07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
87
WYTRZYMAŁOŚĆ
MATERIAŁÓW
MECHANIKA CIAŁA ODKSZTAŁCALNEGO
LITERATURA PRZEDMIOTU:
Wydanie 3 poprawione
– 2007
Wydanie 1
– 2008
MAPA MYŚLI
przedstawiająca podstawowe pojęcia statyki
(mechaniki ciał sztywnych)
oraz wytrzymałości materiałów
(mecha
niki ciał odkształcalnych).
Mapa myśli pokazuje związki między podstawowymi poję-
ciami statyki i wytrzymałości materiałów.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
88
M
o
m
e
n
ty
:
-
zg
in
aj
ąc
e
-
sk
rę
ca
ja
ce
O
B
L
IC
Z
E
N
IA
W
Y
T
R
Z
Y
M
A
Ł
O
Ś
C
IO
W
E
K
O
N
S
T
R
U
K
C
J
I
D
oś
w
ia
dc
ze
ni
e
P
ra
w
o
f
iz
y
c
z
n
e
P
ra
w
o
H
oo
ke
’a
U
gó
ln
io
ne
pr
aw
o
H
oo
ke
’a
K
o
n
ie
c
s
w
o
b
o
d
n
y
U
tw
ie
rd
z
e
n
ie
P
rz
e
g
u
b
r
u
c
h
o
m
y
P
rz
e
g
u
b
n
ie
ru
c
h
o
m
y
S
po
só
b
po
dp
ar
ci
a
ko
ns
tr
uk
cj
i
S
iły
z
ew
nę
tr
zn
e
bi
er
ne
In
te
rp
re
ta
cj
a
zn
ak
ów
w
r
ów
na
ni
ac
h
st
at
yk
i
O
bc
ią
że
ni
a
ko
ns
tr
uk
cj
i:
m
o
m
e
n
ty
,
si
ły
s
ku
pi
on
e
,
si
ły
r
oz
ło
żo
ne
R
e
a
k
c
je
p
o
d
p
o
ro
w
e
S
iły
r
oz
ło
żo
ne
M
om
en
ty
w
zg
lę
-
d
e
m
p
u
n
k
tu
l
u
b
o
s
i
S
iły
s
ku
pi
on
e
:
-
n
o
rm
a
ln
e
-
s
ty
c
z
n
e
S
iły
z
ew
nę
tr
zn
e
cz
yn
ne
S
iły
w
ew
nę
tr
zn
e
M
et
od
a
m
yś
lo
w
yc
h
pr
ze
kr
oj
ów
N
ap
rę
że
ni
a
no
rm
al
ne
,
s
ty
c
z
n
e
S
ta
ny
n
ap
rę
że
ni
a
(j
e
d
n
o
o
s
io
w
y
,
pł
as
ki
,
p
rz
e
s
tr
z
e
n
n
y
)
N
ap
rę
że
ni
a
gł
ów
ne
O
dk
sz
ta
łc
en
ia
S
ta
ny
o
dk
sz
ta
łc
en
ia
P
rz
e
m
ie
s
z
c
z
e
n
ia
H
ip
o
te
z
a
g
e
o
m
e
tr
y
c
z
n
a
H
ip
ot
ez
a
pł
as
ki
ch
p
rz
ek
ro
jó
w
U
kł
ad
y
si
ł:
pł
as
ki
e
,
p
rz
e
s
tr
z
e
n
n
e
U
kł
ad
y
si
ł:
zb
ie
żn
e
,
ró
w
no
le
gł
e
,
d
o
w
o
ln
ie
s
k
ie
ro
w
a
n
e
Id
en
ty
fik
ac
ja
u
kł
ad
u
si
ł:
R
S
=
?
n
=
?
