Przej cie Wenus 2004

... arkusz edukacyjny 5

Przybli ona

metoda

wyznaczania

paralaksy

(z przykładami)

[1]

Poziom: szkoły rednie, ostatnie klasy

Cel: zrozumienie metody obliczenia paralaksy Sło ca, to jest obliczenie odległo ci

Ziemia-Sło ce z obserwacji przej cia Wenus w dwóch odległych punktach na Ziemi.

Zało enia: metoda uproszczona, pełna metoda wymaga wykonania wielu cykli

oblicze (iteracji). Zakładamy, e wiele parametrów ruchu Ziemi i Wenus jest

znanych. Obserwacje musz by jednoczesne.

Wymagane materiały: kalkulator

Podstawy: uczniowie musz zna :

•

podstawy trygonometrii i wektorów

•

ruchy Wenus i Ziemi

•

prawa Keplera

•

poj cie elipsy

•

poj cie kuli

Wst p

Przedstawiamy uproszczon metod wyliczenia redniej równikowej paralaksy

Sło ca. Uproszczenia wymuszone zostały istotnymi ograniczeniami obserwacyjnymi.

Zakładamy, e mamy dwie jednoczesne obserwacje, które daj odległo widomych

rodków tarczy Wenus na tarczy Sło ca. Wszystkie uproszczenia i zastosowane

przybli enia b d zaznaczone.

Hipoteza:

Rozwa my dwa miejsca obserwacji M

1

i M

2

, wystarczaj co od siebie odległe; obaj

obserwatorzy notuj w tym samym momencie czasu pozycje widomych rodków

tarczy Wenus na tle tarczy Sło ca. Korzystaj c z tych obserwacji, mo na wyznaczy

odległo tych rodków tarcz (wyra on w promieniach Sło ca), a SD wyznaczy

redni równikowa paralaks Sło ca

0

. Obliczenia te nie s jednak zbyt proste...

Rysunek 1. - Jednoczesne obserwacje przej cia Wenus z dwóch miejsc.

Niech O b dzie rodkiem Ziemi, C rodkiem Sło ca a V rdokiem Wenus a V

1

i V

2

rodkami tarczy Wenus widocznymi na tle tarczy Sło ca odpowiednio z punktów M

1

i

M

2

. Niech D

1

i D

2

oznaczaj k ty CM

1

V i CM

2

V utworzone przez linie ł cz ce

miejsca obserwacji ze rodkami Wenus i Sło ca oraz oznaczmy jako

S

k t z

wierzchołkiem na Sło cu oparty o odcinek M

1

M

2

a jako

v

k t z wierzchołkiem na

Wenus oparty o odcinek M

1

M

2

. Te dwa k ty s paralaksami Wenus i Sło ca

widomymi z punktów M

1

i M

2

(Rysunek 1).

Je eli miejsca obserwacji M

1

i M

2

zostały wybrane przypadkowo w pasie

widoczno ci przej cia, to punkty M

1

, M

2

, V i C nie le a w jednej płaszczy nie. A wi c,

ogólnie linie M

1

C i M

2

V nie le a ani w jednej płaszczy nie ani si nie przecinaj . Nie

mo na wi c stosowa geometrii płaskiej do sytuacji przestawionej na Rysunku 1.

A wi c zale no : D

1

- D

2

=

S

-

v

jest fałszywa (jest prawdziwa tylko na

płaszczy nie).

Z drugiej strony, ró nica paralaks jest równa k towej odległo ci widomych rodków

Wenus (Rysunek 2).

Rysunek 2. - Widome poło enie Wenus na tle tarczy Sło ca.

Łatwo sprawdzi , e ró nica paralaks wynosi D

2

- D

1

gdy wspomniane cztery punkty

le w jednej płaszczy nie, to jest gdy V

1

, V

2

i C le w jednej linii.

Wielko ci mierzona przez obserwatorów jest wi c odległo

pomi dzy dwoma

widomymi rodkami Wenus i zwi zek

=

v

-

S

pozwala nam wyznaczy

paralaks .

Aby to zrobi , wyrazimy obie paralaksy poprzez odległo ci rodków Ziemi oraz

Wenus i Sło ca. Niech R

V

b dzie odległo ci rodków Sło ca i Wenus a R

T

odległo ci rodków Ziemi i Sło ca, a wi c odległo Ziemia-Wenus wynosi R

T

- R

V

.

