CAŁKA PODWÓJNA W OBSZARZE NORMALNYM
Definicja
(obszaru normalnego)
Obszar domknięty
__
D określony nierównościami:
,
,
b
x
a
x
y
x
gdzie
,
,
,
b
a
C
nazywamy
obszarem normalnym
względem osi OX.
Aby zdefinować całkę funkcji f ciągłej w obszarze normalnym
__
D rozważmy prostokąt P,
P=[a,b] [c,d], gdzie
,
sup
:
,
inf
:
,
,
x
d
x
c
b
a
x
b
a
x
i zdefiniujmy nową funkcję:
.
\
,
gdy
,
0
,
,
gdy
,
,
:
,
*
D
P
y
x
D
y
x
y
x
f
y
x
f
Ponieważ
__
D
C
f
zatem f* jest ciągła, ewentualnie poza zbiorem punktów położonych na
krzywych y=ψ(x) i y=φ(x), tzn. poza zbiorem miary zero. Zatem f* jest całkowalna w
prostkącie P.
Definiujemy
.
,
*
:
,
P
D
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
Stosując wzór o zamianie całki podwójnej po prostokącie na całkę iterowaną
otrzymujemy:
d
c
b
a
P
dy
y
x
f
dx
dxdy
y
x
f
,
*
,
*
.
,
x
x
b
a
dy
y
x
f
dx
Stąd
.
,
,
x
x
b
a
D
dy
y
x
f
dx
dxdy
y
x
f
Uwaga
Brzeg obszaru D jest zbiorem miary zero, więc nie ma znaczenia czy go włączymy do obszaru
całkowania czy nie.
1
a
b
x
y=ψ(x)
y=φ(x)
P
D
x
y
c
d
Definicja
Obszar dokmnięty D określony nierównościami
,
y
x
y
,
d
y
c
gdzie
,
,
,
d
c
C
nazywamy
obszarem normalnym
względem osi OY.
Analogicznie określamy całkę funkcji ciągłej w obszarze D normalnym względem OY i
wtedy
.
,
,
y
y
d
c
D
dx
y
x
f
dy
dxdy
y
x
f
Definicja
Obszar dokmnięty D nazywamy obszarem
regularnym
, jeśli jest sumą
n
D
D
D
D
...
2
1
obszarów normalnych względem osi OX lub względem osi OY, które
nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.
Definicja
Niech D - obszar regularny,
n
i
D
D
i
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
D
C
f
1
,
:
,
Wtedy
.
Uwaga
Prawdziwe są wszystkie własności całki podwójnej, gdy prostokąt P zastąpimy obszarem
regularnym D, tzn.
–
liniowość
–
addywność względem obszaru całkowania
–
ograniczoność całki
2
c
d
D
x=β(y)
x=α(y)
x
y
Przykład
Obliczyć całkę podwójną
gdzie
,
D
dxdy
I
D – obszar ograniczony krzywymi
2
2y
x
.
1
i
2
y
x
Wyznaczamy punkty (x,y) przecięcia parabol
2
2y
x
1
i
2
y
x
:
.
2
,
1
x
y
i zaznaczamy obszar D
D jest obszarem normalnym względem OY,
1
2
1
1
:
2
2
y
x
y
y
D
Zatem możemy całkę podwójną zamienić na całkę iterowaną:
1
1
1
1
3
2
1
2
1
1
1
2
1
1
3
4
3
2
2
3
1
1
2
2
2
2
y
y
dy
y
dy
x
dx
dy
I
y
y
y
y
Uwaga
Powyższy obszar D nie jest normalny względem OX, ale można go podzielić na na trzy
obszary normalne względem OX i wtedy
3
4
3
4
3
2
2
3
8
3
2
2
)
1
(
3
2
2
3
2
2
3
2
2
1
2
2
2
2
1
2
3
2
1
2
3
1
0
2
3
2
1
2
1
1
0
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
0
3
2
1
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dxdy
dxdy
dxdy
dxdy
x
x
x
x
x
x
D
D
D
D
Twierdzenie
(
o zamianie zmiennych w całce podwójnej
)
Z: Niech
D
,
- obszary regularne w R
2
,
.
