e grafika inżynierska FKK

Wydano za zgodą Rektora

Materiały pomocnicze do zajęć

z przedmiotu „grafika inżynierska”

dla studentów kierunków: mechanika i budowa maszyn,

zarządzanie i inżynieria produkcji, transport

nierecenzowane

W procesie wydawniczym pominięto

etap opracowania językowego.

Wersja elektroniczna materiałów

została przygotowana przez Autorów.

geometria wykreślna

rysunek techniczny

Wszelkie prawa zastrzeżone.

aden fragment publikacji nie może być powielany

w jakiejkolwiek formie.

ISBN 978-83-7199-838-4

Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej

al. Powstańców Warszawy 12, 35-959 Rzeszów

e-mail: oficyna1@prz.rzeszow.pl

SPIS TREŚCI

1. OBRAZY ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH .....................................................

1.1. Układ odniesienia .............................................................................................

1.2. Obraz punktu ....................................................................................................

1.3. Obraz prostej .....................................................................................................

1.3.1. Prosta w położeniach szczególnych .......................................................

1.4. Obraz płaszczyzny ............................................................................................

1.4.1. Płaszczyzna w położeniach szczególnych ..............................................

2. ELEMENTY PRZYNALEśNE ................................................................................

2.1 Przynależność punktu i prostej .........................................................................

2.2 Przynależność prostej i płaszczyzny .................................................................

2.3 Przynależność punktu i płaszczyzny ................................................................

3. ELEMENTY WSPÓLNE ..........................................................................................

3.1. Punkt wspólny dwóch prostych ........................................................................

3.2. Krawędź dwóch płaszczyzn ..............................................................................

3.3. Punkt przebicia płaszczyzny prostą ..................................................................

4. KŁADY ....................................................................................................................

4.1. Kład i podniesienie z kładu płaszczyzny rzutującej ........................................

4.2. Kład i podniesienie z kładu płaszczyzny nierzutującej ...................................

4.2.1. Kład punktu ...........................................................................................

5. RZUTY PROSTOKĄTNE NA TRZY WZAJEMNIE PROSTOPADŁE RZUTNIE

WIELOŚCIANY ........................................................................................................

6.1 Rzuty wielościanów ..........................................................................................

6.2 Przekroje wielościanów ....................................................................................

6.2.1. Przekrój wielościanu płaszczyzną rzutującą ...........................................

6.2.2. Przekrój wielościanu płaszczyzną dowolną ............................................

6.3. Punkt przebicia wielościanu prostą ..................................................................

6.4. Przenikanie wielościanów ................................................................................

7. PRZENIKANIE POWIERZCHNI ............................................................................

7.1 Przenikanie dwóch powierzchni obrotowych ...................................................

7.2 Przenikanie powierzchni z wielościanami .......................................................

8. RZUTY PROSTOKĄTNE NA SZEŚĆ RZUTNI ....................................................

9. AKSONOMETRIA ..................................................................................................

9.1. Aksonometria ukośna ......................................................................................

9.2. Aksonometria izometryczna ............................................................................

9.3. Aksonometria dimetryczna ..............................................................................

10. DOKUMENTACJA TECHNICZNA WYROBU ....................................................

10.1. Arkusze rysunkowe .........................................................................................

10.2. Tabliczka rysunkowa .......................................................................................

10.3. Linie rysunkowe ..............................................................................................

10.4. Podziałka rysunkowa .......................................................................................

10.5. Pismo techniczne .............................................................................................

11. PRZEKROJE ............................................................................................................

12. WYMIAROWANIE .................................................................................................

12.1. Sposób zapisu wymiarów .................................................................................

12.2. Zasady wymiarowania .....................................................................................

13. POŁĄCZENIA ROZŁĄCZNE ................................................................................

13.1. Gwinty - połączenia gwintowe .........................................................................

13.2. Wielowypusty - połączenia wielowypustowe ..................................................

Załączniki do rozdziałów 1-7 (geometria wykreślna) ......................................................

Załączniki (krzywe płaskie) .............................................................................................

114

Załączniki (przekroje proste) ...........................................................................................

128

Załączniki (przekroje stopniowe) .....................................................................................

144

Załączniki (przekroje łamane) ..........................................................................................

160

OBRAZY ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH

1.1

UKŁAD ODNIESIENIA

W celu odwzorowania elementów w geometrii wykreślnej stosuje się metodę rzutów

prostokątnych na płaszczyzny wzajemnie prostopadłe zwaną rzutami Monge’a. Płaszczyznę
poziomą przyjęto oznaczać symbolem π

i nazwano rzutnią poziomą, natomiast płaszczyznę

pionową – symbol π

– nazwano rzutnią pionową. Płaszczyzny te przecinają się wzdłuż

prostej poziomej x=π

×π

zwanej osią i tworzą układ odniesienia x(π

, π

). Oś rzutów x dzieli

każdą rzutnię na dwie części, zwane półrzutniami (rys.1.1). Układ odniesienia x(π

, π

) dzieli

przestrzeń na cztery ćwiartki oznaczane cyframi rzymskimi I, II, III i IV (rys.1.1).

Odwzorowanie elementów w takim układzie jest niewygodne, dlatego układ odniesienia

sprowadza się do płaszczyzny rysunku przez obrót rzutni poziomej względem osi rzutów x o
kąt 90º tak, że półrzutnia pozioma dodatnia +π

, nakrywa się z półrzutnią pionową ujemną

−π

(rys.1.1).

+π

−π

+π

−π

III

Rys. 1.1

1.2

OBRAZ PUNKTU

Niech będzie dany układ odniesienia x(π

, π

) oraz dowolny punkt A (rys.1.2a). Przez

punkt A poprowadzono dwie proste rzutujące k

⊥

i k

⊥

. Prostą k

rzutującą punkt A na

rzutnię π

nazywa się prostą poziomo rzutującą, a prostą k

rzutującą punkt A na rzutnię π

–

prostą pionowo rzutującą. Punkt A', w którym prosta rzutująca k

przebija rzutnię π

, nazywa

się rzutem poziomym punktu A, natomiast punkt A'', w którym prosta rzutująca k

przebija

rzutnię π

– rzutem pionowym punktu A.

Dwa rzuty prostokątne A' i A'' określają w sposób jednoznaczny położenie jednego i tylko

jednego punktu A w przestrzeni. Po sprowadzeniu układu odniesienia x(π

, π

) do płaszczyzny

rysunku, rzuty A' i A'' punktu A leżą na prostej A'A'' prostopadłej do osi rzutów x, czyli na tzw.
prostej odnoszącej punktu A (rys.1.2b).

Odległość punktu A od rzutni poziomej π

nazywa się wysokością punktu A. Wysokość

jest dodatnia, jeśli punkt leży powyżej rzutni π

, w przeciwnym przypadku jest ujemna.

Odległość punktu A od rzutni pionowej π

nazywa się głębokością punktu A. Głębokość

jest dodatnia, jeśli punkt leży przed rzutnią

, w przeciwnym przypadku jest ujemna.

+π

−π

+π

−π

Rys. 1.2

Po sprowadzeniu układu odniesienia x(π

, π

) do płaszczyzny rysunku: wysokość w

(rys.1.2c) punktu równa jest odległości jego rzutu pionowego od osi rzutów x.

Rzuty

punktów

leżących

odpowiednio

wiartkach

II,

III

i IV przedstawiono na rysunkach 1.3÷1.5.

+π

−π

+π

−π

+π

−π

+π

−π

Rys. 1.3 Rys. 1.4

+π

−π

+π

−π

Rys. 1.5

Rzuty punktów leżących na rzutniach π

i π

oraz na osi rzutów x przedstawia rys.1.6.

F''

E''

+π

−π

+π

Rys. 1.6

Jeżeli punkty są równo oddalone od obydwu rzutni (π

i π

) to leżą na tzw. płaszczyznach

dwusiecznych δ

lub δ

(rys.1.7a). W przypadku płaszczyzny δ

(przechodzi przez ćwiartki I i

III) rzuty punktów mają symetrię prostokątną względem osi rzutów x, natomiast w przypadku
płaszczyzny δ

(ćwiartki II i IV) - rzuty punktów jednoczą się (rys.1.7).

Q'=Q"

N'=N''

N'=N"

M''

III

+π

−π

(+π )

(−π )

Rys. 1.7

Każda para rzutów A' i A'', przyporządkowanych sobie względem osi x na płaszczyźnie

rysunku ρ=π

=π

i leżących na prostej odnoszącej A'A''

⊥

x lub jednoczących się w jednym

punkcie A'=A'', stanowi obraz jednego i tylko jednego punktu A w przestrzeni.

1.3

OBRAZ PROSTEJ

Przez dowolnie położoną prostą m (rys.1.8a) prowadzi się dwie płaszczyzny: poziomo

rzutującą φ

i pionowo rzutującą φ

odpowiednio prostopadłe do rzutni π

i π

. Krawędź

przecięcia m'=φ

×π

jest rzutem poziomym prostej m, a krawędź przecięcia m''=φ

×π

jest jej

rzutem pionowym. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku, rzuty prostokątne m'
i m" prostej m mają położenie przedstawione na rys.1.8b.

Rys. 1.8

Jeśli prosta m leży na płaszczyźnie podwójnie rzutującej φ

⊥

x (rys.1.9a), to m'

⊥

x i m"

⊥

Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku obydwa rzuty prostej jednoczą się na
prostej prostopadłej do osi rzutów x (rys.1.9b) i nie można jednoznacznie odtworzyć
położenia prostej m w przestrzeni. W przypadku tym konieczne jest podanie rzutów dwóch
różnych punktów leżących na prostej m określających w przestrzeni dokładnie jedną prostą
m=AB. (rys.1.9d).

Punkt, w którym prosta m przebija rzutnię poziomą nosi nazwę śladu poziomego prostej

m i oznacza się go przez H

. Punkt, w którym prosta przebija rzutnię pionową to tzw. ślad

pionowy prostej m, oznacza się go przez V

(rys.1.10). Zatem ślady są miejscami

geometrycznymi, w których prosta zmienia ćwiartkę. Wyznaczone ślady H

i V

prostej

m(m',m")

pozwalają

określić

przez

jakie

wiartki

prosta

przechodzi.

W tym celu na prostej m można obrać trzy punkty: jeden pomiędzy śladami i dwa na zewnątrz
ś

ladów. Określając położenie punktów można wskazać przez jakie ćwiartki ta prosta

przechodzi.

m=AB

= =

Rys. 1.9

Rys. 1.10

1.3.1

Prosta w położeniach szczególnych

1. Jeżeli prosta a leży na rzutni π

(rys.1.11a), to jej rzut poziomy a' jednoczy się z prostą

a, a jej rzut pionowy a" jednoczy się z osią rzutów x. Taka prosta ma tylko ślad pionowy V

który leży na osi rzutów x. Jeżeli prosta b leży na rzutni π

(rys.1.11b), to otrzymuje się na

rysunku obraz odwrotny do poprzedniego, tzn. rzut pionowy b" jednoczy się
z prostą b, a jej rzut poziomy b' jednoczy się z osią rzutów x. Taka prosta ma tylko ślad
poziomy H

, który leży na osi rzutów x.

2. Jeśli prosta q przecina oś rzutów x, ale nie leży na żadnej rzutni, to punkt R jej

przecięcia z osią rzutów x jest równocześnie jej śladem poziomym i pionowym (rys.1.11c). W
przypadku tym ślady nie wyznaczają dokładnie jednej prostej w przestrzeni, lecz wiązkę
prostych przechodzących przez jeden i ten sam punkt, leżący na osi rzutów x.

b''=b

a'=a

H =V

Rys. 1.11

3. Rys.1.12 przedstawia prostą poziomo rzutującą m nazywaną także prostą pionową; jej

rzut pionowy m" jest prostopadły do x, a rzut poziomy m' jest punktem, w którym jednoczą
się rzuty poziome wszystkich punktów prostej m, a więc i jej punkt szczególny – ślad
poziomy H

Rys. 1.12

4. Rys.1.13 przedstawia prostą pionowo rzutującą n nazywaną także prostą celową; jej

rzut poziomy n' jest prostopadły do x, a rzut pionowy n" jest punktem, w którym jednoczą się
rzuty pionowe wszystkich punktów prostej n, a więc i jej punkt szczególny – ślad pionowy V

Rys. 1.13

5. Prostą p równoległą do rzutni π

(rys.1.14) nazywa się prostą poziomą. Wszystkie

punkty tej prostej mają jednakową wysokość, stąd jej rzut pionowy p" jest równoległy do x, a
rzut poziomy p' jest nachylony do osi rzutów x pod kątem α', równym kątowi nachylenia α
prostej p do rzutni π

. Prosta pozioma p ma tylko ślad pionowy V

Rys. 1.14

6. Prostą c równoległą do rzutni π

(rys.1.15) nazywa się prostą czołową. Wszystkie

punkty prostej czołowej c mają jednakową głębokość, stąd jej rzut poziomy c' jest równoległy
do x, a rzut pionowy c" jest nachylony do x pod kątem β'' równym kątowi nachylenia β prostej
c do rzutni π

. Prosta czołowa c ma tylko ślad poziomy H

Rys. 1.15

7. Prosta s równoległa do osi rzutów x (rys.1.16), której wszystkie punkty mają

jednakową wysokość i jednakową głębokość, ma obydwa rzuty s' i s" równoległe do osi
rzutów x. Prosta s nie ma śladów.

Rys. 1.16

8. Prosta t leżąca na płaszczyźnie dwusiecznej δ

, przechodząca przez ćwiartki I i III, ma

wszystkie punkty równoodległe od obu rzutni, wobec czego jej rzuty t' i t" mają symetrię
prostokątną względem osi rzutów x (rys.1.17a). Rzuty rozważanej prostej t przecinają się w
punkcie M leżącym na osi rzutów x. Punkt M jest zatem punktem, w którym dana prosta t
przecina oś rzutów x. Punkt M jest równocześnie punktem, w którym prosta t przebija obie
rzutnie, a więc jest także śladem poziomym H

i śladem pionowym V

prostej t. Punkt M dzieli

daną prostą t na dwie półproste, z których jedna leży w I ćwiartce, a druga – w III ćwiartce.

9. Prosta u leżąca na płaszczyźnie dwusiecznej δ

, przechodząca przez ćwiartki II i IV,

ma wszystkie punkty równoodległe od obu rzutni, wobec czego jej rzuty u' i u" jednoczą się
w jednej prostej u'=u" (rys.1.17b). Punkt M, w którym rozważana prosta u przecina oś rzutów
x, jest równocześnie śladem poziomym H

i śladem pionowym V

prostej u.

Punkt M dzieli prostą u na dwie półproste, z których jedna leży w II ćwiartce, a druga – w

IV ćwiartce.

B"=B'

A'=A"

I ćw.

u'=u"

III ćw.

IV ćw.

II ćw.

H =V

Rys. 1.17

RZYKŁAD

1.1. Dane są rzuty m' i m" dowolnej prostej m (rys.1.18). Wyznaczyć ślady prostej

m i określić, przez które ćwiartki ta prosta przechodzi.

III

Rys. 1.18

lad pionowy V

jest punktem o zerowej głębokości, dlatego rzut poziomy V

' znajduje

się w punkcie przecięcia rzutu m' z osią x (V

'=m'×x). Poszukiwany ślad pionowy V

znajduje się na przecięciu odpowiedniej odnoszącej i rzutu m'' prostej m. Ślad poziomy H

jest punktem o zerowej wysokości, dlatego rzut pionowy H

'' znajduje się

w punkcie przecięcia rzutu m'' z osią x (H

"=m"×x). Poszukiwany ślad poziomy H

znajduje

się na przecięciu odpowiedniej odnoszącej i rzutu m'. Aby określić ćwiartki, przez które
przechodzi prosta m, można na niej obrać punkty A, B, C (jak na rys.1.18). Położenie rzutów
obranych punktów wskazuje na to, że punkt A znajduje się w ćwiartce I, punkt
B – w ćwiartce IV, a punkt C – w ćwiartce III. Zatem prosta m przechodzi przez ćwiartki I, IV
i III. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 1.1.

1.4

OBRAZ PŁASZCZYZNY

Odwzorowanie płaszczyzny polega na odwzorowaniu elementów, które tę płaszczyznę

określają, a zatem obraz płaszczyzny (rys.1.19) można podać za pomocą obrazów:
a) trzech punktów (rys.1.19a),
b) prostej i punktu nie leżącego na niej (rys.1.19b),
c) dwóch prostych przecinających się (rys.1.19c),
d) dwóch prostych równoległych (rys.1.19d).