Musimy jeszcze zna długo rzutu D odcinka ł cz cego punkty M

1

M

2

na

płaszczyzn prostopadł do kierunku Ziemia-Sło ce (Rysunek 3).

Rysunek 3. - Paralaksa Sło ca odniesiona do punktów M

1

i M

2

.

Poniewa promie Ziemi i odległo punktów obserwacji s małe w porównaniu do

odległo ci Ziemia-Sło ce oraz Ziemia-Wenus, paralaksy mo na w przybli eniu

wyrazi jako:

(1)

W rzeczywisto ci, dokładna warto paralaksy wynosi:

Mamy teraz nast puj cy zwi zek:

(2)

oraz

lub te :

(3)

Pomiary daj nam wielko D

p

w promieniach Sło ca, a wi c musimy zmierzy tak e

promie Sło ca, bo odległo Ziemia-Sło ce jest nieznana.

Aby zmierzy paralaks Sło ca, nale y wi c zna stosunek odległo ci Ziemia-

Sło ce i Wenus-Sło ce. Mo na go wyliczy korzystaj c z praw Keplera.

Obliczanie stosunku odległo ci planet od Sło ca z praw Keplera

Pierwsze prawo Keplera mówi, e planety poruszaj si po orbitach eliptycznych, a

w jednym z ognisk ka dej z orbit znajduje si Sło ce. W ka dej chwili promie

wodz cy R

p

ł cz cy rodek Sło ca z planet mo e by wyznaczony z wzoru:

r

p

= a

p

( 1 - e

p

cos E) (4)

Gdzie a

p

jest półosi elipsy, e

p

jest ekscentryczno ci elipsy, E jest k tem zwanym

anomali orbity

pozwalaj cym w ka dej chwili zlokalizowa planet na jej orbicie.

Trzecie prawo Keplera daje zwi zek pomi dzy półosiami orbit a okresami obiegu

planet. A wi c dla wszystkich ciał obiegaj cych to samo ciało centralne prawdziwa

jest zale no :

(5)

A wi c prawa Keplera opisuj orbity planet Układy Słonecznego z dokładno ci do

czynnika skaluj cego. Znajomo okresów obiegu planet daje znajomo stosunków

długo ci półosi ich orbit. Tak wi c stosunek półosi orbit Wenus i Ziemi wynosi:

(6)

i w ka dym momencie T, stosunek promieni wodz cych wynosi:

(7)

Czyli z praw Keplera dla ka dego momentu mo emy wyliczy stosunek promieni

wodz cych.

Nasze pomiary pozwalaj wyliczy S, warto wi c teraz przej od tej wielko ci do

warto ci redniej paralaksy równikowej Sło ca

0

.

Obliczanie redniej paralaksy równikowej Sło ca

rednia równikowa paralaksa Sło ca

0

jest to k t z wierzchołkiem w rodku Sło ca,

wsparty na równikowym promieniu Ziemi gdy odległo Ziemia-Sło ce wynosi jedn

jednostk astronomiczn .

Mamy wi c nast puj cy zwi zek:

(8)

R jest promieniem równikowym za a jest długo ci jednostki astronomicznej.

Jednak e równanie (1) daje nam warto paralaksy Sło ca

S

wyra ona poprzez R

T

odległo Ziemia-Sło ce oraz rzut D odległo ci punktów pomiarowych na

płaszczyzn prostopadł do kierunku .

Wystarczy wyrazi odległo D w promieniach ziemskich a odległo Ziemia-Sło ce

w jednostkach astronomicznych aby otrzyma zwi zek pomi dzy

S

a

0

.

(9)

Pozostaje tylko obliczy stosunek D do R. Stosunek a/R

T

otrzymujemy z praw

Keplera, (patrz równ. 4). Oczywi cie, je eli obliczamy iloczyn wektorowy wektorów

i

, otrzymujemy:

(10)

Iloczyn długo ci wektorów przez sinus k ta pomi dzy wektorami

jest

równy odległo ci R

T

(Rysunek 4).

Rysunek 4. - Zwi zek paralaksy Sło ca z punktami M

1

i M

2

.

Rozwi zanie równania 10 daje nam wielko d.

