4. CAŁKA FUNKCJI ZESPOLONEJ

1. Jaką krzywą przedstawiają następująca

funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej.

a)

t

i

t

t

z

cos

)

(

1

,

3

,

0

t

b)

it

t

z

t

1

)

(

2

,

3

,

2

1

t

c)

t

i

i

t

z

)

1

(

1

)

(

3

,

2

,

1

t

d)

t

i

i

t

z

)

2

1

(

1

)

(

4

,

4

,

1

t

e)

)

4

1

(

)

(

2

5

t

i

t

t

z

,

R

t

f)

)

4

1

(

2

)

(

2

6

t

i

t

t

z

,

1

,

0

t

g)

)

4

1

(

)

(

2

2

7

t

i

t

t

z

,

1

,

2

t

h)

t

i

t

t

z

sin

)

(

3

1

8

,

,

0

t

2. Obliczyć całki :

a)

K

zdz

cos

, gdzie K jest skierowanym dodatnio

łukiem okręgu

1

z

, od

i

z

0

do

i

z

1

.

b)

L

dz

z

z

2

, gdzie L jest skierowanym dodatnio

łukiem okręgu

1

z

, gdzie

0

,imz

rez

c)

L

dz

z

1

,

gdzie L jest odcinkiem od

1

1

z

do

i

z

2

d)

K

dz

z

sin

, gdzie K jest odcinkiem od

1

z

do

2

z

,

gdzie

0

1

0

1

z

oraz

2

2

z

0

2

2

1

z

oraz

i

z

2

2

0

3

i

z

2

1

oraz

0

2

z

.

e)

K

dz

z

z

, gdzie K jest łamaną skierowaną

dodatnio łączącą

0

0

z

,

1

1

z

oraz

i

z

2

.

f)

AB

dz

z

, gdzie AB jest

0

1

odcinkiem od

i

A

2 do

i

B

2

0

2

półokręgiem

2

z

od

i

A

2 do

i

B

2

dla

0

z

re

3. Obliczyć całki korzystając z funkcji pierwotnej

a)

2

1

)

1

3

2

(

2

z

z

dz

z

z

b)

1

1

sin

z

z

zdz

c)

AB

zdz

cos

, gdzie A

, B

4. Obliczyć całki korzystając ze wzoru

Cauchy’ego:

a)

K

z

dz

i

z

e

, gdzie K :

2

z

.

b)

K

dz

z

z

shz

)

1

)(

5

(

, gdzie K :

2

z

.

c)

K

dz

z

z

e

z

1

2

2

, gdzie K : łamana zamknięta

łącząca punkty

0

0

z

,

i

z

2

1

1

oraz

i

z

2

1

2

, skierowana dodatnio.

d)

K

dz

z

z

cos

, gdzie K to elipsa

1

4

2

2

y

x

skierowana ujemnie.

e)

K

z

z

z

1

)

sin(

4

gdzie K : łamana zamknięta

skierowana dodatnio, łącząca punkty

0

1

0

0

z

,

i

z

2

1

oraz

i

z

2

2

0

2

0

0

z

,

i

z

2

1

1

oraz

i

z

2

1

2

0

3

0

0

z

,

i

z

2

1

oraz

i

z

2

2

.

Odpowiedzi.

1. a)

x

y

cos ,

3

,

0

x

b)

x

y

1

,

2

,

3

1

x

c)

x

y

,

3

,

0

x

d)

y

x

2

1,

3

,

0

x

e)

2

4

1

x

y

,

R

x

f)

2

1

x

y

,

2

,

0

x

g)

x

y

4

1

,

0

,

4

x

h)

x

y

3

sin

,

3

,

0

x

2. a)

1

2 sh

i

b) i

2

c)

2

1

d)

0

1

1

0

2

2

ch

i

0

3

2

1 ch

e)

i

3

2

3

1

f)

0

1

i

4

0

2

i

8

3. a)

)

(

)

(

)

(

1

2

2

1

2

2

3

1

3

2

2

3

3

2

z

z

z

z

z

z

b) 0

c) 0

4. a)

)

1

sin

1

cos

(

2

i

b)

1

2

sh

i

c)

i

d)

i

2

e)

0

1

0

0

2

1

2

sh

0

3

0