GRUPA {G, *}

∀

a ,b∈G a∗b∈G

(G - zbiór, * - działanie łączne w G spełniające poniższe
warunki)
1. Istnieje element neutralny

∃

e∈G ∀ a∈G a∗e=e∗a=a

2. Każdy element G posiada element odwrotny/przeciwny

∀

a∈G ∃b∈G a∗b=b∗a=e

3. Działania * na zbiorze G są łączne

∀

a ,b , c∈G a∗b∗c = a∗b∗c

Jeżeli występuje przemienność działań to grupa jest abelowa
(przemienna)

∀

a ,b ∈G a∗b=b∗a

CIAŁO {F, +, . }
(F - zbiór, działania wewnętrzne „+” - dodawanie i „.” -
mnożenie, spełniające poniższe warunki)
1. {F,+} jest grupą abelową (przemienną)
2. {F\{0}, . } jest grupą abelową (przemienną)
3.

∀

a ,b , c∈ F

a⋅bc =abac

(prawo

rozdzielności mnożenia względem dodawania)
W ciele zachodzą następujące warunki:

∀

a ,b∈ F

1.1≠0
2.0⋅a=a⋅0=0
3.−1⋅a=−a
4. jeżeli ab=0, to a=0 lub b=0
5. jeżeli a≠0 i b≠0, to ab

−

1

=

b

−

1

a

−

1

LICZBY ZESPOLONE
(a) Postać kanoniczna

z=x iy

(b) Postać sprzężona

z

*

=

x −iy (czasami x )

(c) Postać trygonometryczna

z=∣z∣

x

∣

z∣



i

y

∣

z∣

=∣

z∣cosi sin 

(d) Wzory:

z

*

=∣

z∣cos −i sin−

z

1

⋅

z

2

=∣

z

1

∣⋅∣

z

2

∣

cos

1



2



isin 

1



2



z

1

z

2

=

∣

z

1

∣

∣

z

2

∣



cos

1

−

2



isin 

1

−

2



z

n

=∣

z∣

n



cos nisin n 

W

k

=

z

1
n

=∣

z∣

1
n



cos



2k 

n



i sin 



2k 

n



,

k =0,1,... , n−1

PRZESTRZENIE LINIOWE {V(F), +, . }
(też przestrzenie wektorowe) (V - zbiór, F - ciało)
(a) Przestrzenią liniową V nad ciałem F nazywamy układ
{V(F), +, . } gdzie „+” jest działaniem wewnętrznym w zbiorze
V a „.”

F ×V V

działaniem zewnętrznym

1. {V, + } jest grupą abelową
2. ∀ x ∈V ∀ a∈ F a⋅x ∈V , x - wektor
3.a) ∀ a ,b∈ F ∀ x ∈V a⋅b⋅x =a⋅b⋅x
b) ∀ x∈V 1⋅x =x
c) ∀ a , b∈ F ∀ x ∈V ab⋅x =axbx
d) ∀ a∈ F ∀ x , y ∈V a⋅ x y =axay

(b) Podprzestrzeń liniowa zawarta

W ⊂V

nazywamy

każdy taki podzbiór w przestrzeni V, że W jest przestrzenią
liniową nad F

∀ 

,  ∈F ∀ W

1,

W

2

∈

W



W

1



W

2

∈

W

(c) baza: Zbiór

{

x

i

}

jest bazą przestrzeni liniowej V(F) jeżeli

1. Jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych
2.

∀

x∈V x=

∑



i

x

i

każdy wektor da się

przedstawić jako kombinację liniową wektorów ze zbioru
(napina przestrzeń wektorową)

[

4,3 ]z bazy B do B ' , B= 

b

1,



b

2



, B '=b

1

' ,b

2

'  ,

b

1

'=2b

1

−

b

2,

b

2

'=b

2



b

1

4b

1



3b

2

=

xb

1

'  yb

2

' =x 2b

1

−

b

2



y b

2



b

2

=

...

...=b

1



2x yb

2

−

x y

{

2x y=4

−

x y=3

(d) układ wektorów

{

x

i

}

i=1

n

nazywamy układem wektorów

liniowo niezależnych jeżeli dla dowolnego układu skalarów

k

i

∈

F

spełniony jest warunek

∑

i=1

n

k

i

x

i

=

0⇒ k

i

=

0 dla i∈{1,... , n}

PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE

A:V V '

(też odwzorowania liniowe) (A - przekształcenie liniowe,
V i V' - przestrzenie liniowe nad ciałem F)
(a)

A jest przekształceniem liniowym ⇔

∀

x , y ∈V ∀  ,  ∈ F A x y =⋅A x⋅A y

lub A x y= A x  A  y 

nieprawidłowe skreślić
można rozpisać na * przekształcenia liniowego:
*addytywność ∀ x , y ∈V A x b= AxAb
*jednorodność ∀ x ∈V ∀ ∈F A  x =⋅Ax

(b)



1,

... , 

n

= 

1,

... , 

m

 

:ℝ

n

ℝ

m

i=1,... , m

j=1,... , n

B

i

=

∑

j=1

n

a

ij



j

a

ij

∈ℝ



i



i

∈ℝ

(c) Jądrem A nazywamy zbiór

{

x∈V : Ax=0}

. Ker A

jest podprzestrzenią V
(d) Obrazem A nazywamy zbiór

{

y ∈V ' : ∃ x ∈V y= Ax}

. Im A jest podprzestrzenią V

(e) Rzędem przekształcenia A nazywamy wymiar obrazu A

rk A=dimim A

(f) Macierz przekształcenia jest to zapis przekształcenia
liniowego dwóch skończenie wymiarowych przestrzeni
liniowych nad tym samym ciałem

Ax

i

=

∑

j =1

n

a

ij

y

j

i=1,... , n a

ij

∈

F

A :V V '

[

a

11

⋯

a

1n

⋮

⋱ ⋮

a

m1

⋯

a

mn

]

x ∈V

y∈V '

PRZEJŚCIE Z JEDNEJ BAZY DO INNEJ BAZY
(a) Macierz przejścia jest to macierz odwracalna, zwana
macierzą przejścia z bazy B do bazy B'
(b)



V =V

1



e

1



...V

n



e

n

=

V

1

' 

e

1

'...V

n

' 

e

n

'

[

V

1

⋮

V

n

]

=

p

−

1

[

V

1

'

⋮

V

n

'

]

(c)

A' =D

−

1

⋅

A⋅C

(d) Macierz podobna. Dwie macierze ( n×n ) A, B są
podobne, jeżeli istnieje macierz C ( n×n ) nieosobliwa, że

B=C

−

1

AC

. Własności:

det B=det C , Tr A=Tr B

(Tr - ślad macierzy, suma

elementów na diagonalnej (przekątnej) )
MACIERZE

- macierz zerowa []

ij

=

0

- macierz jednostkowa (tylko "1" na przekątnej) I
- macierz diagonalna (nie ma zer tylko na przekątnej)

[ ]

ij

=

0 dla i≠ j

- macierz odwrotna A

−

1

- macierz indepotentna A

2

=

A

[

1 −1
0

0

]

⋅

[

1 −1
0

0

]

=

[

1 −1
0

0

]

- macierz transponowana

A

T

jest macierzą transponowaną do A⇔[A

T

]

ij

=[

A]

ji

A=

[

1 2
3 4

]

⇒

A

T

=

[

1 3
2 4

]

1. B= A

T

⇒

B

T

=

A

2. AB

T

=

A

T



B

T

3. A⋅B 

T

=

B

T

⋅

A

T

- macierz symetryczna

A jest symetryczna ⇔ A= A

T

[

1 5 4
5 2 6
4 6 3

]

- macierz sprzężona hermitowsko[ A

+

]

ij

=[

A]

ji

*

- macierz samosprzężona hermitowsko A= A

+

[

1

i

1−i

−

i

2

2i

1i −2i

3

]

rząd macierzy - ilość niezależnych liniowo kolumn
macierz skalarna z przekątną główną (a, …, a)
sprzężenie hermitowskie np.

[

i

2−i

3−4i

5

]

+

=

[

−

i

34i

2i

5

]

ortogonalna

A

T

=

A

−

1

WYZNACZNIK MACIERZY KWADRATOWEJ

detA

(A - macierz)
(a) Wyznacznik to funkcja określona na macierzach
kwadratowych, związana z mnożeniem i dodawaniem
odpowiednich elementów dużej macierzy, by otrzymać
pojedynczą liczbę

det A=

∑

i= 1

n

−

1

i j

a

ij

det M

ij

(z Laplace'a)

(b) Własności:
1.

detA=detA

T

2. Wyznacznik macierzy, w której jeden z wierszy został
pomnożony przez liczbę



jest równy iloczynowi



i

wyznacznika wyjściowej macierzy

det

[

a

11

⋯

a

1n



a

21

⋯ 

a

2n

⋮

⋱

⋮

a

mn

⋯

a

mn

]

