Ernest Aleksy Bartnik
Ryszard Paweł Kostecki
Ewa Słomi ´nska
Mechanika Kwantowa I
Skrypt
oparty na notatkach z wykładów dr hab. E. A. Bartnika
4 pa´zdziernika 2002 — 17 stycznia 2003
wersja skryptu:
0.75
data ostatniej rewizji:
24 stycznia 2004
najnowsza wersja dost˛epna jest na stronie:
http://www.rysieq.prv.pl
komentarze do skryptu prosimy przesyła´c pod adres:
rpkost@tempac.okwf.fuw.edu.pl
2
Spis tre´sci
1
Wst˛ep
7
1.1
Równania mechaniki klasycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Procedura kwantowania układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Interpretacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Ruch cz ˛
astki swobodnej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5
Równanie Schrödingera dla cz ˛
astki swobodnej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2
Równanie Schrödingera
9
2.1
Unormowanie funkcji falowej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Warto´sci ´srednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Techniki rozwi ˛
azywania zagadnie´n w mechanice kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3
Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna
13
3.1
Wst˛ep (przepi˛eknej urody) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Dygresja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3
Równania Ehrenfesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.4
Studnia potencjału
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4
Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrze ´n Hilberta.
17
4.1
Krótkie powtórzenie wiedzy dotychczas nabytej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2
Kwantowe rozwi ˛
azania problemów klasycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.2.1
Oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.2.2
Kwantowomechaniczny jednowymiarowy oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . .
18
4.2.3
Układ dwóch cz ˛
astek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.2.4
Kwantowomechaniczny trójwymiarowy oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . .
21
4.3
Przestrze´n Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.3.1
Dwuwymiarowa przestrze´n Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.3.2
Baza w przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5
Twierdzenie spektralne
23
5.0.3
Operator p˛edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3
5.0.4
Operator poło˙zenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.1
Równoczesno´s´c pomiaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.2
Uogólniona zasada Heisenberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
6
Oscylator harmoniczny
26
6.1
Jak wytwarza´c funkcje falowe? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
6.2
Problem oscylatora harmonicznego - jawne rozwi ˛
azanie zagadnienia . . . . . . . . . . . . . . . .
26
6.3
Rozwi ˛
azanie równania własnego z wykorzystaniem operatorów
(bez konieczno´sci całkowania) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
6.4
Tworzenie funkcji falowej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
6.5
Notacja “bra” i “ket” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
6.6
Funkcja falowa w przestrzeni trójwymiarowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
6.6.1
Degeneracja stanów
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
7
Atom wodoru
31
7.1
Zapis w układzie sferycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
8
Wielomiany Legendre’a, harmoniki sferyczne i moment p˛edu
33
8.1
Krótkie powtórzenie, tytułem wst˛epu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
8.2
Wielomiany Legendre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
8.3
Harmoniki sferyczne i ich własno´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
8.4
Operator momentu p˛edu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
8.4.1
Wektor momentu p˛edu we współrz˛ednych sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
9
Atom wodoru - ci ˛
ag dalszy
37
9.1
Radialne równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
9.2
Poziomy energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
9.3
Atom wodoru: funkcja falowa i poziomy energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
10 Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej
39
10.1 Macierze
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
10.1.1 Przypomnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
10.1.2 Macierze hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4
10.1.3 Funkcja od macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
10.2 Macierze i bra-kety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
10.3 Mechanika kwantowa w sformułowaniu Heisenberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
10.4 Uwagi rozmaite w obrazie Heisenberga
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
10.4.1 Wypisy z Schiffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
10.5 Operatorowe rozwi ˛
azanie równania Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
11 Symetrie
44
11.1 Tradycyjne jak gdyby przypomnienie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
11.2 Najgł˛ebsze twierdzenie fizyki: Twierdzenie Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
11.3 Grupa obrotów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
11.4 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
12 Rachunek zaburze ´n
47
12.1 Troch˛e z tego, co ju˙z było . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
12.2 Metody rachunków przybli˙zonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
12.2.1 Metoda wariacyjna Ritza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
12.2.2 Problem atomu helu - szukanie stanu podstawowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
12.3 Rachunek zaburze´n niezale˙zny od czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
13 Rachunek zaburze ´n – ci ˛
ag dalszy
50
13.1 Ci ˛
ag dalszy z poprzedniego wykładu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
13.2 Znoszenie degeneracji przez zaburzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
13.2.1 Przykład
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
14 Przybli˙zenie półklasyczne
53
14.1 Przybli˙zenie WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
14.2 Warunek na kwantyzacj˛e półklasyczn ˛
a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
14.3 Interpretacja graficzna przybli˙zenia WKB dla cz ˛
astki w potencjale . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
14.4 Rozpad promieniotwórczy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
14.5 Rachunek zaburze´n zale˙zny od czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
15 Rachunek zaburze ´n
55
5
15.1 Przypomnienie wraz z kontynuacj ˛
a materiału z wykładu poprzedniego . . . . . . . . . . . . . . .
55
15.2 Zaburzenie harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
15.3 Przybli˙zenie adiabatyczne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
16 Przybli˙zenie nagłej zmiany, fermiony i bozony
58
16.1 Rachunek zaburze´n - dalszy ci ˛
ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
16.1.1 Przybli˙zenie adiabatyczne i oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
16.1.2 Nieci ˛
agła zmiana warto´sci H
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
16.1.3 Przybli˙zenie nagłej zmiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
16.2 Problem dwóch ciał . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
17 Bozony i fermiony
61
17.1 Symetryczno´s´c i antysymetryczno´s´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
17.2 Izospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
18 Bozony, fermiony i układ okresowy
62
18.1 Przypomnienie postulatów mechaniki kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
18.2 Problem cz ˛
astek symetrycznych jeszcze raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
18.2.1 Jak antysymetryzowa´c funkcje? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
18.2.2 Hamiltonian dla układu n elektronów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
18.3 Układ okresowy pierwiastków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
18.3.1 Z czego wynika okresowo´s´c pierwiastków? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
18.4 Model atomu Thomasa-Fermiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
19 Metoda Hartreego-Focka
66
20 Obraz Heisenberga, Diraca i Schrödingera
69
20.1 Przypomnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
20.2 Obrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
20.2.1 Przykład pierwszy: cz ˛
astka swobodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
20.2.2 Przykład drugi: oscylator jednowymiarowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
20.2.3 Przykład trzeci: oscylator jednowymiarowy z sił ˛
a wymuszaj ˛
ac ˛
a . . . . . . . . . . . . . .
71
6
21 Jeszcze raz problem oscylatora
71
22 Stany mieszane
73
23 Rozpraszanie
74
23.1 Wst˛ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
23.2 Rozpraszanie: ´sci´slejsze rozwa˙zania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
23.3 Funkcje Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
24 Rozpraszania ci ˛
ag dalszy
76
24.1 Postulaty, na dobry pocz ˛
atek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
24.2 Rozpraszanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
24.3 Rozpraszanie na sferycznym potencjale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
24.4 Całkowity przekrój czynny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
25 Kwantyzacja układu zło˙zonego z N oscylatorów
80
25.1 Wst˛ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
25.2 Sko´nczona transformata Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
26 Podsumowanie wykładu “Mechanika kwantowa”
81
26.1 Jako rzecze Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
26.2 Od kronikarzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
26.3 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 1: Wst ˛ep.
7
1
Wst˛ep
Mechanika kwantowa
1
jest podstawow ˛
a teori ˛
a zjawisk skali atomowej. Jest ona nieintuicyjna, czasem wr˛ecz “ab-
surdalna”. Jednak jedynym kryterium poprawno´sci teorii jest jej zgodno´s´c z do´swiadczeniem, a mechanika kwan-
towa jest najdokładniej potwierdzon ˛
a teori ˛
a fizyczn ˛
a.
Zauwa˙zalny jest du˙zy zwi ˛
azek mi˛edzy mechanik ˛
a klasyczn ˛
a i kwantow ˛
a. Je˙zeli dla układu da si˛e zapisa´c lagran˙z-
jan (a zatem i hamiltonian), to problem mo˙zna rozwi ˛
aza´c zgodnie z zasadami mechaniki kwantowej. Natomiast
przy pomocy równa´n Hamiltona-Jacobiego mo˙zna jednoznacznie stwierdzi´c, czy postawiony tak problem da si˛e
rozwi ˛
aza´c analitycznie. S ˛
a jednak zjawiska dla których zapisanie lagran˙zjanu jest niemo˙zliwe, b ˛
ad´z trudne (np.
zjawiska gdzie wyst˛epuje tarcie).
W mechanice relatywistycznej nie wyst˛epuje poj˛ecie siły. Wyst˛epuj ˛
a pola.
1.1
Równania mechaniki klasycznej
P˛ed kanoniczny to (z definicji) lagran˙zjan zró˙zniczkowany po pr˛edko´sci (uogólnionej): p
i
:=
∂L
∂ ˙
q
i
. Odpowiedni-
kiem newtonowskiej zasady dynamiki (
d
dt
p = F ) w j˛ezyku lagran˙zjanu jest równanie Eulera-Lagrange’a:
d
dt
∂L
∂ ˙
q
i
=
∂L
∂q
i
.
(1)
Energi˛e układu mo˙zna wyrazi´c za pomoc ˛
a p˛edów i poło˙ze´n - otrzymuje si˛e hamiltonian:
H =
X
i
(p
i
˙
q
i
) − L.
(2)
Dla ka˙zdego hamiltonianu spełnione s ˛
a równania Hamiltona:
˙
q
i
=
∂H
∂p
i
,
(3)
˙
p
i
= −
∂H
∂q
i
.
(4)
Dla jednego wymiaru równania te maj ˛
a posta´c:
(
˙
x =
∂H(p,x,t)
∂p
˙
p = −
∂H(p,x,t)
∂x
.
Wykorzystuj ˛
ac definicj˛e ró˙zniczki:
dx
dt
=
∂x
∂t
=
x(t+Mt)−x(t)
Mt
i wzory (3) i (4), otrzymuje si˛e nast˛epuj ˛
ace wzory:
(
x(t+ M t) = x(t)+ M t
∂H(x,p,t)
∂p
p(t+ M t) = p(t)+ M t
∂H(x,p,t)
∂x
,
1
Wła´sciwsz ˛
a nazw ˛
a dla tej mechaniki byłoby okre´slenie jej jako mechaniki operatorowej := mechaniki falowej + mechaniki kwantowej.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 1: Wst ˛ep.
8
co umo˙zliwia numeryczne wyznaczanie ewolucji układu dla dowolnych czasów.
1.2
Procedura kwantowania układu
1. Hamiltonian we współrz˛ednych kartezja´nskich przekształca sie w operator kwantowy:
H(r, p, t) −→ ˆ
H(r, −i}∇, t).
(5)
Poszukajmy jednostek stałej }
2
, tak, by we wzorze (5) zgadzały si˛e jednostki (czyli: dokonajmy analizy
wymiarowej): [p] =
kg
·
m
s
= J
·
s
m =
[}]
m , [p] =
J
·
s
m , [
∂
∂x
] =
1
m . Zatem: [}] =
[m][x]
2
[t]
= [p][x] = [E][t].
Analiza wymiarowa nie jest w stanie poda´c nam warto´sci zmiennej, któr ˛
a to warto´s´c trzeba wyznaczy´c
eksperymentalnie. Dzi´s wiemy, i˙z } = 1.054573 · 10
−34
J · s ' 6.58 · 10
−16
eV · s.
2. Energii i składowym p˛edu przypisane s ˛
a nast˛epuj ˛
ace operatory, działaj ˛
ace na funkcj˛e falow ˛
a ψ(r, t):
E −→ i}
∂
∂t
,
(6)
p
x
−→ −i}
∂
∂x
,
(7)
p
y
−→ −i}
∂
∂y
,
(8)
p
z
−→ −i}
∂
∂z
.
(9)
1.3
Interpretacja
Funkcja falowa ψ(r, t) okre´sla w mechanice kwantowej stan fizyczny układu. Podanie tej funkcji dla pewnej
chwili czasu opisuje wszystkie własno´sci układu, nie tylko w danym momencie, ale równie˙z w przyszło´sci, oraz
w przeszło´sci. Funkcja falowa ψ koduje cał ˛
a informacj˛e o układzie. Nie czyni tego jednak w postaci dyskretnej
zbioru sze´sciu liczb (x, y, z, p
x
, p
y
, p
z
), tak jak to było w mechanice klasycznej, lecz w bardziej wyrafinowanej
postaci funkcyjnej. Mechanika kwantowa jest teori ˛
a deterministyczn ˛
a i probabilistyczn ˛
a.
Działanie hamiltonianu ˆ
H na funkcj˛e falow ˛
a: przesuwa on nasz ˛
a wiedz˛e o układzie w czasie:
ˆ
H(r, −i}∇, t)ψ(r, t) = i}
∂
∂t
ψ(r, t).
(10)
Interpretacja funkcji falowej ψ: iloczyn funkcji falowej ψ i funkcji do niej sprz˛e˙zonej ψ
∗
jest g˛esto´sci ˛
a praw-
dopodobie´nstwa poło˙zenia:
%(r, t) = |ψ(r, t)|
2
.
(11)
Oznacza to, ˙ze %(r, t)dxdydz jest prawdopodobie´nstwem znalezienia cz ˛
astki w elemencie obj˛eto´sci dxdydz
wokół punktu r w chwili t. Funkcja ψ musi by´c unormowana zgodnie z warunkiem normalizacji:
1 =
Z
d
3
r%(r, t) =
Z
d
3
r|ψ(r, t)|
2
.
(12)
2
} to taki kwantometr
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 2: Równanie Schrödingera.
9
1.4
Ruch cz ˛
astki swobodnej
klasycznie:
• energia kinetyczna: L =
m ˙
x
2
2
,
• p˛ed: p
x
=
∂L
∂ ˙
x
= m ˙
x,
• hamiltonian H = p ˙x −
m ˙
x
2
2
=
p
2
m
−
m
2
p
2
m
2
=
p
2
2m
=
1
2m
(p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
).
kwantowo:
• ˆ
H =
−}
2
2m
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
= −
}
2
2m
(∇)
2
.
1.5
Równanie Schrödingera dla cz ˛
astki swobodnej
i}
∂ψ
∂t
= −
}
2
2m
∂
2
ψ
∂x
2
+
∂
2
ψ
∂y
2
+
∂
2
ψ
∂z
2
.
(13)
Postuluj ˛
ac rozwi ˛
azania w postaci fali płaskiej:
ψ(x, y, z, t) = exp(−iωt + ik
1
x + ik
2
y + ik
3
z),
otrzymuje si˛e:
∂
2
ψ
∂x
2
= (−k
2
1
)ψ
∂
2
ψ
∂y
2
= (−k
2
2
)ψ
∂
2
ψ
∂z
2
= (−k
2
3
)ψ
∂ψ
∂t
= −iω exp(−iωt) = (−iω)ψ.
Po wstawieniu do równania (13) mamy:
(i})(−iω)ψ =
}
2
2m
(k)
2
ψ → }ωψ =
}
2
(k)
2
2m
ψ.
Z powy˙zszych równa´n wynika zale˙zno´s´c na cz˛esto´s´c rozchodzenia si˛e paczki falowej (zwi ˛
azek dyspersyjny):
ω =
}(k)
2
2m
.
(14)
2
Równanie Schrödingera
2.1
Unormowanie funkcji falowej
i}
∂ψ
∂t
= ˆ
Hψ.
(15)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 2: Równanie Schrödingera.
10
Rozwi ˛
azaniem tego równania jest funkcja falowa ψ(r, t), która dostarcza pełnego opisu zachowania cz ˛
astki.
Poniewa˙z prawdopodobie´nstwo znalezienia cz ˛
astki gdziekolwiek wynosi 1, to mamy warunek normalizacji:
Z
d
3
rψ
∗
ψ = 1.
(16)
Współczynnik przy funkcji ψ - norma - jest niezale˙zny od czasu. Potwierdzaj ˛
a to obliczenia:
P (t) =
Z
d
3
rψ
∗
ψ = 1.
dP
dt
=
Z
d
3
r
d
dt
(ψ
∗
ψ) =
Z
d
3
r( ˙
ψ
∗
ψ + ψ
∗
˙
ψ).
Wstawiamy ˙
ψ =
1
i}
( ˆ
Hψ) oraz ˙
ψ
∗
= −
1
i}
( ˆ
Hψ)
∗
:
dP
dt
=
Z
d
3
r
1
i}
−ψ( ˆ
Hψ)
∗
+ ψ
∗
( ˆ
Hψ)
.
Przyjmuj ˛
ac, ˙ze H = H
0
+ V (r), natomiast ˆ
H = −
}
2
2m
(∇)
2
+ V (r):
dP
dt
=
1
i}
Z
d
3
r
−ψ
−
}
2
2m
∇
2
ψ + V (r)ψ
∗
+ ψ
∗
−
}
2
2m
∇
2
ψ + V (r)ψ
.
Ostatecznie mamy:
dP
dt
= −
}
2mi
Z
d
3
r
−(∇
2
ψ
∗
)ψ + ψ
∗
∇
2
ψ
.
(17)
Problem mo˙zna rozwi ˛
aza´c dwoma sposobami:
1. Skorzysta´c z definicji laplasjanu (∇
2
=
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
) i przekształci´c równanie (17) do postaci:
−
}
2mi
Z
+∞
−∞
dz
Z
+∞
−∞
dy
Z
+∞
−∞
dx
−ψ
∂
2
ψ
∗
∂x
2
+ ψ
∗
∂
2
ψ
∂x
2
|
{z
}
R
+∞
−∞
dx
[
−
∂ψ
∂x
∂ψ∗
∂x
+
∂ψ∗
∂x
∂ψ
∂x
]
=0
= 0.
(18)
Z tego równania wynika
dP
dt
= 0.
2. Zmiana w czasie prawdopodobie´nstwa znalezienia cz ˛
astki w pewnym obszarze (nie w całej obj˛eto´sci):
d
dt
P (t) =
Z
Ω
d
3
r
d
dt
(ψ
∗
ψ) = −
}
2mi
Z
Ω
d
3
r[−(∇
2
ψ
∗
)ψ + ψ
∗
(∇
2
ψ)].
Na mocy twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego całka powierzchniowa zamienia si˛e w całk˛e po konturze
obszaru:
d
dt
P (t) = −
}
2mi
Z
dΩ
d
2
σ[−ψ(∇ψ
∗
) + ψ
∗
(∇ψ)].
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 2: Równanie Schrödingera.
11
Na podstawie otrzymanego wyniku mo˙zna zdefiniowa´c pr ˛
ad prawdopodobie´nstwa (g˛esto´s´c pr ˛
adu prawdopodobie´nstwa)
S:
S :=
}
2mi
[ψ
∗
(∇ψ) − (∇ψ
∗
)ψ].
(19)
Obowi ˛
azuje wówczas równanie ci ˛
agło´sci:
∂%
∂t
+ ∇S = 0.
(20)
Strumie´n prawdopodobie´nstwa wypływa, gdy funkcje falowe s ˛
a zespolone:
ψ(r, t) = N exp(−iω(p)t +
irp
}
),
ω(p) =
p
2
2m}
.
(21)
2.2
Warto´sci ´srednie
Ogólny wzór na warto´s´c ´sredni ˛
a funkcji f (x):
hf (x)i =
Z
dx%(x)f (x),
(22)
gdzie %(x) jest g˛esto´sci ˛
a prawdopodobie´nstwa. Dla cz ˛
astek danych pewnym rozkładem prawdopodobie´nstwa is-
totne s ˛
a dwie warto´sci: σ-odchylenie standardowe, µ-´srednia rozkładu. Znaj ˛
ac g˛esto´s´c prawdopodobie´nstwa %
mo˙zna obliczy´c ´srednie poło˙zenie cz ˛
astki hxi:
µ =
Z
dx%(x)x = hxi dla %(x) > 0 i
Z
dx%(x) = 1,
σ
2
=
Z
dx%(x)[x − µ]
2
= h(x − µ)i
2
= hx
2
i − hxi
2
.
Ka˙zdej wielko´sci fizycznej mo˙zna przypisa´c operator:
np. kwantowy operator momentu p˛edu: ˆ
L = ˆ
r × ˆ
p.
Wzór na ´sredni ˛
a warto´s´c dowolnego operatora:
h ˆ
Θi =
Z
d
3
rψ
∗
ˆ
Θψ.
(23)
Operatory mechaniki kwantowej - operatory hermitowskie - w działaniu na dowoln ˛
a funkcj˛e falow ˛
a daj ˛
a wynik
rzeczywisty.
Przykładowe obliczenia:
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 2: Równanie Schrödingera.
12
• ´Srednie poło˙zenie cz ˛
astki hxi:
hxi =
R d
3
rψ
∗
(r)xψ(r) =
R d
3
rψ
∗
ψx =
R d
3
r%(r, t)x,
ˆ
x : ψ(x, t) −→ xψ(x, t).
• ´Srednia x-owej składowej p˛edu hp
x
i:
hp
x
i =
R d
3
rψ
∗
(−i}
∂ψ
∂x
) = −i}
R dz R dy R dxψ
∗ ∂ψ
∂x
= −i}
R dydz R dx
∂ψ
∂x
ψ
∗
,
sprz˛e˙zenie ´sredniej warto´sci x-owej składowej p˛edu hp
x
i
∗
:
hp
x
i
∗
=
R d
3
rψ(−i}
∂ψ
∗
∂x
) = i}
R dz R dy R dxψ
dψ
∗
dx
= hp
x
i,
zatem, gdy funkcja falowa jest rzeczywista (ψ
∗
= ψ), wtedy hp
x
i = 0.
2.3
Techniki rozwi ˛
azywania zagadnie ´n w mechanice kwantowej
Istnieje tylko jedna analityczna metoda rozwi ˛
azywania równa´n ró˙zniczkowych cz ˛
astkowych: przez separacj˛e zmi-
ennych. Potrafimy rozwi ˛
azywa´c w ten sposób tylko zagadnienia o du˙zej symetrii.
Dany jest hamiltonian:
ˆ
H = −
}
2
2m
∇
2
+ V (r),
(24)
gdzie V (r) nie zale˙zy od czasu. Rozwi ˛
azuj ˛
ac równanie Schrödingera mo˙zna je rozseparowa´c na cz˛e´s´c zale˙zn ˛
a i
niezale˙zn ˛
a od czasu, a funkcj˛e falow ˛
a zapisa´c nast˛epuj ˛
aco: ψ(r, t) = α(t)ψ
E
(r).
Rachunki:
i}
∂ψ
∂t
= ˆ
Hψ
i}
dα
dt
ψ
E
(r) = α(t) ˆ
Hψ(r) k : α(t)ψ
E
(r)
i}
dα
dt
1
α(t)
=
ˆ
Hψ(r)
ψ
E
(r)
= E.
E jest stał ˛
a separacji oraz, jak si˛e pó´zniej oka˙ze, energi ˛
a. Separacja równania udaje si˛e tylko dla potencjałów
niezale˙znych od czasu. Ko´ncowym efektem separacji s ˛
a dwa równania:
• Proste równanie ró˙zniczkowe zale˙zne od czasu:
i}
dα
dt
α(t)
= E.
(25)
• Równanie Schrödingera niezale˙zne od czasu:
−
}
2
2m
∇
2
ψ
E
+ V (r)ψ
E
= Eψ
E
.
(26)
Szukana posta´c rozwi ˛
azania równania (25): e
γt
= α(t).
i}
dα
dt
= Eα(t) → i}γα(t) = Eα(t) ⇒ α(t) = e
−
iEt
}
.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 3: Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna.
13
Zatem: ψ(r, t) = exp(−
iEt
}
)ψ
E
(r); ψ
∗
(r, t) = exp(+
iEt
}
)ψ
∗
E
(r).
G˛esto´s´c prawdopodobie´nstwa znalezienia cz ˛
astki nie zale˙zy od czasu:
3
% = ψ
∗
ψ = |ψ
E
(r)|
2
.
3
Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna
3.1
Wst˛ep (przepi˛eknej urody)
Ka˙zdej wielko´sci fizycznej przypisujemy operator kwantowy:
Θ(r, p) −→ ˆ
Θ(r, −i}∇).
Przepis ten czasami nie sprawdza si˛e. Dla przykładu zbadajmy kwantowy odpowiednik klasycznej równo´sci
xp
x
= p
x
x:
ˆ
x ˆ
p
x
ψ = x(
}
i
)
∂ψ
∂x
,
(27)
ˆ
p
x
ˆ
xψ = (
}
i
)[ψ + x
∂ψ
∂x
].
(28)
Oczywi´scie (27) 6= (28). Okazuje si˛e, ˙ze w mechanice kwantowej dopuszczone s ˛
a jedynie takie operatory, które s ˛
a
hermitowskie. Ani (27) ani (28) hermitowskie nie s ˛
a. Natomiast
1
2
(ˆ
x ˆ
p
x
+ ˆ
p
x
ˆ
x) w pełni poprawnym hermitowskim
operatorem ju˙z jest.
Mechanika kwantowa jest statystyczna. W jej warstwie interpretacyjnej my´slimy w terminach funkcji falowej,
warto´sci oczekiwanych, prawdopodobie´nstwa. Jest ona deterministyczna, bo potrafi przesuwa´c nasz ˛
a wiedz˛e w
czasie: i}
∂ψ
∂t
= ˆ
Hψ to nic innego, jak równanie liniowe ewolucji. Była ona sprawdzana w warunkach ekstremal-
nych i nigdy nie zostało zaobserwowane ˙zadne odst˛epstwo od liniowo´sci.
Funkcj˛e falow ˛
a cz˛esto separujemy na cz˛e´s´c zale˙zn ˛
a tylko od czasu oraz cz˛e´s´c zale˙zn ˛
a tylko od poło˙zenia:
ψ(r, t) = A(t)ϕ
E
(r) = e
−
iEt
}
ϕ
E
(r),
(29)
gdzie ϕ
E
(r) spełnia równanie Schrödingera niezale˙zne od czasu:
ˆ
Hϕ
E
= Eϕ
E
.
(30)
Udowodnimy teraz, ˙ze stała separacji E rzeczywi´scie jest energi ˛
a:
h ˆ
Hi =
Z
d
3
rψ
∗
ˆ
Hψ =
Z
d
3
re
iEt
}
ϕ
∗
E
(r) ˆ
He
−
iEt
}
ϕ
E
(r) =
(31)
3
Z dokładno´sci ˛
a do fazy funkcji falowej, która to zmienia si˛e w czasie, jednak g˛esto´s´c prawdopodobie´nstwa - |ψ|
2
- skutecznie wpływu
ewolucji nie zauwa˙za.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 3: Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna.
14
=
Z
d
3
rϕ
∗
E
ˆ
Hϕ
E
=
Z
d
3
rϕ
∗
E
Eϕ
E
= E
Z
d
3
rϕ
∗
E
ϕ
E
= E.
Zatem ϕ
E
to funkcje własne, za´s E to warto´sci własne operatora ˆ
H.
3.2
Dygresja
Miar ˛
a rozrzutu rozkładu prawdopodobie´nstwa jest wariancja:
σ
2
ϑ
= h(ϑ − hϑi)
2
i.
(32)
Zatem:
σ
2
E
= h( ˆ
H − E)
2
i =
Z
d
3
rϕ
∗
E
(r) ( ˆ
H − E)
2
ϕ
E
(r)
|
{z
}
( ˆ
H−E)·
( ˆ
H − E)ϕ
E
|
{z
}
=0
= 0.
(33)
Okazuje si˛e, ˙ze w specyficznych sytuacjach specyficzne wielko´sci maj ˛
a w mechanice kwantowej dokładnie okre´slone
warto´sci.
4
3.3
Równania Ehrenfesta
W jakim znaczeniu mechanika kwantowa odtwarza mechanik˛e klasyczn ˛
a?
˙
ψ =
1
i}
( ˆ
Hψ) =
1
i}
[−
}
2
2m
(∇
2
ψ) + V ψ],
˙
ψ = −
}
2mi
(∇
2
ψ) +
1
i}
V ψ,
˙
ψ
∗
=
}
2mi
(∇
2
ψ
∗
) −
1
i}
V ψ
∗
.
d
dt
hxi =
d
dt
Z
d
3
rψ
∗
xψ =
Z
d
3
rx[ ˙
ψ
∗
ψ + ψ
∗
˙
ψ] =
=
Z
d
3
rx[ψ
∗
(−
}
2mi
)(∇
2
ψ) + ψ
∗
V
i}
ψ +
}
2mi
(∇
2
ψ
∗
) − ψ
V
i}
ψ
∗
] =
Człony zale˙zne od potencjału skróciły si˛e!
