Elementy algebry abstrakcyjnej
Grupy
1. Które z nast¦puj¡cych zbiorów stanowi¡ grup¦ wzgl¦dem wskazanego dziaªania:
1) Zbiór liczb caªkowitych, ze wzgl¦du na zwykªe dodawanie,
2) Zbiór liczb caªkowitych, ze wzgl¦du na zwykªe mno»enie,
3) Zbiór caªkowitych wielokrotno±ci liczby naturalnej n, ze zwykªym dodawaniem,
4) Zbiór liczb zespolonych, ró»nych od zera, ze wzgl¦du na mno»enie zespolone,
5) Pierwiastki n-tego stopnia z jedno±ci, wzgl¦dem mno»enia zespolonego,
6) Zbiór macierzy kwadratowych stopnia
n
, o wyrazach rzeczywistych, wraz z
mno»eniem macierzowym,
7) Zbiór macierzy kwadratowych, nieosobliwych, stopnia n, wraz z mno»eniem
macierzowym.
2. W zbiorze liczb caªkowitych okre±lamy dziaªanie
a
◦ b = a + b + 2.
Czy zbiór liczb caªkowitych stanowi grup¦ ze wzgl¦du na to dziaªanie?
3. W zbiorze liczb rzeczywistych nale»¡cych do przedziaªu A = [−1, ∞) okre±lamy
dziaªanie
a
∗ b = ab + a + b.
Sprawdzi¢, czy zbiór A wraz z dziaªaniem ∗ stanowi grup¦ abelow¡.
4. Niech (G
1
,
◦) oraz (G
2
,
) b¦da dwiema grupami. Udowodni¢, »e zbiór par
(g
1
, g
2
) ,
gdzie g
1
∈ G
1
,
g
2
∈ G
2
, tworzy grup¦ wzgl¦dem dziaªania okre±lonego
wzorem:
(g
1
, g
2
)
5 (g
0
1
, g
0
2
) = (g
1
◦ g
0
1
, g
2
g
0
2
) ,
g
1
, g
0
1
∈ G
1
, g
2
, g
0
2
∈ G
2
.
Grup¦ t¦ nazywamy sum¡ prost¡ grup (G
1
,
◦) oraz (G
2
,
) .
5. Niech G = [0, 2). Okre±lmy w G dziaªanie
a
⊕ b = a + b − 2 [a + b] .
Sprawdzi¢, czy G wraz z dziaªaniem ⊕ stanowi grup¦.
6. Zbada¢, czy zbiór wielomianów R[x] podzielnych przez wielomian x
2
+ 1
stanowi grup¦ ze wzgl¦du na mno»enie.
7.
Wykaza¢, »e zbiór B
n
wszystkich ciagów n-elementowych (a
1
, a
2
, ..., a
n
)
,
których elementami s¡ zera i jedynki jest grup¡ abelow¡ sko«czon¡ wzgl¦dem dzi-
aªania
(a
1
, a
2
, ..., a
n
)
5 (b
1
, b
2
, ..., b
n
) =
a
1
+
2
b
1
, a
2
+
2
b
2
, ..., a
n
+
2
b
n
.
1
Okre±li¢ rz¡d tej grupy.
8. Udowodni¢, »e grupa której ka»dy element speªnia warunek a
2
= e (e
-element neutralny)
jest abelowa.
9. Sprawdzi¢, czy zbiór liczb rzeczywistych z dziaªaniem
x ~ y =
5
√
x +
5
√
y
5
, x, y
∈ R,
stanowi grup¦ abelow¡.
10. Centrum grupy
G
nazywamy zbiór tych elementów
G,
które s¡
przemienne z dowolnym elementem grupy G :
Z(G) =
a
∈ G; ∧
g
∈G
ag = ga
.
Wykaza¢, »e Z (G) jest podgrup¡ grupy G.
11. Wyznaczy¢ centrum grupy macierzy postaci:
1 a b
0 1 c
0 0 1
,
gdzie a, b, c ∈ R.
12. Czy nast¦puj¡ca podgrupa grupy wszystkich izometrii pªaszczyzny jest cyk-
liczna:
a) podgrupa wszystkich przesuni¦¢,
b) podgrupa przesuni¦¢ o ustalony wektor v,
c) podgrupa zªo»ona z to»samo±ci i ustalonej symatrii osiowej,
d) podgrupa obrotów dokoªa ustalonego punktu o k¡t π,
e) podgrupa wszystkich obrotów dokoªa ustalonego punktu?
13.
Udowodni¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n, grupa reszt Z/n jest
cykliczna.
Grupy permutacji
14. Obliczy¢ τσ, τσ
2
, στ σ
−1
, (τ σ)
2
, στ
−1
,
gdzie
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8
7 3 1 8 2 4 5 6
,
τ =
1 2 3 4 5 6 7 8
4 8 6 5 2 3 1 7
.
16. Rozªo»y¢ na iloczyn cykli permutacje:
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 3 1 7 2 9 6 4 5
,
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 8 4 5 2 9 1 7 3
.
17. Znale¹¢ permutacj¦ ξ speªniaj¡ca równanie τξσ = ρ, gdzie
σ =
1 2 3 4 5
5 3 1 4 2
,
τ =
1 2 3 4 5
4 5 1 2 3
,
ρ =
1 2 3 4 5
2 4 5 3 1
.
18. Niech
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 5 1 9 2 7 6 4 3
, τ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 9 1 4 2 3 7 8 5
.
a) Przedstawi¢ permutacje w postaci iloczynu transpozycji.
b) Obliczy¢ sgn σ, i sgn τ.
19. Dla jakich liczb naturalnych n permutacja
1
2
... n
− 1 n
n n
− 1 ...
2
1
jest parzysta ?
20. Obliczy¢ ilo±¢ inwersji w nast¦puj¡cych ci¡gach:
a)
1, 2, ... , m, n, n
− 1, ... , m + 1
, (m < n) ,
b)
n, n
− 1, ... , m + 1, 1, 2, ... , m
(m < n)
.
Homomor zmy, izomor zmy grup
20. Wskaza¢, które z przeksztaªce« grupy addytywnej liczb caªkowitych na siebie
s¡ homomor zmami:
a) ϕ (n) = 2n,
b) ϕ (n) = 2n + 1,
c) ϕ (n) = n?
W przypadku gdy ϕ jest homomor zmem wyznaczy¢ j¡dro.
21. Wykaza¢, »e grupa macierzy nieosobliwych stopnia n o elementach rzeczy-
wistych odwzorowuje si¦ homomor cznie na grup¦ multiplikatywn¡ liczb rzeczy-
wistych. Co jest j¡drem tego homomopr zmu?
3
22. Dla jakich grup odwzorowanie a → a
−1
jest automor zmem?
23. Zbada¢, czy grupa multiplikatywna liczb rzeczywistych ró»nych od zera jest
izomor czna z grup¡ addytywn¡ liczb rzeczywistych.
24. Wyznaczy¢ nietrywialny homomor zm grup:
a) Z/8 → Z/12,
b) Z/12 → Z/8.
25. Wykaza¢, »e zbiór A = [0, 1) z dziaªaniem
x
⊕ y = x + y − [x + y]
jest grup¡ izomor czn¡ z grup¡ multiplikatywn¡ liczb zespolonych o module równym
jeden.
26. Wykaza¢, »e grupa addytywna Z/n jest izomor czna z grup¡ multiplikatywn¡
pierwiastków n-tego stopnia z jedno±ci.
27. Wykaza¢, »e zbiór U macierzy postaci
1 x
0 1
,
gdzie x ∈ R, stanowi podgrup¦ macierzy trójk¡tnych stopnia 2 izomor czn¡ z
multiplikatywn¡ grup¡ R
+
.
29. Wykaza¢, »e zbiór obrotów dowolnego n-k¡ta foremnego dokoªa jego ±rodka
stanowi grup¦ izomor czn¡ z pewn¡ podgrup¡ grupy permutacji parzystych grupy
S
n
.
Dzielnik normalny. Grupy ilorazowe
30 Wykaza¢, »e H jest dzielnikiem normalnym grupy G wtedy i tylko wtedy
gdy dla dowolnego a ∈ G i dowolnego h ∈ H iloczyn a h a
−1
∈ H.
31. Wykaza¢, »e grupa macierzy stopnia n o elementach rzeczywistych i o wyz-
nacznikach równych 1 (tzw. grupa unimodularna) jest dzielnikiem normalnym
w grupie wszystkich macierzy rzeczywistych nieosobliwych stopnia n z mno»eniem
jako dziaªaniem.
32. Dowie±¢, »e zbiór macierzy M macierzy postaci
a b
0 1
,
gdzie a, b ∈ R, a 6= 0,
4
jest grup¡ ze wzgl¦du na mno»enie macierzy. Dla jakich warto±ci parametrów a, b,
M
jest dzielnikiem normalnym?
33. Grupa S
3
ma nast¦puj¡ce podgrupy wªa±ciwe:
A
3
:
1 2 3
1 2 3
,
1 2 3
2 3 1
,
1 2 3
1 3 2
;
S
2
:
1 2 3
1 2 3
,
1 2 3
2 1 3
;
S
0
2
:
1 2 3
1 2 3
,
1 2 3
3 2 1
;
S
00
2
:
1 2 3
1 2 3
,
1 2 3
1 3 2
.
Które z nich s¡ dzielnikami normalnymi?
34. Wykaza¢, »e je±li A oraz B s¡ dzielnikami normalnymi grupy G i a ∈ A,
b
∈ B, to a b a
−1
b
−1
∈ A ∩ B.
35..Wykaza¢, »e grupa ilorazowa której elementami s¡ póªproste wychodz¡ce z
poczatku ukªadu wspóªrz¦dnych w
R
2
,
jest izomor czna z grup¡ multiplikaty-
wn¡ liczb zespolonych o module równym jedno±ci.
36. Podzielmy grup¦ addytywn¡ wielomianów o wspóªczynnikach rzeczywistych
przez podgrup¦ wielomianów podzielnych przez x
2
− 1.
Wykaza¢, »e otrzymana
grupa ilorazowa jest izomor czna z grup¡ addytywn¡ R
2
.
37. Podzielmy multiplikatywn¡ grup¡ liczb zespolonych, ró»nych od zera, przez
podgrup¦ liczb zespolonych o module równym 1. Wykaza¢, »e ta grupa jest izomor-
czna z multiplikatywn¡ grup¡ liczb rzeczywistych dodatnich.
Pier±cienie i ciaªa
38. Sprawdzi¢, które z nast¦pujacych zbiorów s¡ pier±cieniami (za ka»dym razem
jako dzialania rozpatruje si¦ zwykªe w tym zbiorze dodawanie i mno»enie):
a) zbiór liczb zespolonych postaci bi, gdzie b jest liczba rzeczywist¡,
b zbiór liczb postaci a + b
3
√
2 + c
3
√
4,
gdzie a, b, c s¡ liczbami wymiernymi,
c) zbiór liczb postaci a + b
√
2 + c
√
3,
gdzie a, b, c s¡ liczbami wymiernymi,
d) zbiór macierzy postaci
a
b
2b a
,
gdzie a, b s¡ liczbami wymiernymi,
e) zbiór funkcji rzeczywistych okre±lonych na prostej.
39. W pier±cieniu Z/10 rozwi¡za¢ ukªad równa«
x + y = 3,
x
− y = 1.
5
40. W Z/12 rozwi¡za¢ równania
a)
x
2
− 7x = 0,
b)
x
3
− 2x
2
+ 3 = 0,
c)
(x
− 1) (x + 1) = 1.
41. Czy zbiór wektorów przestrzeni R
3
wraz z dodawaniwm wektorów i iloczynem
wektorowym stanowi pier±cie«? Czy istniej¡ tu dzielniki zera?
42. Sprawdzi¢, które z nast¦pujacych zbiorów s¡ ciaªami (za ka»dym razem jako
dzialania rozpatruje si¦ zwykªe w tym zbiorze dodawanie i mno»enie):
a) wielomiany o wspóªczynnikach caªkowitych,
b) zbiór liczb postaci a + b
3
√
2 + c
3
√
4,
gdzie a, b, c s¡ liczbami wymiernymi?
c) zbiór postaci a + b
3
√
2
, gdzie a, b s¡ liczbami wymiernymi.
43. Udowodni¢,»e zbiór liczb rzeczywistych z dziaªaniami
a
⊕ b = a + b + 1,
a } b = a + b + ab
jest ciaªem. (Nie jest to ciaªo liczbowe.)
Homomor zmy, izomor zmy ciaª i pier±cieni
44. Udowodni¢, odwzorowanie ciaªa liczb zespolonych na siebie dane wzorem h(z) =
_
z
, z ∈ C, jest izomor zmem.
45. Czy ciaªo liczbowe zªo»one z liczb postaci: a + b
√
2,
a, b
∈ Q, jest izomor-
czne z ciaªem liczbowym zªo»onym z liczb postaci: a + b
√
3,
a, b
∈ Q?
46. Udowodni¢, »e ciaªo macierzy postaci
a
b
2b a
,
gdzie a, b ∈ Q, jest izomor czne z ciaªem liczb postaci a + b
√
2,
a, b
∈ Q.
47. Udowodni¢, »e pier±cie« wielomianów jednej zmiennej o wspóªczynnikach rzeczy-
wistych odwzorowuje sie homomor cznie na ciaªo liczb rzeczywistych.
6
Wielomiany
48. Znale¹¢ sum¦ i iloczyn wielomianów
x
3
+ 2 i x
2
− 1 + i,
i x
2
+ 3 x
2
− (1 + i) x
0
w pier±cieniu C [x] wielomianów nad ciaªem C liczb zespolonych.
49. Na przykªadzie odpowiednio dobranych wielomianów o wspóªczynnikach z pier±-
cienia Z/8 pokaza¢,»e stopie« iloczynu dwu wielomianów mo»e by¢ mniejszy od
sumy stopni czynników.
50. Wykaza¢, »e wielomiany 1 − x oraz 1 − x
3
okre±laj¡ w ciele Z/3 jedn¡
i t¦ sam¡ funkcj¦.
51. Znale¹¢ warto±ci wielomianów
x
5
+ 3x
4
− x
2
+ 1,
3x
5
+ 2x
4
− 2x
2
+ x
− 3,
w pier±cieniu Z/6, dla x = 3.
52. Przedstawi¢ wielomian
x
4
+ 3x
3
+ x
2
+ x + 2
z pier±cienia wielomianów nad pier±cieniem Z/4 w postaci iloczynu wielomianów
stopnia pierwszego.
53. Obliczy¢ ilorazy i reszty powstaªe z dzielenia podanych wielomianów w R [x].
a) P (x) = 6x
4
+ 3x
2
− x − 3, Q (x) = x
2
− 1,
b) P (x) = x
3
+ 3x
2
− x − 2, Q (x) = x
2
− 2x + 3.
c) P (x) = 2x
7
+ 3x
4
− x + 1, Q (x) = x
3
+ x
4
+ x + 1.
54. Wyznaczy¢ iloraz i reszt¦ z dzielenia wielomianu f przez g w Z [x] oraz
Z/8 [x] ,
gdy
f (x) = 5x
3
+ 2x
2
− x − 7,
g(x) = x
2
+ 3x
− 1.
55. Znale¹¢ wszystkie pierwiastki caªkowite podanych wielomianów:
a) x
3
− 2x
2
+ 5x + 8,
b) x
4
− 7x
3
+ 4x
2
+ 3,
c) 4x
4
− 4x
3
− 7x
2
− x − 2.
56. Znale¹¢ wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:
a) 24x
3
− 10x
2
− 3x + 1,
b) 4x
4
+ x
2
− 3x + 1.
7
57. Policzy¢ najwi¦kszy wspólny dzielnik wielomianów
8x
5
− 2x
4
− 2x
3
+ 8x
2
− 7x + 2,
x
4
− 4x + 3 ∈ R [x] .
