Materiały pomocnicze do wykładu: 

 

 

 

 

 

 

Podstawy 

Automatyki 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Opracował: 

doc. dr in . Marek  elazny 

 

- 2 - 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wprowadzenie 

 

 

 

Niniejsze materiały pomocnicze nie stanowi  samodzielnego tekstu 

zast puj cego wykład. 

 
Opracowano  je,  by  ułatwi   studentom  słuchanie  wykładów,  by 

uwolni   ich  od  przenoszenia  do  własnych  notatek  wi kszo ci 

rysunków i tablic prezentowanych podczas wykładu. 

 
Materiały  te  stanowi   b d   istotn   pomoc  w  przygotowaniu 

słuchaczy  do  wicze ,  laboratoriów  i  egzaminu,  je eli  uzupełnione 

zostan   własnymi  notatkami  i  komentarzami  podczas  wykładów. 

Nale y  bowiem  pami ta ,  e  wykład  zawiera  wiele  dodatkowych 

elementów  i  tylko  jego  wysłuchanie,  poł czone  z  mo liwo ci  

dyskusji  i  wyja nienia  w tpliwo ci,  daje  gwarancj   dobrego 

opanowania przedmiotu PODSTAWY AUTOMATYKI. 

 

- 3 - 

Spis Tre ci: 

 

0      POJ CIA PODSTAWOWE…………………………….………………………..….. - 5 - 
1  OPIS MATEMATYCZNY UKŁADÓW LINIOWYCH ............................................. - 9 - 
2  PODSTAWOWE ELEMENTY LINIOWE ..................................................................15 

2.1

 

Zało enia upraszczaj ce.................................................................................................... 15

 

2.2

 

Elementy bezinercyjne (proporcjonalne)......................................................................... 17

 

2.3

 

Elementy inercyjne pierwszego rz du.............................................................................. 19

 

2.4

 

Elementy całkuj ce ............................................................................................................ 22

 

2.5

 

Elementy ró niczkuj ce..................................................................................................... 24

 

2.6

 

Elementy oscylacyjne......................................................................................................... 26

 

2.7

 

Elementy opó niaj ce ........................................................................................................ 30

 

3  UKŁADANIE SCHEMATÓW BLOKOWYCH............................................................32 

3.1

 

Zasady budowy schematów blokowych ........................................................................... 32

 

3.2

 

W zły informacyjne i sumacyjne...................................................................................... 32

 

3.3

 

Przekształcanie schematów blokowych............................................................................ 36

 

3.4

 

Przykłady układania (tworzenia) schematów blokowych .............................................. 41

 

4  CHARAKTERYSTYKI CZ STOTLIWO CIOWE .....................................................43 

4.1

 

Transmitancja widmowa. Rodzaje charakterystyk cz stotliwo ciowych. .................... 43

 

4.2

 

Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa elementu inercyjnego 

pierwszego rz du............................................................................................................................. 45

 

4.3

 

Charakterystyka amplitudowo-fazowa oraz logarytmiczne charakterystyki elementu 

ró niczkuj cego rzeczywistego ...................................................................................................... 48

 

4.4

 

Charakterystyka amplitudowo-fazowa oraz logarytmiczne charakterystyki 

amplitudowa i fazowa elementu drugiego rz du.......................................................................... 49

 

4.5

 

Logarytmiczne  charakterystyki  cz stotliwo ciowe  szeregowego  poł czenia  

elementów ........................................................................................................................................ 54

 

5  UKŁADY LINIOWE DYSKRETNE (IMPULSOWE) .................................................55 

5.1

 

Poj cia podstawowe ........................................................................................................... 55

 

6  REGULATORY PRZEMYSŁOWE..............................................................................60 

6.1

 

Regulator PID..................................................................................................................... 60

 

6.2

 

Regulatory mikroprocesorowe.......................................................................................... 62

 

6.3

 

Wykorzystanie sterowników PLC do regulacji............................................................... 64

 

6.4

 

Regulacja lub sterowanie w trybie „soft-control”........................................................... 64

 

7  WYMAGANIA STAWIANE UKŁADOM AUTOMATYKI..........................................65 

7.1

 

Stabilno ............................................................................................................................ 65

 

7.2

 

Dokładno  statyczna......................................................................................................... 79

 

7.3

 

Jako  dynamiczna ............................................................................................................ 81

 

 

- 4 - 

8  DOBÓR RODZAJU I NASTAW REGULATORÓW ...................................................85 

8.1

 

Wybór rodzaju (typu) regulatora..................................................................................... 85

 

8.2

 

Dobór nastaw regulatora................................................................................................... 86

 

9  STRUKTURY UKŁADÓW REGULACJI....................................................................88 

9.1

 

Uogólniona struktura jednoobwodowa............................................................................ 88

 

9.2

 

Regulacja kaskadowa ........................................................................................................ 88

 

9.3

 

Regulacja stosunku ............................................................................................................ 90

 

9.4

 

Kaskadowa regulacja stosunku ........................................................................................ 91

 

9.5

 

Układy z pomocnicz  korekcj  dynamiczn : .................................................................. 91

 

9.6

 

Układy zamkni to-otwarte................................................................................................ 92

 

 

- 5 - 

0. 

POJ CIA PODSTAWOWE 

 

Szeroki  zakres  zastosowa   automatyki  zmusza  do  u ywania  bardzo  ogólnych  poj  

podstawowych i reprezentacji graficznej w postaci schematów blokowych, które to poj cia i 

schematy  mog   by   stosowane  zarówno  przy  omawianiu  zagadnie   teoretycznych  jak  i 

aplikacji przemysłowych, medycznych, wojskowych lub w dowolnej innej - automatyzowanej 

- dziedzinie działalno ci człowieka. 

 

Kilka zasadniczych poj : 
Sygnał    -    wielko     fizyczna  wyst puj ca  w  procesie    sterowania    b d ca  no nikiem 

informacji. 
Informacja - warto  lub kształt przebiegu sygnału. 
Element automatyki  (człon)  -  podzespół,  zespół,  przyrz d  lub  urz dzenie.  w którym  mo na 

wyró ni  sygnał wej ciowy i sygnał wyj ciowy - rys. a, lub sygnały wej ciowe i wyj ciowe - 

rys. b. 

 

 

Układ  automatyki    -  zespół  wzajemnie  powi zanych  elementów  bior cych  udział  w 

sterowaniu  automatycznym  danego  procesu  (uporz dkowany  zgodnie  z  kierunkiem 

przekazywania sygnałów) 
Sterowanie  automatyczne  -  oddziaływanie  na  proces,  którego  zamierzony  przebieg  chcemy 

uzyska   bez  udziału  człowieka,  za  pomoc   urz dze   nazywanych  ogólnie  aparatur  

automatyki. 

Wyró nia si : 

−

 

sterowanie w układzie otwartym  

−

 

sterowanie w układzie zamkni tym 

 

Ogólny schemat otwartego układu sterowania przedstawiono ni ej: 

 

Nomenklatura: 
w - warto  zadana wielko ci sterowanej 

u - sygnał steruj cy 

y - wielko  sterowana 

z - sygnały zakłócaj ce (zakłócenia) 

 

- 6 - 

U.S. - urz dzenie steruj ce 

O - obiekt (proces) podlegaj cy sterowaniu 

 

Zamkni ty układ sterowania,   nazywany   cz sto   układem   ze   sprz eniem zwrotnym, 

ma nast puj cy schemat blokowy: 

 

 

gdzie: e - odchyłka (uchyb) sterowania 

Tor główny wskazuje zawsze zasadnicz  wielko  wej ciow  układu (w tym przypadku w) 

i wielko  wyj ciow  y. Tor ten ilustruje zwykle przepływ głównego strumienia materiału lub 

energii w układzie. 

Tor sprz enia zwrotnego słu y do przekazywania informacji. Zapotrzebowanie 

energetyczne tego toru jest zwykle pomijanie małe. 

 

Ze wzgl du na zadanie realizowane przez układ wyró nia si : 

a)

 

układy stabilizuj ce 

b)

 

układy programowe 

c)

 

układy nad ne 

d)

 

inne 

 

Te grupy zamkni tych układów sterowania, zwłaszcza dwie pierwsze, nazywa si  cz sto 

układami regulacji automatycznej. Poci ga to za sob  zmian  nazewnictwa: 

y - wielko  regulowana 

w - warto  zadana wielko ci regulowanej 

e - odchyłka regulacji 

R - regulator (zamiast urz dzenia steruj cego) 

O - obiekt regulacji (proces regulowany) 

 

A. Układy stabilizuj ce (układy regulacji stałowarto ciowej), w=const. 

Zadaniem układu jest utrzymanie mo liwie stałej, po danej warto ci wielko ci wyj ciowej 

oraz minimalizacja wpływu zakłóce  na t  wielko . 

Cz sto główne zakłócenia wchodz  wraz ze strumieniem materiału lub energii na obiekt, 

tworz c tor główny od z

1

 do y. 

 

 

- 7 - 

 

 

Przykłady: regulacja ci nienia, poziomu cieczy, nat enia przepływu, pH itd. 
B.  Układy   programowe   (regulacji   programowej,   sterowania   programowego), w=w(t). 

Zadaniem układu jest uzyskanie przewidzianych okre lonym programem czasowym zmian 

wielko ci regulowanej (sterowanej). 

Dla  powolnych  zmian  w(t),  np.  regulacja  temperatury  w  budynku,  schemat  blokowy  ma 

posta  jak dla p. „A”

,

 dla szybkich zmian w(t) - jak dla p. ,.C’”. 

Inne przykłady: programowa regulacja temperatury w piecu hartowniczym, w autoklawie, 

programowa  regulacja  jednej  lub  kilku  wielko ci  w  procesie  rozruchu  (stopniowe 

dochodzenie do nominalnego stanu pracy). 
 
C. Układy nad ne (serwomechanizmy), w=w[

ϕ(t)]. 

