 

0

; 



0

(

1

) = 

0





1

= 

1

; 



0

(

2

) = 

0





2

= 

2





1

(

0

) = 

1





0

= 

1

; 



1

(

1

) = 

1





1

= 

2

; 



1

(

2

) = 

1





2

= 

0





2

(

0

) = 

2





0

= 

2

; 



2

(

1

) = 

2





1

= 

0

; 



2

(

2

) = 

2





2

= 

1

Patrz¡c na nie, jak na zbiór par uporz¡dkowanych otrzymujemy:





0

=

f

(

0

;

0

);(

1

;

1

);(

2

;

2

)

g





1

=

f

(

0

;

1

);(

1

;

2

);(

2

;

0

)

g





0

=

f

(

0

;

2

);(

1

;

0

);(

2

;

1

)

g

.

Zmieniaj¡c oznaczenia: 

0

!

1, 

1

!

2, 

2

!

3 i zapisuj¡c pary uporz¡dkowane,

jak permutacje, dostajemy:





0

=



1 2 3

1 2 3



; 



1

=



1 2 3

2 3 1



; 



2

=



1 2 3

3 1 2



Poniewa» tabelka dziaªania w grupie G jest identyczna z tabelk¡ dziaªania w grupie

alternuj¡cej A

3

, wi¦c grupa obrotów trójk¡ta równobocznego jest izomorczna z

grup¡ alternuj¡c¡ A

3

, która jest podprup¡ grupy symetrycznej S

3

.

1.4. Homomorzmy i izomorzmy grup.

21

Niech

h

G

1

;



1

i

i

h

G

2

;



2

i

b¦d¡ dwiema grupami.



Denicja 1.4.5

J¡drem homomorzmu

 : G

1

!

G

2

nazywamy zbiór

Ker

 =

f

a

2

G

1

: (a) = e

2

g

.



Fakt 1.4.6

Je»eli



jest homomorzmem grupy

h

G

1

;



1

i

w grup¦

h

G

2

;



2

i

, to

Ker



jest dzielnikiem normalnym grupy

h

G

1

;



1

i

.

D o w ó d. Niech a;b

2

Ker , czyli (a) = (b) = e

2

. Wówczas

(a



1

b

1

) = (a)



2

(b)

1

= e

2



2

e

1

2

= e

2

,

czyli (a



1

b

1

)

2

Ker , co oznacza, »e Ker  jest podgrup¡ grupy G.

Poka»emy teraz, »e dla dowolnego a

2

G

1

zachodzi równo±¢

a(Ker ) = (Ker)a.

Przede wszystkim zauwa»my, »e je»eli (a) = (b), to elementy a i b nale»¡ do

tej samej warstwy lewostronnej wzgl¦dem podgrupy Ker  i do tej samej war-

stwy prawostronnej wzgl¦dem Ker . Z równo±ci (a) = (b) wynika bowiem, »e

((b))

1



2

(a) = e

2

. St¡d

(b

1



1

a) = (b

1

)



2

(a) = e

2

= ((b))

1



2

(a) = e

2

,

co oznacza, »e

b

1

a

2

Ker .

Zatem a i b nale»¡ do tej samej warstwy lewostronnej. Podobnie pokazuje si¦, »e

nale»¡ do tej samej warstwy prawostronnej.

Je»eli b

2

a(Ker ), to dla pewnego h

2

Ker  mamy b = a



h. St¡d

(b) = (a)(h) = (a)



2

e

2

= (a).

Zatem b

2

Ker a, bo a

2

Ker a, czyli a(Ker )



(Ker )a. Podobnie pokazuje

si¦ zawieranie w drug¡ stron¦.
Nast¦pny fakt mówi, »e tak naprawd¦ wszystkie dzielniki normalne dowolnej grupy

G s¡ powy»szej postaci.



Fakt 1.4.7

Je»eli

H

jest dzielnikiem normalnym grupy

G

, to odwzorowanie

 : G

!

G

j

H

przyporz¡dkowuj¡ce ka»demu elementowi warstw¦ tego elementu wzgl¦dem

H

jest

homomorzmem grupy

G

na grup¦ ilorazow¡

G

j

H

. J¡drem tego homomorzmu

jest podgrupa

H

.

22

1. Homomorzmy i izomorzmy grup.

1.5 Zadania.

1. Sprawdzi¢, czy nast¦puj¡ce wzory okre±laj¡ dziaªanie w zadanym zbiorze.

Je»eli tak, to zbada¢ ª¡czno±¢, przemienno±¢, istnienie elementu neutralnego

i ewentualnie wyznaczy¢ element odwrotny do zadanego elementu.

a) m

}

n = m

n

w zbiorze

I

N

,

b) a



b =

a b

2

w zbiorze

C

Q

,

c) x

_

y = max

f

x;y

g

; x

^

y = min

f

x;y

g

w zbiorze

I

R

,

d) f

_

g = max

f

f;g

g

; f

^

g = min

f

f;g

g

w zbiorze C[0;1],

e) f

_

g = max

f

f;g

g

; f

^

g = min

f

f;g

g

w zbiorze funkcji ró»niczkowalnych

na przedziale [0;1],

f) m



n = NWW(m;n); m



n = NWD(m;n) w zbiorze

I

N

,

g) Skªadanie funkcji

I

R

!

I

R

,

h) ~u



~v = ~u



~v (iloczyn skalarny wektorów na pªaszczy¹nie)

i) ~u



~v = ~u



~v (iloczyn wektorowy wektorów na pªaszczy¹nie)

j) ~u



~v = ~u



~v (iloczyn wektorowy wektorów w przestrzeni trójwymiarowej.

2. Które z poni»szych zbiorów tworz¡ grup¦ wzgl¦dem podanego dziaªania:

a)

f

7n : n

2

Z

Z g

z dodawaniem,

b)

f

7n : n

2

Z

Z

g

z mno»eniem,

c)

f

x

2

I

R

: x

6

= 0;

j

x

j

¬

1

g

z mno»eniem,

d) zbiór 2

X

wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru X z dziaªaniem A

[

B,

e) zbiór 2

X

wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru X z dziaªaniem A

\

B,

f) zbiór 2

X

wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru X z dziaªaniem

A



B = (A

n

B)

[

(B

n

A); (tzw.

ró»nica symetryczn¡ zbiorów

A

i

B).

3. Pokaza¢, »e je»eli A jest macierz¡ kwadratow¡ tak¡, »e A

3

= 0; to elementem

odwrotnym do macierzy (1 A) wzgl¦dem mno»enia macierzy jest macierz

(1 + A + A

2

).

4. Sporz¡dzi¢ tabelki dziaªania dla:

a) grupy przeksztaªce« izometrycznych pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych da-

ny kwadrat na siebie z dziaªaniem "



" - skªadanie przeksztaªce«,

b) grupy przeksztaªce« izometrycznych pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych da-

ny prostok¡t nie b¦d¡cy kwadratem na siebie z dziaªaniem "



".

c) grupy przeksztaªce« izometrycznych pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych da-

ny trójk¡t równoramienny prostok¡tny na siebie z dziaªaniem "



".

Dla ka»dego z rozwa»anych przypadków wskaza¢ podgrup¦ odpowiedniej gru-

py permutacji izomorczn¡ z dan¡ grup¡ izometrii.

1.4. Homomorzmy i izomorzmy grup.

23

5. W grupie przeksztaªce« izometrycznych pªaszczyzny przeprowadzaj¡cych da-

ny pi¦ciok¡t foremny na siebie (z dziaªaniem "



") wskaza¢ elementy rz¦du 2

i elementy rz¦du 3.

6. Dane s¡ grupy

h

G

1

;



1

i

;

h

G

2

;



2

i

: Rozwa»amy zbiór G

1



G

2

=

f

(a

1

;a

2

): a

1

2

G

1

;a

2

2

G

2

g

z dziaªaniem (a

1

;a

2

)



(b

1

;b

2

) = (a

1



1

b

1

;a

1



2

b

2

. Udowodni¢,

»e

h

G

1



G

2

;

i

jest grup¡ (przemienn¡, je»eli obie grupy s¡ przemienne).

Jest to tzw.

produkt prosty grup

lub

iloczyn prosty

. W przypadku, gdy

grupy G

1

;G

2

s¡ przemienne, ich produkt prosty nazywamy

sum¡ prost¡

i

oznaczamy G

1



G

2

.

7. Napisa¢ tabelk¦ dziaªania dla grup

hZ

Z

5

;+

5

i

oraz

hZ

Z

6

;+

6

i

.

8. Napisa¢ tabliczk¦ dziaªania w sumie prostej grup

hZ

Z

2

;+

2

i

i

hZ

Z

3

;+

3

i

.

9. Napisa¢ tabelk¦ mno»enia modulo 5 w zbiorze

f

1;2;3;4

g

oraz mno»enia mo-

dulo 6 w zbiorze

f

1;2;3;4;5

g

.

10. Niech B

n

oznacza zbiór wszystkich ci¡gów n-elementowych o elementach 0;1.

Pokaza¢, »e B

n

jest grup¡ przemienn¡ z dziaªaniem

(a

1

;a

2

;:::;a

n

)

}

(b

1

;b

2

;:::;b

n

)=(a

1

+

2

b

1

;a

2

+

2

b

2

;:::;a

n

+

2

b

n

).

Jaki jest rz¡d tej grupy? Poda¢ kilka przykªadów podgrup tej grupy.

11. Wykaza¢, »e cz¦±¢ wspólna (przekrój, iloczyn) dowolnej rodziny podgrup

grupy G jest podgrup¡ grupy G.

12. Pokaza¢, »e je»eli H jest podgrup¡ grupy G, to dla dowolnego g

2

G zbiór

gHg

1

=

f

ghg

1

: h

2

H

g

jest podgrup¡ grupy G.

13. Udowodni¢, »e zbiór tych wszystkich elementów grupy, które s¡ przemienne

z ka»dym innym elementem grupy tworzy podgrup¦ tej grupy. Jest to tzw.

centrum grupy

.

14. Wyznaczy¢ rz¦dy elementów 3,5,11 w grupie multyplikatywnej

hZ

Z



16

;

16

i

.

15. Pokaza¢, »e je»eli ka»dy element grupy (G;

) jest rz¦du dwa, to grupa G jest

przemienna.

16. Pokaza¢, »e w grupie przemiennej iloczyn elementów rz¦du sko«czonego jest

elementem rz¦du sko«czonego. Jaki jest rz¡d iloczynu?

17. Pokaza¢, »e w dowolnej grupie przemiennej elementy rz¦du sko«czonego two-

rz¡ podgrup¦.

18. Pokaza¢, »e je»eli rz¡d grupy jest liczb¡ pierwsz¡, to jest to grupa cykliczna.
19. Wykaza¢, »e podgrupa grupy cyklicznej jest grup¡ cykliczn¡.
20. Wyznaczy¢ wszystkie podgrupy grupy

hZ

Z

12

;+

12

i

.

24

1. Homomorzmy i izomorzmy grup.

21. Wyznaczy¢ wszystkie warstwy w grupie

Z

Z

12

wzgl¦dem podgrup:

a) H

1

=

f

0;3;6;9

g

; b) H

2

=

f

0;4;8

g

; c) H

3

=

f

0;6

g

:

22. Napisa¢ tabelk¦ dziaªania w grupie S

3

. Sprawdzi¢, czy permutacje parzyste

tworz¡ podgrup¦. Je»eli tak, to wyznaczy¢ warstwy lewostronne i warstwy

prawostronne grupy S

3

wzgl¦dem tej podgrupy.

23. W grupach S

3

i S

4

poda¢ przykªady elementów rz¦dów: 2,3,4,5,6. Odpowied¹

uzasadni¢.

24. Wyznaczy¢ warstwy lewostronne i warstwy prawostronne grupy S

3

wzgl¦dem

podgrupy, której elementy przeprowadzaj¡ zbiór

f

1

g

na siebie.

25. Które z podgrup grupy S

3

s¡ dzielnikami normalnymi? Opisa¢ odpowiednie

grupy ilorazowe.

