Przej cie Wenus 2004

 

... arkusz edukacyjny 5

 

Przybli ona 

metoda 

wyznaczania 

paralaksy 

(z przykładami)

[1]

  

Poziom: szkoły  rednie, ostatnie klasy 

Cel:  zrozumienie  metody  obliczenia  paralaksy  Sło ca,  to  jest  obliczenie  odległo ci 

Ziemia-Sło ce z obserwacji przej cia Wenus w dwóch odległych punktach na Ziemi. 

Zało enia:  metoda  uproszczona,  pełna  metoda  wymaga  wykonania  wielu  cykli 

oblicze   (iteracji).  Zakładamy,  e  wiele  parametrów  ruchu  Ziemi  i  Wenus  jest 

znanych. Obserwacje musz  by  jednoczesne. 

Wymagane materiały: kalkulator 

Podstawy: uczniowie musz  zna :  

• 

podstawy trygonometrii i wektorów 

• 

ruchy Wenus i Ziemi 

• 

prawa Keplera 

• 

poj cie elipsy 

• 

poj cie kuli 

Wst p 

Przedstawiamy  uproszczon   metod   wyliczenia  redniej  równikowej  paralaksy 

Sło ca. Uproszczenia wymuszone zostały istotnymi ograniczeniami obserwacyjnymi. 

Zakładamy,  e mamy dwie jednoczesne obserwacje, które daj  odległo  widomych 

rodków  tarczy  Wenus  na  tarczy  Sło ca.  Wszystkie  uproszczenia  i  zastosowane 

przybli enia b d  zaznaczone.  

Hipoteza: 

Rozwa my  dwa  miejsca  obserwacji  M

1

  i  M

2

,  wystarczaj co  od  siebie  odległe;  obaj 

obserwatorzy  notuj   w  tym  samym  momencie  czasu  pozycje  widomych  rodków 

tarczy Wenus na tle tarczy Sło ca. Korzystaj c z tych obserwacji, mo na wyznaczy  

odległo   tych  rodków  tarcz  (wyra on   w  promieniach  Sło ca),  a  SD  wyznaczy  

redni  równikowa paralaks  Sło ca 

0

 . Obliczenia te nie s  jednak zbyt proste...  

 

 

Rysunek 1. - Jednoczesne obserwacje przej cia Wenus z dwóch miejsc. 

 

 

Niech O b dzie  rodkiem Ziemi, C  rodkiem Sło ca a V  rdokiem Wenus a V

1

 i V

2

 

rodkami tarczy Wenus widocznymi na tle tarczy Sło ca odpowiednio z punktów M

1

 i 

M

2

.  Niech  D

1

  i  D

2

  oznaczaj   k ty  CM

1

V  i  CM

2

V  utworzone  przez  linie  ł cz ce 

miejsca  obserwacji  ze  rodkami  Wenus  i  Sło ca  oraz  oznaczmy  jako 

S

  k t  z 

wierzchołkiem  na  Sło cu  oparty  o  odcinek M

1

M

2

  a  jako 

v

  k t  z  wierzchołkiem  na 

Wenus  oparty  o  odcinek  M

1

M

2

.  Te  dwa  k ty  s   paralaksami  Wenus  i  Sło ca 

widomymi z punktów M

1

 i M

2

 (Rysunek 1).  

Je eli  miejsca  obserwacji  M

1

  i  M

2

  zostały  wybrane  przypadkowo  w  pasie 

widoczno ci przej cia, to punkty M

1

, M

2

, V i C nie le a w jednej płaszczy nie. A wi c, 

ogólnie linie M

1

C i M

2

V nie le a ani w jednej płaszczy nie ani si  nie przecinaj . Nie 

mo na wi c stosowa  geometrii płaskiej do sytuacji przestawionej na Rysunku 1.  

A  wi c  zale no :  D

1

  -  D

2

  = 

S

  - 

v

  jest  fałszywa  (jest  prawdziwa  tylko  na 

płaszczy nie).  

Z drugiej strony, ró nica paralaks jest równa k towej odległo ci widomych  rodków 

Wenus (Rysunek 2).  

