MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

Momentem bezwładności układu mechanicznego względem nieruchomej osi a
nazywamy wielkość fizyczną I

a

równą sumie iloczynów mas wszystkich n punktów

materialnych układu i kwadratów ich odległości od osi:

gdzie m

i

jest masą i-tego punktu, a r

i

- jego odległością od osi.

Moment bezwładności ciała jest równy

gdzie dm = r dV jest masą małego elementu objętości bryły dV,
ρ - gęstością, a r - odległością elementu dV od osi a.

Moment bezwładności danej bryły względem dowolnej osi zależy od masy, kształtu i
rozmiarów bryły oraz położenia bryły względem tej osi.

Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności I dowolnego ciała względem dowolnej osi jest równy sumie
momentu bezwładności I

o

względem osi równoległej przechodzącej przez środek

masy ciała oraz iloczynu masy tego ciała i kwadratu odległości a obu osi:

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH

Moment bezwładności ciała płaskiego względem osi prostopadłej do jego
płaszczyzny równa się sumie momentów bezwładności względem dwóch osi
wzajemnie prostopadłych, leżących w jego płaszczyźnie.

Biegunowy moment bezwładności jest sumą osiowych momentów bezwładności
względem dwóch prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun.

Twierdzenia Steinera dla figury płaskiej
Moment bezwładności figury płaskiej względem osi równoległej do osi środkowej jest

równy momentowi bezwładności tej figury względem jej osi środkowej,
zwiększonemu o iloczyn pola figury i kwadratu odległości pomiędzy osiami.

MOMENT BEZWŁADNOŚCI CIAŁ SZTYWNYCH

W przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy (gęstość jest stała w całej objętości),
jej moment bezwładności wynosi

gdzie

ρ - gęstość, r - odległość elementu dV od osi a.

Moment bezwładności bryły jest miarą jej bezwładności w ruchu obrotowym wokół
nieruchomej osi a.

Biegunowy moment bezwładności jest równy sumie momentów bezwładności
względem trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn przecinających się w biegunie
O.

Moment bezwładności względem osi jest równy sumie momentów bezwładności
względem dowolnych dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn, przecinających
się wzdłuż tej osi.

PRZYKŁADY OBLICZENIOWE

Przykład 1
Wyprowadź wzór na moment bezwładności półkola względem osi centralnej.

R o z w i ą z a n i e.
Moment bezwładności półkola względem osi z jest równy połowie momentu
bezwładności całego koła

Stosując wzór Steinera, mamy

Przykład 2
Obliczyć moment bezwładności danego przekroju względem osi centralnej.

R o z w i ą z a n i e.
Położenie środka ciężkości przekroju jest określone współrzędną

Moment bezwładności przekroju jest równy sumie momentów bezwładności
względem osi z

c

trzech figur składowych.

Dla półkola I

1

= 0,11r

4

, a względem osi z

c

(stosując wzór Steinera)

Dla prostokąta I

2

= 2r · r

3

/12 i względem osi z

c

a dla trójkąta I

3

= 2r · r

3

/36, zatem

Ostatecznie otrzymamy

Przykład 3
Obliczyć odśrodkowy moment bezwładności ćwiartki koła względem układu osi yz.

R o z w i ą z a n i e.
Elementarne pole wynosi

a współrzędna jego środka ciężkości

Moment odśrodkowy wynosi

Przykład 4
Wyznacz moment bezwładności cienkiego jednorodnego pręta o masie m i długości l
względem osi Ox i osi centralnej Cx

c

.

R o z w i ą z a n i e.
Wycinamy myślowo w odległości y od osi Ox element długości dy.
Masa elementu o długości dy wynosi

Pomijając wymiary poprzeczne pręta (z = 0) otrzymujemy

Moment bezwładności względem osi centralnej Cx

c

.

Przykład 5
Wyznaczyć momenty bezwładności płaskiej kołowej płytki o masie m i promieniu r
względem osi Ox, Oy i Oz.