26. Dowie±¢, »e zbiór macierzy postaci



a b

0 1



, gdzie a;b

2

I

R

; a

6

= 0 jest grup¡

wzgl¦dem mno»enia macierzy. Pokaza¢, »e podzbiór tej grupy skªadaj¡cy si¦ z

macierzy, dla których a = 1 jest dzielnikiem normalnym tej grupy, natomiast

podzbiór skªadaj¡cy si¦ z macierzy, dla których b = 0 jest podgrup¡, lecz nie

jest dzielnikiem normalnym.

27. Wykaza¢, »e grupa

hI

R

;+

i

jest izomorczna z grup¡

h

(0;

1

);

i

.

28. Wskaza¢ homomorzm grupy

hZ

Z

8

;+

8

i

na ka»d¡ z grup

hZ

Z

4

;+

4

i

i

hZ

Z

2

;+

2

i

.

Wyznaczy¢ zbiory, które s¡ przeciwobrazami zbioru

f

e

g

i sprawdzi¢, »e two-

rz¡ one podgrupy grupy

hZ

Z

8

;+

8

i

. Czy ten fakt mo»na uogólni¢?

29. Wykaza¢, »e je»eli podgrupa H jest dzielnikiem normalnym, to relacja przy-

stawania wzgl¦dem moduªu H jest kongruencj¡.

30. Wykaza¢, »e je»eli relacja



jest kongruencj¡ w grupie G, to ta klasa H zbioru

ilorazowego G

j



, która zawiera element neutralny grupy G jest dzielnikiem

normalnym oraz G

j



= G

j

H.

Rozdziaª

2

Pier±cienie

i

ciaªa

2.1 Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i

przykªady.

W znanych nam zbiorach liczbowych

Z

Z

,

C

Q

,

I

R

,

C

C

mamy dwa podstawowe dziaªania

+;

, które na dodatek s¡ powi¡zane podstawow¡ zale»no±ci¡ | mno»enie jest

rozdzielne wzgl¦dem dodawania. Podobnie zachowuj¡ si¦ ró»ne zbiory funkcji (np.

I

R

n

[x], C([0;1])), zbiór macierzy kwadratowych stopnia n.



Denicja 2.1.1

Struktur¦ algebraiczn¡

h

R;



;

i

nazywamy

pier



scieniem

, je-

»eli:

(R1)

h

R;

i

jest grup¡ przemienn¡,

(R2)

dziaªanie



jest ª¡czne, tzn. dla dowolnych

a;b;c

2

R

. zachodz¡ równo±ci

(a



(b



c)) = (a



b)



c)

,

(R3)

dziaªanie



jest jest rozdzielne wzgl¦dem dziaªania



, tzn. dla dowolnych

a;b;c

2

R

. zachodz¡ równo±ci

a



(b



c) = (a



b)



(a



c)

oraz

(b



c)



a = (b



a)



(c



a)

Pier±cie« nazywamy

przemiennym

, je»eli dziaªanie



jest przemienne.

W dalszym ci¡gu dziaªania



;



b¦dziemy nazywali odpowiednio

dodawaniem

i

mno»eniem

, a wyniki dziaªa« -

sum¡

i

iloczynem

. Element neutralny doda-

wania b¦dziemy oznacza¢ symbolem

0

i nazywa¢

zerem pier±cienia

, a element

odwrotny do elementu x

2

R wzgl¦dem dziaªania



{

elementem przeciwnym

.

Je»eli w R jest element neutralny dziaªania



, to b¦dziemy oznacza¢ symbolem

1

i

nazywa¢

jedno±ci¡ pier±cienia

,a element odwrotny do elementu x

2

R wzgl¦dem

dziaªania



{

elementem odwrotnym

. Elementy pier±cienia, które posiadaj¡

element odwrotny nazywamy

elementami odwracalnymi

.

25

26

2. Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.



Denicja 2.1.2

Elementy

x;y

2

R

nazywamy

dzielnikami zera

, je»eli

x

6

= 0; y

6

= 0

ale

x



y = 0:



Denicja 2.1.3

Pier±cie« przemienny z jedno±ci¡, nie posiadaj¡cy dzielników ze-

ra nazywamy

pier



scieniem cal

6

6 6 6 6

kowitym

.



Przykªad 2.1.1

Zbiór

Z

Z

liczb caªkowitych z dodawaniem i mno»eniem jest pier±cieniem caªkowi-

tym.



Przykªad 2.1.2

Zbiór

I

R

n

[x] wielomianów stopnia co najwy»ej n o wspóªczynnikach rzeczywistych

z dodawaniem i mno»eniem wielomianów jest pier±cieniem caªkowitym.



Przykªad 2.1.3

Niech C([0;1]) oznacza zbiór funkcji ci¡gªych na przedziale [0;1] z dziaªaniami

(f + g)(x) = f(x) + g(x) oraz (f

g)(x) = f(x)

g(x)

Z odpowiednich twierdze« analizy wynika, »e jest to równie» pier±cie« caªkowity.



Przykªad 2.1.4

Rozwa»amy zbiór

Z

Z

6

=

f

0;1;2;3;4;5

g

z dziaªaniami +

6

oraz

6

. Tabelki tych

dziaªa« s¡ nast¦puj¡ce:

+

6

0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

6

0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

Struktur¦

hZ

Z

6

;+

6

;

6

i

nazywamy

pier±cieniem reszt modulo

n. Wida¢, »e jest

to pier±cie« przemienny z jedno±ci¡ posiadaj¡cy dzielniki zera (np. 2

6

3 = 0).

Jedynymi elementami odwracalnymi s¡ w tym pier±cieniu 1 i 5 (1

6

1 = 1 oraz

5

6

5 = 1, co oznacza, »e 1

1

= 1 oraz 5

1

= 5).



Przykªad 2.1.5

Rozwa»amy zbiór

Z

Z

6

=

f

0;1;2;3;4

g

z dziaªaniami +

5

oraz

5

. Tabelki tych dziaªa«

s¡ nast¦puj¡ce:

2.1. Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.

27

+

5

0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

5

0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

Struktura

hZ

Z

5

;+

5

;

5

i

jest pier±cieniem reszt modulo 5. Šatwo zauwa»y¢, »e jest to

pier±cie« przemienny z jedno±ci¡ nie posiadaj¡cy dzielników zera . Ka»dy element

tego pier±cienia jest odwracalny.



Przykªad 2.1.6

Zbiór

I

R

[x] wielomianów o wspóªczynnikach rzeczywistych z dodawaniem i mno»e-

niem wielomianów jest pier±cieniem caªkowitym. Zerem tego pier±cienia jest wie-

lomian to»samo±ciowo równy 0, za± jedno±ci¡ - wielomian przyjmuj¡cy w ka»dym

punkcie warto±¢ 1.



Denicja 2.1.4

Niech

h

R;



;

i

b¦dzie pier±cieniem. Podzbiór

P

zbioru

R

, który

sam tworzy pier±cie« z dziaªaniami



i



nazywamy

podpier



scieniem

pier±cienia

h

R;



;

i

.



Przykªad 2.1.7

Zbiór n

Z

Z

=

f

k

n : k

2

Z

Z g

jest podpier±cieniem pier±cienia liczb caªkowitych.



Cwiczenie 2.1.5

Pokaza¢, »e zbiór macierzy trójk¡tnych dolnych jest podpier±cieniem pier±cienia

macierzy kwadratowych stopnia n.

R o z w i ¡ z a n i e.

Poniewa» mno»enie macierzy jest dziaªaniem ª¡cznym i rozdzielnym wzgl¦dem do-

dawania macierzy, wi¦c wystarczy pokaza¢, »e zbiór macierzy trójk¡tnych dolnych

jest podgrup¡ addytywnej grupy pier±cienia i jest zamkni¦ty wzgl¦dem mno»enia

macierzy. Rozwa»my dwie dowolne macierze trójk¡tne dolne

A =

0

@

a 0 0

b c 0

d e f

1

A

oraz B =

0

@

k 0 0

l m 0

n p s

1

A

;

gdzie a;b;c;d;e;f;k;l;m;n;p;s

2

I

R

. Wówczas

A B =

0

@

a k

0

0

b l c m

0

d n e p f s

1

A

oraz

A

B =

0

@

ak

0

0

bk + cl

cm

0

dk + el + fn em + fp fs

1

A

s¡ macierzami trójk¡tnymi dolnymi, co zgodnie z Faktem 1.1.6 nale»aªo wykaza¢.

28

2. Kongruencje w pier±cieniu.

2.2 Kongruencje w pier±cieniu

Ideaªy w pier±cieniu i pier±cie« ilorazowy



Denicja 2.2.1

Niech

h

R;



;

i

b¦dzie pier±cieniem przemiennym. Podzbiór

I

zbioru

R

nazywamy

ideal

6

6 6 6 6

em

pier±cienia, je»eli speªnione s¡ warunki:

(I1) I

jest podgrup¡ rupy addytywnej pier±cienia

R

,

(I2)

je»eli

a

2

I

oraz

x

2

R

, to

a



x

2

I

.



Przykªad 2.2.1

Oczywi±cie ideaªami w ka»dym pier±cieniu R s¡

f

0

g

oraz sam R. Nazywamy je

ideaªami niewªa±ciwymi

.



Przykªad 2.2.2

Zbiór n

Z

Z

=

f

k

n : k

2

Z

Z g

jest ideaªem pier±cienia liczb caªkowitych, bo dla

dowolnej liczby caªkowitej m i dowolnej liczby k

n

2

n

Z

Z

mamy

m

(k

n) = (m

k)

n

2

n

Z

Z

.



Przykªad 2.2.3

W pier±cieniu C([0;1]) funkcji ci¡gªych na przedziale [0;1] ideaªem jest zbiór

I

x

0

=

f

f

2

C([0;1]) : f(x

0

) = 0

g

;

gdzie x

0

jest dowolnie ustalonym punktem przedziaªu [0;1]. Dla dowolnej funkcji

g

2

C([0;1]) i dowolnej funkcji f

2

I

x

0

mamy bowiem

(f

g)(x

0

) = f(x

0

)

g(x

0

) = 0

g(x

0

) = 0:



Przykªad 2.2.4

W pier±cieniu c wszystkich ci¡gów zbie»nych o wyrazach rzeczywistych ideaª two-

rzy zbiór c

0

ci¡gów zbie»nych do zera, co wynika z twierdzenia o granicy iloczynu

ci¡gów.
Poniewa»

h

R;

i

jest grup¡ przemienn¡, wi¦c ka»dy ideaª I pier±cienia R jest jego

dzielnikiem normalnym.Okazuje si¦, »e w grupie ilorazowej R

j

I mo»na wprowadzi¢

struktur¦ pier±cienia deniuj¡c mno»enie wzorem

aI



bI = (a



b)I.

Otrzymany pier±cie« nazywamy

pier±cieniemilorazowym pier±cienia

R

wzgl¦-

dem ideaªu

I lub

pier±cieniem reszt modulo

I.



Przykªad 2.2.5

2.2. Kongruencje w pier±cieniu.

29

Pier±cie« ilorazowy

Z

Z j

n

Z

Z

skªada si¦ z elementów

Z

Z

;1+

Z

Z

;2+

Z

Z

;:::;(n 1) +

Z

Z

.

Dodawanie i mno»enie takich warstw wygl¡da nast¦puj¡co

(k+

Z

Z

)



(l +

Z

Z

) = (k + l) +

Z

Z

= (k +

n

l) +

Z

Z

oraz

(k +

Z

Z

)



(l +

Z

Z

) = (k

l) +

Z

Z

= (k

n

l) +

Z

Z

Komentarz.

Ostatnie okre±lenie powinno zasugerowa¢ nam zwi¡zek poj¦cia pier-

±cienia ilorazowego z poj¦ciem kongruencji w zbiorze liczb caªkowitych. Rzeczywi-

±cie, analogicznie do sytuacji dzielnika normalnego w grupie podziaª pier±cienia R

na warstwy wzgl¦dem ideaªu I jest rozbiciem zbioru R wzgl¦dem relacji równo-

wa»no±ci

a



b (mod I)

(

)

a



( b)

2

I

(

)

( a)



b

2

I

O elementach a;b mówimy wówczas, »e

przystaj¡ wzgl¦dem ideaªu

I. Šatwo

wykaza¢, »e je»eli a



b (mod I) oraz c



d (mod I), to

a



b



c



d (mod I)

^

a



b



c



d (mod I).