 

 

Rysunek 2. - Widome poło enie Wenus na tle tarczy Sło ca. 

 

 

Łatwo sprawdzi ,  e ró nica paralaks wynosi D

2

 - D

1

 gdy wspomniane cztery punkty 

le  w jednej płaszczy nie, to jest gdy V

1

, V

2

 i C le  w jednej linii. 

Wielko ci  mierzona przez obserwatorów jest wi c odległo  

 pomi dzy dwoma 

widomymi  rodkami  Wenus  i  zwi zek 

= 

v

-

S

  pozwala  nam  wyznaczy  

paralaks .  

Aby  to  zrobi ,  wyrazimy  obie  paralaksy  poprzez  odległo ci  rodków  Ziemi  oraz 

Wenus  i  Sło ca.  Niech  R

V

  b dzie  odległo ci   rodków  Sło ca  i  Wenus  a  R

T

 

odległo ci   rodków Ziemi i Sło ca, a wi c odległo  Ziemia-Wenus wynosi R

T

 - R

V

. 

Musimy  jeszcze  zna   długo   rzutu  D  odcinka  ł cz cego  punkty  M

1

  M

2

  na 

płaszczyzn  prostopadł  do kierunku Ziemia-Sło ce (Rysunek 3).  

 

 

Rysunek 3. - Paralaksa Sło ca odniesiona do punktów M

1

 i M

2

. 

 

 

Poniewa  promie  Ziemi i odległo  punktów obserwacji s  małe w porównaniu do 

odległo ci  Ziemia-Sło ce  oraz  Ziemia-Wenus,  paralaksy  mo na  w  przybli eniu 

wyrazi  jako: 

(1)  

 

W rzeczywisto ci, dokładna warto  paralaksy wynosi:  

 

 

Mamy teraz nast puj cy zwi zek:  

(2)  

 

oraz  

 

 

lub te :  

(3)  

 

Pomiary daj  nam wielko  D

p

 w promieniach Sło ca, a wi c musimy zmierzy  tak e 

promie  Sło ca, bo odległo  Ziemia-Sło ce jest nieznana.  

Aby  zmierzy   paralaks   Sło ca,  nale y  wi c  zna   stosunek  odległo ci  Ziemia-

Sło ce i Wenus-Sło ce. Mo na go wyliczy  korzystaj c z praw Keplera.  

Obliczanie stosunku odległo ci planet od Sło ca z praw Keplera  

Pierwsze prawo Keplera mówi,  e planety poruszaj  si  po orbitach eliptycznych, a 

w  jednym  z  ognisk  ka dej  z  orbit  znajduje  si   Sło ce.  W  ka dej  chwili  promie  

wodz cy  R

p

  ł cz cy  rodek  Sło ca  z  planet   mo e  by   wyznaczony  z  wzoru: 

 

r

p

 = a

p

 ( 1 - e

p

 cos E)       (4)  

Gdzie a

p

 jest półosi  elipsy, e

p

 jest ekscentryczno ci  elipsy, E jest k tem zwanym 

anomali  orbity

 pozwalaj cym w ka dej chwili zlokalizowa  planet  na jej orbicie.  

Trzecie  prawo  Keplera  daje  zwi zek  pomi dzy  półosiami  orbit  a  okresami  obiegu 

planet. A wi c dla wszystkich ciał obiegaj cych to samo ciało centralne prawdziwa 

jest zale no :  

(5)  

 

A wi c prawa Keplera opisuj  orbity planet Układy Słonecznego z dokładno ci  do 

czynnika skaluj cego. Znajomo  okresów obiegu planet daje znajomo  stosunków 

długo ci półosi ich orbit. Tak wi c stosunek półosi orbit Wenus i Ziemi wynosi:  

(6)  

 

i w ka dym momencie T, stosunek promieni wodz cych wynosi: 

(7)  

 

Czyli  z  praw  Keplera  dla  ka dego  momentu  mo emy  wyliczy   stosunek  promieni 

wodz cych.  

Nasze pomiary pozwalaj  wyliczy   S, warto wi c teraz przej  od tej wielko ci do 

warto ci  redniej paralaksy równikowej Sło ca 

0

.  

