CPSW2i3 Fourier

background image

CPS – Przekształcenie Fouriera

Wykład 2

background image

Sygnały mogą być reprezentowane w dziedzinie czasu lub dziedzinie

częstotliwości. W zależności od celu analizy wybiera się jedną z
dziedzin

wykorzystując

odpowiedni

aparat

matematyczny.

Przedstawienie sygnału w postaci analitycznej powinno zapewnić

uproszczenie obliczeń przy badaniu własności sygnału i
pomiarach jego parametrów oraz umożliwić interpretację
wybranych cech fizycznych.

.

Wstęp

background image



Przekształcenie Fouriera ma szerokie zastosowanie we
wszystkich

dziedzinach

od

fizyki

do

analizy

różnorodnych sygnałów.



Wykorzystywane jest przypadku funkcji okresowych
oraz funkcji nieokresowych.

Transformata Fouriera

background image

Zespoloną

transformatą

Fouriera

lub

widmem

zespolonym funkcji czasu f(t).

Transformata Fouriera

dt

e

t

f

j

F

t

j

=

+∞

ω

ω

)

(

)

(

f(t) –

funkcja czasu

F

(j

ω

) - T

ransformata Fouriera, charakterystyka widmowa.

Jest ciągłą funkcją częstotliwości dla sygnałów nieokresowych .

background image

Odwrotna transformata Fouriera.

Transformata Fouriera

ω

ω

π

ω

d

e

j

F

t

f

t

j

=

+∞

)

(

2

1

)

(



Transformata Fouriera F(j

ω

) sygnału f(t) jest nazywana widmem

(„częstotliwościowym") tego sygnału, gdyż informuje o
„zawartości" widmowej („częstotliwościowej") w transformacie.

background image

Transformata Laplace’a

Transformata Laplace’a

ds

e

s

F

t

f

j

c

j

c

st

=

+

)

(

2

1

)

(

π

Odwrotna Transformata Laplace’a

dt

e

t

f

s

F

st

=

+∞

0

)

(

)

(

background image

Oznaczmy przez F(.) proste przekształcenie Fouriera,

przez F

-1

(.) zaś przekształcenie odwrotne.

1) Liniowość: ax(t )+ by(t)

aX(j

ω

) + bY(j

ω

)

2)

Symetria (dualność): X(jt) 2

π

x(-

ω

)

3) Przeskalowanie: x(at)

1/a X(j

ω

/a), a>0

4) Przesunięcie w czasie: x(t - t

o

)

e

-j

ω

t

o

X(j

ω)

5)

Przesunięcie w częstotliwości (modulacja zespolona):

e

j

ω

o

t

x(t)

X(j(

ω±ω

o

))

6)

Modulacja rzeczywista:

x(t)cos(

ω

o

t)

1/2

[X(

ω

-

ω

o

)+X(

ω

+

ω

o

)

]

x(t)sin(

ω

o

t)

-

j/2 [X(

ω

-

ω

o

)-X(

ω

+

ω

o

)]

Podstawowe właściwości

background image

Transformaty wybranych sygnałów

[

δ(

ω

-

ω

o

)+

δ(

ω

+

ω

o

)]/2

cos(

ω

o

t)

j

[

δ(

ω

-

ω

o

)-

δ(

ω

+

ω

o

)]/2

sin(

ω

o

t)

t

t

exp(-a t)

exp(-a t)

π δ(ω)+1/(j ω)

1(t)

2π δ(ω)

1

1

1

δ(t)

s

1

s

1

a

s

+

1

a

j

+

ω

1

(

)

2

1

a

s

+

(

)

2

1

a

j

+

ω

2

1

s

2

1

ω

2

2

o

s

s

ω

+

2

2

o

o

s

ω

ω

+

background image

Transformaty wybranych sygnałów

cos(

ω

o

t)exp(-at)

sin(

ω

o

t)exp(-at)

2/s

2/(j

ω

)

Sign(t)

(

)

2

2

o

o

a

s

ω

ω

+

+

(

)

2

2

o

a

s

a

s

ω

+

+

+

(

)

2

2

o

o

a

j

ω

ω

ω

+

+

(

)

2

2

o

a

j

a

j

ω

ω

ω

+

+

+

background image

Charakterystyki częstotliwościowe sygnałów

Charakterystykę widmową można zapisać w następującej postaci

Biegunowej

Kartezjańskiej

)

(

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ω

j

e

M

j

F

=

)

(

j

)

(

)

(

ω

ω

ω

Q

P

j

F

+

=

M

(

ω

)

- charakterystyka amplitudowa

(modułu)

ϕ

(

ω

)

- charakterystyka fazowa

)

(

)

(

)

(

2

2

ω

ω

ω

Q

P

M

+

=

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

ϕ

P

Q

arctg

=

P

(

ω

)

– część rzeczywista charakterystyki widmowej

Q

(

ω

)

– część urojona charakterystyki widmowej

)

(

)

(

ω

ω

j

F

M

=

))

(

arg(

)

(

ω

ω

ϕ

j

F

=

background image

Charakterystyka amplitudowo-fazowa



Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów rzeczywistych,
dla których stopień wielomianu licznika transmitancji jest niższy
od stopnia wielomianu mianownika, dążą do początku układu
współrzędnych

background image

Charakterystyki logarytmiczne



logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

przedstawia

wykres zależności między logarytmem dziesiętnym modułu
transmitancji widmowej M(ω) i logarytmem dziesiętnym pulsacji ω.
Logarytm z modułu transmitancji widmowej M(ω) podaje się w dB.

L

(

ω) = 20 log|F(jω)|=20log M(ω)



logarytmiczna charakterystyka fazowa przedstawia natomiast
wykres zależności argumentu φ(ω) od logarytmu dziesiętnego
pulsacji ω.



Duże znaczenie praktyczne charakterystyk logarytmicznych
wynika z łatwości określania charakterystyki wypadkowej układu,
złożonego ze znanych elementów liniowych połączonych
szeregowo.

background image

Przykład charakterystyk logarytmicznych

background image

Przykłady



Impuls prostokątny
x

(t)=1(t+T) - 1(t-T)

T

T

t

j

T

T

t

j

t

j

j

e

dt

e

dt

e

t

x

j

F

+

+

=

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

1

)

(

)

(

2

2

)

(

j

e

e

j

e

e

j

e

e

j

F

T

j

T

j

T

j

T

j

T

j

T

j

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

background image

Cha-ka widmowa

)

(

c

sin

2

)

sin(

2

)

sin(

2

)

(

T

T

T

T

T

T

j

F

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

background image

Cha-ka widmowa

)

4

(

c

sin

8

4

)

4

sin(

8

)

4

sin(

2

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

j

F

0

0.5

1

1.5

2

-2

0

2

4

6

8

cha-ka widmowa

ω

T=4

background image

Cha-ka amplitudowa

|

)

4

(

c

sin

|

8

)

(

c

sin

2

)

sin(

2

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

T

T

T

T

T

M

Dla T=4

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

Cha-ka amplitudowa

ω

M

background image

Cha-ka fazowa

<

>

=

0

)

sin(

gdy

π

,

0

)

sin(

gdy

,

0

)

(

T

T

ω

ω

ω

ϕ

0

0.5

1

1.5

2

0

50

100

150

200

Cha-ka fazowa

180

ω

)

(

π

background image

Przykłady



Impuls wykładniczy
x

(t)=exp(-2t) 1(t)

dt

e

dt

e

e

dt

e

t

x

j

F

t

j

t

j

t

t

j

=

=

=

+∞

+

+∞

+∞

0

)

2

(

0

2

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

j

j

e

e

j

e

j

F

j

t

j

+

=

+

=

+

=

+

+∞

+

2

1

)

2

(

)

2

(

)

(

0

)

2

(

0

)

2

(

background image

Cha-ka amplitudowo-fazowa

2

2

2

4

4

2

4

2

)

2

(

2

)

2

(

1

2

1

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

=

+

=

+

=

+

=

j

j

j

j

j

j

j

F

2

4

2

)

(

ω

ω

+

=

P

2

4

)

(

ω

ω

ω

+

=

Q

0

0

Q

(

ω

)

0

P

(

ω

)

2

0

ω

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

Nyquist

ω=2

ω=2

Q

P

2

1

4

1

4

1

0

background image

Cha-ki części rzeczywistej P i urojonej Q

0

5

10

15

20

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

P i Q

P
Q

ω

0.5

2

background image

Cha-ka amplitudowa

2

4

1

|

2

|

1

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

+

=

+

=

=

j

j

F

M

0

5

10

15

20

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Cha-ka amplitudowa

ω

-90

-45

0

ϕ(

ω

)

0

0.5

M

(

ω

)

2

0

ω

2

2

1

background image

Cha-ka fazowa

2

4

2

4

)

(

2

2

ω

ω

ω

ω

ω

ϕ

arctg

arctg

P

Q

arctg

=

+

+

=

=

0

5

10

15

20

-100

-80

-60

-40

-20

0

Cha -ka fa zowa

0

5

10

15

20

-100

-80

-60

-40

-20

0

Cha -ka fa zowa

2

ω

-90

-45

 −

4

π

 −

2

π

background image

Cha-ka fazowa

2

2

4

log

20

4

1

log

20

)

(

log

20

)

(

ω

ω

ω

ω

+

=

+

=

=

M

L

10

-2

10

0

10

2

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Lo go rytmiczna

log

ω

background image



Sygnał może zadany przez funkcję czasową - f(t)
wtedy trzeba korzystać z przekształcenia całkowego aby wyznaczyć
cha-kę widmową.



Sygnał może zadany przez transformatę Laplace’a F(s) funkcji
czasowej f(t) - wtedy do wyznaczenia cha-ki widmowej trzeba
korzystać z następującej zależności

ω

ω

j

s

s

F

j

F

=

=

)

(

)

(

9

9

9

)

(

2

2

2

2

2

2

=

=

+

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

j

s

s

s

j

F

Przykład. Funkcja czasu ma transformatę
Oblicz cha-kę widmową funkcji

2

2

9

)

(

s

s

s

F

+

=

background image

Przekształcenie odwrotne Fouriera

ω

π

π

ω

ω

π

ω

ω

π

ω

ω

ω

d

e

d

e

X

d

e

j

F

t

f

t

j

t

j

t

j

+

+∞

+∞

=

=

=

2

2

1

)

(

2

1

)

(

2

1

)

(

2

2

)

(

j

e

e

t

jt

e

e

jt

e

t

f

t

j

t

j

t

j

t

j

t

j

+

=

=

=

ω

background image

Przekształcenie odwrotne Fouriera

)

(

c

sin

2

)

sin(

1

2

)

sin(

1

2

2

2

)

(

t

t

t

t

t

j

e

e

t

t

f

t

j

t

j

=

=

=

=

background image

Transmitancja operatorowa jest funkcją zmiennej zespolonej s, przez

którą należy pomnożyć transformatę Laplace'a wymuszenia, aby
otrzymać transformatę Laplace'a odpowiedzi. Transmitancja układu
liniowego nie zależy od postaci wymuszenia, lecz jedynie od
parametrów i struktury układu.

Układy analogowe są przetwornikami sygnałów analogowych.

Sygnał wymuszający można wyrazić zależnością

Transmitancja układów analogowych

ω

ω

j

)

(

)

j

(

=

=

s

s

X

X

Podobnie odpowiedź układu będzie wówczas dana zależnością

ω

ω

j

)

(

)

j

(

=

=

s

s

Y

Y

background image

Funkcję, która jest współczynnikiem między transformatą

Fouriera wymuszenia i transformatą Fouriera odpowiedzi,
nazwiemy transmitancją częstotliwościową

Transmitancja układów analogowych

Transmitancję częstotliwościową można wyznaczyć z
transmitancji operatorowej podstawieniem s = j

ω

)

j

(

)

j

(

)

j

(

ω

ω

ω

X

G

Y

=

ω

ω

j

)

(

)

j

(

=

=

s

s

G

G

)

(

)

(

)

(

s

X

s

Y

s

G

=

background image

Transmitancja

częstotliwościowa

zwana

jest

także

transmitancją widmową. Podobnie jak charakterystyki
częstotliwościowe sygnałów, ma ona charakterystykę
amplitudową i charakterystykę fazową

Transmitancja układów analogowych

Charakterystyka amplitudowa i charakterystyka fazowa
transmitancji jest często uzupełniana charakterystyką
amplitudowo-fazową

na

płaszczyźnie

zmiennej

zespolonej (płaszczyźnie Gaussa- wykres Nyquista)

)]

(

j

exp[

)

(

)

(j

ω

ϕ

ω

ω

M

G

=

)

(

j

+

)

(

)

(j

ω

ω

ω

Q

P

G

=

background image

Inne oznaczenia Transmitancji

Transmitancja układów analogowych

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

)

(j

)

(j

)

(j

ω

ω

ω

T

H

G

=

=

[dB]

)

(

log

20

)

(

ω

ω

M

L

=

background image

Zbadać charakterystykę częstotliwościową układu przedstawionego na

rys., który jest nazywany pasywnym górnoprzepustowym filtrem RC.

Transmitancja układów analogowych

x

C

R

y

Przy założeniu, że wymuszeniem dla układu jest napięcie przyłożone do
gałęzi szeregowej RC, natomiast odpowiedzia jest napięcie na oporniku,
otrzymuje się związek między charakterystykami częstotliwościowymi
odpowiedzi i wymuszenia w postaci

)

j

(

j

1

j

)

j

(

ω

ω

ω

ω

X

RC

RC

Y

+

=

background image

Badany układ jest opisany transmitancją częstotliwościową

Transmitancja układów analogowych

Charakterystyka fazowa

Charakterystyka amplitudowa jest w postaci

ω

ω

ω

ω

ω

j

1

j

j

1

j

)

j

(

+

=

+

=

RC

RC

RC

G

s

RC

s

sRC

sRC

s

G

+

=

+

=

1

1

)

(

2

2

1

)

(

ω

ω

ω

+

=

RC

M

)

1

(

arctg

)

(

arctg

2

)

(

RC

RC

ω

ω

π

ω

ϕ

=

=

background image

Postać kartezjańska

Transmitancja układów analogowych

Charakterystyka logarytmiczna

Część rzeczywista

Cześć urojona

2

2

2

1

j

1

j

1

j

1

j

)

j

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

=

+

=

RC

RC

j

RC

RC

RC

G

2

2

2

1

)

(

ω

ω

ω

+

=

RC

P

2

2

1

1

)

(

ω

ω

ω

+

=

RC

RC

Q

2

2

2

2

1

log

20

log

20

1

log

20

)

(

log

20

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

=

+

=

=

RC

RC

M

L

background image

Transmitancja układów analogowych

0

0

Q

(

ω

)

1

0

P

(

ω

)

0

ω

0

-3

-20
dB
/dek

L

(

ω

)

0

45

90

ϕ

(

ω

)

1

0

M

(

ω

)

RC

1

2

1

2

1

2

1

5

1

=

RC

Cz. Rzeczywista

Cz. Urojona

Cha-ka Modułu

Ch-ka fazowa

Ch-ka logarytmiczna

background image

Cha-ka P(w) i Q(w)

0

10

20

30

40

50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

P(w)
Q(w)

ω

background image

Cha-ka widmowa (amplitudowo-fazowa)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nyquis t

Q(w)

P(w)

background image

Cha-ka amplitudowa M(w)

0

5

10

15

20

25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

background image

Cha-ka fazowa

0

5

10

15

20

25

0

20

40

60

80

100

90

ω

background image

Cha-ka logarytmiczna

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

log

ω

background image

Przykład – cha-ki 2 rzędu

(

)

2

2

2

2

3

1

3

11

.

1

10

2

10

)

(

+

+

=

+

+

=

s

s

s

s

H

)

3

sin(

3

11

.

1

)

(

t

e

t

h

t

=

ω

ω

ω

ω

ω

2

10

10

10

)

(

2

)

(

10

)

(

2

2

j

j

j

j

H

+

=

+

+

=

0

1

2

3

4

5

6

-1

-0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

t

x

(t

)

background image

Przykład – cha-ki 2 rzędu

ω

ω

ω

ω

ω

2

10

10

10

)

(

2

)

(

10

)

(

2

2

j

j

j

j

H

+

=

+

+

=

(

)

2

2

2

2

4

10

)

2

10

(

10

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

+

=

j

j

H

(

)

2

2

2

4

10

10

)

(

ω

ω

ω

+

=

M

(

)

2

2

2

2

4

10

)

10

(

10

)

(

ω

ω

ω

ω

+

=

P

(

)

2

2

2

4

10

20

)

(

ω

ω

ω

ω

+

=

Q

(

)

2

2

2

4

10

10

log

20

)

(

ω

ω

ω

+

=

L

(

)

2

10

2

)

(

ω

ω

ω

ϕ

= arctg

background image

Wartości charakterystyk

L

(

ω

)

ϕ

(

ω

)

M

(

ω

)

Q

(

ω

)

P

(

ω

)

ω

-40dB/
dek

4.3

1.2

0.42

0

-π/2

-0.67

-0.25

0

+0

1.64

1.4

1.1

1

-0

-1.62

-0.77

-0.23

0

-0

0.27

1.15

1.06

1

3

2

1

0

background image

Charakterystyki

0

5

10

-2

-1

0

1

2

P i Q

-1

0

1

2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Nyquis t

0

5

10

0

0.5

1

1.5

2

Cha -ka amplitudowa

0

5

10

-3

-2

-1

0

Cha -ka fa z owa

background image

Charakterystyki P i Q

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

P i Q

ω

background image

Charakterystyk amplitudowo-fazowa

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Nyquist

P

Q

background image

Charakterystyk amplitudowa

0

2

4

6

8

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Cha-ka amplitudowa

ω

background image

Charakterystyk fazowa

0

2

4

6

8

10

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Cha -ka fa zowa

ω

background image

Charakterystyki logarytmiczne

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

-150

-100

-50

0

50

Logarytmiczna Amplitudowa

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

-200

-150

-100

-50

0

Log fazowa

log w

background image

Postać czasowa i transformata Laplace’a sygnałów analogowych

(

)

k

k

P

k

s

s

C

s

N

s

L

s

H

=

=

=1

)

(

)

(

)

(

Transformata Laplace,a sygnału (układu)
S

k

– pierwiastki mianownika

C

k

– stała skladnika

t

s

k

P

k

k

e

C

t

h

=

=1

)

(

Postać czasowa sygnału
- odpowiedź impulsowa układu

(

)

k

s

s

k

k

s

s

s

N

s

L

C

=

=

)

(

)

(

Wzór na wyznaczanie stałych

background image

Przykłady

4

4

4

4

1

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

=

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

H

Transformata Laplace’a w postaci
Składników prostych

(

)

4

4

2

)

2

(

4

4

2

2

1

=

=

+

+

+

=

=

=

s

s

s

s

s

ds

d

C

Postać czasowa sygnału

(

)

4

)

4

4

(

2

)

2

(

4

4

2

2

2

2

2

=

=

+

+

+

=

=

=

s

s

s

s

s

s

C

(

)

2

2

4

2

4

1

)

(

+

+

+

=

s

s

s

H

t

t

te

e

t

t

h

2

2

4

4

)

(

)

(

+

=

δ

(

)

(

) (

)

2

2

1

2

2

2

2

1

2

4

4

1

4

4

4

4

1

)

(

+

+

+

+

=

+

+

=

+

+

+

=

s

C

s

C

s

s

s

s

s

s

H

background image

Przykłady

(

)

(

)

4

4

2

)

(

2

1

+

+

=

+

=

s

C

s

C

s

s

s

H

Transformata Laplace,a w postaci składników
prostych

( )

2

1

)

4

0

(

2

)

4

(

2

)

4

(

2

0

0

1

=

+

=

+

=

+

=

=

=

s

s

s

s

s

s

C

Postać czasowa sygnału

(

)

2

1

4

2

2

4

)

4

(

2

4

4

2

=

=

=

+

+

=

=

=

s

s

s

s

s

s

C

(

)

4

5

.

0

5

.

0

)

(

+

=

s

s

s

H

( )

)

(

1

)

1

(

2

1

2

1

1

2

1

)

(

4

4

t

e

e

t

t

h

t

t

=

=

Wyznaczanie stałych

background image

Transmitancja – odpowiedź impulsowa

Zatem odpowiedź impulsowa układu analogowego jest transformatą
odwrotną transmitancji

{

}

)

(

)

(

)

(

1

s

H

L

t

h

t

y

=

=

Jeżeli H(s) jest transformatą układu analogowego

Jeżeli wymuszeniem jest impuls Diraca x(t)=δ(t)
To X(s) jest transformatą wymuszenia impulsowego

X

(s)=1

Wtedy transformata odpowiedzi układu analogowego
ma postać

Y

(s) = H(s) X(s) = H(s)• 1 = H(s)


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Szeregi Fouriera
5 Algorytmy wyznaczania dyskretnej transformaty Fouriera (CPS)
5 Przekształcenie Fouriera
Dyskretne przeksztaĹ'cenie Fouriera
Microsoft Word W14 Szeregi Fouriera
Szereg Fouriera przyklady, SiMR, Studia inżynierskie, Semestr II 2, Równania różniczkowe, 2012 13
Fourier 1i
AM2 3 Szeregi Fouriera
całki Szereg Fouriera
cw 7 Dyskretna Transformata Fouriera (DFT)
hfn, 17. Schopenhauer, Comte i Fourier, Skrajny egotyzm wynoszony do rangi myślenia
fizykaM, Fourier l-przedział podstawowy Warunki Dirichleta
Fourier DFT
cf1 całka fouriera zadania
Transformata Fouriera, wzory i własnosci
24 ciagi i szeregi funkcyjne 6 3 szeregi fouriera
Metoda Fouriera 1
6 i 7 Właściwości przekształcenia Fouriera

więcej podobnych podstron