Relacj¦ równowa»no±ci w pier±cieniu, speªniaj¡c¡ powy»sze warunki, nazywamy

kongruencj¡

. W dalszym ci¡gu wykªadu zajmiemy si¦ dokªadniej pier±cieniem

liczb caªkowitych.

Algorytm Euklidesa

Je±li n nie dzieli si¦ przez k, to mo»emy wykona¢

dzielenie z reszt¡

. Dla dowol-

nych ró»nych od 0 liczb n i k istniej¡ takie liczby d i r, »e n = kd + r, przy czym

r < k, d i r s¡ wyznaczone jednoznacznie. d nazywamy

ilorazem

, a r -

reszt¡

z

dzielenia n przez k (je±li n < k, to d = 0) Do znalezienia d mo»na si¦ posªu»y¢

zasad¡ maksimum: d jest najwi¦kszym elementem zbioru

f

l

2

N : kl

¬

n

g

. Z tego

ju» wynika, »e reszta r jest mniejsza ni» k.

Geometrycznie operacja ta polega na znalezieniu na prostej przedziaªu o ko«cach

naturalnych, w ktorym le»y uªamek nk ,jest to przedziaª [d;d+1).Jeszcze inaczej

mo»na powiedzie¢, »e d jest cz¦±ci¡ caªkowit¡ liczby wymiernej nk, a

r

k - jej cz¦±ci¡

uªamkow¡.



Denicja 2.2.2

Najwie

,

kszym wsp



olnym dzielnikiem

liczb

n

i

k

, ró»nych od

zera, nazywamy liczb¦:

NWD(n;k) =

max

f

l

2

I

N

: l

j

n

i

l

j

k

g

:

Jej istnienie wynika z zasady maksimum: zbiór wszystkich wspólnych dzielników

liczb n i k jest niepusty (nale»y do niego 1) i ograniczony, np. przez n.
Przy szukaniu najwi¦kszego wspólnego dzielnika nie b¦dziemy si¦ posªugiwa¢, jak

w szkole, rozkªadem na czynniki pierwsze, zreszt¡ ten sposób wymaga posiadania

tablic liczb pierwszych i dla du»ych liczb jest to trudne. Wykorzystamy znany od

staro»ytno±ci sposób.

30

2. Kongruencje w pier±cieniu.

Algorytm Euklidesa

:

Niech 0<k <n i wykonajmy dzielenie z reszt¡ n przez k: n = kd + r: Wtedy,

je±li l

j

n i l

j

k , to równie» l

j

r , bo r = n kd . Podobnie, je±li l

j

r i l

j

k, to l

j

n.

Tak wi¦c wspólne dzielniki liczb n i k s¡ dokªadnie te same, co wspólne dzielniki

liczb k i r. W szczególno±ci NWD(n;k) = NWD(k;r). Wykonuj¡c wi¦c operacj¦

dzielenia z reszt¡ uzyskali±my par¦ mniejszych liczb o tym samym NWD. Je±li

liczby s¡ jeszcze za du»e, by zgadywa¢, mo»emy t¦ operacj¦ zastosowa¢ ponownie,

tym razem dziel¡c k przez r, itd:

n = kd

1

+ r

1

; r

1

< k;

k = r

1

d

2

+ r

2

; r

2

< r

1

;

r

1

= r

2

d

3

+ r

3

; r

3

< r

2

;

...

To post¦powanie musi si¦ sko«czy¢, bo kolejne reszty tworz¡ malej¡cy ci¡g liczb

naturalnych. Przypu±¢my, »e sko«czy si¦ na s-tym kroku, tzn. r

s

+1

=0 . Ostatnie

dwa wiersze naszych oblicze« wygladaj¡ tak:

r

s

2

= r

s

1

d

s

+ r

s

; r

s

1

< r

s

2

r

s

1

= r

s

d

s

+1

+ 0; 0 < r

s

1

Mamy:

NWD(n;k) = NWD(k;r

1

) = NWD(r

1

;r

2

) =

= NWD(r

s

1

;r

s

) = r

s

:

A wi¦c ostatnia niezerowa reszta w tym ci¡gu dziele« z reszt¡ jest najwi¦kszym

wspólnym dzielnikiem liczb n i k.
Wyliczmy teraz z pierwszej równo±ci r

1

w zale»no±ci od n i k, podstawmy do

drugiej równo±ci i wyliczmy r

2

(te» w zale»no±ci od n i k) itd. Otrzymamy w ko«cu

wyra»enie na r

s

. Mianowicie r

s

= pn + qk, gdzie p i q s¡ liczbami caªkowitymi.

Udowodnili±my tym sposobem wa»ne twierdzenie.



Twierdzenie 2.2.1

Najwi¦kszy wspólny dzielnik liczb

n

i

k

wyra»a si¦ jako ich

kombinacja o wspóªczynnikach caªkowitych;

8

n;k > 0

9

p;q

2

Z

Z

(NWD(n;k) = pn + qk)

Przykªad.

Niech n = 1001 oraz k = 357: Wówczas

1001 = 2

357 + 287; wi¦c 287 = 1001 2

357;

357 = 1

287 + 70; wi¦c 70 = 357 (1001 2

357) = 3

357 1001;

287 = 4

70 + 7; wi¦c 7 = 287 4

70 = 2

1001 5

357;

70 = 10

7 + 0;

2.2. Kongruencje w pier±cieniu.

31

Zatem, zgodnie z algorytmemEuklidesa, 7 jest najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem

liczb 1001 i 357 i przedstawili±my go w postaci 7 = 2

1001 5

357:

Za pomoc¡ ostatniego twierdzenia mo»emy udowodni¢ wiele wa»nych wªasno-

±ci, mi¦dzy innymi (udowodnion¡ wcze±niej) jednoznaczno±¢ rozkªadu na czynniki

pierwsze.



Twierdzenie 2.2.2

(

ZASADNICZE

TWIERDZENIE

AR

YTMETYKI

) Je»eli iloczyn

m

n

dzieli si¦ przez

k

i liczba

k

jest wzgl¦dnie pierwsza z

m

, to

k

dzieli

n

.

D o w ó d. Dla dowodu posªu»ymy si¦ przedstawieniem jedynki - najwi¦kszego

wspólnego dzielnika liczb m i k jako ich kombinacjio wspóªczynnikach caªkowitych:

1=pm+qk, a st¡dn =pmn+qkn. Oba skªadniki sumy po prawej stronie dziel¡ si¦

przez k, wi¦c suma tak»e, czyli k

j

n.

Poniewa» ka»da liczba pierwsza jest wzgl¦dnie pierwsza z dowoln¡ liczb¡ natural-

n¡, wi¦c otrzymujemy natychmiast:



Wniosek 2.2.1

Je»eli

p

jest liczb¡ pierwsz¡ i dzieli iloczyn

mn

, to

p

dzieli co

najmniej jeden z czynników:

p

j

mn

!

p

j

m

_

p

j

n:



Wniosek 2.2.2

Je»eli

NWD(m;n) = 1

oraz

k

j

m

, to

NWD(k;n) = 1

.



Wniosek 2.2.3

Je»eli

NWD(m;n) = 1

oraz

k

j

n

, to

NWD(m;k) = 1

.



Wniosek 2.2.4

Je»eli liczby

m

,

n

podzielimy przez ich najwi¦kszy wspólny dziel-

nik, to otrzymamy liczby wzgl¦dnie pierwsze.

Liniowe równania diofantyczne

W±ród zada« szkolnych spotykamy takie, które prowadz¡ do jednego równania o

dwóch niewiadomych. Informacj¡ dodatkow¡, umo»liwiaj¡c¡ rozwi¡zanie, jest na

ogóª ukryty w tre±ci zadania fakt, »e rozwi¡zania maj¡ by¢ liczbami caªkowitymi.

Mamy wtedy do czynienia z

równaniem diofantycznym

. Jest to równanie alge-

braiczne, w którym i wspóªczynniki i niewiadome s¡ liczbami caªkowitymi. Nazwa

pochodzi od nazwiska greckiego matematyka Diofantosa

1

, który takie równania

rozwa»aª w ksi¦dze Arytmetyka, napisanej w III wieku n.e. W przypadku, gdy jest

to równanie liniowe, najcz¦±ciej rozwi¡zujemy je analizuj¡c podzielno±¢ wyst¦pu-

j¡cych w nim liczb. Czasami jednak nie wida¢ jak tym sposobem mo»na otrzyma¢

rozwi¡zanie. Oto przykªad takiego zadania:

Zadanie.

Na sezonowej wyprzeda»y zegarmistrz sprzedaª wszystkie, jakie miaª,

zegarki po 123 zªote. Ucieszony tym faktem, zostawiª sobie na szcz¦±cie jeden

1

Diofantos, (2 poªowa III wieku), matematyk grecki.

32

2. Kongruencje w pier±cieniu.

zªoty, a za reszt¦ zakupiª w hurtowni nowocze±niejsze zegarki z pozytywk¡ po 377

zª. Ile byªo jednych i drugich zegarków?
Wida¢, »e zadanie sprowadza si¦ do rozwi¡zania w liczbach naturalnych równania:

123x 377y = 1

Okazuje si¦, »e równanie diofantyczne mo»e nie mie¢ rozwi¡za«, mo»e ich mie¢

sko«czenie wiele lub niesko«czenie wiele. Równanie, które otrzymali±my w powy»-

szym zadaniu, jest najprostszym przykªadem równania diofantycznego. Jest to tzw

liniowe równanie diofantyczne

.



Twierdzenie 2.2.3

Liniowe równanie diofantyczne

ax + by = c

ma rozwi¡zanie

w zbiorze liczb caªkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy

NWD(a;b)

jest dzielnikiem c.

D o w ó d. Je±li istniej¡ x;y

2

Z takie, »e ax + by = c to oczywi±cie NWD(a;b)

dzieli c, gdy» dzieli a i dzieli b.

Zaªó»my teraz, »e dla pewnej liczby caªkowitej m mamy c = m

NWD(a;b). Jak

pami¦tamy, z algorytmu Euklidesa wynika, »e NWD(a;b) = ak + bl dla pewnych

caªkowitych k i l. Otrzymujemy zatem

m

NWD(a;b) = a

km + b

lm

Oczywi±cie km i lm s¡ szukanymi caªkowitymi rozwi¡zaniami naszego równania.
Mo»emy teraz rozwi¡za¢ nasze równanie. Znajd¹my wi¦c najwi¦kszy wspólny dziel-

nik wspóªczynników: 123 i 377. Zastosujemy tu algorytm Euklidesa:

377 = 3

123 + 8

123 = 15

8 + 3

8 = 2

3 + 2

3 = 1

2 + 1

Widzimy, »e w ci¡gu kolejnych dziele« z reszt¡ ostatni¡ wi¦ksz¡ od zera reszt¡

jest 1, a wi¦c to jest najwi¦kszy wspólny dzielnik naszych wspóªczynników. Prze-

ksztaª¢my teraz otrzymany ci¡g równo±ci, wyliczaj¡c kolejne reszty, przy czym dla

odró»nienia wyst¦puj¡cych w dzieleniu wyj±ciowych liczb i reszt od wspóªczynni-

ków dzielenia, te pierwsze b¦dziemy podkre±la¢.