=
}
2mi
Z
d
3
rx[ψ(∇
2
ψ
∗
) − ψ
∗
(∇
∗
ψ)] =
}
2mi
Z
d
3
r[ψ
∗
(2
∂ψ
∂x
+ x
∂
2
ψ
∂x
2
) − ψ
∗
x
∂
2
ψ
∂x
2
].
4
Znikanie wariancji energii jest faktem oczywistym, gdy zauwa˙zy si˛e, ˙ze stosuj ˛
ac równanie Schrödingera zakładamy, ˙ze mamy do czynienia
z dokładnymi pomiarami energii (por. Haken). Dokładnymi, czyli o wariancji równej zero. (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 3: Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna.
15
Rachunek pomocniczy:
R dx(xψ)
∂
2
ψ
∗
∂x
2
= −
R dx
d
dx
(xψ)
∂ψ
∗
∂x
=
R dx[
d
2
dx
2
(xψ)]ψ
∗
.
Zatem:
Z
d
3
r
}
mi
∂
∂x
ψ =
Z
d
3
rψ
∗
ˆ
p
x
m
ψ = h
p
x
m
i.
Uzyskali´smy równanie:
d
dt
hxi = h
p
x
m
i.
(34)
Analogicznie liczy si˛e:
d
dt
hp
x
i = −h
∂V
∂x
i.
(35)
Zestaw równa´n (34) i (35) nazywa si˛e równaniami Ehrenfesta.
Niech hxi = x
0
. W przypadku, gdy paczka falowa jest bardzo w ˛
aska w porównaniu z potencjałem, mamy:
h−
∂V
∂x
i =
Z
d
3
rψ
∗
ψ(−
∂V
∂x
) ≈ (−
∂V
∂x
0
)
Z
d
3
rψ
∗
ψ = −
∂V
∂x
0
.
Nie jest tak jednak wówczas, gdy paczka falowa jest rozmyta.
3.4
Studnia potencjału
Rozwa˙zmy hamiltonian H = −
}
2
2m
d
2
dx
2
+ V (x), oraz we´zmy cz ˛
astk˛e zwi ˛
azan ˛
a w studni potencjału o pewnej
energii E. Klasycznie mamy:
E =
p
2
2m
+ V (x),
(36)
czyli:
p(x) = ±
p
(E − V (x))2m.
(37)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 3: Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna.
16
OBSZAR KLASYCZNIE
ZABRONIONY
OBSZAR KLASYCZNIE
ZABRONIONY
V(X)
OSCYLACJE
V(X)
OBSZAR KLASYCZNIE
DOSTEPNY
Vmin
E
p
p
w tym oszarze pedy,
brane sa ze znakiem
"+" i "-"
<------------->
Natomiast kwantowo:
−
}
2
2m
d
2
ϕ
E
dx
2
+ V (x)ϕ
E
(x) = Eϕ
E
(x).
(38)
Spróbujmy rozwi ˛
aza´c uproszczone równanie (V = const):
−
}
2
2m
d
2
ϕ
E
dx
2
+ V ϕ
E
(x) = Eϕ
E
(x).
(39)
Podstawiaj ˛
ac ϕ
E
= e
λx
mamy:
λ
2
=
2m
}
2
(V − E).
(40)
Przypadki:
• V > E ⇒ λ = ±
1
}
p2m(V − E)
jest to rozwi ˛
azanie klasycznie zabronione!
• V < E ⇒ λ = ±
i
}
p2m(E − V ) = ±
i
}
p
jest to rozwi ˛
azanie oscylacyjne.
V>E - obszar klasycznie
zabroniony
V < E - obszar oscylacji
Okazuje si˛e, ˙ze ψ (dla ró˙znych energii E) ucieka do +∞ lub do −∞. Rozwi ˛
azania fizyczne istniej ˛
a tylko dla
wybranych energii. Zatem energia jest skwantowana.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 4: Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrze ´
n Hilberta.
17
Trzy głowne fakty ró˙zni ˛
ace mechanik˛e kwantow ˛
a od klasycznej:
• to funkcja falowa, a nie cz ˛
astka, ma własno´sci falowe,
• energia mo˙ze przyjmowa´c jedynie skwantowane warto´sci,
• cz ˛
astk˛e kwantow ˛
a mo˙zna znale´z´c w obszarze klasycznie niedost˛epnym.
4
Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrze ´n Hilberta.
4.1
Krótkie powtórzenie wiedzy dotychczas nabytej
1. Mechanika kwantowa jest mechanik ˛
a operatorów:
Θ(r, p) → ˆ
Θ(r, −i}∇).
(41)
2. Operatory działaj ˛
a na zespolon ˛
a funkcj˛e falow ˛
a:
ψ(r, t).
(42)
3. G˛esto´s´c prawdopodobie´nstwa wyra˙za si˛e nast˛epuj ˛
aco:
%(r, t) = |ψ|
2
= ψ
∗
ψ.
(43)
4. Warto´s´c ´sredni ˛
a wielko´sci fizycznej liczy si˛e ze wzoru:
h ˆ
Θi =
Z
d
3
rψ
∗
ˆ
Θψ.
(44)
5. Hamiltonian dla pojedynczej cz ˛
astki w potencjale niezale˙znym od czasu:
ˆ
H = −
}
2
2m
∇
2
+ V (r).
(45)
6. Równaniem opisuj ˛
acym ewolucj˛e czasowo-przestrzenn ˛
a funkcji falowej w przypadku nierelatywistycznym
jest równanie Schrödingera:
i}
∂ψ
∂t
= (−
}
2
2m
∇
2
+ V )ψ.
(46)
7. Dla potencjału niezale˙znego od czasu wiele problemów ulega uproszczeniu. Wówczas mo˙zliwy jest zapis
funkcji falowej w postaci:
ψ(r, t) = e
−
iEt
}
ψ
E
(r).
(47)
8. Otrzymujemy wówczas równanie Schrödingera niezale˙zne od czasu:
ˆ
Hψ
E
= Eψ
E
,
(48)
gdzie E jest warto´sci ˛
a własn ˛
a operatora energi, czyli hamiltonianu.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 4: Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrze ´
n Hilberta.
18
Anatomia funkcji falowej
Stany zwiazane:
symetryczne
antysymetryczny
x
V(x)
4.2
Kwantowe rozwi ˛
azania problemów klasycznych
Istniej ˛
a tylko dwa klasyczne przykłady, które mo˙zna skwantowa´c otrzymuj ˛
ac pełne rozwi ˛
azanie w sposób jawny.
Jest to oscylator harmoniczny i potencjał kulombowski (atom wodoru).
4.2.1
Oscylator harmoniczny
Hamiltonian dla oscylatora harmonicznego (jednowymiarowego):
H =
p
2
2m
+
kx
2
2
.
(49)
Szukane rozwi ˛
azanie ma posta´c: x(t) = e
iωt
. Zatem: ˙
x = iωe
iωt
, ¨
x = −ω
2
x. Cz˛esto´s´c drga´n nie zale˙zy od
amplitudy i w klasycznym podej´sciu wynosi:
ω
kl
=
r
k
m
.
(50)
4.2.2
Kwantowomechaniczny jednowymiarowy oscylator harmoniczny
Hamiltonian dla oscylatora kwantowego:
ˆ
H = −
}
2
2m
d
2
dx
2
+
k
2
x
2
.
(51)
Z działania hamiltonianu na funkcj˛e ( ˆ
Hψ
E
= E
n
ψ
E
) otrzymujemy nast˛epuj ˛
ace równanie:
−
}
2
2m
ψ
00
(x) +
k
2
x
2
ψ(x) = Eψ(x).
(52)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 4: Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrze ´
n Hilberta.
19
Chcemy znale´z´c rozwi ˛
azanie wskazuj ˛
ace na stan o najni˙zszej energii. Postulujemy rozwi ˛
azanie postaci: ψ =
e
−
αx2
2
. St ˛
ad: ψ
0
= e
−
αx2
2
(−αx), ψ
00
= e
−
αx2
2
(α
2
x
2
− α). Po wstawieniu ψ, ψ
0
i ψ
00
do równania (52) otrzymu-
jemy równanie:
−
}
2
2m
(α
2
x
2
− α) +
k
2
x
2
= E.
(53)
Z tego równania otrzymujemy wyra˙zenie na najni˙zsz ˛
a energi˛e:
E =
}
2
α
2m
,
(54)
gdzie czynnik α wyra˙za si˛e nast˛epuj ˛
aco:
}
2
α
2
2m
=
k
2
⇒ }
2
α
2
= km ⇒ α =
√
km
}
.
Szukaj ˛
ac zwi ˛
azku mi˛edzy oscylatorem kwantowym i klasycznym wykonujemy nast˛epuj ˛
ace przekształcenia:
E =
}
2
2m
√
km
}
=
}
√
km
2m
=
}
2
r
km
m
2
=
}
2
ω
kl
.
Czyli energia oscylatora kwantowego wyra˙zona za pomoc ˛
a cz˛esto´sci drga´n oscylatora klasycznego wynosi:
E =
}
2
ω
kl
.
(55)
Cała klasa rozwi ˛
aza´n równania (52) wyra˙zona jest nast˛epuj ˛
aco:
ψ
n
(x) = W
n
(x)e
−
α
2
x
2
(56)
Wówczas dla:
n=0: ψ
0
(x) = N
0
e
−
α
2
x
2
- mamy stan podstawowy,
n=1: ψ
1
(x) = N
1
xe
−
α
2
x
2
- mamy pierwszy stan wzbudzony.
Klasyczne prawdopodobie´nstwo P (x) znalezienia cz ˛
astki w punkcie x jest proporcjonalne do odwrotno´sci jej
pr˛edko´sci:
P (x) ∼
1
v(x)
=
m
p(x)
=
m
p2m(E − V (x))
.
Kwantowomechaniczne prawdopodobie´nstwo, jak wida´c na poni˙zszym rysunku, u´srednia si˛e do klasycznego
rozkładu prawdopodobie´nstwa.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 4: Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrze ´
n Hilberta.
20
Obszar
klasyczny
Obszar
klasyczny
- funkcja falowa
wyzszego stanu
(nieznormalizowana)
.
x
V(x)
4.2.3
Układ dwóch cz ˛
astek
Dla układu dwóch cz ˛
astek dana jest funkcja falowa ψ(r
1
, r
2
, t). Zastanawiamy si˛e nad tym, jakie jest praw-
dopodobie´nstwo znalezienia pierwszej cz ˛
astki w r
1
, a drugiej cz ˛
astki w r
2
. Funkcj˛e falow ˛
a zapisujemy jako
iloczyn dwóch funkcji, z których ka˙zda zwi ˛
azana jest z pojedyncz ˛
a cz ˛
astk ˛
a:
ψ(r
1
, r
2
, t) = ψ
1
(r
1
, t)ψ
2
(r
2
, t).
Odpowiada to separacji g˛esto´sci prawdopodobie´nstwa:
%(r
1
, r
2
) = %
1
(r
1
)%
2
(r
2
).
Hamiltonian dla układu dwóch cz ˛
astek:
ˆ
H = ˆ
H
1
(r
1
, −i}∇
1
) + ˆ
H
2
(r
2
, −i}∇
2
).
(57)
Mo˙zna teraz równanie (48) zapisa´c tak, by było spełnione dla układu dwóch cz ˛
astek:
( ˆ
H
1
+ ˆ
H
2
)ψ
1
(r
1
)ψ
2
(r
2
) = Eψ
1
(r
1
)ψ
2
(r
2
),
(58)
( ˆ
H
1
ψ
1
)ψ
2
+ ψ
1
( ˆ
H
2
ψ
2
) = Eψ
1
(r
1
)ψ
2
(r
2
).
( ˆ
H
1
ψ
1
)
ψ
1
+
( ˆ
H
2
ψ
2
)
ψ
2
= E.
Z powy˙zszej równo´sci wynikaj ˛
a zale˙zno´sci na energi˛e ka˙zdej z cz ˛
astek:
E
1
= E −
( ˆ
H
2
ψ
2
)
ψ
2
,
(59)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 4: Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrze ´
n Hilberta.
21
E
2
= E −
( ˆ
H
1
ψ
1
)
ψ
1
.
(60)
4.2.4
Kwantowomechaniczny trójwymiarowy oscylator harmoniczny
Hamiltonian dla układu trójwymiarowego:
ˆ
H = −
}
2
2m
∇
2
+
kr
2
2
= −
}
2
2m
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
+
k
2
x
2
+ y
2
+ z
2
.
(61)
Funkcja własna dla układu trójwymiarowego wygl ˛
ada nast˛epuj ˛
aco:
ψ
E
(x, y, z) = ψ
E
1
(x)ψ
E
2
(y)ψ
E
3
(z).
(62)
Energia układu wynosi zatem:
E = E
1
+ E
2
+ E
3
,
(63)
wobec czego drgania w ka˙zdym kierunku s ˛
a od siebie niezale˙zne.
4.3
Przestrze ´n Hilberta
Abstrakcyjn ˛
a geometryczn ˛
a ilustracj ˛
a funkcji falowej ψ
α
mo˙ze by´c wektor stanu w
α
w niesko´nczenie wymi-
arowej przesterzeni Hilberta. Przestrze´n Hilberta stanowi matematyczn ˛
a baz˛e mechaniki kwantowej. Jest ona
niesko´nczon ˛
a przestrzeni ˛
a wektorow ˛
a, o elementach b˛ed ˛
acych funkcjami. Wielko´sci fizyczne s ˛
a reprezentowane
jako operatory działaj ˛
ace w tej przestrzeni, a stany fizyczne jako wektory (funkcje) stanu.
Dla przykładu we´zmy jak ˛
a´s dowoln ˛
a funkcj˛e ψ(x). Graficznie mo˙zna j ˛
a przedstawi´c w nast˛epuj ˛
acy sposób:
Wida´c, ˙ze na drugim rysunku funkcja ψ(x) jest kombinacj ˛
a liniow ˛
a odpowiednich wektorów własnych, czyli
elementów bazy (w tym przypadku: ci ˛
agłej bazy poło˙ze´n) pomno˙zonych przez odpowiednie współczynniki.
4.3.1
Dwuwymiarowa przestrze ´n Hilberta
We´zmy wektor o skladowych rzeczywistych u i wektor transponowany u
T
:
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 4: Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrze ´
n Hilberta.
22
u =
x
1
x
2
,
u
T
= (x
1
, x
2
).
Norma wektora wynosi: ||u||
2
= u
T
u = x
2
1
+ x
2
2
. Wykonuj ˛
ac to samo dla wektora w o składowych zespolonych
otrzymujemy:
w =
z
1
z
2
,
w
T
= (z
1
, z
2
),
(w
T
)
∗
w = (z
∗
1
, z
∗
2
)
z
1
z
2
= z
∗
1
z
1
+ z
∗
2
z
2
= ||z
1
||
2
+ ||z
2
||
2
.
Oznaczenie: w
†
:= (w
T
)
∗
definiuje sprz˛e˙zenie hermitowskie.
Mo˙zna dowie´s´c, i˙z ogólna posta´c macierzy hermitowskiej M
†
jest nast˛epuj ˛
aca:
M
†
=
a
c + id
c − id
b
.
(64)
Wynik działania macierzy M na wektor u:
M u = λu.
(65)
Dane s ˛
a nast˛epuj ˛
ace macierze M i M
†
:
M =
a + ib
c + id
f + ig
r + is
,
M
†
=
a
c + id
c − id
b
.
Szukamy rozwi ˛
azania zagadnienia własnego:
a
c + id
c − id
b
z
1
z
2
=
0
0
.
(66)
Chcemy, ˙zeby szukane rozwi ˛
azania były niezerowe, wi˛ec:
det(M − λ) = 0 :
a − λ
c + id
c − id
b − λ
z
1
z
2
=
0
0
(67)
det(M − λ) = 0 ⇔ (a − λ)(b − λ) − (c
2
+ d
2
) = 0
(68)
λ
2
− λ(a + b) − c
2
− d
2
= 0.
Poniewa˙z chcemy, by rozwi ˛
azania na λ były rzeczywiste, to wyró˙znik 4 musi by´c wi˛ekszy od zera:
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 5: Twierdzenie spektralne.
23
4 = λ(a + b)
2
+ 4ab + 4c
2
+ 4a
2
= (a − b)
2
+ 4(c
2
+ d
2
) > 0
(69)
4.3.2
Baza w przestrzeni Hilberta
W przestrzeni Hilberta istnieje zbior funkcji c
n
(x) spełniaj ˛
acych nast˛epuj ˛
ac ˛
a zale˙zno´s´c:
Z
dx c
∗
n
(x)c
m
(x) =
1
m = n
0
n 6= m
(70)
Funkcje c
n
(x) s ˛
a baz ˛
a przestrzeni Hilberta:
ψ(x) =
∞
X
n=0
e
n
(x)c
n
.
(71)
||ψ||
2
=
Z
dx ψ
∗
(x)ψ(x) =
Z
dx
(
X
n
e
∗
n
(x)c
∗
n
)(
X
m
e
∗
m
(x)c
∗
m
)
!
=
=
∞
X
n=0
∞
X
m=0
c
∗
n
c
m
Z
dxe
∗
n
(x)e
∗
m
(x)
|
{z
}
m=n
=
∞
X
n=0
c
∗
n
c
n
=
∞
X
n=0
|c
n
|
2
.
Zatem funkcj˛e ψ(x) =
P
∞
n=0
e
n
(x)c
n
w
P
N
n=0
e
n
(x)c
n
stanowi ˛
a szeregi ortogonalne.
5
Twierdzenie spektralne
Równanie własne pokazuje jak funkcja falowa koduje informacj˛e:
ˆ
Θϕ
λ
= λϕ
λ
.
(72)
Jedyne mo˙zliwe wyniki pomiaru to warto´sci λ. Operatory hermitowskie spełniaj ˛
a (72) tak, ˙ze λ ∈ R. Spektrum to
zbiór wszystkich λ.
Przypadki:
1. Spektrum dyskretne: λ
1
, λ
2
, . . . (np. dla cz ˛
astki w studni potencjału). Wówczas ϕ
λ
jest normalizowalna:
Z
d
3
rϕ
∗
λ
n
ϕ
λ
m
= δ
nm
.
2. Spektrum ci ˛
agłe: stanowi ono pewien kłopot. Funkcje własne istniej ˛
a, ale nie nale˙z ˛
a do przestrzeni Hilberta,
nie s ˛
a normalizowalne. S ˛
a normowalne dopiero do delty Diraca
5
(b˛ed ˛
acej nie funkcj ˛
a, lecz dystrybucj ˛
a):
Z
d
3
rϕ(r)ϕ(r
0
) = δ(r − r
0
).
5
Uwaga: Delta Diraca posiada nast˛epuj ˛
ace podstawowe własno´sci:
R dxf (x)δ(x − x
0
) =: f (x
0
),
R
+∞
−∞
dxe
ikx
= 2πδ(k) = {0 : k 6=
0, ∞ : k = 0}.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 5: Twierdzenie spektralne.
24
3. Spektrum mieszane - np. dla dodatnich energii w studni potencjału wyst˛epuje spektrum ci ˛
agłe (fale płaskie,
zaburzone nieco przez istnienie studni), za´s dla energii ujemnych mamy dyskretn ˛
a kwantyzacj˛e poziomów
energetycznych.
5.0.3
Operator p˛edu
ˆ
p
x
:= −i}
∂
∂x
,
ˆ
p
x
ϕ
λ
(x) = λϕ
λ
(x),
Rozwi ˛
azanie:
ϕ
p
0
= e
ip0x
}
, λ = p
0
,
−i}(
ip
0
}
)ϕ
p
0
= λϕ
p
0
= p
0
ϕ
p
0
.
Fala płaska jest idealizacj ˛
a - mówimy o niej jako o dobrej funkcji falowej, mimo ˙ze ni ˛
a nie jest. ϕ
p
0
nie jest
funkcj ˛
a z przestrzeni Hilberta, a jednak:
Z
|ϕ
p
0
|
2
= 1.
5.0.4
Operator poło˙zenia
ˆ
x := x,
xϕ
λ
(x) = λϕ(x).
Rozwi ˛
azanie:
xδ(x − x
0
) = x
0
δ(x − x
0
),
Z
dxϕ
x
0
(x)ϕ
x
1
(x) =
Z
dxδ(x − x
0
)δ(x − x
1
) = δ(x
1
− x
0
).
Funkcje własne s ˛
a ortogonalne, tworz ˛
a baz˛e w przestrzeni Hilberta:
f (x) =
X
n
c
n
ϕ
λ
n
(x).
5.1
Równoczesno´s´c pomiaru
• Rozwa˙zmy operatory ˆ
Θ
1
, ˆ
Θ
2
, oraz funkcj˛e charakteryzuj ˛
ac ˛
a układ: ϕ
λ
1
λ
2
. Mamy:
ˆ
Θ
1
ϕ
λ
1
λ
2
= λ
1
ϕ
λ
1
λ
2
ˆ
Θ
2
ϕ
λ
1
λ
2
= λ
2
ϕ
λ
1
λ
2
ˆ
Θ
1
ˆ
Θ
2
ϕ
λ
1
λ
2
= ˆ
Θ
1
λ
2
ϕ
λ
1
λ
2
= λ
1
λ
2
ϕ
λ
1
λ
2
ˆ
Θ
2
ˆ
Θ
1
ϕ
λ
1
λ
2
= . . . = λ
1
λ
2
ϕ
λ
1
λ
2
Zatem: ( ˆ
Θ
1
ˆ
Θ
2
− ˆ
Θ
2
ˆ
Θ
1
)ϕ
λ
1
λ
2
= 0.
• Je´sli operatory nie s ˛
a przemienne, to nie mo˙zna zbudowa´c funkcji falowej, która koduje dokładn ˛
a informacj˛e
o obydwu warto´sciach wielko´sci fizycznych, które te operatory reprezentuj ˛
a.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 5: Twierdzenie spektralne.
25
• Operatory s ˛
a przemienne =: komutuj ˛
a:
[A, B] = AB − BA
[ˆ
x, ˆ
p
x
] = ˆ
x ˆ
p
x
− ˆ
p
x
ˆ
x =?
[ˆ
x, ˆ
p
x
]ϕ = x(−i}
∂ϕ
∂x
) − (−i}
∂
∂x
)(xϕ) = −i}x
∂ϕ
∂x
+ i}(ϕ + x
∂ϕ
∂x
) = i}ϕ
[ˆ
x, ˆ
p
x
] = i}
• “Cała mechanika kwantowa została stworzona po to, by mie´c relacj˛e komutacji.”
• Fakt: [α + βA, B] = [α, B] + β[A, B] = β[A, B].
• Fakt: [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B, oraz analogicznie: [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C.
• Przykład: czy da si˛e zmierzy´c jednocze´snie poło˙zenie i energi˛e kinetyczn ˛
a cz ˛
astki?
[x,
ˆ
p
x
2
2m
] =
1
2m
[x, ˆ
p
x
ˆ
p
x
] =
1
2m
( ˆ
p
x
[x, ˆ
p
x
] + [x, ˆ
p
x
] ˆ
p
x
) =
1
2m
( ˆ
p
x
(i}) + (i}) ˆ
p
x
),
[x,
ˆ
p
x
2
2m
] =
i}
m
ˆ
p
x
6= 0,
zatem nie da si˛e dokona´c jednoczesnego pomiaru tych wielko´sci.
5.2
Uogólniona zasada Heisenberga
Niech:
[A, B] = iC,
˜
A := A − hAi,
˜
B := B − hBi.
Wówczas:
h ˜
Ai = h ˜
Bi = 0, σ
2
A
= h(A − hAi)
2
i = h ˜
A
2
i,
analogicznie:
σ
2
B
= h ˜
B
2
i.
St ˛
ad:
[ ˜
A, ˜
B] = iC.
Fakt: Dla ka˙zdego operatora hermitowskiego zachodzi:
Z
d
3
rψ
∗
( ˆ
Θψ) =
Z
d
3
r( ˆ
Θψ
∗
)ψ.
(73)
Korzystaj ˛
ac z (73) i z powy˙zszych definicji ˜
A oraz ˜
B, mamy:
Z
d
3
rψ
∗
(z ˜
A − i ˜
B)(z ˜
A + i ˜
B)ψ ≥ 0
(poniewa˙z: z
2
˜
A
2
+ ˜
B
2
+ z( ˜
Ai ˜
B − i ˜
B ˜
A) = z
2
˜
A
2
+ iz[ ˜
A, ˜
B] + ˜
B
2
= z
2
˜
A
2
− zC + ˜
B
2
),
z
2
Z
d
3
rψ
∗
˜
A
2
ψ − z
Z
d
3
rψ
∗
Cψ +
Z
d
3
rψ
∗
˜
B
2
ψ ≥ 0.
Otrzymujemy równanie kwadratowe i obliczamy jego wyró˙znik 4:
z
2
h ˜
A
2
i − zhCi + h ˜
B
2
i ≥ 0,
4 = hCi
2
− 4hA
2
ihB
2
i ≤ 0,
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 6: Oscylator harmoniczny.
26
hA
2
ihB
2
i ≥
hCi
2
4
.
(74)
Powy˙zsze równanie jest wła´snie uogólnion ˛
a zasad ˛
a Heisenberga.
Przykład: A = x, B = ˆ
p
x
, C = } =⇒ σ
2
x
σ
2
p
x
≥
}
2
4
. Doln ˛
a granic˛e tej nierówno´sci daje si˛e osi ˛
agn ˛
a´c dla paczki
gaussowskiej.
6
Oscylator harmoniczny
6.1
Jak wytwarza´c funkcje falowe?
Załó˙zmy, i˙z dany jest hamiltonian dla którego rozwi ˛
azania przyjmuj ˛
a warto´sci: E
1
, E
2
, . . . , E
∞
i tworz ˛
a spektrum
dyskretne. Wtedy wiemy, ˙ze dowoln ˛
a funkcj˛e mo˙zna zapisa´c jako: Ψ(x) =
P
∞
n=0
a
n
ψ
E
n
(x). Wówczas:
dla t = 0 :
Ψ(x, t = 0) = Ψ
0
(x) =
∞
X
n=0
a
n
ψ
E
n
(x),
natomiast ogólna posta´c funkcji falowej zale˙znej od czasu wygl ˛
ada nast˛epuj ˛
aco:
Ψ(x, t) =
∞
X
n=0
a
n
exp(
−iE
n
t
}
)ψ
E
n
(x).
(75)
˙
Zeby znale´z´c współczynnik a
n
nale˙zy wykona´c nast˛epuj ˛
ace całkowanie:
Z
ψ
∗
E
m
ψ(x) =
Z
dxψ
∗
E
m
(x)
∞
X
n=0
a
n
ψ
E
n
(x) =
∞
X
n=0
a
n
Z
dx ψ
∗
E
m
(x)ψ
E
n
(x)
|
{z
}
=0:
n6=m
= a
m
.
6.2
Problem oscylatora harmonicznego - jawne rozwi ˛
azanie zagadnienia
Wi˛ekszo´s´c układów dynamicznych mo˙zna rozpatrywa´c jako układy wykonuj ˛
ace małe drgania - oscylatory har-
moniczne. Hamiltonian dla klasycznego oscylatora harmonicznego wyra˙za si˛e wzorem:
H =
p
2
2m
+
k
2
x
2
.
(76)
Pomocne obliczenia:
˙
x =
p
m
;
˙
p = −kx; ¨
x =
˙
p
m
= −
k
m
x; x = e
iωt
; ¨
x = −ω
2
e
iωt
.
Cz˛esto´s´c drga´n układu klasycznego:
ω
cl
=
r
k
m
.
(77)
Hamiltonian dla kwantowego oscylatora harmonicznego:
ˆ
H = −
}
2
2m
d
2
dx
2
+
k
2
x
2
.
(78)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 6: Oscylator harmoniczny.
27
Rozwa˙zamy równanie własne:
ˆ
Hψ
E
(x) = Eψ
E
(x),
−
}
2
2m
d
2
ψ
E
(x)
dx
2
+
k
2
x
2
ψ
E
(x) = Eψ
E
(x).
(79)
˙
Zeby upro´sci´c równanie (79) wprowadzamy nowe zmienne:
x = aX .
St ˛
ad:
d
dx
=
1
a
d
dX
,
czyli:
ˆ
H = −
}
2
2ma
2
d
2
dX
2
+
ka
2
2
X
2
.
Chcemy ˙zeby podkre´slone człony były sobie równe:
}
2
2ma
2
=
ka
2
2
⇒ a
4
=
}
2
km
⇒ a
2
=
}
√
mk
,
ka
2
2
=
k}
2
√
mk
=
}
2
r
}
m
=
}
2
ω
cl
.
Zatem, ostatecznie:
ˆ
H = }ω
cl
1
2
(−
d
2
dX
2
+ X
2
).
