1. LICZBY ZESP

Def. 1.1.4 (odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych)
Niech z

1

, z

2

 

 C będą dowolnymi liczbami zespolonymi.

1. odejmowanie liczb zespolonych określamy wzorem:

)

(

2

1

2

1

z

z

z

z

def









2. dzielenie liczb zespolonych określamy wzorem:

2

1

2

1

1

z

z

z

z

def





, o ile z

2

 

 0.

Uwaga. Wszystkie reguły czterech podstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) 
znane z liczb rzeczywistych obowiązują także w zbiorze liczb zespolonych. W szczególności prawdziwe są wzory skróconego 
mnożenia, wzory na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego itd.

Fakt 1.1.5 (zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych)
Podzbiór R zbioru liczb zespolonych C złożony z liczb postaci (x,0), gdzie x 

 R, ma następujące własności:

1.

)

0

,

(

)

0

,

(

)

0

,

(

2

1

2

1

x

x

x

x







,

2.

)

0

,

(

)

0

,

(

)

0

,

(

2

1

2

1

x

x

x

x







,

3.

)

0

,

(

)

0

,

(

)

0

,

(

2

1

2

1

x

x

x

x







,

4.















0

,

)

0

,

(

)

0

,

(

2

1

2

1

x

x

x

x

, gdzie x

2

 

 0.

Uwaga. Z własności tych wynika, zbiór R można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych R. Będziemy pisali  x zamiast 
(x,0); w szczególności 0 = (0,0) oraz 1 = (1,0).

1.2 POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ

Def. 1.2.1 (jednostka urojona)
Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez i;

)

1

,

0

(

def

i



.

Fakt 1.2.2 (postać algebraiczna liczby zespolonej)
Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci:

iy

x

z





,

gdzie 

R

y

x



,

.

Uwaga. Ten sposób przedstawienia liczb zespolonych nazywamy ich postacią algebraiczną. Nie każde przedstawienie liczby 
zespolonej w postaci x + iy jest jej postacią algebraiczną. Niezbędne jest dodanie warunku x, y 

 R.

Def. 1.2.3 (część rzeczywista i urojona liczby zespolonej)
Niech x + iy będzie postacią algebraiczną liczby zespolonej z. Wówczas
1. liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, co zapisujemy

x

z

def



Re

,

2. liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z, co zapisujemy

y

z

def



Im

.

Liczbę zespoloną postaci 

iy

, gdzie y 

 R \ {0}, nazywamy liczbą czysto urojoną.

Rys. 1.2.1 Interpretacja geometryczna jednostek rzeczywistej i urojonej oraz liczby zespolonej 

w postaci algebraicznej.

2

Uwaga. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy tak, jak dodawanie, 
odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej  i, przy warunku  

1

2





i

. Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną  x  +  iy, 

gdzie x, y 

 R, należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez liczbę x – iy, aby w mianowniku uzyskać liczbę rzeczywistą.

Fakt 1.2.4 (o równości liczb zespolonych w postaci algebraicznej)
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe, tzn.















2

1

2

1

2

1

Im

Im

Re

Re

z

z

z

z

z

z

.

1.3 SPRZĘŻENIE I MODUŁ LICZBY ZESPOLONEJ

Def. 1.3.1 (sprzężenie liczby zespolonej)
Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y 

 R, nazywamy liczbę zespoloną 

z

 określoną wzorem:

iy

x

z

def





.

Liczba sprzężona do liczby zespolonej jest jej obrazem w symetrii osiowej względem osi Rez.

Fakt 1.3.2 (własności sprzężenia liczb zespolonych)
Niech z, z

1

, z

2

 

 C. Wtedy

1. 

2

1

2

1

z

z

z

z







5. 

z

z

z

Re

2





2. 

2

1

2

1

z

z

z

z







6. 

z

i

z

z

Im

2





3. 

2

1

2

1

z

z

z

z







7. 

 

z

z



4. 

2

1

2

1

z

z

z

z















, o ile z

2

 

 0

8. 

 

 

z

z

Im

Im





Uwaga. Równości podane w punktach 1 i 3 prawdziwe są odpowiednio dla dowolnej liczby składników i czynników.

Def. 1.3.3 (moduł liczby zespolonej)
Modułem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y 

 R, nazywamy liczbę rzeczywistą |z| określoną wzorem:

2

2

y

x

z

def





.

Moduł   liczby   zespolonej   jest   uogólnieniem   wartości   bezwzględnej   liczby   rzeczywistej.   Geometrycznie   moduł   liczby 
zespolonej z jest odległością punktu z od początku układu współrzędnych.
Uwaga. Moduł różnicy liczb zespolonych z

1

, z

2

 jest długością odcinka łączącego punkty z

1

, z

2

 płaszczyzny zespolonej.

Fakt 1.3.4 (własności modułu liczby zespolonej)
 Niech z, z

1

, z

2

 

 C. Wtedy

1. 

z

z

z







5. 

2

1

2

1

z

z

z

z







2. 

2

1

2

1

z

z

z

z







6. 

2

z

z

z





3. 

2

1

2

1

z

z

z

z



, o ile z

2

 

 0

7. 

z

z



Re

4. 

2

1

2

1

z

z

z

z







8. 

z

z



Im

Uwaga. Warunki podane w punktach 2 i 4 powyższego faktu prawdziwe są także dla dowolnej liczby odpowiednio czynników 
i składników. Przy obliczaniu ilorazu liczb zespolonych w i z 

 0 wygodnie jest stosować tożsamość:

2

z

z

w

z

w 

.

3

1.4 POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ

Def. 1.4.1 (argument i argument główny liczby zespolonej)
Argumentem liczby zespolonej z = x + iy 

 0, gdzie x, y  R, nazywamy każdą liczbę 

  R spełniającą układ równań:

















z

y

z

x





sin

cos

.

Przyjmujemy, że argumentem liczby z = 0 jest każda liczba 

  R. Argumentem głównym liczby zespolonej z  0 nazywamy 

argument 

 tej liczby spełniający nierówność 0   < 2. Przyjmujemy, że argumentem głównym liczby z = 0 jest 0. Argument 

główny liczby zespolonej z oznaczamy przez 

z

arg

. Każdy argument 

 liczby zespolonej z  0 ma postać





k

z

2

arg





, gdzie k 

 Z.