 

Obliczanie  redniej paralaksy równikowej Sło ca  

rednia równikowa paralaksa Sło ca 

0

 jest to k t z wierzchołkiem w  rodku Sło ca, 

wsparty na równikowym promieniu Ziemi gdy odległo  Ziemia-Sło ce wynosi jedn  

jednostk  astronomiczn .  

Mamy wi c nast puj cy zwi zek:  

(8)  

 

R jest promieniem równikowym za  a jest długo ci  jednostki astronomicznej. 

Jednak e równanie (1) daje nam warto  paralaksy Sło ca 

S

 wyra ona poprzez R

T

 

odległo   Ziemia-Sło ce  oraz  rzut  D  odległo ci  punktów  pomiarowych  na 

płaszczyzn  prostopadł  do kierunku .  

Wystarczy wyrazi  odległo  D w promieniach ziemskich a odległo  Ziemia-Sło ce 

w jednostkach astronomicznych aby otrzyma  zwi zek pomi dzy 

S

 a 

0

.  

(9)  

 

Pozostaje  tylko  obliczy   stosunek  D  do  R.  Stosunek  a/R

T

  otrzymujemy  z  praw 

Keplera,  (patrz  równ.  4).  Oczywi cie,  je eli  obliczamy  iloczyn  wektorowy  wektorów 

i 

, otrzymujemy:  

(10)  

 

Iloczyn długo ci wektorów przez sinus k ta pomi dzy wektorami 

jest 

równy odległo ci R

T

 (Rysunek 4).  

 

 

Rysunek 4. - Zwi zek paralaksy Sło ca z punktami M

1

 i M

2

. 

 

 

Rozwi zanie równania 10 daje nam wielko  d. 

(11)  

 

Opis oblicze :  

Obliczenia  wymagaj   znajomo ci  współrz dnych  kartezja skich  dwu  punktów  M

1

  i 

M

2

 oraz  rodka Sło ca C w prostok tnym układzie odniesienia (O, x, y, z) maj cym 

pocz tek  w  rodku  Ziemi.  U yjmy  wi c  w  obliczeniach  geocentrycznego 

równikowego układu współrz dnych. 

Układ  odniesienia  jest  zdefiniowany  poprzez  płaszczyzn   równika  ziemskiego  w 

momencie  obserwacji  T  (płaszczyzna  Oxy)  i  przez  kierunek  wzdłu   osi  wiata  ku 

północnemu  biegunowi  sfery  niebieskiej  (o   Oz).  W  takim  układzie  odniesienia 

mo emy zdefiniowa  kartezja ski układ współrz dnych (x, y, z) oraz sferyczny układ 

współrz dnych  ( ,  ,  R)  gdzie  dwa  k ty  zwane  s  

rektascensja

  oraz 

deklinacja

 

(Rysunek 5). Przechodzimy z jednego układu współrz dnych do drugiego poprzez:  

 

a z powrotem:  

(13)  

 

O  Ox przechodzi przez punkt Barana (punkt równonocny wiosennej). 

Efemerydy  (np.  prawa  Keplera)  daj   nam  geocentryczne  równikowe  współrz dne 

rodka  Sło ca  ( ,  );  odległo   nie  jest  znana  ale  nie  ma  znaczenia,  poniewa  

wektor 

mo e by  zast piony przez jednostkowy wektor w równaniu 11.  

Bardziej 

skomplikowanym 

problemem 

jest 

wyznaczenie 

kartezja skich 

współrz dnych punktów M

1

 i M

2

 w układzie równikowym.  

 

 

Rysunek 5. - Układ współrz dnych równikowych geocentrycznych. 

 

 

Współrz dne  punktu  na  powierzchni  Ziemi  opisuje  si   za  pomoc   długo ci  i 

szeroko ci  geograficznej.  Szeroko   geograficzna  opisuje  odległo   k tow   od 

równika  (odpowiada  jakby  deklinacji)  a  długo   geograficzna  opisuje  odległo  

k tow   od  południka  zerowego  (Greenwich)  a  wi c  przypomina  rektascensj . 

