Lista 2 z rozwiązaniami
Autor rozwiązań dr W.Białas
Działania na wektorach. Elementy metodologii fizyki.
1. Dane są dwa wektory: a = 3î + 4ĵ – 5k̂ oraz b = -î +2ĵ +6k̂. Wyznaczyć: a) długość kaŜdego
wektora, b) iloczyn skalarny a·b, c) kąt pomiędzy wektorem (a – b) a wektorem (a + b).
Rozwiązanie:
2. Wektory a i b spełniają relacje: a + b = 11î - ĵ +5k̂ ; a – 5b = -5î +11ĵ +9k̂. Wyznaczyć wektory a i
b. Czy wektory te są do siebie prostopadłe?
Rozwiązanie:
3. Dany jest wektor a = 7î + 11ĵ. Wyznaczyć wektor jednostkowy, prostopadły do tego wektora.
Rozwiązanie:
4. Dane są dwa wektory: a = 3î + 4ĵ oraz b = 6î + 16ĵ. RozłoŜyć wektor b na składowe: równoległą i
prostopadłą do wektora a.
Rozwiązanie:
5. W punktach o współrzędnych (2,2) oraz (3,7) kartezjańskiego układu współrzędnych umieszczono
po jednej cząstce. Wyznaczyć kąt, jaki tworzą wektory wodzące tych cząstek.
Rozwiązanie:
6. Dany jest wektor A = 3î + 5ĵ. Wyznaczyć jego długość i kąt, jaki tworzy z osią 0X.
Rozwiązanie:
7. W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są dwa punkty M
1
= (2,10) oraz M
2
= (5,6). Jaki kąt
z osią 0X tworzy prosta łącząca te punkty?
Rozwiązanie:
8. Wektor o długości 5N jest w płaszczyźnie XY nachylony pod kątem 30° względem osi 0X. Zapisać
wektor w postaci A = A
x
î + A
y
ĵ.
Rozwiązanie:
9. Poruszająca się po podłodze z prędkością o wartości v
1
kula uderza w ścianę pod kątem α i odbija
się pod kątem β. Nowa wartość prędkości wynosi v
2
. Wyznaczyć wektor zmiany prędkości.
Rozwiązanie:
10. Dla kaŜdego z poniŜszych przypadków wyznaczyć wektory C = A + B oraz D = A – B.
Dane: Rys. a) długości wektorów: |A|= 2,80, |B|= 1,90; kąty: α = β = 60°
Rys. b) długości wektorów: |A|= 3,60, |B|= 2,40; kąty: α = 70°, β = 30°
Rozwiązanie:
11. Dane są dwa wektory: A = 2î + 5ĵ oraz B = 2î - 4ĵ. Wyznaczyć: a) długość kaŜdego z wektorów;
b) długość wektora C = A + B oraz kąt jaki tworzy on z wektorem A.
Rozwiązanie:
β
α
α
B
x
x
y
y
B
A
A
β
Rys. a
Rys. b
12. Barka jest ciągnięta przez dwa holowniki: pierwszy napina siłą 12 kN hol tworzący kąt 60°
względem prawego trawersu barki (kierunku prostopadłego do płaszczyzny symetrii statku), a drugi
napina swój hol siłą 8 kN pod kątem 75° względem lewego trawersu. Wyznaczyć siłę wypadkową
działającą na barkę i obliczyć kąt pod jakim jest ona odchylona od płaszczyzny symetrii barki.
Rozwiązanie:
13. Wektory a oraz b spełniają relacje: a + b = 11î – ĵ; a – 5b = -5î + 11ĵ. Wyznaczyć te wektory. Czy
są one do siebie prostopadłe?
Rozwiązanie:
14. Wektory a oraz b spełniają relację: a + b = 0. Co moŜemy powiedzieć o tych wektorach?
Rozwiązanie:
15. Długość wektora A wynosi 5 jednostek, a wektora B 7 jednostek. Jaka moŜe być największa i
najmniejsza długość wektora R = A + B?
Rozwiązanie:
16. A i B to wielkości fizyczne mające określone wymiary. Które z podanych działań mają sens
fizyczny: A-B, A+B, A/B, A·B, jeśli wymiary A i B są: a) identyczne, b) róŜne?