Zadaniem układu jest nad anie wielko ci wyj ciowej y za zmieniaj c  si  w nieznany nam 

sposób warto ci  zadan  w. 
Schemat blokowy podstawowy: 

 

- 8 - 

 

 

 

Przykłady: sterowanie poło eniem y dział przeciwlotniczych wg wskaza  radaru 

okre laj cego poło enie w samolotu; sterowanie poło eniem y pisaka rejestratora wg 

aktualnej warto ci w mierzonej i rejestrowanej wielko ci fizycznej.  

D.

 

Inne 

 

W  punktach  a,b,c  wymieniono  najcz ciej  realizowane  zadania  układów  automatyki  o 

działaniu ci głym, omawianych w przedmiocie PODSTAWY AUTOMATYKI. 

Pełna  lista  zada   jest    bardzo  szeroka,  stale  uzupełniana  i  obejmuje  m.in.  optymalizacj  

przebiegu  procesów  (np.  minimalizacj   zu ycia  energii,  minimalizacj   kosztów  lub 

maksymalizacj   zysku  przy  zało onych  ograniczeniach),  realizacj   procesów  dyskretnych 

(sekwencyjnych, np. monta u) oraz wiele innych. 

 

- 9 - 

1  OPIS MATEMATYCZNY UKŁADÓW LINIOWYCH 

 

Układy  rzeczywiste  zwykle  s   nieliniowe,  ale  dla  uproszczenia  opisu  matematycznego 

przeprowadza  si   ich  linearyzacj ,  co  pozwala  na  sformułowanie  przybli onego  opisu 

liniowego,  wa nego  w  otoczeniu  wybranego  punktu  pracy  na  charakterystyce  statycznej 

(punkt ten odpowiada najcz ciej nominalnym lub u rednionym warunkom pracy układu). 

Po linearyzacji układy opisywane s  za pomoc  liniowych równa  ró niczkowych o stałych 

współczynnikach a

i

 i b

i

. 

Ogólna posta  równania ró niczkowego układu liniowego: 

u

b

dt

u

d

b

dt

u

d

b

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

a

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

0

1

1

1

+

+

+

=

+

+

+

−

−

−

−

−

−

 

 

( 1.1) 

 

 
Pocz tek układu współrz dnych oznacza nominalny punkt pracy a u i y s  odchyłkami 

sygnałów od tego punktu. 
 
Opis własno ci układów: 
Charakterystyka statyczna układu liniowego lub zlinearyzowanego w otoczeniu nominalnego 

punktu pracy (u,y s  odchyłkami od tego punktu) ma posta : 

 

 

u

a

b

y

0

0

=

 

 

Pocz tek układu współrz dnych oznacza nominalny punkt pracy, a u i 

y s  odchyłkami sygnałów od tego punktu. 
 

 

 
Wła ciwo ci  dynamiczne  ilustruje  si   zwykle  wyznaczaj c  przebieg  wielko ci  wyj ciowej 

y(t) po wprowadzeniu na wej cie jednego z typowych wymusze  u(t). 
Wykresy u(t) i y(t) mo na rysowa  ł cznie w nast puj cym układzie współrz dnych: 

 

 

Typowe wymuszenia: 

)

(

1

)

(

t

t

u

=

 

u

y

 

- 10 - 

)

(

1

)

(

t

u

t

u

st

⋅

=

 

)

(

)

(

t

t

u

δ

=

 

at

t

u

=

)

(

 

 

Wyznaczanie y(t) 

a.

 

metoda klasyczna 

b.

 

metoda operatorowa   

)

(

)

(

s

f

t

f

⇔

,   

ω

j

c

s

+

=

 

 

 

 

∞

−

=

0

)

(

)

(

dt

e

t

f

s

f

st

   

 

)]

(

[

)

(

)]

(

[

)

(

1

s

f

L

t

f

t

f

L

s

f

−

=

=

 

Metoda operatorowa pozwala zast pi  równanie ró niczkowe tzw. transmitancj  operatorow . 

Transmitancja operatorowa: 

)

(

)

(

)

(

s

u

s

y

s

G

=

 

 

( 1.2) 

 

Wyznaczenie G(s) z równania ró niczkowego (1.1): 

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

1

0

1

1

b

s

b

s

b

s

u

a

s

a

s

a

s

y

m

m

m

m

n

n

n

n

+

+

+

⋅

=

+

+

+

⋅

−

−

−

−

 

 

( 1.3) 

 

m

n

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m

≥

+

+

+

+

+

+

=

−

−

−

−

     

,

)

(

0

1

1

0

1

1

 

 

( 1.4) 

 

)

(

)

(

)

(

s

N

s

M

s

G

=

 

Opis elementów na schematach blokowych: 

 

 

- 11 - 

 

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

22

21

1

12

11

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

MG

nm

n

n

m

m

 

 

m

k

n

i

s

u

s

y

s

G

k

i

ik

1

   

,

1

      

,

)

(

)

(

)

(

=

=

=

 

(pozostałe wej cia i warunki pocz tkowe s  równe zeru) 
Wyznaczenie charakterystyki statycznej z transmitancji operatorowej 

Dla 

0

1

)

(

u

s

s

u

=

 otrzymujemy: 

)

(

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

0

0

0

s

u

s

G

s

s

y

s

t

y

y

s

s

t

⋅

=

⋅

=

=

→

→

∞

→

 

)

(

lim

0

0

0

s

G

u

y

s

→

=

 

)

(

lim

0

0

0

s

G

x

y

s

→

=

 

 

( 1.5) 

 

 
Ko cowe  równanie  charakterystyki  statycznej  dla  układów  o  jednym  wej ciu  i  jednym 

wyj ciu:  

 

0

0

0

0

u

a

b

y

=

 

12

TA

B

LI

C

A

 T

R

A

N

S

FO

R

M

A

T 

L

.p

. 

T

ra

ns

fo

rm

at

a 

F(

s)

 

O

ry

gi

na

ł f

(t

) 

L

.p

. 

T

ra

ns

fo

rm

at

a 

F(

s)

 

O

ry

gi

na

ł f

(t

) 

1.

 

 

1 

)

(t

δ

 

14

.

 

 

)

)(

(

1

b
s
a
s

+

+

 

a
b

e

e

bt

at

−

−

−

−

 

2.

 

 

s

1

 

1(

t) 

15

.

 

 

)

)(

(

b
s
a
s

s

+

+

 

a
b

be

ae

bt

at

−

−

−

−

 

3.

 

 

2

1

s

 

t 

16

.

 

 

)

)(

)(

(

1

c
s
b
s
a
s

+

+

+

 

)

)(

)(

(

)

(

)

(

)

(

a
c

c
b

b
a

e

a
b

e

c
a

e

b
c

ct

bt

at

−

−

−

−
+

−
+

−

−

−

−

 

4.

 

 

1

!

+n

s

n

 

n

t

 

17

.

 

 

)1

)(1

(

1

2

1

+

+

s

T

s

T

s

 

1

2

2

1

2

1

1

T
T

e

T

e

T

T

t

T

t

−

−

+

−

−

 

5.

 

 

a
s±

1

 

at

e

 

18

.

 

 

2

2

1

)1

)(1

(

1

+

+

s

T

s

T

 

2

2

1

2

2

1

2
1

2
1

)

(

]

)

(

[

2

1

T
T
T

e

t
T
T

T

T

e

T

T

T

t

T

t

−

−

+

−

−

−

 

6.

 

 

2

)

(

1

a
s

±

 

at

te

 

19

.

 

 

)1

)(1

(

2

1

+

+

s

T

s

T

s

 

)

(

1

2

2
1

2

1

1

2

T
T
T

T

e

T

e

T

T

t

T

t

−

−

−

−

 

7.

 

 

1

)

(

!

+

+

n

a
s

n

 

at

n

e

t

−

 

20

.

 

 

2

2

a
s

a

+

 

at
si

n

 

8.

 

 

)

(

1

a
s

s

+

 

)

1(

1

at

e

a

−

−

 

21

.

 

 

2

2

a

s

s

+

 

at
co

s

 

9.

 

 

)

(

1

a
s

s

−

 

)1

(

1

−

at

e

a

 

22

.

 

 

2
2

2

)

(

2

a

s

as

+

 

at
ts

in

 

10

.

 

 

2

)

(

a
s

s

+

s 

at

e

at

−

−

)

1(

 

23

.

 

 

2
2

2

2

2

)

(

a
s

a
s

+

−

 

at

tc

os

 

11

.

 

 

2

)1

(

1

+

Ts

s

 

T

t

e

T

t
T

−

+

−

1

 

24

.

 

 

2

2

)

(

a

b
s

a

+

+

 

at

e

bt

si

n

−

 

12

.

 

 

2

)1

(

+

Ts

s

 

T

t

e

t
T

T

−

−

)

(

1

3

 

25

.

 

 

2

2

)

(

a

b
s

b
s

+

+

+

 

at

e

bt

co

s

−

 

13

.

 

 

)1

(

1

2

+

Ts

s

 

)

1(

T

t

e

T

t

−

−

−

 

26

.

 

 

)

(

1

2

2

a

s

s

+

 

)

co

s

1(

1

2

at

a

−

 

 

13 

Opis układów z u yciem współrz dnych stanu: 

W ogólnym opisie układów wielowymiarowych poszczególne wielko ci okre lone s  w 

postaci wektorów i oznaczaj : 

=

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

t

u

t

u

t

u

t

U

n

 - wektor wej , którego składowymi s  wielko ci wej ciowe u

1

(t), … , u

n

(t) 

=

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

t

x

t

x

t

x

t

X

k

 - wektor stanu, którego składowymi s  współrz dne stanu x

1

(t), … , x

k

(t) 

=

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

t

y

t

y

t

y

t

Y

l

 - wektor wyj , którego składowymi s  wielko ci wyj ciowe y

1

(t), … , y

l

(t) 

Zbiór wszystkich mo liwych warto ci wektora stanu X(t) w chwilach t tworzy przestrze  

stanów  układu  (przestrze   fazow ).  Zbiór  warto ci  wektora  stanu  układu  w  kolejnych 

chwilach czasu tworzy w tej przestrzeni krzyw , zwan  trajektori  stanu układu (trajektori  

fazow ). 

Równanie stanu układu opisuje si  zwykle w postaci: 

)]

(

),

(

[

)

(

t

U

t

X

F

t

X

=

 

 

( 1.6) 

 

z n warunkami pocz tkowymi 

0

0

)

(

X

t

X

=

 

 

( 1.7) 

 

Równanie  (1.6)  jest  zawsze  równaniem  ró niczkowym  pierwszego  rz du,  w  ogólnym 

przypadku  nieliniowym  i  zale nym  jawnie  od  czasu,  a  F  jest  n-elementow   funkcj  

wektorow . Równania (1.6) i (1.7) mo na wi c rozpisa  szczegółowo: 

=

=

=

=

0

0

2

1

2

1

10

0

1

2

1

2

1

1

1

)

(

         

);

;

,

,

,

;

,

,

,

(

)

(

)

(

         

);

;

,

,

,

;

,

,

,

(

)

(

n

n

k

n

n

n

k

n

x

t

x

t

u

u

u

x

x

x

f

dt

t

dx

x

t

x

t

u

u

u

x

x

x

f

dt

t

dx

 

 

( 1.8) 

 

Równanie wyj cia układu ma posta : 

)]

(

),

(

[

)

(

t

U

t

X

G

t

Y

=

 

 

( 1.9) 

przy czym G jest l-elemetow  funkcj  wektorow . Nie jest to równanie ró niczkowe gdy  

cała dynamika układu opisana jest równaniem stanu, jest natomiast  zale ne od czasu. 

Rozpisuj c szczegółowo równanie (1.9) otrzymamy: 

 

14 

=

=

)

;

,

,

,

;

,

,

,

(

)

(

)

;

,

,

,

;

,

,

,

(

)

(

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

t

u

u

u

x

x

x

g

t

y

t

u

u

u

x

x

x

g

t

y

k

n

l

l

k

n

 

 

( 1.10) 

 

Równania (1.8) i (1.10) mog  by  linearyzowane w otoczeniu wybranego stanu ustalonego 

(nominalnego punktu pracy), przyjmuj  wówczas posta : 

t

t

f

u

u

f

u

u

f

u

u

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

dt

t

dx

k

k

n

n

∂

∂

+

∂

∂

+

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

+

∂

∂

+

∂

∂

=

1

1

2

2

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

)

(

 

 

( 1.11) 

 

i tak dalej, natomiast 

t

t

g

u

u

g

u

u

g

u

u

g

x

x

g

x

x

g

x

x

g

y

k

k

n

n

∂

∂

+

∂

∂

+

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

+

∂

∂

+

∂

∂

=

1

1

2

2

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

 

 

( 1.12) 

 

i tak dalej. 

Równania (1.11) i (1.12) zapisuje si  zwykle skrótowo w postaci macierzowej: 

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

U

t

B

t

X

t

A

t

X

+

=

 

 

( 1.13) 

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

U

t

D

t

X

t

C

t

Y

+

=

 

 

( 1.14) 

przy czym:   A(t) – macierz układu stopnia n×n 

 

 

B(t) – macierz wej  stopnia n×k 

 

 

C(t) – macierz wyj  stopnia l×n 

 

 

D(t) – macierz transmisyjna układu stopnia l×k 

 

Poszczególne  elementy  macierzy  A,B,C,D  odpowiadaj   pochodnym  cz stkowym 

wyst puj cym w równaniach (1.11) i (1.12). 

W przypadku szczególnym, gdy układ jest liniowy stacjonarny (o parametrach niezale nych 

od czasu), pochodne cz stkowe wzgl dem zmiennych x

1

,…,x

n,

…,u

1

,…,u

k

 nie zawieraj  czasu 

i pochodne cz stkowe wzgl dem czasu s  równe zeru. Elementy macierzy s  wówczas stałe i 

równania (1.13) i (1.14) mo na zapisa  w postaci: 

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

DU

t

CX

t

Y

t

BU

t

AX

t

X

+

=

+

=

 

 

( 1.15) 

 

 

 

15 

2  PODSTAWOWE ELEMENTY LINIOWE 

2.1 

Zało enia upraszczaj ce 

Wiele elementów automatyki mo na traktowa  jako liniowe, je eli ograniczy si  zakres ich 

pracy i przyjmie nast puj ce zało enia upraszczaj ce: 

a)

 

w odniesieniu do elementów mechanicznych 

-

 

 wyst puje jedynie tarcie lepkie (wiskotyczne), a nie tarcie suche (Coulomba); 

siła tarcia jest proporcjonalna do pr dko ci; 

-

 

sztywno ci elementów spr ystych s  stale, a pozostałych elementów oraz ich 

poł cze  i zamocowa  niesko czenie wielkie; 

w  odniesieniu  do   elementów płynowych   (hydraulicznych  i pneumatycznych) 

-

 

opór przepływu jest stały, tzn. nat enie przepływu płynu jest proporcjonalne 

do ró nicy ci nie ; 

-

 

moduł   spr ysto ci   obj to ciowej   płynu   (odwrotno ”   współczynnika 

ci liwo ci) jest stały; 

b)

 

w odniesieniu do elementów elektrycznych 

-

 

rezystancje,  indukcyjno ci  i  pojemno ci  s   stałe,  niezale ne  od  pr du  i 

napi cia. 

 

Prócz tych zało e  natury ogólnej, w poszczególnych przypadkach robi  b dziemy jeszcze 

zało enia szczególne, np. idealna szczelno  elementów hydraulicznych lub pomijalna masa 

niektórych  cz ci  ruchomych.  Nale y  wi c  pami ta ,  e  równania  i  charakterystyki 

elementów  liniowych  s   uproszczone  i  cz sto  mo na  je  stosowa   tylko  do  oblicze  

wst pnych. 

Elementy  liniowe  klasyfikuje  si   najcz ciej  ze  wzgl du  na  ich  własno ci  dynamiczne. 

Wyró nimy sze  grup elementów podstawowych: 

1)

 

bezinercyjne (proporcjonalne), 

2)

 

inercyjne, 

3)

 

całkuj ce, 

4)

 

ró niczkuj ce, 

5)

 

oscylacyjne, 

6)

 

opó niaj ce. 

 

Własno ci statyczne wszystkich elementów okre la  b dziemy podaj c równanie i wykres 

charakterystyki statycznej y = f (u), a własno ci dynamiczne podaj c równanie ró niczkowe i 

odpowiadaj c   mu  transmitancj   operatorowa  oraz  wykres  odpowiedzi  y(t)  na  wymuszenie 

skokowe. 

Ka d  grup  elementów ilustruje kilka przykładów, przy czyni w ramach danej grupy s  to 

przykłady  urz dze   konstrukcyjnie  odmiennych,  aby  podkre li ,  e  podział  ze  wzgl du  na 

własno ci  dynamiczne  nie  jest  zale ny  od  natury  fizycznej  elementów  i  e  np.  elementem 

inercyjnym  mo e  by   zarówno  urz dzenie  mechaniczno,  jak  i  hydrauliczne,  pneumatyczne 

lub elektryczne. 
Przyj to nast puj cy  system oznacze : 

a.

 

Warto ci  absolutne  sygnałów  wej ciowych  i  wyj ciowych  oznacza   b dziemy 

indeksem „O”,  np.  u

0

, y

0

.  Potrzeba  wyró niania  warto ci  absolutnych  zachodzi przy 

analizie  stanów  ustalonych,  gdy   cz sto  nie  wystarcza  znajomo   równania 

 

16 

charakterystyki  statycznej  y=f(u)  w  otoczeniu  wybranego  punktu  pracy,  lecz  trzeba 

zna   równie   równanie  (lub  wykres)  charakterystyki  statycznej  y

0

=f(u

0

)  w  całym 

zakresie zmienno ci sygnałów. 

b.

 

Odchyłki  sygnałów  wej ciowych  i  wyj ciowych  od  pocz tkowego  stanu  ustalonego 

oznacza  b dziemy nie dodaj c  adnych indeksów, np. u, y. Odchyłkami operujemy 

zawsze przy zapisie stanów nieustalonych oraz przy zapisie ogólnym. 

 

17 

2.2 

Elementy bezinercyjne (proporcjonalne) 

Ogólna posta  równania elementu bezinercyjnego jest nast puj ca; 

y=ku 

 

gdzie:  y  —  wielko   wyj ciowa,  u  —  wielko   wej ciowa,  k  —  współczynnik  pro-

porcjonalno ci (współczynnik wzmocnienia). 
Transmitancja elementu bezinercyjnego jest równa współczynnikowi proporcjonalno ci: 
 

k

s

u

s

y

s

G

=

=

)

(

)

(

)

(

 

Równanie charakterystyki statycznej b dzie: 

y=ku 

lub 

y

0

=ku

0

+C 

 

gdzie: C jest stał , okre laj c  przesuni cie charakterystyki w stosunku do pocz tku układu 

współrz dnych. 

Odpowied  na wymuszenie skokowe: u(t)=

1(t)u

st

 b dzie: 

 

y(t)=

 1(t)ku

st 

 

Przykłady kilku elementów traktowanych cz sto jako bezinercyjne przedstawiono na rys. 2.1 

 

 

 

 

 

 

 

18 

 

 

 

Rysunek 2.1 Przykłady elementów bezinercyjnych (proporcjonalnych): a, b) d wignia, c) dzielnik 

napi cia, d) przekładnia cierna, e) przekładnia z bata, f) siłownik pneumatyczny, g) mechanizm 

krzywkowy 

 

19 

2.3 

Elementy inercyjne pierwszego rz du 

Ogólna  posta   równania  ró niczkowego  elementu  inercyjnego  pierwszego  rz du  jest 

nast puj ca: 

ku

y

dt

dy

T

=

+

 

sk d wynika transmitancja 

1

)

(

)

(

)

(

+

=

=

Ts

k

s

u

s

y

s

G

 

gdzie:  k – współczynnik proporcjonalno ci 

   

T – stała czasowa (ma wymiar czasu) 

 

Równanie charakterystyki statycznej b dzie 

ku

y

=

 

 

Odpowied  na wymuszenie skokowe u(t)=

1(t)u

st 

wynosi: 

st

u

s

s

u

1

)

(

=

 

)

1

(

1

)

1

(

)

(

T

s

s

u

T

k

u

Ts

s

k

s

y

st

st

+

=

+

=

 

)

1

(

)]

(

[

)

(

1

T

t

st

e

T

u

T

k

s

y

L

t

y

−

−

−

=

=

 

)

1

(

)

(

T

t

st

e

ku

t

y

−

−

=

 

 

 

 

 

 

)

1

(

)

(

T

t

st

e

ku

t

y

−

−

=

 

 

 

 

Rysunek 2.2 Odpowied  elementu inercyjnego pierwszego rz du na wymuszenie skokowe. 

Wykres y(t) przedstawiono na rys.2.2. Stał  czasow  T mo na okre li  wystawiaj c styczn  w 

dowolnym  punkcie  krzywej  wykładniczej  y(t)  i  wyznaczaj c  odcinek  podstycznej  na 

asymptocie: 

T

e

T

ku

e

ku

ku

dt

dy

y

ku

podstyczna

T

t

st

T

t

st

st

st

=

−

−

=

−

=

−

−

1

)

1

(

 

 

Stał  czasow  T mo na równie  okre li  jako czas od chwili t=0 do chwili, kiedy y(t) 

osi ga 63,2% swej ko cowej warto ci ustalonej ku

st

. Podstawiaj c t=T otrzymujemy bowiem: 

 

y

t

ku

st

T

T

0,632ku

st

 

20 

st

st

ku

e

ku

t

y

632

,

0

)

1

(

)

(

1

=

−

=

−

 

 

Przykład  procesu,  który  po  linearyzacji  opisywany  jest  równaniem  elementu 

inercyjnego I rz du przedstawiony jest na rys. 2.3. Sygnałami wej ciowymi s  Q

1

 – nat enie 

przepływu  cieczy  oraz  f  –  przekrój  przepływowy  zaworu.  Sygnałem  wyj ciowym  jest  h  – 

poziom cieczy w zbiorniku. 

Warunkiem stanu ustalonego jest: 

20

10

Q

Q

=

 

 

Rysunek 2.3 Zbiornik z wypływem swobodnym cieczy 

 

Układamy równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-1 i 2-2  

0

2

2

2

2

2

1

2

1

+

+

=

+

+

γ

γ

p

g

v

h

p

g

v

 

 

Przyjmuj c pr dko  v

1

=0  oraz p

1

=p

2

 (ci nienie atmosferyczne) otrzymamy 

gh

v

2

2

=

 

 
Na podstawie równania ci gło ci 

2

2

fv

Q

=

 otrzymujemy 

gh

f

Q

2

2

=

 

 

Otrzymujemy zatem równanie charakterystyki statycznej: 

2

0

2

10

0

2

gf

Q

h

=

 

 

Wykres charakterystyki statycznej dla 

f

0

=const

 przedstawiono na rys. 2.4a, a dla 

Q

10

=const 

na rys. 2.4b 

 

  

 

Rysunek 2.4 Charakterystyki statyczne procesu gromadzenia cieczy w zbiorniku z wypływem swobodnym 

 

21 

 
W stanach nieustalonych zmiany poziomu cieczy w zbiorniku mo na opisa  za pomoc  

równania: 

2

1

Q

Q

dt

dh

A

−

=

 

gdzie A jest powierzchni  przekroju poprzecznego zbiornika (w  m

2

). 

Poniewa  charakterystyki statyczne s  krzywoliniowe, aby opisa  element za pomoc  

liniowego  równania  ró niczkowego,  nale y  przeprowadzi   linearyzacj .  Współrz dne 

nominalnego  punktu  pracy  oznaczamy 

h

n

,  Q

1n

,  f

n

.  W  otoczeniu  tego  punktu  rzeczywiste 

przyrosty  zmiennych 

h

  oraz 

Q

2

  zast pimy  przyrostami  przybli onymi,  które  wyst piłyby  w 

przypadku  liniowej  charakterystyki  statycznej  o  nachyleniu  pokazanym  na  rys.2.4.  Dla 

odró nienia  zapisu  wszystkie  przyrosty  oznaczymy  teraz  dodaj c  symbol  „ ”.  Otrzymamy 

wi c: 

2

1

Q

Q

dt

h

d

A

∆

−

∆

=

∆

 

Przyrost 

∆

Q

2

 zast pujemy ró niczk  zupełn  

 

h

h

g

f

f

gh

h

h

Q

f

f

Q

Q

n

n

n

n

n

∆

+

∆

=

∆

∂

∂

+

∆

∂

∂

=

∆

2

2

2

2

2

 

Zatem otrzymamy: 

f

k

Q

k

h

dt

h

d

T

∆

−

∆

=

∆

+

∆

2

1

1

 

 

gdzie: 

n

n

h

g

f

A

T

2

=

,  

n

n

h

g

f

k

2

1

1

=

,  

n

n

f

h

k

2

2

=

 

 

 

W dalszym ci gu cz sto opuszcza  b dziemy znaki „ ”, pami taj c jednak zawsze,  e 

w równaniu wyst puj  przyrosty poszczególnych wielko ci. Napiszemy wówczas 

f

k

Q

k

h

dt

dh

T

2

1

1

−

=

+

 

 

W przypadkach szczególnych, kiedy 

f

0

=const (f=0), 

1

1

Q

k

h

dt

dh

T

=

+

, 

a kiedy

 Q

10

=const (Q

1

=0), 

f

k

h

dt

dh

T

∆

−

=

+

2

 

 

22 

2.4 

Elementy całkuj ce 

Ogólna posta   równania ró niczkuj cego elementu całkuj cego jest nast puj ca: 

ku

dt

dy =  

lub po scałkowaniu, przy zerowych warunkach pocz tkowych, 

=

t

udt

k

y

0

 

st d  wynika transmitancja 

s

k

s

u

s

y

s

G

=

=

)

(

)

(

)

(

 

 

Równanie charakterystyki statycznej ma posta  

0

=

u

 

a jej wykres podano na rys. 2.5 

 

 

Rysunek 2.5 Charakterystyka statyczna elementu całkuj cego: a) współrz dne odchyłek, b) wspoł®z dne 

warto ci absolutnych 

 

 

Odpowied  na wymuszenie skokowe 

u(t)=

1

(t)u

st

 wyznaczamy: 

st

u

s

k

s

u

s

k

s

y

2

)

(

)

(

=

=

 

t

ku

s

y

L

t

y

st

=

=

−

)]

(

[

)

(

1

 

Wykres 

y(t)

 podano na rys. 2.6a. 

 

W  przypadku  szczególnym,  kiedy  wej cie  i  wyj cie  s   sygnałami  jednoimiennymi, 

współczynnik 

k

  ma  wymiar  odwrotno ci  czasu.  Wówczas  ogólna  posta   równania 

ró niczkowego elementu całkuj cego ma posta : 

u

dt

dy

T

=  

której odpowiada transmitancja 

Ts

s

u

s

y

s

G

1

)

(

)

(

)

(

=

=

 

gdzie 

T

 jest stał  czasow  akcji całkuj cej lub krócej – stał  całkowania. 

Stał  t  mo na odszuka  na wykresie odpowiedzi skokowej zgodnie z rys. 2.6b. 

 

 

23 

 

Rysunek 2.6 Odpowiedzi skokowe elementu całkuj cego: a) G(s)=k/s,   b) G(s)=1/Ts 

 

 

Przykład elementu całkuj cego: 

zespół rozdzielacz – siłownik hydrauliczny 

 

Schemat zespołu przedstawiono na rys. 2.7. Wielko ci  wej ciow  jest przesuni cie 

u

 

tłoczków rozdzielacza, wielko ci  wyj ciow  jest przesuni cie 

y

 tłoczyska siłownika. 

 

Zało enia: 

a)

 

const

p

z

=

, 

const

p

s

=

 

b)

 

obci enie siłownika ma warto  zerow  

c)

 

pr dko  przepływu oleju przez szczeliny rozdzielacza 

const

v

=

 (wynika to z zało e  

a i b). 

Stan  ustalony 

const

y

=

  zachodzi  dla 

0

=

u

.  Charakterystyka  statyczna  ma  kształt 

podany na rys. 2.6a. 

Stan dynamiczny: 

dt

dy

A

Q

=

 

gdzie: 

Q

 – nat enie przepływu oleju przez szczeliny rozdzielacza 

   

A

 – powierzchnia efektywna tłoka siłownika 

 

  Uwzgl dniaj c  równanie ci gło ci 

ubv

Q

=

 

(

ub

 jest przekrojem szczeliny przepływowej) otrzymamy 

u

dt

dy

T

=  

gdzie 

bv

A

T

/

=

 

  Transmitancja elementu 

Ts

s

u

s

y

s

G

1

)

(

)

(

)

(

=

=

 

 

Rysunek 2.7 Zespół rozdzielacz-siłownik hydrauliczny 

 

 

24 

2.5 

Elementy ró niczkuj ce 

2.5.1 

Idealny element ró niczkuj cy 

Równanie idealnego elementu ró niczkuj cego jest nast puj ce: 

dt

du

k

y

=

 

sk d wynika transmitancja 

ks

s

u

s

y

s

G

=

=

)

(

)

(

)

(

 

Współczynnik 

k

 definiuje si  jako 

dt

du

y

k

=

 

W  stanie  ustalonym  y=0  (y

0

=const

)  dla  wszystkich  u.  Wykresy  charakterystyki  statycznej 

podano na rys.2.8. 