Rys. 1.19

Płaszczyzna α dowolnie położona w układzie odniesienia x(π

, π

) (rys.1.20a) przecina

rzutnię π

wzdłuż krawędzi h

, rzutnię π

wzdłuż krawędzi v

, a oś rzutów x w punkcie X

który jest równocześnie punktem przecięcia obu krawędzi (X

×v

). Krawędź h

nazywa

się śladem poziomym płaszczyzny α, krawędź v

to ślad pionowy płaszczyzny α, a punkt X

–

węzeł płaszczyzny α. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku otrzymuje się
obraz jak na rys.1.20b. Płaszczyznę α, której położenie jest określone śladami h

i v

zapisuje

się symbolicznie jako α(h

, v

) lub α=h

Rys. 1.20

1.4.1

Płaszczyzna w położeniach szczególnych

1. Płaszczyznę α||π

(rys.1.21) nazywa się płaszczyzną poziomą. Płaszczyzna ta przecina

rzutnię π

wzdłuż śladu pionowego v

||x. Rzut pionowy figury płaskiej leżącej na

płaszczyźnie α znajdzie się na śladzie pionowym v

tej płaszczyzny (wyjaśnia to punkt A

obrany na płaszczyźnie α).

v = "

Rys. 1.21

2. Płaszczyznę α||π

(rys.1.22) nazywa się płaszczyzną czołową. Płaszczyzna ta przecina

rzutnię π

wzdłuż śladu poziomego h

||x. Rzut poziomy figury płaskiej leżącej na

płaszczyźnie α znajdzie się na śladzie poziomym h

tej płaszczyzny.

h = '

Rys. 1.22

3. Płaszczyznę α

⊥

(rys.1.23a) nazywa się płaszczyzną poziomo rzutującą. Ponieważ

płaszczyzna α jest prostopadła do rzutni π

, to krawędź v

jest także prostopadła do rzutni π

;

zatem v

⊥

x. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku (rys.1.23b) ślad pionowy v

jest prostopadły do osi rzutów x, a ślad poziomy h

tworzy z osią x kąt φ równy kątowi

nachylenia płaszczyzny α do rzutni π

. Płaszczyzna α

⊥

rzutuje figury płaskie na niej leżące

na swój ślad poziomy h

. Ślad poziomy h

płaszczyzny α

⊥

jest zatem zbiorem rzutów

poziomych wszystkich punktów leżących na tej płaszczyźnie (wyjaśnia to punkt A obrany na
płaszczyźnie α).

Rys. 1.23

4. Płaszczyznę α

⊥

(rys.1.24a) nazywa się płaszczyzną pionowo rzutującą. Po

sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku (rys.1.24b) ślad poziomy h

jest prostopadły

do osi rzutów x, a ślad pionowy v

tworzy z tą osią kąt φ równy kątowi nachylenia

płaszczyzny α do rzutni π

. Ślad pionowy v

płaszczyzny α

⊥

jest zatem zbiorem rzutów

pionowych wszystkich punktów leżących na tej płaszczyźnie.

Rys. 1.24

5. Płaszczyznę α prostopadłą do obu rzutni (rys.1.25a) nazywa się płaszczyzną podwójnie

rzutującą. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku (rys.1.25b) obydwa jej ślady
jednoczą się na prostej prostopadłej do osi rzutów x. Ślady h

i v

są odpowiednio zbiorami

rzutów poziomych i pionowych wszystkich punktów płaszczyzny α (wyjaśnia to punkt A
obrany na płaszczyźnie α).

Rys. 1.25

6. Płaszczyzna α||x, ale nieprostopadła do żadnej rzutni (rys.1.26), przecina obie rzutnie

odpowiednio wzdłuż śladów h

i v

równoległych do osi rzutów x.

Rys. 1.26

7. Płaszczyzna α przechodząca przez oś rzutów x (rys.1.27) ma obydwa ślady jednoczące

się z tą osią. Przez obydwa ślady przechodzi zatem nie jedna płaszczyzna, lecz pęk
płaszczyzn. Aby jednoznacznie określić jedną z nich, należy dodatkowo odwzorować na
rzutniach jeszcze jeden punkt płaszczyzny α (np. punkt A). W ten sposób płaszczyznę α,
przechodzącą przez oś rzutów x, określa się za pomocą osi rzutów x i punktu A leżącego na α.

h =v

Rys. 1.27

ELEMENTY PRZYNALEśNE

2.1

PRZYNALEśNOŚĆ PUNKTU I PROSTEJ

Jeżeli punkt i prosta przynależą do siebie w przestrzeni, to ich jednoimienne

(odpowiednie) rzuty także przynależą do siebie.

RZYKŁAD

2.1.

Dany jest odcinek AB rzutami A'B' i A''B'' (rys.2.1). Znaleźć jego środek.

A''

B''

M''

Rys. 2.1

Wykorzystując konstrukcję podziału odcinka w zadanych proporcjach, dokonuje się

podziału jednego z rzutów np. A'B' na dwie równe części. Otrzymuje się w ten sposób rzut
poziomy M' punktu M. Ponieważ punkt M tworzy z odcinkiem AB parę elementów
przynależnych, stąd pionowy rzut M'' punktu M znajduje się na rzucie pionowym odcinka
A''B''. Punkt M(M', M'') jest rozwiązaniem zadania.

2.2

PRZYNALEśNOŚĆ PROSTEJ I PŁASZCZYZNY

W przypadku dowolnej płaszczyzny

określonej śladami α(h

, v

) prosta leżąca na

płaszczyźnie posiada ślady znajdujące się na odpowiednich (jednoimiennych) śladach tej
płaszczyzny.

P

RZYKŁAD

2.2.

Wyznaczyć rzuty dowolnej prostej leżącej na płaszczyźnie

określonej

ladami (rys.2.2).

Rys. 2.2

Płaszczyzna α(h

, v

) jest w położeniu dowolnym, gdyż żaden ze śladów nie jest

prostopadły do osi rzutów. Aby wyznaczyć prostą r przynależną do α należy jeden rzut prostej
r przyjąć dowolnie, a drugi odpowiednio wyznaczyć. Zgodnie z tym, niech rzut poziomy r'
prostej r znajduje się w położeniu jak na rys.2.2. Punkt H

=r'×h

jest śladem poziomym

prostej r. Po zrzutowaniu H

na oś x otrzymuje się rzut pionowy śladu poziomego H

''. Punkt

przecięcia rzutu r' z osią x wyznacza rzut poziomy śladu pionowego V

', zaś jego prosta

odnosząca przecina się ze śladem v

płaszczyzny w punkcie V

zwanym śladem pionowym

prostej r. Rzut pionowy prostej r określony jest przez punkty V

oraz H

''. Szczegółowe

rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 2.1.

W przypadku dowolnej płaszczyzny

określonej przy pomocy prostych lub punktów

dowolna prosta leżąca na tej płaszczyźnie posiada punkty przynależne (przecięcia) z tą
płaszczyzną.

RZYKŁAD

2.3.

Dana

jest

płaszczyzna

określona

prostymi

s(s', s'')

i r(r', r'') przecinającymi się w punkcie P(P', P'') oraz rzut poziomy prostej t należącej do tej
płaszczyzny (rys.2.3). Wykreślić rzut pionowy prostej t.

Rys. 2.3

Prosta leży na płaszczyźnie, jeśli jej dwa różne punkty należą do tej płaszczyzny lub jeśli

przechodzi przez punkt leżący na płaszczyźnie i jest równoległa do prostej przynależnej do
płaszczyzny. Do konstrukcji brakującego rzutu prostej t można wykorzystać pierwszy
warunek przynależności prostej i płaszczyzny.

Prosta t ma dwa punkty wspólne z prostymi tworzącymi płaszczyznę, z prostą r' punkt 1'

oraz z prostą s' punkt 2'. Ponieważ prosta t należy do tej płaszczyzny, to rzuty pionowe 1'' i 2''
punktów 1 i 2 można odnieść na rzutach pionowych odpowiednich prostych r'' i s''. Następnie
przez wykreślone rzuty można poprowadzić szukany rzut t'' prostej t. Szczegółowe
rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 2.2.

Ze względu na pewne własności można wyróżnić charakterystyczne proste płaszczyzny:

proste

poziome

–

są

proste

równoległe

rzutni

poziomej;

wynika

z tego, że prosta p (rys.2.4) jest równoległa do śladu poziomego h

płaszczyzny, a więc jej

rzut poziomy p' jest również równoległy do śladu poziomego tej płaszczyzny.
proste

czołowe

–

są

proste

równoległe

rzutni

pionowej;

wynika

z tego, że prosta c (rys.2.5) jest równoległa do śladu pionowego v

płaszczyzny, a więc jej rzut

pionowy c'' jest również równoległy do śladu pionowego tej płaszczyzny.

Rys. 2.4

Rys. 2.5

2.3

PRZYNALEśNOŚĆ PUNKTU I PŁASZCZYZNY

Konstrukcja punktu A, który leży na danej płaszczyźnie α wymaga wprowadzenia

pomocniczej prostej należącej do płaszczyzny α i zawierającej punkt A.

RZYKŁAD

2.4.

Wyznaczyć punkt należący do dowolnej płaszczyzny β(v

) (rys.2.6).

Rys. 2.6

Zgodnie z rys.2.6 płaszczyzna β jest wyznaczona przez swe ślady h

i v

przecinające się na osi rzutów x. Należy przyjąć w sposób dowolny rzut pionowy A''

punktu A leżącego w płaszczyźnie β. Przez A'' prowadzi się równolegle do osi x rzut pionowy
p'' prostej poziomej płaszczyzny β. Ślad prostej poziomej V

leży na przecięciu śladu

pionowego v

płaszczyzny β z rzutem pionowym p''. Odnosząc punkt V

na oś x otrzymuje się

rzut poziomy V

', przez który prowadzi się równolegle do śladu poziomego h

płaszczyzny β

rzut poziomy p' prostej p. Odnosząc A'' na prostą p' uzyskuje się rzut poziomy A' punktu A.

Zadanie można również rozwiązać wprowadzając prostą czołową c (rys.2.6). Konstrukcja

w tym przypadku jest analogiczna jak dla prostej poziomej p. Różnica polega na tym, że

najpierw obiera się rzut poziomy A' punktu A, przez który następnie prowadzi się równolegle
do osi x rzut poziomy c' prostej c. Na przecięciu c' i h

znajduje się ślad poziomy H

prostej c.

Po zrzutowaniu punktu H

na oś x otrzymuje się jego rzut pionowy H

''. Prosta c''

poprowadzona z punktu H

'' równolegle do v

jest rzutem pionowym prostej czołowej c. Rzut

pionowy A'' punktu A znajduje się na przecięciu proste c'' z odnoszącą poprowadzoną z
punktu A'. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 2.3.

P

RZYKŁAD

2.5. Znaleźć rzut poziomy trójkąta ABC leżącego na płaszczyźnie określonej

prostą k(k', k'') i punktem M(M', M'') (rys.2.7).

Rys. 2.7

Przez punkt M prowadzi się prostą n(n', n''), której odpowiednie rzuty są równoległe do

rzutów prostej k(k', k''). Rzuty k'' oraz n'' przecinają dany rzut pionowy trójkąta A''B''C'' w
punktach 1'', 2'', 3'' i 4''. Po zrzutowaniu tych punktów na rzuty poziome prostych k' i n'
otrzymuje się punkty 1', 2', 3', 4'. Następnie przez punkty 1' i 3' prowadzi się prostą
zawierającą krawędź A'B'. Przez rzuty poziome np. A' oraz 4' prowadzi się drugą prostą, która
zawiera krawędź A'C'. Następnie po zrzutowaniu punktów A'', B'' i C'' otrzymuje się na
odpowiednich prostych rzuty poziome A', B' oraz C' wierzchołków trójkąta, które po
połączeniu wyznaczają szukany rzut poziomy trójkąta ABC. Szczegółowe rozwiązanie
zadania przedstawiono w załączniku 2.4.

ELEMENTY WSPÓLNE

3.1

PUNKT WSPÓLNY DWÓCH PROSTYCH

Dwie proste a(a', a'') i b(b', b'') mają punkt wspólny P(P', P''), jeżeli należy on

równocześnie do obydwu prostych. Sytuacja ta ma miejsce w przypadku prostych
przecinających się (rys.3.1a). Jeżeli proste nie spełniają warunku prostych przecinających się
to wówczas są względem siebie równoległe (rys3.1b) lub skośne (rys.3.1c).

a''

b''

P''

a''

b''

Rys. 3.1

3.2

KRAWĘDŹ DWÓCH PŁASZCZYZN

Dane są dwie płaszczyzny α i β. Jeżeli płaszczyzny te nie są względem siebie równoległe,

to przecinają się, tworząc prostą zwaną krawędzią wspólną. Do wyznaczenia krawędzi
przecięcia wystarczy znaleźć:

dwa różne punkty leżące równocześnie na obydwu płaszczyznach,
lub

jeden punkt wspólny dla tych płaszczyzn i prostą do nich równoległą.

W przypadku dowolnych płaszczyzn α i β określonych śladami przyjmuje się, że ich

krawędź wspólna k jest prostą przynależną równocześnie do obydwu płaszczyzn a co za tym
idzie ślady krawędzi k (V

) leżą na odpowiednich śladach płaszczyzn α i β a dokładnie na

przecięciu się jednoimiennych śladów tych płaszczyzn.

RZYKŁAD

3.1.

Za pomocą śladów h

i v

oraz h

i v

przedstawiono płaszczyzny α i β

(rys.3.2). Znaleźć krawędź wspólną tych płaszczyzn.

k "

Rys. 3.2

Krawędź wspólna k płaszczyzn α i β, jako prosta leżąca na każdej

z nich, ma ślad poziomy umiejscowiony na przecięciu śladów poziomych tych płaszczyzn
H

×h

, a ślad pionowy na przecięciu ich śladów pionowych V

×v

. Rzuty prostej k

prowadzi się w sposób następujący: rzut poziomy k' – przez ślad poziomy H

oraz przez rzut

poziomy śladu pionowego V

', rzut pionowy k'' – przez ślad pionowy V

oraz przez rzut

pionowy śladu poziomego H

''. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w

załączniku 3.1.

Podobnie wyznaczamy krawędź k dla płaszczyzn α i β pokazanych na poniższych

rysunkach (rys.3.3a, b, c, d, e).

h = '

H''

k''

Rys. 3.3

Jeżeli płaszczyzny są określone w inny sposób niż przez ślady, albo ślady krawędzi są

punktami niedostępnymi (leżą poza obszarem naszego rysunku), wówczas najczęściej
wprowadza się sieczne płaszczyzny pomocnicze (poziomą, czołową i inne rzutujące).

RZYKŁAD

3.2. Wyznaczyć część wspólną płaszczyzn α i β określonych odpowiednio trzema

niewspółliniowymi punktami A, B, C (płaszczyzna α) oraz prostymi równoległymi d i e
(płaszczyzna β) (rys.3.4).

Rys. 3.4

Obie płaszczyzny można przeciąć pomocniczą płaszczyzną czołową γ. Następnie należy

wyznaczyć krawędź k

wspólną dla płaszczyzny pomocniczej γ oraz płaszczyzny α oraz

krawędź k

, wspólną dla płaszczyzn γ i β. Punkty 1 i 2 wyznaczają krawędź k

, której rzut

pionowy k

'' przechodzi przez rzuty 1'' i 2'', a rzut poziomy k

' pokrywa się ze śladem

płaszczyzny pomocniczej. Punkty 3 i 4 wyznaczają krawędź k

, której rzut pionowy k

przechodzi przez rzuty 3'' i 4'', a rzut poziomy k

', podobnie jak k

', pokrywa się ze śladem

płaszczyzny pomocniczej. Trzy płaszczyzny α, β i γ mają jeden punkt wspólny R=k

×k

przecięciu wykreślonych prostych. Tak więc punkt R(R', R'') stanowi pierwszy punkt wspólny
dla α i β. Aby skonstruować drugi punkt należy wprowadzić kolejną płaszczyznę pomocniczą,
np. czołową δ. Punkty 5 i 6 wyznaczają krawędź k

wspólną dla α i δ, zaś 7 i 8 krawędź k

wspólną dla β i δ. Proste k

i k

przecinają się w punkcie S=k

×k

, stanowiącym element

wspólny dla δ i danych dwóch płaszczyzn, a tym samym drugi szukany punkt. Punkty
S(S', S'') oraz R(R', R'') wyznaczają poszukiwaną krawędź k(k', k''), wspólną dla płaszczyzn α
i β. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 3.2.

3.3

PUNKT PRZEBICIA PŁASZCZYZNY PROSTĄ

Dana jest dowolna płaszczyzna α oraz dowolna prosta b. Jeżeli prosta b nie jest

równoległa do płaszczyzny α to posiada punkt wspólny R z tą płaszczyzną, zwany inaczej
punktem przebicia płaszczyzny α prostą b. W przypadku gdy prosta b leży na płaszczyźnie α
to żaden punkt wspólny prostej i płaszczyzny nie jest punktem przebicia.

RZYKŁAD

3.3. Dany jest ślad płaszczyzny poziomo rzutującej γ oraz rzuty dowolnej prostej l

(rys.3.5a). Wyznaczyć punkt przebicia danej płaszczyzny prostą l.

v = ''

Rys. 3.5

Rzut poziomy l' prostej l przecina się w punkcie P' ze śladem poziomym płaszczyzny

rzutującej γ. Jest to rzut punktu, w którym prosta l przebija płaszczyznę γ. Należy on
jednocześnie do danej prostej płaszczyzny. Odnosząc punkt P'', na rzucie pionowym l'' prostej
l, otrzymuje się rzut pionowy punktu przebicia P.

Wyznaczenie punktu przebicia dla wszystkich charakterystycznych płaszczyzn przez

dowolną prostą następuje w podobny sposób. Na rysunkach 3.5b i 3.5c wykreślono punkty
przebicia na płaszczyźnie podwójnie rzutującej oraz płaszczyźnie poziomej.

Konstrukcja wyznaczenia punktu przebicia dowolnej prostej b z dowolną płaszczyzną α
składa się z następujących etapów (rys.3.6):
1.

Poprowadzenie przez prostą b płaszczyzny pomocniczej γ, najlepiej rzutującej;

Wyznaczenie krawędzi k wspólnej dla płaszczyzny danej i pomocniczej, k= α

γ;

Znalezienie punktu P przecięcia prostej b z krawędzią wspólną k, który jest szukanym
punktem przebicia płaszczyzny α prostą b.

Rys. 3.6

RZYKŁAD

3.4. Dane są ślady dowolnej płaszczyzny α oraz rzuty dowolnej prostej b (rys.3.7).

Należy wyznaczyć punkt przebicia tej płaszczyzny prostą b.

X V

Rys. 3.7

Zgodnie z powyższym, przez odpowiedni rzut prostej b prowadzi się płaszczyznę

poziomo rzutującą γ i wyznacza krawędź k wspólną dla α i γ. Rzut pionowy k'' wyznaczony
jest przez rzut H

'' i ślad V

, natomiast rzut poziomy k' – przez rzut V

' i ślad H

. Szukany

punkt P, punkt przecięcia krawędzi k z prostą b, jest rozwiązaniem zadania. Szczegółowe
rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 3.3.

RZYKŁAD

3.6. Wyznaczyć punkt przebicia nieprzeźroczystego trójkąta ABC przez dowolną

prostą m oraz określić widoczność tej prostej (rys.3.8).

Rys. 3.8

W celu rozwiązania zadania wprowadza się płaszczyznę pionowo rzutującą γ tak aby

zawierała prostą m (ślad v

pokrywa się z rzutem m''). Następnym krokiem jest wyznaczenie

krawędzi k wspólnej dla płaszczyzny γ i płaszczyzny trójkąta ABC. Rzut pionowy k''
krawędzi k pokrywa się zarówno ze śladem pionowym płaszczyzny jak i rzutem pionowym
prostej m (k''= v

= m''). Rzut pionowy k'' krawędzi przynależnej do trójkąta ABC przecina

jego boki w punktach 1'' i 2''. Po wyznaczeniu rzutów poziomych punktów 1' i 2' można
wyznaczyć rzut poziomy k' krawędzi przecięcia. Rzut poziomy k' przecina się z rzutem m' w
punkcie P', który jest rzutem poziomym szukanego punktu przebicia. Rzut pionowy P''
znajduje się na przecięciu odnoszącej poprowadzonej z punktu P z rzutem k'' prostej k.

Widoczność prostej m wyznacza się poprzez określenie widoczności rzutu pionowego i

poziomego tej prostej. Wyznaczając widoczność prostej m w rzucie pionowym należy
wyznaczyć dwa punkty 1'' i 3'' jednoczące się w rzucie pionowym przy czym niech punkt 1
leży na boku trójkąta AB a punkt 3 na prostej m. W kolejnym kroku należy wyznaczyć rzuty
poziome tych punktów 1' i 3' i sprawdzić, który z tych punktów ma większą głębokość.
Patrząc wzdłuż wskazanego kierunku można stwierdzić, że punkt 1 ma większą głębokość i w
pierwszej kolejności jest widoczny zasłaniając punkt 3 a co za tym idzie bok trójkąta AB
zasłania w rzycie pionowym prostą m co skutkuje brakiem widoczności tej prostej na
odcinku P''1''.

Podobnie wyznaczamy widoczność w rzucie poziomym wybierając pokrywające się

punkty 4' i 5' przy czym punkt 4 leży na prostej m a punkt 5 na boku AC. Po wyznaczeniu
rzutów pionowych 4'' i 5'' sprawdzamy który z tych punktów ma większą wysokość. Patrząc
wzdłuż wskazanego kierunku można stwierdzić, że punkt 4 ma większą wysokość i w
pierwszej kolejności jest widoczny zasłaniając punkt 5 a co za tym idzie prosta m w rzucie
poziomym zasłania bok trójkąta AC co skutkuje widocznością prostej m na odcinku 4’P’
i brakiem widoczności prostej m na odcinku P' 2'. Szczegółowe rozwiązanie zadania
przedstawiono w załączniku 3.4.

KŁADY

Kładem płaszczyzny α na płaszczyznę β nazywa się jej obrót dookoła prostej wspólnej

obydwu płaszczyzn l=α×β o kąt dwuścienny zawarty między tymi płaszczyznami (rys.4.1).
Praktyczne znaczenie ma kład wykonywany na jedną z rzutni (π

, π

) lub na płaszczyznę

równoległą do rzutni. Konstrukcja kładu umożliwia m.in. określenie wielkości kładzionych
figur.
Podniesienie z kładu płaszczyzny α jest konstrukcją odwrotną do kładu i ma na celu
określenie rzutów danej figury na płaszczyźnie α .

Rys. 4.1

Oznaczenia: Jeżeli płaszczyzna α jest prostopadła do rzutni (rzutująca) to jej kład, jak również
kłady wszystkich elementów leżących na α, oznacza się indeksem „

” w przeciwnym

przypadku – indeksem „

”.

4.1

KŁAD I PODNIESIENIE Z KŁADU PŁASZCZYZNY RZUTUJĄCEJ

Kład płaszczyzny poziomo-rzutującej na rzutnię π

przedstawiony został na rys.4.2. Osią

obrotu w tym przypadku jest ślad poziomy h

płaszczyzny α. Rzut poziomy A' nie zmienia

swego położenia natomiast kład punktu A

znajduje się na kładzie prostej rzutującej czyli na

prostej prostopadłej do śladu poziomego h

w odległości równej wysokości punktu A.

Jeżeli kład wykonywany jest na rzutnię pionową, to osią obrotu jest ślad pionowy v

tej

płaszczyzny.

Rys. 4.2

RZYKŁAD

4.1. Dane są rzuty trójkąta ABC leżącego na płaszczyźnie poziomo rzutującej α

(rys.4.3). Wyznaczyć wielkość trójkąta ABC.

Rys. 4.3

Osią obrotu jest ślad h

. Przez punkty A', B', C' należy wykreślić proste prostopadłe do

ladu h

i odmierzyć na nich odpowiednie wysokości punktów A, B i C. Wyznaczony kład

trójkąta ABC na rzutnię π

przedstawia wielkość tego trójkąta.

4.2

KŁAD

PODNIESIENIE

KŁADU

PŁASZCZYZNY

NIERZUTUJĄCEJ

4.2.1 KŁAD PUNKTU

Kładem punktu A na rzutnię π nazywamy obrót punktu A dookoła osi obrotu l leżącej na

rzutni π o taki skierowany kąt obrotu

aby po obrocie punkt A w nowym położeniu A

znalazł

się na rzutni π.

W celu dokonania kładu punktu A na rzutnię π

należy obrócić ten punkt dookoła zadanej

osi obrotu l leżącej na rzutni (rys.4.4). Osią obrotu jest najczęściej ślad płaszczyzny

lub

) przechodzącej prze ten punkt A. Obrót punktu A wykonuje się w przestrzeni na

płaszczyźnie

(

⊥

π) obracając go dookoła osi l (np śladu płaszczyzny) tak aby znalazł

się na rzutni π (punkt A

). W praktyce konstrukcję kładu należy przeprowadzić w

płaszczyźnie rysunku. W związku z tym kładziemy punkt A na rzutnię wykorzystując
konstrukcję kładu punktu w płaszczyźnie rzutującej. Kład punktu A

obracamy następnie

dookoła środka obrotu S aż zajmie nowe położenie A

na śladzie płaszczyzny

l=h

Rys. 4.4

Konstrukcja przestrzenna sprowadzona do płaszczyzny rysunku przedstawiona została na
rys.4.5 (rys.4.5a – kład punktu A na rzutnię π

, rys.4.5b – kład punktu A na rzutnię π

Rys. 4.5

Aby wykonać kład na rzutnię π danej figury leżącej w płaszczyźnie nierzutującej

wystarczy wyznaczyć kład A

tylko jednego dowolnego punktu A tej figury na rzutnię π

wykorzystując powyższą konstrukcję. Kłady pozostałych punktów można wyznaczyć w inny
sposób stosując zasadę powinowactwa osiowego czyli podobieństwa konstrukcji miedzy
kładami elementów a jego rzutami umieszczonymi po przeciwległej stronie osi obrotu (śladu
płaszczyzny). Podobne podobieństwo występuje pomiędzy rzutami pionowymi a poziomymi
elementów gdzie osia obrotu jest oś rzutów x.

RZYKŁAD

4.2. Dane są rzuty trójkąta ABC leżącego w płaszczyźnie nierzutującej

(rys.4.6).

Wykorzystując konstrukcję kładu wyznaczyć jego rzeczywista wielkość.

Rys. 4.6

W pierwszej kolejności należy wyznaczyć oś l względem której będziemy kłaść trójkąt

ABC. Jeśli będziemy wykonywać kład na rzutnie π

wówczas osią obrotu będzie ślad poziomy

płaszczyzny

. Ślad ten znajdujemy wprowadzając proste a i b przynależne do trójkąta

ABC a następnie wyznaczamy ślady poziome tych prostych H

i H

przez które prowadzimy

lad h

. Dokonujemy następnie kładu (obrotu dookoła śladu h

) punktu A na rzutnię π

stosując konstrukcję kładu punkty (rys 4.4 i 4.5).

Pozostałe punkty B i C można wyznaczyć podobnie jednak bardziej czytelne będzie

wykorzystanie zasady powinowactwa osiowego:
-skoro punkt B leży na prostej b to kład punktu B

będzie znajdował się na kładzie prostej b

- ślad H

prostej b leży na śladzie poziomym h

płaszczyzny

będącym osią powinowactwa a

punkty leżące na osi powinowactwa nie zmieniają swego położenia.
- kład punktu B

leży dodatkowo na prostej prostopadłej do osi powinowactwa (śladu h

)

odchodzącej od rzutu poziomego B'. Prosta ta to nic innego jak ślad poziomy płaszczyzny

po której obracamy dany punkt. Prosta B'B

nazywamy promieniem powinowactwa.

Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 4.1.

W przypadku kładu płaszczyzny rzutującej kąt pomiędzy kładzionym śladem (v

lub h

)

a osią obrotu (h

lub v

) jest równy 90

i wyznaczyć go można bezpośrednio prowadząc z

węzła płaszczyzny X

W przypadku kładu dowolnej płaszczyzny α kąt pomiędzy kładem śladu (v

lub h

) a

osią obrotu (h

lub v

) jest różny od 90

i wyznaczyć go można przy pomocy specjalnej

konstrukcji. Konstrukcję dokładną kładu dowolnej płaszczyzny α na rzutnię π

przedstawia

rys. 4.7a oraz uproszczoną rys. 4.7b.

Rys. 4.7

Osią obrotu jest ślad h

. Po wykonaniu kładu położenie zmieni ślad v

. Wprowadza się

najpierw punkt V (V', V"=V) leżący na v

. Przez punkt V' prowadzi się następnie prostą

prostopadłą do h

i przecinającą ją w punkcie S. Prosta ta jest śladem poziomym h

płaszczyzny poziomo rzutującej ε będącej płaszczyzna obrotu. Następnie należy wykonać
kład płaszczyzny ε, tj. prowadzi się przez punkt V' prostą prostopadłą do h

i odmierza na niej

wysokość punktu V. W rezultacie otrzymuje się kład V

punktu V. Teraz zataczając łuk o

rodku w punkcie S i promieniu SV

wyznacza się punkt przecięcia z prostą h

. Jest to kład V

punktu V. Węzeł X

nie zmieni położenia ponieważ leży na osi obrotu, więc punkty X

i V

wyznaczają kład v

śladu v

na rzutnię π

W konstrukcji uproszczonej przez punkt V' prowadzi się prostą prostopadłą do h

Następnie zatacza się łuk o środku w punkcie X

i promieniu X

V, który przecina się z prostą

w szukanym punkcie V

. Punkty X

i V

wyznaczają kład v

Podobnie wyznaczamy kłady płaszczyzny α na rzutnię π

przy czym osią obrotu jest ślad

(rys. 4.8)

Rys. 4.8

RZYKŁAD

4.2. Dane są ślady dowolnej płaszczyzny α (rys.4.9, 4.10). Wykreślić rzuty prostej

poziomej, czołowej i dowolnej należących do płaszczyzny α a następnie wykonać kłady
płaszczyzny wraz z prostymi na rzutnie π

i π

p" A"

Rys. 4.9

Rys. 4.10

Na rys.4.9a i 4.10a wprowadzona została prosta pozioma p, na rys.4.9b i 4.10b – prosta

czołowa c, natomiast na pozostałych – prosta dowolna a. Kład płaszczyzny α wraz z
wprowadzonymi prostymi na rzutnię π

przedstawiono na rys.4.9, natomiast na rzutnię π

– na

rys.4.10. Konstrukcja kładu płaszczyzny α na rzutnię π

i π

wyjaśniona została na rysunku

4.7 i 4.8.

Potrafiąc przeprowadzić konstrukcję kładu każdej prostej można wykonać kład

dowolnego punktu A przynależnego do prostych a tym samym do płaszczyzny α.

Dokonanie kładu dowolnej figury przynależnej do płaszczyzny α sprowadza się do

przeprowadzeniu

kładu

jej

poszczególnych

punktów

wykorzystując

konstrukcje

przedstawione na rys. 4.9 lub 4.10.

RZYKŁAD

4.3. Dana jest płaszczyzna α(h

, v

) (rys.4.11). Wykreślić na płaszczyźnie α trójkąt

równoramienny prostokątny.

Rys. 4.11

Na początku należy wykonać kład płaszczyzny α na jedną z rzutni, np. na rzutnię

poziomą (konstrukcja jak na rys.4.7) na którym wyznaczyć należy kład trójkąta A

dokonać jego podniesienia uzyskując jego rzuty poziome i pionowe. Można założyć, że punkt
A leży na śladzie pionowym v

przez co dokonując kładu śladu płaszczyzny uzyskujemy kład

punktu A

oraz jego rzut poziomy A'. Dobieramy następnie przykładowo kład punkt B

na osi

obrotu. Zgodnie z zasada powinowactwa osiowego kład punktu B

będzie jednocześnie

punktem B (B=B'). W rezultacie rzuty punktów A i B otrzymuje się bez dodatkowych
konstrukcji. Z punktu A

rysujemy kład prostej poziomej a

, na której zaznaczamy kład

trzeciego punktu C

. Podniesienie z kładu prostej a

pozwala wyznaczyć rzuty punktu C. Po

połączeniu odpowiednich rzutów punktów A, B i C otrzymuje się rzuty szukanego trójkąta.
Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 4.2.

RZYKŁAD

4.4. Dany jest rzut pionowy trójkąta ABC leżącego w płaszczyźnie α(h

, v

Dokonać kładu trójkąta na rzutnię π

(rys. 4.12).

Rys. 4.12

Do wykonania zadania konieczne jest przeprowadzenie dla każdego punktu trójkąta

konstrukcji kładu punktu przedstawionej na rysunku 4.9a. Szczegółowe rozwiązanie zadania
przedstawiono w załączniku 4.3.

Bardzo często stosowane są kłady nie na rzutnię π

i π

lecz na płaszczyznę równoległą

do tych rzutni. Mamy wówczas do czynienie z kładem różnicowym.

Kładem różnicowym punku A na płaszczyznę

równoległą do rzutni π nazywamy obrót

punktu A dookoła osi obrotu l leżącej na płaszczyźnie

o taki skierowany kąt obrotu

aby po

obrocie punkt A znalazł się w nowym położeniu A

na płaszczyźnie

RZYKŁAD

4.5. Dane są rzuty trójkąta ABC (rys. 4.13). Wyznaczyć wielkość trójkąta ABC

wykorzystując kład różnicowy.

=k"

B'=B

1'=1

Rys. 4.13

W pierwszej kolejności należy wprowadzić płaszczyznę kładu, np. jako płaszczyznę

poziomą γ oraz wyznaczyć krawędź k płaszczyzny γ i trójkąta ABC. Krawędź k jest osią
obrotu. Stosując zasady powinowactwa osiowego można wyznaczyć kłady wszystkich
punktów ABC. Kład punktu B pokrywa się z jego rzutem poziomym B' leżącym na osi obrotu.
Kład C

punktu C wyznacza się stosując konstrukcje kładu zgodnie z rys. 4.4, 4.5. Kład A

wyznacza się wykorzystując punkt 1'=1

. Punkt A jest współliniowy z punktami C i 1 przez

co jego kład A

również musi być współliniowy z C

i 1

. Prowadząc dodatkowo z punktu A'

prostą prostopadłą do osi obrotu k wyznaczamy punkt przecięcia z prostą poprowadzoną
przez C

i 1

uzyskując szukany kład A

. Trójkąt utworzony po połączeniu punktów A

, B

reprezentuje rzeczywistą wielkość trójkąta ABC. Szczegółowe rozwiązanie zadania

przedstawiono w załączniku 4.4.

RZYKŁAD

4.6. Wyznaczyć odległość punktu A od prostej m (rys.4.14).

= "=k"

1'=1

A'=A

Rys. 4.14

Aby wyznaczyć odległość punktu A od prostej m należy płaszczyznę, którą A i m

wyznaczają, położyć na rzutnię lub na płaszczyznę równoległą do rzutni. Płaszczyznę kładu
można obrać jako płaszczyznę poziomą α prowadząc v

=α'' przez punkt A''. Następnie należy

wyznaczyć krawędź k. Kłady punktów A i 1 pokrywają się z ich rzutami poziomymi. Aby
otrzymać

kład

prostej

należy

przyjąć

niej

dowolny

punkt

i wykonać jego kład. Punkty B

i 1

wyznaczają prostą m

. Odległość punktu A od prostej m to

odcinek prostopadły e wytyczony pomiędzy A

i m

. Szczegółowe rozwiązanie zadania

przedstawiono w załączniku 4.5.

RZUTY PROSTOKĄTNE NA TRZY WZAJEMNIE

PROSTOPADŁE RZUTNIE

Jeżeli do układu zawierającego rzutnię poziomą π

i pionową π

wprowadzi się trzecią

rzutnię π

prostopadłą do π

i π

to otrzymuje się układ trzech wzajemnie prostopadłych rzutni

(rys.5.1). Rzutnia π

nosi nazwę rzutni bocznej.

Dla opisu położenia punktu w przestrzeni otrzymuje się dodatkową współrzędną –

szerokość s. W tej sytuacji dany punkt A(A

, A

) można zapisać jako A(s, g, w), gdzie s –

szerokość, g – głębokość, w – wysokość.

A'''

(

)

(

)

Rys. 5.1

Uwaga: Przy tworzeniu trzeciego rzutu łuk (na rys.5.1 łuk A

-A

) zatacza się zawsze w

kierunku przeciwnym do wskazówek zegara.

W tak zdefiniowanym układzie rzutni prosta dowolna m (rys.5.2) ma trzy ślady: poziomy

×π

, pionowy V

×π

i boczny K

×π

. Ślad boczny K

prostej m jest takim jej

punktem, którego szerokość s równa się zero, zatem jego rzut poziomy K

' jest punktem

przecięcia prostej m' i osi y(

), natomiast rzut pionowy K

'' jest punktem przecięcia prostej

m'' i osi z.

lad boczny K

wyznacza się bezpośrednio z rzutów K

' i K

'' (rys.5.2) natomiast rzut

boczny m''' można skonstruować określając rzuty boczne co najmniej dwóch punktów
należących do prostej. Można do tego celu wykorzystać np. punkty H

i V

. Należy zwrócić

uwagę na fakt, że K

''' musi leżeć na prostej m''' wyznaczonej punktami H

''' i V

'''.

H'''

V'''

m'''

y( )

y (

)

Rys. 5.2

W układzie rzutni

płaszczyzna dowolna

(rys.5.3) przecina rzutnię poziomą w

ladzie poziomym h

, rzutnię pionową – w śladzie pionowym v

i rzutnię boczną – w śladzie

bocznym k

; osie rzutów zaś odpowiednio w węzłach X

, Y

, Z

)

Rys. 5.3

RZYKŁAD

5.1. Wykreślić rzuty punktu A(s, g, w) gdzie s=j (j – jednostka długości), g=2s,

w=-s oraz jego symetrycznego odbicia (punkt B) względem rzutni

(rys.5.4).

B'=A'

A'''

B'''

)

-s

Rys. 5.4

Na początku, zgodnie z danymi, konstruuje się rzuty punktu A. Jeżeli punkt B ma być

symetryczny do A względem

, to musi mieć tą samą głębokość i szerokość, natomiast

wysokość o przeciwnym znaku (rys.5.4).

RZYKŁAD

5.2. Prosta n

⊥

x (rys.5.5) określona jest punktami A(A', A'') i B(B', B''). Wyznaczyć

lady prostej n.

n'''

A'''

B'''

V'''

H'''

y( )

Rys. 5.5

W pierwszej kolejności należy skonstruować rzut boczny odcinka. Na rzucie tym

wyznacza się następnie rzuty boczne śladów: poziomego H

''' i pionowego V

''', które

następnie przenosi się na rzuty: poziomy i pionowy prostej n.

RZYKŁAD

5.3. Wyznaczyć odległości punktów A i B od prostej m (rys.5.6).

A'''

B'''

m'''

y( )

Rys. 5.6

Prosta m jest bocznie rzutująca (rzut boczny m''' jest punktem) więc aby rozwiązać zadanie
wystarczy wyznaczyć rzuty boczne prostej oraz punktów A i B. Odcinki e

i e

są szukanymi

odległościami punktów A i B od prostej m. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono
w załączniku 5.1.

WIELOŚCIANY

6.1

RZUTY WIELOŚCIANÓW

W celu wykreślenia rzutu prostokątnego wielościanu na odpowiednią rzutnię

, należy

wykonać rzuty prostokątne wszystkich jego wierzchołków, wyznaczając tym samym rzuty
wszystkich jego krawędzi. Krawędzie wielościanu tworzą jego ściany, które należy traktować
jako powierzchnie nieprzeźroczyste. Po zrzutowaniu pewne ściany mogą zasłaniać niektóre
krawędzie, dlatego ważną rzeczą jest określenie widoczności wszystkich krawędzi
wielościanu.

RZYKŁAD

6.1. Wykreślić rzuty ostrosłupa czterościennego, którego podstawa leży na rzutni

(rys.6.1). Określić widoczność jego krawędzi.

W'''

A''

B''

C''

D''

A'''

B'''

C'''

D'''

W''

(

)

Rys. 6.1

Na rzutni

jako podstawę ostrosłupa konstruuje się czworokąt płaski ABCD (A'=A,

B'=B, C'=C, D’=D) oraz przyjmuje się dowolny punkt W' będący rzutem poziomym
wierzchołka ostrosłupa. Następnie wyznacza się rzut pionowy podstawy A''B''C''D'' oraz
wierzchołka W''. Ponieważ podstawa ostrosłupa leży na rzutni

to rzuty pionowe punktów

podstawy znajdują się na osi rzutów x. Mając dane rzuty pionowe i poziome wszystkich
punktów ostrosłupa wyznacza się rzuty boczne tych punktów A''', B''', D''', C''', W'''. Aby
określić widoczność krawędzi w rzucie poziomym, należy patrzeć na rzut pionowy w
kierunku k

. Jedyną niewidoczną krawędzią jest krawędź podstawy AD, dlatego jej rzut

poziomy rysuje się linią przerywaną. Aby określić widoczność w rzucie pionowym, należy
patrzeć na rzut poziomy ostrosłupa w kierunku k

. Widać, że krawędź BW jest zasłonięta

przez ścianę ADW, dlatego rzut pionowy B''W'' rysuje się linią przerywaną. W przypadku
rzutu bocznego należy patrzeć w kierunku k

. Widać, że krawędź CW jest zasłonięta ścianą

ADW, w wyniku czego rzut boczny C'''W''' jest niewidoczny.

RZYKŁAD

6.2. Dany jest kład podstawy prostopadłościanu leżącej na płaszczyźnie pionowo

rzutującej

(rys.6.2). Wykreślić rzuty prostopadłościanu, przy czym jego wysokość wynosi

30mm.

A''

B''

C''

D''

1''

2''

3''

4''

Rys. 6.2

Na początku należy podnieść z kładu płaszczyznę

, a tym samym prostokąt A

będący podstawą prostopadłościanu. W wyniku tego otrzymuje się rzut pionowy A''B''C''D''
oraz poziomy A'B'C'D'. Następnie przez rzuty punktów A'', B'', C'', D'' prowadzi się proste
prostopadłe do płaszczyzny

. Na tych prostych, w odległości 30mm od rzutu pionowego

podstawy, wyznacza się rzut pionowy 1''2''3''4'', tworząc tym samym drugą podstawę
prostopadłościanu. Prowadząc proste odnoszące prostopadłe do osi rzutów x znajdujemy rzut
poziomy 1'2'3'4'. Patrząc z przodu (w kierunku k

) widać, że ściany 12BA oraz 24CB w rzucie

pionowym zasłaniają krawędź 3D. Patrząc z góry (w kierunku k

) widać, że ostatnią

krawędzią jest 4C, dlatego w rzucie poziomym jest ona niewidoczna, podobnie jak
odchodzące z punktu 4 krawędzie 34 i 24.

RZYKŁAD

6.3. Wykreślić rzuty ostrosłupa trójściennego prawidłowego, którego jeden bok

leży na rzutni

a podstawa na płaszczyźnie dowolnej

(rys.8.4).

S'' A''

k''

c''

Rys. 6.3

Ponieważ podstawa ostrosłupa leży na płaszczyźnie

, więc najpierw należy wyznaczyć kład

tej płaszczyzny na rzutnię

. Następnie można skonstruować kład podstawy ostrosłupa

trójściennego tzn. trójkąta równobocznego BCA

, tak aby jeden bok leżał na śladzie

pionowym v

. Po podniesieniu z kładu podstawy (przy pomocy prostych czołowych),

otrzymuje się rzut pionowy BCA'' (B'=B, C'=C), poziomy B'C'A' oraz rzuty środka podstawy
S. Przez środek S prowadzi się następnie prostą k prostopadłą do podstawy, a tym samym do
płaszczyzny

: k'

⊥

i k''

⊥

. Ponieważ jest to ostrosłup prawidłowy wierzchołek W leży na

prostej k. Ponadto z uwagi na to, że jedna ze ścian bocznych leży na rzutni π

rzut poziomy W'

wierzchołka W znajduje się na przecięciu rzutu k' prostej k z osią rzutów x. Wierzchołek W
jest jednocześnie śladem pionowym prostej k. Odcinek WS jest wysokością szukanego
ostrosłupa. Podstawa ABC i wszystkie krawędzie ścian bocznych są widoczne w obydwóch
rzutach. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 6.1.

6.2

PRZEKROJE WIELOŚCIANÓW

Przekrój wielościanu płaszczyzną jest zbiorem wszystkich punktów wspólnych

powierzchni wielościanu i płaszczyzny. Jest to więc wielokąt, którego boki są krawędziami
przecięcia ścian wielościanu (i ewentualnie podstaw) z płaszczyzną przekroju, a wierzchołki
punktami przecięcia krawędzi wielościanu tą płaszczyzną.

6.2.1

Przekrój wielościanu płaszczyzną rzutującą

RZYKŁAD

6.4. Dany jest graniastosłup czworokątny pochyły, którego podstawa leży na

rzutni poziomej

(rys.6.4). Wykreślić rzuty przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną

pionowo rzutującą

, v

A''

B''

C''

D''

1''

2''

3''

4''

A''

B''

C''

D''

Rys. 6.4

Płaszczyzna pionowo rzutująca

przecina krawędzie boczne graniastosłupa w punktach

1, 2, 3, 4. Punkty te tworzą wielobok (przekrój) graniastosłupa i nazywa się je wierzchołkami
przekroju. Rzut pionowy przekroju leży na śladzie pionowym v

płaszczyzny

i opisany jest

punktami 1'', 2'', 3'', 4''. Rzuty poziome 1', 2', 3', 4' wierzchołków przekroju znajdują się
bezpośrednio na rzutach poziomych odpowiednich krawędzi bocznych graniastosłupa.

6.2.2

Przekrój wielościanu płaszczyzną dowolną

RZYKŁAD

6.5. Dany jest rzut pionowy i poziomy graniastosłupa trójściennego prostego,

którego podstawa leży na rzutni poziomej

(rys.6.5). Wykreślić rzuty przekroju tego

graniastosłupa płaszczyzną dowolną

, v

1''

2''

3''

c''

A''

B''

C''

Rys. 6.5

Punkty 1, 2, 3 są wierzchołkami przekroju graniastosłupa trójściennego płaszczyzną

Ponieważ jest to graniastosłup prosty rzuty poziome wierzchołków 1', 2', 3' jednoczą się z
rzutami poziomymi wierzchołków obydwu podstaw. Rzuty pionowe 1'', 2'', 3'' wierzchołków
przekroju można wyznaczyć wprowadzając proste czołowe przynależne do płaszczyzny

RZYKŁAD

6.6. Dany jest rzut poziomy i pionowy ostrosłupa trójściennego, którego podstawa

leży na rzutni

(rys.6.6). Wykreślić rzuty przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną

, v

)

równoległą do osi rzutów x.

W''

W'''

)

C''' A'''

B'''

1'''

2'''

3'''

2''

1''

3''

A''

B''

C''

)

Rys. 6.6

Zadanie to można rozwiązać wykorzystując trzecią rzutnię

, ponieważ płaszczyzna

jest do tej rzutni prostopadła. Przekrój ostrosłupa w trzecim rzucie jednoczy się ze śladem
bocznym k

płaszczyzny

. Rzuty pionowe 1'', 2'', 3'' i poziome 1', 2', 3' wierzchołków

przekroju można wyznaczyć prowadząc proste odnoszące od rzutów bocznych 1''', 2''', 3'''.
Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 6.2.

RZYKŁAD

6.7. Dany jest graniastosłup trójścienny pochyły oraz dowolna płaszczyzna

(rys.6.7). Wykreślić rzuty przekroju graniastosłupa płaszczyzną

2''

3''

1''

C''

B''

A''

k''

III

C''

B''

A''

Rys. 6.7

Przekrój wielościanu dowolną płaszczyzną

można wykreślić traktując wierzchołki

przekroju jako punkty przebicia płaszczyzny

krawędziami wielościanu. W przykładzie tym

pierwszy wierzchołek przekroju 1 można potraktować jako punkt przebicia płaszczyzny

krawędzią AA

. Punkt ten można znaleźć stosując znaną metodę, wykorzystywaną przy

szukaniu punktu przebicia płaszczyzny dowolną prostą. Prowadzi się więc przez krawędź AA

płaszczyznę pionowo rzutującą

, a następnie wyznacza krawędź k przecięcia się płaszczyzn

. Punkt 1 przecięcia się krawędzi k z krawędzią AA

jest punktem przebicia płaszczyzny

krawędzią AA

, a tym samym pierwszym wierzchołkiem szukanego przekroju. Pozostałe

punkty 2 i 3 można wyznaczyć podobnie, prowadząc przez odpowiednie krawędzie
płaszczyzny rzutujące. Szybszym sposobem jest jednak wykorzystanie powinowactwa
osiowego wierzchołków przekroju z odpowiadającymi im wierzchołkami podstawy
graniastosłupa. Można zauważyć, że rzutnia pozioma

, płaszczyzna tnąca

i płaszczyzna

ciany bocznej

=CC

przecinają się w trzech krawędziach przechodzących przez

wspólny punkt I. Punkt ten wyznaczają krawędzie płaszczyzny

=AC. Trzecia

krawędź

=12 przejdzie więc przez punkt 1 i I. Prosta 1I leży na płaszczyźnie ściany

=CC

i przecina krawędź CC

graniastosłupa w wierzchołku 2 trójkąta przekroju.

Podobnie wyznaczany jest punkt II, w którym prosta przechodząca przez krawędź BC
przecina ślad h

Następnie wykreśla się prostą II2', która przecina rzut poziomy BB

krawędzi BB

w punkcie 3'. Otrzymane punkty 1', 2', 3' są rzutami poziomymi wierzchołków

przekroju 123. Rzuty pionowe znajdują się na odpowiednich odnoszących. Proste
przechodzące przez boki AB i 1'3' powinny przecinać się w jednym punkcie III na śladzie
poziomym h

płaszczyzny

. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w

załączniku 6.3.

6.3

PUNKT PRZEBICIA WIELOŚCIANU PROSTĄ

Punkt

przebicia

wielościanu

prostą

jest

punkt

wspólny

tej

prostej

i ściany wielościanu (prosta nie może leżeć na tej ścianie). Aby wyznaczyć punkt przebicia
wielościanu prostą m (rys.6.8) należy przez prostą m poprowadzić pomocniczą płaszczyznę

która przetnie wielościan w wielokącie 123. Następnie wyznacza się punkty przebicia J, K
będące punktami przecięcia się prostej m z bokami przekroju 123.

Rys. 6.8

Bezpośrednie wyznaczenie punktu przebicia możliwe jest, gdy przebijająca prosta jest

prostą rzutującą (rys.6.9a), lub gdy przebite ściany wielościanu są rzutujące (rys.8.9b).
W pierwszym przypadku należy wprowadzić pomocniczą prostą k (k' przechodzi przez rzut
poziomy W' wierzchołka W oraz przez rzuty punktów przebicia J', K', które jednoczą się z
rzutem poziomym m' prostej m).

m''

J''

K''

k''

1''

W''

m''

J''

K''

Rys. 6.9

RZYKŁAD

6.8. Dane są rzuty ostrosłupa trójściennego oraz rzuty prostej m (rys.6.10).

Wyznaczyć punkty przebicia ostrosłupa prostą m.

A''

B''

C''

J''

K''

1''

2''

3''

W''

m''

Rys. 6.10

Punkty przebicia J, K wielościanu prostą m można wykreślić prowadząc przez prostą

płaszczyznę rzutującą

. Dzięki temu można bezpośrednio znaleźć wierzchołki 1, 2, 3

przekroju ostrosłupa płaszczyzną

, a następnie punkty przebicia J i K, które są punktami

przecięcia prostej m z bokami przekroju.

RZYKŁAD

6.9. Dany jest ostrosłup trójścienny, którego podstawa leży na rzutni

oraz prosta

(rys.6.11). Wyznaczyć punkty przebicia ostrosłupa prostą m.

Rys. 6.11

Ostrosłup ten ma szczególne położenie ponieważ rzuty krawędzi WB są prostopadłe do x

(W''B''

⊥

i W'B

⊥

). Znalezienie wierzchołka przekroju na tej krawędzi jest niemożliwe przy

wykorzystaniu konstrukcji z płaszczyzną rzutującą. W tym przypadku należy wprowadzić
pomocniczą płaszczyznę

przez prostą m i wierzchołek W ostrosłupa. Należy więc przez

wierzchołek W poprowadzić drugą prostą n przecinającą prostą m w punkcie R (lub
równoległą do prostej m). Proste n i m tworzą płaszczyznę

, która przecina rzutnię poziomą

wzdłuż śladu h

. Ślad h

przecina podstawę ostrosłupa w punktach 1 i 2, które są dwoma

wierzchołkami przekroju. Ponieważ płaszczyzna

przechodzi również przez wierzchołek W

tak więc jest on trzecim wierzchołkiem przekroju. Łącząc punkty 1, 2 i W' otrzymuje się rzut
poziomy przekroju ostrosłupa płaszczyzną

. Punkty przecięcia w rzucie poziomym prostej m

z bokami przekroju są punktami przebicia J i K ostrosłupa prostą m. Rzuty pionowe tych
punktów znajdują się na przecięciu prostych odnoszących z rzutem pionowym m'' prostej m.
Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 6.4.

6.4

PRZENIKANIE WIELOŚCIANÓW

Część wspólną dwu powierzchni (zbiór wszystkich punktów wspólnych obu

powierzchni) nazywa się linią przenikania powierzchni. Gdy weźmie się pod uwagę
wielościany, to do linii przenikania należą punkty przebicia krawędzi jednego wielościanu ze
ś

cianami drugiego (i odwrotnie), zwane wierzchołkami linii przenikania oraz krawędzie,

w których przecinają się ściany wielościanów tzw. boki linii przenikania. Wierzchołki i boki
linii przenikania tworzą wielokąt przenikania.

W rozdziale tym opisane zostały elementarne przykłady przenikania wielościanów. Nie

wymagają one wprowadzania pomocniczej siatki ułatwiającej wyznaczenie wielokąta
przenikania.

RZYKŁAD

6.10. Dane są rzuty poziome oraz pionowe graniastosłupa sześciościennego

prawidłowego o podstawie leżącej na rzutni

i graniastosłupa trójściennego prawidłowego o

krawędziach bocznych równoległych do osi rzutów x (rys.6.12). Wyznaczyć rzuty linii
przenikania tych graniastosłupów.

3''

9''

5''

4''

11''

7''

8''

2'' 12''

10''

6''

11'

12'

7' 8'

10'

1'''

2'''

10'''

12'''

6'''

8'''

5'''

7'''

3'''4'''

9'''

11'''

1''

)

y (

)

Rys. 6.12

Wierzchołkami linii przenikania są punkty przebicia ścian bocznych graniastosłupa

sześciościennego krawędziami drugiego graniastosłupa (punkty 1, 2, 3, 4) i odwrotnie
(pozostałe punkty). Ponieważ krawędzie graniastosłupa sześciościennego są prostopadłe do
rzutni

wyznaczenie rzutu poziomego linii przenikania nie stwarza problemu, gdyż

jednoczy się on z rzutem poziomym podstawy tego graniastosłupa.

Aby wykreślić rzut pionowy linii przenikania należy wykorzystać rzut boczny obydwóch

graniastosłupów. W rzucie tym krawędzie graniastosłupa trójściennego są rzutujące, dzięki
czemu rzuty boczne: linii przenikania i podstawy graniastosłupa trójściennego jednoczą się.
Wyznaczenie rzutów pionowych wierzchołków linii przenikania polega na poprowadzeniu
odpowiednio prostych odnoszących od rzutów poziomych i bocznych tych punktów. Na
koniec należy jeszcze określić widoczność odpowiednich boków linii przenikania.
Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 6.5.

RZYKŁAD

6.10. Dane są rzuty graniastosłupa ośmiościennego prawidłowego oraz ostrosłupa

czterościennego prawidłowego o podstawie leżącej na rzutni

(rys.6.13). Wyznaczyć rzuty

linii przenikania tych graniastosłupów.

Rys. 6.13

Krawędzie ostrosłupa przebijają odpowiednie ściany boczne graniastosłupa w punktach

1, 2, 3, 4

. Ponieważ ściany te są poziomo rzutujące, punkty te są miejscami przecięcia (w

rzucie poziomym) krawędzi ostrosłupa ze ścianami bocznymi graniastosłupa. Rzuty pionowe
1'', 2'', 3'', 4''

punktów przebicia (wierzchołków linii przenikania) znajdują się odpowiednio

na rzutach pionowych krawędzi ostrosłupa. Pozostałe wierzchołki 5

są punktami przebicia

cian ostrosłupa krawędziami graniastosłupa. Rzuty poziome tych punktów jednoczą się z

wierzchołkami podstawy graniastosłupa. Ponieważ ściany boczne ostrosłupa WAB i WDC są
płaszczyznami pionowo rzutującymi, rzuty pionowe punktów przebicia 5'', 6'' i 9'', 10'' są
punktami przecięcia rzutów pionowych krawędzi graniastosłupa z rzutami pionowymi ścian
ostrosłupa. Ponieważ są to wielościany prawidłowe wysokości punktów 7, 12 oraz 8, 11 są
takie ja wysokości punktów 5, 6, 9, 10.

PRZENIKANIE POWIERZCHNI

7.1

PRZENIKANIE DWÓCH POWIERZCHNI OBROTOWYCH

Zbiór punktów wspólnych dwóch powierzchni nosi nazwę linii przenikania tych

powierzchni. Linia przenikania jest krzywą przestrzenną.

Punkty linii przenikania można wyznaczyć za pośrednictwem:

−

pomocniczych płaszczyzn siecznych,

−

pomocniczych kul.

W obydwu przypadkach konstrukcja składa się z kilku etapów:

wprowadzenie płaszczyzny (bądź kuli),

wyznaczenie przekrojów powierzchni wprowadzoną płaszczyzną (dla kuli należy
wyznaczyć linie przenikania kuli z każdą z powierzchni),

punkty wspólne wyznaczonych przekrojów (lub linii przenikania) wyznaczają szukaną
linię przenikania powierzchni.

Przy dobieraniu płaszczyzn siecznych należy pamiętać o tym, aby przekrój płaszczyzny z

każdą z powierzchni był łatwy do wyznaczenia w rzutach (np. okrąg, linie proste). Z kolei w
przypadku kul linia przenikania kuli z każdą z płaszczyzn powinna być okręgiem.

Przykłady przedstawione w dalszej części podrozdziału zostały tak dobrane, aby

wyznaczenie punktów linii przenikania mogło być zrealizowane za pomocą płaszczyzn
siecznych.

Na rys.9.1a przedstawiono poglądowo konstrukcję punktów 1 i 2 linii przenikania dwóch

powierzchni stożkowych Γ

i Γ

. Płaszczyzna sieczna γ, równoległa do rzutni π

, przecina

powierzchnie Γ

i Γ

odpowiednio w okręgach k

i k

, których rzuty poziome k

' i k

' są

również okręgami. Punkty przecięcia 1' i 2' okręgów k

' i k

' pozwalają wyznaczyć punkty 1

i 2 szukanej linii przenikania. Rys.7.1b przedstawia to samo w rzutach w układzie x(π

, π

1''

2''

k''

v =

W''

Rys. 7.1

RZYKŁAD

7.1. Wykreślić rzuty linii przenikania dwóch powierzchni walcowych obrotowych

i Γ

, których osie l i m przecinają się w punkcie R (rys.7.2).

Punkty linii przenikania można wyznaczyć za pośrednictwem płaszczyzn siecznych

poziomo rzutujących (punkty 1

4 za pomocą płaszczyzny γ

). Płaszczyzna γ

przecina

powierzchnię Γ

w prostych p i q, natomiast powierzchnię Γ

w prostych r i s. Proste p i q

oraz r i s obrazują przekroje analizowanych powierzchni płaszczyzną γ

. Rzuty prostych p i q

otrzymuje się bezpośrednio. Rzuty poziome s' i r' prostych s i r pokrywają się z h

γ1

, natomiast

rzuty pionowe s'' i r'' można wyznaczyć przy pomocy kładu k

kierownicy k

powierzchni Γ

na pomocniczą płaszczyznę poziomą φ.

Punkty 1

4 znajdują się na przecięciu odpowiednich prostych: punkt 1 – proste p i r,

punkt 2 – proste p i s, punkt 3 – proste q i r, punkt 4 – proste q i s. Punkty graniczne 5

konstruuje się za pośrednictwem płaszczyzn poziomo rzutujących stycznych do Γ

(np.

płaszczyzna γ

), natomiast punkty 9

12 – za pomocą płaszczyzny zawierającej oś m

powierzchni Γ

Pozostałe punkty linii przenikania konstruuje się analogicznie. Im więcej wprowadzonych

płaszczyzn siecznych tym linia przenikania jest wyznaczona dokładniej. Szczegółowe
rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 7.1.

l''

l'=R'

m''

1''

2''

3''

4''

5''

6''

7''

8''

9''

10''

11''

12''

p''

q''

s''

r''

v = ''

9'=10'

1'=2'=p'

3'=4'=q'

11'=12'

k''

R''

s'=r'=h

Rys. 7.2

RZYKŁAD

7.2. Wykreślić rzuty linii przenikania dwóch powierzchni walcowych obrotowych

i Γ

stycznych w punkcie 1 (rys.7.3).

1''

1'''

2'=3'

4'=5'

6''

7''

2''

3''

4''

5''

h =

6'''
7'''

2'''

4'''

3'''
5'''

'''

Rys. 7.3

Punkty linii przenikania można wyznaczyć za pośrednictwem płaszczyzn czołowych, np.

punkty 2

– płaszczyzna γ

. Punkty graniczne 1, 6 i 7 wyznacza się za pomocą płaszczyzn

czołowych γ

i γ

stycznych do powierzchni Γ

. Rzuty poziome tych punktów leżą na śladach

poziomych odpowiednich płaszczyzn siecznych. Aby wyznaczyć rzuty pionowe można
skorzystać z faktu, że powierzchnia Γ

jest bocznie rzutująca. Po wyznaczeniu rzutów

bocznych obydwu powierzchni, punktów oraz śladów bocznych płaszczyzn siecznych,
szukane rzuty pionowe punktów można wykreślić za pomocą odpowiednich prostych
odnoszących.

RZYKŁAD

7.3. Wykreślić rzuty linii przenikania powierzchni stożkowej obrotowej Γ

powierzchnią kuli Γ

(rys.7.4).

1''

2''

W''

O''

3''=4''

k''

v =

h =

Rys. 7.4

Punkty linii przenikania można skonstruować za pośrednictwem płaszczyzn poziomych.

Przekrój powierzchni kuli płaszczyzną poziomą α jest okręgiem k

, natomiast przekrój

powierzchni stożkowej jest okręgiem k

. Punkty 3 i 4 wspólne okręgów k

i k

są szukanymi

punktami linii przenikania. Kolejne punkty wyznacza się w analogiczny sposób. Punkty
szczególne: najwyższy 1 i najniższy 2 wyznacza się za pośrednictwem płaszczyzny czołowej
β.

7.2

PRZENIKANIE POWIERZCHNI Z WIELOŚCIANAMI

Zbiór punktów wspólnych powierzchni i ścian wielościanu nosi nazwę linii przenikania

tej powierzchni i tego wielościanu.

Krawędzie wielościanu przebijają powierzchnię w punktach, a ściany wielościanu – w

krzywych. Konstrukcja punktów linii przenikania, w przypadku ogólnym, polega więc na
wyznaczeniu:

punktów przebicia powierzchni krawędziami wielościanu,

punktów przebicia ścian wielościanu liniami zarysu powierzchni,

punktów przebicia powierzchni kilkoma prostymi obranymi na odpowiednich
ś

cianach wielościanu albo punktów przebicia odpowiednich ścian wielościanu

kilkoma liniami przyjętymi na powierzchni.

Linię przenikania można także skonstruować posługując się pomocniczymi

płaszczyznami siecznymi. Punkty wspólne odpowiednich par przekrojów są punktami linii
przenikania. Ten sposób wykorzystany został w przykładach zamieszczonych w dalszej części
tego podrozdziału.

RZYKŁAD

7.4. Wykreślić rzuty linii przenikania powierzchni stożkowej obrotowej z

pobocznicą graniastosłupa czterościennego prawidłowego (rys.7.5).

W''

1''

2''=4''

3''

10'

11'

12'

A''=B''

C''=D''

5''

10''

6''

9''

11''

12''

7''

8''

Rys. 7.5

Punkty linii przenikania można skonstruować za pośrednictwem płaszczyzn poziomych.

Przecinają one powierzchnię stożkową w okręgach, natomiast graniastosłup – w kwadratach
pokrywających się w rzucie poziomym z kwadratem A'B'C'D'. Punkty 1

otrzymuje się

dzięki płaszczyźnie γ

, punkty 5

– dzięki płaszczyźnie γ

, punkty A

– dzięki

płaszczyźnie γ

. Należy zwrócić uwagę, że linia przenikania składa się w tym przypadku z

odcinków łukowych czterech hiperbol.

RZYKŁAD

7.5. Wykreślić rzuty linii przenikania powierzchni stożkowej obrotowej z

pobocznicą graniastosłupa czterościennego prostego (rys.7.6).

k''

W''

1''=2''

3''=4''

Rys. 7.6

Linię przenikania można wyznaczyć przy pomocy płaszczyzn czołowych (α, β) oraz

płaszczyzny pionowo rzutującej γ poprowadzonych przez odpowiednie ściany wielościanu.
Płaszczyzny α i β przecinają powierzchnię stożkową w okręgach k

i k

, których łuki 12 i 34

należą do linii przenikania. Płaszczyzna γ przecina powierzchnię stożkową w hiperboli k

której odcinki łukowe 13 i 24 należą do linii przenikania.

Przykład ten pokazuje, że linię przenikania można wyznaczyć bardzo szybko, jeśli zna się

typ krzywej (np. elipsa, hiperbola, parabola, okrąg) powstającej po przecięciu danej
powierzchni płaszczyzną poprowadzoną przez określoną ścianę wielościanu.

Oczywiście to samo rozwiązanie można uzyskać stosując odpowiednio dużą liczbę

poziomych płaszczyzn siecznych (pomiędzy α i β).

RZUTY PROSTOKĄTNE NA SZEŚĆ RZUTNI

Rzuty prostokątne na sześć rzutni polegają na wyznaczeniu wzajemnie prostopadłych

rzutów, zakładając, że przedmiot ustawiony jest między obserwatorem i rzutnią, czyli wg tzw.
metody europejskiej (rys.8.1a). Rzutnie te tworzą prostopadłościan (lub sześcian), po
rozwinięciu którego otrzymuje się układ rzutów jak na rys.8.1b. Na rysunkach technicznych
pomija się kreślenie zarysów rzutni oraz zaznaczanie osi rzutów między poszczególnymi
rzutami.

rzutnia dla
kierunku A

Rys. 8.1

Istnieje również metoda amerykańska rzutowania na ściany sześcianów. W metodzie tej

rzutnia znajduje się pomiędzy przedmiotem a obserwatorem. Metoda ta stosowana jest w
rysunku technicznym maszynowym np. do rysowania widoków cząstkowych

P

RZYKŁADY

. Wykreślić rzuty prostokątne na sześć rzutni przedmiotów przedstawionych na

rysunkach 8.2

8.8 stosując metodę europejską. Dokładny kształty przedmiotów

przedstawione są w rzutach aksonometrycznych (rys. b)

W pierwszych dwóch przykładach (rys.8.2, 8.3) zostały narysowane zarysy rzutni oraz
najistotniejsze linie pomocnicze, "wiążące" poszczególne rzuty, w celu lepszego zrozumienia
zagadnienia. W trzecim przykładzie (rys.8.4) zaznaczono natomiast tylko istotne linie
pomocnicze.

Rys. 8.2

Rys. 8.3

Rys. 8.4

Rys. 8.5

Rys. 8.6

Rys. 8.7

9 AKSONOMETRIA

Poniższe zagadnienia dotyczące rzutów aksonometrycznych zostały opracowane na podstawie
aktualnej normy PN-EN ISO 5456-3:2002.

W rysunku technicznym zalecane jest stosowanie następujących rodzajów aksonometrii:
1. Aksonometria ukośna
2. Aksonometria izometryczna
3. Aksonometria dimetryczna

W aksonometrii modele w układzie przestrzennym XYZ przedstawiane są w płaszczyźnie
rysunku w zrzutowanym układzie X’Y’Z’. Długości jednostkowe u

, u

na trzech osiach

współrzędnych X, Y, Z są odpowiednio rzutowane na płaszczyznę rysunku jako trzy odcinki
u

’

, u

’

, u

’

o jednakowej długości lub odpowiednio skrócone.

9.1 AKSONOMETRIA UKOŚNA

Można wyróżnić dwa rodzaje aksonometrii ukośnej:

a) aksonometria kawalerska,
b) aksonometria wojskowa (planometryczna).

Aksonometria kawalerska

Umożliwia przedstawienie bryły (elementu maszynowego) w aksonometrycznym

układzie współrzędnym, w którym osie aksonometryczne pozioma X’ i pionowa Z’ tworzą
kat prosty a oś Y’ może mieć kierunek dowolny. Oś Y’ najczęściej nachylona jest pod kątem

= 45

(rys. 9.1).

Rys. 9.1

Figury płaskie leżące na płaszczyźnie ZX oraz na płaszczyznach do nich równoległych

rysuje się bez zniekształceń, bez skróceń aksonometrycznych. Szczególnie jest to korzystne w
przypadku rysowania elementów, w których występuje dużo okręgów.
Można rozróżnić dwa przypadki aksonometrii kawalerskiej:
a) bez skróceń aksonometrycznych wówczas stosunek trzech podziałek wynosi

’

: u

’

: u

’

= 1:1:1

b) ze skróceniem aksonometrycznym 0.5 wzdłuż osi Y’ wówczas stosunek trzech podziałek

wynosi u

’

: u

’

: u

’

= 1:0.5:1

Przykład modelu przedstawionego z wykorzystaniem aksonometrii kawalerskiej ze skrótem
aksonometrycznym 0.5 wzdłuż osi Y przedstawia rysunek 9.2.

Rys. 9.2

Aksonometria wojskowa (planometryczna)

Stosowana jest najczęściej do poglądowego przedstawienia obiektów budowlanych.

W aksonometrii tej płaszczyzna rzutu jest równoległa do poziomej płaszczyzny
współrzędnych X’Y’. Osie te tworzą kąt prosty. Oś Z’ rysuje się pionowo, oś X’ nachylona
do poziomu pod katem

180

a oś Y’ pod kątem

=90

. Rzuty wykonuje się bez

skróceń aksonometrycznych tak więc u

’

: u

’

: u

’

= 1:1:1 (rys. 9.3).

Rys. 9.3

Istnieje możliwość zastosowania skrótu aksonometrycznego jedynie wzdłuż osi Z wówczas
u

’

: u

’

: u

’

= 1:1:2/3

9.2 AKSONOMETRIA IZOMETRYCZNA

Aksonometria izometryczna jest aksonometrią prostokątną, w której płaszczyzna rzutu

tworzy trzy równe kąty z trzema osiami współrzędnych X, Y i Z.
Trzy odcinki o długościach jednostkowych u

, u

są odpowiednio rzutowane prostopadle

na płaszczyznę rzutu na rzutach osi X’, Y’ i Z’ jako trzy równe odcinki u

’

, u

’

, u

’

długościach u

’

= u

’

= u

’

(2/3)

1/2

= 0.816 (rys. 9.4).

Rys. 9.4

W praktyce na rysunku odcinki o długościach jednostkowych na osiach X’, Y’ i Z’ są
przyjmowane jako u

’

= u

’

= u

’

1. Wymiary przedmiotu zwiększone są wówczas

współczynnikiem (3/2)

1/2

=1,225

9.3 AKSONOMETRIA DIMETRYCZNA

W aksonometrii di metrycznej stosunek trzech podziałek wynosi u

’

: u

’

: u

’

= 1/2:1:1.

Os Y’ nachylona jest do poziomu pod kątem

,a os Y’ pod kątem

=42

(rys. 9.5).

Rys. 9.5

10 DOKUMENTACJA TECHNICZNA WYROBU

10.1 ARKUSZE RYSUNKOWE

Wymiary i układ arkuszy rysunkowych opisano na podstawie obowiązujących norm:

PN-EN ISO 5457:2002,(EN ISO 5457:1999).

Rozmiar arkusza rysunkowego powinien być jak najmniejszy z możliwych, ale tak

dobrany aby zapewnił uzyskanie niezbędnej czytelności rysunku. Każdy arkusz rysunkowy
powinien posiadać ramkę pola rysunkowego oddzielającą pole rysunkowe od obramowania.
Rodzaje formatów rysunkowych typu A oraz wymiary pola rysunkowego przedstawia
tabela 10.1.

Obramowanie od lewego brzegu, łącznie z ramką, powinno mieć szerokość 20 mm

(może służyć jako margines do wpinania arkuszy). Wszystkie inne obramowania mają
szerokość 10 mm (rys. 10.1). Ramka ograniczająca pole rysunkowe powinna być wykonana
linią ciągłą o grubości 0,7 mm.

Tab. 10.1.Wymiary formatów i pól rysunkowych

Oznaczenie

Rysunek

Arkusz obci

Pole rysunkowe

Arkusz nieobci

a2 ±0,5

b2 ±0,5

a3 ±2

b3 ±2

841

1 189

821

1 159

880

1 230

594

841

574

811

625

880

420

594

400

564

450

625

297

420

277

390

330

450

210

297

180

277

240

330

Rys. 10.1. Wymiary pola rysunkowego: a) od A3 do A0, b) dla formatu A4

Niekiedy zachodzi konieczność zastosowania formatów wydłużonych jednak zaleca

się unikania takiego rozwiązania. W razie potrzeby są one tworzone m.in. z kombinacji
wymiarów krótszego boku formatu serii A (np. A2) z wymiarami dłuższego boku innego,
większego formatu serii A (np. A1). W wyniku powstaje nowy format, o oznaczeniu A2.1.
Budowę systemów formatów przedstawiono na rysunku 10.2.

Rys. 10.2. System wydłużonych formatów rysunkowych

W celu łatwiejszej lokalizacji szczegółów obramowanie arkusza powinno być

podzielone na pola tworzące system siatki odniesienia (rys. 10.3). Zaleca się oznaczanie pól
na wszystkich bokach arkusza w obramowaniu: pola pionowe - wielkie litery (bez I i O), pola
poziome – cyfry (na A4 opis tylko na górnym i prawym boku obramowania). Wielkość liter i
znaków 3,5 mm; długość pola 50 mm. Linie systemu odniesienia, to linie ciągłe o grubości
0,35 mm.

Rys. 10.3.

System siatki odniesienia: 1 – granica formatu arkusza rysunkowego, 2 – obramowanie , 3 – system

siatki odniesienia, 4 – ramka pola rysunkowego, 5 – pole rysunkowe, 6 – obramowanie arkusza przed obcięciem

do właściwego formatu

Początek podziału pól od znaków centrujących oraz liczba pól zależy od przyjętego

formatu (tab. 10.2).

Tab. 10.2. Liczba pól siatki odniesienia

Oznaczenie

bok długi

bok krótki

Format arkuszy rysunkowych wkładanych do kopert lub teczek składa się na format

zasadniczy A4. W pierwszej kolejności należy przeprowadzać składanie w harmonijkę
wzdłuż wyobrażalnych linii prostopadłych do podstawy arkusza określonej położeniem
tabliczki rysunkowej (odległość 210mm), a następnie wzdłuż wyobrażalnych linii poziomych
(odległość 297mm). Arkusze po złożeniu powinny mieć tabliczkę rysunkową na stronie
wierzchniej. Kolejność składania linii (od 1 do 7) dla formatu A0 przedstawia rysunek 10.4

Rys. 10.4. Składanie formatów arkuszy rysunkowych na przykładzie A0

10.2 TABLICZKA RYSUNKOWA

Tabliczkę rysunkową na formatach od A0 do A3 umieszcza się w prawym dolnym

rogu pola rysunkowego. Dla tych formatów są zalecane tylko arkusze usytuowane poziomo.
Dla formatu A4 tabliczka rysunkowa jest umieszczona na krótszej (dolnej) części pola
rysunkowego. Arkusze tego formatu są usytuowane tylko pionowo (rys. 10.1).

Wymiary i układ tabliczek rysunkowych
Można wyróżnić następujące rodzaje tabliczek rysunkowych:

Tabliczka podstawowa – zawiera najwięcej informacji. Stosowana w rysunkach

wykonawczych, złożeniowych, montażowych. Wysokość większa od 55mm

Tabliczka zmniejszona – stosowana na rysunkach schematycznych lub dokumentach

tekstowych. Wysokość większa od 40mm.

Tabliczka uproszczona stosowana na drugich i kolejnych arkuszach rysunków i

schematów oraz dokumentach tekstowych. Wysokość większa od 15mm

W celu ujednolicenia, informacje umieszczane na tabliczce tytułowej powinny być

pogrupowane w prostokątnych strefach:
1)

strefa identyfikacyjna;

jedna lub więcej stref dla dodatkowych informacji; strefy te powinny być umiejscowione
nad i/lub po lewej stronie strefy identyfikacyjnej.

Strefa identyfikacyjna powinna podawać następujące informacje podstawowe (rys. 10.5):
a) numer rejestracyjny lub identyfikacyjny - powinien być umieszczony w prawym dolnym

rogu strefy identyfikacyjnej,

b) tytuł rysunku - powinien funkcjonalnie oddawać jego zawartość (opis elementu lub podze-

społu),

c) nazwę prawnego właściciela rysunku (firmy, spółki, przedsiębiorstwa itp.) - może być

nazwą oficjalną, skróconą nazwą handlową lub znakiem firmowym.

Rys. 10.5.Przykłądy rozmieszczenia informacji w strefie identyfikacyjnej

Strefa identyfikacyjna powinna być umiejscowiona w prawym dolnym rogu tabliczki

tytułowej i wykonana w sposób przyciągający uwagę przez obramowanie linią ciągłą o
grubości takiej samej jak obramowanie arkusza (patrz ISO 5457). Strefa identyfikacyjna
powinna być widoczna na pierwszej stronie złożonego arkusza.

Strefy informacji dodatkowych. Informacje, które mają być umieszczone w tych strefach,
dzieli się na:
1)

wskazówki - symbol oznaczający metodę rzutowania, podstawową podziałkę, format
arkusza, jednostkę długości (jeśli jest inna niż mm),

dane techniczne - sposób określania wykończenia powierzchni, sposób określania
tolerancji geometrycznej, przyjęte wartości tolerancji podstawowych,

dane porządkowe - daty, symbole, opis weryfikacji, inne, np. podpisy osób
odpowiedzialnych za kontrolę i wykonanie.

Rysunki wieloarkuszowe

Każdy kolejny z arkuszy rysunku powinien być oznaczony tym samym numerem

rejestracyjnym lub identyfikacyjnym oraz wyróżniony przez podanie kolejnego numeru
arkusza łamanego przez całkowitą liczbę arkuszy: „Arkusz nr n/p", gdzie: n - numer arkusza,
p - całkowita liczba arkuszy. Przykład tabliczki uproszczonej stosowanej w rysunkach
wieloarkuszowych przedstawia rysunek 10.6.

12.57456

Arkusz 3/5

Rys. 10.6.Przykład tabliczki uproszczonej stosowanej w rysunkach wieloarkuszowych

Skrócone tabliczki tytułowe, zawierające tylko strefę identyfikacyjną, mogą być

stosowane na wszystkich arkuszach, z wyjątkiem pierwszego.

10.3 LINIE RYSUNKOWE

W rysunku technicznym maszynowym stosowane są grubości linii: 0,13; 0,18; 0,25;

0,35; 0,5; 0,7; 1; 1,4; 2 mm. Różnica grubości pomiędzy linią grubą a cienką jest dwukrotna.
Zalecane pary grubości linii to: 0,5 i 0,25 oraz 0,7 i 0,35.

Rodzaje linii i ich zastosowanie (rys. 10.7):
1 - linia ciągła gruba: widoczne krawędzie i zarysy, wierzchołki gwintu i granica długości

gwintu pełnego,

2 - linia ciągła cienka: linie wymiarowe, kreskowanie, dno bruzdy gwintu, obramowanie

szczegółów,

3 - linia ciągła cienka odręczna: zakończenie cząstkowych widoków, przekrojów,
4 - linia cienka z długą kreską i kropką: linie środkowe, symetrii, okręgi podziałowe otworów

i kół,

5 - linia kreskowa cienka: niewidoczne krawędzie i zarysy.

Rys. 10.7.Rodzaje linii rysunkowych: 1 - linia ciągła gruba, 2 - linia ciągła cienka, 3 - linia ciągła cienka

odręczna, 4 - linia cienka z długą kreską i kropką, 5 - linia kreskowa cienka

10.4 PODZIAŁKA RYSUNKOWA

Podziałka rysunkowa określa stosunek wymiaru liniowego elementu przedmiotu

przedstawionego na oryginale rysunku do wymiaru tego samego elementu na rzeczywistym
przedmiocie. Można wyróżnić dwa rodzaje podziałki:
- podziałka główna – dotycząca całego przedmiotu, której wartość podaje się w tabliczce

rysunkowej,

- podziałka szczegółu – dotycząca zaznaczonego fragmentu (szczegółu) rzutu służąca do

powiększenia nieczytelnych elementów rysunku, której wartość podaje się nad
powiększonym fragmentem (rys.10.8).

Rys. 10.8.Wykorzystanie podziałki szczegółu

Podziałki zalecane do stosowania na rysunkach technicznych:

- zwiększające: 50:1, 20:1, 10:1, 5:1, 2:1,
- naturalna: 1:1,
- zmniejszające: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50, 1:100, 1:200, 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:5000,
1:10000.

Podany szereg podziałek można poszerzyć o całkowite wielokrotności 10.

W wyjątkowych przypadkach, jeżeli z przyczyn praktycznych nie można użyć zalecanych
podziałek, można zastosować wartości pośrednie.

10.5 PISMO TECHNICZNE

Pismo techniczne określają następujące normy:
PN-EN ISO 3098-0:2002 - zasady ogólne, PN-EN ISO 3098-2:2002 - alfabet łaciński, cyfry i
znaki.
Szereg wysokości pisma stosowanego w rysunku technicznym maszynowym:
1,8; 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20 mm.
Można wyróżnić następujące rodzaje pisma:
- rodzaj A (wysokość = 14 x grubość linii) proste (V) i pochyłe (S),
- rodzaj B (wysokość = 10 x grubość linii) proste (V) i pochyłe (S).
Wysokość pisma powinna być dobrana od wielkości formatu rysunku.
W rysunku technicznym maszynowym uprzywilejowane jest pismo proste rodzaju B
(rys.10.9)

Rys. 10.9.Przykład pisma technicznego prostego rodzaju B

11 PRZEKROJE

Rzutami przedmiotu mogą być zarówno widoki przedstawiające ich zewnętrzne

kształty jak i przekroje, które pokazują budowę wewnętrzną przedmiotu.
Liczba rzutów powinna być ograniczona do minimum niezbędnego do jednoznacznego
przedstawienia kształtu przedmiotu. Najczęściej wykorzystuje się trzy rzuty główne.
Rzuty główne powinny jeśli jest to możliwe przedstawiać przedmiot w położeniu jakie on ma
zajmować w rzeczywistości - położenie użytkowe, widziany od strony uwidaczniającej
najwięcej jego cech charakterystycznych.

Przekrój powstaje przez przecięcie przedmiotu wyobrażalną płaszczyzną przekroju.

Jedną część (od strony strzałek) odrzucamy, a pozostałą część obracamy zgodnie z zasadami
rzutowania europejskiego (rys.11.1). Informacje o zarysie zewnętrznym zawarte w
przekrojach na ogół wystarczają do odczytania kształtu zewnętrznego przedmiotu.

Rys. 11.1

lady początku i końca płaszczyzny przekroju, która jest prostopadła do rzutni

oznacza się krótkimi odcinkami linii punktowej grubej. Linie te nie mogą przecinać zarysu
przedmiotu. Kierunek rzutowania przekroju zaznacza się dwoma strzałkami rysowanymi linią
grubą. W przypadku przedstawienia kilku przekrojów na jednym rysunku płaszczyznę należy
opisać dwoma jednakowymi dużymi literami alfabetu łacińskiego (z wyjątkiem I,O,R,Q,X) a
po wyczerpaniu takiej możliwości kombinacją liter i cyfr (rys.11.3).

Pola przekroju, które powstały w wyniku przecięcia materiału przedmiotu kreskuje się

linią ciągłą cienką przeważnie pod kątem 45

do podstawy rysunku określonej położeniem

tabliczki rysunkowej, do zarysu przedmiotu (rys.11.2a) lub do osi przedmiotu (rys. 11.2b).
Zagięte przedmioty można kreskować pod katem 30

(rys. 11.2c). Elementy leżące za

płaszczyzna przekroju należy narysować w widoku.

Rys. 11.2

W przekrojach różnych elementów np. na rysunku złożeniowym kreskowanie

powinno różnić się kątem nachylenia lub podziałką. Kilka przekrojów tego samego
przedmiotu powinny być jednakowo kreskowane tzn. z zachowaniem tej samej podziałki i
tego samego kąta nachylenia.
Przekroje węższe niż 2 mm dowolnej części można zaczernić. Między dwoma elementami
zaciemnionymi musi być wykonany prześwit.

Przekroje można podzielić w zależności od:
I Położenia płaszczyzny przekroju względem rzutni:

Przekrój pionowy – płaszczyzna przekroju jest prostopadła do płaszczyzny rzutu z
góry (rys.11.3a przekrój A-A)

Przekrój poziomy – płaszczyzna przekroju jest równoległa do płaszczyzny rzutu z
góry (rys.11.3a przekrój B-B)

Przekrój ukośny (rys.11.4)

Rys. 11.3

Rys. 11.4

II Położenia płaszczyzny przekroju względem przedmiotu:

Przekrój podłużny (rys.11.5) – płaszczyzna przekroju prowadzona jest wzdłuż lub
równolegle do osi geometrycznej przedmiotu.

Przekrój poprzeczny (rys.11.6) – płaszczyzna przekroju prowadzona jest prostopadle
do osi geometrycznej przedmiotu.

Rys. 11.5

Rys. 11.6

III Liczby płaszczyzn przekroju:

Przekrój prosty – przedmiot przekrojony jest jedną płaszczyzną przekroju.

Przekrój

złożony – powstaje

przez

połączenie

kilku

przekrojów

prostych

prostopadłych do tej samej rzutni.

Płaszczyzny w przekroju złożonym należy tak poprowadzić, aby objęły one po

jednym elemencie z grupy elementów o tych samych cechach konstrukcyjnych.
Wystarczy więc przekroić m.in. jeden otwór z grupy tych samych otworów.

lady załamania płaszczyzny w przekroju złożonym prowadzi się pod kątem

prostym lub rozwartym. Ślady te przedstawia się w postaci odcinków o długości 5mm
rysowanych linią ciągłą grubą. Mogą one wewnątrz rzutu przecinać się z krawędziami
lecz nie mogą z nimi się pokrywać.

Można rozróżnić następujące przekroje złożone:

przekrój stopniowy (rys.11.7) – polega na przecięciu przedmiotu płaszczyznami
poziomymi lub pionowymi równoległymi do siebie połączonymi ze sobą
płaszczyznami do nich prostopadłymi.

przekrój łamany (rys.11.8) – polega na przecięciu przedmiotu płaszczyznami
poziomymi lub pionowymi oraz ukośnymi przecinającymi się pod katem rozwartym.

Rys. 11.7

Rys. 11.8

W przypadku przekrojów złożonych po przekrojeniu przedmiotu należy wszystkie

płaszczyzny sprowadzić do jednej wspólnej. W przypadku przekroju stopniowego dokonuje
się to poprzez przesuniecie płaszczyzn przekroju a w przypadku przekroju łamanego poprzez
przesunięcie i obrót (rys.11.9).

Rys. 11.9

Przekrój łamany może być:

rozwinięty – gdy w ukośnej płaszczyźnie występują elementy wewnętrzne i konieczne
jest przedstawienie ich w rzeczywistych wymiarach bez skrótów (rys.11.10)

skrócony – gdy w płaszczyźnie ukośnej nie występują ważne elementy i ich kształt
można przedstawić w postaci skrótu (rys.11.11)

Rys. 11.10 Rys. 11.11

IV Obszaru przedmiotu przedstawionego na przekroju:

Przekrój całkowity – ukazujący całkowity zarys przedmiotu

Przekrój częściowy – ukazujący pewną część zarysu przedmiotu:

Półprzekrój lub ćwierćprzekrój (rys.11.12) – pozwala na przedstawienie połowy
przekroju po jednej stronie osi symetrii (w przypadku półprzekroju) lub ćwiartki po
stronie dwóch osi symetrii (w przypadku ćwierćprzekroju). Oś symetrii należy
zaznaczyć na jej końcach parą równoległych krótkich odcinków rysowanych linia
cienką ciągłą.

Rys. 11.12

półwidok – półprzekroj (rys.11.13) – pozwala na połączenie połowy widoku i
przekroju na jednym rzucie. Śladem przekroju jest oś symetrii przedmiotu. Przedmiot
należy tak ustawić aby żadna krawędź nie pokrywała się z osią. Ten rodzaj przekroju
stosowany jest dla przedmiotów posiadających symetrie zarówno zarysu zewnętrznego
jak i wewnętrznego. Należy starać się, aby półprzekrój był po prawej stronie
półwidoku lub poniżej niego.

Rys. 11.13

przekrój cząstkowy (wyrwanie) – pozwala na odsłonięcie interesującego fragmentu
poprzez wyrwanie materiału (rys.11.14). Wykonuje się go bezpośrednio na widoku
rysując granicę urwania linią odręczną (falistą lub zygzakową). Jeśli granica wyrwania
przebiega blisko krawędzi konturowej należy wówczas doprowadzić wyrwanie do tej
krawędzi (rys.11.15). Kilka przekrojów cząstkowych leżących blisko siebie
najkorzystniej jest połączyć w jeden przekrój.

Rys. 11.14 Rys. 11.15

kład – ukazuje zarys przedmiotu wyłącznie w płaszczyźnie przekroju dzięki czemu nie
ma konieczności rysowania elementów leżących za płaszczyzną przekroju jeśli nie
wnoszą żadnych dodatkowych informacji o konstrukcji. Można wyróżnić następujące
rodzaje kładów:

kład miejscowy (rys.11.16) – rysuje się bezpośrednio na widoku linią cienką ,

kład przesunięty (rys.11.17) – rysuje się poza widokiem linia grubą. Płaszczyznę
przekroju zaznacza się linią cienka punktową na przedłużeniu której rysuje się kład.

Rys. 11.16 Rys. 11.17

Płaszczyznę przekroju wraz z kładem obraca się zgodnie z kierunkiem patrzenia od

strony prawej lub od dołu. Kład przesunięty można oznaczyć podobnie jak w przypadku
zwykłych przekrojów.

Przerywanie i urywanie przedmiotu na rysunku

Przedmioty długie można na rysunku skracać usuwając ich część środkową jeśli nie

wywoła to wątpliwości co do kształtu. Obie części ogranicza się linia falistą bądź zygzakową.
Po dokonaniu skrótu należy zawsze podać niezmienioną wartość liczbową wymiaru
(rys.11.18).

Rys. 11.18

12 WYMIAROWANIE

12.1 SPOSÓB ZAPISU WYMIARÓW

Wymiar rysunkowy przedstawia się za pomocą linii wymiarowej zakończonej znakiem
(najczęściej grotem), liczby wymiarowej oraz pomocniczych linii wymiarowych (rys. 12.1).

Rys. 12.1

Linia wymiarowa służy do połączenia elementów rzutu przedmiotu (krawędzie, osie itp.) w
celu określenia wzajemnej miedzy nimi odległości. Rysowana jest cienką linią ciągłą i
najczęściej obustronnie zakończona jest zaczernionymi grotami o długości równej w
przybliżeniu wysokości pisma ale nie mniejszej niż 2,5 mm i o kącie rozwarcia 15

do 20

(rys. 12.2a). Na szkicach rysunkowych można stosować groty uproszczone nie zaczernione
(rys.12.2b).

Rys. 12.2

Linia wymiarowa powinna być zakończona dwoma grotami z wyjątkiem m.in. linii
wymiarowych promieni (rys. 12.3), wymiarowania średnic wewnętrznych w półwidoku-
półprzekroju (rys. 12.4) lub wymiarowania gęsto zestopniowanych średnic (rys 12.5).

Groty powinny być umieszczone wewnątrz wymiaru pomiędzy pomocniczymi liniami
wymiarowymi. W przypadku gdy rzeczywista odległość na rysunku miedzy pomocniczymi
liniami wymiarowymi jest mniejsza od 12mm wówczas groty umieszcza się na zewnątrz
wymiaru na przedłużeniu linii wymiarowej. Liczba wymiarowa może być również
postawiona na zewnątrz wymiaru (rys. 12.6).
Niekiedy przy wymiarowaniu np. w łańcuchu szeregowym gdy na jednej linii
wymiarowej umieszcza się kilka wymiarów i odległość miedzy pomocniczymi liniami jest
zbyt mała wówczas można zastąpić groty cienkimi krótkimi kreskami nachylonymi pod
katem 45

. W przypadku bardzo małych wymiarów zamiast kresek można użyć zaczernionej

kropki o średnicy około 1mm. Istnieje jednak warunek, że znaki te można stosować wyłącznie
wewnątrz łańcucha wymiarowego a groty muszą być znakami rozpoczynającymi i
kończącymi wymiar (rys. 12.7). Wyjątek stanowią wszelkie uproszczone zapisy wymiarów.

Rys. 12.6

Rys. 12.7

Pomocnicze linie wymiarowe służą do połączenia linii wymiarowej z elementami
wymiarowanymi. Umożliwiają wyprowadzenie linii wymiarowej poza rzut dzięki czemu
zwiększa się czytelność rysunku i niekiedy unika się przecięcia linii wymiarowych z
elementami rysunku. Rysuje się je cienka linia ciągłą i są zazwyczaj ustawione prostopadle do
kierunku pomiaru (rys.12.1). Dopuszczalne jest ukośne poprowadzenie gdy zyskuje na tym
przejrzystość zapisu. Pomocnicza linia wymiarowa nie kończy nie na ostrzu grota lecz jest
wydłużona o 1-2mm ponad grot.
W przypadku gdy nie pogarsza to czytelności rysunku linia wymiarowa może
bezpośrednio stykać się z krawędzią rzutu (rys. 12.8). Z pominięciem pomocniczych linii
wymiarowych wymiaruje się zarówno promienie krzywizny jak i średnice w płaszczyźnie
poprzecznej przedmiotu (rys. 12.9).

Rys. 12.3

Rys. 12.4

Rys. 12.5

Rys. 12.8

Rys. 12.9

Liczba wymiarowa przedstawia rzeczywistą wielkość przedmiotu niezależnie od
zastosowanej podziałki rysunkowej (rys. 12.9).

Rys. 12.10

Liczba wymiarowa nie może stykać się z linia wymiarową lecz powinna być
umieszczona nad linią w pobliżu jej środka. Jej położenie względem arkusza rysunkowego nie
może być dowolne. Liczba wymiarowa powinna być tak ustawiona aby można było ją
odczytać od prawej strony jak i od podstawy arkusza określonej położeniem tabliczki
rysunkowej. Występują jednak obszary, w których nie da się zastosować wyżej opisanej
reguły. W przypadku wymiarów liniowych ma to miejsce w obszarze 30

od osi pionowej

układu (rys. 12.11).

Rys. 12.11

Wysokość liczb wymiarowych jest uzależniona od zastosowanego formatu rysunkowego.
Powinna być jednakowa dla wszystkich liczb występujących na jednym arkuszu niezależnie
od zastosowanej podziałki. Cyfry wymiaru nominalnego nie powinny być mniejsze niż
3.5mm a odchyłek granicznych nie mniejsze niż 2.5mm.
W rysunku technicznym maszynowym wymiary liniowe podaje się przeważnie w
milimetrach bez podawania za liczbą wymiarowa jednostek. Wymiary liniowe mogą być
przedstawione w innych jednostkach (np. w calach) ale wówczas konieczne jest podanie
jednostek lub informacja ta musi być podana w uwagach rysunkowych. W przypadku
wymiarów kątowych podaje się jednostki w stopniach, minutach i sekundach odpowiednio po
każdej liczbie wymiarowej.

Znaki wymiarowe
Pozwalają na uproszczenie zapisu postaci konstrukcyjnej przez pominięcie tych rzutów, które
przedstawiają kształt przedmiotu. Stosowanie znaków wymiarowych jest obowiązkowe. Znak
wymiarowy jest ściśle związany z liczba wymiarową i nie można ich rozdzielić żadnym
elementem rysunkowym. Najczęściej wykorzystywane znaki wymiarowe:
Ø – znak średnicy niekiedy umożliwia pominięcie rzutu w płaszczyźnie poprzecznej w celu

pokazania kształtu przedmiotu (okręgu) (rys. 12.12)

R – znak promienia krzywizny – dla bardzo małych wartości promieni można pominąć

rysowanie krzywizny promienia (rys. 12.13)

S – znak sfery (rys. 12.14)
x – znak grubości przedmiotu (rys. 12.15)

– znak kwadratu – w przypadku elementu w kształcie kwadratu umożliwia podanie

wymiaru tylko jednego boku (rys. 12.15).

Rys. 12.12

Rys. 12.13

Rys. 12.14 Rys. 12.15

12.2 ZASADY WYMIAROWANIA

Wymiary związane

W rysunku technicznym maszynowym często mamy do czynienia z tzw. wymiarami
związanymi. Do jednej grupy związanych wymiarów należą te, które opisują wielkość figur
wyodrębnionych z postaci konstrukcyjnej a do drugiej należą te które opisują wzajemne
rozmieszczenie tych figur na rysunku. Wymiary związane musza być przedstawione na
jednym rzucie i nie można ich rozdzielić.
Wymiary związane mogą być rozpatrywane z punktu widzenia procesu wytwórczego.

wymiary, które odnoszą się do tej samej czynności obróbkowej (obróbka wykonana
tym samym narzędziem) np. wymiary średnicy i głębokości otworu (rys. 12.16) lub
szerokość i głębokość rowka wpustowego (rys. 12.17).

wymiary, które odnoszą się do tego samego zabiegu obróbkowego (tj. do obróbki
wykonanej w jednym zamocowaniu przedmiotu) np. wymiary rozmieszczenia
otworów (rys. 12.18), położenia rowka wpustowego (rys. 12.19).

Rys. 12.16

Rys. 12.17

Rys. 12.18

Rys. 12.19

Zasady zwiększające czytelność zapisu konstrukcji:

Linie wymiarowe nie mogą przecinać się z żadnymi elementami rysunku. Linie
wymiarowe mogą się przecinać tylko w przypadku wymiarowania średnic w płaszczyźnie
poprzecznej (rys. 12.9).W celu uniknięcia przecięcia się z pomocniczą linią wymiarową
wymiar krótszy powinien być podany bliżej rzutu niż wymiar dłuższy (rys. 12.20).
W wyjątkowych przypadkach pomocnicza linia wymiarowa musi być przerwana w miejscu
przecięcia się z linią wymiarową podobnie jak w przypadku linii konturowej przedmiotu
(rys. 12.21).

Rys. 12.20

Rys. 12.21

Pomocnicze linie wymiarowe mogą się przecinać z sobą jednak należy starać się aby było

jak najmniej takich punktów przecięcia. Pomocnicze linie wymiarowe mogą przecinać linie
kreskowe przekroju jednak nie powinny być prowadzone równolegle do nich.

Dla zwiększenia przejrzystości rysunku ważnym zagadnieniem jest zachowanie

właściwych odstępów miedzy kolejnymi wymiarami aby było możliwe czytelne wpisanie
liczb wymiarowych wraz z tolerancją. Odległość między pierwszym elementem wymiaru
(linią lub liczbą wymiarową) od zarysu przedmiotu powinna być równa trzykrotnej wysokości
liczb wymiarowych ale nie mniejszą niż 10 mm. Odstęp między elementami kolejnych
wymiarów przyjmuje się równy dwuipółkrotnej wysokości pisma liczb wymiarowych ale nie
mniejsza od 7 mm (rys. 12.22).

W przypadku gdy linie wymiarowe ustawione są równolegle jedna nad drugą kolejne

liczby wymiarowe nie mogą tworzyć kolumny i powinny być przemiennie przesunięte
względem wspólnego środka linii wymiarowych (rys. 12.23).

Rys. 12.22

Rys. 12.23

Zasady ogólne wymiarowania

Zasada wymiarów koniecznych – powinny być podawane tylko te wymiary, które są
niezbędne do wykonania elementu w danym etapie procesu wytwórczego. Zupełnie inne
wymiary są potrzebne w rysunku montażowym całego zespołu czy też wykonawczym
gotowego elementu a inne surowego odlewu bądź odkuwki. Sposób wymiarowania musi
być zatem dostosowany do rodzaju rysunku i jego przeznaczenia.

Zasada pomijania wymiarów oczywistych – pomija się wymiary między prostymi
równoległymi (0

lub 180

) i prostymi prostopadłymi (90

) w przypadku wymiarów

swobodnych. Jeśli wymiary oczywiste są tolerowane wówczas konieczne jest ich podanie
wraz z wymaganą tolerancją. W przypadku wystąpienie grupy kilku elementów o tych
samych cechach konstrukcyjnych wystarczy podać wymiar tylko jednego z nich.
Wymiary pozostałych elementów traktuje się jako oczywiste (przykład grupy
jednakowych otworów rys. 12.18). Jeśli podaje się szerokość rowka wpustowego nie
wymiaruje się promienia rowka w płaszczyźnie wzdłużnej (rys. 12.24).

Rys. 12.24

Zasada niezamykania łańcucha wymiarowego – wymiarowanie powinno być tak
przeprowadzone aby wymiar mniej ważny można było policzyć na podstawie innych
(rys. 12.25). Zamkniecie łańcucha wymiarowego nastąpi nawet wtedy gdy wymiar będzie
podany na innym rzucie i na innym arkuszu rysunkowym.

Rys. 12.25

Zasada niepowtarzania wymiarów – wymiar raz postawiony nie może zostać powtórzony
na innym rzucie a nawet na innym arkuszu rysunkowym.

13 POŁĄCZENIA ROZŁĄCZNE

13.1 GWINTY - POŁĄCZENIA GWINTOWE

ruba jest to element maszynowy z gwintem służący do realizacji połączenia innych

części maszynowych. Połączenie gwintowe uzyskuje się poprzez bezpośrednie wkręcenie
ś

ruby w otwór nagwintowany (przelotowy bądź nieprzelotowy) lub przez skojarzenie śruby z

nakrętką łącząc elementy, w których wykonane są otwory przelotowe.

Ze względu na fakt, że gwint jest zbiorem równomiernie rozłożonych występów na

powierzchni walcowej lub stożkowej istnieje możliwość zastosowania uproszczonego zapisu
postaci konstrukcyjnej gwintu. Zapis uproszczony polega na wykreśleniu wierzchołków
zarysu gwintu linia grubą ciągła a den zarysu linią cienką ciągłą. Odległość miedzy tymi
liniami powinna być równa w przybliżeniu wysokości gwintu. Koniec gwintu na przejściu w
powierzchnię nienagwintowaną rysuje się linią grubą ciągłą zarówno w gwincie zewnętrznym
jak i wewnętrznym. W płaszczyźnie poprzecznej do osi gwintu uproszczony zapis polega na
przedstawieniu den gwintu niepełnym okręgiem (3/4 obwodu) przy czym początek i koniec
nie może pokrywać się z osiami symetrii elementu (rys.13.1).

Rys. 13.1

W przypadku gdy względy technologiczne wymagają zaznaczenia całej powierzchni

gwintowej można narysować linią cienką wyjście gwintu tuż za linią grubą zakończenia
gwintu.

W otworze nieprzelotowym nie powinno się rysować gwintu na całej długości otworu.

Otwór powinien być dłuższy od głębokości gwintu (rys. 13.2).

Rys. 13.2

Wymiarowanie gwintu polega na zastąpieniu znaku wymiarowego Ø symbolem

gwintu. Symbole najczęściej stosowanych gwintów objętych Polskimi Normami:

M – gwint trójkątny (metryczny)
R – gwint stożkowy zewnętrzny
Rc – gwint stożkowy wewnętrzny
Tr – gwint trapezowy symetryczny
S – gwint trapezowy niesymetryczny
G – gwint walcowy
Rd – gwint okrągły

Za symbolem gwintu umieszcza się wartość liczbową średnicy znamionowej gwintu

oraz dodatkowo jeśli jest taka konieczność m.in.:
- wartość podziałki oddzielona znakiem „x”,
- wartość skoku (oddzielona znakiem „x”) po której podaje się nawiasie symbol podziałki P
wraz z jej wartością (w przypadku gwintów wielokrotnych),
- symbol LH oznaczający gwint lewozwojny,
- symbol literowy bądź literowo cyfrowy oddzielony pozioma kreską określający dokładność
gwintu.

Przykład wymiarowania gwintu zewnętrznego i wewnętrznego przedstawia rysunek

13.3. W gwincie wewnętrznym pomocnicze linie wymiarowe wychodzą od linii grubych
wierzchołków zarysu gwintu, a w gwincie wewnętrznym od linii cienkich den zarysu.

Rys. 13.3

Najczęściej elementy połączenia gwintowego przedstawia się w sposób dokładny

upraszczając jedynie zapis gwintu oraz linie przenikania powstałe w wyniku ścięć łbów śrub i
nakrętek jako graniastosłupów prawidłowych z powierzchnią stożka (rys.13.4).

Rys. 13.4

W połączeniu śrubowym śruba jest uprzywilejowana. Śruba przedstawiona jest w

widoku i przykrywa otwór, w który jest wkręcona (rys. 13.5).

Rys. 13.5

Połączenie gwintowe na rysunku technicznym maszynowym można przedstawić w

różnym stopniu uproszczenia w zależności od przeznaczenia rysunku.

Uproszczony zapis połączenia gwintowego przedstawia tylko ogólny kształt śruby lub

nakrętki i sposób połączenia śruby z innymi elementami maszyn. (rys.13.6)

Rys. 13.6

zapis dokładny

zapis uproszczony

zapis umowny

13.2 WIELOWYPUSTY - POŁĄCZENIA WIELOWYPUSTOWE

Wielowypust zarówno na wałku jak i w otworze jest zbiorem wzdłużnych

równoległych do siebie wypustów rozmieszczonych równomiernie na całej powierzchni
walcowej elementu. Takie rozmieszczenie umożliwia przedstawienie zapisu konstrukcji
wielowypustu w sposób uproszczony.

Wielowypusty można podzielić w zależności od zarysu wypustów na:

- równoległe,
- ewolwentowe,
- o specjalnym zarysie.

Jedynie w przypadku wielowypustu o specjalnym zarysie konieczne jest

przedstawienie w sposób dokładny zarysu wypustu w przekroju poprzecznym.

W płaszczyźnie wzdłużnej powierzchnie wierzchołków wielowypustów przedstawia

się linią grubą ciągłą a powierzchnię den wypustów linią cienką ciągłą. Odległość między
liniami powinna być równa wysokości wypustu. Zakończenie wielowypustu rysuje się linią
ciągłą grubą. Dodatkowo należy linią cienką ciągła zaznaczyć wyjście wielowypustu tuż za
jego zakończeniem (rys. 13.7b). W przekroju wzdłużnym powierzchnie den rysuje się linią
grubą a ścianki boczne wypustów rysuje się w widoku (rys. 13.7c). W płaszczyźnie
poprzecznej w rzucie będącym widokiem dna wielowypustu rysuje się linią cienką ciągłą jako
pełny okrąg a powierzchnie wierzchołków linią grubą ciągłą (rys. 13.7a).

Rys. 13.7

W przypadku wielowypustów ewolwentowych należy dodatkowo zaznaczyć cienką

linią punktową powierzchnię podziałową zarówno na rzucie w płaszczyźnie wzdłużnej jak i
poprzecznej (rys.13.9).

Rys. 13.8

Oznaczenie wielowypustów polega na podaniu nad linią odnoszącą w pierwszej

kolejności symbolu graficznego wielowypustu równoległego (rys. 13.9a) lub ewolwentowego
(rys. 13.9b), po którym wpisuje się numer normy (ISO14 dla wielowypustu równoległego lub
ISO4156 dla wielowypustu ewolwentowego).

Rys. 13.9

W oznaczeniu wielowypustu równoległego po symbolu i numerze normy podaje się w

pierwszej kolejności liczbę wypustów a następnie wartości liczbowe średnicy wewnętrznej i
ś

rednicy zewnętrznej rozdzielone znakiem x.

W oznaczeniu wielowypustu ewolwentowego podaje się liczbę zębów (z), moduł (m) i

kąt przyporu (R) rozdzielone również znakiem x.

W zapisie postaci konstrukcyjnej połączenia wielowypustowego zarys wałka jest

uprzywilejowany i przysłania otwór (rys.13.10).

Rys. 13.10

ZAŁĄCZNIKI
DO ROZDZIAŁÓW 1÷7

Zakres:
geometria wykreślna

III

Za³¹cznik 1.1

Za³¹cznik 2.1

Za³¹cznik 2.2

lub

Za³¹cznik 2.3

Za³¹cznik 2.4

k "

Za³¹cznik 3.1

Za³¹cznik 3.2

Za³¹cznik 3.3

k '

m''

v =

=k"

v =

=k"

v =

=k"

Za³¹cznik 3.4

k '

v =

=k"

v =

=k"

C''

B''

A''

C''

B''

A''

a''

b''

C''

B''

A''

a''

b''

C''

B''

A''

c''

a''

b''

Za³¹cznik 4.3

C=C

B B

C=C

B B

C=C

B B

C=C

Za³¹cznik 4.2

Za³¹cznik 4.3

=k"

B'=B

1'=1

=k"

B'=B

1'=1

=k"

B'=B

1'=1

=k"

B'=B

1'=1

Za³¹cznik 4.4

= "=k"

1'=1

A'=A

= "=k"

1'=1

A'=A

= "=k"

1'=1

A'=A

Za³¹cznik 4.5

A'''

B'''

m'''

y( )

A'''

B'''

m'''

y( )

Za³¹cznik 5.1

S'' A''

k''

c''

S'' A''

k''

c''

S'' A''

k''

c''

Za³¹cznik 6.1

W''

A''

B''

C''

W''

W'''

y(p )

C''' A'''

B'''

A''

B''

C''

y(p

)

Za³¹cznik 6.2

W''

W'''

y(p )

C''' A'''

B'''

1'''

2'''

3'''

2''

1''

3''

A''

B''

C''

y(p

)

W''

W'''

y(p )

C''' A'''

B'''

1'''

2'''

3'''

2''

1''

3''

A''

B''

C''

y(p

)

C''

B''

A''

C''

B''

A''

1''

C''

B''

A''

k''

III

C''

B''

A''

2''

1''

C''

B''

A''

k''

III

C''

B''

A''

2''

3''

1''

C''

B''

A''

k''

C''

B''

A''

Za³¹cznik 6.3

2''

3''

1''

C''

B''

A''

k''

III

C''

B''

A''

W''

A''

B''

C''

m''

W''

A''

B''

C''

R''

m''

n''

Za³¹cznik 6.4

W''

A''

B''

C''

R''

H''

m''

n''

W''

J''

K''

A''

B''

C''

R''

H''

m''

n''

11'

12'

7' 8'

10'

1'''

2'''

10'''

12'''

6'''

8'''

5'''

7'''

3'''4'''

9'''

11'''

)

y (

)

3''

9''

5''

4''

11''

7''

8''

2'' 12''

10''

6''

11'

12'

7' 8'

10'

1'''

2'''

10'''

12'''

6'''

8'''

5'''

7'''

3'''4'''

9'''

11'''

1''

)

y (

)

Za³¹cznik 6.5

l''

l'=R'

R''

l''

l'=R'

m''

1''

2''

p''

q''

s''

r''

1'=2'=p'

3'=4'=q'

k''

R''

s'=r'=h

l''

l'=R'

m''

1''

2''

3''

4''

5''

6''

7''

8''

9''

10''

11''

12''

p''

q''

s''

r''

v = ''

9'=10'

1'=2'=p'

3'=4'=q'

11'=12'

k''

R''

s'=r'=h

3''

4''

Za³¹cznik 7.1

ZAŁĄCZNIKI

Temat:
krzywe płaskie

ZAŁĄCZNIKI

Temat:
przekroje proste

ZAŁĄCZNIKI

Temat:
przekroje stopniowe

ZAŁĄCZNIKI

Temat:
przekroje łamane