Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

33 

– 

jasina@pg.gda.pl 

8. 

Twierdzenie o wzajemności prac  
i twierdzenia z niego wynikające 

8.1.  Oznaczenia 

ij

∆   -   przemieszczenie w miejscu i na kierunku  ( )  wywołane przyczyną 

, 

i

( )

j

ij

δ

  -   przemieszczenie w miejscu i na kierunku  ( )  wywołane jednostko-

wym obciążeniem działającym w miejscu i na kierunku 

, 

i

( )

j

ij

δ

′   -   przemieszczenie w miejscu i na kierunku  ( )  wywołane jednostko-

wym przemieszczeniem zadanym w miejscu i na kierunku 

, 

i

( )

j

ij

R

  -   reakcja w miejscu i na kierunku 

 wywołana przyczyną 

, 

( )

i

( )

j

ij

r

 

-   reakcja w miejscu i na kierunku 

 wywołana jednostkowym obcią-

żeniem działającym w miejscu i na kierunku  ( , 

( )

i

)

j

ij

r′

 

-   reakcja w miejscu i na kierunku 

 wywołana jednostkowym prze-

mieszczeniem zadanym w miejscu i na kierunku 

, 

( )

i

( )

j

Miejsce i kierunek 

, w którym definiowane jest przemieszczenie lub reakcja 

może oznaczać określone miejsce i kierunek albo sumę określonych przemiesz-
czeń i reakcji(zob. 

 na Rys. 8.1) 

( )

i

ij

∆

 

 (8.1) 

1

2

ij

j

j

∆ = ∆ + ∆

 

Rys. 8.1    

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

34 

– 

jasina@pg.gda.pl 

8.2.  Twierdzenie o wzajemności prac (E. Betti 1872). 
Podstawowym twierdzeniem o wzajemności, z którego bezpośrednio wynikają 
wszystkie dalsze, jest twierdzenie o wzajemności prac zwane twierdzeniem 
Bettiego.  
 
Rozpatrujemy dwa stany obciążeń działających na układ.  

Pierwszy stan oraz wszystkie wielkości statyczne i geometryczne towarzy-

szące pierwszemu stanowi oznaczymy indeksem  ( ) .  

i

Odpowiednio indeksem  (  oznaczymy wielkości towarzyszące drugiemu 

stanowi.  

)

j

W związku z powyższym, stosując zapis z dwoma indeksami, w którym 

pierwszy indeks oznacza miejsce a drugi przyczynę możemy przyjąć następują-
ce oznaczenia (zob. rys 8.2).  

ni

P

 i 

 to obciążenia (siły obciążające) i reakcje w działające „w układzie 

” (to znaczy od przyczyny 

);  

ri

R

( )

i

( )

i

i

i

N

,  M ,   oraz  ∆

, 

i

T

i

ds

ϕ

∆

i

d

,  ∆

i

dh

ri

∆

)

j

 oznaczają powstałe w wyniku ich działa-

nia siły przekrojowe (wewnętrzne) i odpowiadające im odkształcenia;  
zaś symbolami 

 i 

 oznaczamy przemieszczenia występujące odpowied-

nio w miejscu i kierunku sił oraz reakcji.  

ni

∆

 
Analogicznie możemy oznaczyć siły, reakcje, siły wewnętrzne, odkształcenia, 
oraz przemieszczenia „w układzie  ( ” (to znaczy od przyczyny  ( );  

)

j

 

Rys. 8.2    

Ponieważ obciążenia i reakcje działające w obu układach a także odpowiadające 
im przemieszczenia są rzeczywiste to mogą być one traktowane jako wirtualne.  

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

35 

– 

jasina@pg.gda.pl 

Czyli obciążenia wraz z odpowiadającymi im reakcjami obu układów mogą być 
traktowane jako wirtualne. Podobnie można traktować przemieszczenia. 
 
W związku z powyższym i dla prostoty zapisu w dalszej części wywodu pomi-
ja się w zapisie górną kreskę nad danymi oznaczeniami wielkości (np.  P , 

δ

 

zamiast  P ,  ). 

δ

 
Traktując układ sił i przemieszczeń w stanie  ( )  jako obciążenia i przemiesz-
czenia wirtualne dla układu  (  z zasady prac wirtualnych otrzymujemy 

i

)

j

dh

dh

( )

j

( )

i

( )

j

 

 (8.2) 

ni

nj

ri

rj

i

j

i

j

i

j

n

r

l

l

l

P

R

N

ds

M

d

T

ϕ

∆ +

∆ =

∆

+

∆

+

∆

∑

∑

∫

∫

∫

oraz 

 

. (8.3) 

kj

ki

rj

ri

j

i

j

i

j

i

k

r

l

l

l

P

R

N

ds

M

d

T

ϕ

∆ +

∆ =

∆

+

∆

+

∆

∑

∑

∫

∫

∫

 
Równanie (8.2) można traktować jako reprezentujące pracę wirtualnych obcią-
żeń i sił przekrojowych układu 

 na rzeczywistych przemieszczeniach układu 

 (porównaj 2) postać zasady prac wirtualnych opisana równaniem (7.5)). 

( )

i

 
Analogicznie równanie (8.3) można traktować jako reprezentujące pracę rze-
czywistych obciążeń i sił przekrojowych układu 

 na wirtualnych przemiesz-

czeniach układu 

 (porównaj 1) postać zasady prac wirtualnych opisana rów-

naniem (7.4)). 

( )

j

( )

i

 
Biorąc pod uwagę zależności (6.17) – (6.19), zapisane dla stanu 

 oraz dla 

stanu 

: 

 

∆

=

i

i

N

ds

ds

EA

ϕ

∆

=

i

i

M

d

ds

EI

κ

∆

=

i

i

T

dh

ds

GA

,   

,   

, (8.4) 

 

∆

=

j

j

N

ds

EA

ϕ

∆

=

j

j

M

d

ds

EI

κ

∆

=

j

j

T

dh

ds

GA

,   

,   

, (8.5) 

ds

równania (8.2) i (8.3) przyjmują postać: 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

36 

– 

jasina@pg.gda.pl 

 

i

j

i

j

i

j

ni

nj

ri

rj

n

r

l

l

l

N N

M M

T T

P

R

ds

ds

ds

EA

EI

GA

κ

∆ +

∆ =

+

+

∑

∑

∫

∫

∫

, (8.6) 

 

j

i

j

i

j i

kj

ki

rj

ri

k

r

l

l

l

N N

M M

T T

P

R

ds

ds

ds

EA

EI

GA

κ

∆ +

∆ =

+

+

∑

∑

∫

∫

∫

. (8.7) 

Łatwo można zauważyć, że prawe strony w powyższych równaniach są sobie 
równe. 
Przyrównując zatem do siebie lewe strony równań (8.6) i (8.7) otrzymujemy  
twierdzenie Bettiego o wzajemności prac. 

Twierdzenie 
Jeżeli na ustrój sprężysty działają dwa niezależne  od  siebie  układy obciążeń 
(układy sił), spełniające warunki równowagi, to praca obciążeń pierwszego 
układu wykonywana na przemieszczeniach wywołanych drugim układem 
obciążeń równa jest pracy obciążeń drugiego układu wykonywanej na prze-
mieszczeniach wywołanych pierwszym układem obciążeń. 

 

. (8.8) 

ni

nj

ri

rj

kj

ki

rj

ri

n

r

k

r

P

R

P

R

∆ +

∆ =

∆ +

∆

∑

∑

∑

∑

          

 

Rys. 8.3                                                                Rys. 8.4 

 

 

. (8.9) 

2

3

1

1

ni

nj

kj

ki

n

k

P

P

=

=

∆ =

∆

∑

∑

2

3

1

1

ni

nj

Ai

Aj

kj

ki

Bj

Bi

n

k

P

R

P

=

=

∆ +

∆ =

∆ +

∑

∑

 

. (8.10) 

R

∆

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

37 

– 

jasina@pg.gda.pl 

8.3.  Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń (E. Betti – J.C. Maxwell) 
Z twierdzenia Bettiego (równanie (8.8)) wynika wprost twierdzenie o wzajem-
ności przemieszczeń. 
 
Jeżeli założymy, że zarówno w stanie 

 jak i  (  podpory rozważanego ukła-

du nie ulegają przemieszczeniom, czyli  

( )

i

)

j

( )

r

1

=

kj

kj

P

 

 (8.11) 

0

∆ = ∆ =

ri

rj

dla wszystkich 

, 

przyjmując równocześnie, że w obu stanach działają jedynie siły jednostkowe 

 

,   

, (8.12) 

1

=

ni

ni

P

wówczas z twierdzenia Bettiego otrzymujemy 

 

1

1

δ

δ

=

∑

∑

ni

nj

kj

ki

n

k

,   (

δ

 – od obciążenia jednostkowego). 

(8.13) 

 
Lewa strona powyższej zależności reprezentuje sumę przemieszczeń w miejscu 
sił układu  ( )  wywołane jednostkowymi obciążeniami ze stanu  (  

i

)

j

 

1

δ

δ

=

ni

nj

ij

∑

n

1

2

j

j

ij

. (8.14) 

 

δ

δ

δ

+

=

( )

j

1

   (por. Rys.  8.3). 

 

 
Analogicznie prawa strona równania (8.13) reprezentuje sumę przemieszczeń w 
miejscu sił układu 

 wywołane jednostkowymi obciążeniami ze stanu  ( )  

i

 

δ

δ

ji

=

∑

kj

ki

k

1

2

3

i

i

i

ji

. (8.15) 

 

δ

δ

δ

δ

+

+

=

   (por. Rys.  8.4). 

 

Po uwzględnieniu (8.14) i (8.15), równanie (8.13) można zapisać w postaci 

. (8.16) 

 

δ

δ

=

ij

ji

Powyższa zależność opisuje twierdzenie Betti-Maxwella o wzajemności prze-
mieszczeń. 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

38 

– 

jasina@pg.gda.pl 

Twierdzenie 
Przemieszczenie w miejscu 

 wywołane jednostkowym obciążeniem 

działającym w miejscu 

 jest równe przemieszczeniu w miejscu  (  wy-

wołane jednostkowym obciążeniem 

działającym w miejscu 

. 

( )

i

(1 )

j

( )

j

)

j

(1 )

i

( )

i

 
Można założyć,  że w każdym z rozpatrywanych poniżej stanów obciążenia 
działa tylko jedna obciążająca siła uogólniona. 

 

Rys. 8.5 

 

Rys. 8.6 

 
Ad. Rys 8.5, Rys 8.6 

  1

1

δ

δ

δ

δ

=

⇒

=

j

ji

ij

ji

 (8.17) 

i

ij

Uwaga: zaznaczone na rys 8.6 przemieszczenie 

 jest równe kątowi 

δ

ij

δ

ji

i

, co 

oznacza, że praca jednostkowej siły 1  na przemieszczeniu 

δ

ij

j

 jest równa pracy 

momentu 1  na kącie obrotu 

. 

δ

ji

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

39 

– 

jasina@pg.gda.pl 

 

Rys. 8.7 

Ad. Rys 8.7 

 

1

2

δ

δ

δ

δ

+

=

=

j

j

ij

ji

   (porównaj ze wzorem (8.1)). 

(8.18) 

8.4.  Twierdzenie o wzajemności reakcji (J.W. Rayleigh) 
Podobnie, z twierdzenia Bettiego (równanie (8.8)) wynika wprost twierdzenie o 
wzajemności reakcji. 
 
Jeżeli założymy,  że zarówno w stanie 

 jak i 

 siły obciążające są równe 

zeru, czyli  

( )

i

( )

j

0

=

=

ni

kj

P

P

)

n

1

∆ =

ri

ri

1

∆ =

rj

rj

( )

r

1

1

ri

rj

rj

ri

r

r

r

r

=

∑

∑

ij

ji

r

r

=

 

, (8.19) 

dla wszystkich  (  oraz  ( , przyjmując równocześnie, że w obu stanach ob-
ciążenia stanowią jedynie jednostkowe przemieszczenia podpór 

)

k

 

,   

 (8.20) 

przynajmniej dla niektórych 

 w każdym stanie, wówczas z twierdzenia 

Bettiego otrzymujemy 

 

. (8.21) 

Zgodnie z przyjętymi wcześniej oznaczeniami równanie (8.21) można zapisać w 
postaci 

 

. (8.22) 

Powyższa zależność opisuje twierdzenie Rayleigha o wzajemności reakcji. 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

40 

– 

jasina@pg.gda.pl 

Twierdzenie 
Reakcja w miejscu i na kierunku 

 wywołana jednostkowym przemieszcze-

niem 

 zadanym w miejscu i na kierunku  (  jest równa reakcji w miejscu i 

na kierunku 

 wywołanej jednostkowym przemieszczeniem  (1  zadanym w 

miejscu i na kierunku 

. 

( )

i

(1 )

j

)

j

( )

j

)

i

( )

i

 

Rys. 8.8 

 

Rys. 8.9 

Ad. Rys 8.8, Rys 8.9 

 

. (8.23) 

ij

ji

r

r

=

 

Rys. 8.10 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

41 

– 

jasina@pg.gda.pl 

Ad. Rys. 8.10 

 

. (8.24) 

1

2

ij

j

j

ji

r

r

r

r

=

+

=

8.5.  Twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń (Müller-Breslau) 
Z podanego na wstępie twierdzenia Bettiego (równanie (8.8)) wynika również 
twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń. 
 
Jeżeli założymy, że w stanie 

 obciążenie stanowią jedynie siły jednostkowe 

( )

i

 

 (8.25) 

1

=

ni

ni

P

( )

r

( )

j

1

∆ =

rj

0

=

ki

P

1

1

0

ri

rj

n

r

r

δ

′

′

+

=

∑

∑

ij

ji

r

przynajmniej dla jednego  ( ,  

)

n

a podpory rozważanego układu nie ulegają przemieszczeniom, czyli 

 

 (8.26) 

0

∆ =

ri

dla wszystkich 

,  

zaś w stanie 

 obciążenie stanowią jedynie jednostkowe przemieszczenia 

 

 (8.27) 

przynajmniej dla jednego  ( ,  

)

r

a wszystkie siły równe są zeru 

 

 (8.28) 

to wówczas z twierdzenia Bettiego otrzymujemy 

 

. (8.29) 

ni

nj

Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami równanie (8.29) można zapisać w postaci 

δ

′

′

= −

(1 )

j

)

j

. (8.30) 

 

Powyższa zależność opisuje twierdzenie Müllera-Breslaua o wzajemności 
przemieszczeń i reakcji. 

Twierdzenie 
Przemieszczenie w miejscu i na kierunku 

 wywołane jednostkowym prze-

mieszczeniem 

 zadanym w miejscu i na kierunku  (  jest równe, ze zna-

( )

i

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

42 

– 

jasina@pg.gda.pl 

kiem przeciwnym, reakcji w miejscu i na kierunku  (  wywołanej jednostko-
wym obciążeniem 

działającym w miejscu 

. 

)

j

(1 )

i

( )

i

 

Rys. 8.11 

 

ij

ji

r

δ

′ = − ′ . (8.31)