Musimy  wi c  zna   dla  ka dego  momentu  k t  pomi dzy  kierunkiem  osi  Ox  a 

kierunkiem rzutu południka zerowego na płaszczyzn  równika (patrz Rysunek 5). K t 

ten ma zwi zek z obrotem Ziemi: nazywany jest 

czasem syderycznym

 na południku 

Greenwich i wzrasta o 24h (co odpowiada 360 stopniom) w ci gu 23h 56m 4s (obrót 

syderyczny Ziemi). 

A wi c, wystarczy zna  czas syderyczny w Greenwich T

G

 o godzinie 0h UTC (czasu 

uniwersalnego tzw. koordynowanego w dniu przej cia Wenus aby móc obliczy  czas 

syderyczny  w  Greenwich  w  dowolnym  momencie  t,  a  wi c  czas  syderyczny  w 

miejscowo ci o długo ci geograficznej  .  

(14)  

 

Przechodzimy  od  czasu  syderycznego  w  Greenwich  do  czasu  syderycznego  w 

miejscu M o długo ci geograficznej  , poprzez dodanie lub odj cie tej długo ci. 

Uwaga!  Czas  syderyczny  wzrasta  na  wschód  od  Greenwich,  maleje  na  zachód. 

Uwa ajcie na znaki!  

Je eli  długo ci  geograficzne  maj   znak  ujemny  na  wschód  od  Greenwich  to 

zwi zek pomi dzy lokalnym czasem syderycznym miejscowo ci o długo ci geogr.   i 

czasem syderycznym w Greenwich ma posta : T  = T

G

 -        (15)  

Oczywi cie  k ty  musz   by   wyra one  w  tych  samych  jednostkach  (stopnie  lub 

godziny  (miara  czasowa)).  Tak  wi c  kartezja skie  współrz dne  punktu  M

1

  o 

współrz dnych geogr. (

1

, 

1

) w chwili t maj  posta :  

(16)  

 

Długo   ||M

1

  M

2

||  wektora 

(jego  moduł)  oraz  współrz dne  (X,  Y,  Z)  s   dane 

przez:  

(17)  

 

Współrz dne wektora  kierunku " rodek Ziemi - Sło ce" s  dane przez:  

(18)  

 

Iloczyn wektorowy 

i jego moduł wynosz  wi c:  

(19)  

 

i w ko cu. korzystaj c z równania (11), otrzymujemy:  

(20)  

 

A  rednia paralaksa równikowa wynosi (zgodnie z r-niem (9)):  

(21)  

 

Zastosowania numeryczne  

Przykład 1: obserwacja poło enia  rodków  

We my  jako  przykład  obserwacje  wykonane  w  Antananarivo  (Madagaskar)  i  w 

Helsinkach (Finlandia) o godzinie t=8h 30min w dniu 8 czerwca 2004.  

Współrz dne geograficzne Antananarivo:  

szeroko  :18° 52' S, długo  : 47° 30' E a wi c 

1

 = -18.866667° i 

1

 = -47.5°.  

Dla Helsinek:  

szeroko  :60° 8' N, długo  : 25° 3' E, a wi c 

2

 = 60.133333° i 

2

 = -25.05°.  

Geocentryczne równikowe współrz dne Sło ca o 8h 30m UTC bierzemy z efemeryd 

(tablic):  

rektascensja Sło ca

s

 = 76deg; 49' 36.493"  

deklinacja Sło ca 

s

 = +22° 53' 16.237"  

Czas syderyczny w Greenwich w chwili t czasu UTC podaje wzór:  

T

G

 (t UTC) = 17h 6m 51,31s + 1,002737908 t  

A wi c czas syderyczny w Greenwich o 8h 30min wynosi:  

T

G

 = 17h 6m 51,31s + 8h 31m 23,78s = 25h 38m 15,09s = 1h 38m 15,09s  

Musimy  przej   z  miary  czasowej  na  stopniow   podczas  oblicze   czasu 

syderycznego w obu miastach.  

T

G

 = 1h 38m 15.09s = 24.562875°.  

