materiał pochodzi ze strony
Proste pochodne
Wzory:
Przykłady:
(c)
0
= 0
(2)
0
= 0
(100)
0
= 0
(ax)
0
= a
(x)
0
= 1
(3x)
0
= 3
(x
n
)
0
= nx
n−1
(x
3
)
0
= 3x
2
(x
5
)
0
= 5x
4
a
x
0
= −
a
x
2
1
x
0
= −
1
x
2
3
x
0
= −
3
x
2
√
x
0
=
1
2
√
x
(e
x
)
0
= e
x
(a
x
)
0
= a
x
ln a
(ln x)
0
=
1
x
(log
a
x)
0
=
1
x ln a
(log
2
x)
0
=
1
x ln 2
(log
5
x)
0
=
1
x ln 5
Pochodne funkcji trygonometrycznych
(sin x)
0
= cos x
(tg x)
0
=
1
cos
2
x
= 1 + tg
2
x
(cos x)
0
= − sin x
(ctg x)
0
= −
1
sin
2
x
= −(1 + ctg
2
x)
(arc sin x)
0
=
1
√
1 − x
2
(arc tg x)
0
=
1
1 + x
2
(arc cos x)
0
=
−1
√
1 − x
2
(arc ctg x)
0
=
−1
1 + x
2
Działania na pochodnych
Wzory
:
Przykłady
:
(f + g)
0
= f
0
+ g
0
(x
2
+ x
3
)
0
= (x
2
)
0
+ (x
3
)
0
= 2x + 3x
2
(f − g)
0
= f
0
− g
0
(x
4
− x)
0
= (x
4
)
0
− (x)
0
= 4x
3
− 1
(c · f )
0
= c · f
0
(5x
3
)
0
= 5 · (x
3
)
0
= 5 · 3x
2
= 15x
2
(f · g)
0
= f
0
g + f g
0
(x
2
√
x)
0
= (x
2
)
0
√
x + x
2
(
√
x)
0
=
= 2x
√
x + x
2
·
1
2
√
x
=
= 2x
√
x +
x
2
2
√
x
f
g
0
=
f
0
g − f g
0
g
2
x
2
√
x
0
=
(x
2
)
0
√
x − x
2
(
√
x)
0
(
√
x)
2
=
=
2x
√
x − x
2
1
2
√
x
x
=
=
x(2
√
x − x
1
2
√
x
)
x
= 2
√
x −
x
2
√
x
Pochodna funkcji złożonej
[f (y)]
0
= f
0
· y
0
(2x + 1)
3
0
= (y
3
)
0
= 3y
3−1
· y
0
= 3y
2
· y
0
=
= 3(2x + 1)
2
· 2 = 6(2x + 1)
2
gdzie
y = 2x + 1,
y
0
= 2
—
1