(11)

Opis oblicze :

Obliczenia wymagaj znajomo ci współrz dnych kartezja skich dwu punktów M

1

i

M

2

oraz rodka Sło ca C w prostok tnym układzie odniesienia (O, x, y, z) maj cym

pocz tek w rodku Ziemi. U yjmy wi c w obliczeniach geocentrycznego

równikowego układu współrz dnych.

Układ odniesienia jest zdefiniowany poprzez płaszczyzn równika ziemskiego w

momencie obserwacji T (płaszczyzna Oxy) i przez kierunek wzdłu osi wiata ku

północnemu biegunowi sfery niebieskiej (o Oz). W takim układzie odniesienia

mo emy zdefiniowa kartezja ski układ współrz dnych (x, y, z) oraz sferyczny układ

współrz dnych ( , , R) gdzie dwa k ty zwane s

rektascensja

oraz

deklinacja

(Rysunek 5). Przechodzimy z jednego układu współrz dnych do drugiego poprzez:

a z powrotem:

(13)

O Ox przechodzi przez punkt Barana (punkt równonocny wiosennej).

Efemerydy (np. prawa Keplera) daj nam geocentryczne równikowe współrz dne

rodka Sło ca ( , ); odległo nie jest znana ale nie ma znaczenia, poniewa

wektor

mo e by zast piony przez jednostkowy wektor w równaniu 11.

Bardziej

skomplikowanym

problemem

jest

wyznaczenie

kartezja skich

współrz dnych punktów M

1

i M

2

w układzie równikowym.

Rysunek 5. - Układ współrz dnych równikowych geocentrycznych.

Współrz dne punktu na powierzchni Ziemi opisuje si za pomoc długo ci i

szeroko ci geograficznej. Szeroko geograficzna opisuje odległo k tow od

równika (odpowiada jakby deklinacji) a długo geograficzna opisuje odległo

k tow od południka zerowego (Greenwich) a wi c przypomina rektascensj .

Musimy wi c zna dla ka dego momentu k t pomi dzy kierunkiem osi Ox a

kierunkiem rzutu południka zerowego na płaszczyzn równika (patrz Rysunek 5). K t

ten ma zwi zek z obrotem Ziemi: nazywany jest

czasem syderycznym

na południku

Greenwich i wzrasta o 24h (co odpowiada 360 stopniom) w ci gu 23h 56m 4s (obrót

syderyczny Ziemi).

A wi c, wystarczy zna czas syderyczny w Greenwich T

G

o godzinie 0h UTC (czasu

uniwersalnego tzw. koordynowanego w dniu przej cia Wenus aby móc obliczy czas

syderyczny w Greenwich w dowolnym momencie t, a wi c czas syderyczny w

miejscowo ci o długo ci geograficznej .

(14)

Przechodzimy od czasu syderycznego w Greenwich do czasu syderycznego w

miejscu M o długo ci geograficznej , poprzez dodanie lub odj cie tej długo ci.

Uwaga! Czas syderyczny wzrasta na wschód od Greenwich, maleje na zachód.

Uwa ajcie na znaki!

Je eli długo ci geograficzne maj znak ujemny na wschód od Greenwich to

zwi zek pomi dzy lokalnym czasem syderycznym miejscowo ci o długo ci geogr. i

czasem syderycznym w Greenwich ma posta : T = T

G

- (15)

Oczywi cie k ty musz by wyra one w tych samych jednostkach (stopnie lub

godziny (miara czasowa)). Tak wi c kartezja skie współrz dne punktu M

1

o

współrz dnych geogr. (

1

,

1

) w chwili t maj posta :

(16)

Długo ||M

1

M

2

|| wektora

(jego moduł) oraz współrz dne (X, Y, Z) s dane

przez:

(17)

Współrz dne wektora kierunku " rodek Ziemi - Sło ce" s dane przez:

(18)

Iloczyn wektorowy

i jego moduł wynosz wi c:

(19)

i w ko cu. korzystaj c z równania (11), otrzymujemy:

(20)

A rednia paralaksa równikowa wynosi (zgodnie z r-niem (9)):

(21)

Zastosowania numeryczne

Przykład 1: obserwacja poło enia rodków

We my jako przykład obserwacje wykonane w Antananarivo (Madagaskar) i w

Helsinkach (Finlandia) o godzinie t=8h 30min w dniu 8 czerwca 2004.

Współrz dne geograficzne Antananarivo:

szeroko :18° 52' S, długo : 47° 30' E a wi c

1

= -18.866667° i

1

= -47.5°.

Dla Helsinek:

szeroko :60° 8' N, długo : 25° 3' E, a wi c

2

= 60.133333° i

2

= -25.05°.

Geocentryczne równikowe współrz dne Sło ca o 8h 30m UTC bierzemy z efemeryd

(tablic):

rektascensja Sło ca

s

= 76deg; 49' 36.493"

deklinacja Sło ca

s

= +22° 53' 16.237"

Czas syderyczny w Greenwich w chwili t czasu UTC podaje wzór:

T

G

(t UTC) = 17h 6m 51,31s + 1,002737908 t

A wi c czas syderyczny w Greenwich o 8h 30min wynosi:

T

G

= 17h 6m 51,31s + 8h 31m 23,78s = 25h 38m 15,09s = 1h 38m 15,09s

Musimy przej z miary czasowej na stopniow podczas oblicze czasu

syderycznego w obu miastach.

T

G

= 1h 38m 15.09s = 24.562875°.

St d, obliczamy lokalny czas syderyczny o 8h 30m w Antananarivo :

T

1

= 24.562875 - (-47.5°) = 72.062875°

A w Helsinkach w tym samym momencie:

T

2

= 24.562875 - (-25.05°) = 49.612875°

Obliczamy kartezja skie współrz dne równikowe dla tych dwu miast:

Antananarivo :

Helsinki :

Współrz dne wektora jednostkowego

kierunku Ziemia-Sło ce obliczamy z

równania 18:

Wektor

ma współrz dne:

Wzór 20 pozwala nam wyliczy warto d:

Efemerydy daj nam stosunek promieni wodz cych oraz stosunek odległo ci

Ziemia-Sło ce oraz półosi orbity Ziemi dla daty obserwacji: r

T

/ r

V

= 1.397795 i r

T

/ a

= 1.015087

Teraz, musimy tylko przyj jakie warto ci na

oraz promie Sło ca: załó my, e

= 0.015 a = 31.51'. Daje to warto

: 28.359"

Równanie 3 daje nam warto paralaksy Sło ca:

a równanie 21 daje warto redniej równikowej paralaksy:

Wyznaczona warto jest bliska prawdziwej, zale y głównie od odległo ci widomych

rodków tarczy Wenus na Sło cu i przyj tej warto ci rednicy Sło ca (ta mo e by

zmierzona z bardzo dobr dokładno ci ), gorzej z pomiarem widomych rodków

tarczy Wenus. Przy pomiarze na filmie fotograficznym, gdy cały dysk Sło ca ma 20

mm, odległo rodków mo e by rz du 0.3 mm i aby uzyska dokładno rz du

0.001, nale y dokona pomiarów filmu z dokładno ci do 0.02 mm.

W dyskusji pomin li my dla prostoty kilka problemów, które trzeba bra pod uwag

podczas dokładnych oblicze :

1. W wyniku wzajemnych perturbacji orbity planet nie podlegaj ci le prawom

Keplera (słusznym tylko dla układu dwu ciał).

2. To nie Ziemia obiega po elipsie Sło ce, lecz rodek ci ko ci układu Ziemia-

Ksi yc.

3. Ruchy nutacyjne i precesyjne osi obrotu Ziemi powoduj czasowe zmiany

kierunku osi Ox układu odniesienia.

4. Poniewa wiatło porusza si ze sko czon pr dko ci , poło enie Sło ca i

Wenus na sferze niebieskiej w danej chwili t nie odpowiadaj obecnym

geometrycznym poło eniom tych dwu ciał, ale poło eniom w chwili t -

p

,

p

odpowiadaj cych czasowi przelotu wiatła z tych ciał do Ziemi. Poniewa

zało yli my, e nie znamy tych odległo ci, obliczenia trzeba wykonywa

metod iteracyjn .

Wyznaczanie paralaksy na podstawie pomiarów momentów

kontaktów

albo na podstawie długo ci czasu trwania przej cia

Istniej dwie uproszczone formuły pozwalaj ce wprost wyliczy paralaks na

podstawie pomiarów momentów obserwacji tego samego kontaktu obserwowanego

z dwu ró nych miejsc (metoda Delisle) albo te z na podstawie porównania długo ci

czasu trwania przej cia obserwowanego przez dwu odległych obserwatorów

(metoda Halley'a).