58. Dane s¡ wielomiany
f (x) = 3 (x
− 1)
4
(x + 1)
3
x
2
+ 1
,
g (x) =
−6 (x − 1)
2
(x + 1)
7
x
2
+ 1
2
x
2
+ 4
.
Znale¹¢ najwi¦kszy wspólny dzielnik i najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±¢ tych wielo-
mianów.
Liczby zespolone
Podstawowe wªasno±ci
1. Wykona¢ podane dziaªania:
a) (−3 + 2i) + (4 + i) ,
b)
(7
− 6i) − (1 + 4i) ,
c)
1 + i
√
3
· (3 − 2i) ,
d)
5+3i
1
− i
.
2. W zbiorze liczb zespolonych rozwi¡za¢ podane równania :
a) z
2
−
_
z = 0
b) z
2
+ z
− 2 = 0
c) 2z + (1 + i)
_
z = 1
− 4i
3. Znale¹¢ takie liczby rzeczywiste λ i µ aby zachodziªy równo±ci:
a) λ (2 + 3i) + µ (4 − 5i) = 6 − 2i,
b) λ (4 − 3i)
2
+ µ (1 + i)
2
= 7
− 12i,
c)
2λ
−3i
5+3i
+
3µ+2i
3
−5i
= 0.
Posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej Wzór de'Moivre'a
4. Przedstawi¢ w postaci trygonometrycznej (bez u»ycia tablic ) nast¦puj¡ce
liczby zespolone:
a) 1, −1, i, −i,
b) 1 + i, 1 − i, −1 − i,
c)
√
6 +
√
2 + i
√
6
−
√
2
,
d) −
√
5.
5.
Wykona¢ dziaªania stosuj¡c przedstawienie liczby zespolonej w postaci
trygonometrycznej:
8
a)
(1 + i)
1
− i
√
3
,
b)
1 + i
1
− i
√
3
,
c)
√
6 +
√
2 + i
√
6
−
√
2
√
3 + i
!
,
d)
(1 + i)
7
.
6. Obliczy¢. Wynik poda¢ w postaci algebraicznej liczby zespolonej):
a)
1+i
i
−
√
3
2004
.
)
√
3
− i
100
,
b) (cos 33
0
+ i sin 33
0
)
10
,
c) − cos
π
7
+ i sin
π
7
14
,
d)
1+i
i
−
√
3
2004
,
e) Re
(
√
3+i
)(
−1+i
√
3
)
(1+i)
2
.
7. Korzystaj¡c ze wzoru de Moivre'a wyprowadzi¢ wzory na:
a) sin 3x,
b) cos 5x,
c) sin 6x.
8. Udowodni¢ nast¦puj¡ce wzory:
a)
cos 2nx =
n
X
k=0
2n
2k
(
−1)
k
cos
2(n
−k)
x sin
2k
x,
b)
sin 2nx =
n
−1
X
k=0
2n
2k + 1
(
−1)
k
cos
2(n
−k)−1
sin
2k+1
x,
gdzie x ∈ R, a n ∈ N.
9. Obliczy¢ i narysowa¢ na pªszczy¹nie zespolonej podane pierwiastki:
a)
√
−2i,
b)
4
p
−8 + 8
√
3 i,
c)
6
√
1.
10. Przedstawi¢ w postaci algebraicznej pierwiastki kwadratowe nastepuj¡cych
liczb zespolonych, bez posªugiwania si¦ postacia trygonometryczn¡ liczby zespolonej:
a)
i,
−i,
b)
3 + 4i,
8 + 6i,
c)
− 2 − 3i.
11. Obliczy¢:
a)
4
√
16,
b)
4
√
−1,
c)
4
√
i.
12. Znale¹¢ rozwi¡zania podanych równa«:
a)
z
4
= (1
− i)
4
,
9
b)
(z
− 1)
6
= (i
− z)
6
,
c)
z
3
= (iz + 1)
3
.
13. Rozwi¡za¢ równanie kwadratowe:
a)
z
2
− 3z + 3 + i = 0,
b)
(4
− 3i) z
2
− (2 + 11i) z − (5 + i) = 0,
c)
z
2
+ 2 (1 + i) z + 2i = 0.
14. Rozwi¡za¢ równanie dwukwadratowe:
a)
z
4
− 2z
2
+ 4 = 0,
b)
z
4
− (18 + 4i) z
2
+ 77
− 36i = 0.
15. Rozwi¡za¢ równanie:
a)
(z
3
− i) (z
2
− 5iz − 6) = 0,
b)
z
6
− (1 + 8i) z
3
+ 8i = 0,
c)
(z
− i)
n
+ (z + i)
n
= 0,
d)
z
6
= 1
− i
√
3
12
,
e)
z
4
=
−18
1 + i
√
4
.
16.
Niech ε
i
oznacza i-ty pierwiastek n-tego stopnia z jedno±ci, i =
1, 2, ..., n
− 1. Policzy¢
a)
ε
0
+ ε
1
+ ... + ε
n
−1
,
b)
ε
0
· ε
1
· ... · ε
n
−1
.
Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
17. Poda¢ interpretacj¦ geometryczn¡ zbioru liczb zespolonych speªniaj¡cych
warunek:
a) |z − i| = |z + 2| ,
b) 3 ≤ |z + i| ≤ 5
c) |z − 2 + i| = 6,
d) Imz ≤ 3 i Rez ≥ 5.
e) 0 < Argz
3
<
π
2
,
f) Arg (z − 1) =
π
3
,
g) 0 ≤ Arg (z − 3 + 2i) ≤
π
3
,
h)
|z − 1|
|z + 1|
= λ,
λ
≥ 0,
i)
log
√
3
|z|
2
+
|z| + 1
2 +
|z|
!
< 1.
10
18. Zaznaczy¢ na pªaszczy¹nie zespolonej zbiór A ∩ B, gdy
a)
A =
{z ∈ C; 1 ≤ |z + 1 + 2i| ≤ 2} ,
B =
z ∈ C; −
π
2
≤ Arg (z + 1) ≤ 0
,
b)
A =
{z ∈ C; Im (z
2
) = 2
} ,
B =
z ∈ C; [Re (z + i)]
2
= 1
,
c)
A =
z ∈ C; 0 < Arg (i z) <
π
2
,
B =
{z ∈ C; |z| = Re z + 1} ,
d)
A =
{z ∈ C; Arg (z
6
) = π
} ,
B =
{z ∈ C; |z + i| + |z − i| < 2} .
19. Udowodni¢ to»samo±¢:
|z
1
+ z
2
|
2
+
|z
1
− z
2
|
2
= 2
|z
1
|
2
+
|z
2
|
2
.
Jaki jest sens geometryczny tej to»samo±ci?
Macierze - dziaªania na macierzach
1. Wykona¢ podane dziaªania:
a)
1 n
0 1
·
1 m
0
1
;
b)
cos α − sin α
sin α
cos α
·
cos β − sin β
sin β
cos β
;
c)
3
0
3
2
−3 0
3
−5 1
·
3 0
2 2
0 3
;
d)
1 3
5 0
3 1
·
0 1 0 2 0
1 3 5 7 9
;
f )
1 2 0 0
2 1 0 0
0 0 1 3
0 0 3 1
·
1 1
0
0
1 1
0
0
0 0
1
−1
0 0
−1
1
;
g)
1
1
1
−1
−5
−3
−4
4
5
1
4
−3
−16 −11 −15 14
·
7
−2 3 4
11
0
3 4
5
4
3 0
22
2
9 8
.
2. Policzy¢
11
a)
1 −2
3
−4
3
;
b)
4 −1
5
−2
5
;
c)
2 −1
3
−2
n
;
d)
cos α − sin α
sin α
cos α
n
;
e)
1 1 1 . . . 1
0 1 1 . . . 1
0 0 0 . . . 1
.
.
.
. . .
.
0 0 0 . . . 1
3
;
f )
1 1 0 0 . . . 0 0
0 1 1 0 . . . 0 0
0 0 1 1 . . . 0 0
.
.
.
.
. . .
.
.
0 0 0 0 . . . 0 1
n
;
g)
3 0 2 0
0 1 2 1
2 3 0 0
·
1
−2
2
2
−1
1
−1
1
−2
2
2
−1
+
−2
0
−3
0
6
−3
−3 −2
0
.
3. Znale¹¢ macierze odwrotne do macierzy
a)
2 3
4 3
,
b)
3
−4
5
2
−3
1
3
−5 −1
,
c)
1
2
2
2
1
−2
2
−2
1
,
d)
1
1
1
1
1
1
−1 −1
1
−1
1
−1
1
−1 −1
1
.
Rozwi¡zywanie ukªadów równa« liniowych metod¡ Gaussa-
Jordana
Nast¦puj¡ce ukªady równa« rozwi¡za¢ stosuj¡c metod¦ eliminacji Gaussa-Jordana:
a)
x + y + 2z =
1
b)
− 2x + 3y + 3z = −9
c)
x + y + z = 4
3x
− y + z = −1
3x
− 4y + z = 5
x + z = 5
−x + 3y + 4z =
1
− 5 x + 7y + 2z = −14
2x + 5y + 2z = 5,
d)
x
1
+ 3x
2
+ x
3
= 4
e)
3x
1
+ x
2
− 2x
3
= 11
−3x
1
+ x
2
= 4
− 2x
1
+ x
2
+ 3x
3
=
−5
2x
1
+ 3x
2
+ x
3
= 3,
2x
1
+ x
2
− x
3
= 8,
f )
x
1
− 3x
2
− x
4
=
−1
g)
x
1
− x
2
+ x
3
− 2x
4
+ x
5
= 0
−x
1
+ 3x
2
+ x
3
+ x
4
=
3
3 x
1
+ 4x
2
− x
3
+ x
4
+ 3x
5
= 1
2x
1
− 6x
2
+ x
3
− x
5
=
−1
x
1
− 8x
2
+ 5x
3
− 9x
4
+ x
5
=
−1
−x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ 5x
4
+ x
5
=
6,
2 x
1
− 9x
2
+ 6x
3
+ 11x
4
+ 2x
5
=
−1.
12
h)
6 x
1
− 4x
2
+ 5x
3
+ 2x
4
+ 3x
5
= 1
i)
2 x
1
− x
2
+ x
3
+ 2x
4
+ 3x
5
= 2
3 x
1
− 2x
2
+ 4x
3
+ x
4
+ 2x
5
= 3
6 x
1
− 3x
2
+ 2x
3
+ 4x
4
+ 5x
5
= 3
3 x
1
− 2x
2
− 2x
3
+ x
4
=
−7
6 x
1
− 3x
2
+ 4x
3
+ 8x
4
+ 13x
5
= 9
9 x
1
− 6x
2
+ 3x
3
+ 3x
4
+ 2x
5
= 2
,
4 x
1
− 2x
2
+ x
3
+ x
4
+ 2x
5
= 1
,
j)
x
1
− x
2
+ 2x
3
− x
4
+ x
5
= 0
k)
2x
1
+ x
2
− x
3
+ x
4
− x
5
= 1
x
1
+ 2x
2
− x
3
+ x
4
+ 2x
5
= 1
x
1
− 2x
2
+ x
3
− x
4
− x
5
=
−1
x
1
+ 2x
3
− x
4
=
−1,
5x
1
− 2x
2
− 4x
5
= 0
,
l)
2x + 3y + 2z
− t = 3
2x +
y
+
z
+ 2s + 3t =
6
3x
− z
+
s
+
t
=
3
y
+ 4s +
t
=
1
2x +
y
+
z
− 2s + 5t = 8.
Macierze - macierz odwrotna, transponowana
4. Znale¹¢ macierz odwrotn¡ do macierzy stopnia n
a)
1 1 1 . . . 1
0 1 1 . . . 1
0 0 1 . . . 1
.
.
.
. . .
.
0 0 0 . . . 1
,
b)
1 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
0 0 1 . . . 0
.
.
.
. . .
.
0 0 0 . . . 1
,
c)
1 2 3 4 . . . n
− 1
n
0 1 2 3 . . . n
− 2 n − 1
0 0 1 2 . . . n
− 3 n − 2
.
.
.
.
. . .
.
.
0 0 0 0 . . .
1
2
0 0 0 0 . . .
0
1
.
5. Rozwi¡za¢ równanie macierzowe
a)
2 1
1 0
· A
T
−1
=
2 2
1 0
,
b)
1 2 3
1 2 4
3 2 1
· X =
−1
2
3
−1
1
1
,
13
6. Wyznaczy¢ macierz
A
− C
T
T
A B
2
,
gdzie A =
2
1
1
3
−2 0
, B =
1 2
3 4
, C =
1 1 1
0 5 1
.
7. Rozwi¡za¢ równania macierzowe
a) X
0 0 2
0 2 0
2 0 0
=
1 0 2
2 0 1
1 1 1
T
,
b)
1 1 0
0 2 0
0 1 2
1 0 1
T
X =
2 1
1 0
.
8. Korzystaj¡c z wªasno±ci dziaªa« na macierzach oraz wªasno±ci transponowa-
nia macierzy uzasadni¢ nast¦pujace to»samo±ci
a)
(ABC)
T
= C
T
B
T
A
T
,
gdzie A, B, C s¡ macierzami o wymiarach odpowiednio n x m, m x k, k x l;
b)
(A
± B)
2
= A
2
± 2AB + B
2
,
gdzie A i B s¡ przemiennymi macierzami kwadratowymi tych samych stopni.
Macierze - równania macierzowe
9. Rozwi¡za¢ równanie
a)
1
1
1
2
4
0
5
−1 1
· X =
3
−5
1
,
b)
1
2 3
−1 0 2
3
3 3
· X =
2 2
3 3
4 6
.
10. Znale¹¢ wszystkie macierze A takie, »e
1 2
0 1
· A = A ·
1 2
0 1
.
14
11. Rozwi¡za¢ równania
a) X
− iX
T
=
1
−2
−3
2
,
b) X
· X
T
− X
2
=
−3
0
1
−1
.
12. Sprawdzi¢, »e macierz A =
1 −1
0
2
speªnia równanie A
2
−3A+2I = 0 i
korzystaj¡c z tego faktu pokaza¢,»e
i korzystaj
¡c
A
−1
=
1
2
(3I
− A) ,
I
jest tu macierz¡ jednostkow¡ stopnia drugiego
5. Udowodni¢ nast¦puj¡ce wªasno±ci macierzy:
a) Ró»nica dwóch macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierz¡
diagonaln¡.
b) Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A - A
T
jest sko´
snie symetryczna.
Macierz kwadratow¡ P nazywamy idempotentn¡ je»eli P
2
= P.
c) Je»eli macierz P jest idempotentna, to dla ka»dej macierz A tego samego
stopnia co P macierz
Q = P + AP - PAP jest idempotentna.
d) Je»eli macierz P jest macierza idempotentn¡, to macierz Q = I - aP jest
odwracalna dla a 6= 1 i
Q
−1
= I +
a
1
−a
P.
e) Je»eli macierze AB i ABC sa odwracalne, to macierz C jest odwracalna.
Wyznaczniki
1. Policzy¢ wyznaczniki:
a)
1 3
2 4
;
b)
i
1
− i
2i
1
;
c)
sin α
cos α
− cos α sin α
;
d)
z
−
_
z
z
_
z
;
e)
1
1
1
−1
0
1
−1 −1 0
;
f )
0 1 1
1 0 1
1 1 0
;
g)
a
a
a
−a
a
x
−a −a x
;
h)
1
i
1 + i
−i
1
0
1
− i 0
1
;
i)
1
1
1
1
ω
ω
1 ω
2
ω
, gdzie ω = cos
2π
3
+ i sin
2π
3
;
j)
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
;
15
k)
1
−1
1
−1
1
i
−1 −i
1
1
1
1
1
2
4
8
;
l)
0
0
i
0 1
0
0
0 0 2
0
0
2
i
0
cos x
− sin x 0 0 0
sin x
cos x
2
i
0
;
ª)
6 9 4 3 8
9 0 6 0 0
4 2 5 0 7
2 0 7 0 1
8 0 5 0 0
.
