3. Znając transformację współrzędnych Lorentza, dla
przypadku, gdy układ S
2
porusza się względem S
1
ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x-ów:…wyprowadź transformację
prędkości. Przeanalizuj otrzymany wynik w porównaniu z
transformacją Galileusza.
Lorentzowskie dodawanie prędkości - transformacja
prędkości Lorentza
Przypomnienie: Def. Prędkości:
dt
r
d
v
r
r
=
(1.29)
składowe prędkości
v
x
= dx/dt
v
y
= dy/dt (1.30a-
c)
v
z
= dz/dt
Korzystamy z TL wzór (1.21a-d) , następnie wyliczamy
różniczki kolejnych współrzędnych a potem ich pochodne po
czasie.
2
1
1
2
1
1
2
)
/
(
1
)
(
)
/
(
1
c
v
t
d
v
v
c
v
vdt
dx
dx
x
−
−
=
−
−
=
1
2
dy
dy
=
1
2
dz
dz
=
(1.31a-d)
2
1
1
2
2
1
2
1
2
)
/
(
1
]
)
/
(
1
[
)
/
(
1
/
c
v
dt
v
c
v
c
v
dx
c
v
dt
dt
x
−
−
=
−
−
=
Dzieląc obustronnie równania (1.31a-c) przez (1.31c)
otrzymujemy transformacje prędkości Lorentza w następującej
postaci:
x
x
x
v
c
v
v
v
1
2
1
2
)
/
(
1
−
−
=
v
x
y
y
v
c
v
c
v
v
v
1
2
2
1
2
)
/
(
1
)
/
(
1
−
−
=
(1.32a-c)
x
z
z
v
c
v
c
v
v
v
1
2
2
1
2
)
/
(
1
)
/
(
1
−
−
=
Ze związków (1.32a-d) wynika, że mimo iż ruch układu S
2
względem S
1
odbywa się wzdłuż osi x-ów to składowe
prędkości v
2y
oraz v
2z
zależą również od v
1x
. Dla v/c →0 TL
równania (1.32a-d) przechodzą w równania opisujące TG dla
prędkości.
v
2x
= v
1x
– v
v
2y
= v
1y
(1.33a-d)
v
2z
= v
1z
10. Dla równania ruchu: x=Asin(ωt+φ) znajdź: prędkość,
przyspieszenie oraz wyrażenie na siłę, która powoduje taki
ruch. Objaśnij wielkości występujące w równaniu ruchu.
Korzystając z wektora wirującego podaj graficzną
interpretację wychylenia x w ruchu harmonicznym.
Wychylenie i siła
Szukamy wyrażenia na siłę, która powoduje ruch oscylacyjny
np. sinusoidalny.
x = A sin(
ω
t +
ϕ
) (2.18)
gdzie:A – amplituda (maksymalne wychylenie dla sin (
ω
t+
ϕ
)
=1),
ω
= 2
π
/T (T okres ), jest prędkością kątową,
ϕ
- faza
początkowa ruchu (dla t=0)
Szukamy wyrażenia na prędkość v oraz na przyspieszenie a:
v = dx/dt = A
ω
cos(
ω
t +
ϕ
) (2.19)
a = dv/dt = d
2
x/dt
2
= - A
ω
2
sin(
ω
t +
ϕ
) (2.20)
Znając wyrażenie na a możemy zapisać wzór na siłę F, która
musi działać na ciało, ażeby poruszało się ono ruchem
harmonicznym (np. sinusoidalnym). Zgodnie z zasadami
dynamiki Newtona otrzymujemy:
x
m
a
m
F
2
ω
−
=
=
r
r
(2.21)
F=-kx (2.22)
k jest stałą sprężystości zdefiniowaną :
k = m
ω
2
(2.23)
Stąd relacja :
ω
= (k/m)
1/2
(2.24)
Wychylenie w ruchu harmonicznym można zilustrować za
pomocą wektora wirującego.
Wychylenie ciała w ruchu harmonicznym (sinusoidalnym)
można rozważyć, jako składową x-ową wektora OP, którego
moduł
OP
= A.
Wektor OP obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
wokół osi O, z prędkością kątową
ω
i dla t=0, tworzy kąt
ϕ
z
osią y
Rys. Układ współrzędnych i wektor wirujący.
23. Podaj i zilustruj definicję zdolności rozdzielczej
Reyleigh’a.
Zdolność rozdzielcza Reyleigh’a – iest to najmniejszy kąt jaki
tworzą między sobą dwie fale pochodzące od dwóch
oddalonych źródeł, dla którego obrazy dyfrakcyjne mogą być
rozdzielone, przyjmuje się że dwa obrazy mogą być
rozdzielone, gdy centralne maksymum jednego (n>0) pokrywa
się z pierwszym minimum drugiego oznacza to, że
θ=λ/
b
