CPS – Przekształcenie Fouriera
Wykład 2
CPS – Przekształcenie Fouriera
Wykład 2
Sygnały mogą być reprezentowane w dziedzinie czasu lub dziedzinie
częstotliwości. W zależności od celu analizy wybiera się jedną z
dziedzin
wykorzystując
odpowiedni
aparat
matematyczny.
Przedstawienie sygnału w postaci analitycznej powinno zapewnić
uproszczenie obliczeń przy badaniu własności sygnału i
pomiarach jego parametrów oraz umożliwić interpretację
wybranych cech fizycznych.
.
Wstęp
Przekształcenie Fouriera ma szerokie zastosowanie we
wszystkich
dziedzinach
od
fizyki
do
analizy
różnorodnych sygnałów.
Wykorzystywane jest przypadku funkcji okresowych
oraz funkcji nieokresowych.
Transformata Fouriera
Zespoloną
transformatą
Fouriera
lub
widmem
zespolonym funkcji czasu f(t).
Transformata Fouriera
dt
e
t
f
j
F
t
j
∫
=
+∞
∞
−
−
ω
ω
)
(
)
(
f(t) –
funkcja czasu
F
(j
ω
) - T
ransformata Fouriera, charakterystyka widmowa.
Jest ciągłą funkcją częstotliwości dla sygnałów nieokresowych .
Odwrotna transformata Fouriera.
Transformata Fouriera
ω
ω
π
ω
d
e
j
F
t
f
t
j
∫
=
+∞
∞
−
)
(
2
1
)
(
Transformata Fouriera F(j
ω
) sygnału f(t) jest nazywana widmem
(„częstotliwościowym") tego sygnału, gdyż informuje o
„zawartości" widmowej („częstotliwościowej") w transformacie.
Transformata Laplace’a
Transformata Laplace’a
ds
e
s
F
t
f
j
c
j
c
st
∫
=
∞
+
∞
−
)
(
2
1
)
(
π
Odwrotna Transformata Laplace’a
dt
e
t
f
s
F
st
∫
=
+∞
−
0
)
(
)
(
Oznaczmy przez F(.) proste przekształcenie Fouriera,
przez F
-1
(.) zaś przekształcenie odwrotne.
1) Liniowość: ax(t )+ by(t)
↔
aX(j
ω
) + bY(j
ω
)
2)
Symetria (dualność): X(jt) ↔ 2
π
x(-
ω
)
3) Przeskalowanie: x(at)
↔
1/a X(j
ω
/a), a>0
4) Przesunięcie w czasie: x(t - t
o
)
↔
e
-j
ω
t
o
X(j
ω)
5)
Przesunięcie w częstotliwości (modulacja zespolona):
e
j
ω
o
t
x(t)
↔
X(j(
ω±ω
o
))
6)
Modulacja rzeczywista:
x(t)cos(
ω
o
t)
↔
1/2
[X(
ω
-
ω
o
)+X(
ω
+
ω
o
)
]
x(t)sin(
ω
o
t)
↔
-
j/2 [X(
ω
-
ω
o
)-X(
ω
+
ω
o
)]
Podstawowe właściwości
Transformaty wybranych sygnałów
[
δ(
ω
-
ω
o
)+
δ(
ω
+
ω
o
)]/2
cos(
ω
o
t)
j
[
δ(
ω
-
ω
o
)-
δ(
ω
+
ω
o
)]/2
sin(
ω
o
t)
t
t
exp(-a t)
exp(-a t)
π δ(ω)+1/(j ω)
1(t)
2π δ(ω)
1
1
1
δ(t)
s
1
s
1
a
s
+
1
a
j
+
ω
1
(
)
2
1
a
s
+
(
)
2
1
a
j
+
ω
2
1
s
2
1
ω
−
2
2
o
s
s
ω
+
2
2
o
o
s
ω
ω
+
Transformaty wybranych sygnałów
cos(
ω
o
t)exp(-at)
sin(
ω
o
t)exp(-at)
2/s
2/(j
ω
)
Sign(t)
(
)
2
2
o
o
a
s
ω
ω
+
+
(
)
2
2
o
a
s
a
s
ω
+
+
+
(
)
2
2
o
o
a
j
ω
ω
ω
+
+
(
)
2
2
o
a
j
a
j
ω
ω
ω
+
+
+
Charakterystyki częstotliwościowe sygnałów
Charakterystykę widmową można zapisać w następującej postaci
Biegunowej
Kartezjańskiej
)
(
)
(
)
(
ω
ϕ
ω
ω
j
e
M
j
F
=
)
(
j
)
(
)
(
ω
ω
ω
Q
P
j
F
+
=
M
(
ω
)
- charakterystyka amplitudowa
(modułu)
ϕ
(
ω
)
- charakterystyka fazowa
)
(
)
(
)
(
2
2
ω
ω
ω
Q
P
M
+
=
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ϕ
P
Q
arctg
=
P
(
ω
)
– część rzeczywista charakterystyki widmowej
Q
(
ω
)
– część urojona charakterystyki widmowej
)
(
)
(
ω
ω
j
F
M
=
))
(
arg(
)
(
ω
ω
ϕ
j
F
=
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów rzeczywistych,
dla których stopień wielomianu licznika transmitancji jest niższy
od stopnia wielomianu mianownika, dążą do początku układu
współrzędnych
Charakterystyki logarytmiczne
logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
przedstawia
wykres zależności między logarytmem dziesiętnym modułu
transmitancji widmowej M(ω) i logarytmem dziesiętnym pulsacji ω.
Logarytm z modułu transmitancji widmowej M(ω) podaje się w dB.
L
(
ω) = 20 log|F(jω)|=20log M(ω)
logarytmiczna charakterystyka fazowa przedstawia natomiast
wykres zależności argumentu φ(ω) od logarytmu dziesiętnego
pulsacji ω.
Duże znaczenie praktyczne charakterystyk logarytmicznych
wynika z łatwości określania charakterystyki wypadkowej układu,
złożonego ze znanych elementów liniowych połączonych
szeregowo.
Przykład charakterystyk logarytmicznych
Przykłady
Impuls prostokątny
x
(t)=1(t+T) - 1(t-T)
T
T
t
j
T
T
t
j
t
j
j
e
dt
e
dt
e
t
x
j
F
−
−
+
−
−
∞
+
∞
−
−
−
=
∫
=
∫
=
ω
ω
ω
ω
ω
1
)
(
)
(
2
2
)
(
j
e
e
j
e
e
j
e
e
j
F
T
j
T
j
T
j
T
j
T
j
T
j
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
−
−
=
−
=
−
−
=
Cha-ka widmowa
)
(
c
sin
2
)
sin(
2
)
sin(
2
)
(
T
T
T
T
T
T
j
F
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=
Cha-ka widmowa
)
4
(
c
sin
8
4
)
4
sin(
8
)
4
sin(
2
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=
j
F
0
0.5
1
1.5
2
-2
0
2
4
6
8
cha-ka widmowa
ω
T=4
Cha-ka amplitudowa
|
)
4
(
c
sin
|
8
)
(
c
sin
2
)
sin(
2
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=
T
T
T
T
T
M
Dla T=4
0
0.5
1
1.5
2
0
2
4
6
8
Cha-ka amplitudowa
ω
M
Cha-ka fazowa
<
>
=
0
)
sin(
gdy
π
,
0
)
sin(
gdy
,
0
)
(
T
T
ω
ω
ω
ϕ
0
0.5
1
1.5
2
0
50
100
150
200
Cha-ka fazowa
180
ω
)
(
π
Przykłady
Impuls wykładniczy
x
(t)=exp(-2t) 1(t)
dt
e
dt
e
e
dt
e
t
x
j
F
t
j
t
j
t
t
j
∫
=
∫
=
∫
=
+∞
+
−
+∞
−
−
+∞
∞
−
−
0
)
2
(
0
2
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j
j
e
e
j
e
j
F
j
t
j
+
=
+
−
−
=
+
−
=
∞
+
−
+∞
+
−
2
1
)
2
(
)
2
(
)
(
0
)
2
(
0
)
2
(
Cha-ka amplitudowo-fazowa
2
2
2
4
4
2
4
2
)
2
(
2
)
2
(
1
2
1
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
+
=
+
−
=
−
−
+
=
+
=
j
j
j
j
j
j
j
F
2
4
2
)
(
ω
ω
+
=
P
2
4
)
(
ω
ω
ω
+
−
=
Q
0
0
Q
(
ω
)
0
P
(
ω
)
∞
2
0
ω
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
Nyquist
ω=2
ω=2
Q
P
2
1
4
1
4
1
−
0
Cha-ki części rzeczywistej P i urojonej Q
0
5
10
15
20
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
P i Q
P
Q
ω
0.5
2
Cha-ka amplitudowa
2
4
1
|
2
|
1
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
+
=
+
=
=
j
j
F
M
0
5
10
15
20
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Cha-ka amplitudowa
ω
-90
-45
0
ϕ(
ω
)
0
0.5
M
(
ω
)
∞
2
0
ω
2
2
1
Cha-ka fazowa
2
4
2
4
)
(
2
2
ω
ω
ω
ω
ω
ϕ
arctg
arctg
P
Q
arctg
−
=
+
+
−
=
=
0
5
10
15
20
-100
-80
-60
-40
-20
0
Cha -ka fa zowa
0
5
10
15
20
-100
-80
-60
-40
-20
0
Cha -ka fa zowa
2
ω
-90
-45
−
4
π
−
2
π
Cha-ka fazowa
2
2
4
log
20
4
1
log
20
)
(
log
20
)
(
ω
ω
ω
ω
+
−
=
+
=
=
M
L
10
-2
10
0
10
2
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Lo go rytmiczna
log
ω
Sygnał może zadany przez funkcję czasową - f(t)
wtedy trzeba korzystać z przekształcenia całkowego aby wyznaczyć
cha-kę widmową.
Sygnał może zadany przez transformatę Laplace’a F(s) funkcji
czasowej f(t) - wtedy do wyznaczenia cha-ki widmowej trzeba
korzystać z następującej zależności
ω
ω
j
s
s
F
j
F
=
=
)
(
)
(
9
9
9
)
(
2
2
2
2
2
2
−
=
−
−
=
+
=
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j
s
s
s
j
F
Przykład. Funkcja czasu ma transformatę
Oblicz cha-kę widmową funkcji
2
2
9
)
(
s
s
s
F
+
=
Przekształcenie odwrotne Fouriera
ω
π
π
ω
ω
π
ω
ω
π
ω
Ω
Ω
ω
ω
d
e
d
e
X
d
e
j
F
t
f
t
j
t
j
t
j
⋅
+
−
+∞
∞
−
⋅
+∞
∞
−
∫
=
∫
=
∫
=
2
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
2
)
(
j
e
e
t
jt
e
e
jt
e
t
f
t
j
t
j
t
j
t
j
t
j
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
+
−
−
=
−
=
=
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
ω
Przekształcenie odwrotne Fouriera
)
(
c
sin
2
)
sin(
1
2
)
sin(
1
2
2
2
)
(
t
t
t
t
t
j
e
e
t
t
f
t
j
t
j
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
=
⋅
⋅
=
⋅
=
−
=
⋅
−
⋅
Transmitancja operatorowa jest funkcją zmiennej zespolonej s, przez
którą należy pomnożyć transformatę Laplace'a wymuszenia, aby
otrzymać transformatę Laplace'a odpowiedzi. Transmitancja układu
liniowego nie zależy od postaci wymuszenia, lecz jedynie od
parametrów i struktury układu.
Układy analogowe są przetwornikami sygnałów analogowych.
Sygnał wymuszający można wyrazić zależnością
Transmitancja układów analogowych
ω
ω
j
)
(
)
j
(
=
=
s
s
X
X
Podobnie odpowiedź układu będzie wówczas dana zależnością
ω
ω
j
)
(
)
j
(
=
=
s
s
Y
Y
Funkcję, która jest współczynnikiem między transformatą
Fouriera wymuszenia i transformatą Fouriera odpowiedzi,
nazwiemy transmitancją częstotliwościową
Transmitancja układów analogowych
Transmitancję częstotliwościową można wyznaczyć z
transmitancji operatorowej podstawieniem s = j
ω
)
j
(
)
j
(
)
j
(
ω
ω
ω
X
G
Y
=
ω
ω
j
)
(
)
j
(
=
=
s
s
G
G
)
(
)
(
)
(
s
X
s
Y
s
G
=
Transmitancja
częstotliwościowa
zwana
jest
także
transmitancją widmową. Podobnie jak charakterystyki
częstotliwościowe sygnałów, ma ona charakterystykę
amplitudową i charakterystykę fazową
Transmitancja układów analogowych
Charakterystyka amplitudowa i charakterystyka fazowa
transmitancji jest często uzupełniana charakterystyką
amplitudowo-fazową
na
płaszczyźnie
zmiennej
zespolonej (płaszczyźnie Gaussa- wykres Nyquista)
)]
(
j
exp[
)
(
)
(j
ω
ϕ
ω
ω
M
G
=
)
(
j
+
)
(
)
(j
ω
ω
ω
Q
P
G
=
Inne oznaczenia Transmitancji
Transmitancja układów analogowych
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
)
(j
)
(j
)
(j
ω
ω
ω
T
H
G
=
=
[dB]
)
(
log
20
)
(
ω
ω
M
L
=
Zbadać charakterystykę częstotliwościową układu przedstawionego na
rys., który jest nazywany pasywnym górnoprzepustowym filtrem RC.
Transmitancja układów analogowych
x
C
R
y
Przy założeniu, że wymuszeniem dla układu jest napięcie przyłożone do
gałęzi szeregowej RC, natomiast odpowiedzia jest napięcie na oporniku,
otrzymuje się związek między charakterystykami częstotliwościowymi
odpowiedzi i wymuszenia w postaci
)
j
(
j
1
j
)
j
(
ω
ω
ω
ω
X
RC
RC
Y
+
=
Badany układ jest opisany transmitancją częstotliwościową
Transmitancja układów analogowych
Charakterystyka fazowa
Charakterystyka amplitudowa jest w postaci
ω
ω
ω
ω
ω
j
1
j
j
1
j
)
j
(
+
=
+
=
RC
RC
RC
G
s
RC
s
sRC
sRC
s
G
+
=
+
=
1
1
)
(
2
2
1
)
(
ω
ω
ω
+
=
RC
M
)
1
(
arctg
)
(
arctg
2
)
(
RC
RC
ω
ω
π
ω
ϕ
=
−
=
Postać kartezjańska
Transmitancja układów analogowych
Charakterystyka logarytmiczna
Część rzeczywista
Cześć urojona
2
2
2
1
j
1
j
1
j
1
j
)
j
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
+
=
−
−
+
=
RC
RC
j
RC
RC
RC
G
2
2
2
1
)
(
ω
ω
ω
+
=
RC
P
2
2
1
1
)
(
ω
ω
ω
+
=
RC
RC
Q
2
2
2
2
1
log
20
log
20
1
log
20
)
(
log
20
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
=
+
=
=
RC
RC
M
L
Transmitancja układów analogowych
0
0
Q
(
ω
)
1
0
P
(
ω
)
∞
0
ω
0
-3
-20
dB
/dek
L
(
ω
)
0
45
90
ϕ
(
ω
)
1
0
M
(
ω
)
RC
1
2
1
2
1
2
1
5
1
=
RC
Cz. Rzeczywista
Cz. Urojona
Cha-ka Modułu
Ch-ka fazowa
Ch-ka logarytmiczna
Cha-ka P(w) i Q(w)
0
10
20
30
40
50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
P(w)
Q(w)
ω
Cha-ka widmowa (amplitudowo-fazowa)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Nyquis t
Q(w)
P(w)
Cha-ka amplitudowa M(w)
0
5
10
15
20
25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω
Cha-ka fazowa
0
5
10
15
20
25
0
20
40
60
80
100
90
ω
Cha-ka logarytmiczna
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
log
ω
Przykład – cha-ki 2 rzędu
(
)
2
2
2
2
3
1
3
11
.
1
10
2
10
)
(
+
+
⋅
=
+
+
=
s
s
s
s
H
)
3
sin(
3
11
.
1
)
(
t
e
t
h
t
−
⋅
=
ω
ω
ω
ω
ω
2
10
10
10
)
(
2
)
(
10
)
(
2
2
j
j
j
j
H
+
−
=
+
+
=
0
1
2
3
4
5
6
-1
-0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
t
x
(t
)
Przykład – cha-ki 2 rzędu
ω
ω
ω
ω
ω
2
10
10
10
)
(
2
)
(
10
)
(
2
2
j
j
j
j
H
+
−
=
+
+
=
(
)
2
2
2
2
4
10
)
2
10
(
10
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
−
−
=
j
j
H
(
)
2
2
2
4
10
10
)
(
ω
ω
ω
+
−
=
M
(
)
2
2
2
2
4
10
)
10
(
10
)
(
ω
ω
ω
ω
+
−
−
=
P
(
)
2
2
2
4
10
20
)
(
ω
ω
ω
ω
+
−
−
=
Q
(
)
2
2
2
4
10
10
log
20
)
(
ω
ω
ω
+
−
=
L
(
)
2
10
2
)
(
ω
ω
ω
ϕ
−
−
= arctg
Wartości charakterystyk
L
(
ω
)
ϕ
(
ω
)
M
(
ω
)
Q
(
ω
)
P
(
ω
)
ω
-40dB/
dek
4.3
1.2
0.42
0
-π
-π/2
-0.67
-0.25
0
+0
1.64
1.4
1.1
1
-0
-1.62
-0.77
-0.23
0
-0
0.27
1.15
1.06
1
∞
3
2
1
0
Charakterystyki
0
5
10
-2
-1
0
1
2
P i Q
-1
0
1
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Nyquis t
0
5
10
0
0.5
1
1.5
2
Cha -ka amplitudowa
0
5
10
-3
-2
-1
0
Cha -ka fa z owa
Charakterystyki P i Q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
P i Q
ω
Charakterystyk amplitudowo-fazowa
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Nyquist
P
Q
Charakterystyk amplitudowa
0
2
4
6
8
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Cha-ka amplitudowa
ω
Charakterystyk fazowa
0
2
4
6
8
10
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Cha -ka fa zowa
ω
Charakterystyki logarytmiczne
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-150
-100
-50
0
50
Logarytmiczna Amplitudowa
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-200
-150
-100
-50
0
Log fazowa
log w
Postać czasowa i transformata Laplace’a sygnałów analogowych
(
)
k
k
P
k
s
s
C
s
N
s
L
s
H
−
∑
=
=
=1
)
(
)
(
)
(
Transformata Laplace,a sygnału (układu)
S
k
– pierwiastki mianownika
C
k
– stała skladnika
t
s
k
P
k
k
e
C
t
h
∑
=
=1
)
(
Postać czasowa sygnału
- odpowiedź impulsowa układu
(
)
k
s
s
k
k
s
s
s
N
s
L
C
=
−
=
)
(
)
(
Wzór na wyznaczanie stałych
Przykłady
4
4
4
4
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
−
=
+
+
+
−
+
+
+
+
=
+
+
−
−
+
+
=
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
H
Transformata Laplace’a w postaci
Składników prostych
(
)
4
4
2
)
2
(
4
4
2
2
1
−
=
−
=
+
+
+
−
=
−
=
−
=
s
s
s
s
s
ds
d
C
Postać czasowa sygnału
(
)
4
)
4
4
(
2
)
2
(
4
4
2
2
2
2
2
=
−
−
=
+
+
+
−
=
−
=
−
=
s
s
s
s
s
s
C
(
)
2
2
4
2
4
1
)
(
+
+
+
−
=
s
s
s
H
t
t
te
e
t
t
h
2
2
4
4
)
(
)
(
−
−
+
−
=
δ
(
)
(
) (
)
2
2
1
2
2
2
2
1
2
4
4
1
4
4
4
4
1
)
(
+
+
+
+
=
+
+
−
=
+
+
+
−
=
s
C
s
C
s
s
s
s
s
s
H
Przykłady
(
)
(
)
4
4
2
)
(
2
1
+
+
=
+
=
s
C
s
C
s
s
s
H
Transformata Laplace,a w postaci składników
prostych
( )
2
1
)
4
0
(
2
)
4
(
2
)
4
(
2
0
0
1
=
+
=
+
=
+
=
=
=
s
s
s
s
s
s
C
Postać czasowa sygnału
(
)
2
1
4
2
2
4
)
4
(
2
4
4
2
−
=
−
=
=
+
+
=
−
=
−
=
s
s
s
s
s
s
C
(
)
4
5
.
0
5
.
0
)
(
+
−
=
s
s
s
H
( )
)
(
1
)
1
(
2
1
2
1
1
2
1
)
(
4
4
t
e
e
t
t
h
t
t
⋅
−
=
−
=
−
−
Wyznaczanie stałych
Transmitancja – odpowiedź impulsowa
Zatem odpowiedź impulsowa układu analogowego jest transformatą
odwrotną transmitancji
{
}
)
(
)
(
)
(
1
s
H
L
t
h
t
y
−
=
=
Jeżeli H(s) jest transformatą układu analogowego
Jeżeli wymuszeniem jest impuls Diraca x(t)=δ(t)
To X(s) jest transformatą wymuszenia impulsowego
X
(s)=1
Wtedy transformata odpowiedzi układu analogowego
ma postać
Y
(s) = H(s) X(s) = H(s)• 1 = H(s)