R
ów
na
ni
a
ró
w
no
w
ag
i
S
ta
ty
k
a
,
p
ra
w
a
s
ta
ty
k
i
U
kł
ad
s
ta
ty
cz
ni
e
ni
ew
yz
na
cz
al
ny
n
>
R
S
U
kł
ad
s
ta
ty
cz
ni
e
w
yz
na
cz
al
ny
n
=
R
S
S
to
pi
eń
s
ta
ty
cz
ne
j
ni
ew
yz
na
cz
al
no
śc
i
X
=
n
-
R
S
U
kł
ad
r
ów
na
ń
ge
om
et
ry
cz
ny
ch
X
R
oz
w
ią
za
ni
e
uk
ła
du
r
ów
na
ń
n
S
iły
w
ew
nę
tr
zn
e
,
na
pr
ęż
en
ia
O
dk
sz
ta
łc
en
ia
,
p
rz
e
m
ie
s
z
c
z
e
n
ia
H
ip
o
te
z
a
w
yt
rz
ym
ał
oś
ci
ow
a
W
a
ru
n
e
k
w
yt
rz
ym
ał
oś
ci
ow
y
D
ob
ór
:
-
ob
ci
ąż
eń
-
w
ym
ia
ró
w
K
la
s
y
c
z
n
e
m
e
to
d
y
w
yt
rz
ym
ał
oś
ci
k
on
st
ru
kc
ji
C
h
a
ra
k
te
ry
s
ty
k
i
g
e
o
m
e
tr
y
c
z
n
e
fig
ur
p
ła
sk
ic
h
:
-
p
o
le
p
o
w
ie
rz
c
h
n
i
-
śr
od
ek
c
ię
żk
oś
ci
-
m
o
m
e
n
ty
s
ta
ty
c
z
n
e
-
m
om
en
ty
b
ez
w
ła
dn
oś
ci
-
gł
ów
ne
m
om
en
ty
b
ez
w
ła
dn
oś
ci
M
o
d
e
l
k
o
n
s
tr
u
k
c
ji
S
po
só
b
ob
ci
ąż
en
ia
k
o
n
s
tr
u
k
c
ji
W
ał
y
P
rę
ty
B
e
lk
i
P
rę
ty
uo
gó
ln
io
ne
R
a
m
y
,
łu
ki
P
ły
ty
,
po
w
ło
ki
P
rę
ty
ci
en
ko
śc
ie
nn
e
R
oz
ci
ąg
an
ie
S
kr
ęc
an
ie
Z
g
in
a
n
ie
O
bc
ią
że
ni
a
zł
oż
on
e
W
yt
rz
ym
ał
oś
ć
zł
oż
on
a
M
e
to
d
y
e
n
e
rg
e
ty
c
z
n
e
M
e
to
d
y
n
u
m
e
ry
c
z
n
e
D
oś
w
ia
dc
za
ln
e
m
et
od
y
w
yt
rz
ym
ał
oś
ci
m
at
er
ia
łó
w
M
et
od
a
el
em
en
tó
w
sk
oń
cz
on
yc
h
M
E
S
Z
ał
oż
en
ia
,
u
p
ro
s
z
c
z
e
n
ia
P
ro
c
e
d
u
ry
,
m
e
to
d
y
T
eo
ria
s
pr
ęż
ys
to
śc
i
T
eo
ria
p
la
st
yc
zn
oś
ci
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
89
CHARAKTERYSTYKA
WYTRZY
MAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Podstawą wytrzymałości materiałów są prawa statyki
oraz wni
oski wypływające z doświadczenia.
Pomostem łączącym mechanikę ciał sztywnych z wytrzyma-
łością jest wspomniana już zasada zesztywnienia.
Pojęcie „wytrzymałość materiałów” można traktować jako ce-
chę, właściwość ciał stałych, polegającą na przeciwstawianiu
się niszczącemu działaniu sił.
Zadania
„wytrzymałość materiałów” jako przedmiotu opisują-
cego zachowanie się ciał odkształcalnych:
określanie nośności konstrukcji (odpowiedniej wytrzymałości),
wyznaczanie przemieszczeń konstrukcji wywołanych obcią-
żeniami (określanie sztywności konstrukcji).
