Macierze i wyznaczniki
1
Macierz o wymiarach m × n.
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
Mat
m×n
(R) – zbiór macierzy m × n o współczynnikach rzeczywi-
stych. Analogicznie określamy Mat
m×n
(C), Mat
m×n
(Q) itp.
2
Działania na macierzach
Dodawanie.
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
+
b
11
b
12
. . .
b
1n
b
21
b
22
. . .
b
2n
...
...
...
b
m1
b
m2
. . .
b
mn
=
=
a
11
+ b
11
a
12
+ b
12
. . .
a
1n
+ b
1n
a
21
+ b
21
a
22
+ b
22
. . .
a
2n
+ b
2n
...
...
...
a
m1
+ b
m1
a
m2
+ b
m2
. . .
a
mn
+ b
mn
.
3
Własności dodawania macierzy.
Dla dowolnych macierzy m × n zachodzą równości
A + B = B + A,
(A + B) + C = A + (B + C),
A + 0
m×n
= A
A + (−A) = 0
m×n
4
Mnożenie macierzy przez liczbę.
c ·
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
=
ca
11
ca
12
. . .
ca
1n
ca
21
ca
22
. . .
ca
2n
...
...
...
ca
m1
ca
m2
. . .
ca
mn
5
Własności mnożenia macierzy przez liczbę.
Dla dowolnych macierzy A, B o wymiarach m × n i dowolnych
liczb α, β zachodzą równości
α(A + B) = αA + αB,
(α + β)A = αA + βA,
(αβ)A = α(βA),
1
· A = A, (−1) · A = −A,
0
· A = 0
m×n
, α · 0
m×n
= 0
m×n
.
6
Mnożenie macierzy.
Iloczynem macierzy 1
× n i macierzy n × 1 jest macierz 1 × 1:
h
a
1
a
2
. . .
a
n
i
·
b
1
b
2
...
b
n
=
h
a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ . . . + a
n
b
n
i
.
Przykład:
h
1 2 3 4
i
·
−1
0
1
7
=
h
1
· (−1) + 2 · 0 + 3 · 1 + 4 · 7
i
=
h
30
i
.
7
Iloczynem macierzy m × n i macierzy n × 1 jest macierz m × 1:
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
·
b
1
b
2
...
b
n
=
a
11
b
1
+ a
12
b
2
+ . . . + a
1n
b
n
a
21
b
1
+ a
22
b
2
+ . . . + a
2n
b
n
...
a
m1
b
1
+ a
m2
b
2
+ . . . + a
mn
b
n
.
Przykład:
1 2 3
4
2 3 4
5
0 1 0
−1
·
−1
0
1
7
=
1
· (−1) + 2 · 0 + 3 · 1 + 4 · 7
2
· (−1) + 3 · 0 + 4 · 1 + 5 · 7
0
· (−1) + 1 · 0 + 0 · 1 + (−1) · 7
=
30
37
−7
.
8
Iloczynem macierzy m × n i macierzy n × k jest macierz m × k:
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
·
b
11
b
12
. . .
b
1k
b
21
b
22
. . .
b
2k
...
...
...
b
n1
b
n2
. . .
b
nk
=
=
c
11
c
12
. . .
c
1k
c
21
c
22
. . .
c
2k
...
...
...
c
m1
c
m2
. . .
c
mk
,
gdzie c
ij
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+ . . . + a
in
b
nj
.
9
Układ m równań liniowych z n niewiadomymi
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
...
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
można zapisać jako równanie macierzowe
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
·
x
1
x
2
...
x
n
=
b
1
b
2
...
b
m
10
Przyjmując oznaczenia
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
, b =
b
1
b
2
...
b
m
, x =
x
1
x
2
...
x
n
możemy dany układ zapisać w postaci
Ax = b,
gdzie A ∈ Mat
m×n
(R) i b ∈ R
m
są dane, zaś x ∈ R
n
jest „szukane”.
11
Własności mnożenia macierzy.
Dla dowolnych macierzy (odpowiednich wymiarów) zachodzą rów-
ności:
(AB)C = A(BC) dla A ∈ Mat
m×n
(R), B ∈ Mat
n×k
(R), C ∈
Mat
k×l
(R),
(A + B)C = AC + BC dla A, B ∈ Mat
m×n
(R), C ∈ Mat
n×k
(R),
A(B + C) = AB + AC dla A ∈ Mat
m×n
(R), B, C ∈ Mat
n×k
(R),
(cA)B = A(cB) = c(AB) dla A ∈ Mat
m×n
(R), B ∈ Mat
n×k
(R),
c ∈ R,
12
Macierz zerowa.
A · 0
n×k
= 0
m×k
, 0
k×m
· A = 0
k×n
dla A ∈ Mat
m×n
(R).
Macierz jednostkowa: I
n
=
1 0 . . .
0 0
0 1 . . .
0 0
... ...
... ...
0 0 . . .
1 0
0 0 . . .
0 1
∈ Mat
n×n
(R),
A · I
n
= I
m
· A dla A ∈ Mat
m×n
(R).
13
Macierz skalarna: c · I
n
=
c 0 . . .
0 0
0
c . . .
0 0
... ...
... ...
0 0 . . .
c 0
0 0 . . .
0
c
∈ Mat
n×n
(R), c ∈ R,
cA = A · (cI
n
) = (cI
m
)
· A dla A ∈ Mat
m×n
(R).
14
Macierz diagonalna:
c
1
0
. . .
0
0
0
c
2
. . .
0
0
...
...
...
...
0
0
. . .
c
n−1
0
0
0
. . .
0
c
n
∈ Mat
n×n
(R), gdzie
c
1
, . . . , c
n
∈ R.
15
c
1
0
. . .
0
0
c
2
. . .
0
...
...
...
0
0
. . .
c
m
·
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
=
c
1
a
11
c
1
a
12
. . .
c
1
a
1n
c
2
a
21
c
2
a
22
. . .
c
2
a
2n
...
...
...
c
m
a
m1
c
m
a
m2
. . .
c
m
a
mn
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
·
c
1
0
. . .
0
0
c
2
. . .
0
...
...
...
0
0
. . .
c
n
=
c
1
a
11
c
2
a
12
. . .
c
n
a
1n
c
1
a
21
c
2
a
22
. . .
c
n
a
2n
...
...
...
c
1
a
m1
c
2
a
m2
. . .
c
n
a
mn
16
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
macierze i wyznaczniki lista nr Nieznany
Macierze i wyznaczniki, Politechnika Poznańska, Elektrotechnika, Matematyka, semestr 2
1 Macierze i wyznaczniki
Macierze i wyznaczniki
30.Rząd macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności, Studia, Semestr VI, licencjat
ZAdania z matematyki, MACIERZE I WYZNACZNIKI-2010, MACIERZE I WYZNACZNIKI - ZADANIA
C 01 Macierze i wyznaczniki
Macierze i wyznaczniki zadania
11 Macierze
Mieloszyk E Macierze, wyznaczniki i układy równań
Macierze i wyznaczniki
macierze i wyznaczniki, wyklad Nieznany
Inf macierze wyznaczniki
macierze i wyznaczniki, lista zadań
6-MACIERZE, WYZNACZNIKI, UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH, MACIERZE I WYZNACZNIKI
Macierze i Wyznaczniki, A) STUDIA INŻYNIERSKIE, Matematyka, matematyka
1 MACIERZE I WYZNACZNIKI
Macierze i Wyznaczniki2, A) STUDIA INŻYNIERSKIE, Matematyka, matematyka
więcej podobnych podstron