CAŁKA PODWÓJNA W OBSZARZE NORMALNYM

Definicja 

(obszaru normalnego)

Obszar domknięty 

__

D  określony nierównościami:

 

 

,

,

b

x

a

x

y

x













gdzie 

 





,

,

,

b

a

C







 nazywamy 

obszarem normalnym

 względem osi OX.

Aby zdefinować całkę funkcji f ciągłej w obszarze normalnym 

__

D  rozważmy prostokąt P,

   P=[a,b] [c,d], gdzie 

 

 

 

 

,

sup

:

,

inf

:

,

,

x

d

x

c

b

a

x

b

a

x













i zdefiniujmy nową funkcję:

   

 

 

 

 















.

\

,

gdy

,

0

,

,

gdy

,

,

:

,

*

D

P

y

x

D

y

x

y

x

f

y

x

f

Ponieważ 















__

D

C

f

 zatem f* jest ciągła, ewentualnie poza zbiorem punktów położonych na

krzywych y=ψ(x) i y=φ(x), tzn. poza zbiorem miary zero. Zatem  f* jest całkowalna w
prostkącie P.

Definiujemy

 

 

.

,

*

:

,







P

D

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

Stosując wzór o zamianie całki podwójnej po prostokącie na całkę iterowaną
otrzymujemy:

 

 











d

c

b

a

P

dy

y

x

f

dx

dxdy

y

x

f

,

*

,

*

 

 

 

.

,





x

x

b

a

dy

y

x

f

dx





Stąd

 

 

 

 

.

,

,









x

x

b

a

D

dy

y

x

f

dx

dxdy

y

x

f





Uwaga

Brzeg obszaru D jest zbiorem miary zero, więc nie ma znaczenia czy go włączymy do obszaru
całkowania czy nie.

1

a

b

x

y=ψ(x)

y=φ(x)

P

D

x

y

c

d

Definicja

Obszar dokmnięty  D  określony nierównościami

 

 

,

y

x

y









  

,

d

y

c





gdzie 

 





,

,

,

d

c

C







 nazywamy 

obszarem normalnym

 względem osi OY.

Analogicznie określamy całkę funkcji ciągłej w obszarze  D  normalnym względem OY i
wtedy

 

 

 

 

.

,

,









y

y

d

c

D

dx

y

x

f

dy

dxdy

y

x

f





Definicja

Obszar dokmnięty  D  nazywamy obszarem 

regularnym

, jeśli jest sumą

n

D

D

D

D









...

2

1

 obszarów normalnych względem osi OX lub względem osi OY, które

nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.

Definicja

Niech  D  - obszar regularny,

 

 

 











n

i

D

D

i

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

D

C

f

1

,

:

,

Wtedy

.

Uwaga

Prawdziwe są wszystkie własności całki podwójnej, gdy prostokąt P zastąpimy obszarem
regularnym D, tzn.

–

liniowość

–

addywność względem obszaru całkowania

–

ograniczoność całki

2

c

d

D

x=β(y)

x=α(y)

x

y

Przykład 

Obliczyć całkę podwójną

gdzie

,





D

dxdy

I

 D – obszar ograniczony krzywymi 

2

2y

x



       

.

1

 i

2



 y

x

Wyznaczamy punkty (x,y) przecięcia parabol 

2

2y

x



1

 i

2



 y

x

:

.

2

,

1







x

y

i zaznaczamy obszar D

D jest obszarem normalnym względem OY,



















1

2

1

1

:

2

2

y

x

y

y

D

 

Zatem możemy całkę podwójną zamienić na całkę iterowaną:









































 











1

1

1

1

3

2

1

2

1

1

1

2

1

1

3

4

3

2

2

3

1

1

2

2

2

2

y

y

dy

y

dy

x

dx

dy

I

y

y

y

y

Uwaga

Powyższy obszar D nie jest normalny względem OX, ale można go podzielić na na trzy
obszary normalne względem OX i wtedy

3

4

3

4

3

2

2

3

8

3

2

2

)

1

(

3

2

2

3

2

2

3

2

2

1

2

2

2

2

1

2

3

2

1

2

3

1

0

2

3

2

1

2

1

1

0

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

0

3

2

1

























































































































x

x

x

dx

x

dx

x

dx

x

dy

dx

dy

dx

dy

dx

dxdy

dxdy

dxdy

dxdy

x

x

x

x

x

x

D

D

D

D

Twierdzenie 

(

o zamianie zmiennych w całce podwójnej

)

Z: Niech 

D

,



 - obszary regularne w R

2

,

 

   





.

