MOMENTY BEZWŁADNOŚCI 

 
Momentem bezwładności układu mechanicznego względem nieruchomej osi a 
nazywamy wielkość fizyczną I

a

 równą sumie iloczynów mas wszystkich n punktów 

materialnych układu i kwadratów ich odległości od osi: 
 

                  

 

 
gdzie m

i

 jest masą i-tego punktu, a r

i

 - jego odległością od osi. 

 
Moment bezwładności ciała jest równy 
 

                  

 

 
gdzie dm = r dV  jest masą małego elementu objętości bryły dV, 
ρ - gęstością, a r - odległością elementu dV od osi a. 
 
Moment bezwładności danej bryły względem dowolnej osi zależy od masy, kształtu i 
rozmiarów bryły oraz położenia bryły względem tej osi. 
 
Twierdzenie Steinera 
Moment bezwładności I dowolnego ciała względem dowolnej osi jest równy sumie 
momentu bezwładności I

o

 względem osi równoległej przechodzącej przez środek 

masy ciała oraz iloczynu masy tego ciała i kwadratu odległości a obu osi:  
 

                 

 

 
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH 
 
Moment bezwładności ciała płaskiego względem osi prostopadłej do jego 
płaszczyzny równa się sumie momentów bezwładności względem dwóch osi 
wzajemnie prostopadłych, leżących w jego płaszczyźnie. 
 

                  

 

 
Biegunowy moment bezwładności jest sumą osiowych momentów  bezwładności 
względem dwóch prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun. 
 

                  

 

 
Twierdzenia Steinera dla figury płaskiej 
Moment bezwładności figury płaskiej względem osi równoległej do osi środkowej jest 

równy momentowi bezwładności tej figury względem jej osi środkowej, 
zwiększonemu o iloczyn pola figury i kwadratu odległości pomiędzy osiami. 
 

                  

 

 
MOMENT BEZWŁADNOŚCI CIAŁ SZTYWNYCH 
 
W przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy (gęstość jest stała w całej objętości), 
jej moment bezwładności wynosi  
 

                  

 

 
gdzie 

ρ - gęstość, r - odległość elementu dV od osi a. 

 
Moment bezwładności bryły jest miarą jej bezwładności w ruchu obrotowym wokół 
nieruchomej osi a. 
 
Biegunowy moment bezwładności jest równy sumie momentów bezwładności 
względem trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn przecinających się w biegunie 
O. 
 

                  

 

 
Moment bezwładności względem osi jest równy sumie momentów bezwładności 
względem dowolnych dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn, przecinających 
się wzdłuż tej osi. 
 

 

PRZYKŁADY OBLICZENIOWE 

 
Przykład 1 
Wyprowadź wzór na moment bezwładności półkola względem osi centralnej.  
 

 

 
R o z w i ą z a n i e. 
Moment bezwładności półkola względem osi z jest równy połowie momentu 
bezwładności całego koła 
 

                  

 

 
Stosując wzór Steinera, mamy 
 

                  

 

 
Przykład 2 
Obliczyć moment bezwładności danego przekroju względem osi centralnej. 
 

 
 
R o z w i ą z a n i e. 
Położenie środka ciężkości przekroju jest określone współrzędną 
 

                    

 

 
Moment bezwładności przekroju jest równy sumie momentów bezwładności 
względem osi z

c

 trzech figur składowych. 

Dla półkola I

1

 = 0,11r

4

, a względem osi z

c

 (stosując wzór Steinera) 

 

                  

 

 
Dla prostokąta I

2

 = 2r · r

3

/12 i względem osi z

c

    

 

                  

 

 
a dla trójkąta I

3

 = 2r · r

3

/36, zatem   

 

                  

 

 
Ostatecznie otrzymamy 
 

                  

 

 
Przykład 3 
Obliczyć odśrodkowy moment bezwładności ćwiartki koła względem układu osi yz. 
 

 

 
R o z w i ą z a n i e. 
Elementarne pole wynosi  
 

                 

 

 
a współrzędna jego środka ciężkości 
 

                  

 

 
Moment odśrodkowy wynosi 
 

                   

 

 
Przykład 4 
Wyznacz moment bezwładności cienkiego jednorodnego pręta o masie m i długości l 
względem osi Ox i osi centralnej Cx

c

. 

 

                        

 

 
R o z w i ą z a n i e. 
Wycinamy myślowo w odległości y od osi Ox element długości dy. 
Masa elementu o długości dy wynosi  
 

                  

 

Pomijając wymiary poprzeczne pręta (z = 0) otrzymujemy 
 

                  

 

 
Moment bezwładności względem osi centralnej Cx

c

. 

 

                  

 

 
Przykład 5 
Wyznaczyć momenty bezwładności płaskiej kołowej płytki o masie m i promieniu r 
względem osi Ox, Oy i Oz. 
 

                       

 

 
R o z w i ą z a n i e. 
Moment bezwładności względem osi Oz jest biegunowym momentem bezwładności. 
W odległości 

ρ od środka tarczy wycinamy pierścień o grubości dρ, zatem 

 

                  

 

Masa wyciętego pierścienia wynosi 
 

                  

 

Stąd 

                  

 

 
Mamy także 
 

                  

 

Stąd 

                  

 

 
Możemy również napisać 
 

                  

 

Zatem 

                  

 

 
 

Zginania prętów prostych 

Zginanie występuje w przypadkach, gdy w wyniku redukcji wszystkich sił zewnętrznych (po 
jednej stronie przekroju) do środka ciężkości rozpatrywanego przekroju otrzymuje się parę sił 
działających w płaszczyźnie prostopadłej do tego przekroju. Jest to tzw. zginanie czyste. 
Wspomniana płaszczyzna jest nazywana płaszczyzną obciążenia. W praktycznych 
problemach, zginaniu towarzyszy zazwyczaj siła poprzeczna lub podłużna. Pręty zginane 
nazywane są belkami [5].  

Figura płaska, jaką jest przekrój poprzeczny belki, najogólniej ujmując, ma dwie główne, 
centralne osie bezwładności, które jak wiadomo są prostopadłe do siebie. Przeprowadzona 
płaszczyzna przez centralną oś bezwładności (np. na rys. 3.4.5 oznaczona symbolem y lub z) 
oraz oś geometryczną belki (oznaczoną symbolem x) nazywana jest płaszczyzną główną 
belki. Można zatem wyróżnić dwie płaszczyzny główne belki. Zginanie proste lub płaskie 
zachodzi wówczas gdy płaszczyzna obciążenia pokrywa się z jedną płaszczyzn głównych 
belki [5]. 

Jako moment zginający M

g

 w dowolnym przekroju rozumiemy algebraiczną sumę momentów 

wszystkich sił zewnętrznych (czynnych i biernych) przyłożonych po jednej stronie tego 
przekroju i obliczonych względem środka ciężkości przekroju [5]. 

W belce jak na rysunku 3.4.5 płaszczyzna obciążenia pokrywa się z płaszczyzną główną 
poprowadzoną przez dwie osie: oś y oraz oś x.  

W przypadku czystego zginania w zgięciu prostym, naprężenia w dowolnym punkcie 
przekroju poprzecznego belki jak na rys. 3.4.5, są obliczane według wzoru  

 

gdzie 

M

g

 – wartość momentu zginającego w danym przekroju 

I

z 

- moment bezwładności pola przekroju względem osi obojętnej z 

y – odległość rozpatrywanego punktu przekroju poprzecznego od osi obojętnej 
z. 

Dla przekrojów poprzecznych, które są symetryczne względem osi obojętnej, maksymalną 
wartość naprężeń zginających można obliczyć z wzoru 

(7) 

gdzie: 

M

g max

 – największa wartość momentu zginającego w belce, 

W

g

- wskażnik wytrzymałości przy zginaniu.  

Dla belki obciążonej zewnętrznym układem momentów zginających jak na rys. 3.4.5.a 
wykres momentu zginającego w funkcji długości belki jest przedstawiony z pomocą linii 
prostej, równoległej do osi geometrycznej x belki. Zewnętrzne momenty gnące (o kierunkach 
jak na rys.3.4.5.a) mogą spowodować ugięcie belki jak w przesadny sposób przedstawiono na 
rys. 3.4.5.c. 

Na podstawie wykresu momentu zginającego w funkcji długości belki przedstawionego na 
rys. 3.4.5.b można wnioskować, że wartość momentu zginającego dla każdego przekroju 
belki jest jednakowa. Nie oznacza to jednak, że i wartość naprężeń zginających będzie 
jednakowa w funkcji długości belki. Charakteryzuje się ona bowiem zmiennym przekrojem 
poprzecznym wzdłuż swojej długości. 