8 = 377 3

123

3 = 123 15

8

2 = 8 2

3

1 = 3 2

Teraz dokonujemy podstawie« kolejno z pierwszej do drugiej równo±ci, z drugiej do

trzeciej, z trzeciej do czwartej, przy czym redukujemy wyrazy podobne, traktuj¡c

2.2. Kongruencje w pier±cieniu.

33

podkre±lone liczby jak zmienne w wyra»eniach algebraicznych:

3 = 123 15

(377 3

123) = 15

377 + 46

123

2 = 377 3

123 2

( 15

377 + 46

123) = 31

377 95

123

1 = 15

377 + 46

123 (31

377 95

123) = 46

377 + 141

123

Otrzymali±my w ko«cu rozwi¡zanie wyj±ciowego równania: x = 141;y = 46 i

odpowied¹ do zadania: zegarmistrz sprzedaª 141 zegarków po 123 zª.i kupiª 46

zegarków po 377 zª. Wida¢ te», »e gdyby zostawiª sobie nie 1 zª. lecz 2 zª. to

otrzymane liczby nale»aªoby pomno»y¢ przez 2 itd.
Mo»emy zatem ukªada¢ podobne zadania, maj¡c pewno±¢, »e równanie ax+by = c

ma rozwi¡zanie w liczbach caªkowitych, je±li tylko c jest najwi¦kszym wspólnym

dzielnikiem liczb a i b, lub jego wielokrotno±ci¡. Oczywi±cie je±li c nie speªnia tego

warunku, to rozwi¡zania nie ma: lewa strona dzieli si¦ przez NWD(a;b), prawa

nie.
Wracaj¡c do zadania rozwi¡zywanego na pocz¡tku, mo»na pyta¢ jak znale¹¢ wszyst-

kie rozwi¡zania caªkowite liniowego równania diofantycznego o 2 niewiadomych.

Rozwa»my równanie ax+by = c i zaªó»my, »e a i b s¡ wzgl¦dnie pierwsze (je±li nie

s¡, to obie strony równania dzielimy przez d = NWD(a;b)) i rozwi¡»my równanie

ax + by = 1

Niech x

0

;y

0

b¦dzie rozwi¡zaniem otrzymanym w ostatnio udowodnionym twier-

dzeniu, a x

1

;y

1

niech oznacza jakiekolwiek inne rozwi¡zanie. Wtedy oczywi±cie

a(x

1

x

0

) + b(y

1

y

0

) = 0 i para: x

1

x

0

;y

1

y

0

stanowi rozwi¡zanie równania

jednorodnego:

ax by = 0

Tak wi¦c ka»de rozwi¡zanie równania ax+by = 1 jest sum¡ rozwi¡zania szczególne-

go (x

0

;y

0

) tego równania i pewnego rozwi¡zania równania jednorodnego. Pozostaje

nam rozwi¡za¢ równanie jednorodne. Oczywistym rozwi¡zaniem jest x = b;y = a

a wraz z nim wszystkie jego wielokrotno±ci. Okazuje si¦, »e s¡ to wszystkie roz-

wi¡zania wyj±ciowego równania. Je»eli bowiem ax= by, to a dzieli iloczyn by, a

poniewa» a i b s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c a dzieli y. Podobnie b dzieli x. Osta-

tecznie wi¦c ka»de rozwi¡zanie naszego równania jest postaci:

x = x

0

+ tb;

y = y

0

ta;

gdzie t jest dowoln¡ liczb¡ caªkowit¡.
Powy»sze rozwa»ania mo»na uogólni¢, co zrobili ju» Chi«czycy ponad 2 tysi¡ce la

temu.



Twierdzenie 2.2.4

(

TWIERDZENIE

CHI‹SKIE

O

RESZT

A

CH

) Niech

m

­

2

b¦dzie

liczb¡ naturaln¡. Dla dowolnych liczb naturalnych

a

1

;a

2

;:::;a

m

, z których ka»de

34

2. Kongruencje w pier±cieniu.

dwie s¡ wzgl¦dnie pierwsze i dowolnych liczb caªkowitych

r

1

;r

2

;:::;r

m

istniej¡

liczby caªkowite

x

1

;x

2

;:::;x

m

takie, »e

a

1

x

1

+ r

1

= a

2

x

2

+ r

2

= ::: = a

m

x

m

+ r

m

:

D o w ó d. Dla m = 2 teza pokrywa si¦ z tez¡ Twierdzenia2.2.3, bo liczby a

1

;a

2

s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c równanie

a

1

x

1

a

2

x

2

= r

2

r

1

ma rozwi¡zanie w liczbach caªkowitych. Niech m

­

2 b¦dzie dowolnie ustalon¡ licz-

b¡ naturaln¡ i zaªó»my, »e »¡dana równo±¢ zachodzi dla ka»dych m liczb. Rozwa»-

my dowolne liczby naturalne a

1

;a

2

;:::;a

m

;a

m

+1

, z których ka»de dwie s¡ wzgl¦d-

nie pierwsze i dowolne liczb caªkowite r

1

;r

2

;:::;r

m

;r

m

+1

. Niech x

1

;x

2

;:::;x

m

b¦d¡ liczbami caªkowitymi speªniaj¡cymi warunki

a

1

x

1

+ r

1

= a

2

x

2

+ r

2

= ::: = a

m

x

m

+ r

m

:

Poniewa» ka»da z liczb a

1

;a

2

;:::;a

m

jest wzgl¦dnie pierwsza z a

m

+

1

, wi¦c

NWD(a

1

a

2

:::

a

m

;a

m

+

1

) = 1:

Zatem istniej¡ liczby t i u speªniaj¡ce równanie

a

1

a

2

:::

a

m

t a

m

+

1

u = r

m

+

1

a

1

x

1

r

1

:

Niech

x

0

i

= a

1

a

2

:::

a

m

a

i

t + x

i

dla i = 1;2;:::;m oraz x

0

m

+

1

= u:

Šatwo sprawdzi¢, »e liczby x

0

1

;x

0

2

;:::;x

0

m

+

1

speªniaj¡ »¡dany warunek.

Dla i = 1;2;:::;m mamy bowiem

a

i

x

0

i

+ r

i

= a

i



a

1

a

2

:::

a

m

a

i

t + x

i



+ r

i

= a

1

a

2

:::

a

m

t + a

i

x

i

+ r

i

= a

m

+1

x

0

m

+

1

+ r

m

+

1

a

1

x

1

r

1

+ a

i

x

i

+ r

i

= a

m

+1

x

0

m

+

1

:

Zgodnie z zasad¡ indukcji matematycznej,twierdzenie zostaªo udowodnione.
Natychmiastowy jest nast¦puj¡cy wniosek z powy»szego twierdzenia.



Wniosek 2.2.5

Je»eli ka»de dwie spo±ród

m

­

2

liczb naturalnych

a

1

;a

2

;:::;a

m

s¡ wzgl¦dnie pierwsze, to istnieje liczba caªkowita

N

, która przy dzieleniu przez te

liczby daje odpowiednio dowolne dane reszty

r

1

;r

2

;:::;r

m

.

Dalej, poniewa» liczba N+a

1

a

2

:::a

m

k; gdzie k jest dowoln¡ liczb¡ caªkowit¡, daje

przy dzieleniu przez ka»d¡ z liczb a

1

;a

2

;:::;a

m

t¦ sam¡ reszt¦, co liczba N; wi¦c

istnieje niesko«czenie wiele liczb caªkowitych (równie» { niesko«czenie wiele liczb

naturalnych), które przy dzieleniu przez a

1

;a

2

;:::;a

m

daj¡ odpowiednio reszty

r

1

;r

2

;:::;r

m

.

2.2. Kongruencje w pier±cieniu.

35



Przykªad 2.2.6

Znale¹¢ liczb¦ n, która przy dzieleniu przez 5 i przez 7 daj¡ reszty r

1

i r

2

.

R o z w i ¡ z a n i e.

Poniewa» (5;7) = 1; wi¦c równania diofantyczne

7x + 5y = 1 oraz 5x + 7y = 1

maj¡ rozwi¡zania. Szukamy ich, posªuguj¡c si¦ algorytmem Euklidesa, albo wr¦cz

- zgaduj¡c:

7

( 2) + 5

3 = 1 oraz 5

3 + 7

( 2) = 1.

Zauwa»my, »e liczba

n = r

1

t

1

7 + r

2

t

2

5; gdzie t

1

= 2; u

1

= 3: t

2

= 3; u

2

= 2

daje przy dzieleniu przez 5 reszt¦ r

1

, a przy dzieleniu przez 7 - reszt¦ r

2

, bo

n = r

1

(1 5

u

1

) + r

2

t

2

5 = r

1

t

1

7 + r

2

(1 7

u

2

)

I ogólnie - je»eli m

1

;m

2

;:::;m

k

s¡ dowolnymiliczbamicaªkowitymiparamiwzgl¦d-

nie pierwszymi i M = m

1

m

2

:::

m

k

, to rozwi¡zanie równa« diofantycznych

M

m

1

t

1

+ m

1

u

1

= 1;

M

m

2

t

2

+ m

2

u

2

= 1; :::

M

m

k

t

k

+ m

k

u

k

= 1

daje liczb¦

n =

M

m

1

t

1

+

M

m

2

t

2

+ ::: +

M

m

k

t

k

,

która przy dzieleniu przez m

1

;m

2

;:::;m

k

daje odpowiednio reszty r

1

;r

2

;:::;r

k

.

T¦ sam¡ wªasno±¢ ma oczywi±cie ka»da inna liczba ró»ni¡ca si¦ od n o caªkowit¡

wielokrotno±¢ liczby r

1

r

2

:::

r

k

.

Kongruencje w pier±cieniu liczb caªkowitych



Denicja 2.2.3

O liczbach naturalnych

a

i

b

mówimy, »e

przystaja

,

modulo m

,

je±li ich ró»nica jest liczb¡ podzieln¡ przez

m

:

a



b (

mod

m)

(

)

m

j

(a b)

Dla dowolnego moduªu m

2

I

N

relacja przystawania modulo m, zwana

kongruen-

cj¡

, jest relacj¡ typu równowa»no±ci, tzn. jest zwrotna, symetryczna i przechod-

nia. Pod wieloma wzgl¦dami kongruencje zachowuj¡ si¦ podobnie jak równo±ci,

mo»na je dodawa¢ i mno»y¢ (ale nie dzieli¢!) stronami. Przypu±¢my bowiem, »e

a



b (mod m) i c



d (mod m). Oznacza to, »e liczby (a b) i (c d) dziel¡ si¦

przez m, ale wtedy równie» ich suma dzieli si¦ przez m:

m

j

(a + b) (c + d); czyli a + b



c + d (mod m):

36

2. Kongruencje w pier±cieniu.

Zamiast o sumie mo»emy mowi¢ oczywi±cie tak»e o ró»nicy. Natomiast dla iloczynu

korzystamy z faktu, »e wielokrotno±¢ liczby podzielnej przez m jest podzielna przez

m, wi¦c z naszych zaªo»e« wynika, »e

m

j

ac bc i m

j

bc bd;

a st¡d m

j

ac bd.

Co do dzielenia, to zauwa»my, »e z kongruencji: 6



2(mod 4) wcale nie wynika

przystawanie 3 do 1 przy module 4.

Przystawanie liczb a i b modulo m oznacza, »e daj¡ one t¦ sam¡ reszt¦ przy dzie-

leniu przez m. Liczba a przystaje do zera modulo m wtedy i tylko wtedy, gdy

m

j

a. Mno»¡c dan¡ kongruencj¦ przez siebie dochodzimy do wniosku, »e kongruen-

cje mo»na rownie» pot¦gowa¢ stronami (±cisªy dowód prowadzimy przez indukcj¦

wzgl¦dem wykªadnika pot¦gi). Kombinuj¡c te wyniki razem otrzymujemy twier-

dzenie:



Twierdzenie 2.2.5

Je±li

f(x)

jest wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych

oraz

a



b(

mod

m)

, to równie»

f(a)



f(b)(

mod

m)

.

Sformuªujemy jeszcze i udowodnimy kilka po»ytecznych wªsno±ci kongruencji.



Wªasno±¢ 1.

Je»eli d jest wspólnym dzielnikiem liczb a;b i m, to z kongru-

encji a



b (mod m) wynika kongruencja ad



b

d



mod md



.

Do w ó d. Je»eli istnieje liczba caªkowita k taka, »e a b = k

m; to ad

b

d = k

m

d ;

co oznacza, »e ad



b

d



mod md



.



Wªasno±¢ 2.

Je»eli d jest dzielnikiem liczby m to z kongruencji a



b (mod m)

wynika kongruencja a



b (mod d).

Do w ó d. Je»eli istnieje liczba caªkowita k taka, »e a b = k

m oraz m = d

l

dla pewnej liczby caªkowitej l, to a b = kl

d; co oznacza, »e a



b (mod d).



Wªasno±¢ 3.