)

,

(

 

dla

,

,

,

,

,

:











 





v

u

v

u

v

u

v

u

D

suriekcja









     

T:  Jeśli   1

O 

odwzorowanie 



 przekształca wzajemnie jednoznacznie (różnowartościowo) 

        wnętrze obszaru Δ na wnętrze obszaru D,
      

          

D

bijekcja

int

int

:







    2

O 

 













 

obszarem,

jest 

 

gdzie

,

,

1

C





    3

O 

 

D

C

f



3

    4

O 

jakobian  J odwzorowania 



 jest niezerowy w obszarze Δ,

                                   

,

0

det













































v

v

u

u

J











                

to

                    

 

   





.

,

,

,

,

dudv

J

v

u

v

u

f

dxdy

y

x

f

T

D















        



 określa podstawienie  w całce

Uwaga

Odwzorowanie 



 brzegu obszaru Δ na brzeg obszaru D nie musi być wzajemnie

jednoznaczne.
Np. odwzorowanie wprowadzające zmienne biegunowe
               













2

,

0

,

0

 

gdzie

sin

,

cos















r

r

y

r

x

nie jest bijektywne, bo jeżeli r=0, to x=y=0; i cały odcinek I={(0, φ), gdzie 









2

,

0



}

przechodzi w punkt (0,0).

Wyznaczmy jakobian odwzorowania wprowadzającego współrzędne biegunowe,

r

r

r

y

x

r

y

r

x

J









































































cos

sin

sin

cos

det

det

Uwaga

Zmiana kolejności zmiennych daje zmianę kolejności kolumn macierzy Jacobiego, a wtedy
jakobian zmienia się na przeciwny,

r

r

y

r

x

y

x

J



















































det

Jednak w twierdzeniu o zamianie zmiennych w całce podwójnej występuje moduł jakobianu
zatem zmiana kolejności zmiennych nie ma znaczenia.

4

u

v

x

y

D

Δ

f  (o wartościach w R)

dziedzina odwzorowania f



Przykład

Obliczyć  





.

:

  

gdzie

,

1

2

2

2

2

2

2

2

























y

y

x

x

y

x

D

y

x

dxdy

I

D

Nierówności zadające obszar D





































 





























 

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

y

x

y

x

określają koła o środkach w punktach 

























2

1

,

0

,

0

,

2

1

 oraz promieniach 

2

1

.

Wyznaczamy punkty wspólne okręgów



























y

y

x

x

y

x

2

2

2

2

 









































2

1

2

1

0

0

0

1

2

2

2

y

x

y

x

x

x

x

x

x

y

Obszar D jest symetryczny względem prostej y=x. 
Ponadto f(x,y)=f(y,x) zatem funkcja jest  symetryczna względem prostej y=x.
         













1

2

2

2

1

2

D

y

x

dxdy

I

, gdzie D

1

 jest połową obszaru D.

5

D

y=x

φ

r=r(φ)

1/2

1/2

x

y

1

D

Powyższą całkę podwójną możemy zamienić na całkę iterowaną, a następnie podstawić

współrzędne biegunowe 















sin

cos

r

y

r

x

 dla 











2

,

0





, 





)

(

,

0



r

r



, gdzie 

)

(



r

 jest funkcją

określającą okrąg 

y

y

x





2

2

 we współrzędnych biegunowych. 

Zatem z równania





sin

czyli

sin

y

otrzymujem

2

2

2









r

r

r

y

y

x

Stąd 





.

sin

,

0

,

4

,

0

:

)

,

(

 

gdzie

 ,

)

,

(

1

1











































r

r

r

    

 
Wprowadzając współrzędne biegunowe określiliśmy odwzorowanie:

,

1

bijekcja

1

D





gdzie wnętrze 

1

  przechodzi we wnętrze 

1

D . Ponieważ funkcja f jest ciągła, więc można

zastosować twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej. Stąd













4

1

1

cos

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

4

0

4

0

2

4

0

sin

0

2

sin

0

2

2

4

0

2

2

1















































































tg

d

d

r

r

rdr

d

r

rdrd

I

opracował Jacek Zańko

6

Δ

1

φ

r

π/4

π/2

r=sinφ