=

det

[

a

11

⋯

a

1n

a

21

⋯

a

2n

⋮

⋱

⋮

a

mn

⋯

a

mn

]

3. Wyznacznik macierzy, której kolumna lub wiersz zawiera
same zera = 0
4. Przy zamianie dwóch kolumn lub wierszy znak wyznacznika
zmienia się na przeciwny

det

[

1 2
3 4

]

=

4−6=−2 det

[

3 4
1 2

]

=

6−4=2

5. Wyznacznik macierzy jednostkowej = 1
6. Jeżeli w macierzy są identyczne dwa wiersze lub kolumny to
wyznacznik jest równy 0

det A=−det A

7.

det  A⋅B =det A⋅det B

8. Wyznacznik nie ulega zmianie jeśli do jednego z jego
wierszy dodamy drugi pomnożony przez liczbę
9. Wyznacznik macierzy, w której wiersze lub kolumny są
liniowo zależne jest równy 0

10.

det A

−

1

=

1

det A

det A≠0

(c) Rozwinięcie Laplace'a

det A=

∑

i= 1

n

−

1

i j

a

ij

⋅

det M

ij

(d) Układ Cramera

det A≠0

x

i

=

det A

xi

det A



x =A

−

1

⋅

b



b−wyrazy wolne

Ax

i

- powstaje poprzez zastąpienie i-tej kolumny

wyrazem wolnym
układ jednorodny gdy



b=0

(e) niezależność liniowa wektora jako kolumny, jeżeli det = 0 to
zależne liniowo

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE PRZEKSZTAŁCEŃ
LINIOWYCH
(a)



M −I  x=0

det M −I =0

M 

[

x

1

x

2

]

=

[

x

1

x

2

]

[

M −]

[

x

1

x

2

]

=

0

(b) Transformacja podobieństwa
macierz diagonalizująca (P), wektory własne jako kolumny
macierz diagonalna, wartości własne na przekątnej

D=P

−

1

AP

PRZESTRZENIE Z ILOCZYNEM WEWNĘTRZNYM
(iloczyn skalarny)
(a) Iloczyn wewnętrzny: operator na przestrzeni liniowej
przypisujący dwóm argumentom tej przestrzeni wartość
skalarną
Iloczyn skalarny:



x , y∈ F

x , y∈V

1.  x , y =u , x 

*

2.  x,  y z = z , y x , z


y z , x =x ,  y z 

*

=

...

...=

*



x , y 

*



*



x , z

*

=

*



y , z

*



z , x

3. ∀ x∈V



x , x 0



x , x =0⇒ x=0



x , x ∈ℝ , bo :⇒ x , x= x , x

*



x , x −x , x 

*

=

0⇒ 2 Im  x , x =0

(b) Zbiory ortonormalne

{

x

i

}

i

n

=

1

jest zbiorem ortonormalnym

⇔

⇔

x

i

, x

j

=

ij



x

i

, x

j

=

ij

{

1 i= j
0 i≠ j

(c) Zupełność zbioru ortonormalnego nie zawiera się z żadnym
większym zbiorze ortonormalnym
(d) Własności:

X ={x

i

}

i

n

=

1 w przestrzeni V

x

- jest zbiorem ortonormalnym zupełnym

1.  x

i

, x=0 i=1,... , n to x =0

Ortogonalne dla wszystkich elementów

2. x napina przestrzeń wektorową

3. x∈V

x=

∑

i=1

n



i

x

i



i



x

i

, x

4. Jeżeli x , y ∈V to  x , y=

∑

i=1

n



x , x

i



x

i

, y 

5. Jeżeli x∈V ∥x∥=

∑

i =1

n



x

i

, x

2

(e) Ortogonalizacja Grama-Schmidta

y

k

=

x

k

−

y

1

, x

k



y

1

−

...− y

k −1

, x

k



y

k −1

∥

x

k

−

y

1

, x

k



y

1

−

...− y

k −1

, x

k



y

k −1

∥

PRZEKSZTAŁCENIA SPRZĘŻONE DO DANEGO
PRZEKSZTAŁCENIA
Przekształcenia B jest sprzężone do A jeśli



Ax , y =x , B y 

Zazwyczaj przekształcenie sprzężone do

A: A

+

Samosprzężone

A

+

=

A

(rzeczywiste wartości własne)

Macierz unitarna

A

−

1

=

A*

T

det A=1