Oba sposoby b dziemy analizowa równolegle, korzystaj c z poprzedniego

przykładu numerycznego.

rednia równikowa paralaksa Sło ca

0

otrzymywana jest poprzez porównanie dwu

obserwacji tego samego kontaktu poprzez zastosowanie uproszczonego wzoru:

(22)

Je eli pominiemy niedokładno ci i bł dy pomiaru, wzór przyjmuje posta :

(23)

Podobnie, rednia równikowa paralaksa Sło ca otrzymywana jest poprzez

porównanie dwu obserwacji czasu trwania przej cia przez zastosowanie wzoru:

(24)

i oraz j s wska nikami oznaczaj cymi odpowiednio kontakty pierwszy i czwarty: i =

1, j = 4 dla kontaktów zewn trznych oraz kontakty drugi i trzeci: i = 2, j = 3 dla

kontaktów wewn trznych.

Współczynniki A, B, C oraz wyraz dD/dt s wyliczane dla ka dego kontaktu i podane

w poni szej tabeli:

Kontakt

A

B

C

dD/dt

"/min

1-szy kontakt (zewn trzny) (wska nik=1) 2.2606 -0.0194 1.0110 -3.0846

2-gi kontakt (wewn trzny) (wska nik=2) 2.1970 0.2237 1.1206 -2.9394

3-ci kontakt (wewn trzny) (wska nik=3) -1.0929 -1.1376 1.9090 2.9391

4-ty kontakt (zewn trzny) (wska nik=4) -0.9799 -1.3390 1.8383 3.0842

Przykład 2: obserwacje momentu kontaktu

Przeprowadzamy ponownie obliczenia dla Antananarivo i dla Helsinek. Zakładamy,

e:

•

Miasto n°1 : Antananarivo (

1

= -18.866667° i

1

= -47.5°)

Zaobserwowany moment 2-go kontaktu (wewn trzny) (wska nik=2) : t2 = 5h

35m

30s

UTC.

Zaobserwowany moment 3-go kontaktu (wewn trzny) (wska nik=3) : t3 = 11h

8m

4s

UTC

Zaobserwowana długo czasu trwania przej cia wewn trznego (od kontaktu

2 do kontaktu 3): 5h 32m 34s.

•

Miasto n°2 : Helsinki (

2

= 60.133333° i

2

= -25.05°)

Zaobserwowany moment 2-go kontaktu (wewn trzny) (wska nik=2) : t2 = 5h

38m

38s

UTC.

Zaobserwowany moment 3-go kontaktu (wewn trzny) (wska nik=3) : t3 = 11h

2m

20s

UTC

Zaobserwowana długo czasu trwania przej cia wewn trznego (od kontaktu

2 do kontaktu 3): 5h 23m 42s.

W równaniach (22) i (23) współczynniki obok parametrów A, B, C mog byc osobno

policzone:

Obliczenie paralaks na podstawie obserwacji tego samego kontaktu

(w tym przykładzie drugiego):

Ró nica momentów zaobserwowania drugiego kontaktu w obu miastach wynosi -3m

8s (-3.1333m), i wykorzystuj c warto ci parametrów A

2

, B

2

, C

2

oraz dD/dt we wzorze

(22) daje nam:

A wi c

0

=8.945'.

Obliczenie paralaksy na podstawie analizy ró nic w długo ci trwania

obserwowanego przej cia

Ró nic długo ci czasu trwania przej cia obserwowanego w obu miastach wynosi

52s (8.866m), wi c korzystaj c z parametrów A

2

, B

2

, C

2

, A

3

, B

3

, C

3

oraz dD/dt w

równaniu (23) otrzymujemy:

Warto zauwa y , e:

oraz na znaki.

Daje to w rezultacie

0

=8.822'.

Nale y zwróci uwag , e opisane tu dwie metody uproszczone nie s całkowicie

dokładne, a wi c do redukcji obserwacji warto tak e zastosowa bardziej dokładne

metody.

[1] Autor: P. Rocher (IMCCE)

Komentarze prze lij do <[e-mail]>

Ostatnia modyfikacja: 28 kwietnia