Je»eli d jest dzielnikiem liczb a i b a liczby d i m s¡ wzgl¦dnie

pierwsze, to z kongruencji a



b (mod m) wynika kongruencja

a

d



b

d



mod m



:

Do w ó d. Dziel¡c równo±¢ a b = k

m stronami przez d otrzymujemy ad

b

d =

km

d :

Poniewa» lewa strona równo±ci jest liczb¡ caªkowit¡ a d i m s¡ wzgl¦dnie pierwsze,

wi¦c kd musi by¢ liczb¡ caªkowit¡ co oznacza, »e

a

d



b

d



mod m



.

2.2. Kongruencje w pier±cieniu.

37



Wªasno±¢ 4.

Je»eli a



b (mod m

i

) dla i = 1;2;:::;r; to

a



b(mod NWW(m

1

;m

2

;:::;m

r

):

Do w ó d. Równo±¢ a b = k

i

m

i

prawdziwa dla i = 1;2;:::;r; oznacza, »e a b jest

wspóln¡ wielokrotno±ci¡ liczb m

1

;m

2

;:::;m

r

, wi¦c dzieli si¦ przez ich najmniejsz¡

wspóln¡ wielokrotno±¢, co oznacza, »e a



b (mod NWW(m

1

;m

2

;:::;m

r

):



Wªasno±¢ 5.

Je»eli a



b(mod m), to NWD(a;m) = NWD(b;m)

Do w ó d. Po prostu zbiory wspólnych dzielników liczb a i m oraz b i m s¡ takie

same.



Wªasno±¢ 6.

Je»eli c jest dzielnikiem liczby a, d jest dzielnikiem liczby b, c

i m s¡ wzgl¦dnie pierwsze, d i m s¡ wzgl¦dnie pierwsze, a



b (mod m) oraz

c



d(mod m), to ac



b

d (mod m).

Do w ó d. Zaªó»my, »e a = k

c oraz b = l

d. Poniewa» c



d (mod m), wi¦c

kc



kd (mod m). St¡d

kd



kc = a



b = ld (mod m);

a poniewa» d i m s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c k



l (mod m) co oznacza, »e

a

c



b

d (mod m):



Przykªad 2.2.7

Wykaza¢, »e liczba

2222

5555

+ 5555

2222

jest podzielna przez 7.

R o z w i ¡ z a n i e. Poniewa» 2222



3 (mod 7); wi¦c

2222

5



3

5

(mod 7) oraz 2222

6



3

6



1 (mod 7):

St¡d 2222

6
925



1 (mod 7): Mno»¡c kongruencje stronami otrzymujemy

2222

5550

2222

5



3

5



5 (mod 7):

Podobnie licz¡c mamy kolejno

5555



4 (mod 7); 5555

2



2 (mod 7) oraz 5555

6



1 (mod 7):

Podnosz¡c t¦ kongruencj¦ do pot¦gi 370 otrzymujemy

5555

2220



1 (mod 7); wi¦c 5555

2222



2 (mod 7);

co po dodaniu stronami daje 2222

5555

+ 5555

2222



5 + 2



0 (mod 7);

czyli liczba 2222

5555

+ 5555

2222

jest podzielna przez 7.

38

2. Kongruencje w pier±cieniu.



Przykªad 2.2.8

Dowie±¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej

n

liczba

3

(6

n

)

2

(6

n

)

jest podzielna przez 35.

R o z w i ¡ z a n i e. Poniewa» 3

3



2

3

(mod 35); wi¦c podnosz¡c obie strony do

parzystej pot¦gi 3

n

1

2

n

otrzymujemy

3

3
3

n

1

2

n



2

3
3

n

1

2

n

(mod 35) czyli 3

3

n

2

n



2

3

n

2

n

(mod 35);

co daje 3

(6

n

)



2

(6

n

)

(mod 35):



Przykªad 2.2.9

Pokaza¢, »e dla ka»dej nieparzystej liczby pierwszej

p

istniej¡

liczby caªkowite

x

i

y;

takie, »e

p

j

1 + x

2

+ y

2

:

R o z w i ¡ z a n i e. Rozpatrzmy reszty z dzielenia przez p liczb n

2

dla n =

0;1;2;:::;

1

2

(p 1): S¡ one wszystkie ró»ne, gdy» w przeciwnym przypadku p

byªoby dzielnikiem liczby r

2

s

2

; gdzie r i s s¡ pewnymi ró»nymi liczbami ze zbioru

A =

f

0;1;2;:::;

1

2

(p 1)

g

: Niech np. r > s: Poniewa» p

j

r

2

s

2

= (r s)(r+s);

wi¦c p; jako liczba pierwsza dzieli (r s) lub (r + s): Ka»dy z tych przypadków

jest niemo»liwy, gdy»

0 < r s

¬

1

2(p 1) i 0 < r + s

¬

212(p 1) = p 1:

Liczby 1 + m

2

; gdzie m

2

A daj¡ wi¦c

1

2

(p 1) + 1 =

1

2

(p + 1) ró»nych reszt

z dzielenia przez p: Podobnie jest z liczbami n

2

gdzie n

2

A. Obydwa te zbiory

daj¡ wi¦c p + 1 reszt, co jest niemo»liwe. Zatem pewne liczby 1 + x

2

oraz y

2

daj¡ t¦ sam¡ reszt¦, czyli p

j

1 + x

2

+ y

2

:

Funkcja Gaussa i Maªe Twierdzenie Fermata

W j¦zyku kongruencji wygodnie jest formuªowa¢ i dowodzi¢ klasyczne twierdzenia

teorii liczb. Zajmiemy si¦ teraz niektórymi z nich.

Przypomnijmy, »e dla dowolnej liczby naturalnej n > 0 przez

Z

Z



n

oznaczali±my

zbiór dodatnich liczb mniejszych od n i wzgl¦dnie pierwszych z n:

P

m

=

f

0 < k < m : NWD(k;m) = 1

g

:

Dla liczby pierwszej p mamy wi¦c

Z

Z



p

=

f

1;2;:::;p 1

g

. Niech (n) oznacza liczb¦

elementów zbioru

Z

Z



n

. Funkcja (m) nazywa si¦

funkcj¡ Gaussa

2

. Oznaczmy

przez r

1

;r

2

;:::;r



(

n

)

wszystkie elementy zbioru

Z

Z



n

, czyli

Z

Z



n

=

f

r

1

;r

2

;:::;r



(

n

)

g

:

2

Karl Friedrich Gauss, (1777{1855), zwany "ksi¦ciem matematyków", matematyk niemiecki,

uwa»any za jednego z trzech, obok Archimedesa i Newtona, najwi¦kszych matematyków ±wiata.

Jego prace dotycz¡ teorii liczb, algebry, rachunku ró»niczkowego i caªkowego, teorii szeregów,

statystyki matematycznej,geometrii sferycznej i geometrii nieeuklidesowej. Gauss stworzyª tak»e

zupeªnie nowe gaª¦zie matematyki, w tym teori¦ funkcji zespolonych i geometri¦ ró»niczkow¡.

Zajmowaª si¦ te» zyk¡, geodezj¡, astronomi¡.

2.2. Kongruencje w pier±cieniu.

39

Niech a b¦dzie liczb¡ dodatni¡ tak¡, »e NWD(a;n) = 1. Wówczas reszty [ar

i

]

(

n

)

z

dzielenia iloczynów ar

i

dla i = 1;2:::;(n) przez n wypeªniaj¡ caªy zbiór

Z

Z



n

. Aby

to uzasadni¢, zauwa»my, »e te reszty s¡ mniejsze ni» n oraz wzgl¦dnie pierwsze z n,

bo ka»dy z iloczynów ar

i

jest liczb¡ wzgl¦dnie pierwsz¡ z m. Wszystkie te reszty

s¡ wi¦c elementami zbioru

Z

Z



n

. Równocze±nie stwierdzamy, »e s¡ one ró»ne mi¦dzy

sob¡, bo dla i

6

= j liczba ar

i

nie przystaje do ar

j

modulo n. Mamy wi¦c (n)

elementów zbioru

Z

Z



n

, czyli wszystkie jego elementy. Dla ka»dego 1

¬

i

¬

(m)

istnieje wi¦c 1

¬

j

¬

(m) takie, »e

ar

i



r

j

(mod n)

Mno»¡c te kongruencje stronami otrzymujemy:

a



(

n

)



(

n

)

Y

i

=1

r

i





(

n

)

Y

j

=1

r

j

(mod n):

Oznaczaj¡c przez r iloczyn wszystkich r

i

mo»emy to zapisa¢:

r



ra

(

n

)

(mod n); czyli n

j

r



a



(

n

)

1



Poniewa» liczby n i r s¡ wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c n

j

a



(

n

)

1

.

Udowodnili±my w ten sposób tzw.

Twierdzenie Eulera

3

.



Twierdzenie 2.2.6

(

TWIERDZENIE

EULERA

): Dla ka»dej liczby caªkowitej

a

pierw-

szej wzgl¦dem liczby naturalnej

n

zachodzi kongruencja

a



(

n

)



1 (

mod

n):

Wnioskiem z niego jest tzw.

Maªe Twierdzenie Fermata

:



Twierdzenie 2.2.7

(

MAŠE

TWIERDZENIE

FERMA

T

A

): Je»eli

p

jest liczb¡ pierwsz¡

i

p

nie dzieli

a;

to

a

p

1



1 (

mod

p)

. St¡d

a

p



a (

mod

p)

, czyli

p

j

(a

p

a)

.

Komentarz.

Powinni±my sobie przypomnie¢ w tym miejscu Wniosek 1.3.3, z któ-

rego natychmiast wynika Twierdzenie Eulera (i MTF) dla liczb a

2

Z

Z



n

.



Przykªad 2.2.10

Pokaza¢, »e dla ka»dej liczby naturalnej

k

liczba



2

(2

6

k

+2

)

+3



jest podzielna przez

19:

3

Leonard Euler, (1707{1783), szwajcarski matematyk, zyk i astronom, studiowaª w Bazylei

u Johannesa Bernoulli'ego,byª profesorem na uniwersytetachw Petersburgui Berlinie. Euler jest

autorem ok. 500 prac prac z dziedziny matematyki, w których zajmowaª si¦ m.in. rachunkiem

ró»niczkowym i caªkowym, równaniami ró»niczkowymi, szeregami niesko«czonymi i funkcjami

zespolonymi. Jest twórc¡ znacznej cz¦±ci wspóªczesnej notacji matematycznej | wprowadziª

symbole

e;

 ;

i

, podaª obecnie u»ywane denicje funkcji trygonometrycznych,stosuj¡c oznaczenia

"sin", "cos". Euler pracowaª równie» nad zastosowaniami matematyki w zyce, mechanice, teorii

spr¦»ysto±ci.

40

2. Kongruencje w pier±cieniu.

Poniewa» 2

6



1 (mod 9); wi¦c dla ka»dej liczby naturalnej k

2

6

k



1 (mod 9) i 2

6

k

+2



2

2

(mod 9):

Poniewa» obie strony ostatniej kongruencji s¡ parzyste, wi¦c 2

6

k

+2



2

2

(mod 18):

Zatem 2

6

k

+2

= 18t+2

2

dla pewnej liczby naturalnej t; a st¡d 2

2

6

k

+2

= 2

18

t

+2

2

=

16

2

18

t

: Z MTF wynika, »e 2

18



1 (mod 19); wi¦c 2

18

t



1 (mod 19):

Poniewa» 16



3 (mod 19); wi¦c ostatecznie 16

2

18

t



3 (mod 19):

Niech f(x) = a

n

x

n

+ a

n

1

x

n

1

+ ::: + a

1

x + a

0

b¦dzie wielomianem stopnia n o

wspóªczynnikach caªkowitych.

Pierwiastkiem kongruencji

f(x)



0 (mod m)

nazywamy ka»d¡ liczb¦ caªkowit¡  tak¡, »e f()



0 (mod m): Je»eli  jest pier-

wiastkiem i 



 (mod m) , to równie»  jest pierwiastkiem, gdy» z twierdzenia

o mno»eniu i dodawaniu kongruencji wynika wówczas, »e f()



f() (mod m):

Takie dwa pierwiastki b¦dziemy uwa»ali za jedno rozwi¡zanie. Rozwi¡zaniem kon-

gruencji jest wi¦c caªy ci¡g liczb  + lm; gdzie k = 1;2;3;:::: Poszukiwanie roz-

wi¡za« sprowadza si¦ do poszukiwania pierwiastków w zbiorze

f

0;1;:::;m 1

g

.