 

Rys. 3.4.5. Zginanie płaskie belki; a) kierunki działania zewnętrznych momentów gnących oraz charakterystyka naprężeń wewnętrznych w belce, b) 
wykres momentu gnącego w funkcji długości belki, c) przewidywana linia ugięcia osi belki; y – liniowe przemieszczenie osi belki.  

Po przyłożeniu momentów sił zewnętrznych do belki (rys. 3.4.5.a), elementarne warstwy 
(włókna) materiału (z którego będzie wykonana belka) usytuowane w pobliżu wklęsłej 

płaszczyzny belki będą ściskane (znak minus) a usytuowane w pobliżu wypukłej płaszczyzny 
belki będą rozciąganie (znak plus). Natomiast punkty materialne (włókna), które pokrywają 
się z osią obojętną nie są (teoretycznie) narażone zarówno na rozciąganie ani ściskanie. 
Punkty te wyznaczają płaszczyznę obojętną.  

Maksymalne naprężenia 

powstają w najdalej usytuowanych warstwach belki względem 

osi obojętnej z ( rys. 3.4.5). Wartość tych naprężeń można obliczyć z zależności:  

 

[5] 

przy czym wskaźnik wytrzymałości przekroju przy zginaniu W

z

: 

 

  

gdzie: 

J

z

 - osiowy moment bezwładności przekroju A-A względem osi z. 

y 

max

 - odległość skrajnych włókien od osi obojętnej z. 

Warunek wytrzymałości na naprężenia dopuszczalne przy zginaniu przyjmuje postać: 

 

gdzie: 

k

g

 - dopuszczalne naprężenie na zginanie (podczas działania 

stałej wartości momentu gnącego) dla materiału 
konstrukcyjnego belki. 

Przykład 

Pary sił o momencie gnącym M

g

 działają na stalową belkę przedstawioną na rys. 3.4.5. Dane 

liczbowe: M

g

 = 500Nm, h

1

 =30 mm, h

2

 = 38 mm, b = 15 mm, d = 8mm. Wyznaczyć przekrój 

niebezpieczny oraz wartość . 

Rozwiązanie:  

Pole powierzchni przekroju poprzecznego A

1 

 

2 

Pole powierzchni przekroju poprzecznego A

2 

2 

Poniższe wartości wskaźników wytrzymałości przy zginaniu W

z

 zostały obliczone według 

wzorów umieszczonych w tablicy 3.4.1. Wskaźniki wytrzymałości przy zginaniu zostały 
obliczone względem osi obojętnej z, albowiem jak wspomniano wcześniej płaszczyzna 
obojętna dla belki przedstawionej na rys. 3.4.5 jest wyznaczona przez centralną oś 
bezwładności z oraz oś geometryczną belki x. 

Dla przekroju A

1 

 

Dla przekroju A

2  

(8) 

gdzie  

- moment bezwładności pola powierzchni przekroju A

2

 

względem osi z. (9) 

Po podstawieniu do wzoru (8) wzoru (9)  

 

Na podstawie wyników powyższych obliczeń można wysnuć następujące stwierdzenie: 
pomimo, że wartości pól powierzchni analizowanych przekrojów porzecznych są jednakowe 
to wartości wskaźników wytrzymałości przy zginaniu tych przekrojów są różne. Z tego 
powodu wartość naprężeń zginających będzie największa w tym przekroju, dla którego 
wartość wskażnika wytrzymałości przy zginaniu jest najmniejsza. Dla belki jak na rys.3.4.5 
będzie to przekrój A

1

, który można nazwać przekrojem niebezpiecznym. Wartość naprężeń 

zginających w tym przekroju 

 

Przy określonych wartościach momentów zginających działających na element mechaniczny, 
wartość naprężeń w określonym przekroju jest uwarunkowana nie tylko wartością 
przyłożonego z zewnątrz obciążenia lecz również cechami geometrycznymi pola powierzchni 

tego przekroju a w szczególności usytuowaniem pola przekroju względem osi obojętnej 
zginania.. 

Bardziej złożone stany obciążeń i naprężeń w belkach, które charakteryzują się odmiennymi 
cechami geometrycznymi, są analizowane między innymi w pracach [1,5]. 

  

Pola powierzchni A, momenty bezwładności I i wskaźniki wytrzymałości najczęściej 
spotykanych przekrojów brył geometrycznych [1, 5] 

Tablica 3.4.1.