Rozwiązanie:
17. PołoŜenie cząstki zaleŜy od czasu jak: x(t)=Asin(ωt). Jaki wymiar mają w układzie jednostek miar
SI wielkości A i ω?
Rozwiązanie:
18. Przyspieszenie dośrodkowe a
d
ciała w ruchu po okręgu o promieniu R zaleŜy od prędkości tego
ciała v i promienia R jak a
d
=v
α
R
β
. Wyznaczyć, za pomocą analizy wymiarowej wartości wykładników
α i β. Wskazówka: wymiar przyspieszenia: długość/(czas)
2
, wymiar prędkości: długość/czas.
Rozwiązanie:
19. a)Kropla oleju o masie 900 µg (mikrogramów) i o gęstości 918 kg rozpłynęła się na powierzchni
wody tworząc kolistą, szarą plamę o średnicy 42 cm, utworzoną z jednej warstwy (monowarstwy)
cząsteczek oleju, Oszacować rząd wielkości średnicy molekuły oleju. B)Ziarnko piasku to kuleczka
kwarcu o średnicy 50 µm (mikrometrów) i gęstości 2650 kg/m
3
, a gęstość piasku wynosi 2600 kg/m
3
.
Oszacować rząd liczby ziarenek piasku w jednym metrze sześciennym.
Rozwiązanie:
20. Odległość Ziemi od Słońca wynosi 0,15 Tm (terametra). Jak, za pomocą igły, kawałka kartonu i
przymiaru o długości 1m oszacować średnicę Słońca? Spróbuj samodzielnie wykonać taki pomiar, a
wynik porównaj z wartością tej średnicy, znalezioną w tablicach.
Czy moŜna, (unikając jakiegokolwiek patrzenia na Słońce, co grozi uszkodzeniem wzroku!)
oszacować jego średnicę przy pomocy przymiaru i jakiejś monety (np. 10 groszowej) ?
Rozwiązanie:
21. Miliarder oferuje ci przekazanie miliarda złotych w monetach jednozłotowych, ale pod
warunkiem, Ŝe przeliczysz
je osobiście. Czy moŜna przyjąć tę propozycję, jeśli przeliczenie jednej
monety trwa tylko sekundę?
Rozwiązanie:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Rozwiązania
RZad1
Długość wektora definiujemy tak: |a|= |(a
x
i
̂ + a
y
j
̂ +a
z
k
̂)| = √( a
x
2
+ a
y
2
+ a
z
2
), zatem:
|a|= √(3
2
+ 4
2
+ (-5)
2
) = 5√2 ≈ 7
|b| = √((-1)
2
+ 2
2
+ 6
2
) = √41 ≈ 6,4
Iloczyn skalarny definiujemy tak: a·b = a
x
b
x
+ a
y
b
y
+ a
z
b
z,
zatem:
a·b = 3·(-1) + 4·2 + (-5·6) = -25
Geometryczna definicja iloczynu skalarnego jest taka: a·b = |a||b|cos(a,b), więc kąt pomiędzy
wektorami moŜna obliczyć następująco:
arccos(a,b) = arccos[ a·b/(|a||b|)] ≈ arccos (-25)/(7·6,4) = arccos( -0,55) ≈124°
( Uwaga: arccos jest na klawiaturach kalkulatorów oznaczany jako cos
-1
.)
Odpowiedź: Długości wektorów wynoszą: |a|= 5√2 ≈ 7 i |b| = √41 ≈ 6,4, a kąt między nimi ma
wartość około 124°.
RZad2
Skorzystamy z definicji:
a = a
x
i
̂ + a
y
j
̂ + a
z
k
̂ , b = b
x
i
̂ + b
y
j
̂ + b
z
k
̂ , 5b = 5b
x
i
̂ + 5b
y
j
̂ + 5b
z
k
̂
a + b = (a
x
+b
x
)i
̂ + (a
y
+b
y
)j
̂ + (a
z
+b
z
)k
̂ = 11î – ĵ +5k̂
a -5b = (a
x
-5b
x
)i
̂ + (a
y
-5b
y
)j
̂ + (a
z
-5b
z
)k
̂ = -5î+11ĵ + 9k̂
otrzymujemy stąd trzy układy równań, kaŜdy z dwiema niewiadomymi:
a
x
+b
x
= 11
a
y
+b
y
= -1
a
z
+b
z
= 5
a
x
-5b
x
=-5
a
y
-5b
y
=11
a
z
-5b
z
=9
Po ich rozwiązaniu otrzymujemy: a
x
= 8⅓, a
y
= 1, a
z
= 5⅔ i b
x
= 2⅔, b
y
= -2, b
z
=-⅔.
Czyli wektor a = 8⅓i
̂ + ĵ + 5⅔k̂, a wektor b = 2⅔î – 2ĵ – ⅔k̂
Iloczyn skalarny wektorów a·b = |a||b|cos(a,b) miałby dla wektorów prostopadłych wartość równą
zeru (bo cos(a,b) = cos90° = 0), a tu:
a·b = a
x
b
x
+ a
y
b
y
+ a
z
b
z
= 8⅓·2⅔ - 2 - 5⅔·⅔ > 0, więc wektory a i b nie są prostopadłe.
Odpowiedź: Wektory mają następujące postaci: a = 8⅓i
̂ + ĵ + 5⅔k̂, b = 2⅔î – 2ĵ – ⅔k̂, i nie są
one wzajemnie prostopadłe.
RZad3
Wektor a ma składowe tylko w płaszczyźnie xy. Wektorem jednostkowym do niego prostopadłym
jest więc wektor (0i
̂ + 0ĵ + 1k̂), czyli wektor k̂.
RZad4
Składowa równoległa jest rzutem wektora a na wektor b. Obliczymy jej wartość z iloczynu
skalarnego: a·b = |a||b|cos(a,b)
|a|= √(3
2
+4
2
) = 5
|b|= √(6
2
+16
2
) ≈ 17
a·b = a
x
b
x
+ a
y
b
y
+ a
z
b
z
= 3·6 + 4·16 = 82
|b
r
|= |b|cos(a,b) = a·b/|a|≈ 16,4
Wartość tej składowej jest 16,4:5≈3,28 razy większa od wartości wektora a. Składowa b
r
jest więc
wektorem b
r
= 3,28a = 3,28(7i
̂ + 11ĵ) = 9,84î + 13,12ĵ
Wektor b jest sumą swych składowych b = b
r
+ b
p
, więc:
b
p
= b – b
r
=( 6i
̂ +16ĵ) – (9,84î + 13,12ĵ) = -3,84î + 2,88ĵ
Odpowiedź: Składowa wektora b, równoległa do wektora a to wektor b
r
= 9,84i
̂ + 13,12ĵ, a składowa
prostopadła to wektor b
p
= -3,84i
̂ + 2,88ĵ
RZad5
Wektory wodzące zapiszemy tak: r
1
= 2i
̂ +2ĵ, r
2
=3i
̂ +7ĵ
Kąt między tymi wektorami obliczymy wykorzystując geometryczną interpretację iloczynu skalarnego
wektorów: a·b = |a||b|cos(a,b)
Obliczmy wartości (moduły) wektorów wodzących:
| r
1
|=2
2
+2
2
= 2√2, | r
2
|=3
2
+7
2
= √58 , r
1
·r
2
=2·3+2·7=20
Teraz moŜemy obliczyć kąt między wektorami wodzącymi:
arccos(r
1
,r
2
) = arccos20/(2√(2·58)) = 21,8°
( Uwaga: arccos jest na klawiaturach kalkulatorów oznaczany jako cos
-1
.)
Odpowiedź: Kąt, jaki tworzą wektory wodzące tych cząstek ma 21,8°
RZad6
Długość (wartość, moduł) wektora: |A| = √(A
x
2
+A
y
2
) = √(3
2
+5
2
) = √34, |i
̂| = 1
Wektor jednostkowy na osi 0X to i
̂. Kąt między wektorem A, a osią, czyli wektorem î, obliczymy
uŜywając geometrycznej interpretacji iloczynu skalarnego wektorów: a·b = |a||b|cos(a,b)
Iloczyn skalarny: A·i
̂ = (3î+5ĵ)·î = 3
Kąt(A,i
̂) = arccos[ A·î/(|A||î|)] = 3/√34 ≈ 59°
( Uwaga: arccos jest na klawiaturach kalkulatorów oznaczany jako cos
-1
.)
Odpowiedź: Długość wektora wynosi √34≈5,83,a z osią 0X tworzy kąt 59°
RZad7
Znajdziemy wektory wodzące tych punktów: M
1
= 2i
̂ + 10ĵ, M
2
= 5i
̂ + 6ĵ.
Prosta łącząca oba punkty jest równoległa do wektora M, który jest róŜnicą M
1
- M
2
. Obliczymy go:
M = M
1
- M
2
= (2i
̂+10ĵ) - ( 5î+6ĵ) = (2-5)î + (10-6)ĵ = -3î - 4ĵ
Wektor jednostkowy na osi 0X to i
̂. Kąt między wektorem M, a osią, czyli wektorem î, obliczymy
uŜywając geometrycznej interpretacji iloczynu skalarnego wektorów: a·b = |a||b|cos(a,b)
Iloczyn skalarny M·i
̂ = -3, długość | M | = √[(-3)
2
+ (-4)
2
] = 5, |i
̂| = 1
Kąt(M,i
̂) = arccos[ M·î/(|M||î|)] = arccos (- 3/5) = 126°
Odpowiedź: Prosta łącząca te punkty przecina oś 0X pod kątem 126°
RZad8
Składowe A
x
i A
y
są rzutami wektora A na osie 0X i 0Y. Obliczymy je:
A
x
= 5Ncos30° = 5N√3/2
i A
y
= 5Nsin30° = 5N/2
Odpowiedź: Wektor ma postać A = A
x
i
̂+A
y
j
̂ = (5N√3/2) î + (5N/2)ĵ.
RZad9
JeŜeli do wektora v
1
dodamy wektor zmiany prędkości ∆v, otrzymamy wektor v
2
. Zatem = v
2
– v
1
.
Wyznaczymy oba te wektory i obliczymy ich róŜnicę.
v
1
= (v
1
cosα)i
̂ - (v
1
sinα)j
̂ i v
2
=(v
2
cosβ)i
̂ + (v
2
sinβ)j
̂
∆v = v
2
– v
1
= [(v
2
cosβ)i
̂ + (v
2
sinβ)j
̂ ] – [(v
1
cosα)i
̂ - (v
1
sinα)j
̂] = (v
2
cosβ - v
1
cosα)i
̂ + (v
2
sinβ + v
1
sinα)j
̂
RZad10
a):
A = (2,80cos60°)i
̂ + (2,80sin60°)ĵ = 1,40î + 2,42ĵ
B = (1,90cos60°)i
̂ - (1,90sin60°)ĵ = 0,95î -1,65ĵ
C = A + B = (1,40i
̂ + 2,42ĵ) + (0,95î + 1,65ĵ) = 2,35î + 0,77ĵ
D = A – B = (1,40i
̂ + 2,42ĵ) - (0,95î + 1,65ĵ) = 0,45î + 4,07ĵ
Rozwiązanie b):
A = (3,60cos70°)i
̂ + (3,60sin70°)ĵ = 1,23î + 3,38ĵ
B = (-2,40cos30°)i
̂ - (2,40sin30°)ĵ = -2,08î -1,20ĵ
C = A + B = (1,23i
̂ + 3,38ĵ) + (-2,08î + 1,20ĵ) = -0,85î + 2,18ĵ
D = A – B = (1,23i
̂ + 3,38ĵ) - (-2,08î + 1,20ĵ) = 3,31î + 4,58ĵ
Rysunki objaśniające:
RZad11
a):
|A| = √(2
2
+ 5
2
) = √29 ≈ 5,4
|B| = √(2
2
+ 4
2
) = √20 ≈ 4,5
Rozwiązanie b):
C = A + B = (2i
̂ + 5ĵ) + (2î - 4ĵ) = 4î + ĵ
|C| = √(4
2
+ 1
2
) = √17 ≈ 4,1
A·C = |A||C|cos (A,C) = A
x
C
x
+ A
y
C
y
= 2·4 + 5·1 = 13, stąd obliczymy kąt między wektorami
kąt(A,C) = arccos
= arccos
= 54°
RZad12
Przyjmiemy następujący układ współrzędnych: oś 0X (z wektorem jednostkowym i
̂) skierowaną
wzdłuŜ trawersu w prawo, a oś 0Y (z wektorem jednostkowym j
̂) skierowaną wzdłuŜ płaszczyzny
symetrii barki w przód. Wektory sił F
1
i F
2
obliczymy w tym układzie.
F
1
= (12cos60°)i
̂ + (12sin60°)ĵ
F
2
= -(8cos75°)i
̂ + (8sin75°)ĵ teraz obliczymy siłę wypadkową W
α
β
C
C
D
D
-B
-B
B
x
x
y
y
B
A
A
β
α
Rys. a
Rys. b
W = F
1
+ F
2
= [(12cos60°)i
̂ + (12sin60°)ĵ] + [(-8cos75°)î + (8sin75°)ĵ] =
(12cos60° -8cos75°)i
̂ + (12sin60° + 8sin75°)ĵ = 3,93î +18,0ĵ, |W|= √(3,93i
2
+ 18,0
2
) = 18,4kN
Kąt względem osi barki obliczymy z wartości jego tangensa, zwracając uwagę na to, Ŝe obie
składowe są dodatnie:
Kąt (W,j
̂) = arctg 3,93/18 = 12,3°
(Uwaga: arctg jest na klawiaturach kalkulatorów oznaczany jako tg
-1
)
Odpowiedź: Wektor siły wypadkowej działającej na barkę ma w takim układzie postać:
W = 3,93i
̂ +18,0ĵ, jego wartość wynosi 18,4 kN, i jest skierowany pod kątem 12,3° w prawo od osi
barki
RZad13
a + b = (a
x
i
̂ + a
y
j
̂) + (b
x
i
̂ + b
y
j
̂) = (a
x
+ b
x
)i
̂ + (a
y
+ b
y
)j
̂ = 11î – ĵ
a – 5b = (a
x
i
̂ + a
y
j
̂) – 5(b
x
i
̂ + b
y
j
̂) = (a
x
– 5b
x
)i
̂ + (a
y
- 5b
y
)j
̂ = -5î +11ĵ
otrzymujemy dwa układy równań:
a
x
+ b
x
= 11
a
y
+ b
y
= -1
a
x
– 5b
x
= -5
a
y
- 5b
y
= 11
po rozwiązaniu ich w dowolny sposób otrzymujemy: a
x
= 8⅓, a
y
= 1, b
x
= 2⅔, b
y
= -2, i moŜemy
napisać wektory: a = 8⅓i
̂ + ĵ, b =2⅔î -2ĵ
Prostopadłość wektorów sprawdzimy obliczając ich iloczyn skalarny, który dla wektorów
prostopadłych ma wartość równą zeru.
a·b = a
x
b
x
+ a
y
b
y
= 8⅓·2⅔ + 1·(1) > 0, Zatem wektory te nie są wzajemnie prostopadłe.
Inny sposób rozwiązania zadania: równania wektorowe odejmujemy stronami
a + b = 11î – ĵ;
(-)
a – 5b = -5î + 11ĵ.
(=)
6b = 16î - 12ĵ. Co daje b = 16î/6 - 12ĵ/6 = 2⅔i + 2j itd..
RZad14
PoniewaŜ suma wektorów, czyli ich wypadkowa ma wartość równą zeru, więc wektory te mają taką
samą długość i są przeciwnie skierowane.
RZad15
Największa długość jest równa sumie obu długości (przy wektorach o ty samym kierunku i zwrocie) i
wynosi 12 jednostek, a najmniejsza długość odpowiada ich róŜnicy (przy wektorach o tym samym
kierunku, ale przeciwnych zwrotach) i wynosi 2 jednostki.
RZad16
JeŜeli wymiary A i B są identyczne, to sens mają te działania:
A-B zmiany wartości, na przykład: czasu, połoŜenia, siły, temperatury, napięcia itd.
A+B suma wartości, na przykład: czasu, połoŜenia, prędkości, siły itd.
A/B krotność zmiany wartości, na przykład ile razy przyspieszenie jest mniejsze na KsięŜycu
A·B pola powierzchni, potęgi wartości
JeŜeli wymiary A i B są róŜne, to sens mają tylko te działania:
A/B definicje nowych wielkości, na przykład: prędkość, ciśnienie, moc, natęŜenie prądu, itd.
A·B definicje nowych wielkości, na przykład: praca, moment siły, moc prądu, itd.
RZad17
A ma taki sam wymiar, jak połoŜenie x , czyli metr (m), a poniewaŜ argument funkcji sin(ωt) jest
bezwymiarowy to ω ma wymiar odwrotności czasu, czyli sekunda
-1
(s
-1
) .
RZad18
Równość a
d
=v
α
R
β
przepiszemy uŜywając wymiarów wielkości:
długość/(czas)
2
= [długość/(czas)]
α
·(długość)
β
= (długość)
α+β
/(czas)
α
wynika stąd, Ŝe α+β = 1 , a α=2, zatem β = 1-2 = -1, i równanie na przyspieszenie ma postać:
a
d
= v
2
R
-1
= v
2
/R.
RZad19
a)Objętość plamy oleju na wodzie V obliczymy z masy m i gęstości ρ:
V=m/ρ , moŜna ją teŜ obliczyć z wymiarów plamy: jej średnicy d i wysokości h, która jest właśnie
poszukiwaną średnicą cząsteczki oleju:
V=πd
2
h/4 i porównując oba wyraŜenia otrzymujemy m/ρ = πd
2
h/4, skąd obliczamy h:
Odpowiedź: Średnica molekuły oleju jest rzędu kilku nanometrów.
b)Liczbę ziarenek piasku w jednym metrze sześciennym oszacujemy dzieląc masę tej ilości piasku
(czyli jego gęstość) przez masę jednego ziarenka, która wynosi:
Zatem ilość ziarenek jest:
Odpowiedź: W metrze sześciennym piasku jest około 15 milionów takich ziarenek.
RZad20
JeŜeli kartonikiem z otworkiem po igle w środku, rzucimy w słoneczny dzień jego cień na białą
kartkę, to na tej kartce zauwaŜymy jasną plamkę, której średnica rośnie, gdy oddalamy kartonik.
Plamka ta jest obrazem Słońca utworzonym przez promienie przechodzące po liniach prostych przez
otworek. Kąt między skrajnymi promieniami jest taki sam po obu stronach kartonika, więc stosunek
średnicy Słońca D do jego odległości od kartonika (czyli jego odległości od Ziemi L) jest taki sam, jak
stosunek średnicy obrazu Słońca d do jego odległości l od otworka w kartoniku. Zatem D = L·d/l.
By wykonać taki pomiar, warto na kartce narysować kółeczko o średnicy np. 5 mm i zmierzyć
odległość kartonika potrzebną do wypełnienia obrazem Słońca tego kółeczka.
Moneta moŜe teŜ być bezpiecznie dla wzroku uŜyta do oszacowania średnicy Słońca, poniewaŜ cień
monety oddalanej od kartki jest otoczony widocznym wyraźnie półcieniem. Wyznaczenie odległości,
w jakiej znika cień, a pozostaje tylko półcień pozwala w taki sam sposób oszacować średnicę Słońca.
Ekran z obrazem
Słońca o średnicy d
Kartonik z małym otworkiem
D
Słońce o średnicy D
L
d
l
RZad21
Przeliczenie wszystkich monet trwało by10
9
(miliard) sekund. Zajęło by to:
Pracując 8 godzin na dobę bez dni wolnych, trwało by takie liczenie 93 lata!
Odpowiedź: Ta kusząca oferta jest, niestety, do odrzucenia!
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
***
Słońce o średnicy D
Obiekt o średnicy d
Odległość do Słońca, L
Długość cienia, l
Cień
Półcień