Mówi¡c o liczbie rozwi¡za« kongruencji, mamy na my±li liczb¦ jej pierwiastków

zawartych mi¦dzy 0 a m 1.

Rozwa»amy wielomian stopnia n = 1 i kongruencj¦

(



) ax



b (mod m)

Oznacza to, »e m

j

(ax b), a wi¦c istnieje takie y, »e ax b = my: Kongruencja

sprowadza si¦ wi¦c do równania diofantycznego:

ax my = b:

Wiemy,»e takie równanie ma rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, gdy d = NWD(a;m)

jest dzielnikiem b. Jedno rozwi¡zanie (x

0

;y

0

) tego równania znajdujemy wówczas

posªuguj¡c si¦ algorytmem Euklidesa do wyra»enia liczby d, a za ni¡ tak»e b, jako

kombinacji liniowej liczb a i m. Wszystkie inne rozwi¡zania mo»na wi¦c zapisa¢ w

postaci:

x = x

0

+ t

m

1

;

y = y

0

+ t

a

1

gdzie m

1

d = m oraz a

1

d = a: Je»eli t

2

f

0;1;:::d 1

g

; to rozwi¡zania te nie

przystaj¡ modulo m. Gdyby bowiem dla pewnych 0

¬

i < j

¬

d 1 prawdziwa

byªa zale»no±¢ x

0

+ i

m

1



x

0

+ j

m

1

; (mod m); to m

1

d = m

j

(j i)m

1

; czyli

d

j

(j i); co oczywi±cie nie jest mo»liwe. Zatem t

2

f

0;1;:::d 1

g

wyznaczaj¡

ró»ne rozwi¡zania wyj±ciowej kongruencji. Bior¡c t

­

d nie dostaniemy nowych

rozwi¡za« kongruencji. Dlaczego? Przedstawmy t w postaci t = kd+r dla pewnego

r

2

f

0;1;:::d 1

g

: Wówczas

x = x

0

+ t

m

1



x

0

+ r

m

1

(mod m);

bo (t r)m

1

= ldm

1

= lm: Udowodnili±my zatem nast¦puj¡ce twierdzenie.

2.2. Kongruencje w pier±cieniu.

41



Twierdzenie 2.2.8

Kongruencja liniowa

ax



b (

mod

m)

ma

d

rozwi¡za« postaci

x = x

0

+ t

m

1

;

gdzie

d =

NWD

(a;m); m = dm

1

oraz

t

2

f

0;1;:::d 1

g

:

St¡d wniosek.



Wniosek 2.2.6

Je»eli

d =

NWD

(a;m) = 1;

to kongruencja liniowa

ax



b (

mod

m)

ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie.

W szczególno±ci, je»eli moduª kongruencji jest liczb¡ pierwsz¡, która nie dzieli a,

to d = 1 i kongruencja:

(



) ax



b (mod p)

ma jedno rozwi¡zanie. Znajdujemy je korzystaj¡c z twierdzenia Fermata. Niech

bowiem p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡, która nie dzieli a. Mamy wi¦c a

p

1



1(mod p).

Mno»¡c t¦ ostatni¡ kongruencj¦ stronami przez b, otrzymujemy

ba

p

1



b (mod p)

Przyjmuj¡c teraz x

0

= ba

p

2

mamy ax

0



b(mod p) i reszta z dzielenia x

0

przez

p wyznacza jedyne rozwi¡zanie kongruencji (



).



Przykªad 2.2.11

Kongruencja liniowa

3x



5 (

mod

4)

ma jedno rozwi¡zanie, bo

d =

NWD

(3;4) = 1:

Wyznaczamy je rozwi¡zuj¡c równanie diofantyczne 3x 4y = 5:

Poniewa» 3

( 1) + 4

1 = 1; wi¦c 3

( 5) + 4

5 = 5 i jako jedyne rozwi¡zanie tej

kongruencji otrzymujemy x = 5 + 4l:



Przykªad 2.2.12

Wyznaczy¢ wszystkie rozwi¡zania kongruencji liniowej

2x



6 (

mod

4):

Poniewa» d = NWD(2;4) = 2; wi¦c, zgodnie z udowodnionym wy»ej twierdze-

niem, oczekujemy dwu rozwi¡za« | dla t = 0 oraz t = 1: Rozwi¡zuj¡c równanie

diofantyczne 2x 4y = 6; otrzymujemy

2

( 1) 4

( 1) = 2; wi¦c 2

( 3) 4

( 3) = 6:

Zatem jako rozwi¡zania tej kongruencji otrzymujemy:

x

1

= 3 + 0

2 + 4l = 3 + 4l oraz x

2

= 3 + 1

2 + 4l = 1 + 4l:



Przykªad 2.2.13

Wyznaczy¢ wszystkie rozwi¡zania kongruencji liniowej

8x



4 (

mod

3):

Poniewa» 3 jest liczb¡ pierwsz¡, która nie jest dzielnikiem liczby 8; wi¦c na mocy

Maªego Twierdzenia Fermata

3

j

8

2

1; czyli 8

2



1 (mod 3:)

42

2. Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.

St¡d 8

2

4



4 (mod 3:); wi¦c 8

(4

8)



4 (mod 3:)

Rozwi¡zaniem tej kongruencji jest zatem x = 32 i bior¡c x

0

= 2; czyli reszt¦ z

dzielenia 32 przez 3 wyznaczamy rozwi¡zanie ogólne x = 2 + 3l:
Dla kongruencji o module b¦d¡cym liczb¡ pierwsz¡ prawdziwe jest twierdzenie o

liczbie rozwi¡za«, analogiczne (i podobnie dowodzone !) do twierdzenia o liczbie

pierwiastków wielomianu w zbiorze liczb rzeczywistych.



Twierdzenie 2.2.9

(

LA

GRANGE

4

): Je»eli

f

jest wielomianem stopnia

n

o wspóª-

czynnikach caªkowitych, a

p

- liczb¡ pierwsz¡ nie dziel¡c¡ wspóªczynnika przy

x

n

,

to kongruencja

f(x)



0 (

mod

p)

ma nie wi¦cej ni»

n

rozwi¡z«.

2.3 Poj¦cie ciaªa. Podstawowe wªasno±ci i przy-

kªady.



Denicja 2.3.1

Pier±cie«

h

K;



;

i

nazywamy

cial

6

6 6 6 6

em

, je»eli:

(F1) K

zawiera przynajmniej dwa elementy,

(F2)

h

K

n

f

0

g

;

i

jest grup¡.

h

K;

i

nazywamy

addytywna

,

grupa

,

cial

6

6 6 6 6

a

, a

h

K

n

f

0

g

;

i

-

multyplikatywna

,

grupa

,

cial

6

6 6 6 6

a

.

W ciele nie ma oczywi±cie dzielników zera, bo z warunku a;b

2

K

n

f

0

g

wynika,

»e a



b

2

K

n

f

0

g

.



Denicja 2.3.2

Niepusty podzbiór

L

ciaªa

K

, b¦d¡cy ciaªem wzgl¦dem dziaªa« w

K

nazywamy

podciaªem

ciaªa

K

.



Przykªad 2.3.1

Ciaªami s¡ zbiory

C

Q

;

I

R

;

C

C

z dodawaniem i mno»eniem. W dalszym ci¡gu te trzy

ciaªa oraz wszystkie ciaªa w nich zawarte b¦dziemy nazywa¢

ciaªami liczbowymi

.



Przykªad 2.3.2

Zbiór

C

Q

(

p

2) =

f

a + b

p

2 : a;b

2

C

Qg

tworzy ciaªo ze zwyczajnymi dziaªaniami:

dodawaniem i mno»eniem.

Przede wszystkim zauwa»my, »e dla a;b

2

C

Q

a + b

p

2 = 0

(

)

a = 0

^

b = 0.

Ponadto

4

Joseph Louis Lagrange,(1736{1813),matematykfrancuski,zajmowaª si¦ teori¡ liczb, algebr¡

i mechanik¡teoretyczn¡,której podstawyzawarª w opublikowanymw roku 1788 dziele

M



ecanique

analitique

2.3. Poj¦cie pier±cienia. Podstawowe wªasno±ci i przykªady.

43

(a + b

p

2) + (c + d

p

2) = (a + c) + (b + d)

p

2

2

C

Q

(

p

2)

(a + b

p

2)

(c + d

p

2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)

p

2

2

C

Q

(

p

2)

Element odwrotny do a + b

p

2

6

= 0 znajdujemy, usuwaj¡c niewymierno±¢ z mia-

nownika. Pami¦tajmy, »e a

2

2b

2

6

= 0, bo

p

2 jest liczb¡ niewymiern¡.

(a + b

p

2)

1

=

a b

p

2

(a + b

p

2)(a b

p

2) =

a

a

2

2b

2

b

a

2

2b

2

p

2.



Przykªad 2.3.3

W Przykªadzie 1.1 sprawdzili±my, »e zbiory

C

Q

i

I

R

tworz¡ ciaªo z dziaªaniami

a



b = a + b + 1 oraz a



b = a + b + ab.



Przykªad 2.3.4

Pier±cie«

hZ

Z

p

;+

p

;

p

i

jest ciaªem wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczb¡ pierwsz¡.

D o w ó d. (=

)

) Je»eli p nie jest liczb¡ pierwsz¡, to dla pewnych n;m

2

Z

Z

p

n

f

0

g

jest n

p

m = p



0

2

6

Z

Z

p

n

f

0

g

; czyli mno»enie nie jest dziaªaniem w zbiorze

Z

Z

p

n

f

0

g

.

(

(

=) Je»eli p nie jest liczb¡ pierwsz¡, to pozostaje nam wykaza¢, »e ka»dy element

zbioru

Z

Z

p

nf

0

g

ma element odwrotny. Niech m

0

b¦dzie dowolnymelementem zbioru

Z

Z

p

n

f

0

g

i rozwa»my zbiór A =

f

1

p

m

0

;1

p

m

0

;:::;(p 1)

p

m

0

g

. Zauwa»my,

»e A



Z

Z

p

n

f

0

g

. Je»eli wyka»emy, »e wszystkie elementy zbioru A s¡ ró»ne, to

(poniewa» jest ich (p 1)) zachodzi równo±¢ A =

Z

Z

p

n

f

0

g

: To oznacza, »e w±ród

liczb postaci k

p

m

0

jest liczba 1, czyli dla pewnego k

0

2

Z

Z

p

n

f

0

g

jest k

0

p

m

0

= 1;

tzn. k

0

= m

1

0

: Zaªó»my wi¦c, »e dla pewnych 0

¬

i < j < p jest i

p

m

0

= j

p

m

0

.

St¡d (j i)

p

m

0

= 0, co jest niemo»liwe, bo liczba (j i), jako mniejsza od p nie

mo»e by¢ podzielna przez p.
W ciaªach liczbowych wielokrotno±¢ jedno±ci nigdy nie jest zerem. Nietrudno za-

uwa»y¢, »e w wy»ej rozpatrywanym ciele

hZ

Z

p

;+

p

;

p

i

zachodzi równo±¢

p

1 = 1 + 1 + ::: + 1 = 0:



Denicja 2.3.3

Charakterystyka

,

cial

6

6 6 6 6

a

K

nazywamy najmniejsz¡ liczb¦ natu-

raln¡

p

tak¡, »e

p

1 = 0

. Je»eli taka liczba nie istnieje, to mówimy, »e

cial

6

6 6 6 6

o ma

charakterystyke

,

zero

.

Charakterystyk¦ ciaªa K b¦dziemy oznacza¢ symbolem (K). Zatem (

Z

Z

p

) = p.

W ciele sko«czonym wielokrotno±ci jedno±ci 1

1;2

1;3

1;:::nie mog¡by¢ wszystkie

ró»ne, wi¦c dla pewnych i < j jest i

1 = j

1; co daje (j i)

1 = 0 i otrzymujemy



Fakt 2.3.4

Je»eli

K

jest ciaªem sko«czonym, to

(k)

6

= 0:

Poniewa» w ciele nie ma dzielników zera, wi¦c



Fakt 2.3.5

Charakterystyka ciaªa jest liczb¡ pierwsz¡.