2. Elementy macierzy A oraz A
−1
s¡ liczbami calkowitymi. Jaka jest warto±¢
wyznacznika macierzy A?
3. Korzystaj¡c z indukcji matematycznej uzasadni¢ podane to»samo±ci:
a) W
n
=
5 3 0
· · · 0 0
2 5 3
· · · 0 0
0 2 5
· · · 0 0
... ... ... ... ... ...
0 0 0
· · · 5 3
0 0 0
· · · 2 5
= 3
n+1
− 2
n+1
, n
− stopie´n wyznacznika;
b) W
n
=
1 1 1
· · ·
1
1
1 2 2
· · ·
2
2
1 2 3
· · ·
3
3
... ... ... ...
...
...
1 2 3
· · · n − 1 n − 1
1 2 3
· · · n − 1
n
= 1, n
−stopie« wyznacznika.
4. Nie obliczaj¡c wyznaczników znale¹¢ rozwi¡zania podanych równa«:
a)
2
2
2 4x
− 2
2
2
2
4
3
x + 2 3
6
x + 1
4
4
8
= 0;
b)
1
x
2
4x
−1
1
−2
−4
1
−1 x
2
− 2 x + 3
−1
1
−2
−4
= 0.
5. Obliczy¢ podane wyznaczniki stopnia n:
a)
1
2
3
· · · n
−1
0
3
· · · n
−1 −2
0
· · · n
... ... ... ... ...
−1 −2 −3 · · · 0
;
b)
1 2 2
· · · 2
2 1 2
· · · 2
2 2 1
· · · 2
... ... ... ... ...
2 2 2
· · · 1
; c)
0 0 0
· · · 0 1
0 0 0
· · · 1 0
... ... ... ... ... ...
1 0 0
· · · 0 0
.
16
6. Jakie s¡ mo»liwe warto±ci wyznacznika macierzy rzeczywistej A stopnia n,
je»eli:
a) A
2
= 8A
−1
;
b) A
3
− A = 0;
c) A
T
= 4A
−1
?
7. Korzystaj¡c z twierdzenia o macierzy odwtotnej znale¹¢ macierze odwrotne
do podanych macierzy:
a)
2 4
1 3
;
b)
cos α − sin α
sin α
cos α
, gdzie α
∈ R;
c)
1 3 0
1 4 0
1 1 1
.
8. Policzy¢ wyznaczniki:
a)
−x
a
b
c
a
−x
c
b
b
c
−x
a
c
b
a
−x
;
b)
1
1
2
3
1 2
− x
2
2
3
2
3
1
5
2
3
1 9
− x
2
;
c)
1 + x
1
1
1
1
1 + x
1
1
1
1
1
− z
1
1
1
1
1
− z
9. Niech A i B b¦d¡ macierzami tego samego stopnia. Wskaza¢ które z
podanych ni»ej wzorów s¡ ogólnie prawdziwe. Do wzorów nieprawdziwych poda¢
kontrprzykªady.
a) det (A + B) = det A + det B;
b) det (λA) = λ det A,
gdzie λ ∈ R;
c) det (A
2
) = det A det(A
T
).
Wyznacznikiem Vandermonde'a nazywamy wyznacznik postaci
V
n
=
1 x
1
x
2
1
· · · x
n
−1
1
1 x
2
x
2
2
· · · x
n
−1
2
... ... ... ... ...
1 x
n
x
2
n
· · · x
n
−1
n
=
Y
1
≤l<k≤n
(x
k
− x
l
).
10. Wykaza¢, »e
a)
1 1
1
· · ·
1
1 2
4
· · · 2
n
−1
1 3
9
· · · 3
n
−1
... ... ... ... ...
1 n n
· · · n
n
−1
=
∞
Y
k=1
k! ;
b)
1
2
3
. . .
n
1 2
2
3
2
· · · n
2
... ... ... ... ...
1 2
n
3
n
· · · n
n
=
∞
Y
k=1
k! .
17
ω (λ) =
a
11
− λ
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
− λ · · ·
a
2n
...
...
...
...
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
− λ
.
11. Znale¹¢ wielomian charakterystyczny macierzy diagonalnej stopnia n która
na gªównej przek¡tnej ma kolejne liczby naturalne.
Poj¦cie przestrzeni wektorowej.
Podprzestrzenie
liniowe
Zadanie 1. Wykaza¢, K
n
, gdzie K jest ciaªem liczb rzeczywistych lub ciaªem liczb
zespolonych, z dziaªaniami:
(x
1
, x
2
, ..., x
n
) + (y
1
, y
2
, ..., y
n
) = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, ..., x
n
+ y
n
) ,
α (x
1
, x
2
, ..., x
n
) = (αx
1
, αx
2
, ..., αx
n
) ,
α
, x
i
, y
i
∈ K dla i ∈ {1, 2, ..., n} , jest przestrzeni¡ wektorow¡ nad ciaªem K.
Zadanie 2. Wykaza¢, »e zbiór C
(a,b)
wszystkich funkcji okre±lonych na przedziale
(a, b) ,
przyjmuj¡cych warto±ci rzeczywiste, stanowi przestrze« wektorow¡ nad
ciaªem liczb rzeczywistych. ( Dodawanie funkcji i mno»enie funkcji przez
liczbe rzeczywist¡ okre±lone jest w sposób standardowy).
Zadanie 3. Wykaza¢, »e zbiór wielomianów o wspóªczynnikach rzeczywistych, stop-
nia ≤ n, n ∈ N, ze zwykªym dodawaniem i mno»eniem przez liczby rzeczy-
wiste, stanowi przestrzen wektorow¡ nad ciaªem liczb rzeczywistych.
18
Zadanie 4. Pokaza¢, korzystaj¡c z de nicji, »e zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy
trójk¡tnych górnych stopnia 2, wraz dodawaniem macierzy i mno»eniem macierzy
przez liczby rzeczywiste, stanowi przestrze« wektorow¡ nad ciaªem liczb rzeczy-
wistych.
Zadanie 5. Sprawdzi¢, czy W = {(x, y) ; x ∈ R, y = 0 ∈ R} z dziaªaniami:
(x, 0) (x
0
, 0) = (x + x
0
, 0) ,
α
(x, 0) = (αx, 0) , α
∈ R
2
,
jest podprzestrzeni¡ wektorow¡ przestrzeni R
2
.
Zadanie 6. Niech F = {f ∈ F; f : R → R}.
a)
Wykaza¢, »e F wraz ze zwykªym dodawaniem funkcji i mno»eniem funkcji
przez liczby rzeczywiste, stanowi przestrze« wektorow¡ nad ciaªem liczb rzeczy-
wistych.
b)
Pokaza¢, »e zbiór F
0,1
=
{f ∈ F; f(0) = f(1) = 0} stanowi podprzestrze«
liniow¡ przestrzeni F.
Zadanie 7. Oznaczmy symbolem F
[2,5]
przestrze« funkcji rzeczywistych ci¡gªych
na odcinku [2, 5]. Sprawdzi¢, czy zbiór V = f ∈ F
[2,5]
; f (2) = 3 F (5)
stanowi podprzestrze« liniow¡ przestrzeni F
[2,5]
.
Zadanie 8. Sprawdzi¢, czy zbiór wielomianów rzeczywistych podzielnych przez wielo-
mian x
2
+ 1
jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni wszystkich wielomianów
rzeczywistych.
Zadanie 9. Sprawdzi¢, czy zbiór
U =
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
)
∈ R
4
; x
1
+ x
2
− x
3
= 0
stanowi podprzestrze« liniow¡ przestrzeni R
4
.
Zadanie 10. Sprawdzi¢, czy zbiór
U =
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
)
∈ R
5
; x
1
+ 2x
2
− x
4
= 0, x
2
− 4x
3
+ x
5
− 1 = 0
jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni R
5
.
19
Zadanie 11. Uzasadni¢, »e podane zbiory W s¡ podprzestrzeniami liniowymi
odpowiednich przestrzeni liniowych V:
a) W =
{(x, y) ∈ R
2
; 2x = 3y
} , V = R
2
.
b) W =
{(x, y, z); x − y = y + z = 0} , V = R
2
,
c) W =
f ∈ C
[0,1]
; f
0
(0) = 0
, V = C
[0,1]
.
Zadanie 12. Czy podane zbiory W s¡ podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich
przestrzeni liniowych V?
a) W =
x
y
x + y 2x
; x, y
∈ R
,
V = M
2
(R) ,
b) W =
A; A A
T
=
0 0
0 0
,
V = M
2
(R).
Liniowa zale»no±¢ wektorów
Zadanie 13. Wektory (3,-2,5), (0,1,0) przedstawi¢ jako kombinacje liniowe wek-
torów:
a)
(3,
−2, 5) ,
(0,
−1, −1) ;
b)
(3,
−2, 5) ,
(1, 1, 1) ,
(0,
−5, 2) ;
c)
(1,
−2, 3) ,
(1, 0, 1) ,
(
−1, −2, 1) .
Zadanie 14. Zbada¢ liniow¡ zale»no±¢ nast¦puj¡cego ukªadu wektorów przestrzeni
R
3
a) (1, 0, 2) ,
(1, 3, 0),
(1, 1, 1),
b) (2, 3, 1) ,
(3, 2, 0) ,
(7, 8, 2) .
Zadanie 15. Wyznaczy¢ wszystkie warto±ci parametru
a
∈ R
takie, »e ukªad
wektorów
20
(1, 2, 2a) ,
(3, 2, 1) ,
(2, 0, a)
jest liniowo niezale»ny w R
3
.
Zadanie 16. Wyznaczy¢ wszystkie warto±ci parametru m dla których ukªad wek-
torów
(1, 2, 0) ,
(2,
−1, −1) ,
(0, m, 2)
w przestrzeni liniowej R
3
jest liniowo zale»ny.
Zadanie 17, Zbada¢ liniow¡ zale»no±¢ wektorów
a)
1, sin x, x;
b)
2, sin
2
x, cos
2
x, x
2
+ 1;
c)
2
x
,
2
x+1
,
cos x,
sin 2x;
d)
x + 1,
x
2
+ 1,
x
2
+ 2x + 2,
x
3
− 1,
x
3
− x
2
;
w przestrzeni funkcji rzeczywistych ci¡ªych na przedziale [0, 2π].
Zadanie 18, Sprawdzi¢, czy funkcje
x
2
+ 1,
sin x,
tgx
w przestrzeni funkcji ciagªych okre±lonych na przedziale
−
π
2
,
π
2
s¡ liniowo
niezale»ne.
Zadanie 19. Zbada¢, czy je±li wektory
u, v, w
∈ V(K) s¡ liniowo niezale»ne,
to wektory
a)
u + v,
u + v + w,
w,
b)
u + v
− w,
u
− v,
u + v;
te» s¡ liniowo niezale»ne?
Zadanie 20. Zbada¢ liniow¡ niezale»no±¢ wektorów I, A, A
2
,
dla A =
1 −1
2
1
w przestrzeni M
2
(R)
.
21
Podprzestrzenie liniowe przestrzeni wektorowych
Zadanie 21. Który z nast¦puj¡cych zbiorów jest podprzestrzeni¡ przestrzeni R
3
?
a)
U =
{ (x, y, 1) ; x, y ∈ R} ,
b)
U =
{ (x, y, z) ; x + 2y − z = 0, x, y, z ∈ R} ,
c)
U =
{ (0, 0, z) ; z ∈ R} ,
d)
U =
{ (x, y, 0) ; x
2
= y
2
, x, y
∈ R} ,
e)
U =
{ (x, y, z) ; x
2
+ y
2
+ z
2
, x, y, z
∈ R} ,
f )
U =
{ (x, x, z) ; x, z ∈ R} .
Zadanie 22. Które z nast¦puj¡cych zbiorów s¡ podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni
wielomianów stopnia ≤ 3, któr¡ oznaczamy symbolem P
3
?
a)
U =
{ ( f(x) ; f(2) = 1, f(x) ∈ P
3
} ,
b)
U =
{ x f(x) ; f(x) ∈ P
2
} ,
c)
U =
{ x f(x) ; f(x) ∈ P
3
} ,
d)
U =
{ x f(x) + (1 − x) g(x) ; f(x), g(x) ∈ P
2
} ,
e)
U =
{ f(x) ; f(2) = 0, f(x) ∈ P
3
} .
Zadanie 23. Które z podanych zbiorów s¡ podprzestrzeniami przestrzeni macierzy
M
2
(R)
?
a)
a b
0 c
; a, b, c
∈ R
,
b)
a b
c d
; a + b = c + d, a, b, c, d
∈ R
,
c)
A ; A ∈ M
2
(R), A = A
T
d)
{ A ; A ∈ M
2
(R), A B = 0
} , gdzie B jest pewn¡ macierz¡ nale»¡c¡ do
M
2
(R),
e)
{ A ; A ∈ M
2
(R), A
2
= A
} ,
f )
{A; A ∈ M
2
(R), det A = 0
} .
Zadanie 24. Które z nast¦puj¡cych zbiorów s¡ podprzestrzeniami przestrzeni F
[0,1]
22
a)
U =
{ f ; f(0) = 1} ,
b)
U =
{ f ; f(0) = 0} ,
c)
U =
{ f ; f(0) = f(1)} ,
d)
U =
{ f ; f(x) ≥ 0 dla ka ˙z deg o x ∈ [0, 1]} .
Zadanie 25. Który z podanych ni»ej wektorów jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów
x + 1,
x
2
+ x,
x
2
+ 2,
a) x
2
+ 3x + 2,
b) 2x
2
− 3x + 1,
c) x
2
+ 1,
d) x + 5.
Zadanie 26. Sprawdzi¢, czy wektor v jest elementem podprzestrzeni lin(u, w).
a)
v = (1,
−1, 2),
u = (1, 1, 1),
w = (0, 1, 3);
b)
v = (3, 1,
−3),
u = (1, 1, 1),
w = (0, 1, 3);
c)
v = (4, 1,
−3, 1),
u = (1, 0, 1, 0),
w = (2, 0, 1, 3);
d)
v = x,
u = x
2
+ 1,
w = x + 4;
e)
v = x
3
,
u = 2x
2
+ 1,
w = x
3
+ 2x
2
+ 4;
f )
v =
1
3
−1 1
,
u =
1 −1
2
1
,
w =
2 1
1 0
;
g)
v =
1 −4
5
3
,
u =
1 −1
2
1
,
w =
2 1
1 0
.
Zadanie 27. Niech x ∈ [0, π]. Które z podanych ni»ej funkcji s¡ elementami
podprzestrzeni lin(cos x
2
, sin
2
x)?
a) cos 2x,
b) sin 2x,
c) sin x + cos x,
d) x
3
,
e) x
2
+ 1,
f ) 1,
g) 5.
Zadanie 28. (a) Sprawdzi¢, czy przestrze« R
3
jest rozpi¦ta na wektorach (1, 2, 3), (0, 1, 2), (2, 0, 3).
23
(b)
Sprawdzi¢, czy przestrze« P
2
jest rozpi¦ta na wektorach
1 + 2x
2
, 3x, 1 + x.
(c)
Sprawdzi¢, czy przestrze« M
2
(R)
jest rozpi¦ta na wektorach
1 0
0 0
,
1 0
0 1
,
0 1
1 0
,
1 1
0 1
.