R o z w i ą z a n i e.
Moment bezwładności względem osi Oz jest biegunowym momentem bezwładności.
W odległości

ρ od środka tarczy wycinamy pierścień o grubości dρ, zatem

Masa wyciętego pierścienia wynosi

Stąd

Mamy także

Stąd

Możemy również napisać

Zatem

Zginania prętów prostych

Zginanie występuje w przypadkach, gdy w wyniku redukcji wszystkich sił zewnętrznych (po
jednej stronie przekroju) do środka ciężkości rozpatrywanego przekroju otrzymuje się parę sił
działających w płaszczyźnie prostopadłej do tego przekroju. Jest to tzw. zginanie czyste.
Wspomniana płaszczyzna jest nazywana płaszczyzną obciążenia. W praktycznych
problemach, zginaniu towarzyszy zazwyczaj siła poprzeczna lub podłużna. Pręty zginane
nazywane są belkami [5].

Figura płaska, jaką jest przekrój poprzeczny belki, najogólniej ujmując, ma dwie główne,
centralne osie bezwładności, które jak wiadomo są prostopadłe do siebie. Przeprowadzona
płaszczyzna przez centralną oś bezwładności (np. na rys. 3.4.5 oznaczona symbolem y lub z)
oraz oś geometryczną belki (oznaczoną symbolem x) nazywana jest płaszczyzną główną
belki. Można zatem wyróżnić dwie płaszczyzny główne belki. Zginanie proste lub płaskie
zachodzi wówczas gdy płaszczyzna obciążenia pokrywa się z jedną płaszczyzn głównych
belki [5].

Jako moment zginający M

g

w dowolnym przekroju rozumiemy algebraiczną sumę momentów

wszystkich sił zewnętrznych (czynnych i biernych) przyłożonych po jednej stronie tego
przekroju i obliczonych względem środka ciężkości przekroju [5].

W belce jak na rysunku 3.4.5 płaszczyzna obciążenia pokrywa się z płaszczyzną główną
poprowadzoną przez dwie osie: oś y oraz oś x.

W przypadku czystego zginania w zgięciu prostym, naprężenia w dowolnym punkcie
przekroju poprzecznego belki jak na rys. 3.4.5, są obliczane według wzoru

gdzie

M

g

– wartość momentu zginającego w danym przekroju

I

z

- moment bezwładności pola przekroju względem osi obojętnej z

y – odległość rozpatrywanego punktu przekroju poprzecznego od osi obojętnej
z.

Dla przekrojów poprzecznych, które są symetryczne względem osi obojętnej, maksymalną
wartość naprężeń zginających można obliczyć z wzoru

(7)

gdzie:

M

g max

– największa wartość momentu zginającego w belce,

W

g

- wskażnik wytrzymałości przy zginaniu.

Dla belki obciążonej zewnętrznym układem momentów zginających jak na rys. 3.4.5.a
wykres momentu zginającego w funkcji długości belki jest przedstawiony z pomocą linii
prostej, równoległej do osi geometrycznej x belki. Zewnętrzne momenty gnące (o kierunkach
jak na rys.3.4.5.a) mogą spowodować ugięcie belki jak w przesadny sposób przedstawiono na
rys. 3.4.5.c.

Na podstawie wykresu momentu zginającego w funkcji długości belki przedstawionego na
rys. 3.4.5.b można wnioskować, że wartość momentu zginającego dla każdego przekroju
belki jest jednakowa. Nie oznacza to jednak, że i wartość naprężeń zginających będzie
jednakowa w funkcji długości belki. Charakteryzuje się ona bowiem zmiennym przekrojem
poprzecznym wzdłuż swojej długości.

Rys. 3.4.5. Zginanie płaskie belki; a) kierunki działania zewnętrznych momentów gnących oraz charakterystyka naprężeń wewnętrznych w belce, b)
wykres momentu gnącego w funkcji długości belki, c) przewidywana linia ugięcia osi belki; y – liniowe przemieszczenie osi belki.