44

2. Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª.

2.4 Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª.

Rozszerzenia ciaª.



Denicja 2.4.1

Niech

h

R

1

;



1

;



1

i

i

h

R

2

;



2

;



2

i

b¦d¡ dwoma pier±cieniami.

Odwzorowanie

 : R

1

!

R

2

nazywamy

homomorzmem

, je»eli dla dowolnych

a;b

2

R

1

speªnione s¡ warunki

(a



1

b) = (a)



2

(b)

oraz

(a



1

b) = (a)



2

(b):

Homomorzm, który jest odwzorowaniem ró»nowarto±ciowym pier±cienia

R

1

na

pier±cie«

R

2

nazywamy

izomorzmem

.



Denicja 2.4.2

Zbiór Ker

=

f

a

2

R

1

: (a) = 0

g

nazywamy

ja

,

drem homo-

morzmu



.

Peªn¡ analogi¦ mi¦dzy poj¦ciem dzielnika normalnego i homomorzmu grup a po-

j¦ciem ideaªu i homomorzmu pier±cieni wida¢ w nast¦puj¡cych faktach. Tak, jak

dzielniki normalne danej grupy s¡ jedynymi j¡drami homomorzmów tej grupy,

tak ideaªy pier±cienia przemiennego (i tylko one) s¡ jedynymi j¡drami homomor-

zmów tego pier±cienia.



Fakt 2.4.3

Je»eli

 : R

1

!

R

2

jest homomorzmem pier±cienia

h

R

1

;



1

;



1

i

w

pier±cie«

h

R

2

;



2

;



2

i

, to zbiór Ker



jest ideaªem pier±cienia

R

1

.



Fakt 2.4.4

Je»eli

I

jest ideaªem pier±cienia

R

, to odwzorowanie

 : R

!

R

j

I

przyporz¡dkowuj¡ce ka»demu elementowi warstw¦ tego elementu wzgl¦dem ideaªu

I

jest homomorzmem pier±cienia

R

na pier±cie« ilorazowy

R

j

I

. J¡drem tego ho-

momorzmu jest ideaª

I

.

Poniewa» ciaªo ma tylko ideaªy niewªa±ciwe, wi¦c ka»dy homomorzm ciaªa na

ciaªo jest izomorzmem.



Przykªad 2.4.1

Ciaªa

C

Q

,

C

Q

(

p

2) s¡ podciaªami ciaªa

I

R

.



Fakt 2.4.5

Ciaªo liczb wymiernych jest podciaªem ka»dego ciaªa liczbowego.



Denicja 2.4.6

Ciaªo

K

nazywamy

rozszerzeniem

ciaªa

K

0

, je»eli ciaªo

K

0

jest

izomorczne z pewnym podciaªem ciaªa

K

.



Przykªad 2.4.2

Ciaªo

C

Q

(

p

2) jest rozszerzeniem ciaªa

C

Q

.

2.4. Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª.

45



Przykªad 2.4.3 (Liczby konstruowalne)

Ostatni przykªad jest szczególnym przypadkiem du»o ogólniejszej sytuacji, która

pokazuje, jak daleko algebra abstrakcyjna pozwoliªa u±ci±li¢, a w konsekwencji -

rozwi¡za¢ pewne problemy geometrii klasycznej.



Denicja 2.4.7

Liczb¦

a > 0

nazywamy

konstruowalna

,

, je»eli, maj¡c dany od-

cinek jednostkowy mo»na za pomoc¡ cyrkla i linijki skonstruowa¢ odcinek o dªugo-

±ci

a

. Liczb¦

a < 0

nazywamy konstruowaln¡, je»eli

a

jest liczb¡ konstruowaln¡.

Liczb¦ 0 uznajemy za konstruowaln¡ na mocy denicji.

Zbiór liczb konstruowalnych oznaczmy przez

I

K

. Wykonuj¡c podstawowe konstruk-

cje geometryczne oparte gªównie na twierdzeniu Talesa przekonujemy si¦, »e zbiór

ten jest ciaªem zawieraj¡cym wszystkie liczby wymierne. Jak, maj¡c dany odcinek

jednostkowy, otrzyma¢ odcinek o dªugo±ci

mn

, gdzie m;n

2

I

N

pokazuje poni»szy

rysunek.

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

1

a

b

x























Rys.1. Konstrukcja odcinka o dªugo±ci

3

5

.

Odkªadamy na jednym z ramion k¡ta

odcinek o dªugo±ci 3

1 i otrzymuje-

my punkt A. Na drugim ramieniu od-

kªadamy pi¦ciokrotno±¢ jakiegokolwiek

odcinka i otrzymujemy punkt B. Š¡-

cz¡c punkt A z punktem B i prowadz¡c

proste równolegªe przez ko«ce poszcze-

gólnych odcinków otrzymujemy, dzi¦ki

twierdzeniu Talesa, odcinek OC o dªu-

go±ci

3

5

.

Kolejne dwa rysunki podaj¡ konstrukcje iloczynu i ilorazu dwu dowolnych odcin-

ków o dªugo±ciach a i b.

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

1

a

b

x























Rys.2. Konstrukcja odcinka o dªugo±ci

a

b

.

Z Twierdzenia Talesa wynika, »e

b

1

=

x

a

,

czyli

x

=

a

b

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

1

x

b

a























Rys.3. Konstrukcja odcinka o dªugo±ci

a

b

.

Z Twierdzenia Talesa wynika, »e

b

1

=

a

x

,

czyli

x

=

a

b

.

Na ostatnim rysunku mamy konstrukcj¦ odcinka o dªugo±ci

p

a, gdzie a > 0 jest

46

2. Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª.

dowolnym elementem zbioru

I

K

. Otrzymali±my wi¦c ciaªo liczbowe zawieraj¡ce cia-

ªo liczb wymiernych i zamkni¦te wzgl¦dem operacji wyci¡gania pierwiastka kwa-

dratowego z elementów nieujemnych. Pozostaje pytanie o opis algebraiczny tych

liczb i o mo»liwo±¢ wykonywania w tym zbiorze innych jeszcze operacji (np. pier-

wiastkowa« wy»szych stopni). Šatwo zauwa»y¢, »e w zbiorze tym mo»na wyci¡ga¢

pierwiastki stopnia 2

n

.

Spróbujmy wyrazi¢ konstruowalno±¢ w j¦zyku algebry. Poszczególne kroki klasycz-

nej konstrukcji geometrycznej to prowadzenie prostych i okr¦gów i znajdowanie

punktów przeci¦cia tych linii. Algebraicznie odpowiada to rozwi¡zywaniu równa«

liniowych i kwadratowych oraz ukªadów takich równa«. Ka»dy z tych ukªadów

sprowadza si¦ do ukªadu dwóch równa«, z których jedno jest liniowe, a drugie

stopnia nie wy»szego ni» dwa (wynika to st¡d, »e w równaniu okr¦gu wspóªczyn-

nik zarówno przy x

2

jak i przy y

2

równy jest 1, wi¦c odejmuj¡c stronami dwa

takie równania otrzymamy równanie stopnia pierwszego). Ostatecznie wi¦c wyko-

nanie poszczególnego kroku konstrukcji oznacza rozwi¡zanie równania kwadrato-

wego, którego wspóªczynniki s¡ liczbami znalezionymi w taki sam sposób we wcze-

±niejszych krokach konstrukcji. Rozwi¡zaniem takiego równania jest liczba postaci

u + v

p

w, gdzie u;v i w s¡ liczbami zbudowanymi we wcze±niejszych krokach. Po-

niewa» ka»da konstrukcja skªada si¦ ze sko«czenie wielu kroków mo»na powiedzie¢,

»e do ka»dej liczby konstruowalnej dochodzimy poprzez sko«czony ci¡g kolejnych

rozszerze« ciaªa liczb wymiernych, z których ka»de jest rozszerzeniem poprzedniego

o pewien pierwiastek kwadratowy.

Otrzymali±my zatem nast¦puj¡c¡ charakteryzacj¦:

Liczba

x

jest konstruowalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba

naturalna

n

i ci¡g ciaª liczbowych

F

F

0

=

C

Q



F

F

1



F

F

2



:::



F

F

n

taki, »e

x

2

F

F

n

oraz dla ka»dego

i < n

istnieje element

w

i

2

F

F

i

, dla którego

p

w

i

2

6

F

F

i

oraz

F

F

i

+1

=

F

F

i

(

p

w

i

)

.

Przykªady

1) Dla dowolnej liczby naturalnej n liczba

p

n jest konstruowalna.

Je»eli liczba n jest peªnym kwadratem, to oczywi±cie

p

n

2

C

Q

.

Je»eli liczba n jest peªnym kwadratem, to: geometrycznie - liczba

p

n jest rów-

na dªugo±ci wysoko±ci trójk¡ta prostok¡tnego opuszczonej na przeciwprostok¡tn¡,

której dªugo±¢ równa jest n + 1:

algebraicznie -

p

n jest elementem ciaªa

F

F

1

=

C

Q

(

p

n):

2) Liczba

4

p

2 jest elementem ciaªa

F

F

2

=

F

F

1

(

p

2); gdzie

F

F

1

=

C

Q

(

p

2):

Zauwa»my, »e

4

p

2 nie jest elementem ciaªa

F

F

1

=

C

Q

(

p

2): Gdyby bowiem dla pew-

nych wymiernych a; b; zachodziªa równo±¢

4

p

2 = a + b

p

2 ,

to

p

2 = a

2

+ 2b

2

+ 2ab

p

2; co nie jest mo»liwe, bo

p

2 nie jest liczb¡ wymiern¡.

3) Konstruowalne s¡ liczby: cos



12

; tg



8

; tg



16

; bo wystarczy zauwa»y¢, »e

2.4. Homomorzmy i izomorzmy pier±cieni i ciaª. Rozszerzenia ciaª.

47

cos



12

=

q

1

2

+

p

3

4

; tg



8

= 1 +

p

2; tg



16

=

1+

p

1+(

1+

p

3

)

2

1+

p

3

:

Maj¡c sprecyzowan¡ denicj¦ liczby konstruowalnej mo»emy np. sprawdzi¢, »e licz-

ba

3

p

2 nie jest konstruowalna. Jest to jeden ze sªawnych staro»ytnych problemów

dotycz¡cych konstrukcji geometrycznych, tzw. problem

podwojenia sze±cianu

- czy mo»na zbudowa¢ konstrukcyjnie sze±cian, którego obj¦to±¢ jest dwukrotnie

wi¦ksza od obj¦to±ci zadanego sze±cianu?
Poniewa» mo»emy przyj¡¢, »e zadany sze±cian ma kraw¦d» dªugo±ci 1, szukamy

wi¦c sze±cianu o obj¦to±ci 2. Jego kraw¦d» ma dªugo±¢

3

p

2 i taki odcinek nale»a-

ªoby skonstruowa¢. Wyka»emy algebraicznie, »e nie jest to mo»liwe.

Przypu±¢my, »e liczba

3

p

2 jest konstruowalna i utwórzmy dla niej opisany wy»ej

ci¡g ciaª liczbowych

F

0

=

C

Q



F

1



F

2



:::



F

n

o najmniejszej mo»liwej dªugo±ci

taki, »e

3

p

2

2

F

n

. Oznacza to, »e równanie x

3

2 =0 ma rozwi¡zanie w ciele

F

n

.