Baza i wymiar przestrzeni wektorowej
Zadanie 29. Sprawdzi¢ czy nast¦puj¡cy ukªad wektorów stanowi baz¦ przestrzeni
wektorowej V
a) ((1, 0, −1) , (1, −1, 0), (0, 1, −1)); V = R
3
,
b) ((1, 2, −1) , (3, −1, 0), (5, 3, −2)); V = R
3
,
c)
1
2
−1 0
,
1
0
−1 0
,
1 2
0 0
,
0
2
−1 1
;
V = M
2
(R)
,
d) 1 + x, x + x
2
, x
3
+ x
2
, x
3
;
V = P
3
,
e) (1, i, −1, 0), (0, 1, −i, 1 − i), (1, 0, 0, i), (0, 1 + i, 0, 0); V = C
4
.
Zadanie 30. Znale¹¢ baz¦ i wymiar nast¦puj¡cych podprzestrzeni przestrzeni R
4
.
a)
{(a, a + b, a − b, b) ; a, b ∈ R} ,
b)
{(a, b, c, d) ; a + 2b − c + 3d = 0, a, b, c, d ∈ R} ,
c)
{(a, b, c, d) ; a − 2b = 3c − d, 3b − 4d = a − 2c, a, b, c, d ∈ R} .
Zadanie 31. Znale¹¢ baz¦ i wymiar nast¦puj¡cych podprzestrzeni przestrzeni przestrzeni
M
2
(K).
a)
A ; A
T
=
−A
,
b)
A ; A
1
1
−1 0
=
1
1
−1 0
A
;
c)
A ; A
1
0
−1 0
=
0 0
0 0
A
,
d)
A ; A
1
1
−1 0
=
0
1
−1 1
A
.
24
Zadanie 32. Niech v = (1, 2, 0, 1, 3) ∈ R
5
.
a) Znale¹¢ baz¦ przestrzeni R
5
zawieraj¡c¡ wektor v,
b) Znale¹¢ baz¦ przestrzeni R
5
nie zawieraj¡c¡ wektora v.
Zadanie 33. Ukªad ((1, 2i, 0) , (0, 1, −i)) wektorów przestrzeni C
3
uzupeªni¢ do
bazy tej przestrzeni.
Zadanie 34. Wyznaczy¢ baz¦ i wymiar podprzestrzeni liniowej U zªo»onej ze
wszystkich wektorów (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
)
∈ R
5
speªniaj¡cych ukªad równa«:
x
1
− 2x
2
− x
3
+ x
4
− x
5
= 0,
x
2
− x
3
+ x
4
− x
5
= 0,
x
1
− x
2
+ 2x
3
− 2x
4
+ 2x
5
= 0,
x
1
+ 3x
2
− 2x
3
+ 2x
4
− 2x
5
= 0.
Zadanie 35. Wyznaczy¢ baz¦ i wymiar podprzestrzeni liniowej U zªo»onej ze
wszystkich wektorów (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
)
∈ R
4
speªniaj¡cych ukªad równa«:
2x
1
− x
2
+ x
3
+ x
4
= 0,
x
1
+ 2x
2
− x
3
− x
4
= 0,
x
1
− 3x
2
− x
3
− 2x
4
= 0,
x
1
+ x
2
− 2x
3
+ 2x
4
= 0.
Zadanie 36. Zaªó»my, »e ukªad wektorów (u, v, w) stanowi baze przestrzeni lin-
iowej V. Które z nast¦puj¡cych ukªadów wektorów przestrzeni V stanowi¡
baz¦ tej przestrzeni?
a) (u + v, u + w, v + w) ,
b) (2u + v+3w, 3u + v
− w, v−4w) ,
b) (u, u + v + w) ,
d) (u + v + w, 3u + v,
−w, v−4w) ,
Zadanie 37. Czy istniej¡ takie warto±ci parametrów a i b, by wektory (a, a + b, 0, 1) , (b, 2, a, 0)
stanowiªy baz¦ podprzestrzeni liniowej przestrzeni R
4
danej równaniami:
25
x
1
+ 2x
2
− x
3
+ x
4
= 0,
x
1
− x
2
+ x
3
− x
4
= 0.
Zadanie38. Wskaza¢ bazy i okre±li¢ wymiary podanych przestrzeni wektorowych:
a) V =
{p ∈ P
4
; p(1) + p(
−1) = p
0
(0)
} ,
b) V = lin 1, sin
2
x, cos 2x, cos
2
x
,
prz czym V ⊂ C(R).
(Symbol P
4
oznacza przestrze« liniow¡ wielomianów stopnia ≤ 4, a symbol
C(R)
oznacza przestrze« liniow¡ funkcji rzeczywistych ci¡gªych okre±lonych na
zbiorze liczb rzeczywistych.)
Suma. Suma prosta. Przestrzenie ilorazowe
Zadanie 1. Wyznaczy¢ V
1
+ V
2
.
Kiedy V
1
+ V
2
= V
1
⊕ V
2
?
a) V
1
=
{(x, 2x, z) ;
x, z
∈ R} ,
V
2
=
{(x, x, x) ;
x
∈ R} ,
b) V
1
=
{(x, 2x, z) ;
x, z
∈ R} ,
V
2
=
{(0, y, z) ;
y, z
∈ R} ,
c) V
1
=
{(x, y, x + y) ;
x, y
∈ R} ,
V
2
=
{(x, y, y) ;
x, y
∈ R} .
Zadanie 2. Zbada¢, czy R
3
= V
1
⊕ V
2
V
1
⊕ V
3
, je±li
V
1
=
(x, y, z) ∈ R
3
;
2x
− y = 0
,
V
2
=
(x, y, z) ∈ R
3
;
y + 3z = 0
,
V
3
=
(x, y, z) ∈ R
3
;
z = 0
.
Zadanie 3. Wykaza¢, »e je»eli V
0
=
{(x, y, z) ∈ R
3
;
x + y + z = 0
} ,
V
0
0
=
{(x, y, z) ∈ R
3
;
x = y = 0
} ,
s¡ podprzestrzeniami przestrzeni
R
3
, to
R
3
= V
0
+ V
00
.
Zadanie 4. Podprzestrze« U przestrzeni R
3
dan¡ równaniem x + y − z = 0
przedstawi¢ w postaci sumy prostej jej dwu podprzestrzeni jednowymiarowych.
26
Zadanie 5. Znale¹¢ równanie podprzestrzeni przestrzeni R
3
b¦d¡cej sum¡ prost¡
jej podprzestrzeni jednowymiarowych danych równaniami
x
1
=
y
2
=
z
3
,
x
2
=
y
1
=
z
2
.
Zadanie 6. Rozªo»y¢ przestrze« R
5
na sum¦ prost¡ swoich podprzestrzeni,
z ktorych jedna jest izomor czna z przestrzeni¡ R
3
, a druga z przestrzeni¡
R
2
.
Ogólnie: Rozªo»y¢ przestrze« K
n
na sum¦ prost¡ swoich podprzestrzeni,
z których jedna jest izomor czna z przestrzeni¡ K
p
, a druga z przestrzeni¡
K
q
,
p + q = n.
Zadanie 7. Niech V = V
1
⊕ V
2
, dimV = n.
Dowie±¢, »e je±li v
1
, v
2
, ..., v
p
jest baz¡ przestrzeni
V
1
, w
1
, w
2
, ..., w
q
jest baz¡ przestrzeni
V
2
,
p + q = n,
to v
1
, v
2
, ..., v
p
, w
1
, w
2
, ..., w
q
jest baz¡ przestrzeni V.
Zadanie 8. Dzielimy przstrze« R
3
przez jej podprzestrze« U dan¡ równaniem
x + y
− 2z = 0.
Znale¹¢ równania warstw elementów :
(1, 2, 0) , (3, 0, 1) ,
(1, 2, 3)
oraz równanie warstwy b¦d¡cej sum¡ warstw tych elementów.
Zadanie 9. Dzielimy przestrze« R
4
przez jej podprzestrze« U dan¡ równaniami
x
1
− 2x
2
+ 3x
4
= 0,
x
1
+ x
3
= 0
. Znale¹¢
a) równania warstw elementów (1, 1, 1, 1) i (0, 1, 2, 0),
b) równania warstwy b¦d¡cej sum¡ warstw elementów (1, 1, 1, 0) i (1, 1, 2, 0) ,
c)
równania warstwy b¦d¡cej ró»nic¡ warstw elementów
(1,
−1, 1, 2)
i
(1, 1,
−3, 0) ,
d) równania warstwy b¦d¡cej iloczynem warstwy elementu (1, −1, 1, 2) przez
liczb¦ 5.
Zadanie 10. W przestrzeni
C (R)
funkcji rzeczywistych ci¡gªych na prostej
rozwa»amy podprzestrze« zªo»on¡ z funkcji które przyjmuj¡ warto±¢ 0 na
przedziele
[
−1, 1] . Opisa¢ warstwy ilorazu przestrzeni
C (R)
przez t¦
podprzestrze«.
27
Zadanie 11. W przestrzeni
C (R)
funkcji rzeczywistych ci¡gªych na prostej
rozwa»amy podprzestrze« C
1
(R)
zªo»on¡ z funkcji które w 1 przyjmuj¡
warto±¢ 0. Wykaza¢, »e przestrze« ilorazowa C (R) /C
1
(R)
jest izomor czna z przestrzeni¡ R.
Zadanie 12. W przestrzeni
C (R)
funkcji rzeczywistych ci¡gªych na prostej
rozwa»amy podprzestrze« C
1
(R)
zªo»on¡ z funkcji które w 1 i −1 przyj-
muj¡ warto±¢ 0. Wykaza¢, »e przestrze« ilorazowa C (R) /C
1
(R)
jest izomor czna z przestrzeni¡ R
2
.
zadanie 13. Przestrze« wielomianów R [x] dzielimy przez podprzestrze« zªo»on¡
z wielomianów podzielnych przez wielomian
x
3
− x + 1. Jaki jest wymiar
otrzymanej przestrzeni ilorazowej?
Zadanie 14. Przestrze« wielomianów R [x] dzielimy przez podprzestrze« zªo»on¡
z wielomianów podzielnych przez wielomian
a) x
2
− 1,
b) x
2
+ 1,
Zbada¢, czy otrzymane przestrzenie ilorazowe s¡ izomor czne.
Zadanie 15. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ o wymiarze n . V
1
i V
2
niech bed¡ jej podprzestrzeniami takimi, »e V = V
1
⊕ V
2
.
Wykaza¢, »e V/V
1
jest izomor czna z V
2
oraz V/V
2
jest izomor czna z V
1.
Wskaza¢ bazy
otrzymanych przestrzeni ilorazowych.
Zadanie 16. Przestrze« R
3
dzielimy przez jej podprzestrze« dan¡ równaniami
x
2
=
y
1
=
z
3
.
Znale¹¢ baz¦ otrzymanej przestrzeni ilorazowej.
Ukªady równa« liniowych. Rz¡d macierzy
Zadanie 1.
Rozwi¡za¢ podane ukªady równa« stosuj¡c metod¦ macierzy odwrot-
nej:
28
a)
x
+
y
+
z
=
4
2x
− 3y + 5z = −5
−x + 2y − z
=
2
;
b)
y + z + t =
4
x
+ z + t =
−1
x + y
+ t =
2
x + y + z
=
−2
;
c)
x
+ y
=
3
y + z
=
5
z + u
=
7
u + v =
9
10x
+ v = 15
Zadanie 2. Rozwi¡za¢ przy pomocy wzorów Cramera nast¦puj¡ce ukªady rów-
na«
a)
2x
− y + 3z =
9
b)
2x
− y − 6z + 3 = 0
3x
− 5y + z = −4
7x
− 4y + 2z − 15 = 0
4x
− 7y + z =
5,
x
− 2y − 4z + 9 = 0.
c)
2x
1
+ 2x
2
− x
3
+ x
4
=
4
d)
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 0
4x
1
+ 3x
2
− x
3
+ 2x
4
=
6
2x
1
− 3x
2
+ 4x
3
− 2x
4
= 17
8x
1
+ 5x
2
− 3x
3
+ 4x
4
= 12
− x
1
+ 3x
3
− x
4
= 7
3x
1
+ 3x
2
− 2x
3
+ 2x
4
=
6,
3x
1
+ 4x
2
+ 2x
3
− 3x
4
= 9,
e)
x
1
+ x
2
+ x
3
− x
4
− x
5
=
3
f )
x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
+ 9x
4
= 79
2 x
1
+ 3x
2
+ 4x
3
− 5x
4
+ x
5
=
5
3 x
1
+ 13x
2
+ 18x
3
+ 30x
4
= 263
−2 x
2
− 2x
3
+ 3x
4
+ 3x
5
=
−6
2 x
1
+ 4x
2
+ 11x
3
+ 16x
4
= 146
4x
1
+ x
2
− 3x
4
− 2x
5
=
5
x
1
+ 9x
2
+ 9x
3
+ 9x
4
= 92,
x
1
− 2x
2
+ 3x
3
+ x
4
=
0,
g)
a x
1
+ x
2
+ ... + x
n
−1
+ x
n
= 1
h)
i x + 2y + 3z + 4 = 2 i
x
1
+ a x
2
+ ... + x
n
−1
+ x
n
= 1
2x + 3y + 4z + t = i
.................................................
3x + 4y + z + 2t = 0
x
1
+ x
2
+ ... + x
n
−1
+ a x
n
= 1, a
∈ R,
4x + y + 2z + 3t =
−i.
Zadanie 3. Pokaza¢, »e wektory postaci
t
− s − 1
t + s + 1
s
t
, s, t ∈ R, stanowi¡
rozwi¡zanie ukªadu równa«
29
x
1
− 2x
2
+ 3x
3
+ x
4
=
−3,
2x
1
− x
2
+ 3x
3
− x
4
=
−3.
Zadanie 4 Zapisa¢ na dwa sposoby wszystkie rozwi¡zania równania
2x
− 3y − z = 0, x, y, z ∈ R.
Zadanie 5.
Znale¹¢ warto±ci parametrów a, b, c ∈ R dla których ukªad rów-
na« posiada jedno rozwi¡zanie, niesko«czenie wiele rozwiaza«, nie posiada
rozwi¡za«;
a)
3x + y
− z = a
a)
2x + y
− z = a
c)
− x + 3y + 2z = −8
x
− y + 2z = b
2y + 3z = b
x + z = 2
5x + 3y
− 4z = c
x
− z = c
3x + 3y + az = b
d)
a x
1
+ x
2
+ x
3
= 1
e)
a x + y + z = 1
f )
x + 4y
− 2z = −b
x
1
+ a x
2
+ x
3
= 1
x + b y + z = 1
3x + 5y
− bz = 3
x
1
+ x
2
+ a x
3
= 1,
x + y + c z = 1,
bx + 3by + z = b.
Zadanie 6.
Znale¹¢ warto±ci parametru z ∈ C dla których ukªad równa« posi-
ada jedno rozwi¡zanie, niesko«czenie wiele rozwiaza«, nie posiada rozwi¡za«;
a)
x
1
+ z x
2
+ z
2
x
3
= 0
b)
2x
1
+ x
2
+ z x
3
=
_
z
_
zx
1
+ x
2
+ z x
3
= 0
x
1
+
_
zx
2
+ x
3
= 1
_
z
2
x
1
+
_
zx
2
+ x
3
= 0
x
1
+ x
2
+ z x
3
=
_
z,
Zadanie 7.
Rozwi¡za¢ ukªad równa« z parametrem a ∈ R
30
a x + y + z + t = 1
x + a y + z + t = a
x + y + a z + t = a
2
x + y + z + a t = a
3
.
Rz¡d macierzy
Zadanie 8. .
Znale¹¢ rz¦dy podanych macierzy wskazuj¡c niezerowe minory
maksymalnych stopni:
a)
1
2 3 4
−1 0 1 0
0
2 4 4
,
b)
1 0 0 0 1
0 0 1 0 1
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
1 0 1 0 2
.
Zadanie 9. Znale¹¢ rz¡d macierzy wykonuj¡c operacje elementarne na wierszach
lub kolumnach
a)
2
−1 3 −2 4
4
−2 5
1
7
2
−1 1
8
2
,
b)
1
3
5
−1
2
−1 −3
4
5
1
−1
7
7
7
9
1
, 2
c)
3
5
1
7
−1 −3 −3 −5
3
2
−5
1
2
3
0
4
5
4
7
1
,
d)
4 3
−5 2
3
8 6
−7 4
2
4 3
−8 2
7
4 3
1
2
−5
8 6
−1 4 −6
, e)
47
−67 35
201
155
26
98
23
−294 86
16
−428 1
1284
52
, f )
17
−28 45
11
39
24
−37 61
13
50
25
−7 32 −18 −11
31
12
19
−43 −55
42
13
29
−55 −68
.
g)
1
1 0 2 1
0
1 2 5 0
2
0 1 4 1
−1 2 3 7 0
,
h)
3 2 1 3
1 0 1 2
2 1 3 3
0 4 1 1
1 1 3 4
,
i)
1
0 1
0
2
2
0 0
− 3
−2 3 0 0 0
0
3 1
0
2
1
2 1
3
3
.
31
Zadanie 10. Znale¹¢ warto±ci parametru λ dla których macierz
3 1
1
4
λ 4 10 1
1 7 17 3
2 2
4
3
ma najmniejszy rz¡d.
Zadanie 11. Jak przedstawia si¦ rz¡d macierzy A w zale»no±ci od parametru λ
?
a) A =
1
λ
−1 2
2
−1
λ
5
1
10
−6 1
,
b) A =
1
−1 1
−1
1
λ
λ
λ
λ
.
Zadanie 12. W podanych ukªadach równa« liniowych okre±li¢ (nie rozwi¡zuj¡c ich)
liczby rozwi¡za« oraz liczby parametrów
a)
x
− y + 2z + t = 1
b)
2x + 2y
− z + t = 1
3x + y + z
− t = 2
x
− y − z + 3t = 2
5x
− y + 5z + t = 4,
3x + 5y
− 4z − t = 0.
Ukªady równa« liniowych jednorodnych i niejednorodnych
Zadanie 13. Wyznaczy¢ przestrzenie rozwi¡za« podanych ukªadów równa«, znale¹¢
ich wymiary i bazy.
a)
x
− y
+
z
+ 2t = 0
3x
− 3y + 2z + t = 0
,
b)
x
+
y
+
z
− t + 4s = 0
2x
− y
+ 2t +
s
= 0
4x
− y
− 3z − t − s = 0
3x + 2y
− z
= 0
.
32
Zadanie 14. Przedstawi¢ rozwi¡zania podanych ukªadów równa« niejednorodnych
w postaci kombinacji liniowych rozwi¡za« odpowiednich ukªadów jednorod-
nych i rozwi¡za« szczególnych:
a)
2x + 3y +
z
− 2s −
t
=
6
4x + 7y + 2z
− 5s +
t
= 17
6x + 5y + 3z
− 2s − 9t = 1
2x + 6y +
z
− 5s − 10t = 12
;
b)
x
− 3y + z
− 2s − t =
0
3x + 4y
− z
+
s
+ 3t =
1
x
− 8y + 5z − 9s + t = −1
.
Zadanie 15. Rozwi¡za¢ nast¦puj¡ce ukªady równa«:
a)
2x
1
+ 7x
2
+ 3x
3
+
x
4
= 6
3x
1
+ 5x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
= 4
9x
1
+ 4x
2
+
x
3
+ 7x
4
= 2
;
b)
x
1
− 5x
2
+ 2x
3
+ 4x
4
= 2
7x
1
− 4x
2
+
x
3
+ 3x
4
= 5
5x
1
+ 7x
2
− 4x
3
− 6x
4
= 3
;
c)
3x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
= 2
2x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ 5x
4
= 3
9x
1
+
x
2
+ 4x
3
− 5x
4
= 1
2x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 4x
4
= 5
7x
1
+
x
2
+ 6x
3
− x
4
= 7
;
d)
6x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ 3x
4
+ 4x
5
= 5
4x
1
+ 2x
2
+
x
3
+ 2x
4
+ 3x
5
= 4
4x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 2x
4
+
x
5
= 0
2x
1
+
x
2
+ 7x
3
+ 3x
4
+ 5x
5
= 1
;
e)
x
1
− x
3
+ x
5
=
0
x
2
− x
4
+ x
6
=
0
x
1
− x
2
+ x
5
− x
6
= 0
x
2
− x
3
+ x
6
=
0
x
1
− x
4
+ x
5
=
0
;
f )
x
1
− x
3
=
0
x
2
− x
4
=
0
−x
1
+ x
3
− x
5
= 0
−x
2
+ x
4
− x
6
= 0
−x
3
+ x
5
=
0
−x
4
+ x
6
=
0
.
Przestrzenie a niczne
1. Znale¹¢ ±rodek ukªadu punktów ((1, 2, 0) , (3, 5, 6) , (8, 9, 1)) w R
3
o wagach
odpowiednio równych
2,
−
1
2
,
−
1
2
.
33
2. Udowodni¢, »e podprzestrzenie a niczne przestrzeni R
3
:
a)
af ((1, 2, 5) , (
−1, 1, 2))
oraz af ((8, −6, 2) , (6, −7, −1))
s¡ równolegªe. Znale¹¢ ich równania.
b)
af ((1, 2, 5, 1) , (
−1, 1, 2, 3)) oraz af ((3, 6, 9, 7) , (1, 5, 6, 9) , (1, 1, 0, 0))
s¡ równolegªe.
3. Czy punkt (1, 2, 3) ∈ E (R
3
)
nale»y do podprzestrzeni
a) H = af {(1, 2, 6) , (3, 2, 1) , (0, 0, 1)} ,
b) H = af {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)}? A punkt
1
3
.
1
3
,
1
3
?
4. Czy podprzestrzenie
af
{(0, 1, 1) , (0, 1, 2) , (1, 1, 1)} oraz af {(2, 1, 1) , (0, 1, 0) , (2, 1, 2)}
s¡ identyczne?
5.
Czy punkt
(0, 0, 0)
nale»y do podprzestrzeni przechodz¡cej przez punkt
(1, 1, 0)
i równolegªej do af {(0, 1, 1) , (0, 1, 2) , (1, 3, 1)}?
6. W przestrzeni R
3
znale¹¢ prost¡ l przechodz¡ca przez punkt (0, 1, 0) i
przecinaj¡c¡ proste l
1
i l
2
o przedstawieniach parametrycznych:
l
1
: (x, y, z) = (1, 0, 0) + t (0, 2, 1) ,
l
2
: (x, y, z) = (0, 0, 0) + t (
−1, 0, −1) .
Znale¹¢ punkty przeci¦cia prostej l z prostymi l
1
i l
2
.
7. Sprawdzi¢, czy podprzestrzenie a niczne:
H
1
:
x
1
− 2x
2
+ 2x
3
− 6 = 0 oraz H
2
= af ((1, 0,
−1) , (1, 3, 2) , (3, 2, 0))
s¡ równolegªe?
8. Znale¹¢ baz¦ punktow¡ podprzestrzeni R
3
zªo»on¡ z punktów le»¡cych na
prostych l
1
i l
2
o przedstawieniach parametrycznych
l
1
:
(1, 0, 1) + t (0, 1, 1) ,
l
2
:
(0, 0, 0) + t (1, 1, 0) .
34
9. Znale¹¢ przedstawienie parametryczne podprzestrzeni przestrzeni R
4
rozpi¦tej
na ukªadzie punktów
a) (0, 1, 2, 3) , (1, 0, 1, 0) , (−1, 2, 0, 4) , (1, 1, 3, 3),
b) (−2, 1, 0, 3) , (0, 0, −1, 0) , (0, 2, 0, 4) , (1, 1, 2, 0),
c) (2, 1, 0, −2) , (0, −1, 1, 0) , (2, 0, 1, −2) , (4, 1, 1, −2).
10. Wyznaczy¢ równania prostej w R
3
przechodz¡cej przez punkt (3, −2, 0) i przeci-
naj¡cej proste
a) l
1
:
x =
1 +
t
y =
−1 − 2t
z =
2 + 3t
,
l
2
:
x =
2 +
−t
y =
−3 +
t
z =
5 +
2t
,
t
∈ R,
b) l
1
:
x =
0 + 3t
y =
−4 +
t
z =
2 +
t
,
t
∈ R, l
2
:
x + 3y
− z + 3 =
0
4x
−
y + z
− 1 = 0.
11. Znale¹¢ baz¦ punktow¡ podprzestrzeni a nicznej przestrzeni R
4
danej rów-
naniem
a) x
1
− 2x
4
= 0
,
b) x
1
− x
2
− x
3
= 0
.
12. Znale¹¢ wymiar podprzestrzeni a nicznej podprzestrzeni przestrzeni R
4
okre±lonej
ukªadem równa«
x
1
− 5x
2
+ 2x
3
− x
4
− 1 = 0
2x
1
+ x
2
+ x
3
− 3x
4
− 6 = 0
.
Przestrzenie euklidesowe
Iloczyn skalarny
1.
Sprawdzi¢, czy rozwa»ane funkcje s¡ iloczynami skalarnymi w odpowiednich
przestrzeniach liniowych:
a) ϕ ((x
1
, y
1
) , (x
2
, y
2
)) = 3x
1
y
1
− 2x
1
y
2
− 2x
2
y
1
+ 4x
2
y
2
,
dla (x
1
, y
1
) , (x
2
, y
2
)
∈ R
2
;
b) ϕ (p, q) = p (1) q (1) + 2 p (2) q (2) , dla p, q ∈ R
1
[x] ;
c) ϕ ((x
1
, y
1
, z
1
) , (x
2
, y
2
, z
2
)) = 2x
1
y
1
− 2x
1
y
3
− 2x
3
y
1
+ 3x
2
y
2
+ 2x
3
y
3
;
dla
(x
1
, y
1
, z
1
) , (x
2
, y
2
, z
2
)
∈ R
3
.
2. Sprawdzi¢, czy R
3
wraz z form¡ dwuliniow¡
ϕ : R
3
→ R
3
,
okre±lon¡
wzorem:
a) ϕ ((x
1
, x
2
, x
3
) , (y
1
, y
2
, y
3
)) = x
1
y
1
+ x
2
y
2
− 2x
3
y
1
+ x
2
y
1
+ x
1
y
2
+ x
3
y
3
;
b) ϕ ((x
1
, x
2
, x
3
) , (y
1
, y
2
, y
3
)) = x
1
y
1
+ x
2
y
2
;
35
c) ϕ ((x
1
, x
2
, x
3
) , (y
1
, y
2
, y
3
)) = (x
1
− x
2
) (y
1
− y
2
) + (x
1
− x
3
) (y
1
− y
3
) + x
3
y
3
;
jest przestrzeni¡ euklidesow¡ ?
3. Niech F
[0,1]
oznacza przestrze« liniow¡ funkcji rzeczywistych okre±lonych na
odcinku [0, 1]. Zde niujmy form¦ dwuliniow¡
hf, gi = f (1) g (0) + f (0) g (1)
dla f, g ∈ F
[0,1]
.
Czy ta przestrze« liniowa z tak zde niowan¡ forma dwuliniow¡ jest przestrzeni¡
euklidesow¡ ?
4. W przestrzeni euklidesowej R
4
:
a) Obliczy¢ dªugo±¢ wektora (2, 0, 4, −1) ;
b) Zbada¢ prostopadªo±¢ wektorów (−1, 1, −3, 2) i (7, −2, 1, 6) ;
c) Obliczy¢ k¡t mi¦dzy wektorami (−2, 1, 2, 1) i (1, 0, 1, −2) .
5. W przestrzeni euklidesowej
R
3
opisa¢ zbiór wektorów prostopadªych do
wektora (1, 2, −2) .
6. Stosuj¡c metod¦ Grama-Schmidta zortogonalizowa¢ podane wektory we wskazanych
przestrzeniach euklidesowych:
a) u = (1, 0, 1) , v = (4, 1, 0) , (0, 1, −2) w przestrzeni E
3
;
b) u = (1, 0, 1, −1) , v = (4, 0, 1, 0) , (0, 1, 0, −2) w przestrzeni E
4
.
Baza ortogonalna i ortonormalna
7. Wskaza¢ baz¦ ortogonaln¡ w podprzestrzeni lin ((1, 1, 1, 1) , (1, −1, 1, 1) , (−1, 1, 1, −1)).
Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora (1, 5, 0, 10) w tej bazie.
8. Wyznaczy¢ baz¦ ortonormaln¡ obrazu przeksztaªcenia liniowego T : R
4
→ R
4
danego wzorem
T (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = (x
1
+ 2x
2
− x
4
, 3x
1
+ 2x
3
+ 2x
4
,
−x
2
+ x
3
− x
4
, 4x
1
+ 3x
2
+ x
3
+ 2x
4
) .
Przy czym w R
4
mamy dany standardowy iloczyn skalarny.
9. W R
4
mamy dany standardowy iloczyn skalarny.Wyznaczy¢ baz¦ ortogonaln¡
j¡dra przeksztaªcenia liniowego T : R
5
→ R
5
danego wzorem
36
T (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
) =
= (x
1
+ x
2
+ 2x
3
, x
1
+ x
2
+ x
4
, 2x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ x
4
, 2x
3
− x
4
, x
1
+ x
3
− x
5
) .
10. W przestrzeni R
3
,
ze zwykªym iloczynem skalarnym, dane s¡ podprzestrzenie
V =
(x, y, z) ∈ R
3
; x + y + z = 0
,
W = lin ((2,
−1, 3)) .
Znale¹¢ rzut ortogonalny podprzestrzeni W na podprzestrze« V.
11. W przestrzeni liniowej R
5
, ze standardowym iloczynem skalarnym, wskaza¢
baz¦ ortogonaln¡ przestrzeni liniowej
lin ((1, 2, 3, 4, 5) , (1, 1, 0, 1, 1) , (2, 3, 3, 5, 7))
zawieraj¡c¡ wektor (0, 1, 3, 3, 4) .
12. Wyznaczy¢ baz¦ ortonormaln¡ podprzestrzeni
W
przestrzeni E
4
W =
(x, y, z, t) ∈ E
4
:
4x
− z = 2y − 3z + 2t = 0
.
Pªaszczyzna w R
3
Zadanie 1. Przez które z punktów:
A = (
−1, 6, 3) ,
B = (3,
−2, −5) ,
C = (0, 4, 1) ,
D = (2, 0, 5) ,
E = (2, 7, 0) ,
F = (0, 1, 0)
przechodzi pªaszczyzna o równanie 4x − y + 3z + 1 = 0?
Zadanie 2. Wskaza¢ na osobliwo±ci poªo»enia nast¦puj¡cych pªaszczyzn wzgl¦dem
osi ukªadu wspóªrz¦dnych:
a) 3x
− 5z + 1 = 0,
b) 9y
− 2 = 0,
c) x + y
− 5 = 0,
d) 2x + 3y
− 7z = 0,
e) 8y
− 3z = 0.
37
Zadanie 3. Napisa¢ równanie pªaszczyzny
a) równolegªej do pªaszczyzny Oxz i przechodz¡cej przez punkt (2, −5, 3) ,
b) przechodz¡cej przez punkt (−3, 1, −2) oraz o± Oz,
c) równolegªej do osi Ox i przechodz¡cej przez dwa punkty
(4, 0,
−2)
i
(5, 1, 7) .
Zadanie 4. Przez punkt
(7, 5, 1)
poprowadzi¢ pªaszczyzn¦ odcinaj¡c¡ na osi-
ach wspóªrz¦dnych odcinki jednakowej dªugo±ci poczatku w punkcie (0, 0, 0),
których ko«ce maj¡ wspóªrz¦dne dodatnie.
