A

n

a

liz

a

m

a

te

m

a

ty

cz

n

a

2

II

ko

lo

kw

iu

m

,s

em

es

tr

let

ni

20

05

/2

00

6

N

a

pie

rw

sz

ej

str

on

ie

pra

cy

pro

sz

na

pis

a

na

zw
ku

rsu

,z

któ

re

go

od

by

w

a

si

ko

lo

kw

iu

m

,

sw

oje

im

i

in

az

w

isk

o,

nu

m

er

in

de

ks

u,

w

yd

zia

ł,

kie

ru

ne

k,

ro

k

stu

dió

w

,im

i

in

az

w

isk

o

w

yk

ład

ow

cy

(o

so

by

pro

w

ad

z

ce

j

w

icz

en

ia)

,d

at

ora

z

sp

orz

dz

i

po

ni

sz

tab

elk

.

P

o

-

n

a

d

to

p

ro

sz
p

o

n

u

m

er

o

w

a
i

p

o

d

p

is

a
w

sz

y

st

k

ie

p

o

zo

st

a

łe

k

a

rt

k

i

p

ra

cy

.

E

5

1

2

3

4
Su

m

a

T

re

ci

za

da

pro

sz

nie

prz

ep

isy

w

a

.

R

o

zw

i

za

n

ie

za

d

a

n

ia

o

n

u

m

er

ze

n

n

a

le

y

n

a

p

i-

sa
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce

p

ra

cy

.N

a

ro

zw

i

za

nie

za

da

prz

ez

na

cz

on

o

60

m

in

ut,

za

ro

zw

i

za

nie

ka

de

go

za

da

nia

m

o

na

otr

zy

m

a

od

0

do

5

pu

nk

tó

w

.W

ro

zw

i

za

nia

ch

na

le

y

do

kła

dn

ie

op

isy

w

a

prz

eb

ieg

ro

zu

m

ow

an

ia,

tzn

.fo

rm

uło

w

a

w

yk

orz

ys

ty

w

an

e

de

fin

icj

e

itw

ier

dz

en

ia,

prz

yta

cz

a

sto

so

w

an

e

w

zo

ry

,u

za

sa

dn

ia

w

yc

i

ga

ne

w

nio

sk

i.

Po

na

dto

pro

sz

sp

orz

dz

a

sta

ra

nn

e

ry

su

nk

iz

pe

łn

ym

op

ise

m

.

P

o

w

o

d

ze

n

ia

!

T

er

es

a

Ju

rl

ew

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.

N

a

po

w

ier

zc

hn

i

z

=

5

x

y

−

y

zn

ale
pu

nk

tle
cy

na

jb

li

ej

pu

nk

tu

.

A

=

(
1,

0,

0

)

2

.

U

za

sa

dn

i

,

e

ró

w

na

nie

x

2

+

y

2

=

(

x

2

+

y

2

−

x

)

2

ok

re

la

w

oto

cz

en

iu

pu

nk

tu

,

fu

nk

cj

uw

ik

ła-

(

x

0

,

y

0

)

=

(

−

1

4

3

4

)

n

,

któ

ra

m

a

w

ty

m

pu

nk

cie

ek

str

em

um

lo

ka

ln

e.

O

kre

li

x

=

x

(

y

)

ro

dz

aj

teg

o

ek

str

em

um

.

3

.

O

bli

cz

y

,

gd

zie

.

R

co

s

x

sin

(

x

−

2

y

)

d

x

d

y

R
=

[0,

π

2

]

×

[0,

π

4

]

4

.

O

bli

cz

y

po

le

po

w

ier

zc

hn

id

an

ej

w

aru

nk

am

i

.

z

=

2

−

x

2

−

y

2

,

z

≤

1,

x

≥

0

W

yk

on

a

ry

su

ne

k.

A

n

a

liz

a

m

a

te

m

a

ty

cz

n

a

2

II

ko

lo

kw

iu

m

,s

em

es

tr

let

ni

20

05

/2

00

6

N

a

pie

rw

sz

ej

str

on

ie

pra

cy

pro

sz

na

pis

a

na

zw
ku

rsu

,z

któ

re

go

od

by

w

a

si

ko

lo

k-

w

iu

m

,s

w

oje

im

i

in

az

w

isk

o,

nu

m

er

in

de

ks

u,

w

yd

zia

ł,

kie

ru

ne

k,

ro

k

stu

dió

w

,im

i

in

az

w

isk

o

w

yk

ład

ow

cy

(o

so

by

pro

w

ad

z

ce

j

w

icz

en

ia)

,d

at

ora

z

sp

orz

dz

i

po

ni

sz

tab

elk

.

P

o

n

a

d

to

p

ro

sz
p

o

n

u

m

er

o

w

a
i

p

o

d

p

is

a
w

sz

y

st

k

ie

p

o

zo

st

a

łe

k

a

rt

k

i

p

ra

cy

.

F

5

1

2

3

4
Su

m

a

T

re

ci

za

da

pro

sz

nie

prz

ep

isy

w

a

.

R

o

zw

i

za

n

ie

za

d

a

n

ia

o

n

u

m

er

ze

n

n

a

le

y

n

a

-

p

is

a
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce

p

ra

cy

.N

a

ro

zw

i

za

nie

za

da

prz

ez

na

cz

on

o

60

m

in

ut,

za

ro

zw

i

-

za

nie

ka

de

go

za

da

nia

m

o

na

otr

zy

m

a

od

0

do

5

pu

nk

tó

w

.W

ro

zw

i

za

nia

ch

na

le

y

do

kła

dn

ie

op

isy

w

a

prz

eb

ieg

ro

zu

m

ow

an

ia,

tzn

.fo

rm

uło

w

a

w

yk

orz

ys

ty

w

an

e

de

fin

icj

e

tw

ier

dz

en

ia,

prz

yta

cz

a

sto

so

w

an

e

w

zo

ry

,u

za

sa

dn

ia

w

yc

i

ga

ne

w

nio

sk

i.

Po

na

dto

pro

-

sz

sp

orz

dz

a

sta

ra

nn

e

ry

su

nk

iz

pe

łn

ym

op

ise

m

.

P

o

w

o

d

ze

n

ia

!

T

er

es

a

Ju

rl

ew

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.

Pa

rk

an

em

o

dłu

go

ci

m
og

ro

dz

i

m

o

liw

ie

na

jw

i

ks

z

tró

jk

tn

20

dz

iał

k

.W

yk

orz

ys

ta

w

zó

rH

ero

na

na

po

le

tró

jk

ta

o

ob

w

od

zie

P

∆

ib

ok

ac

h

:

2

p

a
,

b
,

c

.

P

∆

=

p

(

p

−

a

)

(

p

−

b

)

(

p

−

c

)

2

.

Po

da

lic

zb

pu

nk

tó

w

pła

sz

cz

yz

ny

,w

któ

ry

ch

zn

ajd

uj

si

ek

str

em

a

lo

ka

ln

e

fu

nk

cji

uw

ik

łan

yc

h

ok

re

lo

ny

ch

w

aru

nk

iem

y

=

y

(

x

)

.

(

x

2

−

4

)

2

+

(

y

2

−

1

)

2

=

1

3

.

Za

m

ien

i

dw

om

a

sp

os

ob

am

ic

ałk

po

dw

ójn

na

ca

ł-

D

f

(

x
,

y

)

d

x

d

y

ki

ite

ro

w

an

e,

je

li

ob

sz

ar
jes

to

gra

nic

zo

ny

krz

yw

ym

io

ró

w

na

nia

ch

D

.

y

−

x

−

2

=

0,

y

−

x

2

+

2

x

−

2

=

0

4

.

O

bli

cz

y

m

as

w

yd

r
on

ej

pó

łk

uli

o

ro

dk

u

le
cy

m

w

po

cz

tk

u

uk

ła-

du

w

sp

ółr

z

dn

yc

h,

pro

m

ien

iac

h

w

ew

n

trz

ny

m

iz

ew

n

trz

ny

m

r

=

1

ora

z

g

sto

ci

ob

j

to

cio

w

ej

R

=

2

.

