ALGEBRA I - LISTA DODATKOWA
ZAD.1 Udowodnij, ˙ze permutacja
1 2 3 4 5
2 3 4 1 5
nie daje si
,
e przedstawi´
c w postaci
σ
1
◦ σ
2
◦ . . . ◦ σ
k
, gdzie σ
i
∈
n
1 2 3 4 5
2 3 1 4 5
,
1 2 3 4 5
1 2 4 5 3
o
ZAD.2 Rozstrzygnij, czy istniej
,
a takie liczby zespolone z
1
, z
2
, z
3
, z
4
, z
5
, z
6
, ´
ze zbi´
or
{z
1
, z
2
, z
3
, z
4
, z
5
, z
6
} z mno˙zeniem liczb zespolonych jako dzia laniem jest izomorficzny z grup
,
a
S
3
.
ZAD.3 W grupie G dla dowolnych a i b zachodzi r´
owno´s´
c ab = b
3
a
3
. Udowodnij, ˙ze grupa
G jest abelowa.
ZAD.4 W grupie G dla dowolnych a i b zachodzi r´
owno´s´
c (ab)
−1
= a
−1
b
−1
. Udowodnij, ˙ze
grupa G jest abelowa.
ZAD.5 Rozwa˙zmy przekszta lcenia α, β : R \ {0} → R \ {0} zadane wzorami α(x) = −x i
β(x) =
1
x
. Rozwa˙zmy podgrup
,
e V grupy bijekcji zbioru R \ {0} generowan
,
a przez α i β. Grup
,
e
t
,
e nazywamy czw´
orkow
,
a grup
,
a Kleina.
• Udowodnij, ˙ze |V | = 4 i ˙ze ka˙zdy element g ∈ V spe lnia r´
ownanie g
2
= e.
• Udowodnij, ˙ze wszystkie grupy rz
,
edu 4, w kt´
orych ka˙zdy element spe lnia r´
ownanie g
2
= e
s
,
a izomorficzne z V
• Poka˙z, ˙ze V jest izomorficzna z Z
2
× Z
2
, z Z
∗
8
, z Z
∗
12
i z grup
,
a izometrii prostok
,
ata
nieb
,
ed
,
acego kwadratem.
ZAD.6 Udowodnij, ˙ze ˙zadne dwie z grup Z
∗
, Q
∗
, R
∗
, C
∗
nie s
,
a izomorficzne.
ZAD.7 Niech α b
,
edzie automorfizmem grupy G takim, ˙ze α
2
= id i α(x) 6= x dla dowolnego
x 6= e. Udowodnij, ˙ze α(x) = x
−1
dla ka˙zdego x ∈ G i ˙ze G jest abelowa.
ZAD.8 Niech G b
,
edzie grup
,
a sko´
nczon
,
a i niech α b
,
edzie automorfizmem grupy G, kt´
orego
jedymym elementem sta lym jest e. Udowodnij, ˙ze ka˙zdy element grupy G mo˙zna zapisa´
c w
postaci g
−1
α(g)
ZAD.9 Udowodnij, ˙ze ˙zaden sko´
nczony pozdzbi´
or nie generuje grupy (Q, +). Znajd´z jaki´s
zbi´
or generuj
,
acy Q.
ZAD.10 Niech A, B ≤ G. Niech AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B}. Udowodnij, ˙ze AB ≤ G wtedy
i tylko wtedy gdy AB = BA.
ZAD.11 Niech A, B, H ≤ G b
,
ed
,
a takie, ˙ze H ⊂ AB.
Udowodnij, ˙ze w´
owczas H ⊂
AB ∩ BA. Znajd´
z warunki konieczny i dostateczny na to, aby AB ∩ BA by lo podgrup
,
a G.
1
ZAD.12 Wyka˙z, ˙ze dla n ≥ 3 grupa Z
∗
2
n
nie jest cykliczna (wskaz´
owka: rozwa˙z podgrup
,
e
generowan
,
a przez elementy 2
n
− 1 i 2
n−1
+ 1).
ZAD.13 Udowodnij, ˙ze grupa cykliczna nie jest sum
,
a mnogo´sciow
,
a swoich podgrup w la´sciwych.
Podaj przyk lad grupy abelowej,ktor
,
a jest sum
,
a trzech swoich w la´sciwych podgrup.
ZAD.14 Udowodnij, ˙ze grupa automorfizm´
ow grupy cyklicznej jest abelowa.
ZAD.15 Niech |G| = 2p, gdzie p jest nieparzyst
,
a liczb
,
a pierwsz
,
a, to G zawiera dok ladnie
jedn
,
a podgrup
,
e rz
,
edu p.
ZAD.16 Nie G b
,
edzie nieabelow
,
a grup
,
a rz
,
edu 2p, gdzie p jest nieparzyst
,
a liczb
,
a pierwsz
,
a,
to G zawiera dok ladnie p element´
ow rz
,
edu 2.
ZAD.17 Niech k dzieli |G|. Udowodnij, ˙ze je´sli G zawiera dok ladnie jedn
,
a podgrup
,
e rz
,
edu
k, to jest to podgrupa normalna.
ZAD.18 Niech A, B / G. Udowodnij, ˙ze je´sli A ∩ B = {e}, to ab = ba dla dowolnych a ∈ A
i b ∈ B.
ZAD.19 Udowodnij, ˙ze je´sli H ≤ C
∗
jest podgrup
,
a sko´
nczonego indeksu, to H = C
∗
.
ZAD.20 Je˙zeli A ≤ G i H / G, to AH ≤ G, A ∩ H / A i A/(A ∩ H) ' (AH)/H.
ZAD.21 Udowodnij, ˙ze je´sli G ma podgrup
,
e normaln
,
a indeksu 4, to ma tak˙ze podgrup
,
e
normaln
,
a indeksu 2.
ZAD.22 Udowodnij, ˙ze Aut((Z
p
)
n
) ' GL(n, Z
p
). (wskaz´
owka: rozwa˙z naturaln
,
a struktur
,
e
przestrzeni liniowej na (Z
p
)
n
)
ZAD.23 Udowodnij, ˙ze Z nie rozk lada si
,
e na produkt swoich sko´
nczonych podgrup.
ZAD.24 Niech D = {(g, g) ∈ G × G : g ∈ G} b
,
edzie przek
,
atn
,
a produktu G × G. Znajd´
z
warunek konieczny i dostateczny na to, aby D / G × G.
ZAD.25 Udowodnij, ˙ze je´sli H ≤ Z(G) i G/H jest cykliczna, to G jest abelowa.
ZAD.26 Poka˙z, ˙ze ka˙zda grupa rz
,
edu p
2
jest abelowa.
ZAD.27* Niech |G| = p
n
, gdzie p jest liczb
,
a pierwsz
,
a. Udowodnij, ˙ze dla dowolnego k ≤ n
istnieje w G podgrup
,
a rz
,
edu p
k
.
2