Zadanie 5. Znale¹¢ k¡t miedzy pªaszczyzn¡ x − y +
√
2z
− 5 = 0, a pªaszczyzn¡
0yz.
Zadanie 6. Znale¹¢ punkt symetryczny do pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych wzgl¦-
dem pªaszczyzny
6x + 2y
− 9z + 121 = 0.
Zadanie 7. Obliczy¢ odlegªo±¢ punktu (3, 1, −1) od pªaszczyzny 22x + 4y − 20 −
45 = 0.
Zadanie 8. Obliczy¢ k¡ty mi¦dzy pªaszczyznami:
a) 4x − 5y + 3z − 1 = 0 i
x
− 4y − z + 9 = 0,
b) 3x − y + 2z + 15 = 0 i
5x + 9y
− 3z − 1 = 0,
c) 6x + 2y − 4z + 17 = 0 i
9x + 3y
− 6z − 4 = 0.
Zadanie 9. Uªo»y¢ równanie pªaszczyzny:
38
a) przechodz¡cej przez punkt (−2, 7, 3) równolegle do pªaszczyzny x − 4y =
5z
− 1 = 0,
b) przechodz¡cej przez pocz¡tek wspªrz¦dnych i prostopadªej do dwóch pªaszczyzn
2x
− y + 5z + 3 = 0
i
x + 3y
− z − 7 = 0,
c)
przechodz¡cej przez punkty (0, 0, 1) i (3, 0, 0) i tworz¡cej k¡t
π
6
z
pªaszczyzn¡ 0xy,
Zadanie 10. Sprawdzi¢, »e trzy pªaszczyzny 2x−2y +z −3 = 0 i 3x−6z +1 = 0
i 4x + 5y + 2z = 0
s¡ wzajemnie prostopadªe.
Zadanie 11. Znale¹¢ równania pªaszczyzn przepoªawiaj¡cych k¡ty dwu±cienne mi¦dzy
pªaszczyznami:
3x
− y + 7z − 4 = 0
i
5x + 3y
− 5z + 2 = 0.
Zadanie 12. Na osi Oz znale¹¢ punkt równo oddalony od dwóch pªaszczyzn:
x + 4y
− 3z − 2 = 0
i
5x + z + 8 = 0.
Zadanie 13. Obliczy¢ odlegªo±¢ mi¦dzy pªaszczyznami równolegªymi:
11x
− 2y − 10z + 15 = 0
i
11x
− 2y − 10z − 45 = 0.
Zadanie 14. Sprawdzi¢ czy mozna poprowadzi¢ pªaszczyzn¦ przez cztery dane punkty:
a)
(3, 1, 0) ,
(0, 7, 2) ,
(
−1, 0, −5) ,
(4, 1, 5) ,
b)
(1,
−1, 1) ,
(0, 2, 4) ,
(1, 3, 3) ,
(4, 0,
−3) .
39
Zadanie 15. przez linie przeci¦cia pªaszczyzn 4x−y+3z−1 = 0 i x+5y−z+2 = 0
poprowadzi¢ pªaszczyzn¦:
a) przechodz¡c¡ przez punkt (0, 0, 0) ,
b) przechodz¡c¡ przez punkt (1, 1, 1) ,
c) równolegª¡ do osi Oy,
d) prostopdª¡ do pªaszczyzny 2x − y + 5z − 3 = 0.
Prosta w R
3
Zadanie 1. Wskaza¢ na osobliwo±ci poªo»enia nast¦puj¡cych prostych:
a) 3x + 2z = 0, 5x − 1 = 0;
b) 5x + y − 3z − 7 = 0, 2x + y − 3z − 7 = 0,
c) x + y + z = 0, 2x + 3y − z = 0.
Zadanie 2. Uªo»y¢ równania rzutu prostej x − 4y + 2z − 5 = 0, 3x + y − z + 2 =
0
na pªaszczyzn¦ 2x + 3y + z − 6 = 0.
Zadanie 3. Sprawdzi¢, czy punkty (3, 0, 1) , (0, 2, 4) ,
1,
4
3
, 3
le»¡ na jednej
prostej.
Zadanie 4. Wyznaczy¢ kat jaki tworza proste:
x
− 1
3
=
y + 2
6
=
z
− 5
2
i
x
2
=
y
− 3
9
=
z + 1
4
.
Zadanie 5. Przez punkt (2, −5, 3) poprowadzi¢ prost¡:
a) równolegª¡ do osi Ox,
b) równolegª¡ do prostej
x
−1
2
=
y
3
=
z+1
4
,
c) równolegª¡ do prostej x + y − z + 1 = 0, x + 2y = 0.
Zadanie 6. Sprawdzi¢, czy nast¦puj¡ce proste sie przecinaj¡:
40
a)
x
− 1
2
=
y
− 7
1
=
z
− 5
4
x
− 6
3
=
y + 1
−2
=
z
1
,
b)
4x +
z
−1 = 0
x
− 2y +3 = 0
i
3x + y
− z
+ 4 =
0
y + 2z
− 8 = 0.
Zadanie 7. Napisa¢ równania prostej prostopadªej poprowadzonej z punktu (2, 3, 1) do
prostej:
x + 1
2
=
y
−1
=
z
− 2
3
.
Zadanie 8. Przez punkt (4, 0, −1) poprowadzi¢ prost¡ w ten sposób by przeci¦ªa
dwie dane proste
x
− 1
2
=
y + 3
4
=
z + 5
4
i
x
− 1
5
=
y
−1
=
z
− 1
1
.
Zadanie 9. Spo±ród wszystkich prostych przecinajacych dwie proste
x + 3
2
=
y
− 5
2
=
z
2
i
x
− 1
5
=
y
4
=
z
1
,
wybra¢ t¦ która jest równolegªa do prostej
x
8
=
y
7
=
z
2
.
Zadanie 10. Uªo»y¢ równania prostej prostopadªej do prostych
x
− 1
1
=
y
− 3
2
=
z
− 9
−1
i
x
− 3
−7
=
y
− 1
2
=
z
− 1
3
i przecinaj¡cej te proste.
Prosta i pªaszczyzna w R
3
Zadanie 1. Znale¹¢ punkt przeci¦cia prostej
41
x
− 12
4
=
y
− 9
3
=
z
− 1
1
z pªaszczyzn¡ 3x + 5y − z − 2 = 0.
Zadanie 2. Uªo»y¢ równania prostej przechodz¡cej przez punkty przeciecia pªaszczyzny
2x + y
− 3z + 1 = 0 z prostymi
x
− 3
1
=
y
− 5
−5
=
z + 1
2
i
x
− 5
2
=
y
− 3
4
=
z + 4
−6
.
Zadanie 3. Przy jakiej warto±ci wspóªczynnika A pªaszczyzna Ax+3y−5z+1 = 0
jest równolegªa do prostej
x + 1
4
=
y
− 2
3
=
z
2
?
Zadanie 4. Przy jakich warto±ciach wspóªczynnikow A i B pªaszczyzna Ax +
By + 6z
− 7 = 0 jest prostopadªa do prostej
x
− 1
4
=
y + 2
3
=
z + 1
3
?
Zadanie 5. Sprawdzi¢, czy prosta
x
− 1
2
=
y + 3
−1
=
z + 2
5
le»y w pªaszczy¹nie 4x + 3y − z + 3 = 0.
Zadanie 6. Napisa¢ równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez dwie proste równolegªe
x
6
=
y
2
=
z
−3
i
x
− 1
6
=
y
− 1
2
=
z
−3
.
42
Zadanie 7. Znale¹¢ odlegªo±¢ punktu (7, 9, 7) od prostej
x
− 2
4
=
y
− 1
3
=
z
2
.
Zadanie 8. Znale¹¢ punkt symetryczny do punktu (4, 3, 10) wzgl¦dem prostej
x
− 1
2
=
y
− 2
4
=
z
− 3
5
.
Zadanie 9. Znale¹¢ odlegªo±¢ mi¦dzy dwiema prostymi sko±nymi:
x + 3
4
=
y
− 6
−3
=
z
− 3
2
i
x
− 4
8
=
y + 1
−3
=
z + 7
3
.
Zadanie 10. Znale¹¢ odlegªo±¢ mi¦dzy prostymi równolegªymi:
x
− 1
2
=
y + 3
4
=
z
1
i
x
2
=
y
− 3
4
=
z
− 5
1
.
Zadanie 11. Czy mo»na przez prost¡
x
− 7
4
=
y
− 5
3
=
z
− 6
6
poprowadzi¢ pªaszczyzn¦ równolegªa do pªaszczyzny 2x + y − 7z = 0 ?
Zadanie 12. Napisa¢ równanie pªaszczyzny która przechodzi przez punkt (3, 1, −2)
i przez prost¡
x
− 4
5
=
y + 3
2
=
z
1
.
Zadanie 13. Sprawdzi¢, »e nast¦puj¡ce proste si¦ przecinaj¡
43
x
− 3
5
=
y + 1
2
=
z
− 2
4
i
x
− 8
3
=
y
− 1
1
=
z
− 6
−2
.
Zadanie 14. Napisa¢ równanie pªaszczyzny w której le»¡ proste z poprzedniego
zadania.
Przeksztaªcenia liniowe
Zadanie 1. Czy nast¦puj¡ce przeksztaªcenia s¡ liniowe?
a) T : R
4
→ R
3
,
T (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = (2x
1
, x
1
− x
2
+ 3x
3,
x
2
− 4x
4
) ,
b) T : R
3
→ R
3
,
T (x
1
, x
2
, x
3
) = (4x
1
+ 3x
2
, x
2
1
, x
2
− 4x
3
) ,
c) T : R
2
→ R
6
,
T (x
1
, x
2
, x
3
, x
4,
x
5,
x
6
) = (0, 2 x
1
− x
2
+ 3x
3
,
−x
2
− 4x
5
, 0, x
1
+ x
3
, 0) ,
Zadanie 2. Zbada¢ liniowo±¢ podanych przeksztaªce«:
a) T : R
3
→ R
3
,
T
jest rzutem prostok¡tnym na pªaszczyzn¦ x0y,
b) T : R
3
→ R
3
,
T
jest rzutem prostok¡tnym na pªaszczyzn¦ o równaniu
x + y + z = 0,
c) T : R
3
→ R
3
,
T
jest rzutem prostok¡tnym na prost¡ x = 1, y = 0,
d) T : R
2
→ R
2
,
T
jest obrotem o k¡t
π
4
wokóª punktu (0, 0),
e) T : C(R) → P
2
,
(T f ) (x) = x
2
f (2) + x f (1) + f (0)
dla f ∈ C(R),
gdzie C(R) oznacza przestrze« liniow¡ funkcji rzeczywistych ci¡gªych na prostej, a
P
n
oznacza przestrze« liniow¡ wielomianów stopnia ≤ n, n ∈ N.
Zadanie 3. Które z podanych przeksztaªce« przestrzeni funkcji ci¡gªych na R s¡
liniowe?
a) (T g) (x) = g (sin x) ,
b)
(L g) (x) = sin g (x) ,
gdzie g ∈ C (R) oraz x ∈ R.
Zadanie 4. Wykaza¢, »e ka»de przeksztaªcenie liniowe przeksztaªca ukªad wektorów
liniowo zale»nych w ukªad wektorów liniowo zale»nych. Czy prawdziwe jest
analogicznie sformuªowanie twierdzenie dla wektorów liniowo niezale»nych?
44
Zadanie 5. Wykaza¢, »e dla izomor zmu g sko«czenie wymiarowej przestrzeni lin-
iowej V w przestrze« sko«czenie wymiarow¡ W zachodzi zale»no±¢ dim V =
dim W.
Zadanie 6. Sprawdzi¢, czy istnieje przeksztaªcenie odwrotne do przeksztaªcenia
liniowego
T : M
22
→ R
4
okre±lonego wzorem
T [a
ij
]
i,j=1,2
= (a
11
+ a
12
+ a
21
, a
11
− a
12
, a
21
, a
21
− a
22
) .
Obraz i j¡dro przeksztaªcenia liniowego
Zadanie 7. Znale¹¢ baz¦ i wymiar j¡dra oraz baz¦ i wymiar obrazu przeksztaªcenia
liniowego T : R
4
→ R
4
,
danego wzorem:
T (x, y, z, t) = (x + y + z + 2t, x
− y + z + 6t, x + y − z − 4t, 2x + 2y − 2z) .
Zadanie 8. Wyznaczy¢ baz¦ j¡dra i baz¦ obrazu przeksztaªcenia liniowego T :
R
4
→ R
3
danego wzorem
T (x, y, z, t) = (x + 2z + t,
−2x + y − 3z − 5t, x − y + z + 4t) .
Zadanie 9. Wyznaczy¢ j¡dro i obraz przeksztaªcenia liniowego T : P
2
→ P
3
danego wzorem:
(T p) (x) = x
3
p
00
(x)
− 2p (x) .
45
Zadanie 10. Wyznaczy¢ j¡dro, obraz i rz¡d przeksztaªcenia liniowego T : M
22
→ P
2
danego wzorem
T
a b
c d
= (2a + b
− c + 3d) + (a + 3c + d) x + (−2b + c) x
2
,
gdzie M
22
oznacza przestrze« liniow¡ macierzy stopnia 2, a P
2
oznacza przestrze«
wielomianów stopnia ≤ n.
Zadanie 11. Wyznaczy¢ j¡dro, rz¡d i obraz przeksztaªcenia liniowego
T : P
3
→
M
22
danego wzorem
T : ax
3
+ bx
2
+ cx + d
=
a
− 2c
2a
− b − 2d
−b + 2d
c
− d
.
Zadanie 12. Niech T : R
4
→ R
3
b¦dzie przeksztaªceniem liniowym, które dowol-
nemu wektorowi (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
)
∈ R
4
przypisuje wektor (x
1
+ x
2
,
−x
1
− x
2
, 2x
3
) .
Znale¹¢ baz¦ j¡dra i rz¡d przeksztaªcenia T.
Zadanie 13. Sprawdzi¢, czy wektory (1, 1, −1, 1) , (1, −1, 1, −3) generuj¡ j¡-
dro przeksztaªcenia liniowego T : R
4
→ R
4
danego wzorem:
T (x, y, z, u) = (x + y + 3z + u,
−2x − y − 4z − u, y + 2z + u, x + 2y + 3z) .
Zadanie 14. Sprawdzi¢, czy wektory
(1, 1,
−2, 0, 1) ,
(
−2, 0, 0, 1, 1)
generuj¡
j¡dro przeksztaªcenia liniowego T : R
5
→ R
4
danego wzorem:
T (x, y, z, u, v) = (x
− 2y + u + v, x − y + z + 2v, 3x − 4y + 2z + u + 5v, x − 3y − z + 2u) .
46
Zadanie 15. Znale¹¢ dwie ró»ne bazy obrazu przeksztaªcenia liniowego T : R
5
→ R
4
danego wzorem:
T (x, y, z, u, v) =
(x + y
− z, −x + 2y + 3z − u, 3y + 2z − u − v, 2v) .
Reprezentacja macierzowa przeksztaªcenia liniowego
Zadanie 16. Napisa¢ macierze podanych przeksztaªce« w bazach standardowych
rozwa»anych przestrzeni liniowych:
a) T : R
3
→ R
3
,
T (x, y, z) = (2x + y
− z, x − 5z, y + 4z) ,
b) T : R
4
→ R
3
,
T (x, y, z, u) = (x + 2y
− z, x − 5z − u, y + z) ,
c) T : P
2
→ P
1
,
(T p) (x) = (2
− p) p” (x) + 4 p
0
(x).