Wytrzymałość materiałów jest częścią mechaniki o praktycz-
nym, inżynierskim charakterze. W rozwiązywaniu konkretnych
zadań wykorzystuje się pewne uogólnienia i uproszczenia.
Uproszczenia dotyczą opisu właściwości materiału i opisu
kształtu elementu konstrukcyjnego. Dzięki uproszczeniom rze-
czywisty obiekt zostaje przekszta
łcony w pewien model, który
umożliwia rozwiązanie problemu za pomocą określonego
schematu obliczeniowego. Model (schemat obliczeniowy)
musi zachowywać istotne dla rozwiązywanego problemu cechy i
właściwości rzeczywistego obiektu.
UPROSZCZ
ENIA W WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW:
modelu ciała
ciało jednorodne,
właściwości materiału
ciało izotropowe, którego właści-
wości we wszystkich kierunkach są identyczne (ciało ani-
zotropowe
– różne właściwości), ciało sprężyste
sposobu rozwiązywania
uproszczenia inżynierskie.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
90
Wytrzymałość materiałów posługuje się modelem cia-
ła jednorodnego, izotropowego, idealnie sprężystego
i charakteryzuje się praktycznym, inżynierskim podej-
ściem do rozwiązywanych problemów.
UWAGA
: powyższy model ciała stanowi podstawę klasycznej
wytrzymałości materiałów. Współczesny rozwój techniki wyma-
ga zastosowania materiałów o wysokim stopniu zaawansowania
technologicznego (materiały high-tech, high-technology)
1
.
Wytrzymałość materiałów bada przede wszystkim siły
wewnętrzne, będące wynikiem oddziaływania między po-
szczególnymi cząstkami ciała jednorodnego.
Jednym z głównych zadań wytrzymałości materiałów jest
roz
wiązywanie zadań statycznie niewyznaczalnych, w których
liczba niewiadomych jest większa od liczby równań równowagi.
W
praktyce inżynierskiej spotyka się przede wszystkim zadania
statycznie niewyznaczalne.
PODSTAWOWYMI MODELAMI NOMINALNYMI W WYTRZY-
MAŁOŚCI MATERIAŁÓW SĄ PRĘTY, WAŁY I BELKI.
PRĘTY – ROZCIĄGANIE
WAŁY – SKRĘCANIE
BELKI
–ZGINANIE
PRĘT UOGÓLNIONY
ROZCIĄGANIE + SKRĘCANIE +
+ ZGINANIE
1
Patrz rozdział 14: Zagadnienia wybrane
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
91
Model nominalny
(fizyczny) w sposób uproszczony powinien
wiernie przedstawiać badany fragment rzeczywistości (muszą
być spełnione prawa podobieństwa modelowego). Korzysta on
ze zbioru pojęć właściwych dla badanej rzeczywistości. Uprosz-
czenia, będące istotnym elementem wytrzymałości materiałów,
muszą być w modelu nominalnym odpowiednio uzasadnione
i
doświadczalnie zweryfikowane.
Pręt uogólniony, uzupełniony o pojęcia siły uogólnionej oraz prze-
mieszczenia uogólnionego stanowi podstawowe narzędzie umożliwiają-
ce za
stosowanie w praktyce inżynierskiej METOD ENERGETYCZNYCH.
SIŁY WEWNĘTRZNE
W wytrzymałości materiałów siły zewnętrzne czynne są siłami
ob
ciążającymi konstrukcję. Siły zewnętrzne bierne ujawniają się
po uwolnieniu konstrukcji od więzów. Dla ujawnienia sił we-
wnętrznych korzysta się z tzw. zasady myślowych przekro-
jów.
Zasada myślowych przekrojów polega na dokonaniu my-
ślowego (wirtualnego) przekroju konstrukcji i myślowego
(wirtualnego)
rozdzielenia ciała na dwie części. Dzięki te-
mu rozdzieleniu ujaw
niają się siły wewnętrzne, które muszą
być w równowadze z siłami zewnętrznymi, działającymi na
rozpatrywaną część ciała.
PŁASZCZYZNA MYŚLOWEGO PRZEKROJU
- siły zewnętrzne
czynne i bierne
1
F
3
F
M
1
M
2
4
F
2
F
M
i
F
i,
Idea myślowych przekrojów
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
92
Siły wewnętrzne w myślowo podzielonym ciele stałym
Uporządkowane siły wewnętrzne
N
– siła normalna (siła osiowa),
T
Y
, T
Z
– siły poprzeczne (siły tnące, siły ścinające),
M
X
– moment skręcający,
M
Y
, M
Z
– momenty zginające.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
93
PROSTE PRZY
PADKI OBCIĄŻEŃ:
rozciąganie (ściskanie), gdy działa tylko siła N; siła N skie-
rowana na zewnątrz rozpatrywanego przekroju jest siłą do-
datnią, powodującą rozciąganie (znak „+”); siła N skierowana
do wewnątrz powoduje ściskanie (znak „–”);
ścinanie, gdy działa jedna z sił poprzecznych T
Y
lub T
Z
;
skręcanie, gdy działa moment skręcający M
X
;
zginanie
, gdy działa jeden z momentów zginających; moment
M
Z
powoduj
e zginanie przekroju w płaszczyźnie XY (piono-
wej), natomiast moment M
Y
zginanie w płaszczyźnie XZ (po-
ziomej).
W praktyce inżynierskiej najczęściej spotyka się złożone
przypadki obciążenia, będące kombinacją wymienionych wy-
żej prostych przypadków. Złożone przypadki obciążeń są ko-
lejną charakterystyczną cechą wytrzymałości materiałów.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
94
NAPRĘŻENIA
Statycznie równoważne układy sił
STATYKA CIAŁA SZTYWNEGO – analiza sił zewnętrznych
(badanie związków miedzy obciążeniami i reakcjami więzów).
WYTRZYMAŁOŚC MATERIAŁÓW – analiza „wytrzymałości”
konstrukcji
(zdolności do przenoszenia obciążeń i zachowania
sztywności – podatności na odkształcenia).
Do oceny wytrzymałości danego przekroju
wprowadzono po
jęcie naprężenia.
Definicja naprężenia
N
aprężeniem w punkcie C nazywa się wektor zdefiniowa-
ny
zależnością:
dA
dN
A
N
lim
A
0
.
Jednostką naprężenia jest paskal [Pa]:
2
m
niuton
.
PRAKTYKA INŻYNIERSKA: megapaskal, 1 MPa = 10
6
Pa.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
95
ZWIĄZKI MIĘDZY SIŁAMI WEWNĘTRZNYMI
I NAPRĘŻENIAMI
Schema
t sił wywołanych naprężeniami w myślowym przekroju z
układem osi XYZ:
UWAGA:
równania statyki można formułować tylko dla sił.
W równaniach równowagi dla przestrzennego układu sił wystę-
pują siły
x
dA,
xy
dA,
xz
dA.
Dla sześciu równań statyki otrzymu-
je się:
A
A
A
xz
z
xy
y
x
dA
T
,
dA
T
,
dA
P
,
A
A
x
z
x
y
A
xy
xz
x
.
ydA
M
,
dA
M
,
dA
z
y
M
Poniższa tabela pokazuje związek między naprężeniami i siłami
wewnętrznymi:
Naprężenia
normalne
:
rozciąganie prętów N,
zginanie w płaszczyźnie pionowej M
Z
,
zginanie w płaszczyźnie poziomej M
Y
Naprężenia
styczne
xy
,
xz
:
ścinanie T
Y
,
ścinanie T
Z
,
skręcanie M
XY
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
96
ODKSZTAŁCENIA I PRZEMIESZCZENIA
Działanie sił – odkształcenia i przemieszczenia.
Odkształcenia i przemieszczenia
RODZAJE ODKSZTAŁCEŃ:
– liniowe, które są określane jako wektor o początku w pew-
nym punkcie ciała nieodkształconego i końcu w tym samym
punkcie ciała odkształconego,
– kątowe, które są określane za pomocą kąta zawartego po-
między dowolnie krótkim odcinkiem związanym z rozpatry-
wanym ciałem przed odkształceniem i po jego odkształce-
niu.
Przemieszczenia ciała są wynikiem odkształceń.
Wydłużenie liniowe (odkształcenie wzdłużne, wydłużenie
względne, jednostkowe, właściwe) określa się z zależności
.
dy
dy
'
dy
y
y
'
y
lim
,
dx
dx
'
dx
x
x
'
x
lim
y
y
x
x
0
0
Odkształcenia postaciowe (odkształcenie poprzeczne, kąt od-
k
ształcenia postaciowego) są określone:
.
y
x
,
xy
0
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
97
DOŚWIADCZALNE PODSTAWY
WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA.
– określa związek pomiędzy naprężeniami i odkształceniami,
– dostarcza podstawowych informacji o właściwościach wy-
trzymałościowych materiałów,
– umożliwia prowadzenie obliczeń wytrzymałościowych wyko-
rzystujących warunek wytrzymałościowy.
Wykres rozciągania dla materiału z wyraźną granicą plastyczności
Odcinek OA
– liniowa zależność między obciążeniem i wydłu-
żeniem. Jest to więc zakres ważności prawa Hooke'a. Prawo
Hooke’a to związek fizyczny:
E
= F/A
0
,
– naprężenie, A
0
– początkowy przekrój próbki;
=
L/L
0
,
– wydłużenie względne próbki,
L
0
– początkowa długość próbki;
E
– współczynnik proporcjonalności, charakteryzujący odkształ-
calność materiału, moduł (współczynnik) sprężystości
wzdłużnej, moduł Younga [MPa].
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
98
Punkt A
– granica proporcjonalności.
Punkt B
– granica sprężystości.
Punkt C, D
– granica plastyczności.
Punkt E
– wytrzymałość na rozciąganie
(wytrzymałość doraźną).
Za pomocą statycznej próby rozciągania określa się podsta-
wowe
właściwości mechaniczne (wytrzymałościowe) stosowa-
nych w praktyce inżynierskiej materiałów konstrukcyjnych:
– moduł Younga E [MPa,
– współczynnik Poissona, wyrażona jako stosunek wydłużenia
poprzecznego do wzdłużnego, oznaczona symbolem
,
'
– wydłużenie wzdłużne,
'
– wydłużenie po-
przeczne; liczba Poissona mieści się w prze-
dziale 0 <
< 0,5 (
= 0
– korek, beton,
= 0,5
– kauczuk);
– granica plastyczności R
e
[MPa];
– wytrzymałość na rozciąganie R
m
[MPa],
– wydłużenie, zdefiniowane zależnością
,
%
L
L
L
A
u
100
0
0
gdzie: L
0
– długość początkowa próbki, L
u
– długość próbki po
zerwaniu;
– przewężenie, zdefiniowane zależnością
,
%
A
A
A
Z
u
u
100
0
gdzie: A
0
– początkowy przekrój próbki, A
u
– przekrój próbki
po zerwaniu.
PRAWO HOOKE’A:
E
.
Naprężenie:
A
P
,
wydłużenie:
L
L
,
Druga postać prawa Hooke’a:
.
A
E
L
P
L
EA
– sztywność przekroju na rozciąganie.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
99
Wykresy rozciągania dla najczęściej stosowanych materiałów
w budowie maszyn:
Porównanie wykresów rozciągania stali
węglowej poddanej obróbce cieplnej
Wykres rozciągania materiału bez wyraź-
nej gra
nicy plastyczności (wyznaczanie
umownej granicy plastyczności)
Porównanie wykresów rozciągania stali,
duralu (stopy AL.)
i brązu (stopy Cu)
Wykres ściskania i rozciągania żeliwa
NAPRĘŻENIA DOPUSZCZALNE
Naprężenia dopuszczalne są miarą wytężenia materiału:
,
n
nieb
dop
gdzie:
nieb
– naprężenie przyjęte za niebezpieczne (granica plastycz-
ności, wytrzymałość materiału na rozciąganie),
n
– współczynnik bezpieczeństwa.
Współczynnik bezpieczeństwa n musi być większy od 1.
Wyznaczanie właściwego współczynnika bezpieczeństwa należy do
trudniejszych zagadnień w obliczeniach wytrzymałościowych. Przy dobo-
rze n należy uwzględnić wiele czynników, co wymaga dużej wiedzy teo-
retycznej oraz ol
brzymiego doświadczenia zawodowego (patrz tablica).
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
87
Wg: M. E. Niezgodziński, T. Niezgodziński: WZORY, WYKRESY
I TABLICE WYTRZYMAŁOŚCIOWE. Wyd. Naukowo-Techniczne,
Warszawa 2007
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
87
W przypadku braku bliższych danych, w pierwszym przybliżeniu moż-
na określić współczynnik bezpieczeństwa jako iloczyn czterech współ-
czynników cząstkowych z tablicy przedstawionej na poprzedniej stronie:
4
3
2
1
x
x
x
x
n
gdzie x
1
– współczynnik pewności założeń przy budowie modelu mate-
matycznego, x
2
– współczynnik ważności projektowanego wyrobu, x
3
–
współczynnik jednorodności materiału, x
4
– współczynnik zachowania
kształtu. Dla danych przedstawionych w tabeli, współczynnik bezpie-
czeństwa n = 1,0
6,12.
Właściwy dobór współczynnika bezpieczeństwa to jedno z podsta-
wowych zagadnień w projektowaniu. Wymagania:
Znajomość całokształtu problemów konstrukcyjnych, technologicz-
nych i eksploatacyjnych
– WIEDZA SYSTEMOWA, z uwzględnie-
niem wpływu działalności inżynierskiej na środowisko (otoczenie).
Posiadanie wiedzy teoretyczną (wiedza jawna), oraz odpowiedniej
wiedzy praktycznej (wiedza ukryta).
Odpowiedzi
alność i samokontrola, asertywność, umiejętność
podejmowania decyzji i skalkulowanego ryzyka.
CZYNNIKI WPŁYWĄJACE NA WYBÓR WSPÓŁCZYNNIKA
BEZPIE
CZEŃSTWA:
1.
Niejednorodna struktura materiału (wtrącenia).
2.
Naprężenia wstępne (obróbka cieplna, naprężenia montażowe, na-
prężenia termiczne).
3.
Charakter obciążenia:
losowość obciążenia (obciążenia przypadkowe),
zmienność obciążenia (zmęczenie materiałów),
obciążenia dynamiczne (udarowe).
4.
Warunki eksploatacji (zużycie, korozja).
5.
Spiętrzenia naprężeń (karby, niedokładności wykonania i obciąże-
nia).
6.
Niedoskonałość metod obliczeniowych:
zbyt daleko idące uproszczenia,
błędy modelowania,
niedoskonałość metod analitycznych.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
88
W nowocześnie rozumianej wytrzymałości materiałów zaczyna domi-
nować tendencja do precyzyjnego określania rzeczywistych współczyn-
ników bezpieczeństwa. Jest to zagadnienie o złożonym charakterze,
wymagającym uwzględnienia następujących aspektów:
ekonomicznych (kosztów projektowanych konstrukcji),
bezpiecznej pracy konstrukcji,
niezawodnej pracy konstrukcji.
Uwz
ględnienie tych i innych aspektów powoduje, że obliczenia wy-
trzymałościowe stają się coraz bardziej skomplikowane, odpowiedzialne
i
wymagają stosowania najnowszych osiągnięć nauki, techniki kompute-
rowej i informatyki.
OBLICZENIA TE MAJĄ CHARAKTER SYSTEMOWY
(MECHATRONICZNY)
– PROJEKTOWANIE SYSTEMOWE (projekto-
wanie uwzględniające optymalizację konstrukcji).
Konstrukcja bezpieczna oprócz spełnienia warunków bezpiecznej
pracy (wytrzymałości i sztywności) musi także sygnalizować przeciąże-
nie konstrukcji (rysy,
pęknięcia, osiadanie). Konstrukcja powinna być
tak zaprojektowana, aby umożliwić ewakuację ludzi i sprzętu (nie ulegać
nagłemu, nie sygnalizowanemu zniszczeniu).
WARUNEK WYTRZYMAŁOŚCIOWY
Warunek wytrzymałościowy (warunek wytrzymałości) ma postać:
.
dop
max
Warunek wytrzymałościowy stanowi podstawę obliczeń wytrzymało-
ściowych na „naprężenia dopuszczalne”. Prostota tego warunku powo-
duje, że dominuje on w procesach projektowania większości konstrukcji
inżynierskich. Z warunku wynika, że o wytrzymałości całej konstrukcji
decyduje jej najsłabszy element, w którym pojawią się naprężenia do-
puszczalne. Korzystanie z niego umożliwia zrealizowanie obu zadań wy-
trzymałości materiałów, czyli:
– określenie dopuszczalnych obciążeń konstrukcji o znanych wy-
miarach,
– określenie koniecznych wymiarów konstrukcji dla zadanego ob-
ciążenia.
P
ostawą obliczeń wytrzymałościowych są właściwości materiału uzy-
skane za pomocą statycznej próby rozciągania.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
89
INNE WARUNKI WYTRZYMAŁOŚCIOWE:
Warunek sztywności konstrukcji
dop
L
L
.
Warunek stateczności konstrukcji (konstrukcje cienkościenne)
kr
P
P
, gdzie P
kr
to obciążenie krytyczne dla danej konstrukcji.
Warunek wytrzymałości zmęczeniowej.
Inne
– np. warunek na pełzanie.
PRAKTYKA
INŻYNIERSKA: jednoczesne spełnianie ww. warunków.
Obliczenia wytrzymałościowe oparte na koncepcji naprężeń dopusz-
czalnych
są powszechnie stosowane w praktyce inżynierskiej. Ich wadą
jest to, że o bezpieczeństwie całej konstrukcji decyduje wartość na-
prężenia w jednym tylko miejscu. Jest to sposób projektowania zakła-
dający, że o wytrzymałości całej konstrukcji decyduje jej najsłabszy ele-
ment. Gdy w konstrukcji występują spiętrzenia naprężeń, ścisłe trzyma-
nie się tego sposobu (koncepcji, filozofii projektowania) prowadzi do jej
przewymi
arowania. W związku z tendencją do urealniania współczynni-
ków bezpieczeństwa coraz częściej stosuje się inne koncepcję obliczeń
wytrzymałościowych.
INNE METODY PROJEKTOWANIA
BEZPIECZNYCH KONSTRUKCJI
1.
Metoda obciążeń granicznych – dopuszcza występowanie w konstruk-
cji odkształceń plastycznych (schematyzacja wykresów rozciągania).
2.
Metoda naprężeń granicznych: obciążenie obliczeniowe
)
e
(
i
i
P
P
,
gdzie
)
e
(
i
P
– i-te obciążenie charakterystyczne (przenoszone siły, ciężar
własny, temperatura itp.),
i
– współczynniki obciążeń stałych, zmien-
nych oraz uplastycznienia materiału.
3.
Metoda stanów granicznych – stanu granicznego nośności lub stanu
granicznego użytkowania. Metoda oparta jest na skodyfikowanych
międzynarodowych przepisach i normach (Eurokody).
4.
Metoda elementów skończonych MES (Finite Element Metod FEM)
Zalety MES:
określanie rzeczywistych współczynników bezpieczeństwa,
odejście od filozofii projektowania na „najbardziej obciążony element”
i
dążenie do wyrównania wartości naprężeń w całej konstrukcji.
Wady MES:
eksperyment numeryczny,
konieczność doświadczalnej weryfikacji rozwiązań.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
90
ZASADA SUPERPOZYCJI
Podstawa:
prawo Hooke’a (liniowy związek między obciążeniem
i odkształceniem).
Rezultaty działania kilku sił są równe sumie
(algebraicznej lub geometrycznej) rezultatów,
otrzymywanych w wyniku działania każdej siły oddzielnie.
ZADANIA STATYCZNIE WYZNACZALNE
I STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
W wytrzymałości materiałów przeważają zagadnienia sta-
tycznie niewyznaczalne, tzn. takie, gdzie liczba niewiadomych
przekracza liczbę równań równowagi, które mogą być napisane
dla tego zagadnienia. Różnica między liczbą niewiadomych a
liczbą równań równowagi określa tzw. stopień statycznej nie-
wyznaczalności zadania.
Rozwiązanie zadania statycznie niewyznaczalnego:
– określenie stopnia statycznej niewyznaczalności zadania
i
wielkości statycznie niewyznaczalnych,
– utworzenie odpowiedniej liczby tzw. równań geometrycz-
nych
z wykorzystaniem warunków nierozdzielności (łączno-
ści) konstrukcji.
STOPIEŃ STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI ZALEŻY
OD SPOSOBU PODPARCIA KONSTRUKCJI.
INTERPRETACJA ZNAKÓW W RÓWNANIACH STATYKI w
wytrzymałości materiałów wymaga bezwzględnego przestrze-
gania
zasady zgodności odkształceń elementów konstruk-
cji ze znakami sił założonymi w równaniach statyki.
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
91
Zadania statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne
Schemat
konstrukcji
Schemat sił
Liczba
równań
statyki
RS
Liczba nie-
wiadomych n
Stopień statycznej
niewyznaczalno-
ści
X = n
– RS
2
2
0
2
3
1
1
1
0
1
2
1
2
2
0
2
3
1
07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka
92
RACHUNEK JEDNOSTEK
Wielokrotno
ści i podwielokrotności jednostek podstawowych:
mega (M)
10
6
1000000
kilo (K)
10
3
1000
centy (c)
10
–2
0,01
mili (m)
10
–3
0,001
mikro (
)
10
–6
0,000001
nano (n)
10
–9
0,000000001
PRZELICZNIK JEDNOSTEK
KONTROLA POPRAWNOŚCI WZORÓW
P
RZYKŁAD
Za pomocą prawa Hooke'a obliczyć przelicznik jednostek, je-
żeli P jest wyrażone w kiloniutonach [kN], L w metrach [m], E w
megapaskalach [MPa], A w centymetrach kwadratowych [cm
2
].
.
mm
m
mm
m
cm
kN
MN
cm
MN
m
kN
cm
m
MN
m
kN
L
,
mm
EA
PL
L
4
3
2
2
4
3
2
3
2
2
10
1
10
1
10
10
1
P
RZYKŁAD
Określić związek pomiędzy momentem skręcającym, mocą i
liczbą obrotów wału przenoszącego tę moc.
Z dynamiki znany jest wzór: N = M
, gdzie N [kW]
– moc, M
S
[N
m]
– moment skręcający,
[rad/s]
– prędkość kątowa. Po
podstawieniu:
= 2
, gdzie
[1/s]
– częstość kątowa, n = 60
[ob
r/min], otrzymuje się:
.
m
N
9550
m
N
3
,
9549
m
N
2
10
60
s
1
60
2
min
obr
1
kW
1
s
m
N
10
min
obr
kW
n
N
M
3
3
S