(80)
˙
Zeby rozwi ˛
aza´c równanie (80) trzeba je najpierw upro´sci´c. Najlepiej jest doprowadzi´c je do postaci iloczynu:
(a
2
+ b
2
) = (a − ib)(a + ib). Pierwszym krokiem b˛edzie zdefiniowanie nast˛epuj ˛
acych operatorów:
P := −i
d
dx
(jest to operator hermitowski),
A :=
1
√
2
(X + iP) (za´s operator A nie jest operatorem hermitowskim),
A
†
:=
1
√
2
(X − iP) (co nie przeszkadza sprz ˛
ac go hermitowsko).
A
†
A =
1
2
(X − iP)(X + iP) =
1
2
(X
2
+ iX P − iPX
|
{z
}
i[X ,P]=i(i)=−1
+P
2
),
A
†
A =
1
2
(X
2
+ P
2
) −
1
2
.
(81)
Po wstawieniu tego zestawu zmiennych do hamiltonianu, jego posta´c jest nast˛epuj ˛
aca:
ˆ
H = }ω
cl
(A
†
A +
1
2
).
(82)
Istotne obliczenia komutatorów:
1.
[A, A
†
] = [
1
√
2
(X + iP),
1
√
2
(X − iP)] =
1
2
([X , X ]
|
{z
}
=0
+ [X , −iP]
|
{z
}
−i[X ,P]
+ [iP, X ]
|
{z
}
i[P,X ]
+ [iP, iP]
|
{z
}
=0
) =
=
i
2
(− [X , P]
| {z }
=i
+ [P, X ]
| {z }
=−i
) =
i
2
(−i − i) = 1.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 6: Oscylator harmoniczny.
28
2.
[A, ˆ
H] = }ω
cl
[
A, A
†
A
|
{z
}
A
†
[A,A]+
[A, A
†
]
|
{z
}
1
A
+
1
2
] = A}ω
cl
.
3.
[A
†
, H] = −}ω
cl
A
†
.
Pomiary w mechanice kwantowej opieraj ˛
a si˛e głównie na wyliczeniach warto´sci ´srednich i okre´sleniu odst˛epstw
od tych warto´sci dla poszczególnych pomiarów. Warto´s´c ´srednia operatora energii (hamiltonianu) jest zawsze
dodatnia, co mo˙zna sparawdzi´c na podstawie oblicze´n:
hE
pot
i =
k
2
hx
2
i =
k
2
Z
dx|Ψ(x)|
2
≥ 0.
hE
kin
i = h−
}
2
2m
d
2
Ψ(x)
dx
2
i = −
}
2
2m
Z
dxΨ
∗
(x)Ψ
00
(x) =
}
2
2m
Z
dx(Ψ
0
(x))
∗
(Ψ
0
(x)) =
=
}
2
2m
Z
dx|Ψ
0
|
2
≥ 0.
hE
pot
i + hE
kin
i = hHi ≥ 0.
(83)
6.3
Rozwi ˛
azanie równania własnego z wykorzystaniem operatorów
(bez konieczno´sci całkowania)
Wybieramy funkcj˛e własn ˛
a i działamy na ni ˛
a operatorem: ψ
1
= A
†
ψ
ˆ
Hψ
1
= E
1
ψ
1
ˆ
HA
†
ψ = EA
†
ψ
A
†
H − HA
†
= −A
†
}ω
cl
HA
†
= A
†
H + A
†
}ω
cl
A
†
Hψ + }ω
cl
A
†
ψ = E
1
A
†
ψ
(E + }ω
cl
)A
†
ψ = (E + }ω
cl
)ψ
1
Operator A
†
nazywa si˛e operatorem kreacji,
6
poniewa˙z w działaniu na funkcj˛e tworzy stan o energii wy˙zszej.
Wstawiaj ˛
ac do równania własnego funkcj˛e ψ
2
= Aψ otrzymamy:
ˆ
Hψ
2
= ˆ
HAψ = (AH − A}ω
cl
)ψ = A Hψ
|{z}
Eψ
−A}ω
cl
ψ = (E − }ω
cl
)Aψ = (E − }ω
cl
)ψ
2
.
Prawdopodobnie istnieje stan ψ
0
o najni˙zszej energii, wtedy:
Aψ
0
= 0.
(84)
6
W terminologii wprowadzonej przez Grzesia Pełk˛e operator ten nazywa si˛e operatorem kremacji. (przyp. R.K.) Chodziłam z Grze´skiem
do klasy w podstawówce (przyp. E.S.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 6: Oscylator harmoniczny.
29
6.4
Tworzenie funkcji falowej
Bierzemy operator A =
1
√
2
(X + iP) =
1
√
2
(X +
d
dX
) i wstawiamy do równania (84):
1
√
2
(X +
d
dX
)ψ
0
= 0,
X ψ
0
+
dψ
0
dX
= 0.
Rozwi ˛
azujemy równanie ró˙zniczkowe:
dψ
0
ψ
0
= −xdx,
Z
dψ
0
ψ
0
= −
Z
xdx,
ψ
0
= Ne
−
x2
2
Z działania hamiltonianu na funkcj˛e ψ
0
otrzymamy wyra˙zenie na energi˛e stanu podstawowego:
Hψ
0
= }ω
cl
(A
†
A +
1
2
)ψ
0
=
}ω
cl
2
ψ
0
+ }ω
cl
A
†
Aψ
0
,
E
0
=
}ω
cl
2
.
(85)
Spektrum energii oscylatora harmonicznego - spektrum stanów równoodległych - przedstawia poni˙zszy rysunek:
-
6
}ω
cl
2
E
n
= }ω
cl
(n + 1/2)
Spektrum energii
oscylatora harmonicznego
Wida´c, ˙ze stan podstawowy jest zaznaczony na poziomie E
0
=
}ω
cl
2
, a kolejne stany ró˙zni ˛
a si˛e od siebie o czynnik
}ω
cl
, czyli n-ty poziom energetyczny okre´slony jest wzorem:
E
n
= }ω
cl
(n +
1
2
),
gdzie n = 0, 1, 2, . . .
(86)
6.5
Notacja “bra” i “ket”
Dla znacznego uproszczenia zapisu mo˙zna wprowadzi´c notacj˛e “bra” i “ket”. Funkcj˛e stanu ψ
α
mo˙zna zapisa´c w
nast˛epuj ˛
acej konwencji:
|αi ket - funkcja stanu (wektor stanu),
hα| bra - stan hermitowsko sprz˛e˙zony (wektor z przestrzeni dualnej).
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 6: Oscylator harmoniczny.
30
Funkcj˛e stanu podstawowego oscylatora harmonicznego zapisuje si˛e nast˛epujaj ˛
aco: ψ
0
= |0i, natomiast funkcja
stanu ψ
n
= |ni. Zachodzi fakt:
|ni = C
n
(A
†
)
n
|0i.
(87)
Teraz nale˙zy obliczy´c hn|ni :
h0|(A)
n
(A
†
)
n
|0i = h0| A . . . A
|
{z
}
n
A
†
. . . A
†
|
{z
}
n
|0i = nh0| A . . . A
|
{z
}
n−1
A
†
. . . A
†
|
{z
}
n−1
|0i = nhn − 1|n − 1i =
operacje wykonujemy a˙z do uzyskania h0|0i = 1, wtedy:
= n!
Posta´c funkcji falowej oscylatora harmonicznego w jednym wymiarze:
|ni =
1
√
n!
(A
†
)
n
|0i.
(88)
6.6
Funkcja falowa w przestrzeni trójwymiarowej
Zapisujemy trójwymiarowy hamiltonian:
ˆ
H = }ω
cl
1
(A
†
1
A
1
+
1
2
) + }ω
cl
2
(A
†
2
A
2
+
1
2
) + }ω
cl
3
(A
†
3
A
3
+
1
2
).
Za pomoc ˛
a trzech liczb kwantowych opisa´c mo˙zna dowolny stan trójwymiarowego oscylatora harmonicznego:
|n
1
n
2
n
3
i = C(A
†
1
)
n
1
(A
†
2
)
n
2
(A
†
3
)
n
3
|000i,
(89)
E = }ω
cl
1
(n
1
+
1
2
) + }ω
cl
2
(n
2
+
1
2
) + }ω
cl
3
(n
3
+
1
2
).
(90)
Przedstawione na poni˙zszym rysunku spektrum energii pokazuje, ˙ze nie jest to ju˙z prosty rozkład, a poszczególne
poziomy energetyczne ró˙zni ˛
a si˛e od siebie i od stanu podstawowego o czynnik ω
cl
1,2,3
. Pewnego uproszczenia
mo˙zna si˛e dopiero spodziewa´c, gdy rozpatrywany układ b˛edzie oscylatorem symetrycznym.
-
6
}
2
(ω
1
+ ω
2
+ ω
3
)
}
2
ω
1
}
2
ω
2
}
2
ω
3
Spektrum energii trójwymiarowego
oscylatora harmonicznego
6.6.1
Degeneracja stanów
Rozpisanie trzech pierwszych stanów energetycznych w przestrzeni trójwymiarowej:
1. stan podstawowy:
|0 0 0i.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 7: Atom wodoru.
31
2. I stan wzbudzony:
|1 0 0i |0 1 0i |0 0 1i.
Cała podprzestrze´n stanów zdegenerowanych opisanych w tej bazie:
α|1 0 0i + β|0 1 0i + γ|0 0 1i.
Jest to stan trzykrotnie zdegenerowany.
3. II stan wzbudzony:
|2 0 0i |0 2 0i |0 0 2i
|1 1 0i |1 0 1i |0 1 1i.
Jest to stan sze´sciokrotnie zdegenerowany.
7
Atom wodoru
Koronnym argumentem za poprawno´sci ˛
a mechaniki kwantowej jest istnienie
7
atomu wodoru. Rozwa˙zmy kwan-
towo oddziaływanie dwóch cz ˛
astek o ró˙znych masach w polu wzajemnego potecjału:
H =
p
2
1
2m
1
+
p
2
2
2m
2
+ V (r
1
− r
2
),
(91)
zatem kwantowo mamy:
ˆ
H = −
}
2
2m
1
∇
2
1
−
}
2
2m
2
∇
2
2
+ V (r
1
− r
2
).
(92)
Rozwi ˛
azanie równania Schrödingera (i}
∂ψ
∂t
= ˆ
Hψ(r
1
, r
2
; t)):
ψ(r
1
, r
2
; t) = e
−iEpott
}
ψ
E
pot
(r
1
, r
2
).
(93)
Potencjał kulombowski dwóch oddziałuj ˛
acych elektrostatycznie cz ˛
astek:
V (r
1
− r
2
) =
1
4π
0
e
2
|r
1
− r
2
|
=: −
α
|r
1
− r
2
|
.
(94)
Podstawiaj ˛
ac to do równania (92) mamy:
ˆ
H = −
}
2
2m
1
(
∂
2
∂x
2
1
+
∂
2
∂y
2
1
+
∂
2
∂z
2
1
) −
}
2
2m
2
(
∂
2
∂x
2
2
+
∂
2
∂y
2
2
+
∂
2
∂z
2
2
) −
α
p(x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2
+ (z
1
− z
2
)
2
. (95)
Teraz wprowadzimy nowe zmienne, tak, aby umo˙zliwi´c dokonanie separacji zmiennych:
r := r
1
− r
2
,
R := ar
1
+ br
2
=
m
1
r
1
+ m
2
r
2
m
1
+ m
2
.
Zatem w nowych zmiennych: V
c
= −
α
|r|
= −
α
r
.
Chcemy mie´c równo´s´c: exp
ir
1
p
1
}
+
ir
2
p
2
}
= exp
iRP
}
+
irp
}
, czyli:
RP + rp = r
1
p
1
+ r
2
p
2
,
st ˛
ad:
P(
m
1
r
1
+ m
2
r
2
m
1
+ m
2
) + p(r
1
− r
2
) = r
1
(
m
1
P
m
1
+ m
2
+ p) + r
2
(
m
2
P
m
1
+ m
2
− p)
p
1
=
m
1
P
m
1
+ m
2
+ p, p
2
=
m
2
P
m
1
+ m
2
− p,
7
i funkcjonowanie (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 7: Atom wodoru.
32
p
1
+ p
2
=
m
1
+ m
2
m
1
+ m
2
P = P,
Czyli:
P = p
1
+ p
2
,
oraz:
p =
m
2
P
m
1
+ m
2
− p
2
=
m
1
(p
1
+ p
2
)
m
1
+ m
2
−
m
1
+ m
2
m
1
+ m
2
p
2
=
m
2
p
1
− m
1
p
2
m
1
+ m
2
.
Niech M := m
1
+ m
2
, wtedy:
p
2
1
2m
1
+
p
2
2
2m
2
=
1
2m
1
(
m
1
P
M
+ p)
2
+
1
2m
2
(
m
2
P
M
− ~
p)
2
=
P
2
2M
+
p
2
2µ
,
gdzie masa zredukowana:
1
µ
:=
1
m
1
+
1
m
2
. Ostatecznie, nowy hamiltonian wyra˙za si˛e wzorem:
ˆ
H = −
}
2
2M
(
∂
2
∂X
2
+
∂
2
∂Y
2
+
∂
2
∂Z
2
)
|
{z
}
ruch ´srodka masy
−
}
2
2µ
(
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
) −
α
|r|
|
{z
}
ruch wzgl˛edny
.
(96)
Zatem: ϕ
E
pot
= exp{i
PR
}
}ϕ
E
(r), E
pot
= E +
P
2
2M
.
7.1
Zapis w układzie sferycznym
Przechodz ˛
ac do sferycznego układu współrz˛ednych
8
i do układu odniesienia ´srodka masy, mamy:
H = −
}
2
2µ
[
1
r
2
∂
∂r
(r
2
∂
∂r
) +
1
r
2
1
sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
) −
1
r
2
sin
2
θ
(
∂
2
∂ϕ
2
)] −
α
r
.
(97)
Postulujemy separacj˛e zmiennych: ϕ
E
(r, θ, ϕ) = f (r)Y (θ, ϕ). Zatem:
−
}
2
2µ
[
1
r
2
∂
∂r
(r
2
∂f
∂r
)Y (θ, ϕ) +
1
r
2
f (r)(
1
sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
) −
1
r
2
sin
2
θ
(
∂
2
∂ϕ
2
)]Y (θ, ϕ)+
+
−
α
r
f (r)Y (θ, ϕ) = Ef (r)Y (θ, ϕ),
(98)
−
}
2
2µ
d
dr
(r
2 df
dr
)
f
−
}
2
2µ
[
1
sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
) +
1
sin
2
θ
(
∂
2
∂ϕ
2
)]Y (θ, ϕ)
Y
− αr = r
2
E,
−
}
2
2µ
d
dr
r
2 df
dr
f
− αr − r
2
E =
}
2
2µ
[. . .]Y
Y
=: −λ
}
2
2µ
.
(99)
Z separacji otrzymujemy dwa równania:
1.
−
}
2
2µ
1
r
2
d
dr
(r
2
df
dr
) −
α
r
f +
λ}
2
2µr
2
f = Ef,
(100)
2.
1
sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
)Y +
1
sin
2
θ
∂
2
Y
∂ϕ
2
+ λY = 0.
(101)
8
x = r sin θ sin ϕ
y = r sin θ cos ϕ
z = r cos θ
, gdzie: r ∈ [0, ∞], θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π].
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 8: Wielomiany Legendre’a, harmoniki i moment p ˛edu.
33
Z rownania (101) mamy:
sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
)Y
Y
+ λ sin
2
θ =
−
∂
2
Y
∂ϕ
2
Y
,
postuluj ˛
ac Y = A(ϕ)B(θ):
sin θ
d
dθ
(sin θ
dB(θ)
dθ
)
B(θ)
+ λ sin
2
θ =
−
d
2
A
dϕ
2
A
=: m
2
.
(102)
Separacja tego równania ze wzgl˛edu na ϕ daje:
d
2
A
dϕ
2
= −m
2
A ⇒ e
imϕ
= A, a poniewa˙z A(ϕ = 0) = A(ϕ =
2π), to m musi by´c całkowite. Ostatecznie mamy:
Y (θ, ϕ) =
e
imϕ
√
2m
B(θ).
(103)
Natomiast równanie (102) rozseparowane ze wzgl˛edu na θ daje:
1
sin θ
d
dθ
(sin θ
dB
dθ
) + (λ −
m
2
sin
2
θ
)B = 0.
Podstawiaj ˛
ac w := cos θ,
d
dθ
= (
dw
dθ
)
d
dw
= − sin θ
d
dw
:
1
sin θ
[(− sin θ)
d
dw
(sin θ(− sin θ)
dB
dw
)] + (λ −
m
2
sin
2
θ
)B = 0,
d
dw
((1 − w)
2
dB
dw
) + (λ −
m
2
1 − w
2
)B = 0.
(104)
Rozwi ˛
azaniem powy˙zszego równania ró˙zniczkowego s ˛
a stowarzyszone wielomiany Legendre’a (harmoniki kuliste):
Y
lm
(θ, ϕ) ' P
m
l
(cos θ)e
imϕ
,
(105)
przy czym: l = 0, 1, 2, 3, . . ., za´s m = −l, −l + 1, . . . , l. Natomiast:
P
m
l
(w) = (1 − w
2
)
|m|
2
d
|m|
dw
|m|
P
l
(w),
(106)
gdzie P
l
(w) to ju˙z normalne wielomiany Legendre’a.
8
Wielomiany Legendre’a, harmoniki sferyczne i moment p˛edu
8.1
Krótkie powtórzenie, tytułem wst˛epu
1. W mechanice kwantowej obserwable (' wielko´sci fizyczne
9
) wyra˙zamy za pomoc ˛
a p˛edów i poło˙ze´n, a
nast˛epnie przekształcamy je w operatory:
Θ(r, p) −→ ˆ
Θ(r, −i}∇).
(107)
2. Jedyne mo˙zliwe do uzyskania warto´sci (λ) pomiarów wielko´sci fizycznych opisywanych operatorem ˆ
Θ
otrzymuje si˛e z rozwi ˛
azania równania własnego:
ˆ
Θϕ
λ
= λϕ
λ
.
(108)
3. Funkcja falowa dostarcza informacji o stanie układu. Gdy podziałamy na ni ˛
a hamiltonianem, b˛edziemy
wiedzieli jak funkcja zachowuje si˛e w dowolnej chwili. Hamiltonian przesuwa funkcj˛e w czasie: i}
∂ψ
∂t
=
ˆ
Hψ. Rozwi ˛
azaniem tego równania jest funkcja ψ(r, t) = e
−
iEt
}
ψ
E
(r), gdzie ψ
E
(r) otrzymuje si˛e z rów-
nania własnego.
9
te, które daje si˛e zmierzy´c :)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 8: Wielomiany Legendre’a, harmoniki i moment p ˛edu.
34
4. W przypadku gdy rozwa˙zamy problem w potencjale sferycznie symetrycznym, hamiltonian przyjmuje
posta´c:
ˆ
H = −
}
2
2µ
[
1
r
2
∂
∂r
(r
2
∂
∂r
) +
1
r
2
sinΘ
∂
∂Θ
(sinΘ
∂
∂Θ
) +
1
r
2
sin
2
Θ
∂
2
∂ϕ
2
].
(109)
Z rozwi ˛
azania równania własnego otrzymujemy funkcj˛e postaci:
ψ
E
(r) = f (r)Y
lm
(Θ, ϕ),
gdzie:
Y
lm
(Θ, ϕ) = N
lm
P
m
l
(cosΘ)e
imϕ
.
(110)
8.2
Wielomiany Legendre’a
Na wykładzie (7) wyprowadzono nast˛epuj ˛
ace równanie ró˙zniczkowe:
d
dw
((1 − w)
2
dP
dw
) + (λ −
m
2
1 − w
2
)P = 0.
(111)
Fizyczne rozwi ˛
azania równania (111) dostajemy dla niezerowego m, gdy λ = l(l + 1), |m|
6 l. Otrzymane
rozwi ˛
azania zwane s ˛
a stowarzyszonymi funkcjami Legendre’a i wyra˙zaj ˛
a si˛e przez wielomiany Legendre’a P
l
(w):
P
m
l
(w) = (1 − w
2
)
|m|
2
d
|m|
dw
|m|
P
l
(w).
(112)
Mo˙zna okre´sli´c funkcj˛e tworz ˛
ac ˛
a:
T (w, s) =
1
√
1 − sw − s
2
=
∞
X
l=0
P
l
(w)s
l
.
(113)
Zbadamy teraz własno´sci wielomianów Legendre’a przy u˙zyciu funkcji tworz ˛
acej (113):
dT
ds
|
s=0
=
+∞
X
l=0
P
l
(w)
d
ds
s
l
|
s=0
= P
1
(w),
(114)
d
n
T
ds
n
|
s=0
=
+∞
X
l=n
P
l
(
d
n
ds
n
s
l
)
|
{z
}
=n!s
l−n
|
s=0
= n!P
n
(w).
(115)
Wielomiany te s ˛
a do siebie ortogonalne, na odcinku [−1, 1] stanowi ˛
a one baz˛e w przestrzeni funkcyjnej, czyli
ka˙zd ˛
a funkcj˛e opisan ˛
a na sferze da si˛e przedstawi´c w postaci niesko´nczonego szeregu wielomianów f (w) =
P
+∞
l=0
c
l
P
l
(w):
Z
1
−1
dwP
l
(w)P
l
0
(w) =
(
[
2
2l+1
][
(l+|m|)!
(l−|m|)!
]
dla l = l
0
0
dla l 6= l
0
(116)
8.3
Harmoniki sferyczne i ich własno´sci
Dowód ortogonalno´sci harmonik sferycznych: gdy powy˙zsz ˛
a całk˛e zast ˛
apimy całk ˛
a po k ˛
atach, to otrzymamy:
Z
1
−1
d cos Θ
Z
2π
0
dϕY
∗
lm
(Θ, ϕ)Y
˜
l ˜
m
(Θ, ϕ) = δ
l˜
l
δ
m ˜
m
.
(117)
Cz˛e´s´c k ˛
atowa Y
lm
(Θ, ϕ) pełnej funkcji falowej, b˛ed ˛
aca rozwi ˛
azaniem równania k ˛
atowego dla λ = l(l + 1):
1
sinΘ
∂
∂Θ
(sinΘ
∂Y
∂Θ
) +
1
sin
2
Θ
∂
2
Y
∂
2
ϕ
+ λY = 0,
(118)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 8: Wielomiany Legendre’a, harmoniki i moment p ˛edu.
35
nazywa si˛e harmonik ˛
a sferyczn ˛
a. Harmoniki sferyczne tworzy si˛e według nast˛epuj ˛
acego wzoru:
Y
lm
(Θ, ϕ) = ε[
(2l + 1)(l − |m|)!
4π(l + |m|)!
]
1
2
P
lm
(cos Θ)e
imϕ
,
(119)
gdzie ε =
(−1)
m
dla m > 0
1
dla m 6 0
.
Przykłady podstawowych funkcyj
10
kulistych:
• Y
00
=
1
√
4π
,
• Y
10
= (
3
4π
)
1
2
cos Θ,
• Y
1±1
= ∓(
3
8π
)
1
2
sin Θe
±iϕ
,
• Y
20
= (
5
16π
)
1
2
(3 cos
2
Θ − 1),
• Y
2±1
= (
15
8π
)
1
2
sin Θ cos Θe
±iϕ
,
• Y
2±1
= (
15
32π
)
1
2
sin
2
Θe
±2iϕ
.
8.4
Operator momentu p˛edu
Klasycznie wektor momentu p˛edu L jest zdefiniowany nast˛epuj ˛
aco:
L = r × p =
e
x
e
y
e
z
x
y
z
p
x
p
y
p
z
= e
x
(yp
z
− zp
y
) − e
y
(xp
z
− zp
x
) + e
z
(xp
y
− yp
x
) =
yp
z
− zp
y
−xp
z
+ zp
x
xp
y
− yp
x
.
Teraz, analogicznie, konstruujemy kwantowy operator momentu p˛edu:
ˆ
L = i}
z
∂
∂y
− y
∂
∂z
x
∂
∂z
− z
∂
∂x
y
∂
∂x
− x
∂
∂y
.
(120)
x, y, z mo˙zna zmierzy´c jednocze´snie, bo te wielko´sci ze sob ˛
a komutuj ˛
a, natomiast nie komutuje ze sob ˛
a x i p
x
, y
i p
y
, z i p
z
⇒ [x, p
x
] = [y, p
y
] = [z, p
z
] = i}.
Obliczenie niektórych komutatorów:
[L
x
, L
y
] = [y ˆ
p
z
− z ˆ
p
y
, z ˆ
p
x
− x ˆ
p
z
] = [y ˆ
p
z
, z ˆ
p
x
]
|
{z
}
(1)
− [y ˆ
p
z
, x ˆ
p
z
]
|
{z
}
(2)
− [z ˆ
p
y
, z ˆ
p
x
]
|
{z
}
(3)
+ [z ˆ
p
y
, x ˆ
p
z
]
|
{z
}
(4)
(1) [y ˆ
p
z
, z ˆ
p
x
] = (y ˆ
p
z
)(z ˆ
p
x
) − (z ˆ
p
x
)(y ˆ
p
z
) = −i}(yp
x
)
(2) [y ˆ
p
z
, x ˆ
p
z
] = 0
(3) [z ˆ
p
y
, z ˆ
p
x
] = 0
(4) [z ˆ
p
y
, x ˆ
p
z
] = (z ˆ
p
y
)(x ˆ
p
z
) − (x ˆ
p
z
)(z ˆ
p
y
) = i}(x ˆ
p
y
)
[L
x
, L
y
] = −i}(yp
x
) + i}(x ˆ
p
y
) = i}L
z
,
(121)
[L
x
, L
z
] = −i}L
y
,
(122)
[L
y
, L
z
] = i}L
x
.
(123)
Kwadrat operatora momentu p˛edu: ˆ
L
2
= L
2
x
+ L
2
y
+ L
2
z
. Operator ten komutuje z ka˙zdym spo´sród operatorów:
ˆ
L
x
, ˆ
L
y
, ˆ
L
z
:
11
[ ˆ
L
2
, L
x
] = [ ˆ
L
2
, L
y
] = [ ˆ
L
2
, L
z
] = 0.
(124)
10
ta dawna i wspaniała forma j˛ezykowa, u˙zywana przez Sierpi´nskiego, Kaca, Ulama, Lej˛e i innych wielkich bojowników matematyki, nie
mo˙ze zosta´c przecie˙z pot˛epiona i skazana na wieczne zapomnienie, nieprawda˙z? (przyp. R.K.)
11
L
x
, L
y
, L
z
tworz ˛
a algebr˛e - ich komutatory nie wyprowadzaj ˛
a poza ich zbiór; operatory momentu p˛edu s ˛
a generatorami grupy oboru.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 9: Atom wodoru - ci ˛
ag dalszy.
36
8.4.1
Wektor momentu p˛edu we współrz˛ednych sferycznych
Wyprowadzimy wzór na składow ˛
a wzdłu˙z osi z, oraz na kwadrat momentu p˛edu we współrz˛ednych sferycznych.
x = r cos Θ sin ϕ
y = r sin Θ sin ϕ
z = r cos Θ
, r =
p
x
2
+ y
2
+ z
2
,
∂
∂x
= (
∂r
∂x
)
∂
∂r
+ (
∂Θ
∂x
)
∂
∂Θ
+ (
∂ϕ
∂x
)
∂
∂ϕ
,
L
z
= xp
y
− yp
x
= −i}[x
∂
∂y
, −y
∂
∂x
] = i}[y
∂
∂x
, −x
∂
∂y
].
Z obliczenia poszczególnych ró˙zniczek otrzymujemy:
∂r
∂x
=
x
r
,
∂Θ
∂x
=
zx
r
2
√
r
2
− z
2
,
∂ϕ
∂x
=
− sin ϕ
r sin Θ
,
∂r
∂y
= sin Θ sin ϕ,
∂Θ
∂y
=
cos Θ sin ϕ
r
,
∂ϕ
∂y
=
cos ϕ
r sin Θ
.
y
∂
∂x
= r sin Θ sin ϕ(sin Θ cos ϕ
∂
∂r
+
cos Θ cos ϕ
r
∂
∂Θ
−
sin ϕ
r sin Θ
∂
∂ϕ
),
x
∂
∂y
= r sin Θ cos ϕ(sinΘsinϕ
∂
∂r
+
cosΘ sin ϕ
r
∂
∂Θ
+
cos ϕ
rsinΘ
∂
∂ϕ
),
y
∂
∂x
− x
∂
∂y
= cos
2
ϕ
∂
∂ϕ
+ sin
2
ϕ
∂
∂ϕ
=
∂
∂ϕ
.
