09Calki wielokrotne, 4 Całka podwójna w obszarze normalnym

background image

CAŁKA PODWÓJNA W OBSZARZE NORMALNYM

Definicja

(obszaru normalnego)

Obszar domknięty

__

D określony nierównościami:

 

 

,

,

b

x

a

x

y

x

gdzie

 

,

,

,

b

a

C

nazywamy

obszarem normalnym

względem osi OX.

Aby zdefinować całkę funkcji f ciągłej w obszarze normalnym

__

D rozważmy prostokąt P,

P=[a,b] [c,d], gdzie

 

 

 

 

,

sup

:

,

inf

:

,

,

x

d

x

c

b

a

x

b

a

x

i zdefiniujmy nową funkcję:

 

 

 

 



.

\

,

gdy

,

0

,

,

gdy

,

,

:

,

*

D

P

y

x

D

y

x

y

x

f

y

x

f

Ponieważ

__

D

C

f

zatem f* jest ciągła, ewentualnie poza zbiorem punktów położonych na

krzywych y=ψ(x) i y=φ(x), tzn. poza zbiorem miary zero. Zatem f* jest całkowalna w
prostkącie P.

Definiujemy

 

 

.

,

*

:

,





P

D

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

Stosując wzór o zamianie całki podwójnej po prostokącie na całkę iterowaną
otrzymujemy:

 

 



d

c

b

a

P

dy

y

x

f

dx

dxdy

y

x

f

,

*

,

*

 

 

 

.

,

x

x

b

a

dy

y

x

f

dx

Stąd

 

 

 

 

.

,

,



x

x

b

a

D

dy

y

x

f

dx

dxdy

y

x

f

Uwaga

Brzeg obszaru D jest zbiorem miary zero, więc nie ma znaczenia czy go włączymy do obszaru
całkowania czy nie.

1

a

b

x

y=ψ(x)

y=φ(x)

P

D

x

y

c

d

background image

Definicja

Obszar dokmnięty D określony nierównościami

 

 

,

y

x

y

,

d

y

c

gdzie

 

,

,

,

d

c

C

nazywamy

obszarem normalnym

względem osi OY.

Analogicznie określamy całkę funkcji ciągłej w obszarze D normalnym względem OY i
wtedy

 

 

 

 

.

,

,



y

y

d

c

D

dx

y

x

f

dy

dxdy

y

x

f

Definicja

Obszar dokmnięty D nazywamy obszarem

regularnym

, jeśli jest sumą

n

D

D

D

D

...

2

1

obszarów normalnych względem osi OX lub względem osi OY, które

nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.

Definicja

Niech D - obszar regularny,

 

 

 





n

i

D

D

i

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

D

C

f

1

,

:

,

Wtedy

.

Uwaga

Prawdziwe są wszystkie własności całki podwójnej, gdy prostokąt P zastąpimy obszarem
regularnym D, tzn.

liniowość

addywność względem obszaru całkowania

ograniczoność całki

2

c

d

D

x=β(y)

x=α(y)

x

y

background image

Przykład

Obliczyć całkę podwójną

gdzie

,



D

dxdy

I

D – obszar ograniczony krzywymi

2

2y

x

.

1

i

2

y

x

Wyznaczamy punkty (x,y) przecięcia parabol

2

2y

x

1

i

2

y

x

:

.

2

,

1

x

y

i zaznaczamy obszar D

D jest obszarem normalnym względem OY,

1

2

1

1

:

2

2

y

x

y

y

D

Zatem możemy całkę podwójną zamienić na całkę iterowaną:

 

1

1

1

1

3

2

1

2

1

1

1

2

1

1

3

4

3

2

2

3

1

1

2

2

2

2

y

y

dy

y

dy

x

dx

dy

I

y

y

y

y

Uwaga

Powyższy obszar D nie jest normalny względem OX, ale można go podzielić na na trzy
obszary normalne względem OX i wtedy

3

4

3

4

3

2

2

3

8

3

2

2

)

1

(

3

2

2

3

2

2

3

2

2

1

2

2

2

2

1

2

3

2

1

2

3

1

0

2

3

2

1

2

1

1

0

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

0

3

2

1









x

x

x

dx

x

dx

x

dx

x

dy

dx

dy

dx

dy

dx

dxdy

dxdy

dxdy

dxdy

x

x

x

x

x

x

D

D

D

D

Twierdzenie

(

o zamianie zmiennych w całce podwójnej

)

Z: Niech

D

,

- obszary regularne w R

2

,

 

   

.