Rys. 1.4.1 Argument liczby zespolonej

Rys. 1.4.2 Argument główny liczby zespolonej

Uwaga. Argumenty liczby zespolonej są miarami  z  są miarami kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi 
rzeczywistej i wektor wodzący tej liczby (rys. 1.4.1). Argument główny liczby zespolonej jest najmniejszą nieujemną miarą 
kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej i wektor wodzący tej liczby (rys. 1.4.2). Czasem 
przyjmuje się, że argument główny liczby zespolonej jest liczbą z przedziału (-

,].

Fakt 1.4.2 (postać trygonometryczna liczby zespolonej)
Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci:









sin

cos

i

r

z





,

gdzie r 

 0 oraz 

  R. Liczba r jest wówczas modułem liczby z, a  jednym z jej argumentów.

Fakt 1.4.3 (równość liczb zespolonych postaci trygonometrycznej)
Liczby zespolone 





1

1

1

1

sin

cos





i

r

z





, 





2

2

2

2

sin

cos





i

r

z





, gdzie r

1

, r

2

 

 0 oraz 



1

, 



2 

 R, są równe 

wtedy i tylko wtedy, gdy:

0

2

1



 r

r

     albo     

0

2

1



 r

r

oraz 







k

2

2

1





 dla pewnego k 

 Z.

Fakt 1.4.4 (mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometryczne)
Niech  





1

1

1

1

sin

cos





i

r

z





,  





2

2

2

2

sin

cos





i

r

z





,  gdzie  r

1

,  r

2

 

  0 oraz  



1

,  



2  

  R  będą liczbami 

zespolonymi. Wtedy
1.





)

sin(

)

cos(

2

1

2

1

2

1

2

1



















i

r

r

z

z

2.





)

sin(

)

cos(

2

1

2

1

2

1

2

1

















i

r

r

z

z

, o ile z

2

 

 0.

Inaczej mówiąc, przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy. Podobnie, przy dzieleniu 
liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy.

Uwaga. Pierwszy ze wzorów w ostatnim fakcie jest prawdziwy także dla dowolnej liczby czynników.

Fakt 1.4.5 (o argumentach iloczynu, ilorazu, sprzężenia oraz liczby przeciwnej)
Niech z, z

1

, z

2

 

 C oraz niech n  N. Wtedy

1.



k

z

z

z

z

2

arg

arg

)

arg(

2

1

2

1







 dla pewnego k 

 Z;

2.

 



k

z

n

z

n

2

arg

arg





 dla pewnego k 

 Z;

4

3.



k

z

z

z

z

2

arg

arg

arg

2

1

2

1



















 dla pewnego k 

 Z, o ile z

2

 

 0;

4.

 



k

z

z

2

arg

arg







 dla pewnego k 

 Z;

5.





k

z

z

2

arg

)

arg(









 dla pewnego k 

 Z;

6.



k

z

z

2

arg

1

arg



















 dla pewnego k 

 Z, o ile z  0;

Uwaga. W rzeczywistości k może przyjmować wartości 1. 0 lub –1; 2. dowolne; 3. 0 lub 1; 4. 1; 5. 0, 1 lub –1; 6. 1.

Fakt 1.4.6 (wzór de Moivre’a)
Niech 









sin

cos

i

r

z





, gdzie r 

 0, 



 

 R oraz niech n

 

 N. Wtedy









n

i

n

r

z

n

n

sin

cos





.

Def. 1.4.7 (symbol 



i

e

)

Dla 



 

 R liczbę zespoloną cos

 + isin oznaczamy krótko przez 



i

e

;







sin

cos

i

e

def

i





.

Fakt 1.4.8 (własności symbolu 



i

e

)

Niech 

, 

1

, 



2

 będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech k będzie dowolną liczbą całkowitą. Wtedy

1. 





2

1

2

1









i

i

i

e

e

e







5. 

0





i

e

2. 





2

1

2

1









i

i

i

e

e

e





6. 











l

e

e

i

i

2

2

1

2

1









, gdzie l 

 Z

3. 

 





ik

k

i

e

e



7. 

1





i

e

4. 











i

k

i

e

e



2

8. 

 







l

e

i

2

arg





 dla pewnego l 

 Z

Fakt 1.4.9 (postać wykładnicza liczby zespolonej)
Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci wykładniczej, tj. w postaci



i

re

z



,

gdzie r 

 0, 



 

 R. Liczba r jest wówczas modułem liczby z, a 

 jej argumentem.

Fakt 1.4.10 (o równości liczb zespolonych w postaci wykładniczej)
Niech r

1

, r

2

 

 0 oraz 



1

, 



2 

 R. Wówczas

0

2

1

2

1

2

1









r

r

e

r

e

r

i

i





   albo   

0

2

1



 r

r

 oraz 







k

2

2

1





, gdzie k 

 Z.

Fakt 1.4.11 (działania na liczbach zespolonych w postaci wykładniczej)
Niech  



i

e

z



, 

1

1



i

e

z



, 

2

2



i

e

z



, gdzie  r, r

1

,  r

2

 

 0 oraz  

, 

1

, 



2  

 R, będą liczbami zespolonymi oraz niech k 

będzie liczbą całkowitą. Wtedy

1. 



i

re

z





4. 



ik

k

k

e

r

z



2. 

)

(



 





i

re

z

5. 

)

(

2

1

2

1

2

1



 





i

e

r

r

z

z

3. 



i

e

r

z





1

1

, o ile z 

 0

6. 

)

(

2

1

2

1

2

1









i

e

r

r

z

z

, o ile z

2

 

 0

1.5 PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH

Def. 1.5.1 (pierwiastek z liczby zespolonej)
Pierwiastkiem stopnia n 

 N z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w spełniającą równość:

z

w

n



.

5

Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z oznaczamy przez 

n

z

.

Uwaga. Symbol  

n

  ma inne znaczenie w odniesieniu do liczb rzeczywistych, a inne do liczb zespolonych (w tym także 

rzeczywistych traktowanych jak zespolone). Pierwiastek w dziedzinie  rzeczywistej  jest  określony jednoznacznie  i jest to 
funkcja  R 

  R  dla  n  nieparzystych oraz [0,)  [0,) dla  n  parzystych. Pierwiastkowanie w dziedzinie zespolonej jest 

natomiast rozwiązywaniem równania 

z

w

n



, zatem 

n

z

 jest zbiorem rozwiązań tego równania. Symbolu pierwiastka w 

dziedzinie zespolonej nie wolno używać do żadnych działań i obliczeń, gdyż podstawowe wzory dla pierwiastków, prawdziwe 
w dziedzinie rzeczywistej tutaj nie mają sensu, np. 