Zatem składowa z-owa wektora momentu p˛edu wyra˙zona we współrz˛ednych sferycznych przedstawia si˛e nast˛epu-
j ˛
aco:
ˆ
L
z
= −i}
∂
∂ϕ
.
(125)
Tak prosta posta´c wynika z faktu, ˙ze o´s z jest osi ˛
a symetrii. Kwadrat momentu p˛edu we współrz˛ednych sfer-
ycznych:
ˆ
L
2
= −}
2
[
1
sinΘ
∂
∂Θ
(sinΘ
∂
∂Θ
) +
1
sin
2
Θ
∂
2
∂
2
ϕ
].
(126)
Wynik działania operatorów ˆ
L
z
, ˆ
L
2
na funkcj˛e falow ˛
a Y
lm
(Θ, ϕ):
ˆ
L
z
Y
lm
(Θ, ϕ) = }mY
lm
(Θ, ϕ),
(127)
ˆ
L
2
Y
lm
(Θ, ϕ) = }
2
l(l + 1)Y
lm
(Θ, ϕ).
(128)
Hamiltonian wyra˙zony we współrz˛ednych sferycznych za pomoc ˛
a operatora ˆ
L
2
:
ˆ
H = −
}
2
2µr
2
∂
∂r
(r
2
∂
∂r
) +
ˆ
L
2
2µr
2
+ V (r).
(129)
Gdy podziałamy hamiltonianem (129) na funkcj˛e własn ˛
a ψ
E
(r, Θ, ϕ) = f (r)Y
lm
(Θ, ϕ), to otrzymamy:
ˆ
Hψ
E
= −
}
2
2µr
2
d
dr
(r
2
df
dr
)Y
lm
(Θ, ϕ) +
}
2
l(l + 1)
2µr
2
+ V (r)
f (r)Y
lm
(Θ, ϕ) =
= E
nlm
f (r)Y
lm
(Θ, ϕ).
Pojawił si˛e dodatkowy (podkre´slony) człon, który w fizyce klasycznej jest potencjałem siły od´srodkowej. Zgu-
biona za´s została zale˙zno´s´c od m. Oznacza to, ˙ze wyst˛epuje degeneracja stanu (ze wzgl˛edu na m), zwi ˛
azana z
faktem symetrii obrotowej.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 9: Atom wodoru - ci ˛
ag dalszy.
37
9
Atom wodoru - ci ˛
ag dalszy
9.1
Radialne równanie Schrödingera
Równanie Schrödingera w postaci radialnej dla ka˙zdego potencjału sferycznie symetrycznego przedstawia si˛e
nast˛epuj ˛
aco:
−
}
2
2µ
1
r
2
d
dr
(r
2
ψ
0
(r)) +
}
2
l(l + 1)
2µr
2
ψ + V (r)ψ = Eψ.
(130)
Równanie (130) mo˙zemy zapisa´c tak, aby uzale˙znione było od liczby kwantowej l. W tym celu wybieramy sobie
pewn ˛
a funkcj˛e ψ =
u(r)
r
(funkcja ta w r = 0 musi by´c sko´nczona):
ψ
0
=
u
0
r
−
u
r
2
,
r
2
ψ
0
= u
0
r − u,
(r
2
ψ
0
)
0
= u
00
r + u
0
− u
0
= u
00
r,
1
r
2
d
dr
(R
2
ψ
0
) =
u
00
r
.
Otrzymujemy równanie (130) zale˙zne od liczby kwantowej l:
−
}
2
2µ
u
00
+
V (r) +
}
2
l(l + 1)
2µr
2
u = Eu.
(131)
Rozwi ˛
azuj ˛
ac radialne równanie Schrödingera dla atomu wodoru chcemy je przepisa´c tak, by miało posta´c bezwymi-
arow ˛
a. Postulujemy % = ar (
d
d%
=
1
a
d
dr
) i przekształcamy poni˙zsze równanie:
−
}
2
2µ
1
r
2
d
dr
(r
2
dψ
dr
) +
−
α
r
+
}
2
l(l + 1)
2µr
2
ψ = Eψ.
Musimy tak dobiera´c a, ˙zeby wyraz z E przeszedł w stał ˛
a, dzi˛eki czemu asymptotyczne zachowanie rozwi ˛
azania
b˛edzie niezale˙zne od warto´sci własnej.
−
}
2
a
2
2µ
1
%
2
d
d%
(%
2
dψ
d%
) +
−
αa
%
+
a
2
}
2
l(l + 1)
2µ%
2
ψ = Eψ || : 4E,
−
}
2
a
2
8µE
|
{z
}
=:1
1
%
2
d
d%
(%
2
dψ
d%
) +
−
αa
4E%
+
a
2
}
2
l(l + 1)
8µE%
2
ψ =
ψ
4
.
(132)
1
%
2
d
d%
(%
2
dψ
d%
) +
λ
%
−
l(l + 1)
%
2
−
1
4
ψ = 0,
(133)
Funkcja falowa b˛ed ˛
aca rozwi ˛
azaniem tego równania przyjmuje posta´c ψ = exp(−
%
2
)F (%), przy czym F (%) jest
wielomianem. Dodatkowo mamy zwi ˛
azki na a
2
, λ:
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 9: Atom wodoru - ci ˛
ag dalszy.
38
a
2
=
8µ|E|
}
2
,
λ =
αa
4|E|
=
α
}
r
µ
2|E|
.
Energia stanu jest ukryta w λ. Wyznaczaj ˛
ac warto´s´c λ znajdziemy te˙z warto´s´c energii dla danego stanu.
Je˙zeli do równania (133) wstawimy funkcj˛e ψ = e
−
%
2
F (%) to otrzymamy wówczas równanie:
F
00
+ (
2
%
− 1)F
0
+
λ − 1
%
−
l(l + 1)
%
2
= 0.
(134)
9.2
Poziomy energetyczne
Naszym celem jest znalezienie rozwi ˛
aza´n na F . Szukane rozwi ˛
azania przyjmuj ˛
a posta´c szeregu:
F = %
s
∞
X
n=0
a
n
%
n
a
0
6= 0,
F = %
s
L(%).
Po podstawieniu do równania (134) otrzymujemy:
%
2
L
00
+ %[2(s + 1) − %]L
0
+ [%(λ − s − 1) + s(s + 1) − l(l + 1)]L = 0.
(135)
Funkcja F jest sko´nczona w punkcie 0. Przyjmujemy, ˙ze % = 0. Po wstawieniu do równania (135), otrzymujemy:
[s(s + 1) − l(l + 1)] a
0
|{z}
L(0)
= 0.
Jest to równanie kwadratowe na s, po wyliczeniu pierwiastków:
s ∈ {l, −l(l + 1)}.
Jak ju˙z wcze´sniej wspomniano, funkcj˛e F wyra˙zono za pomoc ˛
a szeregu L =
P
∞
n=0
a
n
%
n
. Wstawiaj ˛
ac posta´c L
do równania (135) otrzymuje si˛e zwi ˛
azek rekurencyjny pomi˛edzy kolejnymi współczynnikami szeregu:
a
n
n(n − 1)% + %[2(s + 1) − %]a
n
n%
n−1
+ %(λ − s − 1)a
n
% = 0.
W równaniu nale˙zy przemianowa´c zmienne ˜
n = n − 1, ostatecznie otrzymuj ˛
ac nast˛epuj ˛
ace równanie:
a
ν+1
=
ν − λ + l + 1
(ν + 1)(ν + 2l + 2)
a
ν
.
(136)
Gdy warto´sci ν d ˛
a˙z ˛
a do ∞, szereg zbiega do 1/ν. Zatem szereg reprezentuj ˛
acy L musi si˛e w pewnym miejscu
urywa´c. Zachodzi to dla λ równego liczbie kwantowej n oraz takiego, ˙ze:
λ = ν + l + 1
ν = 0, 1, 2, 3, . . .
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 10: Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej.
39
9.3
Atom wodoru: funkcja falowa i poziomy energetyczne
Powy˙zsze rozwa˙zania prowadz ˛
a do wzoru na funkcj˛e falow ˛
a w atomie wodoru:
ψ(r, θ, ϕ) = e
−ϕ/2
L
n
(%)Y
lm
(θ, ϕ).
(137)
Kolejnym istotnym wzorem jest wyra˙zenie na energi˛e poziomów energetycznych:
|E
n
| = −
µα
2
2}
2
n
2
.
(138)
Wzór na energi˛e stanu podstawowego wyra˙za si˛e nast˛epuj ˛
aco:
E
0
= −
µα
2
2}
2
= 13.59eV.
Jak wida´c, energia stanów zale˙zy tylko od głównej liczby kwantowej n, nie zale˙zy za´s od l. Fakt ten wskazuje na
degeneracj˛e stanów w układzie.
10
Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej
10.1
Macierze
10.1.1
Przypomnienie
Przykładowa macierz 2x2 wygl ˛
ada tak: A =
a
11
a
12
a
21
a
22
. Element macierzy to a
ij
. Na macierzach dozwolone
s ˛
a (mo˙zna zdefiniowa´c) nast˛epuj ˛
ace operacje:
• dodawanie: C = A + B, czyli c
ij
= a
ij
+ b
ij
,
• mno˙zenie: C = A ∗ B, czyli c
ij
=
P
k
a
ik
∗ bkj.
W praktyce cz˛esto stosuje si˛e konwencj˛e sumacyjn ˛
a Einsteina, polegaj ˛
ac ˛
a na tym, i˙z znak sumy si˛e pomija, za´s
sumowanie przebiega zawsze po powtarzaj ˛
acym si˛e wska´zniku. W konwencji tej mamy po prostu c
ij
= a
ik
∗ b
kj
.
Czy dla macierzy ∃
12
element neutralny? Tak: A =1A = A1, 1= δ
ij
. Mno˙zenie macierzy jest ł ˛
aczne (A(BC) =
(AB)C) i nieprzemienne (ABC 6= ACB). Gdyby zatem ∃ element odwrotny, to macierze stanowiłyby grup˛e.
Ale, niestety, ∃ takie macierze, dla których det A = 0, zatem grupy nie ma!
10.1.2
Macierze hermitowskie
Macierze hermitowskie to takie macierze dla których (A
∗
)
T
= A. Wprowadza si˛e oznaczenie A
†
:= (A
∗
)
T
.
Oczywi´scie zapis A
†
= A równowa˙zny jest zapisowi a
ij
= a
∗
ji
. Łatwa do udowodnienia jest równo´s´c: (ABC)
†
=
C
†
B
†
A
†
.
12
symbol ‘∃’ znaczy tyle co słowo ‘istnieje’, ale jak˙ze przyjemniej si˛e go u˙zywa! (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 10: Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej.
40
10.1.3
Funkcja od macierzy
Chcemy zdefiniowa´c dowoln ˛
a funkcj˛e od macierzy. Np. sin(A).
• Dobry trop: rozwini˛ecie w szereg Taylora.
Skoro: f (x) = f
0
+ xf
1
+ x
2
f
2
+ . . ., to mo˙ze:
f (A) = f
0
+ Af
1
+ A
2
f
2
+ . . .? Ale co wtedy, gdy funkcja jest nieanalityczna (nierozwijalna w szereg,
np.
√
x|
x=0
)?
• Potrafimy znale´z´c funkcj˛e dla macierzy diagonalnej: A =
λ
1
0
· · ·
0
0
λ
2
· · ·
0
..
.
..
.
. .
.
..
.
0
0
· · ·
λ
n
,
A
2
=
λ
2
1
0
· · ·
0
0
λ
2
2
· · ·
0
..
.
..
.
. .
.
..
.
0
0
· · ·
λ
2
n
,
f(A)=
f (λ
1
)
0
· · ·
0
0
f (λ
2
)
· · ·
0
..
.
..
.
. .
.
..
.
0
0
· · ·
f (λ
n
)
.
• Fakt: ka˙zd ˛
a macierz hermitowsk ˛
a daje si˛e zapisa´c w postaci diagonalnej:
A = U
−1
λ
1
0
· · ·
0
0
λ
2
· · ·
0
..
.
..
.
. .
.
..
.
0
0
· · ·
λ
n
U.
• Zatem: f (A) = U
−1
f (λ
1
)
0
· · ·
0
0
f (λ
2
)
· · ·
0
..
.
..
.
. .
.
..
.
0
0
· · ·
f (λ
n
)
U .
10.2
Macierze i bra-kety
13
Przestrze´n zespolonych wektorów z norm ˛
a: ||v||
2
= v
∗
i
v
i
nazywamy przestrzeni ˛
a Hilberta. Mamy:
Au = v,
a
ij
u
j
= v
i
,
|vi :=
v
1
..
.
v
n
,
hv| := (v
∗
1
, . . . , v
∗
n
) = v
†
,
13
okazuje si˛e, ˙ze Schrödinger miał swojego kota, za´s Dirac swojego keta (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 10: Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej.
41
hv|vi = (v
∗
1
, v
∗
2
, . . . , v
∗
n
)
v
1
v
2
..
.
v
n
= v
∗
1
v
1
+ . . . + v
∗
n
v
n
= ||v
1
||
2
+ . . . + ||v
n
||
2
,
u
∗
i
a
ij
v
j
= hu|A|vi.
10.3
Mechanika kwantowa w sformułowaniu Heisenberga
Istnieje ´scisły zwiazek: funkcja falowa - wektory, operatory - macierze. Mamy:
(A|vi)
i
=
X
j
a
ij
v
j
,
(139)
narzucaj ˛
ac ci ˛
agło´s´c wska´znika otrzymujemy:
( ˆ
Θψ)(r) =
Z
d
3
r
0
W (r, r
0
)ψ(r
0
).
(140)
Dotychczas u˙zywali´smy wył ˛
acznie operatorów mno˙zenia i ró˙zniczkowania. Warto sobie zada´c pytanie: jaka jest
najogólniejsza posta´c operatora? Odpowied´z: (140). W (r, r
0
) uto˙zsamia si˛e zatem z elementem macierzowym
operatora.
1. Operator poło˙zenia (‘w stylu’ mno˙zenia):
Z
d
3
r
0
W (r, r
0
)ψ(r
0
) =
14
Z
d
3
rδ
3
(r − r
0
)V (r)ψ(r
0
) = V (r)ψ(r).
(141)
2. Operator p˛edu (‘w stylu’ ró˙zniczkowania):
Z
d
3
r
0
W (r, r
0
)ψ(r
0
) =
15
Z
d
3
r(i})δ
0
(x − x
0
)δ(y − y
0
)δ(z − z
0
)ψ(r
0
) =
=
Z
dx
0
(i})δ
0
(x − x
0
)ψ(x
0
, y, z) = {całkowanie przez cz˛e´sci} =
= −
Z
dx
0
(i})δ(x − x
0
)
∂ψ(x
0
, y, z)
∂x
0
= −i}
∂ψ
∂x
.
(142)
Uwaga o dystrybucjach: dystrybucje s ˛
a to uogólnione funkcje. Na przykład dystrybucja daje si˛e wsz˛edzie zró˙zniczkowa´c
∞ ilo´s´c razy. Wszystkie operacje nielegalne dla funkcji robimy na dystrybucjach.
A co z ró˙zniczkowaniem dystrybucji? δ
0
(x − x
0
) =? . . .
Z
dx
0
δ(x − x
0
)f (x
0
) =: f (x),
Z
dx
0
δ
0
(x − x
0
)f (x
0
) =:
Z
dx
0
dδ(x − x
0
)
dx
0
f (x
0
) = −
Z
dx
0
δ(x − x
0
)f
0
(x) = f
0
(x).
10.4
Uwagi rozmaite w obrazie Heisenberga
Zachodzi to˙zsamo´s´c zapisów:
Au = v ⇔ a
ij
u
j
= v
i
⇔ A|ui = |vi.
14
jest to równo´s´c przez zgadywanie (zapostulowanie)
15
j.w.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 10: Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej.
42
Dla wektorów z przestrzeni Hilberta o bazie dyskretnej ich iloczyn skalarny jest sumowaniem po wska´zniku
naturalnym:
hu|vi = u
∗
i
v
i
.
Dla wektora z przestrzeni Hilberta o bazie ci ˛
agłej ich iloczyn skalarny jest sumowaniem po wska´zniku ci ˛
agłym
(w tym przypadku: po r):
hψ
1
|ψ
2
i =
Z
d
3
rψ
∗
1
(r)ψ
2
(r).
Warto´s´c ´srednia operatora w notacji braketowej wyra˙za si˛e tak:
hψ| ˆ
Θ|ψi = h ˆ
Θi =
R d
3
rψ
∗
ˆ
Θψ
Ka˙zd ˛
a funkcj˛e falow ˛
a daje si˛e rozło˙zy´c na sum˛e wektorów bazy z odpowiednimi wpółczynnikami:
ψ(x) =
∞
X
n=0
c
n
ϕ
n
(x).
W notacji braketowej wygl ˛
ada to tak (trzeba pami˛eta´c, i˙z jest to jedynie inna forma zapisu!):
|ψi =
X
n
c
n
|ni.
Współczynnik c
m
mo˙zna wyliczy´c z nast˛epuj ˛
acego wzoru:
c
m
=
Z
dxϕ
∗
m
(x)ψ(x),
co znajduje swoje uzasadnienie, daj ˛
ace si˛e prosto przedstawi´c w notacji braketowej:
hm|ψi =
X
n
c
n
hm|ni
| {z }
=
R dxϕ
∗
m
ϕ
n
=
X
n
c
n
δ
nm
= c
m
.
Co to jest wektor bazy poło˙zenia |xi? Jest to delta Diraca:
|xi := δ(x − x
0
).
Ogólnie mamy:
hx|ψi =
X
n
c
n
hx|ni.
Przy korzystaniu z braketów przydatna jest znajomo´s´c nast˛epuj ˛
acego wzoru (zachodz ˛
acego przy sumowaniu po
bazach zupełnych):
1 =
X
n
|nihn|.
Przykład (dla N := dim H = 2):
|e
1
i = |1i =
1
0
, |e
2
i = |2i =
0
1
, h1| = (1, 0), h2| = (0, 1).
St ˛
ad: |1ih1| =
1
0
(1, 0) =
1
0
0
0
, |2ih2| =
0
1
(0, 1) =
0
0
0
1
.
Zatem: |1ih1| + |2ih2| =
1
0
0
1
.
Faktem jest, i˙z dla bazy dyskretnej mamy: hn|mi = δ
nm
, za´s dla bazy ci ˛
agłej: hψ(r)|ψ(r
0
)i = δ(r − r
0
).
Ka˙zdy operator daje si˛e zamieni´c na niesko´nczon ˛
a macierz:
hn| ˆ
Θ|mi =
Z
dx
0
ϕ
0
n
(x)Θ(x, x
0
)ϕ
m
(x
0
)dx = ˆ
Θ
nm
.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 10: Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej.
43
10.4.1
Wypisy z Schiffa
16
Twierdzenie spektralne:
Ω|µi = ω
µ
|µi.
Mo˙zna je zapisa´c w dowolnej bazie (np. r
0
):
17
S
r
0
hr|Ω|r
0
ihr
0
|µi = ω
µ
hr|µi.
Tak jak i ka˙zdy abstrakcyjny wektor stanu mo˙zna zapisa´c w jakiej´s konkretnej bazie hα|:
|µi =
S
α
|αihα|µi.
Poniewa˙z obowi ˛
azuje ogólny wzór:
S
x
|xihx| = 1,
(143)
to mo˙zna dowolnie bawi´c si˛e bazami - czy to dyskretnymi, czy to ci ˛
agłymi:
S
µ
hk|µihµ|li = hk|li =
S
r
hk|rihr|li =
Z
drϕ
∗
k
(r)ϕ
l
(r).
Twierdzenie spektralne dla p˛edu wygl ˛
ada tak:
ˆ
p
x
|pi = p|pi, gdzie |pi to funkcje własne operatora p˛edu.
Mo˙zna powy˙zsze równanie “uzupełni´c” baz ˛
a poło˙ze´n:
hr| ˆ
p
x
|pi = phr|pi.
Rozwi ˛
azaniem powy˙zego równania, b˛ed ˛
acego w istocie pytaniem o elementy macierzy przej´scia pomi˛edzy baz ˛
a
poło˙ze´n a baz ˛
a p˛edów, jest nast˛epuj ˛
aca równo´s´c, wynikaj ˛
aca (w jednym z uj˛e´c
18
) z własno´sci transformaty Fouri-
era dla poło˙ze´n i p˛edów:
ψ
p
(r) =
1
(2π)
3
e
ipx
}
.
A teraz nieco drobnych wariacji omówionych ju˙z spraw:
ψ
α
(x) = hx|αi,
ψ
α
(x) =
∞
X
n=0
c
n
ϕ
n
(x),
hn|αi = hn|1|αi =
S
α
hn|xihx|αi =
Z
dxϕ
∗
n
(x)ψ
α
(x),
|ni ∼
= (a
†
)
n
|0i.
10.5
Operatorowe rozwi ˛
azanie równania Schrödingera
Równanie Schrödingera w notacji braketowej wygl ˛
ada nast˛epuj ˛
aco:
i}
d
dt
|αi = ˆ
H|αi.
Jego rozwi ˛
azanie za´s:
|α(t)i = e
−i ˆ
Ht
}
|α(t = 0)i.
16
L. J. Schiff - "Quantum Mechanics", rozdział 6: "Matrix Formulation of Quantum Mechanics", str. 148-186
17
S
∈ {
P,
R }, w zale˙zno´sci od potrzeb
18
W tym sensie, ˙ze istnieje pewna arbitralno´s´c konstruowania aksjomatyki mechaniki kwantowej jako teorii matematycznej. (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 11: Symetrie.
44
Przypu´s´cmy: H|ni = W
n
|ni. Wówczas:
hn|α(t)i = hn|e
−i ˆ
Ht
}
|α(t = 0)i = hn|e
−i ˆ
Ht
}
|α(t = 0)i = e
−i ˆ
Ht
}
hn|α(t = 0)i,
bowiem hn|e
−i ˆ
Ht
}
= hn|e
−iEnt
}
. Ostatecznie mamy wi˛ec:
|α(t)i =
S
n
|nihn||α(t)i =
S
n
e
−i ˆ
Ht
}
|nihn|α(t = 0)i.
11
Symetrie
11.1
Tradycyjne jak gdyby przypomnienie
Pracujemy na sferze w przestrzeni Hilberta.
ψ(r) = hr|ψi
ρ = |hr|ψi|
2
ρ = hψ|rihr|ψi
hˆ
θi = hψ|ˆ
θ|ψi
ˆ
θ|λi = λ|λi, λ ∈ R
i}
d
dt
|α(t)i = ˆ
H|α(t)i
11.2
Najgł˛ebsze twierdzenie fizyki: Twierdzenie Noether
Dla ka˙zdej symetrii ci ˛
agłej istniej ˛
a pewne warto´sci zachowane. Na przykład: definicj ˛
a energii jest: stała zachowana
dla układów, które s ˛
a niezmiennicze wzgl˛edem przesuni˛e´c w czasie. W mechanice kwantowej energia jest tak˙ze
stał ˛
a separacji:
|Ei : H|Ei = E|Ei.
hr|α(t)i = e
−iEt/}
hr|Ei = e
−iEt/}
φ
E
(r).
Jak przechodzi´c z symetrii na r do symetrii na ψ?
ψ
α
(r) → ψ
α
0
(r),
ψ
α
0
(r + %) = ψ
α
(r).
Szukamy operatora unitarnego
19
, który przekształca jedn ˛
a funkcj˛e falow ˛
a w drug ˛
a, odpowiadaj ˛
ac tym samym za
przesuni˛ecie w przestrzeni.
U (%)ψ
α
(r) = ψ
α
0
(r) = ψ
α
(r − %),
dla % 1:
ψ
α
0
(r) = ψ
α
(r − %) ' ψ
α
(r) − %
(∇ψ
α
)
|
{z
}
to prawie operator p˛edu
+ . . .
Operator p˛edu jest generatorem przesuni˛ecia w r:
ψ
α
(r − %) = ψ
α
(x − %, y, z) = ψ
α
(x, y, z) −
%
1!
d
dx
ψ
α
+
%
2
2!
d
2
dx
2
ψ
α
+ . . . =
=
∞
X
n=0
(−%)
n d
n
dx
n
n!
!
ψ
α
= exp
−%
d
dx
ψ
α
= exp
−
i%p
x
}
ψ
α
.
19
operator unitarny to taki, dla którego U
−1
= U
†
, inaczej mówi ˛
ac: U U
†
= U
†
U = 1
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 11: Symetrie.
45
U (%) = exp
−
−i%p
x
}
≈ 1 −
i%p
}
.
Fakt: U = e
iH
, U - operator unitarny, H - operator hermitowski.
Grupa wszystkich dowolnych przesuni˛e´c to trójparametrowa grupa przemienna. Operatory odpowiadaj ˛
ace małym
(ró˙zniczkowym) przesuni˛eciom s ˛
a proste, za´s operatory odpowiadaj ˛
ace du˙zym przesuni˛eciom s ˛
a trudne. P˛ed jest
zachowany dla układów, które s ˛
a niezmiennicze wzgl˛edem przesuni˛ecia. Hamiltonian jest generatorem przesuni˛e-
cia w czasie, natomiast p˛ed jest generatorem przesuni˛ecia w przestrzeni.
ψ(r
1
, r
2
) = e
iPR
ϕ(r).
11.3
Grupa obrotów
x
R
y
R
z
R
=
a
b
c
d
e
f
g
h
i
x
y
z
Obroty nie s ˛
a przemienne. Mówi si˛e, ˙ze grupa obrotów jest nieabelowa. Obracamy teraz funkcj˛e falow ˛
a... Do
obrotu wykorzystujemy taki operator ˆ
R, ˙ze dowolny wektor r przechodzi w wektor ˆ
Rr:
r → ˆ
Rr,
ψ
α
0
(r
R
) = ψ
α
0
( ˆ
Rr) = ψ
α
(r),
dla |ϕ| 1:
r
R
' r + ϕ × r.
To jest wła´snie przepis na grup˛e obrotów dla małych obrotów. St ˛
ad mamy:
x
R
y
R
z
R
'
1
−ϕ
z
ϕ
y
ϕ
z
1
−ϕ
x
−ϕ
y
ϕ
x
1
U
R
(ϕ)ψ
α
(r) = ψ
α
(R
−1
r) ' ψ
α
(r − ϕ × r) ' ψ
α
(r) − (~
ϕ × r)(∇ψ
α
) = ψ
α
(r) − ϕ(r × ∇)ψ
α
,
U
R
(ϕ) = 1 −
i
}
ϕL.
Generatorem obrotów jest moment p˛edu. St ˛
ad przy obrotach jest on zachowany. Generatory grupy obrotów:
[J
x
, J
y
] = i}J
z
,
[J
y
, J
z
] = i}J
x
,
[J
x
, J
z
] = −i}J
y
.
Jakie s ˛
a warto´sci własne dla J
2
i J? ([J
2
, J] = 0).
Definiujemy dwa nowe operatory niehermitowskie:
J
+
= J
x
+ J
y
,
J
−
= J
x
− J
y
.
St ˛
ad:
[J
±
, J
2
] = 0,
(144)
[J
z
, J
+
] = }J
+
,
(145)
[J
z
, J
−
] = −}J
−
,
(146)
[J
+
, J
−
] = 2}J
z
.
(147)
Spektrum J
z
wyra˙za si˛e nast˛epuj ˛
aco:
J
z
|jmi = }m|jmi,
J
2
|jmi = }
2
f (j)|jmi,
hjm|J
2
|˜
j ˜
mi = hjm|}
2
f (˜
j)|˜
j ˜
mi = }
2
f (˜
j)hjm|˜
j ˜
mi = }
2
f (˜
j)δ
j˜
j
δ
m ˜
m
,
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 11: Symetrie.
46
hjm|J
z
|˜
j ˜
mi = }mδ
j˜
j
δ
m ˜
m
.
W reprezentacji jm, poniewa˙z wyst ˛
apiły delty, J
2
i J
z
s ˛
a diagonalne. Rozpisujemy teraz komutator (145):
J
z
J
+
− J
+
J
z
= }J
+
1 =
X
˜
j ˜
m
|˜
n ˜
mih˜
j ˜
m|
hjm|J
z
J
+
|˜
˜
j ˜
˜
mi − hjm|J
+
J
z
|˜
˜
j ˜
˜
mi = }hjm|J
+
|˜
˜
j ˜
˜
mi =
=
X
˜
j ˜
m
(hjm|J
z
|˜
j ˜
mih˜
j ˜
m|J
+
|˜
˜
j ˜
˜
mi − hjm|J
+
|˜
j ˜
mih˜
j ˜
m|J
z
|˜
˜
j ˜
˜
mi) =
= }hjm|J
+
|˜
˜
j ˜
˜
mi
}mhjm|J
+
|˜
˜
j ˜
˜
mi − } ˜
mhjm|J
+
|˜
˜
j ˜
˜
mi = }hjm|J
+
|˜
˜
j ˜
˜
mi
hjm|J
+
|˜
˜
j ˜
˜
mi(m − ˜
˜
m − 1)} = 0
hjm + 1|J
+
|jmi = }λ
m
Analogicznie po rozpisaniu komutatora (146) otrzymujemy:
hjm|J
−
|j, m + 1i = }λ
∗
m
.