 

Rysunek 2.8 Charakterystyka statyczna elementu ró niczkuj cego: a) współrz dne odchyłek, b) 

współrz dne warto ci absolutnych 

 

Odpowied   na  wymuszenie  skokowe  jest  funkcj   Diraca  pomno on   przez  k  oraz 

przez amplitud  skoku u

st

. Mamy bowiem 

st

ku

s

ksu

s

y

=

=

)

(

)

(

 

)

(

)]

(

[

)

(

1

t

ku

s

y

L

t

y

st

δ

=

=

−

 

>

=

∞

<

=

0

 

dla

    

0

0

 

dla

   

0

 

dla

    

0

)

(

t

t

t

t

y

 

W  przypadku  szczególnym,  kiedy  wej cie  i  wyj cie  s   sygnałami  jednoimiennymi, 

równanie idealnego elementu ró niczkuj cego zapisuje si  w postaci 

dt

du

T

y

=

 

której odpowiada transmitancja 

Ts

s

u

s

y

s

G

=

=

)

(

)

(

)

(

 

gdzie T jest stał  czasow  akcji ró niczkuj cej lub krócej – stał  ró niczkowania. 

 

Odpowied  na wymuszenie skokowe jest w tym przypadku funkcj  Diraca pomno on  

przez Tu

st

. 

 

Idealnego elementu ró niczkuj cego nie mo na zrealizowa  praktycznie, ale poznanie 

jego  własno ci  jest  celowe  z  tego  wzgl du,  e  cz sto  w  elementach  zło onych  wyodr bnia 

jako  jeden  ze  składników  idealne  działanie  ró niczkuj ce.  Ponadto,  idealny  element 

 

25 

ró niczkuj cy  traktuje  si   niekiedy  jako  pierwsze  przybli enie  rzeczywistego  elementu 

ró niczkuj cego. 

 

2.5.2 

Rzeczywiste elementy ró niczkuj ce 

 

Ogólna posta  równania rzeczywistego elementu ró niczkuj cego jest nast puj ca: 

dt

du

k

y

dt

dy

T

=

+

 

sk d wynika transmitancja 

1

)

(

)

(

)

(

+

=

=

Ts

ks

s

u

s

y

s

G

 

 

gdzie k współczynnikiem proporcjonalno ci, a T stał  czasow  elementu. 

Je eli wej cie i wyj cie s  sygnałami jednoimiennymi, równanie ró niczkowe zapisuje 

si  w postaci: 

dt

du

T

y

dt

dy

T

=

+

 

której odpowiada transmitancja 

1

)

(

)

(

)

(

+

=

=

Ts

Ts

s

u

s

y

s

G

 

 

Charakterystyka  statyczna  b dzie  oczywi cie  identyczna  z  podan   na  rys.  2.8,  natomiast 

odpowied  na wymuszenie skokowe wyznaczamy (z ogólnej postaci transmitancji) 

T

s

u

T

k

Ts

ku

s

u

Ts

ks

s

y

st

st

1

1

1

)

(

1

)

(

+

=

+

=

+

=

 

T

t

st

e

u

T

k

s

y

L

t

y

−

−

=

=

)]

(

[

)

(

1

 

Wyznaczaj c  t   odpowied   z  transmitancji  gdzie  wej cie  i  wyj cie  s   sygnałami 

jednoimiennymi otrzymamy: 

T

t

st

e

u

t

y

−

=

)

(

 

Wykres y(t) przedstawiono na rys. 2.9.

 

 

 

Rysunek 2.9 Odpowied  rzeczywistego elementu ró niczkuj cego na wymuszenie skokowe 

 

 

26 

2.6 

Elementy oscylacyjne 

Ogólna  posta  równania ró niczkowego elementu oscylacyjnego jest nast puj ca: 

ku

y

dt

dy

T

dt

y

d

T

=

+

+

2

2

2

2

1

 

(*) 

przy czym 

2

1

2

2

4T

T

<

. Równaniu (*) odpowiada transmitancja: 

1

)

(

)

(

)

(

2

2

2

1

+

+

=

=

s

T

s

T

k

s

u

s

y

s

G

 

(**) 

gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalno ci, T

1

 i T

2

 s  stałymi czasowymi elementu. 

Nale y  podkre li ,  e  to  nie  posta   równania  (*)  lub  (**)  decyduje  o  tym,  e  element  jest 

oscylacyjny  (taka  sama  mo e  by   posta   równa   elementu  inercyjnego  drugiego  rz du,  w 
którym  adne oscylacje odpowiedzi skokowej nie wyst puj ), ale warunek 

2

1

2

2

4T

T

<

. 

Cz sto spotyka si  równie  nast puj c  posta  równania ró niczkowego, która ułatwia 

interpretacj  przebiegów przej ciowych elementu oscylacyjnego: 

u

k

y

dt

dy

dt

y

d

2

0

2

0

0

2

2

2

ω

ω

ζω

=

+

+

 

przy czym 

1

2

<

ζ

. Wówczas transmitancja 

2

0

0

2

2

0

2

)

(

)

(

)

(

ω

ζω

ω

+

+

=

=

s

s

k

s

u

s

y

s

G

 

gdzie:  k – współczynnik proporcjonalno ci 
 

1

0

/

1 T

=

ω

 – pulsacja oscylacji własnych elementu 

 

1

2

2

/ T

T

=

ζ

 – zredukowany (wzgl dny) współczynnik tłumienia 

 

Równanie charakterystyki statycznej we współrz dnych odchyłek b dzie 

ku

y

=

 

a we współrz dnych warto ci absolutnych 

C

ku

y

+

=

0

0

 

gdzie C jest stał  wynikaj c  z warunków pocz tkowych. 

 

Wykresy charakterystyki statycznej podano na rys. 2.10. 

 

   

 

Rysunek 2.10 Charakterystyka statyczna elementu oscylacyjnego: a) współrz dne odchyłek b) 

współrz dne warto ci absolutnych 

 
Odpowied  na wymuszenie skokowe u(t)=

1(t)u

st

 obliczamy według wzoru: 

+

+

=

+

+

=

=

−

−

−

)

1

(

1

)

1

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

1

1

2

2

2

1

1

1

s

T

s

T

s

L

ku

u

s

T

s

T

s

k

L

u

s

sN

s

M

L

t

y

st

st

st

 

 

 

27 

Pierwiastkami wielomianu N(s) s : 

−

−

=

−

±

−

=

1

2

2

1

2

4

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

,

1

T

T

T

T

T

T

T

T

T

s

 

lub dla oznacze : 

1

0

1

T

=

ω

oraz 

1

2

2T

T

=

ζ

 

)

1

(

2

0

2

,

1

−

−

=

ζ

ζ

ω

s

 

Odpowied   na  wymuszenie  skokowe  b dzie  mie   charakter  oscylacyjny,  je eli  spełniony 

jest podany na wst pie warunek: 

2

1

2

2

4T

T

<

 

lub, co jest jednoznaczne: 

1

2

<

ζ

 

Pierwiastki s

1

 i s

2

 zapiszemy wówczas w postaci: 

−

−

=

2

1

2

1

2

1

2

,

1

2

1

2

1

T

T

j

T

T

T

s

 

lub 

)

1

(

2

0

2

,

1

ζ

ζ

ω

−

−

=

j

s

 

otrzymujemy 

−

+

−

+

=

t

s

t

s

st

e

s

s

s

T

e

s

s

s

T

ku

t

y

2

1

)

(

1

)

(

1

1

)

(

1

2

2

2

1

2

1

1

2

1

 

Stosuj c wzory Eulera

*)

 oraz wcze niej przyj te oznaczenia, mo na przedstawi  y(t) w 

postaci: 

+

−

−

−

=

−

)

1

sin(

1

1

)

(

2

0

2

1

0

ϕ

ζ

ω

ζ

ζω

t

e

e

ku

t

y

t

s

t

st

 

gdzie:   

ζ

ζ

ϕ

2

1

−

= arctg

 

 

 

Rysunek 2.11 Odpowied  elementu oscylacyjnego na wymuszenie skokowe 1(t)u

st

 

                                                 

*)

 

)

sin

(cos

v

j

v

e

e

u

jv

u

+

=

+

,       

)

sin

(cos

v

j

v

e

e

u

jv

u

−

=

−

 

 

28 

Wykres  y(t)  przedstawiono  na  rys.  2.11.  Składowa  ustalona  przebiegu  wynosi  ku

st

,  a 

składowa przej ciowa jest gasn c  sinusoid , której okres jest stały i wynosi: 

2

0

1

2

ζ

ω

π

−

=

T

 

W przypadku szczególnym, kiedy  =0 (tzn. T

2

=0), wyst puj  drgania zachowawcze (nie 

tłumione) o pulsacji 

0

. Wówczas: 

]

cos

1

[

)

(

)]

90

sin(

1

[

)

(

0

0

t

ku

t

y

t

ku

t

y

st

st

ω

ω

−

=

+

−

=

 

 

Przykład elementu oscylacyjnego 

Schemat elementu podano na rys. 2.12. Sygnałem wej ciowym jest siła F, sygnałem 

wyj ciowym jest przesuni cie y. 

 

Rysunek 2.12 Zespół masa-tłumik-spr yna 

 

W  stanie  ustalonym  siła  F  oraz  ci ar  mg  s   równowa one  sił   wywieran   przez  ugi t  

spr yn . We współrz dnych  warto ci absolutnych warunek ten zapiszemy 

0

0

y

c

mg

F

s

=

+

 

sk d  

)

(

1

0

0

mg

F

c

y

s

+

=

 

natomiast we współrz dnych odchyłek (przyrostów) 

F

c

y

s

1

=

 

Wykresy charakterystyki statycznej s  przedstawione na rys. 2.13. 