St d, obliczamy lokalny czas syderyczny o 8h 30m w Antananarivo :  

T

1

 = 24.562875 - (-47.5°) = 72.062875°  

A w Helsinkach w tym samym momencie:  

T

2

 = 24.562875 - (-25.05°) = 49.612875°  

Obliczamy kartezja skie współrz dne równikowe dla tych dwu miast:  

Antananarivo :  

 

Helsinki :  

 

Współrz dne  wektora  jednostkowego 

kierunku  Ziemia-Sło ce  obliczamy  z 

równania 18:  

 

Wektor 

ma współrz dne:  

 

Wzór 20 pozwala nam wyliczy  warto  d:  

Efemerydy  daj   nam  stosunek  promieni  wodz cych  oraz  stosunek  odległo ci 

Ziemia-Sło ce oraz półosi  orbity Ziemi dla daty obserwacji: r

T

 / r

V

 = 1.397795 i r

T

 / a 

= 1.015087  

Teraz, musimy tylko przyj  jakie  warto ci na 

 oraz promie  Sło ca: załó my,  e 

= 0.015   a   = 31.51'. Daje to warto  

 : 28.359"  

Równanie 3 daje nam warto  paralaksy Sło ca:  

a równanie 21 daje warto   redniej równikowej paralaksy:  

 

Wyznaczona warto  jest bliska prawdziwej, zale y głównie od odległo ci widomych 

rodków tarczy Wenus na Sło cu i przyj tej warto ci  rednicy Sło ca (ta mo e by  

zmierzona  z  bardzo  dobr   dokładno ci ),  gorzej  z  pomiarem  widomych  rodków 

tarczy Wenus. Przy pomiarze na filmie fotograficznym, gdy cały dysk Sło ca ma 20 

mm,  odległo   rodków  mo e  by   rz du  0.3  mm  i  aby  uzyska   dokładno   rz du 

0.001, nale y dokona  pomiarów filmu z dokładno ci  do 0.02 mm.  

W dyskusji pomin li my dla prostoty kilka problemów, które trzeba bra  pod uwag  

podczas dokładnych oblicze :  

1.  W wyniku wzajemnych perturbacji orbity planet nie podlegaj   ci le prawom 

Keplera (słusznym tylko dla układu dwu ciał).  

2.  To nie Ziemia obiega po elipsie Sło ce, lecz  rodek ci ko ci układu Ziemia-

Ksi yc.  

3.  Ruchy  nutacyjne  i  precesyjne  osi  obrotu  Ziemi  powoduj   czasowe  zmiany 

kierunku osi Ox układu odniesienia. 

4.  Poniewa   wiatło  porusza  si   ze  sko czon   pr dko ci ,  poło enie  Sło ca  i 

Wenus  na  sferze  niebieskiej  w  danej  chwili  t  nie  odpowiadaj   obecnym 

geometrycznym  poło eniom  tych  dwu  ciał,  ale  poło eniom  w  chwili  t  - 

p

, 

p

 

odpowiadaj cych  czasowi  przelotu  wiatła  z  tych  ciał  do  Ziemi.  Poniewa  

zało yli my,  e  nie  znamy  tych  odległo ci,  obliczenia  trzeba  wykonywa  

metod  iteracyjn . 

 

Wyznaczanie  paralaksy  na  podstawie  pomiarów  momentów 

kontaktów  

albo na podstawie długo ci czasu trwania przej cia  

Istniej   dwie  uproszczone  formuły  pozwalaj ce  wprost  wyliczy   paralaks   na 

podstawie pomiarów momentów obserwacji tego samego kontaktu obserwowanego 

z dwu ró nych miejsc (metoda Delisle) albo te  z na podstawie porównania długo ci 

czasu  trwania  przej cia  obserwowanego  przez  dwu  odległych  obserwatorów 

(metoda Halley'a).  