Wida´c podobie´nstwo do operatorów kreacji i anihilacji.
J
+
J
−
− J
−
J
+
= 2}J
z
,
|λ
m−1
|
2
− |λ
m
|
2
= 2m,
|λ
m
|
2
= |λ
m−1
|
2
− 2m.
Jest to iloraz ró˙znicowy. Rozwi ˛
azaniem tego równania jest:
|λ
m
|
2
= C − m(m + 1).
Dla małych i dla du˙zych m to wyra˙zenie jest bezsensowne.
m
1,2
= −
1
2
±
1
2
√
1 + 4C,
m
2
= −m
1
− 1.
m-y ró˙zni ˛
a si˛e o liczb˛e całkowit ˛
a. Dozwolone s ˛
a tylko warto´sci: −m
1
, −m
1
+ 1, . . . , m
1
.
J
2
= J
+
J
−
+ J
2
z
,
hjm|J
2
|jmi = −}
2
m
1
(m
1
+ 1).
Zatem mo˙zliwe warto´sci momentu p˛edu to m
1
∈ −j, . . . , +j. Jakie s ˛
a dopuszczalne warto´sci j? — Dopuszczalne
s ˛
a:
j = 1/2 — wtedy: m = −1/2, 1/2,
j = 3/2 — wtedy: m = −3/2, −1/2, 1/2, 3/2.
Jak rozpozna´c połówkowe warto´sci momentu p˛edu?
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 12: Rachunek zaburze ´
n.
47
11.4
Spin
Trzeba zbudowa´c operator, który nie wynika z mechaniki klasycznej, bowiem trzeba opisa´c jako´s wewn˛etrzny
moment p˛edu elektronu. Spin - cecha charakterystyczna obiektu, tak jak masa, ładunek. Jego istnienie potwierdził
eksperyment Sterna-Gerlacha
20
.
Postulujemy operatory s o relacjach:
[s
x
, s
y
] = i}s
z
(oraz cykliczne).
Zatem:
ψ(r, s
z
=
}/2
−}/2
) = ψ(r, s
z
) =
ψ
1
(r, }/2)
ψ
2
(r, −}/2)
,
p
↑
=
Z
d
3
r|ψ(r, }/2)|
2
,
p
↓
=
Z
d
3
r|ψ(r, −}/2)|
2
.
Trzeba wymy´sle´c pewn ˛
a macierz... Na szcz˛e´scie zrobił to Pauli:
s =
}
2
σ.
σ
x
=
0
1
1
0
σ
y
=
0
−i
i
0
σ
z
=
1
0
0
−1
.
Macierze te spełniaj ˛
a relacj˛e komutacji.
12
Rachunek zaburze ´n
12.1
Troch˛e z tego, co ju˙z było
Od tej pory mówi ˛
ac o cz ˛
astce b˛edziemy rozpatrywa´c elektron. W funkcji falowej uwzgl˛ednimy istnienie spinu
21
ψ(r, s
z
), gdzie s
z
= ±
1
2
}:
ψ(r, s
z
) =
ψ
↑
(r)
ψ
↓
(r)
=
ψ
1
(r, s
z
= }/2)
ψ
2
(r, s
z
= −}/2)
.
Reprezentacja macierzowa operatora spinu:
1. dla spinu połówkowego s =
1
2
}σ =
1
2
}[σ
x
, σ
y
, σ
z
]:
σ
x
=
0
1
1
0
σ
y
=
0
−i
i
0
σ
z
=
1
0
0
−1
,
20
Gerlach potem zało˙zyl firm˛e produkuj ˛
ac ˛
a bardzo dobre scyzoryki i sztu´cce... (przyp. R.K.)
21
lub, jak kto woli, ‘kr˛etu’.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 12: Rachunek zaburze ´
n.
48
2. dla spinu całkowitego, np: s = 1:
σ
x
=
}
√
2
0
−1
0
−1
0
1
0
1
0
σ
y
=
i}
√
2
0
1
0
−1
0
−1
0
1
0
σ
z
= }
1
0
0
0
0
0
0
0
−1
.
Operator spinu jest pierwszym operatorem, dla którego nie ma analogu klasycznego. Działanie operatora spinu na
funkcj˛e falow ˛
a (zapis formalny):
s
z
ψ =
}
2
1
0
0
−1
ψ
↑
(r)
ψ
↓
(r)
=
}
2
ψ
↑
(r)
−ψ
↓
(r)
.
Normalizacja funkcji falowej ze spinem:
1 =
X
s
z
=±}/2
Z
d
3
r|ψ(r, s
z
)|
2
=
Z
d
3
r(|ψ
↑
|
2
+ |ψ
↓
|
2
).
G˛esto´s´c prawdopodobie´nstwa:
%(r) = |ψ
↑
(r)|
2
+ |ψ
↓
(r)|
2
,
P
↑
=
Z
d
3
r|ψ
↑
|
2
,
P
↓
=
Z
d
3
r|ψ
↓
|
2
.
Warto´s´c ´srednia operatora s
z
:
hs
z
i =
X
s
z
Z
d
3
rψ
∗
(r, σ
z
)s
z
ψ(r, σ
z
) =
Z
d
3
rψ
†
s
z
ψ =
}
2
Z
d
3
r
ψ
∗
↑
ψ
∗
↓
ψ
↑
−ψ
↓
=
=
}
2
Z
d
3
r(|ψ
↑
|
2
− |ψ
↓
|
2
) =
}
2
(
Z
d
3
r|ψ
↑
|
2
) − (
}
2
Z
d
3
r|ψ
↓
|
2
).
(
22
)
12.2
Metody rachunków przybli˙zonych
Mechanika kwantowa i klasyczna posiada wiele problemów dla których nie da si˛e znale´z´c ´scisłego rozwi ˛
azania.
Jednak te zagadnienia, które posiadaj ˛
a ´scisłe rozwi ˛
azania, stanowi ˛
a punkt wyj´scia dla rachunków przybli˙zonych.
12.2.1
Metoda wariacyjna Ritza
Metoda wariacyjna jest stosowana do przybli˙zonego wyznaczania najni˙zszego stanu energetycznego. Z rozwi ˛
aza-
nia równania własnego:
ˆ
Hu
n
= E
n
u
n
,
otrzymujemy funkcje u
n
tworz ˛
ace baz˛e. Dodatkowo ka˙zd ˛
a funkcj˛e falow ˛
a mo˙zna zapisa´c nast˛epuj ˛
aco: ψ =
P
∞
n=0
c
n
κ
n
. Wówczas:
hψ|H|ψi =
X
n,m
c
∗
m
hu
m
| H|κ
n
i
|
{z
}
E
n
|u
n
i
c
n
=
X
n,m
c
∗
m
E
n
c
n
hu
m
|u
n
i
|
{z
}
δ
nm
=
X
n
|c
n
|
2
E
n
,
hψ|H|ψi > E
0
.
(148)
Metoda ta wymaga du˙zej intuicji w wybieraniu funkcji falowej.
22
Czyli całkujemy cały “spin w gór˛e” po przestrzeni, a potem odejmujemy od tego cały “spin w dół”. Wychodzi z tego ´sredni spin, np. 0}.
(przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 12: Rachunek zaburze ´
n.
49
12.2.2
Problem atomu helu - szukanie stanu podstawowego
Atom helu składa si˛e z j ˛
adra o ładunku +2e otoczonego przez dwa elektrony, jego hamiltonian ma nast˛epuj ˛
ac ˛
a
posta´c:
H = −
}
2
2m
(∇
2
1
+ ∇
2
2
) −
Zα
r
1
−
Zα
r
2
+
α
r
12
.
(149)
Rozwi ˛
azanie dla powy˙zszego hamiltonianu wcale nie jest takie trywialne, ale mo˙zna przeprowadzi´c pewien
eksperyment my´slowy i poczyni´c pewne zało˙zenia. Gdyby w hamiltonianie nie wyst˛epował człon
α
r
12
zwi ˛
azany z
odziaływaniem obu elektronów, to wtedy funkcja falowa byłaby iloczynem dwóch funkcji falowych:
ψ(r
1
, r
2
) =
Z
3
πa
3
0
exp
(−
Z
a
0
)(r
1
+ r
2
)
= u
0
(r
1
)u
0
(r
2
).
Rozpatruj ˛
ac atom wodoru wiemy, ˙ze:
E
H
k
=
α
2a
0
;
E
H
pot
= −
α
a
0
;
ψ =
r π
a
3
0
e
−r/a
0
.
Powy˙zsze zale˙zno´sci dotycz ˛
a jednego elektronu, ale po przeskalowaniu mo˙zna je zapisa´c dla dwóch elektronów:
E
k
= 2 ×
αZ
2
2a
0
;
E
pot
= 2 × −
2αZ
a
0
.
Energia odziaływania dwóch elektronów wynosi: E
12
=
5Zα
8a
0
.
´Srednia warto´s´c Hamiltonianu:
hHi =
αZ
2
a
0
−
4αZ
2
a
0
+
5αZ
2
8a
0
=
α
a
0
(Z
2
−
27
8
Z).
Minimum wyst˛epuje dla Z = 1.7, czyli hHi
pot
= −2.85(
α
a
0
), a energia wi ˛
azania helu wynosi E
He
= −2.904(
α
a
0
).
Wiadomo, ˙ze elektrony musz ˛
a porusza´c si˛e w sposób skorelowany, a rozpatrywana funkcja falowa tego nie
uwzgl˛ednia, jednak i tak dokładno´s´c uzyskanego wyniku jest bardzo du˙za (niepewno´s´c rz˛edu 2 procent).
12.3
Rachunek zaburze ´n niezale˙zny od czasu
Działamy hamiltonianem H na funkcj˛e falow ˛
a ψ i otrzymujemy odpowiadaj ˛
acy jej poziom energetyczy W :
Hψ = W ψ;
gdzie H =
H
0
|{z}
niezaburzony
+
H
0
|{z}
poprawka
.
Zakładamy, ˙ze:
H
0
u
n
= E
n
u
n
.
Wprowadzamy teraz parametr λ i rozwijamy H w szereg Taylora. Poprawka jest analityczn ˛
a funkcj ˛
a λ:
W = W
0
+ λW
1
+ λ
2
W
2
+ λ
3
W
3
+ . . .
ψ = ψ
0
+ λψ
1
+ λ
2
ψ
2
+ . . .
Funkcj˛e rozwijamy do tego stopnia, do którego chcemy mie´c dokładno´s´c w obliczeniach:
Hψ = (H
0
+ λH
0
)(ψ
0
+ λψ
1
+ λ
2
ψ
2
) = (W
0
+ λW
1
+ λ
2
W
2
)(ψ
0
+ λψ
1
+ λ
2
ψ
2
) =
H
0
ψ
0
+ H
0
λψ
1
+ H
0
λ
2
ψ
2
+ λH
0
ψ
0
+ λ
2
H
0
ψ
1
+ λ
3
H
0
ψ
3
.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 13: Rachunek zaburze ´
n – ci ˛
ag dalszy.
50
• wyrazy rz˛edu ’0’:
H
0
ψ
0
= W
0
ψ
0
,
(150)
• wyrazy z λ (czyli rz˛edu 1):
(H
0
− W
0
)ψ
1
= (W
1
− H
0
)ψ
0
,
(151)
• wyrazy z λ
2
(czyli rz˛edu 2):
(H
0
− W
0
)ψ
2
= (W
1
− H
0
)ψ
1
+ W
2
ψ
0
.
(152)
Załó˙zmy, ˙ze ψ
0
jest jak ˛
a´s funkcj ˛
a u
m
:
ψ
0
= u
m
;
W
0
= E
m
.
Chcemy teraz uzyska´c funkcje ortogonalne, wi˛ec odpowiednio przetransponujemy ψ
1
przez dodanie do niej ψ
0
,
(ψ
1
→ ψ
1
+ αψ
0
):
hψ
s
|ψ
0
i = 0; s 6= 0,
a nast˛epnie rozwiniemy funkcj˛e falow ˛
a w szereg ψ
1
=
P
n
a
n
u
n
:
(H
0
− W
0
)ψ
1
= (W
1
− H
0
)ψ
0
,
hu
m
|(H
0
− E
m
)|ψ
1
i
|
{z
}
0
= hu
m
|(W
1
− H
0
)|ψ
0
i = hu
m
|u
m
i
|
{z
}
1
W
1
− hu
m
|H
0
|u
m
i.
Ostatecznie:
W
1
= hu
m
|H
0
|u
m
i.
Wyznaczenie zmian energii jest zawsze dokładniejsze, ni˙z wyznaczenie zmian funkcji falowej.
13
Rachunek zaburze ´n – ci ˛
ag dalszy
13.1
Ci ˛
ag dalszy z poprzedniego wykładu
H = H
0
+ λH
0
,
Hψ = W ψ,
H
0
u
m
= e
m
u
m
⇔ H
0
|mi = E
m
|mi,
(H
0
+ λH
0
)(ψ
0
+ λψ
1
+ λ
2
ψ
2
+ . . .) = (W
0
+ λW
1
+ λ
2
W
2
+ . . .)(ψ
0
+ λψ
1
+ λ
2
ψ
2
+ . . .).
(153)
H
0
ψ
0
= W
0
ψ
0
.
Zakładamy, ˙ze ψ
0
= u
m
(konkretne - np. robimy rachunek zaburze´n dla siódmego stanu), W
0
= E
m
. Wypisujemy
człony równania (153) stoj ˛
ace przy tych samych pot˛egach λ:
(H
0
− W
0
)ψ
0
= 0,
(154)
(H
0
− W
0
)ψ
1
= (W
1
− H
0
)ψ
0
,
(155)
(H
0
− W
0
)ψ
2
= (W
1
− H
0
)ψ
1
+ W
2
ψ
0
.
(156)
Z (155) mamy:
(H
0
− W
0
)ψ
1
= (W
1
− H
0
)ψ
0
.
Obkładamy to stanem hm|:
0 = W
1
− hm|H
0
|mi,
W
1
= hm|H
0
|mi.
Drugi rz ˛
ad rachunku zaburze´n:
(H
0
− W
1
)ψ
1
= W
2
ψ
0
.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 13: Rachunek zaburze ´
n – ci ˛
ag dalszy.
51
hm|(H
0
− W
1
)|ψ
1
i = W
2
,
hm|H
0
|ψ
1
i = W
2
,
W
2
= hm|H
0
S
n
a
(1)
n
|u
n
i.
Szukamy a
(1)
n
: z (155) mamy:
(H
0
− E
0
)ψ
1
= (W
1
− H
0
)ψ
0
.
(H
0
− E
m
)ψ
1
= W
1
u
m
− H
0
u
m
.
(H
0
− E
m
)
S
n
a
(1)
n
|ni = W
1
|mi − H
0
|mi.
hk|:
hk|(E
n
− E
m
)
S
n
a
(1)
n
|ni = W
1
hk|mi − hk|H
0
|mi.
a
(1)
k
= hk|
S
n
a
(1)
n
|ni = −
hk|H
0
|mi
E
n
− E
m
=
hk|H
0
|mi
E
m
− E
n
.
Podstawiamy, otrzymuj ˛
ac ostatecznie wzór na poprawk˛e do energii w drugim rz˛edzie rachunku zaburze´n bez
degeneracji i bez czasu:
W
2
= hm|H
0
S
n
a
(1)
n
|ni = hm|H
0
S
n
hn|H
0
|mi
E
m
− E
n
|ni =
S
n,n6=m
|hm|H
0
|ni|
2
E
m
− E
n
.
(157)
Przyjmujemy, ˙ze hψ
0
|ψ
s
i = 0 dla s > 0, czyli, ˙ze poprawka do funkcji falowej jest do niej ortogonalna. Dla
ka˙zdego s:
hH
0
i =
hψ
0
|H
0
|ψ
s−1
i
hψ
0
|ψ
0
i
,
hψ
0
|(H
0
− W
0
)|ψ
1
i = hψ
0
|(W
1
− H
0
)|ψ
0
i,
0 = W
1
hψ
0
|ψ
0
i − hψ
0
|H
0
|ψ
0
i,
W
1
= hψ
0
|H
0
|ψ
0
i = hm|H
0
|mi,
ψ
1
=
S
n,n6=m
a
(1)
n
u
n
(r),
(H
0
− W
0
)ψ
2
= W
1
ψ
0
− H
0
ψ
0
,
(H
0
− E
m
)
S
n6=m
a
(1)
n
u
n
(r) = W
1
u
m
− H
0
u
m
,
S
n6=m
a
(1)
n
(H
0
− E
m
)|ni = W
1
|mi − H
0
|mi,
S
n6=m
a
(1)
n
(E
n
− E
m
)|ni = W
1
|mi − H
0
|mi.
We´zmy teraz stan ko´ncowy hk|:
S
n6=m
a
(1)
n
(E
n
− E
m
)hk|ni = W
2
hk|mi − hk|H
0
|mi,
a
(1)
k
(E
k
− E
n
) = −hk|H
0
|mi.
Ostatecznie:
a
(1)
k
=
hk|H
0
|mi
E
m
− E
k
,
W
2
= hψ
0
|H
0
|ψ
1
i = hm|H
0
S
n6=m
hn|H
0
|mi
E
m
− E
n
|ni =
S
n6=m
|hm|H
0
|ni|
2
E
m
− E
n
.
Czyli:
W
2
=
S
n6=m
hm|H
0
|nihn|H
0
|mi
E
m
− E
n
.
(158)
Cz˛esto zdarza si˛e, ˙ze zaburzenie w pierwszym rz˛edzie wynosi zero. Wówczas trzeba liczy´c dalej. Poprawka w
drugim rz˛edzie rachunku zaburze´n jest zawsze ujemna. Z poprawk ˛
a w pierwszym rz˛edzie ró˙znie to bywa.
W
(0)
2
=
S
n6=0
|h0|H
0
|ni|
2
E
0
− E
n
< 0.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 14: Przybli˙zenie półklasyczne.
52
13.2
Znoszenie degeneracji przez zaburzenie
Powy˙zsze formuły nie działaj ˛
a w przypadku degeneracji. Zaburzenie na ogół znosi degeneracj˛e. Warunek konieczny
i dostateczny usuni˛ecia degeneracji w dowolnym okre´slonym rz˛edzie rachunku zaburze´n:
• nierówno´s´c diagonalnych elementów macierzowych operatora H
0
mi˛edzy dwoma zdegenerowanymi stanami
niezburzonymi,
• nieznikanie pozadiagonalnych elementów macierzowych operatora H
0
w tych stanach.
Mamy dwa stany: u
m
, u
l
: E
m
= E
l
, hl|H
0
|mi 6= 0. Wyj´sciowa funkcja jest kombinacj ˛
a liniow ˛
a: ψ
0
= a
m
u
m
+
a
l
u
l
.
(H
0
− W
0
)ψ
0
= (W
1
− H
0
ψ
0
),
(H
0
− W
0
)|ψ
1
i = (W
1
− H
0
)(a
m
|mi + a
l
|li).
“Obkładamy” to stanem hm|:
hm|(H
0
− W
0
)|ψ
1
i = W
1
a
m
hm|mi + W
1
a
l
hm|li − hm|H
0
|mia
m
− hm|H
0
|lia
l
,
0 = W
1
a
m
− hm|H
0
|mia
m
− hm|H
0
|lia
l
,
hm|H
0
|mi − W
1
hm|H
0
|li
hl|H
0
|mi
hl|H
0
|li − W
1
a
m
a
l
=
0
0
.
Zaburzenie znosi degeneracj˛e!
13.2.1
Przykład
Hamiltonian dla cz ˛
astki w polu magnetycznym przedstawia si˛e nast˛epuj ˛
aco:
H =
1
2m
(p −
e
c
A)
2
+ V (r).
(159)
A jest potencjałem wektorowym pola magnetycznego. Zachodzi oczywisty wzór: B = ∇ × A. Przy takim jego
okre´sleniu mamy pewn ˛
a dowolno´s´c (w wyborze cechowania). My dokonamy wyboru potencjału symetrycznego:
A =
1
2
B × r.
Rozpisuj ˛
ac wzór (159) otrzymujemy:
H =
1
2m
(p
2
−
e
c
pA −
e
c
Ap +
e
2
c
2
A
2
).
Czyli:
H =
1
2m
(p
2
−
2e
c
Ap +
e
2
c
2
A
2
) + V (r).
Rozpatrujemy teraz tylko pierwszy rz ˛
ad, traktuj ˛
ac A jako parametr:
H
0
= −
e
mc
Ap =
−e
2mc
(B × r)p =
e
2mc
BL.
B˛edziemy teraz liczy´c elementy macierzowe:
|n, l, ˜
˜
mi −→ f
nl
(r)Y
lm
(τ, ϕ),
hn, l, ˜
˜
m|H
0
|n, l, ˜
mi = hn, l, ˜
˜
m|L
z
|n, l, ˜
mi
eB
2mc
= hn, l, ˜
˜
m|n, l, ˜
mi
eB} ˜
m
2mc
.
Zdegenerowanie zostaje rozszczepione.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 14: Przybli˙zenie półklasyczne.
53
14
Przybli˙zenie półklasyczne
14.1
Przybli˙zenie WKB
Przybli˙zenie półklasyczne Wentzla-Kramersa-Brillouina, jest metod ˛
a przybli˙zonego rozwi ˛
azywania równania Schrödingera,
któr ˛
a mo˙zna stosowa´c dla problemów bliskich problemom klasycznym.
23
W praktyce okazuje si˛e jednak, ˙ze ta
metoda daje bardzo dobre rezultaty zarówno w przypadkach klasycznych jak i w kwantowych. Metoda opiera
si˛e na rozwini˛eciu funkcji falowej wzgl˛edem pot˛eg }, ale rozwini˛ecie to nie zawsze jest zbie˙zne i ma charakter
asymptotyczny. Rozwa˙zmy równanie Schrödingera:
−
}
2
2m
u
00
(x) + V (x)u(x) = Eu(x),
(160)
gdzie
u(x) = exp(
iS(x)
}
).
(161)
Musimy przerobi´c tak równanie (160), ˙zeby było zale˙zne od S. Liczymy ró˙zniczki (161) i wstawiamy do (160):
u
0
= u(
iS
0
}
),
u
00
= u(
iS
00
}
+ (
iS
0
}
)
2
) = u(
iS
00
}
−
S
02
}
2
),
u
i}S
00
2m
+
u(S
0
)
2
2m
+ uV = Eu,
(162)
i}S
00
+ (S
0
)
2
= (E − V )2m.
(163)
Teraz do równania (163) wstawiamy rozwini˛ecie S według kolejnych pot˛eg }: S = S
0
+ }S
1
+ }
2
S
2
+ . . .
Zajmujemy si˛e rozwi ˛
azaniem tylko do drugiego rz˛edu:
i}(S
00
0
+ S
00
1
}) + (S
0
0
+ }S
0
1
)
2
= p
2
(x),
Pomijamy człony bez }:
(S
0
0
)
2
= p
2
(x) ⇒ S
0
0
= ±p(x) ⇒ S
0
= ±
Z
x
x
0
dxp(x).
P˛ed mo˙zna wyrazi´c za pomoc ˛
a liczby falowej k =
p
}
. Wtedy S
0
:
S
0
= ±
1
}
Z
x
x
0
dx k(x).
Znaj ˛
ac S
0
wyznaczamy S
1
:
−iS
00
0
+ 2S
0
0
S
0
1
= 0, gdzie S
0
0
= p(x), S
00
0
= p
0
(x),
S
0
1
=
i
2
p
0
(x)
p(x)
=
i
2
d
dx
ln(p(x)),
S
1
=
i
2
ln(p(x)).
Zapisuj ˛
ac rozwi ˛
azanie w postaci eksponencjalnej:
e
iS
1
= e
−
1
2
ln p(x)
=
1
pp(x)
.
23
Czyli takim, które opisane s ˛
a za pomoc ˛
a bardzo du˙zych liczb kwantowych.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 14: Przybli˙zenie półklasyczne.
54
14.2
Warunek na kwantyzacj˛e półklasyczn ˛
a
Cz ˛
astka w odpowiednim ruchu klasycznym wykonuje oscylacje mi˛edzy punktami zwrotnymi x
1
i x
2
. Jest to ruch
po całym okresie, a warunek na kwantyzacj˛e jest nast˛epuj ˛
acy:
24
Z
x
2
x
1
dxp
E
(x) −
π
2
= nπ.
Z
x
2
x
1
dxp(x) = (n +
1
2
)π}.
I
dxp(x) = 2
Z
x
2
x
1
p(x)dx = (n +
1
2
)h.
W graficznym uj˛eciu tego problemu, ruch cz ˛
astki mo˙zna przedstawi´c w kartezja´nskiej przestrzeni (x, p). Pole
powierzchni zamkni˛ete przez krzyw ˛
a obiegan ˛
a przez cz ˛
astk˛e jest równe:
H dxp(x).
x1
2
x
x
p
14.3
Interpretacja graficzna przybli˙zenia WKB dla cz ˛
astki w potencjale
-
6
x
1
x
2
obszar II
obszar II
obszar I
1
√
p(x)
cos(
R
x
0
p(y)dy +
π
4
)
-E
tu funkcja zanika
1
√
k(x)
exp(
i
}
R
x
0
dyk(y))
tu funkcja zanika
1
√
k(x)
exp(−
i
}
R
x
0
dyk(y))
S
S
S
o
obszar ten przybli˙zamy potencjalem:
V (x) ' V (x
0
) + (x − x
2
)V (x
2
)
Bessel
Bessel
[J
1/3
(x)]
Formalnie WKB działa tylko dla n >> 1, lecz w praktyce okazuje si˛e, i˙z przydatne rezultaty otrzymuje si˛e z
niego równie˙z dla n ≈ 1.
14.4
Rozpad promieniotwórczy
Chcemy zrozumie´c rozpad α. J ˛
adra maj ˛
a stały czas półrozpadu. J ˛
adro odpycha cz ˛
astk˛e α potencjałem V =
ZZ
0
α
r
24
pojawia si˛e tu h nie } i wcale to nie jest bł ˛
ad!
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 15: Rachunek zaburze ´
n.
55
[Tutaj powinny pojawi ´c si ˛e dwa istotne rysunki ilustruj ˛
ace proces rozpadu. Skoro ich nie ma,
znaczy to, ˙ze ich jeszcze nie przygotowali ´smy!]
Z
r
2
r
1
p(x)dx =
√
2m
}
Z
ZZe2
θ
R
(1 −
2
π
arcsin(
1
√
γ
) −
µrR
}
(γ − 1)
1/2
).
γ :=
ZZ
0
e
2
RE
,
R = 10
−17
m.
Czas ˙zycia ∼ tunelowanie ∼ e
−E
.
14.5
Rachunek zaburze ´n zale˙zny od czasu
Dla hamiltonianu zale˙znego od czasu nie ma rozwi ˛
aza´n stacjonarnych równania Schrödingera. Wtedy rozwi ˛
azuj ˛
ac
problemy z zaburzeniem wiemy, ˙ze H
0
ma prost ˛
a posta´c, zaIJ H
0
zale˙zy od czasu i powoduje przej´scia mi˛edzy
stanami własnymi. Mamy równanie Schrödingera zale˙zne od czasu:
i}
∂ψ
∂t
= Hψ,
gdzie H = H
0
+ H
0
(t),
(164)
ψ(t) =
S
n
a
n
(t)e
−
iEnt
}
u
n
.
Ró˙zniczkujemy ψ(t) i wstawiamy do (164). Lewa strona równania ma posta´c:
L =
S
n
i}u
n
˙a
n
e
−
iEnt
}
+
S
n
i}u
n
a
n
(−
iE
n
}
)e
−
iEnt
}
|
{z
}
u
n
a
n
E
n
e
−
iEnt
}
,
prawa za´s:
P =
S
n
a
n
e
−
iEnt
}
(H
0
+ H
0
)u
n
=
S
n
a
n
e
−
iEnt
}
(E
n
u
n
+ H
0
u
n
).
Przyrównujemy obie strony do siebie i skracamy wyrazy podobne. Zostaje:
S
n
i}u
n
˙a
n
e
−
iEnt
}
=
S
n
a
n
e
−
iEnt
}
H
0
u
n
,
Obkładamy stanem hk|:
i}u
k
˙a
k
e
−
iEkt
}
=
S
n
a
n
e
−
iEnt
}
hu
k
|H
0
|u
n
i,
˙a
k
=
1
i}
S
n
e
iω
kn
t
hu
k
|H
0
|u
n
ia
n
.
(165)
Otrzymujemy układ równa´n dla wszystkich warto´sci k, gdzie ω
kn
jest cz˛esto´sci ˛
a kołow ˛
a Bohra i oznacza:
ω
kn
=:
E
k
− E
n
}
.
15
Rachunek zaburze ´n
15.1
Przypomnienie wraz z kontynuacj ˛
a materiału z wykładu poprzedniego
Niech:
H = H
0
+ H
0
,
H
0
u
k
= E
k
u
k
.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 15: Rachunek zaburze ´
n.
56
Zaburzenie to powoduje, i˙z współczynniki a
n
zale˙z ˛
a od czasu:
ψ(t) =
S
n
a
n
(t)u
n
e
−iE
n
t/}
.
Wstawiaj ˛
ac powy˙zszy wzór do równania Schrödingera:
i}
∂ψ
∂t
= Hψ,
otrzymujemy:
˙
a
k
=
1
i}
S
n
hk|H
0
|nia
n
e
iω
kn
t
.
Rozwijamy a
n
(t) w szereg zaburze´n:
a
n
= a
(0)
n
+ λa
(1)
n
+ λa
(2)
n
+ . . .
Jak wiadomo z poprzedniego wykładu, mamy:
˙
a
k
(s+1)
=
1
i}
S
n
hk|H
0
|nia
(s)
n
e
iω
kn
t
,
a
(0)
k
= hk|mi = δ
km
,
˙
a
k
(1)
=
1
i}
hk|H
0
|mie
iω
km
t
,
a
(1)
k
=
1
i}
Z
t
0
hk|H
0
|mie
iω
km
τ
dτ.
(166)
15.2
Zaburzenie harmoniczne
Przykładem zaburzenia harmonicznego jest ´swiatło lasera “padaj ˛
ace” na elektron. Fala
−
−
→
EB
25
jest w tych warunk-
ach znacznie szersza od paczki falowej elektronu, zatem w przybli˙zeniu ma
∂
∂x
= 0, natomiast jej
∂
∂t
jest nieze-
rowa, czyli, inaczej mówi ˛
ac, otrzymujemy zaburzenie zmienne w czasie. Przyjmijmy, ˙ze zaburzenie jest nast˛epu-
j ˛
acej postaci:
hk|H
0
(t)|mi := 2 sin(ωt)hk|H
0
|mi,
t ∈ [0, t
0
].
Wstawiaj ˛
ac tak ˛
a posta´c do równania (166), otrzymujemy:
a
(1)
k
(t > t
0
) =
1
i}
hk|H
0
|mi
Z
t
0
dτ 2 sin(ωτ )e
iω
kn
τ
=
= −
1
i}
hk|H
0
|mi
e
i(ω
km
+ω)t
0
− 1
ω
km
+ ω
−
e
i(ω
km
+ω)t
0
− 1
ω
km
− ω
.
Teraz, dla ustalenia uwagi, zało˙zymy, ˙ze drugi człon w nawiasie jest mały. Mamy st ˛
ad:
|a
(1)
k
(t > t
0
)|
2
=
4|hk|H
0
|mi|
2
}
2
sin
2
(
1
2
(ω
km
− ω)t
0
)
(ω
km
− ω)
2
.
(167)
Zało˙zymy teraz, ˙ze E
k
w okolicy E
m
+ }ω jest du˙ze. Z tego wynika, i˙z:
A =
Z
dE
k
%(E
k
)|a
(1)
k
(t > t
0
)|
2
' %(E
k
0 = }ω + E
m
),
A = t
0
2π
}
%(k)|hk|H
0
|mi|
2
,
gdzie A jest prawdopodobie´nstwem obsadzenia grupy stanów energetycznych wokół pewnego ustalonego stanu.
Fermi nazwał to złot ˛
a reguł ˛
a Fermiego numer dwa.
25
−
−
→
EB to bardzo przyjemny skrót na wszystkie słowa pochodz ˛
ace od korzenia “elektomagnetyzm”, bo przecie˙z E to nic innego jak elektro-,
za´s B to, jak powszechnie wiadomo, magnetyzm. Skrócik ten, wraz z takimi cude´nkami jak ∃ (istnieje), oraz p() (prawdopodobie´nstwo),
znacznie ułatwia mi ˙zycie od wielu lat, dlatego te˙z pozwol˛e sobie go tutaj zastosowa´c. Nie wolno mi? No jasne, i˙z mi wolno! (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 15: Rachunek zaburze ´
n.
57
15.3
Przybli˙zenie adiabatyczne
26
Ten rodzaj przybli˙ze´n stosuje si˛e dla układów, w których hamiltonian zmienia si˛e bardzo powoli w czasie. Wyobra´zmy
sobie, ˙ze mamy oscylator harmoniczny,
k
2
x
2
, w którym powoli zmienia si˛e k. Wówczas:
H = H(t) :
H(t)u
n
(t) = E
n
(t)u
n
(t).
Wstawiaj ˛
ac
ψ(t) =
S
n
a
n
(t)u
n
(t) exp(
1
i}
Z
t
0
E
n
(τ )dτ )
do równania Schrödingera (i} ˙
ψ = H(t)ψ), mamy:
i}
S
n
exp(
1
i}
Z
t
0
E
n
(τ )dτ )
˙a
n
u
n
+ a
n
˙
u
n
+ a
n
u
n
E
n
(t)
i}
=
S
n
exp(
1
i}
Z
t
0
dτ E
n
(τ ))(a
n
H(t)u
n
),
0 =
S
n
( ˙a
n
u
n
+ a
n
˙
u
n
) exp(
1
i}
Z
t
0
dτ E
n
(τ )) =
S
n
( ˙a
n
|ni + a
n
| ˙ni) exp(
1
i}
Z
t
0
dτ E
n
(τ )).
Dostawiamy stan ko´ncowy hk|:
0 =
S
n
( ˙a
n
hk|ni + a
n
hk| ˙ni)e
1
i}
R
t
0
dτ E
n
(τ )
,
0 = ˙a
k
e
1
i}
R
t
0
dτ E
k
(τ )
+
S
n
a
n
hk| ˙nie
1
i}
R
t
0
dτ E
n
(τ )
.
Ostatecznie mamy:
˙a
k
= −
S
n
a
n
hk| ˙ni exp(
1
i}
t
R
0
dτ (E
n
(τ ) − E
k
(τ )))
Po obustronnym zró˙zniczkowaniu poni˙zszego równania mo˙zna obliczy´c hk| ˙ni:
H(t)u
n
(t) = E
n
(t)u
n
(t),
∂H
∂t
u
n
(t) + H(t) ˙
u
n
(t) =
∂E
n
∂t
u
n
(t) + E
n
˙
u
n
,
∂H
∂t
|ni + H| ˙ni =
∂E
n
∂t
|ni + E| ˙ni,
k 6= n.
Lewostronnie wymna˙zamy przez hk|:
hk|
∂H
∂t
|ni + hk|H| ˙ni
|
{z
}
E
k
hk| ˙
ni
=
∂E
n
∂t
δ
kn
|
{z
}
=0,
bo
k6=n
+E
n
hk| ˙ni,
hk|
∂H
∂t
|ni = (E
n
− E
k
)hk| ˙ni.
hn|ni = 1,
h ˙n|ni + hn| ˙ni = 0,
hn| ˙ni + hn| ˙ni
∗
= 0,
hn| ˙ni = iα(t) ←− musi by´c czysto urojone.
Upro´scimy sobie rachunki sprytnie dobieraj ˛
ac faz˛e. Jest to mo˙zliwe, bo fazy funkcji własnych s ˛
a dowolne w
ka˙zdej chwili czasu.
˜
u
n
= u
n
e
iγ(t)
,
26
adiabatycznie ≈ wolno
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 16: Przybli˙zenie nagłej zmiany, fermiony i bozony.
58
h˜
n| ˙˜
ni = 0,
e
iγ
hn|
d
dt
(e
iγ
|ni) = e
−iγ
hn|(i ˙γ|ni + | ˙ni)e
iγ
,
i ˙γ + hn| ˙ni = i( ˙γ + α) = 0,
γ = −
Z
t
0
α(τ )dτ,
Dzi˛eki temu znikaj ˛
a dwa minusy:
˙a
k
=
S
n6=k
a
n
hk|
∂H
∂t
|ni
E
n
− E
k
exp(
1
i}
Z
t
0
(E
k
− E
n
)dτ ).
Dla t = 0 we´zmy a
m
= δ
nm
, czyli n-ty stan. Wówczas:
˙a
k
=
1
E
m
− E
k
hk|
∂H
∂t
|mi exp(
1
i}
Z
t
0
(E
k
− E
m
)dτ ).
Człon exp(. . .) szybko oscyluje, zatem pochodna jest na zmian˛e dodatnia i ujemna, czyli a
k
ani specjalnie nie
ro´snie, ani nie maleje.
16
Przybli˙zenie nagłej zmiany, fermiony i bozony
16.1
Rachunek zaburze ´n - dalszy ci ˛
ag
16.1.1
Przybli˙zenie adiabatyczne i oscylator harmoniczny
Potencjał dla oscylatora harmonicznego z uwzgl˛ednieniem członów zaburzaj ˛
acych:
V (X) = V (x
0
) +
1
2
V
00
(X
0
)(x − x
0
)
2
|
{z
}
H
0
+ V (x) − V (x
0
) −
1
2
V
00
(X
0
)(x − x
0
)
2
|
{z
}
H
0
.
Poniewa˙z hamiltonian wolno zmienia si˛e w czasie, dokonujemy przybli˙zenia adiabatycznego. Bierzemy funkcj˛e
falow ˛
a postaci:
ψ =
X
n
a
n
u
n
e
1
i}
R
t
t0
E
n
(τ )dτ
,
oraz nast˛epuj ˛
acy hamiltonian (taki jak dla atomu polonu):
H =
H
0
:
t < 0
H
1
:
t > 0
.
16.1.2
Nieci ˛
agła zmiana warto´sci H
Rozwa˙zaj ˛
ac powy˙zsze zagadnienie zakładamy, ˙ze potrafimy okre´sli´c H
0
i H
1
. Wtedy:
H
0
u
n
= E
n
u
n
,
H
1
v
µ
= E
µ
v
µ
,
H
0
|ni = E
n
|ni,
H
1
|µi = E
µ
|µi,
dla t > 0 : ψ(t) =
S
n
a
n
u
n
e
−
iEnt
}
,
dla t < 0 : ψ(t) =
S
µ
b
µ
v
µ
e
−
iEµt
}
.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 16: Przybli˙zenie nagłej zmiany, fermiony i bozony.
59
Funkcja falowa ma by´c w ka˙zdym punkcie przestrzeni ci ˛
agła dla t = 0, wi˛ec:
S
n
a
n
u
n
=
S
µ
b
µ
v
µ
. W mo-
mencie przeł ˛
aczenia hamiltonianu stara funkcja falowa rozkłada si˛e na now ˛
a. Stał ˛
a b
µ
wyra˙zamy przez a
n
, po
przemno˙zeniu i scałkowaniu przez funkcj˛e sprz˛e˙zon ˛
a v
∗
µ
, otrzymujemy:
b
µ
=
S
n
a
n
hµ|ni,
a
n
= δ
nm
⇔ a
n
=
0
dla
n 6= m
1
dla
n = m
.
Gdy układ pocz ˛
atkowo jest w stanie m, to a
n
= hn|mi, wówczas b
µ
= hµ|mi.
16.1.3
Przybli˙zenie nagłej zmiany
W drugim przypadku rozwa˙zamy taki hamiltonian, ˙ze jego zmiana zachodzi w bardzo krótkim czasie.
H =
H
0
:
t < 0
H
I
:
t ∈ [0, t
0
]
H
1
:
t > t
0
.
Dla t ∈ [0, t
0
]:
ψ(t) =
S
k
c
k
w
k
e
−
iEkt
}
,
c
k
=
S
k
a
n
hk|ni.
ψ(t
0
) =
S
k
c
k
w
k
e
−
iEkt0
}
= ||robimy przeskalowanie z H
I
na H
1
|| =
S
µ
b
µ
v
µ
e
−
iEµt0
}
,
S
k
c
k
e
−
iEkt0
}
hν|ki
S
ν
b
ν
e
−
iEν t
}
=
S
k
c
k
hν|kie
−
iEkt
}
,
b
ν
=
S
k
c
k
hν|kie
i(Eν −Ek)t
}
,
b
µ
=
S
k
S
n
a
n
hµ|kie
−i(Ek−Eν )t0
}
hk|ni,
b
µ
=
S
n
a
n
S
k
hµ|ki e
−i(Ek−Eν )t0
}
|
{z
}
=1−
it0
}
(E
k
−E
µ
)
hk|ni,
b
µ
=
S
n
a
n
S
k
hµ|kihk|ni −
it
0
}
S
k
hµ|ki(E
k
− E
µ
)hk|ni
|
{z
}
poprawka ∼ t
0
,
b
µ
∼
=
S
n
a
n
hµ|ni − i
t
0
}
S
n
a
n
S
k
hµ|ki(E
k
− E
µ
)
|
{z
}
−i
t0
}
S
n
a
n
hµ|(H
I
−H
1
)|ni
hk|ni,
S
n
hµ|ki hk|H
I
|ni
|
{z
}
E
k
hk|ni
=
S
k
hµ|kiE
k
hk|ni = hµ|H
1
|ni = hµ|E
µ
|ni =
S
k
hµ|kiE
µ
hk|ni.
Przybli˙zenie nagłej zmiany jest najlepsze gdy warto´sci t
0
s ˛
a bardzo małe. Wówczas b
µ
wynosi:
b
µ
∼
=
S
n
a
n
hµ|1 −
it
0
}
(H
2
− H
1
)|ni.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 17: Bozony i fermiony.
60
16.2
Problem dwóch ciał
Mechanika kwantowa jest teori ˛
a probabilistyczn ˛
a i deterministyczn ˛
a (z równania Schrödingera wiemy jak funkcja
falowa zmienia si˛e w czasie). Załó˙zmy, ˙ze mamy dwie cz ˛
astki (ψ(r
1
, s
z1
, r
2
, s
z2
)). W przypadku, gdy poruszaj ˛
a
si˛e niezale˙znie od siebie, funkcja falowa układu przyjmuje posta´c:
ψ = ψ
1
(r, s
z1
)ψ
2
(r, s
z2
),
a rozkład g˛esto´sci prawdopodobie´nstwa wygl ˛
ada nast˛epuj ˛
aco:
%(r
1
, s
z1
, r
2
, s
z2
) = %(r
1
, s
z1
)%(r
2
, s
z2
).
Mówimy, ˙ze cz ˛
astki s ˛
a identyczne wówczas, gdy nie da si˛e ich odró˙zni´c od siebie i spełniona jest zale˙zno´s´c:
%(r
1
, r
2
) = %(r
2
, r
1
).
Zale˙zno´s´c t˛e mo˙zna spełni´c na dwa sposoby:
• symetrycznie
27
- ψ(r
1
, r
2
) = ψ(r
2
, r
1
),
• antysymetrycznie
28
- ψ(r
1
, r
2
) = −ψ(r
2
, r
1
).
To, czy cz ˛
astki s ˛
a opisywane falami symetrycznymi, czy antysymetrycznymi, zale˙zy od ich wewn˛etrznego mo-
mentu obrotowego - spinu. Bozony maj ˛
a spin całkowity, natomiast fermiony połówkowy. Je˙zeli cz ˛
astki s ˛
a symetryczne,
to hamiltonian w odpowiednich zmiennych te˙z musi by´c symetryczny, np. dla dwóch elektronów hamiltonian ma
posta´c:
H = −
}
2
2m
(∇
2
1
+ ∇
2
2
) + V (|r
1
− r
2
|).
Przypu´s´cmy, ˙ze znale´zli´smy rozwi ˛
azanie dla hamiltonianu. Na ogół funkcja ψ nie ma symetrii, ale je˙zeli spełnia
równanie Schrödingera, to funkcje ψ(r
1
, r
2
), ψ(r
2
, r
1
) daj ˛
a dobre rozwi ˛
azanie.
Zdefiniujemy funkcj˛e symetryczn ˛
a i antysymetryczn ˛
a:
ψ
sym
(r
1
, r
2
) =:
1
√
2
[ψ(r
1
, r
2
) + ψ(r
2
, r
1
)],
ψ
anty
(r
1
, r
2
) =:
1
√
2
[ψ(r
1
, r
2
) − ψ(r
2
, r
1
)].
Załó˙zmy teraz, ˙ze ka˙zda z cz ˛
astek opisywana jest własn ˛
a funkcj ˛
a falow ˛
a: u
1
(r
1
)u
2
(r
2
). Wtedy funkcje ψ
sym
,
ψ
anty
przyjmuj ˛
a posta´c:
ψ
sym
=
1
√
2
(u
1
(r
1
)u
2
(r
2
) + u
1
(r
2
)u
2
(r
1
)),
ψ
anty
=
1
√
2
(u
1
(r
1
)u
2
(r
2
) − u
1
(r
2
)u
2
(r
1
)).
Je´sli u
1
= u
2
= u to:
ψ
sym
=
√
2(u(r
1
)u(r
2
)),
ψ
anty
= 0.
Wniosek: ˙
Zadne dwa fermiony nie mog ˛
a znajdowa´c si˛e w stanie opisanym t ˛
a sam ˛
a funkcj ˛
a falow ˛
a. Jest to Zakaz
Pauliego. Bozony za´s mog ˛
a.
27
np. dla bozonów, opisywanych statystyk ˛
a Bosego-Einsteina.
28
np. dla fermionów, opisywanych statystyk ˛
a Fermiego-Diraca.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 17: Bozony i fermiony.
61
17
Bozony i fermiony
17.1
Symetryczno´s´c i antysymetryczno´s´c
• Bozony:
%(r
1
, r
2
) ≡ %(r
2
, r
1
),
ψ(r
1
, r
2
) =
1
√
2
(u(r
1
, r
2
) + u(r
2
, r
1
)),
%(r
1
, r
2
) = |ψ|
2
=
1
2
|u(r
1
, r
2
) + u(r
2
, r
1
)|
2
= 2|u(r
1
, r
2
)|
2
.
Dla bozonów zachodz ˛
a korelacje Bosego-Einsteina.
• Fermiony:
% = |ψ|
2
=
1
2
|u(r
1
, r
2
) − u(r
2
, r
1
)|
2
.
Układy Fermionów nie maj ˛
a analogów klasycznych.
Ka˙zdy z fermionów musi mie´c inn ˛
a funkcj˛e falow ˛
a.
Posta´c ´sci´sle antysymetrycznej funkcji falowej jest nast˛epuj ˛
aca:
φ(r
1
, s
(1)
z
; r
2
, s
(2)
z
) =
1
√
2
(u
1
(r
1
, s
(1)
z
)u
2
(r
2
, s
(2)
z
) − u
1
(r
2
, s
(1)
z
)u
2
(r
1
, s
(2)
z
)).
Przypadek 1:
u
1
(r
1
, s
(1)
z
) =
1
0
1
u
1
(r
1
),
u
2
(r
2
, s
(1)
z
) =
1
0
2
u
2
(r
2
),
φ =
1
√
2
1
0
1
⊗
1
0
2
(u
1
(r
1
)u
2
(r
2
) − u
2
(r
1
)u
1
(r
2
)).
Przypadek 2:
u
1
=
1
0
1
u(r
1
),
u
2
=
1
0
2
u(r
2
),
φ =
u(r
1
)u(r
2
)
√
2
(
1
0
1
⊗
0
1
2
−
0
1
1
⊗
1
0
2
).
s
z
= 0} −→ (| ↑↓i − | ↓↑i).
W danym punkcie mog ˛
a by´c dwa elektrony, ale musz ˛
a mie´c przeciwne spiny!
We´zmy operator s
z
= s
(1)
z
+ s
(2)
z
:
s
(1)
z
=
}
2
1
0
0
−1
(1)
,
s
(2)
z
=
}
2
1
0
0
−1
(2)
,
s
(1)
z
φ =
u(r
1
)u(r
2
)
√
2
}
2
"
σ
(1)
z
1
0
(1)
⊗
0
1
(2)
−
(
σ
(1)
z
0
1
(1)
)
⊗
1
0
(2)
#
,
s
(1)
z
φ =
}
2
u(r
1
)u(r
2
)
√
2
"
1
0
(1)
⊗
0
1
(2)
+
0
1
(1)
⊗
1
0
(2)
#
,
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 18: Bozony, fermiony i układ okresowy.
62
s
(2)
z
φ =
}
2
u(r
1
)u(r
2
)
√
2
"
−
1
0
(1)
⊗
0
1
(2)
−
0
1
(1)
⊗
1
0
(2)
#
.
Zauwa˙zmy, ˙ze:
s
(1)
z
φ + s
(2)
z
φ = 0.
u
sym
(r
1
, r
2
) (| ↑↓i − | ↓↑i)/
√
2 spin = 0 (jest to stan singletowy),
u
anty
(r
1
, r
2
)
| ↑↑i
spin = }
(| ↑↓i + | ↓↑i)/
√
2
spin = 0 (jest to stan trypletowy).
| ↓↓i
spin = −}
17.2
Izospin
Pomysł: zamiast rozpatrywa´c istnienie dwóch ró˙znych nukleonów załó˙zmy, i˙z istnieje jeden tylko nukleon, który
mo˙ze za to przyjmowa´c dwa stany: protonu i neutronu. Otrzymujemy operator podobny do spinu - izospin.
E
nucl
'
aA
|{z}
obj˛eto´s´c
−bA
2/3
|
{z
}
powierzchnia
−cZ
2
A
−1/3
|
{z
}
odpychanie
+(N − Z)
2
.
Dla silnego odpychania kulombowskiego - model kropelkowy!
29
Bomb˛e atomow ˛
a zbudowano wła´snie na bazie
modelu kropelkowego.
Model kropelkowy wykorzystuje analogi˛e mi˛edzy j ˛
adrem a kropl ˛
a cieczy i jest najprostsz ˛
a wersj ˛
a modelu sil-
nych korelacji. Podstaw ˛
a tej analogii s ˛
a dwa fakty do´swiadczalne: stała g˛esto´s´c materii w j ˛
adrze, niezale˙zna od
jego wielko´sci, oraz niemal stała warto´s´c energii wi ˛
azania j ˛
adra w przeliczeniu na jeden nukleon. Wymienione
własno´sci j ˛
adra s ˛
a charakterystyczne dla cieczy - g˛esto´s´c jej jest stała niezale˙znie od obj˛eto´sci, a tak˙ze ciepło
parowania (b˛ed ˛
ace odpowiednikiem energii wi ˛
azania) przeliczone na jednostk˛e obj˛eto´sci jest stałe.
18
Bozony, fermiony i układ okresowy
18.1
Przypomnienie postulatów mechaniki kwantowej
• Obserwablom mo˙zemy przypisa´c operatory:
Θ(~
r, ~
p) −→ ˆ
Θ(~
r, −i}~
∇).
• Warto´s´c ´sredni ˛
a operatora obliczamy nast˛epuj ˛
aco:
h ˆ
Θi =
Z
d
3
rψ
∗
ˆ
Θψ.
• Jedyne mo˙zliwe warto´sci pomiarów ˆ
Θ:
ˆ
Θψ
λ
= λψ
λ
.
29
Zamieszczony tutaj rysunek, tych co cierpi ˛
a na brak dozna´n artystycznych w notatkach, mo˙ze jeszcze bardziej dobi´c. (przyp. E.S.) I o to
wła´snie chodzi! (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 18: Bozony, fermiony i układ okresowy.
63
• Mechanika kwantowa jest deterministyczna - znaj ˛
ac funkcj˛e falow ˛
a ψ mamy zakodowan ˛
a informacj˛e o
układzie i mo˙zemy przewidzie´c co b˛edzie si˛e działo za jaki´s czas:
i}
∂ψ
∂t
= ˆ
Hψ.
• Dla cz ˛
astek symetrycznych g˛esto´s´c prawdopodobie´nstwa %(r) te˙z jest symetryczna.
18.2
Problem cz ˛
astek symetrycznych jeszcze raz
Funkcje falowe mog ˛
a by´c symetryczne i antysymetryczne:
Ψ
sym
↔ BOZON Y
Ψ
anty
↔ F ERM ION Y
Problem: We´zmy dwa elektrony, jeden z Ksi˛e˙zyca, a drugi z Ziemi. Ich funkcje falowe wcale si˛e nie przekrywaj ˛
a,
bo elektrony maj ˛
a ró˙zne poło˙zenia:
u
Z
(r
1
, s
z
1
)u
K
(r
2
, s
z
2
),
Funkcja antysymetryczna przyjmuje posta´c:
u
anty
=
1
√
2
(u
Z
(r
1
, s
z
1
)u
K
(r
2
, s
z
2
) − u
Z
(r
2
, s
z
2
)u
K
(r
1
, s
z
1
)),
|u
anty
|
2
=
1
2
[|u
Z
(r
1
, s
z
1
)|
2
|u
K
(r
2
, s
z
2
)|
2
+ |u
K
(r
1
, s
z
1
)|
2
|u
Z
(r
2
, s
z
2
)|
2
].
Nie ma członów krzy˙zowych ze wzgl˛edu na fakt nie przekrywania si˛e funkcji.
18.2.1
Jak antysymetryzowa´c funkcje?
Mamy funkcj˛e u = u
1
(x
1
)u
2
(x
2
) · · · u
n
(x
n
). Obiektem ´sci´sle antysymetrycznym wzgl˛edem permutacji jest wyz-
nacznik
30
, czyli:
31
u
anty
=
1
√
N !
det
u
1
(x
1
)
u
1
(x
2
)
· · ·
u
1
(x
n
)
u
2
(x
1
)
u
2
(x
2
)
· · ·
u
2
(x
n
)
..
.
..
.
. .
.
..
.
u
n
(x
1
)
u
n
(x
2
)
· · ·
u
n
(x
n
)
.
18.2.2
Hamiltonian dla układu n elektronów
ˆ
H = −
}
2
2µ
∞
X
n=1
(∇
2
n
) −
∞
X
n=1
Ze
2
4πε
0
1
|r
n
|
|
{z
}
uwzgl˛edniamy potencjał
+
Z
X
n=1
m=1
X
n=1
e
2
4πε
0
1
|r
m
− r
n
|
.
Problem z takim hamiltonianem wcale nie daje si˛e łatwo rozwi ˛
aza´c, poniewa˙z liczba równa´n zale˙zy od liczby
atomowej Z. Ale bazuj ˛
ac na tym co mamy i wiemy, wymy´slimy hamiltonian rozwi ˛
azywalny:
−
}
2
2µ
X
n
∇
2
n
−
X
V
ef f
(r
n
) =
X
n
H
n
.
Ka˙zda cz ˛
astka ma si˛e porusza´c w polu o potencjale efektywnym:
30
Bowiem “ka˙zde dziecko wie, ˙ze wyznacznik macierzy jest antysymetryczn ˛
a funkcj ˛
a kolumn i wierszy”, jak mawiał dr Panasiuk. (przyp.
R.K.)
31
Wyznacznik ten zwie si˛e wyznacznikiem Slatera.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 18: Bozony, fermiony i układ okresowy.
64
6V (r)
-
−
Ze
2
4πεr
−
e
2
4πεr
r
Mamy zestaw funkcji u
nlm
(r, ϑ, ϕ). Dla stanu podstawego n = 1, l = 0 nie ma degeneracji, a na powłoce
umieszczamy dwa elektrony (z uwzgl˛ednieniem spinu):
u
100
(r, τ, π)
1
0
;
u
100
(r, τ, π)
0
1
→ stan 1s.
Dla kolejnych liczb kwantowych powłoki maj ˛
a nast˛epuj ˛
ace oznaczenia:
l = 0 → s,
l = 1 → p,
l = 2 → d,
l = 3 → f,
l = 4 → g.
Gdy w potencjale uwzgl˛ednimy obsadzenie powłok przez elektrony otrzymamy nast˛epuj ˛
ace wyra˙zenie:
V = V
ef f
(r) −
}
2
l(l + 1)
2µr
2
,
z którego wida´c, ˙ze dla coraz to wi˛ekszych warto´sci l, energia wi ˛
azania maleje.
6
V (r)
-
18.3
Układ okresowy pierwiastków
Obsadzenie powłok elektronami:
2 − (1s)
2 − (2s)
6 − (2p)
2 − (3s)
6 − (3p)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 18: Bozony, fermiony i układ okresowy.
65
2 − (4s)
10 − (3d)
stany te maj ˛
a porównywalne energie
6 − (4p)
s
1
s
2
p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
p
6
1s
H
Z=1
He
Z=2
2s
Li
Z=3
Be
Z=4
2p
B
Z=5
C
Z=6
N
Z=7
0
Z=8
F
Z=9
Ne
Z=10
3s
Na
Z=11
Mg
Z=12
18.3.1
Z czego wynika okresowo´s´c pierwiastków?
Uło˙zenie pierwiastków w układzie wynika z zapełnienia powłok elektronami:
Li i H maj ˛
a ideologicznie bardzo podobn ˛
a budow˛e, dodatkowo wła´sciwo´sci chemiczne litu s ˛
a podobne do wła´s-
ciwo´sci chemicznych sodu.
Rozpatrujemy konfiguracj˛e elektronow ˛
a tlenu O
16
8
: (1s)
2
(2s)
2
, nie obchodz ˛
a nas zapełnione powłoki, rozwa˙zamy
tylko powłok˛e niezapełnion ˛
a (2p)
4
:
u
21m
(r, θ, ϕ) = u
21
(r)Y
2m
(θ, ϕ),
Y
10
= (
3
4π
)
1
2
cos Θ = (
3
4π
)
1
2
z
r
,
Y
1±1
= ∓(
3
8π
)
1
2
sin Θe
±iϕ
|
{z
}
sin Θ(cos ϕ±i sin ϕ)=
x±iy
r
.
W graficznym przedstawieniu, zamiast u˙zywa´c trzech funkcji: Y
10
, Y
1±1
mo˙zna u˙zy´c trzech funkcji niezale˙znych:
x
r
,
y
r
,
z
r
. Wtedy stan 2p
xyz
wygl ˛
ada nast˛epuj ˛
aco:
X
Y
Z
Gdy we´zmiemy cz ˛
asteczk˛e wody (H
2
O), wodory wraz z tlenem tworz ˛
a układ z k ˛
atem prostym, układ ten ma
bardzo du˙zy moment dipolowy, dzi˛eki czemu woda jest bardzo dobrym rozpuszczalnikiem. Elektrony pochodz ˛
ace
od tlenu i wodoru razem uwspólniaj ˛
a orbit˛e:
X
Y
Z
H
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 19: Metoda Hartreego-Focka
66
18.4
Model atomu Thomasa-Fermiego
Mamy potencjał V
ef f
= −
Ze
2
4πε
1
|r|
+ V
%
, gdzie V
%
= V (r) + v
1
(r)LS. ˙
Zeby dobrze rozwi ˛
aza´c ten problem,
bierzemy przybli˙zenie WKB, a funkcj˛e falow ˛
a brutalnie ’maltretujemy’ ˙zeby zanikała na brzegach, przybli˙zaj ˛
ac
j ˛
a sinusem:
u
n
(x) =
(sin(
1
n
R
x
1
x
0
dyp
E
(y))
pp
E
(x)
,
%
2
(x) = (
sin
2
(
1
n
R
x
1
x
0
dyp
E
(y))
pp
E
(x)
=
1
p
E
(x)
.
Dalej rozwi ˛
azujemy w trzech wymiarach:
π
nl
(r) =
u
nl
(r)
r
,
%(r) =
u
2
nl
r
2
,
%(r) =
s
2µ(E − V (r)) +
}
2
(l + 1/2)
2
2µr
2
,
4π
Z
drr
2
%
nl
(r) = 1.
19
Metoda Hartreego-Focka
Mamy atom wapnia
44
22
Ca, gdzie Z = 22. Z rozwi ˛
azania równania Schrödingera dostajemy równania ró˙zniczkowe
66 zmiennych (22p
+
+ 22n + 22e
−
).
32
Trzeba znale´z´c taki sposób, ˙zeby zagadnienie było rozwi ˛
azywalne. Pole od
elektronów u´srednia si˛e, tworz ˛
ac sferycznie symetryczny potencjał efektywny. Z potencjału za´s mo˙zna wyliczy´c
funkcj˛e falow ˛
a u
nlm
, natomiast elektrony u´sredni´c. Post˛epuj ˛
ac w ten sposób otrzymamy rozmyt ˛
a g˛esto´s´c elek-
tronów, a to jest przydatne przy analizie rozmieszczenia elektronów na poziomach energetycznych.
Veff(r) → u
nlm
(r, τ, ϕ) = u
nl
(r)Y
lm
(τ, ϕ).
-
6
Ze
2
4πεr
n,l
mamy poziomy energetyczne, ka˙zdy
poziom n zdegenerowany jest (2l + 1)−krotnie
32
problem mało przyjemny do rozwi ˛
azania.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 19: Metoda Hartreego-Focka
67
G˛esto´s´c prawdopodobie´nstwa %
nlm
(r, τ, ϕ) otrzymuje si˛e: %tot
nlm
=
P
n,l,m
%
nlm
. Ten sposób zwie si˛e metod ˛
a
Hartreego. Model ten nie zawsze si˛e sprawdza, bo pomija antysymetryzacj˛e (otrzymana w wyniku funkcja falowa
nie jest antysymetryczna). Fock jednak wymy´slił procedur˛e antysymetryzacji. Jednak w przypadku du˙zej liczby
elektronów jest on bliski przypadkowi klasycznemu i mo˙zna stosowa´c przybli˙zenie WKB.
Rozwi ˛
a˙zemy teraz problem ´sci´sle:
%
nl
(r) =
l
X
m=−l
|u
nlm
(r, Θ, ϕ)|
2
= u
2
nl
(r)
| {z }
?
l
X
m=−l
Y
∗
lm
(Θ, ϕ)Y
lm
(Θ, ϕ).
Przy czym: ? to kawałek, który zale˙zy od dynamiki. Z gł˛ebokiej analizy harmonik sferycznych wynika:
4π
2l + 1
l
X
m=−l
Y
∗
lm
(Θ
1
, ϕ
1
)Y
lm
(Θ
2
, ϕ
2
) = P
l
(cos Θ
12
).
-
6
*
x
y
z
Θ
1
A
A
A
A
A
A
A
A
K
Θ
2
l
X
m=−l
Y
∗
lm
(Θ, ϕ)Y
lm
(Θ, ϕ) = P
l
(1)
2l + 1
4π
.
Ogl ˛
adamy funkcj˛e tworz ˛
ac ˛
a:
T (w, s) = (1 − 2sw + s
2
)
1/2
=
∞
X
l=0
P
l
(w)s
l
.
T (w, 0) = P
0
(w) = 1,
T
0
(w, 0) = P
1
(w).
Ten sposób pozwala na policzenie wszystkich wielomianów Legendre‘a. Dla w = 1:
T (1, s) = (1 − s)
2(−1/2)
=
1
1 − s
=
∞
X
l=0
s
l
=
X
l
P
l
(1)s
l
.
Z tego wynika, ˙ze dla wszystkich wielomianów Legendre’a P
l
(1) = 1.
%
nl
(r) = u
2
nl
(r)
2l + 1
4π
.
˜
%
nl
(r) =
Z
1
−1
d cos Θ
Z
2π
0
dϕ%
nl
= 4π%
nl
= (2l + 1)u
n
l
2
(r).
Jak normalizowa´c ˜
%
nl
? Warunek normalizacji:
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 19: Metoda Hartreego-Focka
68
R drr
2
˜
%
nl
(r) = 2
Szukamy u
nl
(r):
−
}
2
2µ
1
r
2
d
dr
(r
2
u
2
nl
) + (V (r) +
}
2
l(l + 1)
2µr
2
)u
nl
= E
nl
u
nl
.
Niech u
nl
=
a
nl
(r)
r
. Wówczas:
−
}
2
2µ
a
00
nl
+ (V (r) +
}
2
l(l + 1)
2µr
2
)a
nl
= E
nl
a
nl
,
p
nl
(r) =
2µ(E − V −
}
2
l(l + 1)
2µr
2
)
1/2
,
a
nl
(r) =
1
pp
nl
(r)
sin
1
}
Z
r
r
0
drp
nl
(r)
.
Zast˛epujemy wyra˙zenie l(l + 1) przez (l +
1
2
)
1/2
= z
2
. Wówczas:
l
X
m=−l
%
nl
Y
∗
Y = ˜
%
nl
∼
2z
r
2
%
nl
(r)
,
Z
d
3
r%
nl
(r) = 2 = 4π
Z
∞
0
drr
2
%
nl
(r) = 4π
Z
∞
0
drr
2
c
%
nl
r
2
= 4πc
Z
∞
0
dr
1
%
nl
,
c =
1
2π
R
dr
%
nl
(r)
,
˜
%
nl
(r) = 2z%
nl
(r),
Wprowadzamy teraz R
nl
(r) := %
00
+ %
n1
+ %
n2
+ . . .
dR
nl
dn
∼
= ˜
%
nl
,
2
Z
r
2
r
0
dr%
nl
(r) = 2π}n = 0.
dn
dE
= −
∂F
∂E
∂F
∂n
=
−2
R
dr
%
nl
(2µ)
1/2
−2π}
=
µ
π}
Z
dr
%
nl
(r)
,
dR
nl
(r)
dE
=
dR
dn
dn
dE
=
m
2π
2
}
1
r
2
%
nl
(r)
.
R
n
(r) =
l=m
X
l=0
R
nl
(r) ∼
Z
dzR
nl
(r),
dR
nl
dE
∼
Z
dz
dR
nl
dE
,
R
n
∼
Z
dzdE
1
r
2
%
nl
(r)
⇒ R =
%
3/2
nl
3π
2
}
3
= 0,
R(r) =
1
3π
2
}
3
(2µ(−V (r)))
3/2
.
Sk ˛
ad wzi ˛
a´c V (r)? V (r) składa si˛e z potencjału j ˛
adra i ujednoliconego potencjału e
−
, który mo˙zna dosta´c z
równania Laplace’a:
1
e
∇
2
V = 4πR.
−
1
er
2
d
dr
(r
2
dV
dR
) =
4e
2
(−2µV )
3/2
2π}
3
.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 20: Obraz Heisenberga, Diraca i Schrödingera.
69
V = −
Ze
2
r
χ,
V = bχ.
χ(0) = 1,
χ(∞) = 0.
b =
1
2
3π
4
}
2
meZ
1/3
=
0.885a
0
Z
1/3
.
Wymiar atomów ro´snie proporcjonalnie do Z
1/3
.
20
Obraz Heisenberga, Diraca i Schrödingera
20.1
Przypomnienie
1. Warto´s´c ´srednia: hψ| ˆ
A|ψi. Wielko´sci ˛
a własn ˛
a jest kombinacja liniowa wektorów i operatorów.
2. Równanie własne: ˆ
A|ψ
λ
i = λ|ψ
λ
i.
3. Prawdopodobie´nstwo znalezienia stanu ϕ = |ϕi w stanie |ψi jest nast˛epuj ˛
ace: p = |hϕ|ψi|
2
.
20.2
Obrazy
Obraz Schrödingera: zale˙zne od czasu s ˛
a wektory (funkcje falowe):
hai
(t)
= hψ
(t)
| ˆ
A|ψ
(t)
i.
(168)
Abstrakcyjne równanie Schrödingera:
i}
d
dt
|ψ(t)i = ˆ
H|ψ(t)i.
|ψ(t)i = e
−
i ˆ
Ht
}
|ψ(t = 0)i,
(169)
czyli:
|ψ(t)i = U (t)|ψ(0)i.
Podstawiaj ˛
ac równanie (169) do (168) otrzymujemy:
hai
(t)
= he
−
i ˆ
Ht
}
ψ(0)|Ae
−
i ˆ
Ht
}
|ψ(0)i,
hai
(t)
= hψ(0)|e
i ˆ
Ht
}
Ae
−
i ˆ
Ht
}
|ψ(0)i.
(170)
Jest to uniwersalny wzór w obrazie Heisenberga. Mo˙zna go zapisa´c w ogólnej postaci:
hai
(t)
= hψ(0)| ˆ
A(t)|ψ(0)i.
(171)
ˆ
A(t) := e
i ˆ
Ht
}
Ae
−
i ˆ
Ht
}
.
Idea obrazów jest nast˛epuj ˛
aca: W obrazie Heisenberga podstawowe s ˛
a operatory, natomiast w obrazie Schrödingera
podstawowymi s ˛
a funkcje falowe. Zale˙zne od czasu s ˛
a za´s wła´snie rzeczy podstawowe. Obraz Diraca jest obrazem
po´srednim: jest w nim troch˛e ewolucji czasowej w operatorach, a troch˛e w funkcji falowej.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 20: Obraz Heisenberga, Diraca i Schrödingera.
70
20.2.1
Przykład pierwszy: cz ˛
astka swobodna
Hamiltonian: H =
p
2
2m
. Rozwa˙zmy operatory ˆ
r oraz ˆ
p:
ˆ
r(t) = e
ip2
2m}
t
ˆ
re
−
ip2
2m}
t
,
ˆ
p(t) = e
ip2
2m}
t
ˆ
pe
−
ip2
2m}
t
= ˆ
p.
W obrazie Heisenberga dla cz ˛
astki swobodnej p nie zmienia si˛e w czasie (powtarza to wynik mechaniki klasy-
cznej). Fakt ogólny:
[ ˆ
B, ˆ
H] = 0 ⇒ ˆ
B(t) = ˆ
B.
Wynika z tego faktu ogólny wzór:
ˆ
r(t) = ˆ
r(0) +
i
}
[H, r(0)]t + . . .
Poniewa˙z
i
}
[
p
2
2m
, r] =
p
m
, to w obrazie Heisenberga mamy ruch swobodny (bowiem wy˙zsze komutatory si˛e
zeruj ˛
a):
r(t) = ˆ
r(0) +
p
m
t.
Pytanie: jakie równanie spełnia pochodna:
d ˆ
A(t)
dt
=?
d ˆ
A(t)
dt
=
i
}
( ˆ
H ˆ
A(t) − ˆ
A(t) ˆ
H) =
1
i}
[ ˆ
A(t), ˆ
H].
Równanie to jest odpowiednikiem równania Schrödingera.
obraz Heisenberga:
d ˆ
A(t)
dt
=
1
i}
[ ˆ
A(t), ˆ
H],
obraz Schrödingera:
d|ψ(t)i
dt
=
1
i}
H|ψ(t)i.
Obraz Heisenberga najbli˙zej ł ˛
aczy kwantowy opis z klasycznym. Poniewa˙z:
dr(t)
dt
=
1
i}
[r(t), H] =
p
m
, to:
r(t) =
p
m
t + ˆ
r(0).
20.2.2
Przykład drugi: oscylator jednowymiarowy
ˆ
H =
ˆ
p
2
2m
+
mω
2
2
ˆ
x
2
dˆ
x(t)
dt
=
1
i}
[ˆ
x(t), H(t)] =
ˆ
p(t)
m
dˆ
p(t)
dt
=
1
i}
[ˆ
p(t), H(t)] = −mω
2
ˆ
x(t)
x(t) = ˆ
x(0) cos(ωt) +
ˆ
p(0)
mω
sin(ωt)
p(t) = −mω ˆ
x(0) sin(ωt) + ˆ
p(0) cos(ωt)
x(t) =
1
2
(ˆ
x(0)(e
iωt
+ e
−iωt
) −
iˆ
p(0)
mω
(e
iωt
− e
−iωt
) =
=
1
2
(ˆ
x(0) −
iˆ
p(0)
mω
)e
iωt
+
1
2
(ˆ
x(0) +
iˆ
p(0)
mω
)e
−iωt
=
r
}
2mω
(ˆ
a
†
e
iωt
+ ˆ
ae
−iωt
) =
r
}
2mw
(ˆ
a
†
(t) + ˆ
a(t))
dˆ
a(t)
dt
=
}ω
i}
[a(t), a
†
(t)a(t)] = −iωˆ
a(t)
dˆ
a
†
(t)
dt
= iωˆ
a
†
(t)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 21: Oscylator i stany mieszane.
71
20.2.3
Przykład trzeci: oscylator jednowymiarowy z sił ˛
a wymuszaj ˛
ac ˛
a
dx(t)
dt
=
p(t)
m
dˆ
p(t)
dt
= −mω
2
x(t)f (t) =
p
2
2m
+
mω
2
2
x
2
− xf (t) = H(t)
e
−
i
}
R
t
0
dtH
= e
−
i
}
Ht
d
dt
e
−
i
}
R
t
0
dtH
= −
i
}
ˆ
H(t)e
−
i
}
Ht
e
−
i
}
R
(t+∆t)
0
dtH(t)
− e
−
i
}
R
t
0
dtH(t)
= e
−
i
}
R
t
0
dtH(t)
21
Jeszcze raz problem oscylatora
Dany jest oscylator jednowymiarowy, zaburzony sił ˛
a zale˙zn ˛
a od czasu.
Pytanie: Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze układ b˛edzie znajdował si˛e w stanie podstawowym?
Hamiltonian dla układu przybiera posta´c:
ˆ
H =
p
2
2m
+
mω
2
q
2
2
− q f (t),
(172)
gdzie wykres siły f w funkcji czasu wygl ˛
ada nast˛epuj ˛
aco:
-
6
t
f (t)
Rozwi ˛
azanie tego zagadnienia jest do´s´c skomplikowane, poniewa˙z mamy równanie Schrödingera zale˙zne od
czasu. Zastanówmy si˛e jak wygl ˛
ada nasz problem w obrazie Schrödingera:
i}
d
dt
|ψ(t)i = ˆ
H|ψ(t)i,
|ψ(t)i = e
−
i
}
ˆ
Ht
|ψ(0)i.
Teraz wyra˙zamy zmian˛e stanów w czasie, za pomoc ˛
a operatora ˆ
A(t):
hψ(0)|e
i
}
ˆ
Ht
ˆ
Ae
−
i
}
ˆ
Ht
|ψ(0)i.
Operator ˆ
A(t) spełnia równanie ruchu, natomiast ˆ
H nie zale˙zy od czasu:
d
dt
ˆ
A(t) =
i
}
ˆ
He
i
}
ˆ
Ht
ˆ
Ae
−
i
}
ˆ
Ht
−
i
}
e
−
i
}
ˆ
Ht
ˆ
Ae
−
i
}
ˆ
Ht
ˆ
H,
33
33
operatory ˆ
H, ˆ
A s ˛
a nieprzemienne.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 21: Oscylator i stany mieszane.
72
d
dt
ˆ
A(t) =
i
}
[ ˆ
H, ˆ
A(t)].
Bior ˛
ac teraz operator poło˙zenia ˆ
q(t) i p˛edu ˆ
p(t) i ró˙zniczkuj ˛
ac otrzymujemy:
d
dt
ˆ
q =
ˆ
p
m
,
d
dt
ˆ
p = −mω
2
ˆ
q + f (t)
|{z}
∗
,
gdzie (*) - człon zwi ˛
azany z sił ˛
a.
Rozwi ˛
azywanie zagadnienia w obrazie Heisenberga, jest bardzo wygodne, bo rozwi ˛
azujemy problem oscylatora
bez siły, a dopiero na sam koniec wprowadzamy człon zwi ˛
azany z sił ˛
a. W kolejnym etapie wprowadzamy opera-
tory kreacji i anihilacji:
ˆ
q =
r
}
2mω
(ˆ
a + ˆ
a
†
),
ˆ
p = i
r
mω}
2
(ˆ
a
†
− ˆ
a),
ˆ
a(t) = ˆ
a(0)e
−iωt
,
ˆ
a
†
(t) = ˆ
a
†
(0)e
iωt
,
ˆ
a(t) = ˆ
a
in
(t) +
1
√
2mω}
e
−iωt
Z
∞
−∞
dt
0
e
iωt
f (t
0
)
|
{z
}
α(t)
.
Dla t → ∞ :
α = e
iαt
ˆ
a
out
:
ˆ
a
out
= ˆ
a
in
− α
d
dt
ˆ
a = −iωˆ
a(t) +
i
√
2}mω
f (t),
d
dt
ˆ
a
†
= iωˆ
a
†
(t) −
i
√
2}mω
f (t).
Wracamy do pytania zadanego na pocz ˛
atku paragrafu:
Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze układ b˛edzie znajdował si˛e w stanie podstawowym?
Pocz ˛
atkowo ˆ
a(t = 0) = ˆ
a
in
,
• ˆ
a
in
|0
in
i = 0 - stan podstawowy w przeszło´sci,
• ˆ
a
out
|0
out
i = 0 - stan podstawowy w przyszło´sci,
• ˆ
a
in
|a
out
i = αˆ
a
out
- stan koherentny, stan układu na ko´ncu.
Z definicji stanu koherentnego, prawdopodobie´nstwo:
P = |ha
out
|a
in
i|
2
= e
−|α|
2
.
Stan pocz ˛
atkowy i stan ko´ncowy b˛edzie stanem podstawowym.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 22: Rozpraszanie.
73
22
Stany mieszane
Układy dotychczas rozpatrywane były układami izolowanymi, niezale˙znymi od otoczenia. Funkcja falowa okre´sla-
j ˛
aca stan tego układu jest funkcj ˛
a zale˙zn ˛
a jedynie od jego współrz˛ednych. Wi˛ekszo´s´c układów jest jednak sprz˛e˙zona
z otoczeniem, np. gaz utrzymywany w stałej temperaturze w naczyniu. Je˙zeli przez u oznaczone b˛ed ˛
a współrz˛edne
układu, a przez t współrz˛edne otoczenia, to pomimo, ˙ze układ jako cało´s´c ma dobrze okre´slony hamiltonian i
funkcj˛e falow ˛
a ψ(u, t), to jednak funkcja ta nie jest równa iloczynowi funkcji ψ
1
(u) i ψ
2
(t). Oznacza to, ˙ze układ
jest w stanie mieszanym. Stan mieszany to zbiór stanów czystych, które wchodz ˛
a z ró˙znymi wagami.
Od stanu mieszanego oczekujemy, by warto´sci wyst˛epowały z ró˙znymi prawdopodobie´nstwami: (p
1
, s
1
), (p
2
, s
2
),
ldots - stany klasyczne: prawdopodobie´nstwo i stan, (p
1
, ψ
1
), (p
2
, ψ
2
), ldots - stany kwantowe: prawdopodobie´nstwo
i funkcja falowa reprezentuj ˛
aca stan.
We´zmy kwantowy przykład układu w stanie mieszanym, jakim jest układ ze spinem:
α| ↑i + β| ↓i = | %i.
Tu rzut wypadkowego spinu skierowany jest na o´s inn ˛
a ni˙z o´s z.
Stan mieszany to zbiór stanów czystych, które wchodz ˛
a z ró˙znymi wagami. ´Srednia warto´s´c operatora ˆ
A w stanie
mieszanym okre´slona jest wzorem:
h ˆ
Ai
m
= p
1
hψ
1
| ˆ
A(t)|ψ
1
i + p
2
hψ
2
| ˆ
A(t)|ψ
2
i + . . . + p
n
hψ
n
| ˆ
A(t)|ψ
n
i,
h ˆ
Ai
m
=
X
n
p
n
hψ
n
| ˆ
A(t)|ψ
n
i.
Bierzemy najprostszy układ o spinie s =
1
2
. Mo˙zliwe s ˛
a wtedy tylko dwa stany:
|−i −→
0
1
,
|+i −→
1
0
.
Obliczamy warto´s´c ´sredni ˛
a operatora:
h ˆ
Ai = p
1
h+| ˆ
A|+i + p
2
h−| ˆ
A|−i = Tr{ ˆ
A%},
gdzie:
% = p
+
|ψ
+
ihψ
+
| + p
−
|ψ
−
ihψ
−
| =
−ih
d
d+
0
0
−ih
d
d−
.
Stany mieszane mo˙zna opisywa´c w abstrakcyjny sposób przy pomocy jednego operatora: macierzy g˛esto´sci %.
34
Z takiego przedstawienia wida´c, ˙ze stany mieszane mo˙zna opisywa´c nie tylko przez funkcje falowe, ale te˙z przez
funkcje spinu. Dodatkowo pojawia si˛e mo˙zliwo´s´c mieszania stanów, ale bez konieczno´sci brania superpozycji
funkcji falowych do opisania funkcji układu, co daje nast˛epuj ˛
ac ˛
a macierz g˛esto´sci:
%(r, r
0
) = p
1
ψ
1
(r)ψ
∗
1
(r
0
) + p
2
ψ
2
(r)ψ
∗
2
(r
0
) + . . . + p
n
ψ
n
(r)ψ
∗
n
(r
0
).
hri =
Z
d
3
rr%(r, r
0
)|
r=r
0
,
hpi =
Z
d
3
r
}
i
p%(r, r
0
)|
r=r
0
.
34
Pojawiła si˛e ona po raz pierwszy w pracach Landaua.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 22: Rozpraszanie.
74
23
Rozpraszanie
23.1
Wst˛ep
Zajmiemy si˛e teraz rozpraszaniem, czyli zmian ˛
a wektora falowego k cz ˛
astki (np. elektronu) przez potencjał (np.
potencjał wytwarzany przez atom). Podstaw ˛
a naszych rozwa˙za´n jest równanie Schrödingera dla cz ˛
astki swobod-
nej, oraz id ˛
ace za nim zało˙zenie, i˙z energia rozproszonej cz ˛
astki nie zmienia si˛e (bowiem zarówno przed, jak i po
rozproszeniu musi ona spełnia´c to samo równanie własne: Hψ = Eψ). Zajmuj ˛
ac si˛e rozpraszaniem zajmujemy
si˛e w istocie cz ˛
astk ˛
a w dwóch stanach: w x = −∞, oraz w x = +∞ (bo tylko wówczas cz ˛
astka jest swobodn ˛
a).
Energia rozpatrywanej cz ˛
astki wyra˙za si˛e wzorem:
E =
p
2
2m
=
}
2
k
2
2m
> 0.
(173)
Funkcja falowa cz ˛
astki swobodnej to fala płaska:
1
(
√
2π)
3
e
ikr
. Wektor k musi by´c bardzo du˙zy, by zdolno´s´c
rozdzielcza rozpraszania była do´s´c du˙za. Mo˙zna zapisa´c nast˛epuj ˛
ace równanie:
(nat˛e˙zenie wi ˛
azki) = (ilo´s´c cz ˛
astek na cm
3
) ∗ (pr˛edko´s´c elektronów),
czyli: I = P v. Je´sli okre´slimy N jako liczb˛e zlicze´n pod danym k ˛
atem bryłowym (d
2
Ω = d(cosθ)dϕ), to mo˙zna
sformułowa´c nast˛epuj ˛
acy wzór:
N = N Iσ(Ω)d
2
Ω,
(174)
gdzie σ(Ω) zwie si˛e ró˙zniczkowym przekrojem czynnym, za´s I jest proporcjonalne do powierzchni z której wylatuj ˛
a
elektrony. Całkowity przekrój czynny okre´slony jest (jak łatwo si˛e domy´sli´c) całk ˛
a z ró˙zniczkowego przekroju
czynnego:
σ
tot
=
Z
d
2
Ωσ(Ω).
(175)
Jednostk ˛
a przekroju czynnego jest barn.
35
1barn = 10
−24
cm
2
= 10
−28
m
2
.
(176)
23.2
Rozpraszanie: ´sci´slejsze rozwa˙zania
Rozwa˙za´c b˛edziemy asymptotyczne warunki brzegowe, czyli takie, w ktorych cz ˛
astka znajduje si˛e w +∞, lub
−∞. Schematyczne przedstawienie tej sytuacji znajduje si˛e na zamieszczonym poni˙zej rysunku. Na rysunku tym
nadchodz ˛
aca fala płaska symbolizowana jest przez linie pionowe, za´s potencjał rozpraszaj ˛
acy - przez okr˛egi.
36
&%
'$
&%
'$
m
Funkcja falowa cz ˛
astki rozproszonej (dla r → ∞) przedstawia si˛e nast˛epuj ˛
acym wzorem:
ψ
(+)
k
= e
ikr
+ f (Ω)
e
ikr
r
.
(177)
35
Barn w j˛ezyku angielskim znaczy ‘stodoła’. Jest to zwi ˛
azane z faktem, i˙z przekroje czynne wielko´sci 1 barn s ˛
a ogromne, ‘tak wielkie jak
stodoła’.
36
Nieprawda˙z, i˙z rysunek ten jest bardzo schematyczny? (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 22: Rozpraszanie.
75
Równanie Schrödingera dla cz ˛
astki swobodnej:
−
}
2
2m
∇
2
ψ = Eψ.
Przechodzimy do współrz˛ednych sferycznych:
−
}
2
2m
1
r
2
∂
∂r
(r
2
∂
∂r
)ϕ +
}
2
l(l + 1)
2mr
2
ϕ = Eϕ,
co dla r → ∞:
∼
= −
}
2
2m
1
r
2
∂
∂r
(r
2
∂
∂r
)ϕ
nl
(r) = Eϕ
nl
(r).