Po przyłożeniu momentów sił zewnętrznych do belki (rys. 3.4.5.a), elementarne warstwy
(włókna) materiału (z którego będzie wykonana belka) usytuowane w pobliżu wklęsłej

płaszczyzny belki będą ściskane (znak minus) a usytuowane w pobliżu wypukłej płaszczyzny
belki będą rozciąganie (znak plus). Natomiast punkty materialne (włókna), które pokrywają
się z osią obojętną nie są (teoretycznie) narażone zarówno na rozciąganie ani ściskanie.
Punkty te wyznaczają płaszczyznę obojętną.

Maksymalne naprężenia

powstają w najdalej usytuowanych warstwach belki względem

osi obojętnej z ( rys. 3.4.5). Wartość tych naprężeń można obliczyć z zależności:

[5]

przy czym wskaźnik wytrzymałości przekroju przy zginaniu W

z

:

gdzie:

J

z

- osiowy moment bezwładności przekroju A-A względem osi z.

y

max

- odległość skrajnych włókien od osi obojętnej z.

Warunek wytrzymałości na naprężenia dopuszczalne przy zginaniu przyjmuje postać:

gdzie:

k

g

- dopuszczalne naprężenie na zginanie (podczas działania

stałej wartości momentu gnącego) dla materiału
konstrukcyjnego belki.

Przykład

Pary sił o momencie gnącym M

g

działają na stalową belkę przedstawioną na rys. 3.4.5. Dane

liczbowe: M

g

= 500Nm, h

1

=30 mm, h

2

= 38 mm, b = 15 mm, d = 8mm. Wyznaczyć przekrój

niebezpieczny oraz wartość .

Rozwiązanie:

Pole powierzchni przekroju poprzecznego A

1

2

Pole powierzchni przekroju poprzecznego A

2

2

Poniższe wartości wskaźników wytrzymałości przy zginaniu W

z

zostały obliczone według

wzorów umieszczonych w tablicy 3.4.1. Wskaźniki wytrzymałości przy zginaniu zostały
obliczone względem osi obojętnej z, albowiem jak wspomniano wcześniej płaszczyzna
obojętna dla belki przedstawionej na rys. 3.4.5 jest wyznaczona przez centralną oś
bezwładności z oraz oś geometryczną belki x.

Dla przekroju A

1

Dla przekroju A

2

(8)

gdzie

- moment bezwładności pola powierzchni przekroju A

2

względem osi z. (9)

Po podstawieniu do wzoru (8) wzoru (9)

Na podstawie wyników powyższych obliczeń można wysnuć następujące stwierdzenie:
pomimo, że wartości pól powierzchni analizowanych przekrojów porzecznych są jednakowe
to wartości wskaźników wytrzymałości przy zginaniu tych przekrojów są różne. Z tego
powodu wartość naprężeń zginających będzie największa w tym przekroju, dla którego
wartość wskażnika wytrzymałości przy zginaniu jest najmniejsza. Dla belki jak na rys.3.4.5
będzie to przekrój A

1

, który można nazwać przekrojem niebezpiecznym. Wartość naprężeń

zginających w tym przekroju

Przy określonych wartościach momentów zginających działających na element mechaniczny,
wartość naprężeń w określonym przekroju jest uwarunkowana nie tylko wartością
przyłożonego z zewnątrz obciążenia lecz również cechami geometrycznymi pola powierzchni

tego przekroju a w szczególności usytuowaniem pola przekroju względem osi obojętnej
zginania..

Bardziej złożone stany obciążeń i naprężeń w belkach, które charakteryzują się odmiennymi
cechami geometrycznymi, są analizowane między innymi w pracach [1,5].

Pola powierzchni A, momenty bezwładności I i wskaźniki wytrzymałości najczęściej
spotykanych przekrojów brył geometrycznych [1, 5]

Tablica 3.4.1.