γ

(

x
,

y
,

z

)

=

x

2

+

y

2

+

z

2

A

n

a

liz

a

m

a

te

m

a

ty

cz

n

a

2

II

ko

lo

kw

iu

m

,s

em

es

tr

let

ni

20

05

/2

00

6

N

a

pie

rw

sz

ej

str

on

ie

pra

cy

pro

sz

na

pis

a

na

zw
ku

rsu

,z

któ

re

go

od

by

w

a

si

ko

lo

kw

iu

m

,

sw

oje

im

i

in

az

w

isk

o,

nu

m

er

in

de

ks

u,

w

yd

zia

ł,

kie

ru

ne

k,

ro

k

stu

dió

w

,im

i

in

az

w

isk

o

w

yk

ład

ow

cy

(o

so

by

pro

w

ad

z

ce

j

w

icz

en

ia)

,d

at

ora

z

sp

orz

dz

i

po

ni

sz

tab

elk

.

P

o

-

n

a

d

to

p

ro

sz
p

o

n

u

m

er

o

w

a
i

p

o

d

p

is

a
w

sz

y

st

k

ie

p

o

zo

st

a

łe

k

a

rt

k

i

p

ra

cy

.

G
5

1

2

3

4
Su

m

a

T

re

ci

za

da

pro

sz

nie

prz

ep

isy

w

a

.

R

o

zw

i

za

n

ie

za

d

a

n

ia

o

n

u

m

er

ze

n

n

a

le

y

n

a

p

i-

sa
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce

p

ra

cy

.N

a

ro

zw

i

za

nie

za

da

prz

ez

na

cz

on

o

60

m

in

ut,

za

ro

zw

i

za

nie

ka

de

go

za

da

nia

m

o

na

otr

zy

m

a

od

0

do

5

pu

nk

tó

w

.W

ro

zw

i

za

nia

ch

na

le

y

do

kła

dn

ie

op

isy

w

a

prz

eb

ieg

ro

zu

m

ow

an

ia,

tzn

.fo

rm

uło

w

a

w

yk

orz

ys

ty

w

an

e

de

fin

icj

e

itw

ier

dz

en

ia,

prz

yta

cz

a

sto

so

w

an

e

w

zo

ry

,u

za

sa

dn

ia

w

yc

i

ga

ne

w

nio

sk

i.

Po

na

dto

pro

sz

sp

orz

dz

a

sta

ra

nn

e

ry

su

nk

iz

pe

łn

ym

op

ise

m

.

P

o

w

o

d

ze

n

ia

!

T

er

es

a

Ju

rl

ew

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.

W

yz

na

cz

y

tak

ip

un

kt

pła

sz

cz

yz

ny

,

dla

któ

re

go

π

:

x

−

3

y

+

3

z

=

0

su

m

a

kw

ad

ra

tó

w

jeg

o

od

leg

ło

ci

od

pła

sz

cz

yz

n

π

1

:

x

+

2

y

=

4,

π

2

:

x

−

2

z

=

4

prz

yjm

uje

w

art

o
m

in

im

aln

.

2

.

U

za

sa

dn

i

,

e

ró

w

na

nie

co

s

x

−

sin

y

=

x

−

y

+

π

2

prz

ed

sta

w

ia

w

oto

cz

en

iu

pu

nk

tu

fu

nk

cj

(

x

0

,

y

0

)

=

(
0,

π

2

)

uw

ik

łan

.

O

bli

cz

y

.

y

=

y

(

x

)

y
(
0

)

3

.

Zm

ien

i

ko

lej

no
ca

łk

ow

an

ia

w

ca

łce

ite

ro

w

an

ej

.

0

2

d

x

x

2

−
5

1

−
4

x
−

x

2

f

(

x
,

y

)

d

y

N

as

zk

ico

w

a

ob

sz

ar

ca

łk

ow

an

ia.

4

.