2

4

z

z



.

Fakt 1.5.2 (wzór na pierwiastki z liczby zespolonej)
Każda liczba zespolona 









sin

cos

i

r

z





, gdzie r 

 0 oraz 

  R, ma dokładnie n pierwiastków stopnia n. Zbiór 

tych pierwiastków ma postać:





1

1

0

,

,

,





n

n

w

w

w

z



,

gdzie



















n

k

i

n

k

r

w

n

k









2

sin

,

2

cos

 dla k = 0, 1, …, n – 1.

Uwaga. Dla k = 0, 1, …, n – 2 prawdziwa jest zależność:

k

k

k

n

i

n

w

n

i

n

w

w







































2

sin

,

2

cos

2

sin

,

2

cos

0

1

.

Fakt 1.5.2 (interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej)
Zbiór pierwiastków stopnia n 

 3 z liczby zespolonej 









sin

cos

i

r

z





, gdzie r = |z| oraz 

 = argz, pokrywa się ze 

zbiorem wierzchołków n–kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 

n

r

 i środku w początku układu współrzędnych. 

Pierwszy wierzchołek tego wielokąta jest w punkcie 

















n

i

n

r

w

n





sin

cos

0

, a kąt między promieniami wodzącymi 

kolejnych wierzchołków jest równy 

n



2

 (rys. 1.5.1).

Rys. 1.5.1 Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej

2. WIELOMIANY

2.1 PODSTAWOWE POJĘCIA I WŁASNOŚCI

Def. 2.1.1 (wielomian rzeczywisty)
Wielomianem rzeczywistym stopnia n 

 N  {0} nazywamy funkcję W: R  R określoną wzorem:

0

1

1

1

)

(

a

x

a

x

a

x

a

x

W

n

n

n

n

















,

gdzie a

k

 

 R dla 0  k  n oraz a

n

 

 0. Ponadto przyjmujemy, że funkcja W(x)  0 jest wielomianem stopnia –. Liczby a

k

, 0 

 

k 

 n, nazywamy współczynnikami wielomianu W.

Def. 2.1.2 (wielomian zespolony)
Wielomianem zespolonym stopnia n 

 N  {0} nazywamy funkcję W: C  C określoną wzorem:

0

1

1

1

)

(

c

z

c

z

c

z

c

z

W

n

n

n

n

















,

gdzie c

k

 

 C dla 0  k  n oraz c

n

 

 0. Ponadto przyjmujemy, że funkcja W(z)  0 jest wielomianem stopnia –. Liczby c

k

, 0 

 

k 

 n, nazywamy współczynnikami wielomianu W.

6

Uwaga. Każdy wielomian rzeczywisty można traktować jako wielomian zespolony rozszerzając jego dziedzinę z R na C. Tak 
będziemy postępować przy omawianiu  pierwiastków zespolonych  wielomianów  rzeczywistych. Wielomian zespolony lub 
rzeczywisty będziemy nazywali krótko wielomianem.

Def. 2.1.3 (suma, różnica i iloczyn wielomianów)
Niech P i Q będą wielomianami. Sumę, różnicę i iloczyn wielomianów P i Q określamy w sposób naturalny, tj. przyjmujemy:





)

(

)

(

)

(

x

Q

x

P

x

Q

P

def







,





)

(

)

(

)

(

x

Q

x

P

x

Q

P

def







.

Def. 2.1.4 (podzielność wielomianów)
Mówimy, że wielomian S jest ilorazem, a wielomian R resztą z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli dla każdego 
x 

R (x  C) spełniony jest warunek

)

(

)

(

)

(

)

(

x

R

x

S

x

Q

x

P







oraz stopień reszty R jest mniejszy od stopnia dzielnika Q.
Jeżeli R(x) 

 0, to mówimy, że wielomian P jest podzielny przez wielomian Q.

2.2 PIERWIASTKI WIELOMIANÓW

Def. 2.2.1 (pierwiastek wielomianu)
Liczbę rzeczywistą (zespoloną) x

0

 nazywamy pierwiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu W, jeżeli W(x

0

) = 0.

Tw. 2.2.2 (Bezout)
Liczba x

0 

jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że

)

(

)

(

)

(

0

x

P

x

x

x

W





.

Uwaga. Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x – x

0

 jest równa W(x

0

).

Def. 2.2.3 (pierwiastek wielokrotny wielomianu)
Liczba x

0

 jest pierwiastkiem k–krotnym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że

)

(

)

(

)

(

0

x

P

x

x

x

W

k





  oraz  

0

)

(

0



x

P

.

Fakt 2.2.4 (o pierwiastkach wielokrotnych wielomianu)
Liczba x

0

 jest pierwiastkiem k–krotnym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy

0

)

(

)

(

)

(

0

)

1

(

0

/

0









x

W

x

W

x

W

k



  oraz  

0

)

(

0

)

(



x

W

k

.

Tw. 2.2.5 (o pierwiastkach całkowitych wielomianu)
Niech

0

1

1

1

)

(

a

x

a

x

a

x

a

x

W

n

n

n

n

















będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba całkowita p 

 0 będzie pierwiastkiem wielomianu W. 

Wtedy p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a

0

.

Tw. 2.1.6 (o pierwiastkach wymiernych wielomianu)
Niech

0

1

1

1

)

(

a

x

a

x

a

x

a

x

W

n

n

n

n

















będzie wielomianem   stopnia  n  o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba wymierna  

q

p

, gdzie  p  i  q  są liczbami 

całkowitymi względnie pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu W. Wtedy p jest dzielnikiem współczynnika a

0

, a q jest 

dzielnikiem współczynnika a

n

 tego wielomianu.

Uwaga. Jeżeli a

n

 = 1, to wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu są całkowite.

2.3 ZASADNICZE TWIERDZENIE ALGEBRY

Tw. 2.3.1 (zasadnicze twierdzenie algebry)
Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.

Fakt 2.3.2 (o przedstawieniu wielomianu w postaci iloczynu dwumianów)
1. Każdy   wielomian   zespolony   stopnia  n 

  N  ma   dokładnie  n  pierwiastków   zespolonych   (uwzględniając   pierwiastki 

wielokrotne).

2. Niech wielomian W stopnia n 

 N  ma pierwiastki zespolone z

j

 o krotnościach odpowiednio k

j

, gdzie k

j

 

 N dla 1  j  m 

oraz k

1

 + k

2

 + … + k

m

 = n. Wtedy 

m

k

m

k

k

n

z

z

z

z

z

z

c

z

W

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

















,

7

gdzie c

n

 jest współczynnikiem stojącym przy z

n

 w wielomianie W.

Fakt 2.3.3 (wzory Viete’a)
Niech 

0

1

1

1

)

(

c

z

c

z

c

z

c

z

W

n

n

n

n

















 będzie wielomianem zespolonym stopnia n 

 N. Wówczas liczby 

z

1

, z

2

, ..., z

n

 są pierwiastkami wielomianu W (z uwzględnieniem krotności) wtedy i tylko wtedy, gdy

 









































































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

c

c

z

z

z

z

z

c

c

z

z

z

z

z

z

z

z

z

c

c

z

z

z

z

z

z

c

c

z

z

z

0

1

3

2

1

3

1

2

4

2

1

3

2

1

2

1

3

1

2

1

1

2

1

1

...

...

...

...

.

Uwaga.   Jeżeli   znamy   niektóre   pierwiastki   wielomianu,   to   wzory   Viete’a   pozwalają   znaleźć   pozostałe   pierwiastki   tego 
wielomianu.

Fakt 2.3.4 (o pierwiastkach zespolonych wielomianu rzeczywistego)
Niech W będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Wówczas liczba zespolona z

0

 jest k–krotnym pierwiastkiem 

wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy liczba 

0

z

 jest pierwiastkiem k–krotnym tego wielomianu.

Tw. 2.3.5 (o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na czynniki rzeczywiste)
Niech W będzie wielomianem stopnia n 

 N o współczynnikach rzeczywistych. Ponadto niech x

j

 będą pierwiastkami rzeczywi-

stymi tego wielomianu o krotności  k

j

, gdzie  k

j

 

  N  dla 1    j   r oraz niech  

j

j

z

z ,

, gdzie Imz

j

  > 0, będą pierwiastkami 

zespolonymi tego wielomianu o krotności l

j

, gdzie 1 

 j  s, przy czym 









n

l

l

k

k

s

r













...

2

...

1

1

. Wtedy

s

r

l

s

s

l

k

r

k

n

q

x

p

x

q

x

p

x

x

x

x

x

a

x

W

)

(

...

)

(

)

(

...

)

(

)

(

2

1

1

2

1

1

1

























,

gdzie p

j

 =  –2Rez

j

 oraz q

j

 = |z

j

|

2

 dla 1 

 j  s, a a

n

 jest współczynnikiem wielomianu W stojącym przy x

n

.

Inaczej mówiąc, każdy wielomian rzeczywisty można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów rzeczywistych stopnia co 
najwyżej drugiego. Mówimy wówczas o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na rzeczywiste czynniki nierozkładalne.

2.4 UŁAMKI PROSTE

Def. 2.4.1 (funkcja wymierna)
Funkcją wymierną rzeczywistą (zespoloną) nazywamy iloraz dwóch wielomianów rzeczywistych (zespolonych).

Def. 2.4.2 (funkcja wymierna właściwa)
Funkcję wymierną nazywamy właściwą, jeżeli stopień wielomianu w liczniku ułamka określającego tę funkcję jest mniejszy 
od stopnia wielomianu w mianowniku.
Uwaga. Każda funkcja wymierna jest sumą wielomianu oraz funkcji wymiernej właściwej.

Def. 2.4.3 (ułamki proste)
1. Zespolonym ułamkiem prostym nazywamy zespoloną funkcję wymierną postaci:

n

a

z

A

)

(



, gdzie A, a 

 C oraz n  N.

2. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy rzeczywistą funkcję wymierną postaci:

n

a

x

A

)

(



, gdzie A, a 

 R oraz n  N.

3. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy rzeczywistą funkcję wymierną postaci:

n

q

px

x

B

Ax

)

(

2







, gdzie p, q, A, B 

 R oraz n  N, przy czym 

0

4

2









q

p

8

Tw. 2.4.4 (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
Każda   funkcja   wymierna   właściwa   rzeczywista   (zespolona)   jest   sumą   rzeczywistych   (zespolonych)   ułamków   prostych. 
Przedstawienie to jest jednoznaczne.

1. Zespolona funkcja wymierna właściwa postaci 

)

(

)

(

z

Q

z

P

, gdzie

m

k

m

k

k

n

z

z

z

z

z

z

c

z

Q

)

(

...

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1













,

jest sumą k

1

 + k

2

 + ... + k

m

 zespolonych ułamków prostych, przy czym czynnikowi 

i

k

i

z

z

)

(



 odpowiada suma k

i

 ułamków 

prostych postaci:









i

i

k

i

ik

i

i

i

i

z

z

A

z

z

A

z

z

A













...

2

2

1

,

gdzie A

i1

, A

i2

, …, 

i

k

Ai

 C dla 1  i  m.

2. Rzeczywista funkcja wymierna właściwa postaci 

)

(

)

(

x

Q

x

P

, gdzie

s

r

l

s

s

l

l

k

r

k

k

n

q

x

p

x

q

x

p

x

q

x

p

x

x

x

x

x

x

x

a

x

Q

)

(

...

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1



































,

jest sumą k

1

 + k

2

 + ... + k

m

 rzeczywistych ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz l

1

 + l

2

 + ... + l

s

 rzeczywistych ułamków 

prostych drugiego rodzaju, przy czym
 czynnikowi 

i

k

i

x

x

)

(



 odpowiada suma k

i

 ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci









i

i

k

i

ik

i

i

i

i

x

x

A

x

x

A

x

x

A













...

2

2

1

,

gdzie A

i1

, A

i2

, …, 

i

k

Ai

 R dla 1  i  r.

 czynnikowi 

j

l

j

j

q

x

p

x

)

(

2





 odpowiada suma l

j

 ułamków prostych drugiego rodzaju postaci









j

j

j

l

j

j

jl

jl

j

j

j

j

j

j

j

j

q

x

p

x

C

x

B

q

x

p

x

C

x

B

q

x

p

x

C

x

B

























2

2

2

2

2

2

1

1

...

,

gdzie 

R

C

C

C

B

B

B

j

j

jl

j

j

jl

j

j



,...

,

,

,...,

,

2

1

2

1

 dla 1 

 j  s.

3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

3.1 MACIERZE – PODSTAWOWE OKREŚLENIA

Def. 3.1.1 (macierz rzeczywista i zespolona)
Macierzą  rzeczywistą   (zespoloną)  wymiaru  m 

  n, gdzie  m,  n    N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną  z  mn  liczb 

rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolumnach.

Uwaga. Macierze będziemy oznaczali dużymi literami alfabetu np. A, B, X itp. Element macierzy A stojący w i–tym wierszu 
oraz w j–tej kolumnie oznaczamy przez a

ij

. Macierz A można także zapisywać w postaci 

n

m

ij

a



]

[

 lub [a

ij

], gdy znany jest 

jej wymiar. Macierze A lub B są równe, gdy mają te same wymiary m 

 n oraz a

ij

 = b

ij

 dla każdego 1 

 i  m oraz 1  j  n.

Def. 3.1.2 (rodzaje macierzy)
1. Macierz wymiaru m 

 n, której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy macierzą zerową wymiaru m  n i oznaczmy 

n

m



0

 lub przez 

0

, gdy znamy jej wymiar.

9

























0

0

0

0

0

0

0

0

0















2. Macierz, której liczba wierszy równa się liczbie kolumn nazywamy macierzą  kwadratową. Liczbę  wierszy (kolumn) 

nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadratowej. Elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza co kolumny, 
tworzą główną przekątną macierzy.

3. Macierz kwadratową stopnia  n 

 2, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy 

macierzą trójkątną dolną stopnia n.

































nn

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



















3

2

1

33

32

31

22

21

11

0

0

0

0

0

0

Podobnie określa się macierz trójkątną górną.

































nn

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



















0

0

0

0

0

0

3

33

2

23

22

1

13

12

11

4. Macierz kwadratową stopnia  n, w której wszystkie elementy nie stojące na głównej przekątnej są równe 0, nazywamy 

macierzą diagonalną lub przekątniową stopnia n.

































nn

a

a

a

a



















0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

33

22

11

Macierz   diagonalną   stopnia  n,   w   której   wszystkie   elementy   głównej   przekątnej   są   równe   1,   nazywamy   macierzą 
jednostkową stopnia n. Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy przez I

n

 lub przez I, gdy znany jest jej stopień.

































1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1



















3.2 DZIAŁANIA NA MACIERZACH

Def. 3.2.1 (suma i różnica macierzy)
Niech A = [a

ij

] i B = [b

ij

] będą macierzami wymiaru m 

 n. Sumą (różnicą) macierzy A i B nazywamy macierz C = [c

ij

], której 

elementy określone są wzorem:

ij

ij

def

ij

b

a

c





   

















ij

ij

def

ij

b

a

c

dla 1 

 i  m oraz 1  j  n. Piszemy wtedy C = A + B  (C = A – B).

10

Def. 3.2.2 (mnożenie macierzy przez liczbę)
Niech A = [a

ij

] będzie macierzą wymiaru m 

 n oraz niech 

 będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Iloczynem macierzy A 

przez liczbę 

 nazywamy macierz B = [b

ij

], której elementy są określone wzorem:

ij

def

ij

a

b





dla 1 

 i  m oraz 1  j  n. Piszemy wtedy B = 

A.

Fakt 3.2.3 (własności działań na macierzach)
Niech  A,  B,  C  będą dowolnymi macierzami tego samego wymiaru rzeczywistymi lub zespolonymi oraz niech  

,    będą 

odpowiednio liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Wtedy

1. A + B = B + A

5. 

(A + B) = A + B

2. A + (B + C) = (A + B) + C

6. (

 + )A = A + A

3. A + 0 =  0 + A = A

7. 1

A = A

4. A + (–A)   = 0  

8. (

)A = (A)

Def. 3.2.4 (iloczyn macierzy)
Niech A = [a

ij

] ma wymiar m 

 n, a macierz B = [b

ij

] wymiar n 

 k. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [c

ij

], 

wymiaru m 

 k, której elementy określone są wzorem:

nj

in

j

i

j

i

def

ij

b

a

b

a

b

a

c









...

2

2

1

1

dla 1 

 i  m oraz 1  j  n. Piszemy wtedy C = AB.

Uwaga. Element c

ij

 iloczynu macierzy A i B otrzymujemy sumując iloczyny odpowiadających sobie elementów i–tego wiersza 

macierzy A i j–tej kolumny macierzy B. Iloczyn macierzy A i B można obliczyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A 
równa się liczbie wierszy macierzy B.

Rys. 3.2.1 Schemat obliczania elementów iloczynu macierzy A i B

Fakt 3.2.5 (własności iloczynu macierzy)
1. Niech macierz A ma wymiar m 

 n, a macierze B i C wymiar n  k. Wtedy 

AC

AB

C

B

A





 )

(

.

2. Niech macierze A, B mają wymiar m 

 n, a macierz C wymiar n  k. Wtedy

BC

AC

C

B

A





 )

(

.

3. Niech macierz  A  ma wymiar  m 

 n, a macierz  B wymiar n  k oraz niech 

 będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. 

Wtedy

)

(

)

(

)

(

AB

B

A

B

A











.

4. Niech macierz A ma wymiar m 

 n, macierz B ma wymiar n  k, a macierz C wymiar k  l. Wtedy

)

(

)

(

BC

A

C

AB



.

5. Niech macierz A ma wymiar m 

 n. Wtedy

A

A

I

AI

m

n





.

Uwaga. Własności podane w punktach 1 i 2 nazywamy rozdzielnością dodawania względem mnożenia, a własność podaną w 
punkcie 4 łącznością mnożenia. Mnożenie macierzy kwadratowych nie jest przemienne, bowiem na ogół AB 

 BA. Zamiast 



czynników

n

A

AA...

 będziemy pisali A

n

.

11

Def. 3.2.6 (macierz transponowana)
Niech A = [a

ij

] będzie macierzą wymiaru m 

 n. Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz B = [b

ij

] wymiaru 

n 

 m określoną wzorem:

ji

def

ij

a

b



dla 1 

 i  m oraz 1  j  n. Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy A

T

.

Uwaga. Przy transponowaniu, kolejne wiersze macierzy wyjściowej stają się kolejnymi kolumnami macierzy transponowanej. 
Ilustrujemy to na przykładzie macierzy wymiaru 3 

 4.

















































34

24

14

33

23

13

32

22

12

31

21

11

34

33

32

31

24

23

22

21

14

13

12

11

,

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

T

.

Fakt 3.2.7 (własności transpozycji macierzy)
1. Niech A i B będą macierzami wymiaru m 

 n. Wtedy

T

T

T

B

A

B

A





 )

(

.

2. Niech A będzie macierzą wymiaru m 

 n oraz niech 

 będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Wtedy

 

A

A

T

T



  oraz  

 

T

T

A

A







.

3. Niech A będzie macierzą wymiaru m 

 n, a B macierzą wymiaru n  k. Wtedy

T

T

T

A

B

AB



)

(

.

4. Niech A będzie macierzą kwadratową oraz niech r 

 N. Wtedy

r

T

T

r

A

A

)

(

)

(



.

Def. 3.2.8 (macierz symetryczna i antysymetryczna)
Niech A będzie macierzą kwadratową.
1. Macierz A jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

A

A

T



.

2. Macierz A jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

A

A

T





.

Uwaga. Macierz jest symetryczna, gdy jej elementy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są sobie równe. 
Macierz   jest   antysymetryczna,   gdy   jej   elementy   położone   symetrycznie   względem   głównej   przekątnej   różnią   się   tylko 
znakiem, a elementy głównej przekątnej są równe 0.

Fakt 3.2.9 (własności macierzy symetrycznych i antysymetrycznych)
1. Niech A będzie dowolną macierzą kwadratową. Wtedy 

a) macierz A + A

T

 jest symetryczna,

b) macierz A – A

T

 jest antysymetryczna.

2. Niech A będzie dowolną macierzą. Wtedy macierze AA

T

 i A

T

A są symetryczne.

3. Każdą macierz kwadratową można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej i antysymetrycznej:



 



T

T

A

A

A

A

A









2

1

2

1

.

3.3 DEFINICJA INDUKCYJNA WYZNACZNIKA

Def. 3.3.1 (wyznacznik macierzy)
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy rzeczywistej (zespolonej) A = [a

ij

] przypi-

suje liczbę rzeczywistą (zespoloną) detA. Funkcja ta jest określona wzorem indukcyjnym:
1. jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to

11

det

a

A



,

2. jeżeli macierz A ma stopień n 

 2, to

n

n

n

A

a

A

a

A

a

A

1

1

1

12

12

2

1

11

11

1

1

det

)

1

(

...

det

)

1

(

det

)

1

(

det





















gdzie A

ij

 oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i–tego wiersza i j–tej kolumny.

Uwaga. Wyznacznik macierz A oznaczamy także przez det[a

ij

] lub |A|, a w formie rozwiniętej przez

12

























nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a















2

1

2

22

12

1

12

11

det

   lub   

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a















2

1

2

22

12

1

12

11

.

Będziemy mówili wymiennie stopień wyznacznika  

 stopień macierzy, element wyznacznika  element macierzy, wiersz 

wyznacznika 

 wiersz macierzy, kolumna wyznacznika  kolumna macierzy.

Fakt 3.3.2 (reguły obliczania wyznaczników 2-go i 3-go stopnia)

1. Niech 















d

c

b

a

A

 będzie macierzą stopnia 2. Wtedy 

.

2. Niech























i

h

g

f

e

d

c

b

a

A

 będzie nacierzą stopnia 3. Wtedy

.

Uwaga.   Podany   wyżej   sposób   obliczania   wyznaczników   stopnia   3   nazywamy   regułą   Sarrusa.   Ten   sposób   obliczania 
wyznaczników nie przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni.

Fakt 3.3.3 (interpretacja geometryczna wyznaczników 2-go i 3-go stopnia)
1. Niech  D  oznacza równoległobok rozpięty na wektorach  

)

,

(

1

1

y

x

a





,  

)

,

(

2

2

y

x

b





  (rys. 3.3.1). Pole |D| tego 

równoległoboku wyraża się wzorem:

|

det

|

2

2

1

1















y

x

y

x

D

.

Rys. 3.3.1 Interpretacja geometryczna wyznacznika drugiego stopnia

2. Niech  V  oznacza   równoległościan   rozpięty   na   wektorach  

 

)

,

,

(

1

1

1

z

y

x

a





,  

)

,

,

(

2

2

2

z

y

x

b





, 

)

,

,

(

3

3

3

z

y

x

c



 (rys. 3.3.2). Objętość |V| tego równoległościanu wyraża się wzorem:

|

det

|

3

3

3

2

2

2

1

1

1























z

y

x

z

y

x

z

y

x

V

.

13

Rys. 3.3.2 Interpretacja geometryczna wyznacznika trzeciego stopnia

Def. 3.3.4 (dopełnienie algebraiczne)
Niech A = [a

ij

] będzie macierzą kwadratową stopnia n 

 2. Dopełnieniem algebraicznym elementu a

ij

 macierzy A nazywamy 

liczbę:

ij

j

i

def

ij

A

D

det

)

1

(







,

gdzie A

ij

 oznacza macierz stopnia n – 1 powstałą przez skreślenie i–tego wiersza i j–tej kolumny macierzy A.

Tw. 3.3.5 (rozwinięcia Laplace’a wyznacznika)
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n 

 2 oraz niech liczby 1  i, j  n będą ustalone. Wtedy wyznacznik macierzy A 

można obliczyć ze wzorów:
1. 

in

in

i

i

i

i

D

a

D

a

D

a

A









...

det

2

2

1

1

.

Inaczej mówiąc, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów i–tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych. 
Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace’a wyznacznika względem i–tego wiersza.
2. 

nj

nj

j

j

j

j

D

a

D

a

D

a

A









...

det

2

2

1

1

.

Inaczej mówiąc, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów j–tej kolumny i ich dopełnień algebraicznych. 
Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace’a wyznacznika względem j–tej kilumny.

Uwaga. Dla ustalonych liczb 1 

 r, s  n, gdzie r  s, prawdziwe są wzory:

0

...

0

...

2

2

1

1

2

2

1

1

















nr

ns

r

s

r

s

rn

sn

r

s

r

s

D

a

D

a

D

a

D

a

D

a

D

a

.

Inaczej mówiąc, suma iloczynów elementów dowolnego wiersza i dopełnień algebraicznych elementów innego wiersza jest 
równa 0. Podobnie, suma iloczynów dowolnej kolumny i odpowiadających im dopełniń algebraicznych innej kolumny jest 
równa 0.

Fakt 3.3.6 (wyznacznik macierzy trójkątnej)
Niech A = [a

ij

] będzie macierzą trójkątną dolną lub górną stopnia n 

 2. Wtedy

nn

a

a

a

A









...

det

22

11

.

Inaczej mówiąc, wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej przekątnej.

3.4 DEFINICJA PERMUTACYJNA WYZNACZNIKA

*

Def. 3.4.1 (permutacja)
Permutacją n–elementową, gdzie n 

 N, nazywamy każde różnowartościowe odwzorowanie p zbioru {1, 2, …, n} na siebie. 

Permutację taką zapisujemy w postaci















n

i

p

p

p

p

n

i

p









2

1

2

1

,

gdzie p

i

 oznacza wartość permutacji p dla i, 1 

 i  n. Zbiór wszystkich permutacji n–elementowych oznaczamy przez P

n

.

Uwaga. Istnieje 

n!

 różnych permutacji n–elementowych.

Def. 3.4.2 (inwersja, znak permutacji)

Niech  















n

j

i

p

p

p

p

p

n

j

i

p













2

1

2

1

  będzie   permutacją  n–elementową.   Para   {p

i

,  p

j

}   elementów   tej 

permutacji tworzy inwersję, gdy

j

i

p

p



 oraz 

j

i



.

Znak permutacji p jest określony wzorem

k

def

p

)

1

(

)

sgn(





,

gdzie k oznacza liczbę par elementów tej permutacji, które tworzą inwersje.

14

Def. 3.4.3 (wyznacznik macierzy)
Niech A = [a

ij

] będzie macierzą kwadratową stopnia n. Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę detA określoną wzorem:







n

n

P

p

np

p

p

def

a

a

a

p

A

...

)

sgn(

det

2

1

2

1

,

gdzie 















n

p

p

p

n

p





2

1

2

1

, a sumowanie obejmuje wszystkie (tj. n!) permutacje n–elementowe.

Uwaga. Obie definicje wyznacznika, indukcyjna i permutacyjna, są równoważne.

3.5 WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW

Fakt 3.5.1 (własności wyznaczników)
1. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer jest równy 0.

0

0

0

0

0

2

1

2

22

21

1

12

11



nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a























2. Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak jeżeli między sobą przestawimy dwie kolumny (wiersze).

ni

nk

i

k

i

k

nk

ni

k

i

k

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a





















2

2

1

1

2

2

1

1





.

3. wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie jednakowe kolumny (wiersze) jest równy 0.

0

























.

4. Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten 

można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy.

nn

ni

n

n

n

i

n

i

nn

ni

n

n

n

i

n

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

c

a

ca

a

a

a

ca

a

a

a

ca

a

a

















































2

1

2

2

22

21

1

1

12

11

2

1

2

2

22

21

1

1

12

11



.

Ponadto

nn

ni

n

n

n

i

n

i

n

nn

ni

n

n

n

i

n

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

c

ca

ca

ca

ca

ca

ca

ca

ca

ca

ca

ca

ca

















































2

1

2

2

22

21

1

1

12

11

2

1

2

2

22

21

1

1

12

11



.

5. Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (wiersza) są sumami dwóch składników jest równy 

sumie wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (wiersza) są zastąpione tymi składnikami.

nn

ni

n

n

n

i

n

i

nn

ni

n

n

n

i

n

i

nn

ni

ni

n

n

n

i

i

n

i

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a









































































/

2

1

2

/

2

22

21

1

/

1

12

11

2

1

2

2

22

21

1

1

12

11

/

2

1

2

/

2

2

22

21

1

/

1

1

12

11











.

6. Wyznacznik   macierzy  nie   zmieni   się,   jeżeli   do   elementów   dowolnej   kolumny  (wiersza)   dodamy  odpowiadające   im 

elementy innej kolumny (innego wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę.

15

nn

nk

nk

nj

n

n

n

k

k

j

n

k

k

j

nn

nk

nj

n

n

n

k

j

n

k

j

a

a

ca

a

a

a

a

a

ca

a

a

a

a

a

ca

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a













































































2

1

2

2

2

2

22

21

1

1

1

1

12

11

2

1

2

2

2

22

21

1

1

1

12

11

.

Ogólnie: wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnego wiersza (kolumny) dodamy sumę odpowia-
dających im elementów innych wierszy (kolumn) tej macierzy pomnożonych przez dowolną liczbę.

7. Wyznaczniki macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe.

nn

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a





























2

1

2

22

12

1

21

11

2

1

2

22

21

1

12

11



Uwaga.   Korzystając   z   powyższych   własności   wyznaczników   można   istotnie   uprościć   jego   obliczanie.   W   tym   celu   w 
wybranym wierszu lub kolumnie wyznacznika staramy się uzyskać możliwie najwięcej zer. Do oznaczenia podanych wyżej 
operacji na macierzach będziemy stosowali następujące symbole:
1. w

i

 

 w

j

 – oznacza zamianę między sobą i–tego oraz j–tego wiersza,

2. k

i

 

 k

j

 – oznacza zamianę między sobą i–tej oraz j–tej kolumny,

3. cw

i

 – oznacza pomnożenie i–tego wiersza przez liczbę c,

4. ck

i

 – oznacza pomnożenie i–tej kolumny przez liczbę c,

5. w

i

 + cw

j

 – oznacza dodanie do elemnetów i–tego wiersza odpowiadających im elementów j–tego wiersza pomnożonych 

przez liczbę c,

6. k

i

  +  ck

j

  – oznacza dodanie do elemnetów  i–tej kolumny odpowiadających im elementów  j–tej kolumny pomnożonych 

przez liczbę c,

Wymienione wyżej przekształcenia macierzy nazywamy operacjami elementarnymi.

Fakt 3.5.2 (algorytm Chió obliczania wyznaczników)
Niech A = [a

ij

] będzie macierzą kwadratową stopnia n 

 3 oraz niech a

11

 

 0. Wówczas



































/

/

3

/

2

/

3

/

33

/

32

/

2

/

23

/

22

2

11

det

)

(

1

det

nn

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A















, gdzie 















ij

i

j

ij

a

a

a

a

a

1

1

11

/

det

dla i, j = 2, 3, …, n.
Uwaga. Algorytm Chió stosujemy głównie do obliczania wyznaczników macierzy niwielkich stopni, których elementy są 
liczbami całkowitymi. Algorytm ten w prosty sposób pozwala obniżać stopnie obliczanych wyznaczników.

/

/

/

3

/

2

/

/

/

3

/

2

/

3

/

3

/

33

/

32

/

2

/

2

/

23

/

22

2

11

3

2

3

2

3

3

33

32

2

2

23

22

1

1

13

12

1

1

31

21

11

)

(

1

nn

nj

n

n

in

ij

i

i

n

j

n

j

n

nn

nj

n

n

in

ij

i

i

n

j

n

j

n

j

n

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a





























































































, gdzie 















ij

i

j

ij

a

a

a

a

a

1

1

11

/

.

Rys. 3.5.1 Schemat algorytmu Chió obliczania wyznaczników

Tw. 3.5.3 (Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu macierzy)
Niech A i B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Wtedy

B

A

B

A

det

det

)

det(







.

Fakt 3.5.4 (wyznacznik Vandermonde’a)
Niech n 

 2 oraz niech z

1

, z

2

, …, z

n

 będą liczbami zespolonymi. Wtedy

16





















n

l

k

k

l

n

n

n

n

n

n

def

n

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

V

1

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

2

1

)

(

1

1

1

)

,...,

,

(

















.

Jeżeli liczby z

1

, z

2

, …, z

n

 są parami różne, to 

0

)

,...,

,

(

2

1



n

z

z

z

V

.

3.6 MACIERZ ODWROTNA

Def. 3.6.1  (macierz odwrotna)
Niech A będzie macierzą stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz B spełniającą warunek:

AB = BA = I

n 

,

gdzie I

n

 oznacza macierz jednostkową stopnia n. macierz odwrotną do macierzy A oznaczamy przez A

–1

.

Uwaga. Jeżeli macierz A ma macierz odwrotną, to nazywamy ją odwracalną i wówczas detA 

 0. Macierz odwrotna do danej 

macierzy jest określona jednoznacznie.

Def. 3.6.2 (macierz osobliwa i nieosobliwa)
Macierz kwadratową A nazywamy macierzą osobliwą, gdy

0

det



A

.

W przeciwnym przypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa.

Fakt 3.6.3 (warunek odwracalności macierzy)
Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.

Tw. 3.6.4 (o postaci macierzy odwrotnej)
Niech macierz A = [a

ij

] stopnia n będzie nieosobliwa. Wtedy

T

nn

n

n

n

n

D

D

D

D

D

D

D

D

D

A

A











































2

1

2

22

21

1

12

11

1

det

1

,

gdzie D

ij

 oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów a

ij

 macierzy A.

Uwaga. Dla macierzy nieosobliwej 















d

c

b

a

A

 wzór na macierz odwrotną ma postać:























a

c

b

d

bc

ad

A

1

1

.

Fakt 3.6.5 (własności macierzy odwrotnych)
Niech macierze A i B tego samego stopnia będą odwracalne oraz niech 

  C\{0}. Wtedy macierze A

–1

, A

T

, AB, 

A także są 

odwracalne i prawdziwe są równości:

1. 









1

1

det

det







A

A

4. 





1

1

1









A

B

AB

2. 

 

A

A







1

1

5. 

 

 

1

1

1







A

A





3. 

 

 

T

T

A

A

1

1







Fakt 3.6.6 (bezwyznacznikowy sposób znajdowania macierzy odwrotnej)
Niech A będzie macierzą nieosobliwą. Aby znaleźć macierz odwrotną do macierzy A postępujemy w następujący sposób. Z 
prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkową I tego samego stopnia. Na  wierszach otrzymanej w ten sposób 
macierzy blokowej [A|I] będziemy wykonywać następujące operacje elementarne:
1. przestawiać między sobą dwa dowolne wiersze (w

i

 

 w

j

),

2. dowlny wiersz mnożyć przez stałą różną od zera (cw

i

),

3. do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im elementów innych wierszy pomnożonych przez 

dowolne liczby (w

i

 + cw

j

).

Przy pomocy tych operacji sprowadzamy macierz blokową [A|I] do postaci [I|B]. Macierz B jest wtedy macierzą odwrotną do 
macierzy A, tj. B = A

–1

.

17









1

wierszach

na

  

ania

dzia

|

|



















A

I

I

A

l

Rys. 3.6.1 Schemat bezwyznacznikowego sposobu znajdowania macierzy odwrotnej.

3.7 ALGORYTM SPROWADZANIA MACIERZY DO POSTACI JEDNOSTKOWEJ

Fakt 3.7.1 (algorytm Gaussa)
Niech  A  będzie   macierzą   stopnia  n 

  2  o  wyznaczniku  różnym   od  zera.  Macierz  tę  można   przekształcić   do  macierzy 

jednostkowej I

n

 wykonując na jej wierszach następujące operacje elementarne:

1. zamiana między sobą dwóch dowolnych wierszy,
2. mnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera,
3. dodawanie   do   elementów   dowolnego   wiersza   odpowiadających   im   elementów   innego   wiersza   pomnożonych   przez 

dowolną liczbę.

Macierz jednostkową uzyskamy w dwóch krokach:
I krok. Otrzymanie macierzy trójkątnej górnej z jedynkami na głównej przekątnej postaci:

































1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

3

2

23

1

13

12



















n

n

n

b

b

b

b

b

b

Operacje   elementarne   wykonujemy   tak,   aby   kolejne   kolumny   macierzy  A  uzyskały   przedstawioną   powyżej   postać. 
Przekształcenia zaczynamy od uzyskania odpowiedniej postaci pierwszej kolumny. Jeżeli  a

11

 

 0, to wiersze  w

1

,  w

2

, …,  w

n 

macierzy A przekształacamy kolejno na wiersze 

/

/

2

/

1

,...,

,

n

w

w

w

 według wzorów:



























/

1

1

/

/

1

21

2

/

2

11

1

/

1

w

a

w

w

w

a

w

w

a

w

w

n

n

n



.

Jeżeli natomiast a

11

 = 0, to wiersze macierzy A przestawiamy tak, aby w jej lewym górnym rogu znalazł się element niezerowy 

i dalej wykonujemy wymienione wcześniej operacje.
Kolejne kolumny z jedynkami na przekątnej i zerami poniżej przekątnej uzyskujemy stosując przedstawione wyżej postępowa-
nie do macierzy coraz niższych stopni, począwszy od stopnia n – 1 aż do stopnia 1 włącznie.
II krok. Otrzymanie macierzy jednostkowej postaci:

































1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1



















Wiersze 

/

1

/

1

/

,...,

,

w

w

w

n

n



 otrzymanej macierzy trójkątnej przekształcamy kolejno na wiersze 

//

1

//

1

//

,...,

,

w

w

w

n

n



 

macierzy jednostkowej w następujący sposób:



























































//

1

//

3

13

//

2

12

/

1

//

1

//

2

//

1

1

2

/

22

//

2

//

1

/

1

//

1

/

//

...

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

w

b

w

b

w

b

w

w

w

b

w

b

w

w

w

b

w

w

w

w



.

18