)
,
(
dla
,
,
,
,
,
:
v
u
v
u
v
u
v
u
D
suriekcja
T: Jeśli 1
O
odwzorowanie
przekształca wzajemnie jednoznacznie (różnowartościowo)
wnętrze obszaru Δ na wnętrze obszaru D,
D
bijekcja
int
int
:
2
O
obszarem,
jest
gdzie
,
,
1
C
3
O
D
C
f
3
4
O
jakobian J odwzorowania
jest niezerowy w obszarze Δ,
,
0
det
v
v
u
u
J
to
.
,
,
,
,
dudv
J
v
u
v
u
f
dxdy
y
x
f
T
D
określa podstawienie w całce
Uwaga
Odwzorowanie
brzegu obszaru Δ na brzeg obszaru D nie musi być wzajemnie
jednoznaczne.
Np. odwzorowanie wprowadzające zmienne biegunowe
2
,
0
,
0
gdzie
sin
,
cos
r
r
y
r
x
nie jest bijektywne, bo jeżeli r=0, to x=y=0; i cały odcinek I={(0, φ), gdzie
2
,
0
}
przechodzi w punkt (0,0).
Wyznaczmy jakobian odwzorowania wprowadzającego współrzędne biegunowe,
r
r
r
y
x
r
y
r
x
J
cos
sin
sin
cos
det
det
Uwaga
Zmiana kolejności zmiennych daje zmianę kolejności kolumn macierzy Jacobiego, a wtedy
jakobian zmienia się na przeciwny,
r
r
y
r
x
y
x
J
det
Jednak w twierdzeniu o zamianie zmiennych w całce podwójnej występuje moduł jakobianu
zatem zmiana kolejności zmiennych nie ma znaczenia.
4
u
v
x
y
D
Δ
f (o wartościach w R)
dziedzina odwzorowania f
Przykład
Obliczyć
.
:
gdzie
,
1
2
2
2
2
2
2
2
y
y
x
x
y
x
D
y
x
dxdy
I
D
Nierówności zadające obszar D
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
określają koła o środkach w punktach
2
1
,
0
,
0
,
2
1
oraz promieniach
2
1
.
Wyznaczamy punkty wspólne okręgów
y
y
x
x
y
x
2
2
2
2
2
1
2
1
0
0
0
1
2
2
2
y
x
y
x
x
x
x
x
x
y
Obszar D jest symetryczny względem prostej y=x.
Ponadto f(x,y)=f(y,x) zatem funkcja jest symetryczna względem prostej y=x.
1
2
2
2
1
2
D
y
x
dxdy
I
, gdzie D
1
jest połową obszaru D.
5
D
y=x
φ
r=r(φ)
1/2
1/2
x
y
1
D
Powyższą całkę podwójną możemy zamienić na całkę iterowaną, a następnie podstawić
współrzędne biegunowe
sin
cos
r
y
r
x
dla
2
,
0
,
)
(
,
0
r
r
, gdzie
)
(
r
jest funkcją
określającą okrąg
y
y
x
2
2
we współrzędnych biegunowych.
Zatem z równania
sin
czyli
sin
y
otrzymujem
2
2
2
r
r
r
y
y
x
Stąd
.
sin
,
0
,
4
,
0
:
)
,
(
gdzie
,
)
,
(
1
1
r
r
r
Wprowadzając współrzędne biegunowe określiliśmy odwzorowanie:
,
1
bijekcja
1
D
gdzie wnętrze
1
przechodzi we wnętrze
1
D . Ponieważ funkcja f jest ciągła, więc można
zastosować twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej. Stąd
4
1
1
cos
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
4
0
4
0
2
4
0
sin
0
2
sin
0
2
2
4
0
2
2
1
tg
d
d
r
r
rdr
d
r
rdrd
I
opracował Jacek Zańko
6
Δ
1
φ
r
π/4
π/2
r=sinφ