)

,

(

dla

,

,

,

,

,

:

 

v

u

v

u

v

u

v

u

D

suriekcja

T: Jeśli 1

O

odwzorowanie

przekształca wzajemnie jednoznacznie (różnowartościowo)

wnętrze obszaru Δ na wnętrze obszaru D,

D

bijekcja

int

int

:

2

O

 

obszarem,

jest

gdzie

,

,

1

C

3

O

 

D

C

f

3

background image

4

O

jakobian J odwzorowania

jest niezerowy w obszarze Δ,

,

0

det

v

v

u

u

J

to

 

   

.

,

,

,

,

dudv

J

v

u

v

u

f

dxdy

y

x

f

T

D





określa podstawienie w całce

Uwaga

Odwzorowanie

brzegu obszaru Δ na brzeg obszaru D nie musi być wzajemnie

jednoznaczne.
Np. odwzorowanie wprowadzające zmienne biegunowe

2

,

0

,

0

gdzie

sin

,

cos

r

r

y

r

x

nie jest bijektywne, bo jeżeli r=0, to x=y=0; i cały odcinek I={(0, φ), gdzie

2

,

0

}

przechodzi w punkt (0,0).

Wyznaczmy jakobian odwzorowania wprowadzającego współrzędne biegunowe,

r

r

r

y

x

r

y

r

x

J

cos

sin

sin

cos

det

det

Uwaga

Zmiana kolejności zmiennych daje zmianę kolejności kolumn macierzy Jacobiego, a wtedy
jakobian zmienia się na przeciwny,

r

r

y

r

x

y

x

J

det

Jednak w twierdzeniu o zamianie zmiennych w całce podwójnej występuje moduł jakobianu
zatem zmiana kolejności zmiennych nie ma znaczenia.

4

u

v

x

y

D

Δ

f (o wartościach w R)

dziedzina odwzorowania f

background image

Przykład

Obliczyć

.

:

gdzie

,

1

2

2

2

2

2

2

2





y

y

x

x

y

x

D

y

x

dxdy

I

D

Nierówności zadające obszar D



 

 

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

y

x

y

x

określają koła o środkach w punktach

2

1

,

0

,

0

,

2

1

oraz promieniach

2

1

.

Wyznaczamy punkty wspólne okręgów





y

y

x

x

y

x

2

2

2

2



2

1

2

1

0

0

0

1

2

2

2

y

x

y

x

x

x

x

x

x

y

Obszar D jest symetryczny względem prostej y=x.
Ponadto f(x,y)=f(y,x) zatem funkcja jest symetryczna względem prostej y=x.



1

2

2

2

1

2

D

y

x

dxdy

I

, gdzie D

1

jest połową obszaru D.

5

D

y=x

φ

r=r(φ)

1/2

1/2

x

y

1

D

background image

Powyższą całkę podwójną możemy zamienić na całkę iterowaną, a następnie podstawić

współrzędne biegunowe

sin

cos

r

y

r

x

dla





2

,

0

,

)

(

,

0

r

r

, gdzie

)

(

r

jest funkcją

określającą okrąg

y

y

x

2

2

we współrzędnych biegunowych.

Zatem z równania

sin

czyli

sin

y

otrzymujem

2

2

2

r

r

r

y

y

x

Stąd

.

sin

,

0

,

4

,

0

:

)

,

(

gdzie

,

)

,

(

1

1





r

r

r


Wprowadzając współrzędne biegunowe określiliśmy odwzorowanie:

,

1

bijekcja

1

D

gdzie wnętrze

1

 przechodzi we wnętrze

1

D . Ponieważ funkcja f jest ciągła, więc można

zastosować twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej. Stąd

4

1

1

cos

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

4

0

4

0

2

4

0

sin

0

2

sin

0

2

2

4

0

2

2

1







tg

d

d

r

r

rdr

d

r

rdrd

I

opracował Jacek Zańko

6

Δ

1

φ

r

π/4

π/2

r=sinφ


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:

więcej podobnych podstron