 

W  stanach    nieustalonych,  uwzgl dniaj c  zało enia  upraszczaj ce,  podane  w  p.  2.1, 

otrzymamy nast puj ce równanie równowagi: 

y

c

dt

dy

c

dt

y

d

m

F

s

t

+

+

=

2

2

 

sk d  

kF

y

dt

dy

T

dt

y

d

T

=

+

+

2

2

2

2

1

 

 

29 

gdzie  

s

c

m

T

=

1

, 

s

t

c

c

T

=

2

, 

s

c

k

1

=

 

Przedstawionemu równaniu odpowiada transmitancja: 

1

)

(

)

(

)

(

2

2

2

1

+

+

=

=

s

T

s

T

k

s

F

s

y

s

G

 

 

 

Rysunek 2.13 Charakterystyka statyczna elementu przedstawionego na rys. 2.12: a) współrz dne 

odchyłek, b) współrz dne warto ci absolutnych 

 

 

 

30 

2.7 

Elementy opó niaj ce 

Równanie elementu opó niaj cego ma posta  

 

)

(

)

(

τ

−

= t

u

t

y

 

sk d wynika transmitancja 

s

e

s

u

s

y

s

G

τ

−

=

=

)

(

)

(

)

(

 

 

Rysunek 2.14 Wymuszenie u(t)=1(t)u

st

 i odpowied  y(t)=1(t- )u

st

 elementu opó niaj cego 

 

Z podanych równa  wynika,  e element opó niaj cy nie zniekształca sygnału wej ciowego, 

lecz jedynie przesuwa go w czasie. Charakterystyka statyczna b dzie zatem 

 

u

y

=   lub  

0

0

u

y

=  

 

a  odpowied   na  wymuszenie  skokowe  b dzie  takim  samym  sygnałem  skokowym 

przesuni tym w czasie o wielko  opó nienia  . Wykresy wymuszenia i odpowiedzi skokowej 

pokazano na rys. 2.14. 

Elementami opó niaj cymi s  w szczególno ci urz dzenia słu ce do przemieszczania 

(transportu)  substancji,  je eli  miejsce  wprowadzania  sygnału  wej ciowego  u  i  miejsce 

odbioru sygnału wyj ciowego y znajduj  si  w pewnej odległo ci od siebie. 

 

 

31 

Przykład 1. Podajnik ta mowy. 

 

Schemat elementu przedstawiono na rys. 2.15. Sygnałem wej ciowym jest grubo  u 

warstwy  na  pocz tku  podajnika,  a  sygnałem  wyj ciowym  grubo   y  warstwy  na  ko cu 

podajnika. 

 

Opó nienie    wynosi: 

v

l

=

τ

 

gdzie:  l – odległo  [m] 

 

v – pr dko  ta my [m/s] 

 

 

 

Transmitancja podajnika 

s

e

s

u

s

y

s

G

τ

−

=

=

)

(

)

(

)

(

  ,   

 

 

Rysunek 2.15 Schemat podajnika ta mowego 

 

Przykład 2. Odcinek ruroci gu.  

Schemat  elementu  podano  na  rysunku  poni ej.  Sygnałem  wej ciowym  jest  st enie 

substancji 

γ  w  przekroju  A, sygnałem  wyj ciowym –  st enie tej  substancji  w  przekroju  B 

ruroci gu. 
 

 

Przy zało eniu,  e nast puje dokładne wymieszanie substancji i w danym przekroju jej 

st enie jest jednakowe, otrzymamy 

s

A

B

e

s

C

s

C

s

G

τ

−

=

=

)

(

)

(

)

(

 

gdzie:  C

A

 – st enie substancji 

γ w przekroju A, 

C

B

 – st enie substancji 

γ w przekroju B, 

=l/v – opó nienie 

 

 

32 

3  UKŁADANIE SCHEMATÓW BLOKOWYCH 

3.1 

Zasady budowy schematów blokowych 

Schematy blokowe, nazywane równie  strukturalnymi, przedstawiaj  wzajemne powi zania 

pomi dzy  poszczególnymi  zespołami  analizowanego  elementu  lub  układu,  tzn.  podaj  

kierunki  przepływu  sygnałów  oraz  zwi zki  mi dzy  sygnałami  wej ciowymi  i  wyj ciowymi 

wszystkich  zespołów.  Znajomo   schematu  blokowego  ułatwia  wyznaczenie  opisu 

matematycznego (najcz ciej transmitancji) układu i analiz  jego własno ci.  

Sporz dzanie schematów blokowych elementów lub układów automatyki na podstawie ich 

schematów konstrukcyjnych sprawia zwykle pocz tkowo wiele trudno ci. Przyczyn  tego jest 

konieczno   dokładnego  zrozumienia  działania  rozpatrywanego  urz dzenia,  rozró nienia 

wej  i wyj , a zatem „kolejno ci” oddziaływania jednych zespołów na drugie, wzi cia pod 

uwag  natury fizycznej wyst puj cych sygnałów itd. 

Proste  elementy  reprezentowane  s   na  schematach  blokowych  przez  jeden  „blok”  – 

prostok t, wewn trz  którego wpisuje si  transmitancj   (rzadziej  równanie ró niczkowe)  lub 

wrysowuje  si   charakterystyk   danego  elementu,  najcz ciej  odpowied   skokow   dla 

elementów liniowych lub charakterystyk  statyczn  dla elementów nieliniowych. 

Zło one  elementy  maj   własne  schematy  blokowe,  w  których  poszczególne  bloki 

reprezentuj  z reguły kolejne zespoły (elementy podstawowe) wchodz ce w skład elementu 

zło onego. 

Schematy blokowe  układów,  zwłaszcza  zawieraj cych elementy  zło one mog   by   dosy  

rozbudowane.  Dla  zwi kszenia  ich  czytelno ci  przekształcamy  cz sto  schemat  elementów 

zło onych  do  postaci  pojedynczego  bloku  i  dopiero  wówczas  wstawiamy  je  do  schematu 

całego układu. 

Kierunek przepływu sygnałów jest jednoznaczny , poniewa  w ka dym układzie wyst puje 

co najmniej jeden element skierowany, tzn. element o działaniu jednokierunkowym. 

3.2 

W zły informacyjne i sumacyjne 

W zły informacyjne (zaczepowe) reprezentuj  na schematach blokowych urz dzenia, które 

pozwalaj   pobiera   t   sam   informacj   do  kilku  gał zi  układu.  Symbol  graficzny 

podstawowego  w zła  informacyjnego,  w  którym  pobiera  si   informacj   do  dwóch  gał zi 

układu, jest nast puj cy: 

 

Przykłady urz dze  spełniaj cych rol  w złów informacyjnych podano na rys. 3.1 

 

33 

              

 

Rysunek 3.1 

 

Pierwszy  przykład  pokazuje  zbiornik  ci nieniowy,  w  którym  znajduje  si   medium  o 

ci nieniu  p,  odprowadzane  ruroci giem  do  dalszych  cz ci  instalacji  oraz  działaj ce  na 

czujnik  przetwornika  pomiarowego  lub  miernika 

M  tego  ci nienia.  Je eli  zało ymy,  e  w 

całym  zbiorniku  i  wychodz cych  z  niego  przewodach  panuje  to  samo  ci nienie  p,  to 

otrzymany  typowy  przypadek  w zła  informacyjnego,  z  którego  wychodzi  tyle  gał zi  o 

sygnałach p, ile jest wyprowadze  tego ci nienia ze zbiornika. 

Drugi przykład pokazuj tłoczysko siłownika hydraulicznego, na którym zainstalowana 

jest krzywka. Przesuni cie u jest zatem zarówno przesuni ciem tłoczyska i zwi zanego z nim 

ko ca d wigni, jak i przesuni ciem krzywki. 

W zły  sumacyjne  reprezentuj   na  schematach  blokowych  urz dzenia,  w  których 

zachodzi algebraiczne (z uwzgl dnieniem znaków) sumowanie sygnałów. Symbol graficzny 

podstawowego  w zła  sumacyjnego,  w  którym  zachodzi  sumowanie  dwóch  sygnałów,  jest 

nast puj cy: 

 

W urz dzeniu reprezentowanym przez ten w zeł realizowana jest zale no  z=u–y. 

 

Kilka przykładów urz dze  spełniaj cych rol  w złów sumacyjnych przedstawiono na 

rys. 3.2. 

 

 

34 

 

 

 

Rysunek 3.2     1) czujnik mieszkowy ró nicy ci nie ,    2) d wignia,    3) mechanizm ró nicowy 

 

35 

Przedstawione    na  rys.  3.2  schematy  blokowe  stanowi   graficzne  odzwierciedlenie 

równa  opisuj cych własno ci tych urz dze . 

1.

 

Równanie sił działaj cych na mieszek spr ysty 

cy

A

p

p

=

−

)

(

2

1

 

sk d 

)

(

2

1

p

p

c

A

y

−

=

 

 

( 3.1) 

 

Gdzie: 

p

1

,p

2

 – sygnały wej ciowe (ci nienia) 

 

y

 – sygnał wyj ciowy (przesuni cie) 

 

A – powierzchnia efektywna mieszka spr ystego 

 

C -  sztywno  mieszka 

 

 

Schematy  blokowe  a)  oraz  b)  odpowiadaj   równaniu  (3.1)  i  ka dy  z  nich  jest 

poprawny 

 

2.

 

Przy niewielkich przemieszczeniach ko ców d wigni mo na napisa , zgodnie 

z zasad  superpozycji: 

2

1

2

1

u

b

a

a

u

b

a

b

y

+

−

+

=

−

=

ε

ε

 

 

( 3.2) 

 

Gdzie: 

u

1

, u

2

 – sygnały wej ciowe (przesuni cia) 

 

y

 – sygnał wyj ciowy (przesuni cia) 

 

ε

1

,

ε

2

 – składowe przesuni cia y 

a, b

 – ramiona d wigni 

 

3.

 

Mechanizm  ró nicowy  opiszemy  za  pomoc   równa   pr dko ci 

poszczególnych punktów koła ró nicowego: 

4

3

2

4

3

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

r

r

r

r

r

r

−

=

+

=

 

Dodaj c stronami otrzymamy 

)

(

2

1

2

1

3

ω

ω

ω

+

=

 

 

( 3.3) 

 

Gdzie: 

ω

1,

ω

2

 – sygnały wej ciowe (pr dko ci k towe) 

 

ω

3

 – sygnał wyj ciowy 

 

r

 – promienie podziałowe wszystkich kół z batych. 

 

 

Je eli sygnałami wej ciowymi i wyj ciowymi b d  k ty obrotu kół z batych, 

otrzymamy 

)

(

2

1

2

1

3

α

α

α

+

=

 

 

( 3.4) 

 

Budowa  schematu  blokowego  pozostanie  wi c  identyczna,  jedynie  zamiast  „

ω”  nale y 

wsz dzie wpisa  „

α”. 

Zmianie kierunku pr dko ci k towej (lub k ta) odpowiada zmiana znaku na wej ciu w zła 

sumacyjnego. 

 

36 

3.3 

Przekształcanie schematów blokowych 

Pierwotna  posta   schematu  blokowego  jest  niekiedy  dosy   uwikłana  i  nie  mo na 

bezpo rednio  zastosowa   do  niej  adnego  ze  wzorów  okre laj cych  transmitancje  poł cze  

podstawowych. W pierwszej kolejno ci nale y wi c przekształci  schemat blokowy do takiej 

postaci,  aby  wyst powały  w  niej  tylko  poł czenia  szeregowe,  równoległe  i  ze  sprz eniem 

zwrotnym.  Postacie  ogólne  transmitancji  tych  poł cze   dla  elementów  o  jednym  wej ciu  i 

wyj ciu (jednowymiarowych) s  nast puj ce: 

a)

 

poł czenie szeregowe 

∏

=

=

n

i

i

s

G

s

G

1

)

(

)

(

 

 

( 3.5) 

 

b)

 

poł czenie równoległe 

=

=

n

i

i

s

G

s

G

1

)

(

)

(

 

 

( 3.6) 

c)

 

poł czenie ze sprz eniem zwrotnym 

)

(

)

(

1

)

(

)

(

2

1

1

s

G

s

G

s

G

s

G

±

=

 

 

( 3.7) 

Gdzie: 

∏

– symbol iloczynu 

 

– symbol sumy 

 

)

(

s

G

i

 – transmitancje elementów składowych 

 

)

(

1

s

G

 – transmitancja toru głównego 

)

(

2

s

G

 – transmitancja toru sprz enia zwrotnego 

„+” – obowi zuje dla ujemnego sprz enia zwrotnego 
„

−

” – obowi zuje dla dodatniego sprz enia zwrotnego 

 

Dla  elementów  o  wielu  wej ciach  i  wyj ciach  (wielowymiarowych)  odpowiednie 

zale no ci  maj   identyczn   posta ,  jedynie  zamiast  transmitancji  G(s)  wyst puj   wsz dzie 

macierze transmitancji G(s). W iloczynie (3.5) nie wolno zmienia  kolejno ci macierzy. 

Przekształcenia  sprowadzaj ce  schemat  blokowy  do  postaci  pozwalaj cej  na 

zastosowanie wzorów (3.5) i (3.7) polegaj  na przesuni ciach w złów informacyjnych i (lub) 

sumacyjnych. W ka dym przypadku przekształcania schematu blokowego musi by  spełniony 

warunek,  e  w  cz ci  układu  nie  podlegaj cej  przekształceniu  adna  wielko   nie  ulega 

zmianie (oznacza to,  e wej cia i wyj cia przekształconej cz ci schematu musz  pozosta  nie 

zmienione) 

Kilka najcz ciej  stosowanych przekształce  schematów  blokowych  (lub  ich cz ci) 

zawieraj cych wył cznie elementy liniowe zestawiono w tab. 3.1. 

Przekształcenia  nr  1

÷

4  polegaj   na  przesuni ciach  w złów  informacyjnych  lub 

sumacyjnych w przód lub w tył, tzn. z wej cia bloku o transmitancji 

G(s)

 na jego wyj cie lub 

odwrotnie.  Przekształcenia  te  pozostaj   wa ne  równie   dla  elementów  o  wielu  wej ciach  i 

wyj ciach, z tym zastrze eniem,  e przekształcenia nr 2 i 4 s  wykonalne tylko dla macierzy 

kwadratowych nieosobliwych (o wyznaczniku ró nym od zera), gdy  tylko wówczas istnieje 

macierz odwrotna 

[G(s)]

-1

.

 

Przekształcenia  nr  5  i  6  pokazuj ,  e  mo na  zmienia   kolejno   w złów  jednego 

rodzaju  (informacyjnych  lub  sumacyjnych),  a  nr  7  i  8  podaj   zasady  zmiany  kolejno ci 

w złów  ró nego  rodzaju,  tzn.  przesuwania  w zła  informacyjnego  przed  sumacyjny  lub 

odwrotnie. 

 

37 

Ni ej  podane  zostan   dwa  przykłady  wyznaczania  transmitancji  zło onych  układów 

na podstawie ich schematów blokowych. Wybrano takie przypadki, w których konieczne s  

obydwa etapy post powania, tzn. najpierw doprowadzenie schematu za pomoc  przekształce  

podanych w tabl. 3.1 do postaci poł cze  podstawowych, a nast pnie zwijanie tych poł cze  

za pomoc  zale no ci (3.5) do (3.7) ,a  do postaci pozwalaj cej na wyznaczenie transmitancji 

całego układu. 

 

 

38

tablica 3.1

Przesuni cia w złów informacyjnych i sumacyjnych 

L.p. 

Schemat pierwotny 

Schemat równowa ny 

L.p. 

Schemat pierwotny 

Schemat równowa ny 

1 

 

 

5 

 

 

2 

 

 

6 

 

 

3 

 

 

7 

 

 

4 

 

 

 

8 

 

 

 

39 

Przykład 1. 

 

 

 

)

(

1

)

(

4

3

2

1

5

3

2

3

2

1

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

s

G

−

+

+

=

 

 

Rysunek 3.3 

 

40 

Przykład 2. 

 

 

 

 

 

)

1

(

1

)

(

)

(

5

3

2

4

2

3

1

−

+

−

=

G

G

G

G

G

G

G

s

G

 

 

 

Rysunek 3.4 

 

41 

3.4 

Przykłady układania (tworzenia) schematów blokowych 

3.4.1 

Schemat kopiału hydraulicznego 

 

Uło enie schematu blokowego: 

 

 

1

)

(

1

+

=

s

T

k

s

G

 

gdzie:

 

bd

ac

k

=

,   

bd

d

c

Ta

T

)

(

1

+

=

 

Wyznaczenie odpowiedzi na wymuszenie u(t)=wt: 

 

)]

1

(

[

)

(

1

/

1

T

t

e

T

t

kw

t

y

−

−

−

=

 

42 

3.4.2 

Przykład układu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku 

 

 

Schemat blokowy: 

 

Transmitancja układu: 

a

kk

b

aTs

s

b

aTs

k

b

aTs

a

k

s

k

s

k

s

Q

s

h

s

G

1

1

2

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

+

+

+

−

=

+

−

−

−

=

=

 

 

Wyznaczenie charakterystyki statycznej: 

−

1

ak

b

arctg

 

 

43 

4  CHARAKTERYSTYKI CZ STOTLIWO CIOWE 

4.1 

Transmitancja widmowa. Rodzaje charakterystyk cz stotliwo ciowych. 

Je eli  na  wej cie  elementu  lub  układu  liniowego  stabilnego  wprowadzone  zostanie 

wymuszenie  sinusoidalne  o  stałej  cz stotliwo ci,  to  na  wyj ciu,  po  zanikni ciu  przebiegu 

przej ciowego, ustali si  odpowied  sinusoidalna o tej samej cz stotliwo ci, ale w ogólnym 

przypadku, o innej amplitudzie i fazie ni  wymuszenie. Na rysunku przedstawiono przypadek, 

gdy odpowied  jest przesuni ta w kierunku ujemnym wzgl dem wymuszenia, tzn. 

0

)

(

<

ω

ϕ

. 

 

)]

(

sin[

)

(

sin

)

(

2

1

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

+

=

=

t

A

y

t

A

x

 

Rysunek 4.1 Przechodzenie sygnału sinusoidalnego przez element liniowy 

Charakterystyki  cz stotliwo ciowe  okre laj   zachowanie  si   elementu  lub  układu  przy 

wszystkich  cz stotliwo ciach  wymuszenia,  podaj c  stosunek  amplitud  odpowiedzi  do 

wymuszenia  oraz  przesuni cie  fazowe  mi dzy  odpowiedzi   a  wymuszeniem  jako  funkcje 

cz stotliwo ci. 

Teoretyczn   podstaw   charakterystyk  cz stotliwo ciowych  stanowi  transmitancja 

widmowa, któr  mo na uwa a  za szczególny przypadek transmitancji operatorowej: 

)

(

)

(

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ω

ω

j

j

s

e

A

s

G

j

G

=

=

=

 

 

( 4.1) 

i któr  definiuje si  cz sto: 

x

y

j

G

=

)

(

ω

 

 

( 4.2) 

gdzie  y  jest  warto ci   zespolon   składowej  ustalonej  odpowiedzi  układu  wywołanej 

wymuszeniem sinusoidalnym, a x warto ci  zespolon  tego wymuszenia. Podstawiaj c za x i 

y par  odpowiadaj cych sobie funkcji harmonicznych zapisanych w postaci wykładniczej 

*)

: 

                                                 

*)

  Je eli  na  wej cie  elementu  lub  układu  liniowego  wprowadzimy  wymuszenie  harmoniczne 

]

sin

)[cos

(

)

(

1

1

t

j

t

A

e

A

t

j

ω

ω

ω

ω

ω

+

=

,     to     na    wyj ciu    ustali     si       odpowied      harmoniczna 

)]}

(

sin[

)]

(

){cos[

(

)

(

2

)]

(

[

2

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ϕ

ω

+

+

+

=

+

t

j

t

A

e

A

t

j

. 

 

 

44 

t

j

e

A

x

ω

ω)

(

1

=

,    

)]

(

[

2

)

(

ω

ϕ

ω

ω

+

=

t

j

e

A

y

, 

otrzymamy: 

)

(

1

)

(

2

)

(

)

(

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ω

j

t

j

j

t

j

e

M

e

A

e

e

A

j

G

=

=

 

 

( 4.3) 

gdzie: 

)

(

/

)

(

)

(

1

2

ω

ω

ω

A

A

M

=

jest  modułem  charakterystyki    cz stotliwo ciowej  (stosunkiem 

amplitud odpowiedzi do wymuszenia). 
Wykres 

)

(

ω

j

G

 

nazywa  si   charakterystyk   amplitudowo-fazow   lub  zespolon   charakterystyk  

cz stotliwo ciow , lub wykresem transmitancji widmowej. Wykres ten jest miejscem geometrycznym 

ko ców wektorów, których długo  reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia, a k t 
- przesuni cie fazowe mi dzy odpowiedzi  a wymuszeniem. Zamiast wykresu 

)

(

ω

j

G

mo na poda  

oddzielne wykresy jego współrz dnych biegunowych 

)

(

ω

j

M

 i 

)

(

ω

ϕ

j

. 