Zadanie 17. Znale¹¢ z dedinicji macierze podanych przeksztaªce« liniowych we
wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych:
a) L : R
2
→ R
3
,
L (x, y) = (x + y, 2x + y, x
− 3y) , gdzie
B
2
= ((1, 1) , (1,
−1)) ,
B
3
= ((1,
−1, 0) , (0, 1, −1) , (0, 0, 1)) .
b) L : R
3
→ R
3
,
L
jest rzutem prostok¡tnym na pªaszczyzn¦ 0yz, gdzie
B
0
3
= ((4, 1, 2) , (6,
−1, 2) , (5, 3, 2)) ,
B
00
3
= ((1, 0,
−1) , (1, 0, 1) , (2, 1, 0)) .
c) L : R
2
[x]
→ R
3
[x] ,
(Lp) (x) = 3x p (
−x) , gdzie
B
3
= x
2
+ 2x, 3x
− 1, x − 5
,
B
4
= x
3
+ x, x
3
− x, x
2
+ 1, x
2
− 1
.
Zadanie 18 Rozwi¡za¢ ponownie zadanie 17 stosuj¡c tym razem wzór na macierz
przeksztaªcenia liniowego przy zmianie baz.
47
Zadanie 19. Napisa¢ macierze podanych przeksztaªce« liniowych L : V → V we
wskazanych bazach;
a) L (x, y) = (3x + 4y, 2x + y) , V = R
2
,
B
= ((1,
−1) , (2, 3)) ,
b) L jest symetri¡ wzgl¦dem pªaszczyzny Oyz, V = R
3
,
B
= ((1, 2, 0) , (
−1, 0, 1) , (2, 0, −1)) .
Zadanie 20. Przeksztaªcenie liniowe
L : U
→ V
ma w bazie
(u
1
, u
2
, u
3
)
przestrzeni liniowej U i w bazie (v
1
, v
2
)
przestrzeni liniowej V macierz
A =
1 2 3
4 5 6
.
Znale¹¢ macierz tego przeksztaªcenia w bazach:
B
U
= (2u
1
, u
3
, u
2
+ u
3
) ,
B
V
= (v
1
− v
2
, 2v
1
+ v
2
) .
Zadanie 21. Dana jest macierz
1
1
0
1
1
−2
przeksztaªcenia liniowego T :R
2
→ R
3
w bazach
B
0
= ((1, 0) , (1, 1))
oraz B
00
= ((1, 1, 0) , (2, 1, 1) , (0, 0, 1))
Znale¹¢ wzór przeksztaªcenia T.
Zadanie 22. Dane jest przeksztaªcenie liniowe g takie, »e g (1, 2) = (1, 1, 1) , g (0, 1) =
(1, 0, 1) .
Znale¹¢ macierz przeksztalcenia g, je»eli w przestrzeni R
2
baz¦
stanowi ukªad wektorów: (1, 0), (−1, 2), a w przestrzeni R
3
ukªad wek-
torów: (1, 2, 0) , (1, 1, 1) , (0, 0, 1) .
48
Dziaªania na przeksztaªceniach liniowych
Zadanie 23. Przeksztaªcenia liniowe
L
1
: R
3
→ R
4
,
L
2
: R
4
→ R
2
,
L
3
:
R
2
→ R
4
okre±lone s¡ wzorami:
L
1
(x, y, z) = (x + 2y, 3y
− 4z, x + y + z, y − 3z) ,
L
2
(x, y, z, t) = (y
− z − t, −x + y + z + t) ,
L
3
(x, y) = (x + y,
−x, 3x + y, y).
Napisa¢ macierze tych przeksztaªce« w bazach standardowych odpowied-
nich przestrzeni oraz poda¢ wzory nast¦puj¡cych przeksztaªce« liniowych:
a) L
2
◦ L
1
;
b) L
3
◦ L
2
;
c) L
1
◦ L
2
◦ L
1
.
Zadanie 24. Spo±ród przeksztaªce« liniowych wybra¢ przeksztaªcenia odwracalne
i napisa¢ macierze przeksztaªce« odwrotnych do nich w bazach standard-
owych rozwa»anych przestrzeni liniowych. Ponadto napisa¢ wzory przeksz-
talce« odwrotnych, je»eli:
a) L : R
2
→ R
2
,
L (x, y) = (x
− y, 2x + y) ,
b) L : R
2
→ R
2
,
L (x, y) = (x
− y, 2x − 2y) ,
c) L : R
3
→ R
3
,
L (x, y, z) = (x
− y + z, 2x + y, y − z) ,
d) L : R
3
→ R
3
,
L (x, y, z) = (x
− y + z, 2x + y, 3x + z) .
Wektory wªasne i warto±ci wlasne przeksztaªce« liniowych
Zadanie 25. Znale¹¢ warto±ci wªasne i wektory wªasne podanych przeksztaªce«
liniowych:
a) L : R
2
→ R
2
,
L (x, y) = (
−y, x + y) ,
b) L : R
3
→ R
3
,
L (x, y, z) = (x
− y − z, x + y, y + z) ,
c) L : P
2
→ P
2
, L (a + bx + cx
2
) = (8a
− 2b + 2c + (−2a + 5b + 4c) x + (2a + 4b + 5c) x
2
) ,
d) L : C
2
→ C
2
,
L (x, y) = (y,
−x) ,
e) L : C
2
→ C
2
,
L (x, y) = ((1 + 3i)x
− 4y, −2x + (1 − 3i) y) ,
f) L : C
3
→ C
3
,
L (x, y, z) = ((x
− z, 2y, x + z) .
Sprawdzi¢, czy otrzymane wektory wªasne przeksztaªcenia L stanowi¡
baz¦ przestrzeni liniowej b¦d¡cej jego dziedzin¡.
49
Zadanie 26. Czy mo»na utworzy¢ baz¦ przestrzeni M
22
(R)
(Przestrze« macierzy
stopnia drugiego o wyrazach rzeczywistych) zªo»on¡ z wektorów wªasnych
przeksztaªcenia liniowego T : M
22
(R)
→ M
22
(R)
danego wzorem:
T
a b
c d
=
a + 3b 2a + 2b + d
4c
c
− d
?
Formy kwadratowe
1. Sprowadzi¢ do postaci kanonicznej metod¡ Lagrange'a formy:
a) x
2
1
+ 4x
1
x
2
+ 4x
2
2
+ 8x
2
x
3
+ 7x
2
3
,
b) 2x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
+ 2x
2
x
3
+ x
2
3
,
c) x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ 2x
3
x
4
+ x
1
x
4
.
2. Nast¦puj¡ce formy kwadratowe sprowadzi¢ do postaci kanonicznej:
a) x
2
1
+ x
2
2
+ 3x
2
3
+ 4x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
+ 2x
2
x
3
,
b) x
2
1
− 2x
2
2
+ x
2
3
+ 2x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
+ 2x
2
x
3
,
c) x
2
1
− 3x
2
3
− 2x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
− 6x
2
x
3
,
d) x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
1
x
4
+ x
2
x
3
+ x
2
x
4
+ x
3
x
4
,
f) x
2
1
+ 2x
2
2
+ x
2
4
+ 4x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
+ 2x
1
x
4
+ 2x
2
x
3
+ 2x
2
x
4
+ 2x
3
x
4
.
3. Znale¹¢ posta¢ kanoniczn¡ i liniowe przeksztaªcenie nieosobliwe sprowadzaj¡ce
do tej postaci kwadratow¡.
a) 3x
2
1
+ 3x
2
3
+ 4x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
− 2x
2
x
3
,
b) 7x
2
1
+ 7x
2
2
+ 7x
2
3
+ 2x
1
x
2
+ 2x
1
x
3
+ 2x
2
x
3
,
c) x
2
1
− 2x
1
x
2
− 2x
1
x
3
− 2x
2
x
3
,
d) 3x
2
1
+ 3x
2
2
− x
2
3
− 6x
1
x
3
+ 4x
2
x
3
.
4.
Które z nastepuj¡cych form s¡ mi¦dzy sob¡ równowa»ne mi¦dzy sob¡ w ciele
liczb rzeczywistych?
a)
f
1
= x
2
1
− x
2
x
3
,
f
2
= y
1
y
2
− y
2
3
,
f
3
= z
1
z
2
+ z
2
3
,
b)
f
1
= x
2
1
+ 4x
2
2
+ x
2
3
+ 4x
1
x
2
− 2x
1
x
3,
f
2
= y
2
1
+ 2y
2
2
− y
2
3
+ 4y
1
y
2
− 2y
1
y
3
− 4y
2
y
3
,
f
3
=
−4z
2
1
− z
2
2
− z
2
3
− 4z
1
z
2
+ 4z
1
z
3
+ 18z
2
z
3
.
50
5.
Znale¹¢ wszystkie warto±ci parametru λ dla których nast¦puj¡ce formy s¡
dodatnio okre±lone:
a) 5x
2
1
+ x
2
2
+ λx
2
3
+ 4x
1
x
2
− 2x
1
x
3
− 2x
2
x
3
,
) 2x
2
1
+ x
2
2
+ 3x
2
3
+ 2λx
1
x
2
+ 2x
1
x
3
,
c) x
2
1
+ x
2
2
+ 5x
2
3
+ 2λx
1
x
2
− 2x
1
x
3
+ 4x
2
x
3
,
d) x
2
1
+ 4x
2
2
+ x
2
3
+ 2λx
1
x
2
+ 10x
1
x
3
+ 6x
2
x
3
,
e) 2x
2
1
+ 2x
2
2
+ x
2
3
+ 2λx
1
x
2
+ 6x
1
x
3
+ 2x
2
x
3
.
6. Znale¹¢ wyró»niki i rz¦dy nast¦puj¡cych form kwadratowych,
1. zmiennych: x
1
, x
2
, x
3
, x
4
:
a) x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
− 3x
1
x
2
− 3x
1
x
3
,
b) x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
1
x
4
,
c) x
2
4
+ x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
1
x
4
,
2. zmiennych: x
1
, x
2
, ..., x
n
:
d) x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ ... + x
1
x
n
+ x
2
x
3
+ ... + x
2
x
n
+ ... + x
n
−1
x
n
.
7. Poda¢ form¦ kwadratow¡ zwi¡zan¡ z dan¡ macierz¡ symetryczn¡:
a)
1
−3
−3
8
,
b)
2
−1 4
−1
6
5
4
5
2
,
c)
2
−3
1
4
−3
2
3
−1
1
3
2
−3
4
−1 −3
2
.
8. Dane formy kwadratowe sprowadzi¢ do postaci kanonicznej metod¡ Jacobiego:
a) f(x) = 2x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
− 6x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
− 4x
2
x
3
,
)b) f(x) = 2x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+ 3x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
.
9. Niech odwzorowanie f : R
3
→ R b¦dzie dane wzorem:
f (x, y, z) = 2x
2
− 3xy + 2xz + y
2
− 5z
2
.
a) Dowie±¢, »e f jest form¡ dwuliniow¡ na R
3
. Jaki jest rz¡d formy f ?
Jaka jest sygnatura formy f ?
b)
Znale¹¢ baz¦ ortonormaln¡ w przestrzeni
R
3
(ze standardowym iliczynem
skalarnym), w której macierz formy f jest diagonalna.
51
Przeksztaªcenia a niczne.
1. Znale¹¢ przeksztaªcenie a niczne przy którym punkty 0 = (0, 0, 0) , A = (1, 0, 0)
i B = (0, 1, 0) przechodza na siebie, a punkt C = (0, 0, 1) na punkt D = (1, 1, 1).
2. Znale¹¢ punkty staªe przeksztaªcenia a nicznego okre±lonego wzorami:
x
0
=
2x
+
y
+ z + 1
y
0
=
x
+
z
+ 1
z
0
=
−z − 2.
3. Znale¹¢ przeksztaªcenie a niczne w R
3
przy którym o± Ox przechodzi na o± Oz,
a o± Ox przechodzi na siebie.
4. Dane jest przeksztaªcenie a niczne w R
3
x
0
= 2x +
5y
+ z
y
0
= 3x +
2y
z
0
= 4x + 4y
.
Znale¹¢ wektory które przy tym przeksztaªceniu nie zmieniaj¡ kierunku.
5. Znale¹¢ proste niezmiennicze przeksztaªcenia a nicznego w R
2
. (O ile istniej¡.)
a)
x
0
=
2x +
y
−
1
y
0
=
−2x + 3y + 4,
b)
x
0
= 6x +
y
+
1
y
0
= 5x
− 6y + 2,
c)
x
0
= 2x +
1
y
0
=
x
+ 3y
− 1.
6. Zbada¢ istnienie prostych niezmienniczych przeksztaªcenia a nicznego
a)
x
0
= 2x +
y +
1
y
0
=
x + 2y
z
0
= 3x + 4y
− 5z + 2,
b)
x
0
=
2x + y +
z
y
0
=
2x + y
− 2z
z
0
=
−x − z + 1.
Je»eli proste nienmiennicze istniej¡, to napisa¢ ich równania.
7. Znale¹¢ przeksztaªcenie a niczne w przestrzeni R
3
przeksztaªcaj¡ce punkty
(1, 1, 1) , (0, 1,
−1) , (1, 2, 3) , (0, 0, 1) na punkty (0, 1, 0) , (0, −2, −1) , (1, 0, 3) , (1, 0, 1) .
52
Powtórzenie
I
1. Poda¢ interpretacj¦ geometryczn¡ nast¦puj¡cego zbioru liczb zespolonych
(a)
n
z
∈ C :
z
i
+ 5
≥
3
o
,
(b)
n
z
∈ C; 0 < Arg (z + 2i) <
π
4
∧
|z − i| < 2
o
,
(c) z ∈ C;
π
2
≤ Arg (iz) ≤ π
∧
1
≤ |z − 2i| ≤ 2
,
(d) {z ∈ C; Arg (z
4
)
≤ π
∧
Re(iz + 2)
≥ 0} ,
(e) {z ∈ C; cos (π |z − i|) > 0) ∧ Re(iz) < 0} ,
(f)
z
∈ C;
z
− 2i
z + 1
− i
≤ 1
∧
π
2
≤ Arg z
2
≤ π
,
(g) z ∈ C; Im (z
2
)
≤ 2
Re (¯
z)
2
,
(h) z ∈ C; Im (z
2
) = 2
∧
Re (z + i)
2
= 1
2. Rozwi¡za¢ równania
(a) z
3
(1
− i)
2
− 1 = 0,
(b) z
4
− iz
2
+ 2 = 0,
(c) (z − i)
2
= 4 (1 + i)
2
,
(d) (z − 2)
2
= (¯
z
− 2)
2
.
3. Obliczy¢. Wynik poda¢ w postaci algebraicznej.
(a)
1 + i
−1 + i
√
3
100
(b)
1 + i
1 + i
√
3
n
,
n
∈ N.
4. Rozwi¡za¢ równania macierzowe
(a)
1 2
4 0
T
+ X =
4
3
−2 0
· X,
(b)
1 2 3
0 1 2
1 0 1
−1
· X = X +
1
0
1
.
5. Udowodni¢, »e
(a) Dla dowolnej macierzy kwadratowej A i dowolnego k ∈ R ±lad macierzy
kA
jest równy iloczynowi k i ±ladu macierzy kA,
53
(b) Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A − A
T
jest macierz¡ an-
tysymetryczn¡,
(c) Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A+A
T
jest macierz¡ symetryczn¡.
6. Niech
σ =
1
2
3
4
5
6
7
8
3
4
2
1
6
5
8
7
,
τ =
1
2
3
4
5
6
7
8
8
7
2
1
5
6
3
4
.
(a) Rozwi¡za¢ równanie σ
2
x = τ
◦ σ
−1
,
(b) Rozªo»y¢ σ na iloczyn transpozycji,
(c) Poda¢ znak permutacji σ.