O

bli

cz

y

ob

j

to
bry

ły

og

ra

nic

zo

ne

jp

ow

ier

zc

hn

iam

i

V

z

=

x

y
,

.N

as

zk

ico

w

a

t

bry

ł

.

x

2

+

y

2

=

1,

z

=

−
3

A

n

a

liz

a

m

a

te

m

a

ty

cz

n

a

2

II

ko

lo

kw

iu

m

,s

em

es

tr

let

ni

20

05

/2

00

6

N

a

pie

rw

sz

ej

str

on

ie

pra

cy

pro

sz

na

pis

a

na

zw
ku

rsu

,z

któ

re

go

od

by

w

a

si

ko

lo

k-

w

iu

m

,s

w

oje

im

i

in

az

w

isk

o,

nu

m

er

in

de

ks

u,

w

yd

zia

ł,

kie

ru

ne

k,

ro

k

stu

dió

w

,im

i

in

az

w

isk

o

w

yk

ład

ow

cy

(o

so

by

pro

w

ad

z

ce

j

w

icz

en

ia)

,d

at

ora

z

sp

orz

dz

i

po

ni

sz

tab

elk

.

P

o

n

a

d

to

p

ro

sz
p

o

n

u

m

er

o

w

a
i

p

o

d

p

is

a
w

sz

y

st

k

ie

p

o

zo

st

a

łe

k

a

rt

k

i

p

ra

cy

.

H

5

1

2

3

4
Su

m

a

T

re

ci

za

da

pro

sz

nie

prz

ep

isy

w

a

.

R

o

zw

i

za

n

ie

za

d

a

n

ia

o

n

u

m

er

ze

n

n

a

le

y

n

a

-

p

is

a
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce

p

ra

cy

.N

a

ro

zw

i

za

nie

za

da

prz

ez

na

cz

on

o

60

m

in

ut,

za

ro

zw

i

-

za

nie

ka

de

go

za

da

nia

m

o

na

otr

zy

m

a

od

0

do

5

pu

nk

tó

w

.W

ro

zw

i

za

nia

ch

na

le

y

do

kła

dn

ie

op

isy

w

a

prz

eb

ieg

ro

zu

m

ow

an

ia,

tzn

.fo

rm

uło

w

a

w

yk

orz

ys

ty

w

an

e

de

fin

icj

e

tw

ier

dz

en

ia,

prz

yta

cz

a

sto

so

w

an

e

w

zo

ry

,u

za

sa

dn

ia

w

yc

i

ga

ne

w

nio

sk

i.

Po

na

dto

pro

-

sz

sp

orz

dz

a

sta

ra

nn

e

ry

su

nk

iz

pe

łn

ym

op

ise

m

.

P

o

w

o

d

ze

n

ia

!

T

er

es

a

Ju

rl

ew

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.

O

bli

cz

y

po

ch

od

n

kie

ru

nk

ow
fu

nk

cji

f

(

x
,

y

)

=

x

2

−

x

y

+

y

2

w

pu

nk

cie

w

kie

ru

nk

u

w

ers

ora

na

ch

ylo

ne

go

po

d

k

tem

A

=

(
1,

1

)

do

do

da

tn

iej

pó

ło

si
.

D

la

jak

iej

w

art

o

ci

ta

po

ch

od

na

α

O

x

α

prz

yjm

uje

w

art

o
na

jm

nie

jsz

?

2

.

Lic

zb

prz

ed

sta

w

i

w

po

sta

ci

ilo

cz

yn

u

trz

ec

h

do

da

tn

ich

cz

yn

ni-

27

kó

w

tak

,a

by

ich

su

m

a

by

ła

na

jm

nie

jsz

a.

3

.

O

bli

cz

y

m

om

en

tb

ez

w

ład

no

ci

w

zg

l

de

m

po

cz

tk

u

uk

ład

u

w

sp

ółr

z

-

dn

yc

h

jed

no

ro

dn

eg

o

ob

sz

aru

o

m

as

ie

ok

re

lo

ne

go

w

aru

nk

am

i

M
=

3

.

2

y

≤

x

2

+

y

2

≤

2

x
,

y

≥

0

4

.

U

zu

pe

łn

i

za

pis

.

0

3

d

z

−

z

z

d

x

−

z

−

x

2

z

−

x

2

f

(

x
,

y
,

z

)

d

y

=

d

y
d

x
f

(

x
,

y
,

z

)

d

z