Nazywaj  si  one: 

 

)

(

)

(

ω

ω

j

G

M

=

 

- 

amplitudowa charakterystyka cz stotliwo ciowa (wykres

 

modułu charakterystyki cz stotliwo ciowej), 

)

(

arg

)

(

ω

ω

ϕ

j

G

=

 

- 

fazowa  charakterystyka  cz stotliwo ciowa  (wykres  argumentu 

charakterystyki cz stotliwo ciowej). 

Poniewa  

)

(

ω

j

G

jest funkcj  zespolon , mo na rozło y  j  na cz

 rzeczywist  i cz

 

urojon  [współrz dne prostok tne 

)

(

ω

j

G

]: 

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

jQ

P

j

G

+

=

 

 

( 4.4) 

gdzie  
 

)]

(

Re[

)

(

ω

ω

j

G

P

=

  - cz

 rzeczywista 

)

(

ω

j

G

 

 

)]

(

Im[

)

(

ω

ω

j

G

Q

=

  - cz

 urojona 

)

(

ω

j

G

 

 

Z rysunku 4.2 wynikaj  nast puj ce zwi zki, bardzo istotne przy analitycznym 

wyznaczaniu charakterystyk cz stotliwo ciowych: 

2

2

)]

(

[

)]

(

[

)

(

ω

ω

ω

Q

P

j

M

+

=

 

 

( 4.5) 

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

ϕ

P

Q

arctg

=

 

 

( 4.6) 

 

∞

=

ω

 

Rysunek 4.2 Charakterystyki cz stotliwo ciowe: a) charakterystyka amplitudowo-fazowa (zespolona 

charakterystyka cz stotliwo ciowa), bl) charakterystyka amplitudowa, b2) charakterystyka fazowa 

 

45 

Charakterystyki amplitudowa i fazowa s  przedstawiane zwykle we współrz dnych 

logarytmicznych i nazywaj  si  wówczas: 

)

(

log

20

)

(

ω

ω

M

L

=

 

— logarytmiczna charakterystyka amplitudowa 

)

(

ω

ϕ

   

 

— logarytmiczna charakterystyka fazowa. 

 

 

Rysunek 4.3  Współrz dne logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(ω

ωω

ω) i fazowej ϕϕϕϕ(ω

ωω

ω)

 

 
Współrz dne  tych  charakterystyk  przedstawiono  na  rys.  4.3.  Podziałka  osi 

ω  jest 

logarytmiczna,  dekadowa,  tzn.  ka dej  dekadzie 

ω    przyporz dkowany  jest  odcinek  o 

jednakowej długo ci na osi co. Podziałk  osi L(

ω) jest liniowa, skalowana w decybelach (dB). 

Cz sto na tej osi odkłada si  bezpo rednio stosunek amplitud M(

ω). Podziałka osi M(ω) jest 

wówczas logarytmiczna. 

Warto ci 

)

(

ω

L

obliczamy według wzoru: 

)

(

log

20

)

(

ω

ω

M

L

=

 

 

( 4.7) 

4.2 

Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa elementu 

inercyjnego pierwszego rz du 

 

Transmitancja widmowa elementu inercyjnego pierwszego rz du jest nast puj ca: 

1

)

(

+

=

ω

ω

Tj

k

j

G

 

 

( 4.8) 

Cz ci rzeczywist  i urojon  G(j

ω

) wyznaczamy mno c licznik i mianownik transmitancji 

przez liczb  zespolon  sprz on  z mianownikiem: 

1

1

1

1

2

2

−

−

+

−

=

−

−

+

ω

ω

ω

ω

ω

T

kTj

k

Tj

Tj

Tj

k

 

St d: 

   

1

)

(

2

2

+

=

ω

ω

T

k

P

,     

1

)

(

2

2

+

−

=

ω

ω

ω

T

kT

Q

 

 

( 4.9) 

 
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa: 

[

] [

]

1

log

20

)

(

)

(

log

20

)

(

log

20

)

(

2

2

2

2

+

=

+

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

T

k

Q

P

M

L

 

 

46 

1

log

20

log

20

)

(

2

2

+

−

=

ω

ω

T

k

L

 

 

( 4.10) 

∞

=

ω

 

Rysunek 4.4 

Charakterystyka amplitudowo-fazowa G(j

ω

ωω

ω

) elementu inercyjnego pierwszego rz du 

 
Wykres  L(

ω)  mo na  upro ci ,  pomijaj c  we  wzorze  (4.10)  dla 

T

/

1

<

ω

  składnik 

2

2

ω

T

,    a  dla 

T

/

1

>

ω

  składnik 

1

  pod  pierwiastkiem.  Otrzymamy  wówczas  tzw. 

asymptotyczn  logarytmiczn  charakterystyk  amplitudow : 

dla  

T

/

1

<

ω

 

k

L

log

20

)

(

=

ω

 

 

dla  

T

/

1

>

ω

 

ω

ω

T

k

L

log

20

log

20

)

(

−

=

 

Pulsacja (cz stotliwo  k towa) 

T

/

1

=

ω

 nazywana jest pulsacj  sprz gaj c  i oznacza si  j  

symbolem 

s

ω

lub 

0

ω

. 

 

 

 

Rysunek 4.5 

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa elementu inercyjnego pierwszego rz du dla k = 10: 

a — rzeczywista, b — asymptotyczna 

 

Wykresy rzeczywistej i asymptotycznej charakterystyki amplitudowej podano na rys. 

4.5.  Nachylenie  opadaj cego  odcinka  charakterystyki  asymptotycznej  (dla 

T

/

1

<

ω

) 

okre limy obliczaj c przyrost 

)

(

ω

L

 na dekad : 

dB

T

k

T

k

L

L

20

)

10

log(

20

)

log(

20

log

20

)

10

log(

20

log

20

)

(

)

10

(

−

=

−

=

+

−

−

=

−

ω

ω

ω

ω

 

 

( 4.11) 

 

 

47 

 

 

W tablicy 4.1 zestawiono kilka warto ci bł du popełnianego przy operowaniu charakterystyk  
asymptotyczn , a na rys. 4.6 przedstawiono wykres tego bł du jako funkcj  

S

ω

ω /

. 

Tablica 4.1 

S

ω

ω

 

0,1  0,25  0,4  0,5  1,0  10  2,5  4,0  10,0 

)

(

ω

L

∆

  0,04  0,32  0,65  1,0  3,01  1,0  0,65  0,32  0,04 

 

 

Rysunek 4.6 Wykres bł du 

)

(

ω

L

∆

 

 
W  praktyce,  przy  obliczeniach  wst pnych  posługujemy  si   charakterystykami 

asymptotycznymi,  a  przy  obliczeniach  dokładnych  charakterystykami  rzeczywistymi,  które 

otrzymujemy  przez  dodanie  wykresu  przedstawionego  na  rys.  4.8  (lub  poprawek  według 

tablicy 4.1) do charakterystyk asymptotycznych. 

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:

 

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ϕ

T

arctg

T

arctg

P

Q

arctg

−

=

−

=

=

 

 

Wykres 

)

(

ω

ϕ

 

podano na Rysunek 4.7. Na tym samym rysunku liniami kreskowanymi 

zaznaczono stosowane niekiedy aproksymacje trójodcinkowe krzywej 

)

(

ω

ϕ

. 

 

Rysunek 4.7 Logarytmiczna charakterystyka fazowa elementu inercyjnego pierwszego rz du 

 

48 

4.3 

Charakterystyka amplitudowo-fazowa oraz logarytmiczne charakterystyki 

amplitudowa i fazowa elementu ró niczkuj cego rzeczywistego 

Transmitancja widmowa rzeczywistego elementu ró niczkuj cego ma posta : 

1

)

(

+

=

ω

ω

ω

Tj

Tj

j

G

 

 

( 4.12) 

Cz ci rzeczywista i urojona 

)

(

ω

j

G

: 

1

)

(

2

2

2

2

+

=

ω

ω

ω

T

T

P

, 

1

)

(

2

2

+

=

ω

ω

ω

T

T

P

 

 

( 4.13) 

Wykres 

)

(

ω

j

G

 

ma posta  półokr gu o  rednicy l, ze  rodkiem w punkcie 

0

,

2

1

j

 (rys. 4.8). 

[

] [

]

1

log

20

)

(

)

(

log

20

)

(

2

2

2

2

+

=

+

=

ω

ω

ω

ω

ω

T

T

Q

P

L

 

 

( 4.14) 

 

1

log

20

log

20

)

(

2

2

+

−

=

ω

ω

ω

T

T

L

 

 

)

(

90

)

1

(

)

(

)

(

)

(

0

ω

ω

ω

ω

ω

ϕ

T

arctg

T

arctg

P

Q

arctg

−

=

=

=

 

 

( 4.15) 

 

 

Rysunek 4.8 Charakterystyki  rzeczywistego   elementu   ró niczkuj cego:   a)   charakterystyka 

amplitudowo-fazowa, b) logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa 

 
Wykresy 

)

(

ω

L

  i 

)

(

ω

ϕ

  przedstawiono  powy ej.  Liniami  ci głymi  zaznaczono 

charakterystyki  rzeczywiste,  a  liniami  kreskowanymi  charakterystyki  asymptotyczne,  przy 
czym  asymptotyczn   charakterystyk   fazow   narysowano  zgodnie  z  aproksymacj  

)

(

ω

ϕ

b

. 

Wszystkie uwagi dotycz ce dokładno ci charakterystyk asymptotycznych, a w szczególno ci 

wykresy bł du podane na rys. 4.6,  pozostaj  wa ne.