Podstawiaj ˛
ac ϕ
nl
(r) =
u(r)
r
, mamy:
−
}
2
2m
d
2
u
dr
2
= Eu.
Rozwi ˛
azaniem tego równania jest oczywi´scie u = e
±ikr
, st ˛
ad:
ϕ
nlm
(r, θ, ϕ) = [
X
l,m
c
lm
Y
lm
(θ, ϕ)]
|
{z
}
f (θ,ϕ),Ω=(θ,ϕ)
e
ikr
r
,
bowiem superpozycja liniowa rozwi ˛
aza´n równie˙z jest rozwi ˛
azaniem.
Gwoli przypomnienia: pr ˛
ad prawdopodobie´nstwa opisuje si˛e wzorem:
J =
}
2mi
(ψ
∗
∇ψ − ψ∇ψ
∗
).
Dla wi ˛
azki wpadaj ˛
acej opisywanej fal ˛
a e
ikr
mamy pr ˛
ad J =
}k
m
, za´s dla członu rozproszeniowego (dla r → ∞),
opisywanego fal ˛
a f (Ω)
e
ikr
r
, mamy pr ˛
ad: J
rel
=
}k
m
|f (Ω)|
2
r
2
. Amplitud ˛
a rozpraszania jest f (Ω). Zachodzi zatem:
σ(Ω) = |f (Ω)|
2
.
(178)
23.3
Funkcje Greena
Wiemy ju˙z, i˙z: H
0
= −
}
2
2m
∇
2
, p = }k, H = −
}
2
2m
∇
2
+ V (r), ψ
(+)
k
(r), Hψ
(+)
k
= Eψ
(+)
k
, oraz:
ψ
(+)
k
(r) −→
r→∞
e
ikr
+ f
(+)
k
(Ω)
e
ikr
r
.
Poni˙zsze dwa wzory nale˙zy przyj ˛
a´c na wiar˛e:
4(
1
r
) = −4πδ
3
(r)
(4 + k
2
)
e
ikr
r
= −4πδ
3
(r)
Pomy´slmy o polu wytworzonym przez przestrzenny rozkład ładunku. Potencjał całkowity rozbija si˛e na całk˛e po
ładunkach (lokalnych g˛esto´sciach):
ϕ =
Z
d
3
r
0
%(r
0
)
|r − r
0
|
.
Funkcj˛e Greena definiujemy nast˛epuj ˛
aco:
G(r, r
0
) =
−m
2π}
3
e
ik|r−r
0
|
|r − r
0
|
.
(179)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 23: Rozpraszania ci ˛
ag dalszy.
76
Funkcja Greena spełnia równanie:
}
2
2m
(4
r
+ k
2
)G(r, r
0
) = −4πδ
3
(r − r
0
),
}
2
2m
(4
r
+ k
2
)ψ
+
k
(r) = V (r)ψ
+
k
(r) =: F (r).
Jednym z rozwi ˛
aza´n powy˙zszego równania jest:
˜
ψ =
R d
3
r
0
G(r, r
0
)F (r
0
)
Zatem, ostatecznie:
ψ
+
k
(r) = e
ikr
+
Z
d
3
r
0
G(r, r
0
)F (r
0
),
gdzie drugi człon równo´sci opisuje kulist ˛
a fal˛e rozproszon ˛
a dla r → ∞. W ogólno´sci mamy równanie całkowe:
ψ
+
k
(r) = e
ikr
−
m
2π}
2
Z
d
3
r
0
e
ik|r−r
0
|
|r − r
0
|
V (r
0
)ψ
+
k
(r
0
).
(180)
Mo˙zemy to równanie przybli˙za´c, obliczaj ˛
ac je sekwencyjnie, przez podstawienie kolejno obliczonych ψ
+
k
(r):
0 rz ˛
ad: ψ
+
k
(r)
(0)
= e
ikr
.
1 rz ˛
ad: ψ
+
k
(r)
(1)
= e
ikr
−
m
2π}
2
Z
d
3
r
0
e
ik|r−r
0
|
|r − r
0
|
V (r
0
)e
ikr
.
Powy˙zszy stopie´n przybli˙zenia rozwi ˛
azania nazywa si˛e przybli˙zeniem Borna funkcji falowej rozproszeniowej.
24
Rozpraszania ci ˛
ag dalszy
24.1
Postulaty, na dobry pocz ˛
atek
• Operatory tworzymy z obserwabli (wielko´sci fizycznych, daj ˛
acych si˛e zmierzy´c do´swiadczalnie):
Θ(~
r, ~
p) −→ ˆ
Θ(~
r, −i}~
∇).
• W warto´sciach bezwzgl˛ednych kodujemy prawdopodobie´nstwo znalezienia cz ˛
astki w danym miejscu:
|ψ(r, t)|
2
= %(r, t),
natomiast w fazie, prawdopodobie´nstwo znalezienia cz ˛
astki o danym p˛edzie:
ψ%(r)e
ip
0
r
→ hpi = p
0
.
• Warto´s´c ´sredni ˛
a obserwabli zmierzymy na podstawie wzoru:
h ˆ
Θi =
Z
d
3
rψ
∗
ˆ
Θψ.
• Jedynymi mo˙zliwymi warto´sciami pomiaru wielko´sci fizycznych opisanych przez ˆ
Θ s ˛
a λ:
ˆ
Θψ
λ
= λψ
λ
,
λ ∈ R.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 23: Rozpraszania ci ˛
ag dalszy.
77
• Mechanika kwantowa, jest teori ˛
a deterministyczn ˛
a, znaj ˛
ac funkcj˛e falow ˛
a ψ, mamy informacj˛e o zachowa-
niu układu, teraz i w przyszło´sci:
i}
∂ψ
∂t
= ˆ
Hψ,
ˆ
H = −
}
2
2m
∇
2
+ V (r).
• Mechanika kwantowa daje ´scisłe i “ładne” rozwi ˛
azania, dla prostych symetrycznych zagadnie´n. Gdy nie ma
symetryzacji, problem jest bardziej skomplikowany, stosuje si˛e wi˛ec przybli˙zenia i rachunek zaburze´n.
• Niezale˙zne od czasu równanie:
ˆ
Hψ
E
= Eψ
E
umo˙zliwia wyznaczenie całego spektrum energii - energie ujemne s ˛
a skwantowane - otrzymujemy spektrum
dyskretne, dla energii dodatnich - spektrum ci ˛
agłe.
24.2
Rozpraszanie
Mamy biegn ˛
ac ˛
a fal˛e płask ˛
a e
ikr
, opisan ˛
a wektorem falowym k. Badamy zachowanie tej fali po “przej´sciu” przez
centrum rozproszeniowe.
-
e
ik~
r
x
$
%
$
%
Szukamy rozwi ˛
azania postaci:
ψ
+
k
−→
r→∞
e
ikr
+ f (Ω)
e
ikr
r
,
σ (Θ, ϕ)
| {z }
Ω
= |f (Θ, ϕ)|
2
.
Rozwi ˛
azuj ˛
ac równanie Schrödingera, z hamiltonianem H = H
0
+ V , otrzymujemy:
(E − H
0
)ψ
(+)
= (V ψ
(+)
),
ψ
+
k
(r) = e
ikr
−
m
2π}
Z
d
3
r
e
ik|r−~
r
0
|
|~r − ~r
0
|
V (r
0
)ψ
+
k
(r
0
).
Obszar całkowania r
0
w okolicach potecjału:
1.
r ∼ [m]
2.
r
0
∼ [f m]
⇒ r >> r
0
.
W przybli˙zeniu Borna:
ψ
+
BORN
(r) = e
ikr
−
m
2π}
2
Z
d
3
r
0
e
ik|r−~
r
0
|
|~r − ~r
0
|
V (r
0
)e
ik~
r
0
.
Szukamy amplitudy rozproszenia: rozwijamy w szereg |r| >> |r
0
|:
|~r − ~r
0
| =
(~r − ~r
0
)
2
1/2
=
r
2
+ r
0 2
− 2~r~r
0
= r
1 +
r
0 2
r
2
− 2
~
r~
r
0
r
2
1/2
=
37
r
1 −
~
r~
r
0
r
2
= r −
~
r~
r
0
r
.
37
stosujemy wzór: (1 + ε)
n
= 1 + nε.
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 23: Rozpraszania ci ˛
ag dalszy.
78
Na podstawie powy˙zszego rozwini˛ecia:
e
ik|r−~
r
0
|
|~r − ~r
0
|
'
e
ik~
r
r
| {z }
“0” rz ˛
ad
e
ik(−
~
r~
r0
r
)
|
{z
}
e
−ikout~
r
,
gdzie k
out
= k
~
r
r
- wektor, opisuj ˛
acy fal˛e wychodz ˛
ac ˛
a (rozproszon ˛
a). Amplituda rozpraszania w przybli˙zeniu
Borna jest proporcjonalna do przestrzennej transformaty Fouriera potencjału rozpraszania.
f (Θ, ψ) = −
m
2π}
2
Z
d
3
r
0
e
−k
out
~
r
0
V (r
0
)e
ik~
r
0
= −
m
2π}
2
Z
d
3
r
0
e
i4~
r
V (r
0
),
gdzie 4 = k − k
out
- wektor, okre´sla punkt przekazania p˛edu.
24.3
Rozpraszanie na sferycznym potencjale
Mamy funkcj˛e kulist ˛
a
ψ
(+)
(r, Θ, ϕ) = ψ(r, Θ) =
X
Y
l
(~
r)Y
lm
(Θ, ϕ);
ψ(r, Θ) =
X
l=0
Y
l
(~
r)
r
P
l
(cos Θ),
Y
lm
∼ e
imϕ
.
Wstawiamy do równania Schrödingera i wykonujemy separacj˛e:
d
2
dr
2
+ (k
2
− u −
l(l + 1)
r
2
)
Y
l
(r) = 0,
gdzie k
2
=
2mE
}
2
,
u =
2m
}
2
V.
Dla r −→ 0 :
Y
l
(r) −→ r
l+1
.
Dla równania postaci:
d
2
dr
2
Y
l
+ k
2
Y
l
= 0
otrzymujemy rozwi ˛
azanie oscyluj ˛
ace: Y
l
= A
l
sin(kr + δ
l
).
Gdy równanie wygl ˛
ada nast˛epuj ˛
aco:
d
2
dr
2
+ (k
2
−
l(l + 1)
r
2
)
Y
l
(r) = 0,
to rozpatrujemy asymptotyczn ˛
a posta´c funkcji Bessela → j
l
(kr) −→
r→∞
sin(kr−
lπ
2
)
(kr)
.
Dla wysokich l - funkcja Bessela zabija potencjał i “dłu˙zej” jest zerowa.
Zawsze mo˙zliwe jest numeryczne znalezienie Y
l
(r) −→
r→∞
A
l
sin(kr −
lπ
2
+ δ
l
). Znalezienie A
l
pozwoli na
odtworzenie fali wpadaj ˛
acej i rozproszonej. Rozkładamy fal˛e płask ˛
a, na fale cz ˛
astkowe:
e
ikz
= e
ikr cos Θ
=
∞
X
l=0
(2l + 1)i
l
j
l
(kr)P
l
(cos Θ),
ψ(r, Θ) = e
ik~
r
+ f (Θ)
e
ikr
r
=
∞
X
l=0
P
l
(cos Θ)
i
l
(2l + 1) j
l
(kr) + f
l
e
ikr
r
=
=
X
l
"
i
l
(2l + 1)
sin(kr −
lπ
2
)
kr
+ f
l
e
ikr
r
#
|
{z
}
(1)
=
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 24: Kwantowanie pola d´zwi ˛eku i podsumowanie wykładu.
79
(1) - asymptotyczna posta´c funkcji falowej, dla ka˙dej fali parcjalnej.
=
∞
X
l=0
P
l
(cos Θ)
A
l
sin(kr −
lπ
2
+ δ
l
)
r
|
{z
}
(2)
.
Porównujemy (1) i (2), dla r >> 1:
∞
X
l=0
P
l
(cos Θ)
e
ikr
r
(f
l
+
2l + 1
2ik
) +
e
ikr
r
(−1)
l+1
2l + 1
2ik
=
∞
X
l=0
P
l
(cos Θ)
A
l
r
e
ikr
2ir
e
i(−
lπ
2
+δ
l
)
−
e
−ikr
2ir
e
i(
lπ
2
−δ
l
)
,
z przyrównania członów przy
e
±ikr
2ir
, otrzymujemy: A
l
:
A
l
= (i)
l
2l + 1
k
e
iδ
l
,
amplituda rozpraszania rozło˙zona na fale parcjalne:
f
l
=
2l + 1
2ik
(e
2iδ
l
− 1).
24.4
Całkowity przekrój czynny
σ
tot
=
Z
1
−1
d cos Θ
Z
2π
0
dϕ|f (Θ, ϕ)|
2
= 2π
Z
1
−1
d cos Θ|f (Θ)|
2
= 2π
Z
1
−1
d cos Θ
∞
X
l=0
f
∗
l
P
l
(cos Θ)
∞
X
l=0
f
˜
l
P
˜
l
(cos Θ) =
=
Z
1
−1
d cos ΘP
l
(cos Θ)P
˜
l
(cosΘ) = δ
l˜
l
2
2l + 1
.
Całkowity przekrój czynny:
σ
tot
=
4π
k
2
P
l
sin
2
δ
l
(2l + 1) =
P
l
σ
tot
l
,
przy czym danej fali parcjalnej:
σ
tot
l
<
4π
k
2
(2l + 1).
Zastosowanie powy˙zszego formalizmu:
P
0
(cos Θ) = 1
P
1
(cos Θ) = cos Θ
⇒ 2 pierwsze wielomiany Legendre‘a.
f
0
6= 0,
f (Θ) = const.
Dla niskich energii rozpraszanie jest izotropowe - pod ka˙zdym k ˛
atem, liczba rozpraszanych cz ˛
astek jest taka sama.
Amplituda rozproszenia, w układzie sferycznym:
f (Θ, ϕ) = f (Θ),
f (Θ) =
X
l
f
l
P
l
(cos Θ).
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 24: Kwantowanie pola d´zwi ˛eku i podsumowanie wykładu.
80
25
Kwantyzacja układu zło˙zonego z N oscylatorów
25.1
Wst˛ep
Wyobra´zmy sobie układ N mas m poł ˛
aczonych spr˛e˙zynkami w kółeczko. Prowadzimy arytmetyk˛e modulo N ,
czyli n ∈ 0, 1, . . . , N − 1, za´s n = N to to samo, co n = 0.
38
Hamiltonian dla takiego układu wyra˙za si˛e
nast˛epuj ˛
aco:
H =
N −1
X
n=0
(
p
2
n
2m
+
k
2
(x
n+1
− x
n
)
2
).
Hamiltonian dla układów rzeczywistych jest bardziej skomplikowany:
Hreal =
X
n
x
n
y
n
z
(
p
2
n
x
n
y
n
z
2m
+ V (x
n
x+1
− x
n
x
) + V (x
n
x
n
y
n
z
− . . .) + V (. . . )).
Minimum potencjału zachodzi dla kryształu spoczywaj ˛
acego (tzn. dla jego drga´n równych zeru).
25.2
Sko ´nczona transformata Fouriera
B˛edziemy poszukiwa´c rozwi ˛
aza´n równania opsiuj ˛
acego kryształ w postaci sko´nczonej transformaty Fouriera.
We´zmy dowoln ˛
a funkcj˛e f
n
:
˜
f
k
=
N −1
X
n=0
exp(
2πi
N
nk)f
n
.
Znamy rozwi ˛
azanie N równa´n ró˙zniczkowych:
f
n
=
1
N
N −1
X
k=0
exp(−
2πi
N
nk) ˜
f
k
.
Dla sko´nczonej transformaty Fouriera:
N −1
X
n=0
z
n
=
z
N
− 1
z − 1
.
N −1
X
n=0
p
2
n
|{z}
p
∗
n
p
n
=
X
n
(
X
k
1
N
exp(−
2πi
N
nk) ˜
f
k
|
{z
}
1
N
exp(
2πi
N
nk) ˜
f
∗
k
)(
X
˜
k
1
N
exp(−
2πi
N
˜
kn) ˜
f
˜
k
) =
=
1
N
2
X
k,˜
k
f
∗
k
˜
f
˜
k
X
n
exp(
2πi
N
n(k = ˜
k))
|
{z
}
(exp(
2πi
N
(k−˜
k)))
n
|
{z
}
= N :
k 6= ˜
k
= 0 :
k = k
=
1
N
N −1
X
n=0
| ˜
p
k
|
2
.
Teraz:
x
n+1
− x
n
=: y
n
.
X
n
y
2
n
→
1
N
N −1
X
k=0
| ˜
y
k
|
2
.
y
n
= x
n+1
− x
n
=
1
N
X
k
e
2πi(n+1)k
˜
x
k
−
1
N
X
k
e
2πi
N
nk
˜
x
k
=
38
Wła´sciwie łatwiej byłoby to zrozumie´c z rysunku, lecz niestety, brak mi na to czasu dzi´s, wybaczcie... (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 24: Kwantowanie pola d´zwi ˛eku i podsumowanie wykładu.
81
=
1
N
X
k
e
2πi
N
nk
(e
2πi
N
k
− 1)˜
x
k
.
uwaga: e
2πi
k
N
= 1 +
2πik
N
+ . . .
W ten sposób odtworzyli´smy własno´sci transformaty Fouriera.
e
2πi
N
k
− 1 = e
iπk
N
(e
iπk
N
− e
−
iπk
N
) = e
iπk
N
2i sin(
πk
N
).
|e
2πi
N
k
− 1|
2
= 4 sin
2
(
πk
N
).
Ostatecznie hamiltonian dla układu wyra˙za si˛e nast˛epuj ˛
aco:
H =
1
N
N −1
X
k=0
(
| ˜
p
k
|
2
2m
+ 2mω
2
sin
2
(
πk
N
)|˜
x
k
|
2
) =
1
N
X
k
Ω
k
(A
†
k
A
k
+
1
2
).
(181)
D´zwi˛ek w krysztale chodzi w paczkach - jest skwantowany. Skwantowali´smy zatem pole d´zwi˛ekowe. Jego kwanty
to fonony.
26
Podsumowanie wykładu “Mechanika kwantowa”
Jedynym kryterium poprawno´sci teorii jest zgodno´s´c z do´swiadczeniem. Nasze zmysły s ˛
a przystosowane do
mezo-, nie za´s mikro´swiata. Dziury w całym s ˛
a ´zródłem post˛epu. Wci ˛
a˙z si˛e ich szuka, lecz mechanika kwan-
towa - opisuj ˛
aca mikro´swiat sprzecznie z naszymi intuicjami - wci ˛
a˙z si˛e dobrze (nadzwyczaj dobrze) trzyma.
Przepis kuchenny na otrzymanie mechaniki kwantowej: bierzemy wielko´s´c fizyczn ˛
a, zapisan ˛
a w j˛ezyku poło˙ze´n i
p˛edów: Θ(r, p) i przypisujemy jej operator kwantowy ˆ
Θ(r, −i}∇), działaj ˛
acy na funkcj˛e falow ˛
a ψ, która niesie
cał ˛
a informacj˛e o układzie: ψ(r, t). ψ koduje g˛esto´s´c prawdopodobie´nstwa znalezienia cz ˛
astki w danym punkcie
(r, t): |ψ|
2
= %(r, t). Funkcja falowa przedstawia nasz stan wiedzy o układzie po idealnym pomiarze. Warto´s´c
´srednia otrzymana w pomiarze to h ˆ
Θi =
R d
3
rψ
∗
ˆ
Θψ. Rzadko daje si˛e wzbudzi´c układ do pewnego okre´slonego
stanu - raczej do kilku stanów z pewnym prawdopodobie´nstwem. Opisuje to macierz g˛esto´sci %. Operatory opisu-
j ˛
ace wielko´sci fizyczne musz ˛
a by´c hermitowskie. Spełniaj ˛
a one równanie (twierdzenie spektralne): ˆ
Θϕ
λ
= λϕ
λ
,
gdzie λ ∈ R to warto´s´c wielko´sci, jak ˛
a mo˙zemy zmierzy´c, za´s ϕ
λ
to funkcja stanu układu w momencie pomiaru.
λ to jedyne mo˙zliwe warto´sci, które mo˙zna otrzyma´c w wyniku pomiaru ˆ
Θ. ψ to tylko nasza wiedza o układzie,
nie za´s obiekt istniej ˛
acy rzeczywi´scie.
39
Twierdzenie spektralne mówi, i˙z warto´sci własne s ˛
a dwóch rodzajów –
dyskretne, b ˛
ad´z ci ˛
agłe. Dla spektrum dyskretnego (dla hamiltonianu: E
n
< 0) funkcje własne nale˙z ˛
a do zbioru
funkcji całkowalnych z kwadratem: ϕ
n
∈ L
2
(R
2
). Dla ci ˛
agłych spektrum funkcje własne s ˛
a anormalne
40
, nie
nale˙z ˛
a do L
2
(R
2
). S ˛
a one normalizowalne dopiero na gruncie dystrybucji - do delty Diraca. Wówczas ψ
+
E
:
E
k
=
}
2
k
2
2m
. Ewolucja czasowa funkcji falowej dana jest równaniem Schrödingera: i}
∂ψ
∂t
= ˆ
Hψ. Jest to rów-
nanie ró˙zniczkowe cz ˛
astkowe. Jedyn ˛
a znan ˛
a ´scisł ˛
a metod ˛
a rozwi ˛
azywania równa´n ró˙zniczkowych cz ˛
astkowych
jest separacja zmiennych. Gdy nie da si˛e równa´n w ten sposób rozwi ˛
aza´c, to dokonujemy rachunku zaburze´n,
czyli rozdzielenia hamiltonianu na cz˛e´s´c du˙z ˛
a (o rozwi ˛
azaniu znanym) i cz˛e´s´c mał ˛
a - zaburzenie. W mechanice
kwantowej, tak jak i w klasycznej, obowi ˛
azuje Twierdzenie Noether. Dla ψ(r, t), przy potencjale V :
∂V
∂t
= 0
mo˙zna dokona´c separacji:
ψ(r, t) = f (t)ϕ
E
(r) = e
−iEt/}
ϕ
e
(r).
ψ(r, t) =
P
n
c
n
e
−iE
n
t/}
ϕ
E
(r) jest najogólniejszym rozwi ˛
azaniem równania Schrödingera dla potencjału nieza-
le˙znego od czasu. Dla t = 0:
ψ(r, t = 0) = ϕ
0
(r) =
X
n
c
n
ϕ
E
(r),
c
n
= hϕ
E
n
|ϕ
0
i =
Z
d
3
rϕ
0
(r)ϕ
∗
E
n
(r).
39
David Bohm istotnie z tym polemizuje - patrz “Quantum Mechanics”, “Ukryty porz ˛
adek”, oraz prace nt. teorii parametrów ukrytych.
(przyp. R.K.)
40
czyli po prostu nienormalne. (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 24: Kwantowanie pola d´zwi ˛eku i podsumowanie wykładu.
82
Kolejna cz˛e´s´c twierdzenia spektralnego: wektory własne stanowi ˛
a baz˛e w przestrzeni Hilberta, czyli ka˙zdy stan
daje si˛e przedstawi´c jako kombinacja liniowa stanów (wektorów) własnych. Operatory momentu p˛edu nie komu-
tuj ˛
a ze sob ˛
a. Problem atomu wodoru jest jednym z nielicznych problemów, które w mechanice kwantowej daj ˛
a
si˛e ´sci´sle rozwi ˛
aza´c. Dla elektronu w atomie wodoru otrzymali´smy nast˛epuj ˛
ace funkcje własne operatora energii:
ψ
E
(r, θ, ϕ) = ψ
nl
(r)Y
lm
(θ, ϕ).
Otrzymane przy okazji harmoniki kuliste Y
lm
s ˛
a funkcjami własnymi operatora momentu p˛edu:
L
2
Y
lm
= }l(l + 1)Y
lm
l = 0, 1, . . .
ˆ
L
z
Y
lm
= }mY
lm
m = −l, . . . , l
S ˛
a to jawne rowi ˛
azania dla atomu wodoru, czyli dla potencjału V (r) = α
1
r
. Aby znale´z´c funkcj˛e falow ˛
a dla
której dwie obserwable maj ˛
a dokładne warto´sci w tym samym pomiarze, musi by´c spełniony warunek komu-
tacji (równego zeru komutatora operatorów reprezentuj ˛
acych te obserwable): [ ˆ
A, ˆ
B] = 0. Z faktu [ˆ
x, ˆ
p
x
] = i}
wynika zasada nieoznaczono´sci Heisenberga: 4x4p
x
>
}
2
, opisuj ˛
aca relacj˛e pomi˛edzy p˛edem a poło˙zeniem.
Jedynym obliczeniowym wgl ˛
adem w skomplikowan ˛
a rzeczywisto´s´c jest rachunek zaburze´n. Cz ˛
astki elementarne
mikro´swiata maj ˛
a mas˛e oraz spin, czyli wewn˛etrzny moment obrotowy. Cz ˛
astki mog ˛
a posiada´c wewn˛etrzny mo-
ment p˛edu, zatem jakim´s operatorem trzeba go reprezentowa´c. Cz ˛
astki ze spinem mog ˛
a mie´c kwantow ˛
a liczb˛e
spinow ˛
a s = 0,
1
2
, 1,
3
2
, 2, . . . Cz ˛
astki o spinie całkowitym zwiemy bozonami. Funkcja falowa dla bozonów musi
by´c symetryczna: ψ
sym
. Spin ułamkowy maj ˛
a za´s fermiony. Ich funkcja falowa jest ψ
antysym
. Zachodzi zakaz
Pauliego: ˙zadne dwa fermiony nie mog ˛
a mie´c tej samej funkcji falowej.
26.1
Jako rzecze Feynman
Według Feynmana (w oparciu o ksi ˛
a˙zki Diraca) mechanika kwantowa dotyczy propagatora: U (x
B
, t
B
, x
A
, t
A
).
Prawdopodobie´nstwo okre´sla si˛e oczywi´scie przez |U |
2
. Jaka jest amplituda prawdopodobie´nstwa tego, ˙ze cz ˛
astka
znajdzie si˛e ze stanu (x
A
, t
A
) w stanie (x
B
, t
B
)? Feynman rzecze:
U (x
B
, t
B
, x
A
, t
A
) =
(x
B
,t
B
)
Z
(x
A
,t
A
)
D[x(t)]e
i
}
b
R
a
dtL( ˙
x(t),x(t))
.
Cz ˛
astka mo˙ze si˛e porusza´c po wszystkich drogach - zatem trzeba po nich przecałkowa´c. Całki po drogach wymy´slone
były do opisu ruchów Browna. Teoria tych całek jest bardzo trudna, wi˛ec to, co si˛e udało policzy´c, to tylko całka z
gaussa razy wielomian. Feynman udowodnił, ˙ze jego opis jest równowa˙zny z “klasyczn ˛
a” mechanik ˛
a kwantow ˛
a.
26.2
Od kronikarzy
To ju˙z ostatnia strona notatek z wykładu. W tym miejscu chcieliby´smy postawi´c \
end{document}
, co te˙z za
chwil˛e uczynimy. Jednak przedtem chcemy przeprosi´c za wszelakie bł˛edy, ewentualnie znajduj ˛
ace si˛e w tych
notatkach (a zwłaszcza za dalek ˛
a nieidealno´s´c rysunków, jednakowo˙z wykonanie ich w sposób zadowalaj ˛
acy
pochłania ogromne ilo´sci czasu rzeczywistego, za´s my funkcjonujemy wyłacznie w urojonym). Wynikaj ˛
a one z
powodu TEX’owania o 2 w nocy, kiedy to poj˛ecie bł˛edu, a w ogólno´sci egzystencji jako takiej, staje si˛e wysoce ni-
etrywialne, nawet w drugim rz˛edzie rachunku zaburze´n (emocjonalnych). Przepraszamy. I jednocze´snie ˙zyczymy
wszystkim
Szcz ˛e ´sliwego kwantowania!
\
end{document}
41
41
A ja mam jeszcze nadziej˛e na butelk˛e wina czerwonego półwytrawnego! (przyp. R.K.)
MECHANIKA KWANTOWA. Wykład 24: Kwantowanie pola d´zwi ˛eku i podsumowanie wykładu.
83
26.3
Appendix
Oto bonusowy rysunek p. Anny Kauch wyja´sniaj ˛
acy niejedne zawiło´sci problemu normalizacji wektora stanu w
rachunku zaburze´n.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron