Lista 2 z rozwiązaniami

Autor rozwiązań dr W.Białas

Działania na wektorach. Elementy metodologii fizyki.

1. Dane są dwa wektory: a = 3î + 4ĵ – 5k̂ oraz b = -î +2ĵ +6k̂. Wyznaczyć: a) długość każdego
wektora, b) iloczyn skalarny a·b, c) kąt pomiędzy wektorem (a – b) a wektorem (a + b).

Rozwiązanie:

2. Wektory a i b spełniają relacje: a + b = 11î - ĵ +5k̂ ; a – 5b = -5î +11ĵ +9k̂. Wyznaczyć wektory a i
b. Czy wektory te są do siebie prostopadłe?

Rozwiązanie:

3. Dany jest wektor a = 7î + 11ĵ. Wyznaczyć wektor jednostkowy, prostopadły do tego wektora.

Rozwiązanie:

4. Dane są dwa wektory: a = 3î + 4ĵ oraz b = 6î + 16ĵ. Rozłożyć wektor b na składowe: równoległą i
prostopadłą do wektora a.

Rozwiązanie:

5. W punktach o współrzędnych (2,2) oraz (3,7) kartezjańskiego układu współrzędnych umieszczono
po jednej cząstce. Wyznaczyć kąt, jaki tworzą wektory wodzące tych cząstek.

Rozwiązanie:

6. Dany jest wektor A = 3î + 5ĵ. Wyznaczyć jego długość i kąt, jaki tworzy z osią 0X.

Rozwiązanie:

7. W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są dwa punkty M

1

= (2,10) oraz M

2

= (5,6). Jaki kąt

z osią 0X tworzy prosta łącząca te punkty?

Rozwiązanie:

8. Wektor o długości 5N jest w płaszczyźnie XY nachylony pod kątem 30° względem osi 0X. Zapisać

wektor w postaci A = A

x

î + A

y

ĵ.

Rozwiązanie:

9. Poruszająca się po podłodze z prędkością o wartości v

1

kula uderza w ścianę pod kątem α i odbija

się pod kątem β. Nowa wartość prędkości wynosi v

2

. Wyznaczyć wektor zmiany prędkości.

Rozwiązanie:

10. Dla każdego z poniższych przypadków wyznaczyć wektory C = A + B oraz D = A – B.

Dane: Rys. a) długości wektorów: |A|= 2,80, |B|= 1,90; kąty: α = β = 60°

Rys. b) długości wektorów: |A|= 3,60, |B|= 2,40; kąty: α = 70°, β = 30°

Rozwiązanie:

11. Dane są dwa wektory: A = 2î + 5ĵ oraz B = 2î - 4ĵ. Wyznaczyć: a) długość każdego z wektorów;

b) długość wektora C = A + B oraz kąt jaki tworzy on z wektorem A.

Rozwiązanie:

β

α

α

B

x

x

y

y

B

A

A

β

Rys. a

Rys. b

12. Barka jest ciągnięta przez dwa holowniki: pierwszy napina siłą 12 kN hol tworzący kąt 60°
względem prawego trawersu barki (kierunku prostopadłego do płaszczyzny symetrii statku), a drugi
napina swój hol siłą 8 kN pod kątem 75° względem lewego trawersu. Wyznaczyć siłę wypadkową
działającą na barkę i obliczyć kąt pod jakim jest ona odchylona od płaszczyzny symetrii barki.

Rozwiązanie:

13. Wektory a oraz b spełniają relacje: a + b = 11î – ĵ; a – 5b = -5î + 11ĵ. Wyznaczyć te wektory. Czy
są one do siebie prostopadłe?

Rozwiązanie:

14. Wektory a oraz b spełniają relację: a + b = 0. Co możemy powiedzieć o tych wektorach?

Rozwiązanie:

15. Długość wektora A wynosi 5 jednostek, a wektora B 7 jednostek. Jaka może być największa i
najmniejsza długość wektora R = A + B?

Rozwiązanie:

16. A i B to wielkości fizyczne mające określone wymiary. Które z podanych działań mają sens
fizyczny: A-B, A+B, A/B, A·B, jeśli wymiary A i B są: a) identyczne, b) różne?

Rozwiązanie:

17. Położenie cząstki zależy od czasu jak: x(t)=Asin(ωt). Jaki wymiar mają w układzie jednostek miar
SI wielkości A i ω?

Rozwiązanie:

18. Przyspieszenie dośrodkowe a

d

ciała w ruchu po okręgu o promieniu R zależy od prędkości tego

ciała v i promienia R jak a

d

=v

α

R

β

. Wyznaczyć, za pomocą analizy wymiarowej wartości wykładników

α i β. Wskazówka: wymiar przyspieszenia: długość/(czas)

2

, wymiar prędkości: długość/czas.

Rozwiązanie:

19. a)Kropla oleju o masie 900 µg (mikrogramów) i o gęstości 918 kg rozpłynęła się na powierzchni
wody tworząc kolistą, szarą plamę o średnicy 42 cm, utworzoną z jednej warstwy (monowarstwy)
cząsteczek oleju, Oszacować rząd wielkości średnicy molekuły oleju. B)Ziarnko piasku to kuleczka
kwarcu o średnicy 50 µm (mikrometrów) i gęstości 2650 kg/m

3

, a gęstość piasku wynosi 2600 kg/m

3

.

Oszacować rząd liczby ziarenek piasku w jednym metrze sześciennym.

Rozwiązanie:

20. Odległość Ziemi od Słońca wynosi 0,15 Tm (terametra). Jak, za pomocą igły, kawałka kartonu i
przymiaru o długości 1m oszacować średnicę Słońca? Spróbuj samodzielnie wykonać taki pomiar, a
wynik porównaj z wartością tej średnicy, znalezioną w tablicach.

Czy można, (unikając jakiegokolwiek patrzenia na Słońce, co grozi uszkodzeniem wzroku!)
oszacować jego średnicę przy pomocy przymiaru i jakiejś monety (np. 10 groszowej) ?

Rozwiązanie:

21. Miliarder oferuje ci przekazanie miliarda złotych w monetach jednozłotowych, ale pod
warunkiem, że przeliczysz

je osobiście. Czy można przyjąć tę propozycję, jeśli przeliczenie jednej

monety trwa tylko sekundę?

Rozwiązanie:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Rozwiązania

RZad1

Długość wektora definiujemy tak: |a|= |(a

x

i

̂ + a

y

j

̂ +a

z

k

̂)| = √( a

x

2

+ a

y

2

+ a

z

2

), zatem:

|a|= √(3

2

+ 4

2

+ (-5)

2

) = 5√2 ≈ 7

|b| = √((-1)

2

+ 2

2

+ 6

2

) = √41 ≈ 6,4

Iloczyn skalarny definiujemy tak: a·b = a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z,

zatem:

a·b = 3·(-1) + 4·2 + (-5·6) = -25

Geometryczna definicja iloczynu skalarnego jest taka: a·b = |a||b|cos(a,b), więc kąt pomiędzy
wektorami można obliczyć następująco:

arccos(a,b) = arccos[ a·b/(|a||b|)] ≈ arccos (-25)/(7·6,4) = arccos( -0,55) ≈124°

( Uwaga: arccos jest na klawiaturach kalkulatorów oznaczany jako cos

-1

.)

Odpowiedź: Długości wektorów wynoszą: |a|= 5√2 ≈ 7 i |b| = √41 ≈ 6,4, a kąt między nimi ma
wartość około 124°.

RZad2

Skorzystamy z definicji:

a = a

x

i

̂ + a

y

j

̂ + a

z

k

̂ , b = b

x

i

̂ + b

y

j

̂ + b

z

k

̂ , 5b = 5b

x

i

̂ + 5b

y

j

̂ + 5b

z

k

̂

a + b = (a

x

+b

x

)i

̂ + (a

y

+b

y

)j

̂ + (a

z

+b

z

)k

̂ = 11î – ĵ +5k̂

a -5b = (a

x

-5b

x

)i

̂ + (a

y

-5b

y

)j

̂ + (a

z

-5b

z

)k

̂ = -5î+11ĵ + 9k̂

otrzymujemy stąd trzy układy równań, każdy z dwiema niewiadomymi:

a

x

+b

x

= 11

a

y

+b

y

= -1

a

z

+b

z

= 5

a

x

-5b

x

=-5

a

y

-5b

y

=11

a

z

-5b

z

=9

Po ich rozwiązaniu otrzymujemy: a

x

= 8⅓, a

y

= 1, a

z

= 5⅔ i b

x

= 2⅔, b

y

= -2, b

z

=-⅔.

Czyli wektor a = 8⅓i

̂ + ĵ + 5⅔k̂, a wektor b = 2⅔î – 2ĵ – ⅔k̂

Iloczyn skalarny wektorów a·b = |a||b|cos(a,b) miałby dla wektorów prostopadłych wartość równą
zeru (bo cos(a,b) = cos90° = 0), a tu:

a·b = a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

= 8⅓·2⅔ - 2 - 5⅔·⅔ > 0, więc wektory a i b nie są prostopadłe.

Odpowiedź: Wektory mają następujące postaci: a = 8⅓i

̂ + ĵ + 5⅔k̂, b = 2⅔î – 2ĵ – ⅔k̂, i nie są

one wzajemnie prostopadłe.

RZad3

Wektor a ma składowe tylko w płaszczyźnie xy. Wektorem jednostkowym do niego prostopadłym
jest więc wektor (0i

̂ + 0ĵ + 1k̂), czyli wektor k̂.

RZad4

Składowa równoległa jest rzutem wektora a na wektor b. Obliczymy jej wartość z iloczynu
skalarnego: a·b = |a||b|cos(a,b)

|a|= √(3

2

+4

2

) = 5

|b|= √(6

2

+16

2

) ≈ 17

a·b = a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

= 3·6 + 4·16 = 82

|b

r

|= |b|cos(a,b) = a·b/|a|≈ 16,4

Wartość tej składowej jest 16,4:5≈3,28 razy większa od wartości wektora a. Składowa b

r

jest więc

wektorem b

r

= 3,28a = 3,28(7i

̂ + 11ĵ) = 9,84î + 13,12ĵ

Wektor b jest sumą swych składowych b = b

r

+ b

p

, więc:

b

p

= b – b

r

=( 6i

̂ +16ĵ) – (9,84î + 13,12ĵ) = -3,84î + 2,88ĵ

Odpowiedź: Składowa wektora b, równoległa do wektora a to wektor b

r

= 9,84i

̂ + 13,12ĵ, a składowa

prostopadła to wektor b

p

= -3,84i

̂ + 2,88ĵ

RZad5

Wektory wodzące zapiszemy tak: r

1

= 2i

̂ +2ĵ, r

2

=3i

̂ +7ĵ

Kąt między tymi wektorami obliczymy wykorzystując geometryczną interpretację iloczynu skalarnego
wektorów: a·b = |a||b|cos(a,b)

Obliczmy wartości (moduły) wektorów wodzących:

| r

1

|=2

2

+2

2

= 2√2, | r

2

|=3

2

+7

2

= √58 , r

1

·r

2

=2·3+2·7=20

Teraz możemy obliczyć kąt między wektorami wodzącymi:

arccos(r

1

,r

2

) = arccos20/(2√(2·58)) = 21,8°

( Uwaga: arccos jest na klawiaturach kalkulatorów oznaczany jako cos

-1

.)

Odpowiedź: Kąt, jaki tworzą wektory wodzące tych cząstek ma 21,8°

RZad6

Długość (wartość, moduł) wektora: |A| = √(A

x

2

+A

y

2

) = √(3

2

+5

2

) = √34, |i

̂| = 1

Wektor jednostkowy na osi 0X to i

̂. Kąt między wektorem A, a osią, czyli wektorem î, obliczymy

używając geometrycznej interpretacji iloczynu skalarnego wektorów: a·b = |a||b|cos(a,b)

Iloczyn skalarny: A·i

̂ = (3î+5ĵ)·î = 3

Kąt(A,i

̂) = arccos[ A·î/(|A||î|)] = 3/√34 ≈ 59°

( Uwaga: arccos jest na klawiaturach kalkulatorów oznaczany jako cos

-1

.)

Odpowiedź: Długość wektora wynosi √34≈5,83,a z osią 0X tworzy kąt 59°

RZad7

Znajdziemy wektory wodzące tych punktów: M

1

= 2i

̂ + 10ĵ, M

2

= 5i

̂ + 6ĵ.

Prosta łącząca oba punkty jest równoległa do wektora M, który jest różnicą M

1

- M

2

. Obliczymy go:

M = M

1

- M

2

= (2i

̂+10ĵ) - ( 5î+6ĵ) = (2-5)î + (10-6)ĵ = -3î - 4ĵ

Wektor jednostkowy na osi 0X to i

̂. Kąt między wektorem M, a osią, czyli wektorem î, obliczymy

używając geometrycznej interpretacji iloczynu skalarnego wektorów: a·b = |a||b|cos(a,b)

Iloczyn skalarny M·i

̂ = -3, długość | M | = √[(-3)

2

+ (-4)

2

] = 5, |i

̂| = 1

Kąt(M,i

̂) = arccos[ M·î/(|M||î|)] = arccos (- 3/5) = 126°

Odpowiedź: Prosta łącząca te punkty przecina oś 0X pod kątem 126°

RZad8

Składowe A

x

i A

y

są rzutami wektora A na osie 0X i 0Y. Obliczymy je:

A

x

= 5Ncos30° = 5N√3/2

i A

y

= 5Nsin30° = 5N/2

Odpowiedź: Wektor ma postać A = A

x

i

̂+A

y

j

̂ = (5N√3/2) î + (5N/2)ĵ.

RZad9

Jeżeli do wektora v

1

dodamy wektor zmiany prędkości ∆v, otrzymamy wektor v

2

. Zatem = v

2

– v

1

.

Wyznaczymy oba te wektory i obliczymy ich różnicę.

v

1

= (v

1

cosα)i

̂ - (v

1

sinα)j

̂ i v

2

=(v

2

cosβ)i

̂ + (v

2

sinβ)j

̂

∆v = v

2

– v

1

= [(v

2

cosβ)i

̂ + (v

2

sinβ)j

̂ ] – [(v

1

cosα)i

̂ - (v

1

sinα)j

̂] = (v

2

cosβ - v

1

cosα)i

̂ + (v

2

sinβ + v

1

sinα)j

̂

RZad10

a):

A = (2,80cos60°)i

̂ + (2,80sin60°)ĵ = 1,40î + 2,42ĵ

B = (1,90cos60°)i

̂ - (1,90sin60°)ĵ = 0,95î -1,65ĵ

C = A + B = (1,40i

̂ + 2,42ĵ) + (0,95î + 1,65ĵ) = 2,35î + 0,77ĵ

D = A – B = (1,40i

̂ + 2,42ĵ) - (0,95î + 1,65ĵ) = 0,45î + 4,07ĵ

Rozwiązanie b):

A = (3,60cos70°)i

̂ + (3,60sin70°)ĵ = 1,23î + 3,38ĵ

B = (-2,40cos30°)i

̂ - (2,40sin30°)ĵ = -2,08î -1,20ĵ

C = A + B = (1,23i

̂ + 3,38ĵ) + (-2,08î + 1,20ĵ) = -0,85î + 2,18ĵ

D = A – B = (1,23i

̂ + 3,38ĵ) - (-2,08î + 1,20ĵ) = 3,31î + 4,58ĵ

Rysunki objaśniające:

RZad11

a):

|A| = √(2

2

+ 5

2

) = √29 ≈ 5,4

|B| = √(2

2

+ 4

2

) = √20 ≈ 4,5

Rozwiązanie b):

C = A + B = (2i

̂ + 5ĵ) + (2î - 4ĵ) = 4î + ĵ

|C| = √(4

2

+ 1

2

) = √17 ≈ 4,1

A·C = |A||C|cos (A,C) = A

x

C

x

+ A

y

C

y

= 2·4 + 5·1 = 13, stąd obliczymy kąt między wektorami

kąt(A,C) = arccos

= arccos

= 54°

RZad12

Przyjmiemy następujący układ współrzędnych: oś 0X (z wektorem jednostkowym i

̂) skierowaną

wzdłuż trawersu w prawo, a oś 0Y (z wektorem jednostkowym j

̂) skierowaną wzdłuż płaszczyzny

symetrii barki w przód. Wektory sił F

1

i F

2

obliczymy w tym układzie.

F

1

= (12cos60°)i

̂ + (12sin60°)ĵ

F

2

= -(8cos75°)i

̂ + (8sin75°)ĵ teraz obliczymy siłę wypadkową W

α

β

C

C

D

D

-B

-B

B

x

x

y

y

B

A

A

β

α

Rys. a

Rys. b

W = F

1

+ F

2

= [(12cos60°)i

̂ + (12sin60°)ĵ] + [(-8cos75°)î + (8sin75°)ĵ] =

(12cos60° -8cos75°)i

̂ + (12sin60° + 8sin75°)ĵ = 3,93î +18,0ĵ, |W|= √(3,93i

2

+ 18,0

2

) = 18,4kN

Kąt względem osi barki obliczymy z wartości jego tangensa, zwracając uwagę na to, że obie
składowe są dodatnie:

Kąt (W,j

̂) = arctg 3,93/18 = 12,3°

(Uwaga: arctg jest na klawiaturach kalkulatorów oznaczany jako tg

-1

)

Odpowiedź: Wektor siły wypadkowej działającej na barkę ma w takim układzie postać:

W = 3,93i

̂ +18,0ĵ, jego wartość wynosi 18,4 kN, i jest skierowany pod kątem 12,3° w prawo od osi

barki

RZad13

a + b = (a

x

i

̂ + a

y

j

̂) + (b

x

i

̂ + b

y

j

̂) = (a

x

+ b

x

)i

̂ + (a

y

+ b

y

)j

̂ = 11î – ĵ

a – 5b = (a

x

i

̂ + a

y

j

̂) – 5(b

x

i

̂ + b

y

j

̂) = (a

x

– 5b

x

)i

̂ + (a

y

- 5b

y

)j

̂ = -5î +11ĵ

otrzymujemy dwa układy równań:

a

x

+ b

x

= 11

a

y

+ b

y

= -1

a

x

– 5b

x

= -5

a

y

- 5b

y

= 11

po rozwiązaniu ich w dowolny sposób otrzymujemy: a

x

= 8⅓, a

y

= 1, b

x

= 2⅔, b

y

= -2, i możemy

napisać wektory: a = 8⅓i

̂ + ĵ, b =2⅔î -2ĵ

Prostopadłość wektorów sprawdzimy obliczając ich iloczyn skalarny, który dla wektorów
prostopadłych ma wartość równą zeru.

a·b = a

x

b

x

+ a

y

b

y

= 8⅓·2⅔ + 1·(1) > 0, Zatem wektory te nie są wzajemnie prostopadłe.

Inny sposób rozwiązania zadania: równania wektorowe odejmujemy stronami

a + b = 11î – ĵ;

(-)

a – 5b = -5î + 11ĵ.

(=)

6b = 16î - 12ĵ. Co daje b = 16î/6 - 12ĵ/6 = 2⅔i + 2j itd..

RZad14

Ponieważ suma wektorów, czyli ich wypadkowa ma wartość równą zeru, więc wektory te mają taką
samą długość i są przeciwnie skierowane.

RZad15

Największa długość jest równa sumie obu długości (przy wektorach o ty samym kierunku i zwrocie) i
wynosi 12 jednostek, a najmniejsza długość odpowiada ich różnicy (przy wektorach o tym samym
kierunku, ale przeciwnych zwrotach) i wynosi 2 jednostki.

RZad16

Jeżeli wymiary A i B są identyczne, to sens mają te działania:

A-B zmiany wartości, na przykład: czasu, położenia, siły, temperatury, napięcia itd.

A+B suma wartości, na przykład: czasu, położenia, prędkości, siły itd.

A/B krotność zmiany wartości, na przykład ile razy przyspieszenie jest mniejsze na Księżycu

A·B pola powierzchni, potęgi wartości

Jeżeli wymiary A i B są różne, to sens mają tylko te działania:

A/B definicje nowych wielkości, na przykład: prędkość, ciśnienie, moc, natężenie prądu, itd.

A·B definicje nowych wielkości, na przykład: praca, moment siły, moc prądu, itd.

RZad17

A ma taki sam wymiar, jak położenie x , czyli metr (m), a ponieważ argument funkcji sin(ωt) jest
bezwymiarowy to ω ma wymiar odwrotności czasu, czyli sekunda

-1

(s

-1

) .

RZad18

Równość a

d

=v

α

R

β

przepiszemy używając wymiarów wielkości:

długość/(czas)

2

= [długość/(czas)]

α

·(długość)

β

= (długość)

α+β

/(czas)

α

wynika stąd, że α+β = 1 , a α=2, zatem β = 1-2 = -1, i równanie na przyspieszenie ma postać:

a

d

= v

2

R

-1

= v

2

/R.

RZad19

a)Objętość plamy oleju na wodzie V obliczymy z masy m i gęstości ρ:

V=m/ρ , można ją też obliczyć z wymiarów plamy: jej średnicy d i wysokości h, która jest właśnie
poszukiwaną średnicą cząsteczki oleju:

V=πd

2

h/4 i porównując oba wyrażenia otrzymujemy m/ρ = πd

2

h/4, skąd obliczamy h:

Odpowiedź: Średnica molekuły oleju jest rzędu kilku nanometrów.

b)Liczbę ziarenek piasku w jednym metrze sześciennym oszacujemy dzieląc masę tej ilości piasku
(czyli jego gęstość) przez masę jednego ziarenka, która wynosi:

Zatem ilość ziarenek jest:

Odpowiedź: W metrze sześciennym piasku jest około 15 milionów takich ziarenek.

RZad20

Jeżeli kartonikiem z otworkiem po igle w środku, rzucimy w słoneczny dzień jego cień na białą
kartkę, to na tej kartce zauważymy jasną plamkę, której średnica rośnie, gdy oddalamy kartonik.
Plamka ta jest obrazem Słońca utworzonym przez promienie przechodzące po liniach prostych przez
otworek. Kąt między skrajnymi promieniami jest taki sam po obu stronach kartonika, więc stosunek
średnicy Słońca D do jego odległości od kartonika (czyli jego odległości od Ziemi L) jest taki sam, jak
stosunek średnicy obrazu Słońca d do jego odległości l od otworka w kartoniku. Zatem D = L·d/l.

By wykonać taki pomiar, warto na kartce narysować kółeczko o średnicy np. 5 mm i zmierzyć
odległość kartonika potrzebną do wypełnienia obrazem Słońca tego kółeczka.

Moneta może też być bezpiecznie dla wzroku użyta do oszacowania średnicy Słońca, ponieważ cień
monety oddalanej od kartki jest otoczony widocznym wyraźnie półcieniem. Wyznaczenie odległości,
w jakiej znika cień, a pozostaje tylko półcień pozwala w taki sam sposób oszacować średnicę Słońca.

Ekran z obrazem
Słońca o średnicy d

Kartonik z małym otworkiem

D

Słońce o średnicy D

L

d

l

RZad21

Przeliczenie wszystkich monet trwało by10

9

(miliard) sekund. Zajęło by to:

Pracując 8 godzin na dobę bez dni wolnych, trwało by takie liczenie 93 lata!

Odpowiedź: Ta kusząca oferta jest, niestety, do odrzucenia!

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

***

Słońce o średnicy D

Obiekt o średnicy d

Odległość do Słońca, L

Długość cienia, l

Cień

Półcień