Jako element tego ciaªa, rozwi¡zanie to jest postaci p + q

p

w

n

1

, gdzie q

6

= 0 a

p

w

n

1

2

6

F

n

1

. Jest wi¦c

(p + q

p

w

n

1

)

3

2 = 0

czyli

p

3

+ 3p

2

q

p

w

n

1

+ 3pq

2

w

n

1

+ q

3

w

n

1

p

w

n

1

2 = 0

Poniewa» w przypadku, gdy

p

s

2

6

F

n

1

mamy

a + b

p

s = 0 jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy a = b = 0;

wi¦c



p

3

+ 3pq

2

w

n

1

2 = 0;

3p

2

q + q

3

w

n

1

= 0:

(

)



p

3

+ 3pq

2

w

n

1

2 = 0;

3p

2

q q

3

w

n

1

= 0:

Zatem równie» p

3

3p

2

q

p

w

n

1

+ 3pq

2

w

n

1

q

3

w

n

1

p

w

n

1

= 0;

co oznacza, »e

(p q

p

w

n

1

)

3

2 = 0:

Okazaªo si¦ wi¦c, »e równanie trzeciego stopnia x

3

2 = 0 ma dwa ró»ne pierwiastki

rzeczywiste (pami¦tamy, »e q

6

= 0), co - jak wiemy - nie jest prawd¡. Otrzymana

sprzeczno±¢ dowodzi, »e zaªo»enie konstruowalno±ci

3

p

2 nie jest prawdziwe.

Podobnie mo»na pokaza¢, »e nie jest wykonalny konstrukcyjny podziaª dowolnego

k¡ta na trzy równe cz¦±ci (klasyczny problem

trysekcji k¡ta

). Nierozwi¡zalno±ci

trzeciego klasycznego greckiego problemu,

kwadratury koªa

, nie mo»na poka-

za¢ t¡ metod¡, poniewa» liczba  nie jest pierwiastkiem »adnego wielomianu o

wspóªczynnikach wymiernych.

48

2. Zadania.

2.5 Zadania.

1. W zbiorze

I

N

rozwa»amy dwa dziaªania: mno»enie oraz



okre±lone wzorem

a



b = a

b

. Sprawdzi¢, czy dziaªanie



jest rozdzielne wzgl¦dem mno»enia.

2. Rozwa»amy zbiór

I

R

liczb rzeczywistych z dziaªaniami

x

_

y=max

f

x;y

g

; x

^

y=min

f

x;y

g

:

Udowodni¢, »e ka»de z tych dziaªa« jest rozdzielne wzgl¦dem drugiego. Wy-

korzysta¢ ten fakt do dowodu, »e dziaªania okre±lone w zadaniu 1.1(f) maj¡

t¦ sam¡ wªasno±¢.

3. Czy zbiór liczb rzeczywistych z dziaªaniami a



b = a+b+1; a



b = ab a b

jest ciaªem? Odpowiedzie¢ na to samo pytanie w przypadku a



b = a + b +

5; a



b = ab a b + 2.

4. Niech w b¦dzie liczb¡ naturaln¡ tak¡, »e

p

w nie jest liczb¡ wymiern¡. Poka-

za¢, »e zbiór

C

Q

(

p

w) =

f

a + b

p

w : a;b

2

C

Qg

tworzy ciaªo. Znale¹¢ elementy

odwrotne do: 1 + 2

p

w;3

p

w:

5. Czy zbiór

f

a + b

3

p

2 : a;b

2

C

Q

g

jest pier±cieniem? Opisa¢ najmniejszy pier-

±cie« zawieraj¡cy ten zbiór.

6. Sprawdzi¢, »e zbiór macierzy postaci



a b

b a



, gdzie a;b

2

I

R

; a

6

= 0 jest

ciaªem z dodawaniem i mno»eniem macierzy.

7. Czy zbiór wszystkich liczb wymiernych postaci 2

1

k; gdzie k jest dowoln¡

liczb¡ caªkowit¡ jest pier±cieniem ze zwyczajnym dodawaniem i mno»eniem?

8. Wykaza¢, »e zbiór 2

X

tworzy pier±cie« z dziaªaniami



;

\

.

9. Wyznaczy¢ wszystkie podpier±cienie pier±cienia

Z

Z

12

.

10. Pokaza¢, »e zbiór wszystkich ci¡gów niesko«czonych o wyrazach rzeczywi-

stych jest pier±cieniem z dziaªaniami

(a

n

) + (b

n

) = (a

n

+ b

n

) oraz (a

n

)

(b

n

) = (a

n

+ b

n

)

Opisa¢ posta¢ dzielników zera w tym pier±cieniu.

11. Pokaza¢, »e w dowolnym pier±cieniu z jedno±ci¡ zachodz¡ zale»no±ci:

(a) 0

x = x

0 = 0,

(b) ( 1)

x = x

( 1) = x,

(c) ( x) = x,

(d) ( x)

y = (x

y) = x

( y),

(e) x

(y z) = x

y x

z.

2.5. Zadania.

49

12. Wykaza¢, »e w dowolnym pier±cieniu R z jedynk¡ zbiór odwracalnych ele-

mentów pier±cienia, tzn.



x

2

R :

W

y

2

R

x

y = y

x = 1

tworzy grup¦ z

mno»eniem.

13. Rozwa»amy iloczyn kartezja«ski

I

N



I

N

=

f

(m;n) : m;n

2

I

Ng

i relacje rów-

nowa»no±ci (m;n)



(k;l)

(

)

m + l = k + n: Uto»samiaj¡c elemen-

ty równowa»ne w powy»szym sensie otrzymujemy zbiór klas równowa»no±ci

(

I

N



I

N

)

j



. W zbiorze (

I

N



I

N

)

j



wprowadzamy dziaªania:

1) dodawanie okre±lone wzorem [(m;n)]



+ [(k;l)]



= [(m + k;n + l)]



2) mno»enie okre±lone wzorem [(m;n)]



[(k;l)]



= [(m

k+n

l;m

l+n

k)]



.

a) Sprawdzi¢, »e tak okre±lone dziaªania s¡ poprawnie zdeniowane na zbio-

rze ilorazowym (

I

N



I

N

)

j



, tzn. wynik dziaªania nie zale»y od wyboru re-

prezentantów z klas.

b) Sprawdzi¢, »e okre±lone wy»ej dziaªania maj¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:

- dodawanie jest ª¡czne i przemienne, - element 0 = [(0;0)]



jest elementem

neutralnym dodawania, - dla dowolnego a

2

Z

Z

istnieje element przeciwny

a

0

2

Z

Z

.

c) Pokaza¢, »e skonstruowany wy»ej zbiór jest pier±cieniem izomorcznym z

pier±cieniem liczb caªkowitych.

14. Wykaza¢, »e zbiór I =

f

6x+ 16y : x;y

2

Z

Z g

jest ideaªem w

Z

Z

. Znale¹¢ takie

a

2

Z

Z

, »e I =

h

a

i

=

f

ka : k

2

Z

Z g

.

15. Wykaza¢, »e ciaªo ma tylko ideaªy niewªa±ciwe.
16. Rozwa»amy iloczyn kartezja«ski

Z

Z



(

I

N

n

f

0

g

)=

f

(m;n) : m

2

Z

Z

;n

2

I

N

;n

6

=0

g

i relacje równowa»no±ci (m;n)



(k;l)

(

)

m

l = k

n: Uto»samiaj¡c

elementy równowa»ne w powy»szym sensie otrzymujemy zbiór klas równo-

wa»no±ci (

Z

Z



(

I

N

n

f

0

g

)

j



. W zbiorze (

Z

Z



(

I

N

n

f

0

g

)

j



wprowadzamy

dziaªania:

1) dodawanie okre±lone wzorem [(m;n)]



+ [(k;l)]



= [(ml + nk;nl)]



2) mno»enie okre±lone wzorem [(m;n)]



[(k;l)]



= [(mk;nl)]



.

a) Sprawdzi¢, »e tak okre±lone dziaªania s¡ poprawnie zdeniowane na zbio-

rze ilorazowym

(

Z

Z



I

N

n

f

0

g

)

j



, tzn. wynik dziaªania nie zale»y od wyboru reprezentantów

z klas.

b) Sprawdzi¢, »e okre±lone wy»ej dziaªania maj¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:

- dodawanie jest ª¡czne i przemienne, - element 0 = [(0;1)]



jest elementem

neutralnym dodawania, - dla dowolnego a

2

Z

Z



(

I

N

n

f

0

g

) istnieje element

przeciwny a

0

2

Z

Z



(

I

N

n

f

0

g

).

- mno»enie jest ª¡czne i przemienne, - element 0 = [(1;1)]



jest elementem

neutralnym mno»enia, - dla dowolnego a

2

Z

Z



(

I

N

n

f

0

g

) istnieje element

50

2. Zadania.

odwrotny a

0

2

Z

Z



(

I

N

n

f

0

g

).

c) Pokaza¢, »e skonstruowany wy»ej zbiór jest ciaªem izomorcznym z ciaªem

liczb wymiernych.

17. Pokaza¢, »e je»eli (K) = p; to dla dowolnego a

2

K zachodzi równo±¢

p

a = 0: Ponadto, je»eli a

6

= 0; to p jest najmniejsz¡ liczb¡ naturaln¡ o

powy»szej wªasno±ci.

18. Udowodni¢, »e w ciele K o charakterystyce p

6

= 0 dla dowolnych a;b

2

K i

dowolnego m

2

I

N

zachodz¡ równo±ci

(a + b)

p

= a

p

+ b

p

; (a b)

p

= a

p

b

p

;

(a + b)

p

m

= a

p

m

+ b

p

m

; (a b)

p

m

= a

p

m

b

p

m

.

19. Czy zbiory

f

a + b

4

p

2 : a;b

2

C

Q

g

oraz

f

a + b

p

2 + c

p

3 : a;b;c

2

C

Q

g

s¡

podciaªami ciaªa liczb rzeczywistych? Je»eli nie, to wyznaczy¢ najmniejsze

podciaªa ciaªa liczb rzeczywistych zawieraj¡ce te zbiory.

20. W zbiorze

C

C



C

C

wprowadzamy dziaªania

(a;b)



(c;d) = (a + c;b + d) oraz (a;b)



(c;d) = (ac bd;ad + bc):

Pokaza¢, »e zbiór

C

C



C

C

z tak okre±lonymi dziaªaniami jest ciaªem przemien-

nym. (Jest to tzw.

ciaªo kwaternionów

).

21. Znale¹¢ a i b wiedz¡c, »e:

a) NWD(a;b)=12 i NWW(a;b)=168; b) NWD(a;b)=20 i NWW(a;b)=385,

Ile jest rozwi¡za«?

22. Pokaza¢, »e je»eli d=NWD(a;b), to liczby

ad

i

bd

s¡ wzgl¦dnie pierwsze,

je±li tylko »adna z nich nie jest zerem.

23. Pokaza¢, »e je»eli NWD(a;b) = 1, to dla dowolnej liczby naturalnej c

zachodzi równo±¢ NWD(ac;bc)=c.

24. Pokaza¢, »e dla dowolnych liczb caªkowitych a;b;c zachodz¡ wzory

a) NWW(a;NWD(b;c)) = NWD(NWW(a;b);NWW(a;c))

b) NWD(a;NWW(b;c)) = NWW(NWD(a;b);NWD(a;c)).

25. Poda¢ rozwi¡zania ogólne nast¦puj¡cych liniowych równa« diofantycznych:

a) 2x+3y = 5; b) 2x+3y = 4; c) 3x+9y = 33.

26. Wyznaczy¢ liczb¦ trzycyfrow¡, która jest dwana±cie razy wi¦ksza od sumy

swoich cyfr.

27. Rozwi¡za¢ nast¦puj¡ce kongruencje:

a) 3x = 2 (mod 5);

b) 6x+3 = 4 (mod 10);

c) 7x = 4 (mod 10); d) 6x+3 = 1 (mod 10).

2.5. Zadania.

51

28. ZnaleȢ dwie ostatnie cyfry liczby 2

999

:

29. Dowie±¢, »e kwadrat dowolnej liczby caªkowitej daje przy dzieleniu przez 8

reszt¦ 0,1 lub 4.

30. Wykaza¢, »e kwadrat dowolnej liczby nieparzystej i niepodzielnej przez 3

daje przy dzieleniu przez 24 reszt¦ 1.

31. Korzystaj¡c z Maªego Twierdzenia Fermata znale¹¢ wszystkie liczby pierwsze

p takie, »e: a) 2

p

+1 jest podzielne przez p; b) 12

p

+5 jest podzielne przez p.

32. Udowodni¢, »e w±ród liczb postaci 2p + 1, gdzie p jest liczb¡ pierwsz¡, jest

dokªadnie jeden sze±cian liczby naturalnej.