7. Zbada¢, czy
(a) (R
+
,
◦) jest grup¡, je±li dla dowolnych a, b ∈ R
+
, a ◦ b = 3
log
3
a
· log
3
b
.
(b) zbiór wielomianów o wspóªczynnikach rzeczywistych podzielnych przez
wielomian x
2
− 1 stanowi podgrup¦ grupy addytywnej wszystkich wielo-
mianów o wspóªczynnikach rzeczywistych.
(c) zbiór funkcji rzeczywistych przyjmuj¡cych warto±¢ zero na przedziale
[
−1, 1] stanowi podgrup¦ grupy addytywnej wszystkich funkcji rzeczy-
wistych okre±lonych na R.
(d) zbiór zªo»ony z trzech macierzy
A =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
B =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
,
C =
0 1 0
0 0 1
1 0 0
,
z mno»eniem macierzowym stanowi grup¦.
(e) zbiór macierzy postaci
a
b
−b a
,
a, b
∈ R,
dodawaniem i mno»eniem macierzowym stanowi ciaªo,
(f) zbiór pierwiastków zespolonych czwartego stopnia z liczby 1 wraz z zerem
stanowi pier±cie«.
(g) zbiór macierzy postaci
a
b
2a a
,
a, b
∈ Q,
z dodawaniem i mno»eniem macierzowym stanowi ciaªo. Je±li tak, to czy
jest to ciaªo izomor czne z ciaªem Q
√
2
(h) to samo polecenie co w punkcie (f) gdy a, b ∈ R.
54
(i) przeksztaªcenie
ϕ
a 0
0 b
= a + b,
a, b
∈ R,
jest homomor zmem grupy której elementami s¡ macierze diagonalne
postaci
a 0
0 b
, a, b ∈ R, a dziaªaniem jest dodawanie macierzy,
w grup¦ addytywn¡ liczb rzeczywistych (R, +). Je±li przeksztaªcenie
jest homomor zmem, to znale¹¢ jego j¡dro.
(j) zbiór GL(2, R) - macierzy nieosobliwych stopnia drugiego o wyrazach
rzeczywistych wraz z mno»eniem macierzowym stanowi grup¦. Sprawdzi¢,
czy przeksztaªcenie okre±lone wzorem
h (A) = (det A)
−1
, A ∈ GL (2, R) ,
jest izomor zmem tej grupy na grup¦ multiplikatywn¡ liczb rzeczywistych
ró»nych od zera.
(k) zbiór liczb postaci postaci a + b
3
√
2 + c
3
√
4, a, b
∈ Q, jest pier±cieniem
zawartym w ciele liczb rzeczywistych. Je±li tak, to czy pier±cie« ten jest
ciaªem?
(l) ciaªo liczb Q
√
2
jest izomor czne z ciaªem Q
√
3.
8. Zaªó»my, »e rozwa»ane wielomiany s¡ elementami pier±cienia R [x]. Znale¹¢
(a) wszystkie pierwiastki caªkowite podanych wielomianów
x
5
− 2x
4
− 4x
3
+ 4x
2
− 5x + 6,
x
4
+ 3x
3
− x
2
+ 17x + 99.
(b) wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów
4x
3
+ x
− 1,
, x
4
+ 3x
3
− x
2
+ x +
1
4
.
reszt¦ z dzielenia wielomianu
x
1000
+ 3x
50
− 1 przez wielomian x
2
− 4.
55
II
1. Zbada¢, czy podane zbiory U s¡ podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich
przestrzeni wektorowych V. Je±li tak, to znale¹¢ baz¦ i wymiar tych pod-
przestrzeni.
(a) U = {(x, y, z) ∈ R
3
: x
− 2y + 2z = −x + 2y = 0, } , V = R
3
,
(b) U = {(x, y, z) ∈ R
3
: x z
≤ 0} , V = R
3
,
(c) U = {p ∈ R
n
[x] : p = q
0
, q
∈ R
n
[x]
} , V = R
n
[x] ,
(d) U =
n
(x
n
)
∈ R
∞
: lim
n
→∞
|x
n
| = ∞
o
, V = R
3
,
(e) U =
x − y
x
0
−x + 2y
: x, y
∈ R
, V = M
2
[R] ,
(f) U = {M ∈ V = M
2
[R] : det M = 0
} , V = M
2
[R] ,
(g) U = {p ∈ R
3
[x] :
wielomian p jest funkcj¡ parzyst¡} , V = R
3
[x] ,
(h) U = {(z
1
, z
2
)
∈ C
2
:
Arg z
1
=
Arg z
2
} , V = C
2
,
(i) U = {(x, y, z, t) ∈ R
4
: 2x
− y + 3z − t + 2 = 0} , V = R
4
,
(j) U = {(x, y) ∈ R
2
: x
2
− 8xy + 16y
2
= 0
} , V = R
2
.
2. Wyznaczy¢ baz¦ i wymiar podprzestrzeni liniowej U ⊂ R
5
danej ukªadem
równa«
x
− 3y +
z
− t = 0
x
−
y
+
s + t = 0
2x
− 6y + 2z + 3s
= 0
x
−
y
− 2s − t = 0
.
3. Wyznaczy¢ baz¦ i wymiar podprzestrzeni liniowej U ⊂ R
5
,
U
=
lin {(1, 1, 1, 1, 1) , (−1, 0, −2, 0, −1) , (−1, 1, −3, 1, −1) , (0, 1, −1, 1, 0)} .
4. Okre±li¢ wymiar przestrzeni liniowej generowanej przez wektory
(a)
(1, 4, 2,
−1, 3) , (2, 9, 6, −2, 8) , (1, 2, −1, −1, 0) , (−2, −7, 1, 3, −1) ,
(b)
x
3
+ x
2
− 1, x
3
+ 2x
− 1, x
3
+ x
2
+ x
− 3, − 2x
2
+ 3x + 2.
56
5. Sprawdzi¢, czy wektor (2, 2, −3, 0) nale»y do przestrzeni liniowej generowanej
przez wektory
(1, 0,
−2, 3) , (2, 1, 0, −1) , (0, 1, −3, 0) , (3, 2, −5, 3) .
6. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektora (1, 2, −3) w bazie
(
−1, 0, 1) , (−1, 2, 1) , (0, 2, 3) .
7. Obliczaj¡c odpowiednie wyznaczniki sprawdzi¢, czy podane ukªady wektorów
stanowi¡ bazy wskazanych przestrzeni liniowych
(a) v
1
= (1, 2, 3, 4) , v
2
= (0, 1, 0, 2) , v
3
= (
−1, 2, 0, 1) , v
4
= (0,
−1, 0, 1) ;
R
4
,
(b) v
1
= (1, 0, 4) , v
2
= (1, 0, 2) , v
3
= (
−1, 0, −3) ; R
3
.
8. Zbada¢ liniow¡ zale»no±¢ wektorów we wskazanej przestrzeni liniowej
(a) (1, 2, 3, 4, −5) , (0, 1, 2, 3, 0) , (0, 0, −3, −4, 1) , (−1, 1, 2, 0, −1) , (0, 4, 3, 3, −5) ;
R
5
,
(b) x
2
− 1, x − 1, 2x
2
+ x + 1; R
2
[x]
(c) 3, sin
2
x, cos
2
x, x
2
+ 2
x
; C (R) .
9. Podane ukªady wektorów uzupeªni¢ do baz wskazanych przestrzeni liniowych
(a) (3, 4, −5) , (−1, 0, 2) ; R
3
,
(b) (1, 2, 0, −1) , (0, 2, 3, 3) ; R
4
,
(c)
1 2
−5 0
0 2
1 0
1 1
−1 0
; M
2
[R] .
10. Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora
(a) (2, 3, 6, 2) w bazie B = ((1, 2, 0, 1) , (3, 1, 0, 2) , (0, 0, 1, 4) , (0, 0, 1, 0)) ,
(b) (x, y, z, t) = (1, 1, 0, 0) w wybranej przez siebie bazie przestrzeni rozwi¡za«
ukªadu równa«
x
− y + z + t = 0
x
− y + z − t = 0
.
11. Zbada¢ liniowo±¢ podanych przeksztaªce«
(a) T : R
3
→ R
2
,
T (x, y, z) = (x + 2y
− z, z − y) ,
(b) T : R
2
→ R
4
,
T (x, y) = (3x + 2y,
−y, 2x − y, x − y) ,
(c) T : R
3
→ R
3
,
T (x, y, z) = (x + 2y
− z, −y, 2x − y − 2) ,
(d) T : R
3
→ R
3
,
T (x, y, z) = (x,
|y − z| , z) ,
(e) T : C
[
−1,1]
→ C
[
−1,1]
,
(T (f )) (x) =
−f (−x) , f ∈ C
[
−1,1]
, x ∈ [0, 1] .
57
12. Znale¹¢ baz¦ j¡dra oraz rz¡d przeksztaªcenia liniowego
(a) T : R
4
→ R
3
, T (x, y, z, t) = (x + 2y + 4z
− 3t, 3x + 5y + 6z − 4t, 4x + 5y − 2z + 3t) ,
(b) T : R
3
→ R
4
, T (x, y, z) = (x
− 3z, 3x + 5y + 6z, x + y − 2z, 5x + 6y + z) .
13. Znale¹¢ baz¦ obrazu oraz wymiar j¡dra przeksztaªcenia liniowego T : R
3
→ R
4
,
T (x, y, z) = (2x + y + 3z,
−x − y − 2z, y + z, x + z) .
14. Znale¹¢ baz¦ obrazu oraz wymiar j¡dra przeksztaªcenia liniowego T : R
5
→ R
4
,
T (x, y, z, s, t) =
= (x + 4y + 2z
− s + 3t, 2x + 9y + 6z − 2s + 8t, x + 2y − z − s, −2x − 7y + z + 3s − t) .
15. Wyznaczy¢ macierz przeksztaªcenia liniowego
(a)
T (x, y, z) = (
−z, −x, y)
w bazie B = [(1, 1, 1) , (1, 2, 2) , (1, 2, 0)] przestrzeni R
3
,
(b)
T (x, y, z, t) = (x
− z, −x + y, y + z)
w bazie B
1
= [(0, 1, 1, 0) , (0,
−1, 0, 0, −1) , (−1, 0, 0, 1) (0, −1, 1, 0)] przestrzeni
R
4
oraz bazie B
2
= [(0, 1, 0) , (0, 1, 1) , (1, 1, 0)]
przestrzeni R
3
,
(c)
T ax
2
+ bx + c
= (a + b, c, −a + c)
w bazie B
1
= [1, x
2
,
−x] przestrzeni R
2
[x]
oraz bazie B
2
= [(0, 1, 1) , (1, 0, 2) , (1,
−1, 0)]
przestrzeni R
3
.
16. Dane jest przeksztaªcenie liniowe L : R
3
→ R
2
takie, »e L (1, 1, 1) = (0, 1),
L (0, 1, 1) = (1, 1)
, L (0, 0, 1) = (−1, 0).
(a) Poda¢ wzór tego przeksztaªcenia,
(b) Znale¹¢ macierz tego przeksztaªcenia w bazach odpowiednio: [(0, 0, 1) , (1, 1, 1) , (1, 0, 0)]
przestrzeni R
3
oraz [(0, 1) , (1, −1)] przestrzeni R
2
.
17. Przeksztaªcenie liniowe T : R
5
→ R
3
w pewnych bazach odpowiednio przestrzeni
R
5
oraz R
3
ma macierz
A =
0
2 1 1 2
−1 1 1 3 4
−1 5 3 5 8
.
Poda¢ wymiar j¡dra i rz¡d tego przeksztaªcenia.
58
18. Okre±li¢ dla jakich warto±ci parametru p ∈ C podane ukªady równa« s¡
ukªadami Cramera, a nast¦pnie te ukªady rozwi¡za¢ w zale»no±ci od parametrów
a)
(1
− p) x −
y +
z =
1
x + (1
− p) y +
z = 2p
x +
y + (1 + p) z =
0
,
b)
x
− 2py +
pt = 1
2y + pz
− pt = 2
px +
2y +
z
= p
1 + 2py +
z
= 3
.
19. Korzystaj¡c ze wzorów Cramera znale¹¢ rozwi¡zania podanych ukªadów rów-
na«:
a)
5x +
4z + 2t = 3
x
− y + 2z +
t = 1
4x + y + 2z
= 1
x + y +
z +
t = 0
,
b)
2x + 3y + 2z
−
t = 3
2x +
y +
z
+ 2s + 3t = 6
3x
−
z
+
s +
t = 3
y
+ 4s +
t = 1
2x +
y +
z
− 2s + 5t = 8
.
20. Znale¹¢ rz¦dy nast¦puj¡cych macierzy:
a)
1 2 3 4
5 6 7 8
9 8 7 6
5 4 3 2
,
b)
1
3
3
0 2 1
1
−1 −2
1 6 3
2
2
1
1 8 4
2
6
1
5 0 1
0
−1
3
−4 0 0
,
c)
1 1 2 3
4
4
2 1 3 1
6
0
4 2 5 4 10 4
1 1 2 3
4
4
.
21. Zbada¢ rz¡d macierzy w zale»no±ci od parametru a
a)
1
1 0
1
a
2
1 1
−a
1
−a 1
a
2
,
b)
a a 1 a
a 1 a a
a a 1 a
a
3
− a 0 0 0
,
c)
a
1
−2
1 a
2
−2
1
1
0
a
2
a
−2
,
d)
1 + a
a
a
a
1
a
1 + a
a
a
1
a
a
1 + a
a
1
a
a
a
1 + a 1
.
22. Zbada¢ rozwi¡zalno±¢ ukªadów równa«
a)
3x
− 5y + 2z + 4 = 2
7x
− 4y + z
+ 3 = 5
5x + 7y
− 4z − 6 = 3
,
b)
24x
− 28y + 30z + 40t − 41s
= 28
36x
− 42y + 45z + 61t − 62s
= 43
48x
− 56y + 60z + 82t − 83s
= 58
60x
− 70y + 75z + 99t − 102s = 69
.
59
23. Rozwi¡za¢ ukªady równa«:
a)
x + 2y +
z +
t = 0
2x +
y + 2z + 2t = 0
x + 2y +
z +
t = 0
x +
y +
z +
t = 0
, b)
x
− 4y + 2z
=
−1
2x
− 3y − z
− 5t = −7
3x
− 7y + z
− 5t = −8
y
− z
− t = −1
.
24. Okre±li¢ w zale»no±ci od parametru λ ∈ R liczb¦ rozwi¡za« ukªadów równa«,
a nast¦pnie dane ukªady rozwi¡za¢ w zale»no±ci od parametrów
a)
x +
y
− λz =
λ
2
x + λ
2
y +
z =
−λ
y +
z =
0
,
b)
λx + 2y
+ λz =
1
x
+ λy +
z
=
−1
λx + 3y
+ λz =
0
λx +
y
+ λz =
λ
,
c)
λx
− λy + λz − λt = −λ
x
− λy + λz − λt = −λ
x
−
y
+ λz
− λt = −λ
x
−
y
+
z
− λt = −λ
, d)
2x
− λy + λz − λt = 1
2x
− 2y + λz − λt = 2
2x
− 2y + 2z − λt = 3
2x
− 2y + 2z − 2t = 4
.
25. Okre±li¢ w zale»no±ci od parametrów λ, µ ∈ R liczb¦ rozwi¡za« ukªadów rów-
na«, a nast¦pnie dane ukªady rozwi¡za¢ w zale»no±ci od parametrów
a)
x +
y
+
z
+
t
+ s =
1
x
− λy +
z
+
t
+ s =
µ
x +
y
− λz +
t
+ s = λ
2
x +
y
+
z
− λt + s = µ
,
b)
λx +
y
+
z
= λ
x
+ λy +
z
= λ
x
+
y
+ λz = λ
x
+
y
+
z
= µ
.
60
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron