MO

Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13

1

Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13

Z2/13.1. Zadanie 13

Wyznaczyć analitycznie reakcje we wszystkich przegubach rzeczywistych A, B i C układu trójprzegu-

bowego przedstawionego na rysunku Z2/13.1.

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

2,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

24,0 kN

[m]

I

II

Rys. Z2/13.1. Układ trójprzegubowy

Z2/13.2. Analiza kinematyczna układu trójprzegubowego

Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz sztywnych mających razem sześć stopni swobody. 

Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C odbierają razem także sześć stopni swobody. Został więc 
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4).

Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C nie leżą na jednej prostej. Został tym samym spełniony 

warunek dostateczny geometrycznej niezmienności.

Ponieważ   układ   trójprzegubowy   przedstawiony   na   rysunku   Z2/13.1   spełnia   warunek   konieczny  i 

dostateczny geometrycznej niezmienności jest więc on układem geometrycznie niezmiennym i statycznie 
wyznaczalnym. 

Z2/13.3. Analiza statyczna układu trójprzegubowego

W przegubie rzeczywistym jak wiadomo działa jedna reakcja. Wiemy o niej tylko to, że kierunek jej 

musi przejść przez przegub rzeczywisty. W takim przypadku rozkładamy reakcję w przegubie rzeczywistym 
na   dwie   składowe:   poziomą   i   pionową.   Założone   zwroty   składowych   reakcji   w   przegubach   A   i   C 
przedstawia rysunek Z2/13.2. Rysunek Z2/13.3 przedstawia założone zwroty reakcji działających na tarczę 
sztywną numer I. Rysunek Z2/13.4 przedstawia założone zwroty reakcji  działających na tarczę sztywną 
numer II. Rysunek Z2/13.5 przedstawia założone zwroty reakcji działających w przegubie rzeczywistym B.

Pierwszym równaniem służącym do wyznaczenia składowych reakcji w przegubie rzeczywistym A 

będzie  równanie   sumy  momentów  wszystkich sił   działających na   cały  układ trójprzegubowy  względem 
punktu C. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z 
rysunkiem Z2/13.2 równanie to będzie miało postać

 M

C

=V

A

⋅9,0−H

A

⋅2,0−16,0⋅1,0−24,0⋅7,0−12,0⋅2,0−8,0⋅2,0=0

V

A

⋅9,0−H

A

⋅2,0=224,0

.

(Z2/13.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13

2

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

2,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

24,0 kN

[m]

I

II

V

A

H

A

V

C

H

C

2,

0

1,

0

X

Y

Rys. Z2/13.2. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C

A

B

2,0

2,0

2,

0

3,

0

16,0 kN

24,0 kN

[m]

I

V

A

H

A

V

B

(I)

H

B

(I)

X

Y

Rys. Z2/13.3. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na tarczę sztywną numer I

Drugim   równaniem   służącym   do   wyznaczenia   składowych   reakcji   w   przegubie   rzeczywistym  A 

będzie równanie sumy momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer I względem punktu 
B. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem 
Z2/11.3 równanie to będzie miało postać

 M

B



I



=V

A

⋅4,0−H

A

⋅5,016,0⋅2,0−24,0⋅2,0=0

V

A

⋅4,0−H

A

⋅5,0=16,0

.

(Z2/13.2)

Równania   równowagi   (Z2/13.1)   i   (Z2/13.2)   będą   tworzyły   układ   dwóch   równań   z   dwiema 

niewiadomymi, którymi będą składowe reakcji w przegubie rzeczywistym A, w postaci

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13

3

B

C

3,0

2,0

1,

0

2,

0

8,0 kN

12,0 kN

[m]

II

V

C

H

C

V

B

(II)

H

B

(II)

X

Y

Rys. Z2/13.4. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach B i C działające na tarczę sztywną numer II

B

V

B

(I)

H

B

(I)

V

B

(II)

H

B

(II)

Rys. Z2/13.5. Założone zwroty reakcji w przegubie rzeczywistym B

{

V

A

⋅

9,0

−

H

A

⋅

2,0

=

224,0

V

A

⋅

4,0

−

H

A

⋅

5,0

=

16,0

.

(Z2/13.3)

Rozwiązaniem układu są składowe reakcji w przegubie rzeczywistym A o wartościach 

V

A

=

29,41 kN

,

(Z2/13.4)

H

A

=20,32 kN

,

(Z2/13.5)

Obie składowe mają więc zwroty zgodne z przyjętymi na początku obliczeń.

Pierwszym równaniem służącym do wyznaczenia składowych reakcji w przegubie rzeczywistym C 

będzie  równanie   sumy  momentów  wszystkich sił   działających na   cały  układ trójprzegubowy  względem 
punktu A. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z 
rysunkiem Z2/13.2 równanie to będzie miało postać

 M

A

=−V

C

⋅9,0−H

C

⋅2,0−16,0⋅3,024,0⋅2,012,0⋅7,0−8,0⋅4,0=0

V

C

⋅9,0H

C

⋅2,0=52,0

.

(Z2/13.6)

Drugim   równaniem   służącym   do   wyznaczenia   składowych   reakcji   w   przegubie   rzeczywistym   C 

będzie równanie sumy momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer II względem punktu 
B. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem 
Z2/11.4 równanie to będzie miało postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13

4

 M

B



II



=−V

C

⋅5,0H

C

⋅3,012,0⋅3,08,0⋅1,0=0

V

C

⋅5,0−H

C

⋅3,0=44,0

.

(Z2/13.7)

Równania   równowagi   (Z2/13.6)   i   (Z2/13.7)   będą   tworzyły   układ   dwóch   równań   z   dwiema 

niewiadomymi, którymi będą składowe reakcji w przegubie rzeczywistym C w postaci

{

V

C

⋅

9,0



H

C

⋅

2,0

=

52,0

V

C

⋅

5,0

−

H

C

⋅

3,0

=

44,0

.

(Z2/13.8)

Rozwiązaniem układu są składowe reakcji w przegubie rzeczywistym C o wartościach 

V

C

=6,595 kN

,

(Z2/13.9)

H

C

=−3,675 kN

,

(Z2/13.10)

Składowa pionowa reakcji w przegubie rzeczywistym C ma zwrot zgodny z przyjętym na początku obliczeń 
natomiast składowa pozioma reakcji ma zwrot przeciwny do przyjętego.

W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równania sumy rzutów wszystkich sił działających na cały 

układ   trójprzegubowy   na   osie   poziomą   X   i   pionową  Y.   Jako   dodatni   przyjmiemy   kierunek   zgodny   ze 
zwrotem osi X lub Y. Równania te, zgodnie z rysunkiem Z2/13.2, mają postać

 X =H

A

−H

C

−16,0−8,0=20,32−



−3,675



−24,0=−0,005≈0

,

(Z2/13.11)

 Y =V

A

V

C

−24,0−12,0=29,416,595−36,0=0,005≈0

.

(Z2/13.12)

Równania   równowagi   (Z2/13.11)   i   (Z2/13.12)   zostały   spełnione   możemy  więc   stwierdzić,   że   składowe 
reakcji w przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek   Z2/13.6   przedstawia   prawidłowe   wartości   i   zwroty   składowych   reakcji   w   przegubach 

rzeczywistych A i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na obie tarcze sztywne znajdują się 
w równowadze.

Aby  wyznaczyć   poziomą   składową   reakcji   w   przegubie   B  działającą   na   tarczę   sztywną   numer   I 

zastosujemy   równanie   sumy   rzutów   wszystkich   sił   działających   na   tę   tarczę   na   oś   X.   Jako   dodatni 
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/13.3 składowa ta ma wartość

 X



I



=−H

B



I



H

A

−16,0=0

−H

B



I



20,32−16,0=0

H

B



I



=4,32kN

.

(Z2/13.13)

Aby  wyznaczyć   pionową   składową   reakcji   w   przegubie   B   działającą   na   tarczę   sztywną   numer   I 

zastosujemy   równanie   sumy   rzutów   wszystkich   sił   działających   na   tę   tarczę   na   oś   Y.   Jako   dodatni 
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/13.3 składowa ta ma wartość

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13

5

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

2,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

24,0 kN

[m]

I

II

2,

0

1,

0

29,41 kN

20,32 kN

6,595 kN

3,675 kN

Rys. Z2/13.6. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C

A

B

2,0

2,0

2,

0

3,

0

16,0 kN

24,0 kN

I

29,41 kN

20,32 kN

5,41 kN

4,32 kN

B

C

3,0

2,0

1,

0

2,

0

8,0 kN

12,0 kN

[m]

II

6,595 kN

3,675 kN

5,41 kN

4,32 kN

Rys. Z2/13.7. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A, B i C

 Y



I



=V

B



I



V

A

−24,0=0

V

B



I



29,41−24,0=0

V

B



I



=−5,41 kN

.

(Z2/13.14)

Pozioma składowa reakcji w przegubie B ma zwrot zgodny z założonym natomiast pionowa składowa 

reakcji w przegubie B ma zwrot przeciwny do założonego. Rysunek Z2/13.7 przedstawia prawidłowe zwroty 
składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B działające na tarczę sztywną numer I.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13

6

Składowe reakcji w przegubie B działające na tarczę sztywną numer II mają takie same wartości ale 

przeciwne zwroty jak te same składowe działające na tarczę sztywną numer I. Wynika to bezpośrednio z 
równowagi   założonych   zwrotów   składowych   reakcji   w   przegubie   rzeczywistym   B   przedstawionych   na 
rysunku Z2/13.5. Możemy więc napisać, że

H

B



II



=H

B



I



=4,32 kN

,

(Z2/13.15)

V

B



II



=V

B



I



=−5,41 kN

.

(Z2/13.16)

W celu sprawdzenia obliczeń składowych reakcji w przegubie B zastosujemy równania sumy rzutów 

wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer II na osie: poziomą X i pionową Y. Jako dodatnie 
przyjmiemy kierunki zgodne ze zwrotami osi X i Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/13.4 równanie sumy rzutów na 
oś X ma postać

 X



II



=H

B



II



−H

C

−8,0=4,32−



−3,675



−8,0=−0,005≈0

.

(Z2/13.17)

Zgodnie z rysunkiem Z2/13.4 równanie sumy rzutów na oś Y ma postać

 Y



II



=−V

B



II



V

C

−12,0=−



−5,41



6,595−12,0=0,005≈0

.

(Z2/13.18)

Równania równowagi (Z2/13.17) i (Z2/13.18) zostały spełnione, możemy więc stwierdzić, że poziome i 
pionowe składowe reakcji w przegubie B zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek   Z2/13.7   przedstawia   prawidłowe   wartości   i   zwroty   składowych   reakcji   w   przegubach 

rzeczywistych A, B i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na każdą z tarcz sztywnych 
znajdują się w równowadze. 

Rysunek   Z2/13.8   przedstawia   prawidłowe   wartości   i   zwroty   składowych   reakcji   działających   w 

przegubie rzeczywistym B.

B

5,41 kN

4,32 kN

5,41 kN

4,32 kN

Rys. Z2/13.8. Składowe reakcji działających w przegubie rzeczywistym B

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni