Nierówności

Zadanie 1. Stosując twierdzenie Lagrange’a: dla f : [a, b] → R ciągłego na [a, b] i róż-
niczkowalnego na (a, b) zachodzi

∃c ∈ (a, b)

f (b) − f (a)

b − a

= f

0

(c),

udowodnij nierówności:

1.

n

√

x − 1 <

1

n

(x − 1) , dla

x > 1;

2. e

2x

− 1 > 2x , dla

x > 0;

3.

√

2 −

1

sin x

<

√

2



x −

π

4



, dla

π

4

< x <

π

2

;

4. x2

x

− 2 > 4(x − 1) , dla

x > 1;

5. x2

x

− 2 < 2

x

(1 + x)(1 − x) , dla

x > 1;

6. ln(1 + 3 ln x) < 3(x − 1) , dla

x > 1.

Zadanie 2. Standardowa metoda dowodzenia nierówności: f (x) ¬ g(x) dla x ∈ [a, b].
Dla funkcji h(x) := g(x) − f (x) metodami rachunku różniczkowego pokazuje się, że
min

x∈[a,b]

h(x) ­ 0. Udowodnij nierówności:

1. ln x <

3

√

x

2

, dla

x > 0;

2. ln(1 + x) >

arc tg x

1 + x

, dla

x > 0;

3. xe

−x

2

¬

√

2

2

e

−

1
2

, dla

x > 0;

4. x

2

−

1

x

2

> 4 ln x , dla

x > 1;

5. x

α

| ln x| <

1

5e

, dla

α > 0, x ∈ (0, 1);

6. ln x ¬

√

x , dla

x > 0;

7. ln (1 +

√

1 + x

2

) <

1

x

+ ln x , dla

x > 0;

8.

ln x

x − 1

¬

1

√

x

, dla

x > 0, x 6= 1.

1