Oba  sposoby  b dziemy  analizowa   równolegle,  korzystaj c  z  poprzedniego 

przykładu numerycznego.  

rednia równikowa paralaksa Sło ca 

0

 otrzymywana jest poprzez porównanie dwu 

obserwacji tego samego kontaktu poprzez zastosowanie uproszczonego wzoru:  

(22)  

Je eli pominiemy niedokładno ci i bł dy pomiaru, wzór przyjmuje posta :  

(23)  

Podobnie,  rednia  równikowa  paralaksa  Sło ca  otrzymywana  jest  poprzez 

porównanie dwu obserwacji czasu trwania przej cia przez zastosowanie wzoru:  

(24)  

i oraz j s  wska nikami oznaczaj cymi odpowiednio kontakty pierwszy i czwarty: i = 

1,  j  =  4  dla  kontaktów  zewn trznych  oraz  kontakty  drugi  i  trzeci:  i  =  2,  j  =  3  dla 

kontaktów wewn trznych.  

Współczynniki A, B, C oraz wyraz dD/dt s  wyliczane dla ka dego kontaktu i podane 

w poni szej tabeli:  

Kontakt  

A  

B  

C  

dD/dt  

"/min  

1-szy kontakt (zewn trzny) (wska nik=1)   2.2606   -0.0194   1.0110   -3.0846  

2-gi kontakt (wewn trzny) (wska nik=2)   2.1970   0.2237   1.1206   -2.9394  

3-ci kontakt (wewn trzny) (wska nik=3)   -1.0929   -1.1376   1.9090   2.9391  

4-ty kontakt (zewn trzny) (wska nik=4)   -0.9799   -1.3390   1.8383   3.0842  

 

Przykład 2: obserwacje momentu kontaktu  

Przeprowadzamy ponownie obliczenia dla Antananarivo i dla Helsinek. Zakładamy, 

e:  

• 

Miasto  n°1  :  Antananarivo  (

1

  =  -18.866667°  i 

1

  =  -47.5°)  

Zaobserwowany moment 2-go kontaktu (wewn trzny) (wska nik=2) : t2 = 5h 

35m 

30s 

UTC.  

Zaobserwowany moment 3-go kontaktu (wewn trzny) (wska nik=3) : t3 = 11h 

8m 

4s 

UTC  

Zaobserwowana długo  czasu trwania przej cia wewn trznego (od kontaktu 

2 do kontaktu 3): 5h 32m 34s.  

 

• 

Miasto  n°2  :  Helsinki  (

2

  =  60.133333°  i 

2

  =  -25.05°)  

Zaobserwowany moment 2-go kontaktu (wewn trzny) (wska nik=2) : t2 = 5h 

38m 

38s 

UTC.  

Zaobserwowany moment 3-go kontaktu (wewn trzny) (wska nik=3) : t3 = 11h 

2m 

20s 

UTC  

Zaobserwowana długo  czasu trwania przej cia wewn trznego (od kontaktu 

2 do kontaktu 3): 5h 23m 42s.  

W równaniach (22) i (23) współczynniki obok parametrów A, B, C mog  byc osobno 

policzone:  

 

 

Obliczenie paralaks  na podstawie obserwacji tego samego kontaktu 

(w tym przykładzie drugiego):  

Ró nica momentów zaobserwowania drugiego kontaktu w obu miastach wynosi -3m 

8s (-3.1333m), i wykorzystuj c warto ci parametrów A

2

, B

2

, C

2

 oraz dD/dt we wzorze 

(22) daje nam:  

 

A wi c 

0

=8.945'.  

 

Obliczenie paralaksy na podstawie analizy ró nic w długo ci trwania 

obserwowanego przej cia  

Ró nic  długo ci  czasu  trwania  przej cia  obserwowanego  w  obu  miastach  wynosi 

52s  (8.866m),  wi c  korzystaj c  z  parametrów  A

2

,  B

2

,  C

2

,  A

3

,  B

3

,  C

3

  oraz  dD/dt  w 

równaniu (23) otrzymujemy:  

 

Warto zauwa y ,  e:  

 

oraz na znaki.  

Daje to w rezultacie 

0

=8.822'.  

Nale y  zwróci   uwag ,  e  opisane  tu  dwie  metody  uproszczone  nie  s   całkowicie 

dokładne, a wi c do redukcji obserwacji warto tak e zastosowa  bardziej dokładne 

metody.  

 

 

 

[1] Autor: P. Rocher (IMCCE)

 

 

 

Komentarze prze lij do <vt-2004@astro.uni.wroc.pl>

 

Ostatnia modyfikacja: 28 kwietnia