1

Podstawy Konstrukcji Maszyn

Wykład 5

Wały i osie

Dr inż. Jacek Czarnigowski

Pojęcia podstawowe

Osią lub wałem nazywamy element

wykonujący ruchy obrotowe lub wahadłowe.

Wał

– element którego głównym

zadaniem jest przenoszenie
momentu obrotowego

Oś

– element obciążony jedynie

momentem gnącym

Najczęściej osadzony jest w łożyskach a na nim

osadzone są inne części maszyn

2

Pojęcia podstawowe

Osie

Stałe

– kierunek działania

obciążenia jest stały względem osi

Ruchome

– obciążenie zmienia

kierunek działania

element obciążony jedynie momentem gnącym

Pojęcia podstawowe

Wały

Czynny

–

napędzający

Bierny

–

napędzany

element przenoszący głównie moment skręcający

Główny

Pomocniczy

3

Pojęcia podstawowe

Osie i wały

Gładkie

Kształtowe pełne

Kształtowe drążone

Pojęcia podstawowe

Osie i wały

Jednolite

Składane

Wykorbione

4

Pojęcia podstawowe

Osie i wały – elementy podstawowe

Czopy

– powierzchnie na

których następuje styk z
innymi elementami

Powierzchnie swobodne

–

powierzchnie przejściowe

Pierścienie i kołnierze

–

powierzchnie oporowe dla
elementów osadzanych na
wałach

Czopy spoczynkowy

– element mocowany

nie przesuwa się w czasie pracy

Czop ruchowy

– element mocowany

przesuwa się w czasie pracy

Pojęcia podstawowe

Czopy - wymiary

PN/M-85000

Zalecane:
10, 11, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 70, 80 …

Dopuszczane:
19, 24, 30, 38, 42, 56, 63, 65, 71, 75 ….

5

Materiały

Stale węglowe:

E295

,

S275JR – wały maszynowe, osie średnie i małe obciążenie

C35, C40, C45 – wały maszynowe większe obciążenia, duże naciski

Stale stopowe:

42CrMo4, 36CrNiMo4 – wały maszynowe, osie zmienne i udarowe
15Cr2, 16MnCr5 – nawęglane – duża odporność na ścieranie

śeliwa sferoidalne –

wały i osie odlewane lub kute (dobre tłumienie drgań)

Projektowanie wału lub osi

1 etap: Projektowanie wstępne

Etapy projektowania wału lub osi

Wstępne ukształtowanie na podstawie obliczeń
uproszczonych oraz narzuconych ograniczeń wymiarowych

2 etap: Obliczenia sprawdzające

- Obliczenia sztywności
- obliczenia dynamiczne
- obliczenia zmęczeniowe

3 etap: Ostateczne ukształtowanie wału

6

Projektowanie wału lub osi – 1 etap

Projektowanie wstępne – obliczenia wytrzymałościowe

Osie

Wały

Zginanie

i rozciąganie (ściskanie)

Zginanie

i rozciąganie (ściskanie)

oraz

skręcanie

Projektowanie wału lub osi – 1 etap

Projektowanie wstępne – obliczenia wytrzymałościowe

Osie

Zginanie

i rozciąganie (ściskanie)

)

(c

r

g

z

σ

σ

σ

+

=

F

P

W

M

w

x

g

z

+

=

σ

Siła wzdłużna

go

gj

g

z

k

k

k

≤

σ

Z uwzględnieniem karbu

7

,

1

5

,

1

÷

=

δ

7

Projektowanie wału lub osi – 1 etap

Projektowanie wstępne – obliczenia wytrzymałościowe

Wały

Zginanie

i rozciąganie (ściskanie) oraz

skręcanie

(

)

(

)

2

2

)

(

s

c

r

g

z

τ

α

σ

σ

σ

⋅

+

+

=

W przypadku przewagi
naprężeń normalnych

Zatem niezbędne jest zastosowanie hipotezy Hubera

(

)

( )

2

2

)

(

1

s

c

r

g

z

τ

σ

σ

α

τ

+









+

=

W przypadku przewagi
naprężeń stycznych

Projektowanie wału lub osi – 1 etap

Projektowanie wstępne – obliczenia wytrzymałościowe

3

≈

=

=

=

sj

gj

so

go

s

g

k

k

k

k

k

k

α

α

– współczynnik redukcyjny (materiał i sposób obciążenia)

Gdzie:

Obciążenia tego samego typu:

2

3

≈

=

so

gj

k

k

α

Obciążenia różnych typów:

3

2

⋅

≈

=

sj

go

k

k

α

8

Projektowanie wału lub osi – 1 etap

Projektowanie wstępne – obliczenia wytrzymałościowe

Wały

Zginanie

i rozciąganie (ściskanie) oraz

skręcanie

( )

(

)

2

2

s

g

z

τ

α

σ

σ

⋅

+

=

W przypadku przewagi
naprężeń normalnych

( )

2

2

1

s

g

z

τ

σ

α

τ

+













=

W przypadku przewagi
naprężeń stycznych

Najczęściej

)

(c

r

g

σ

σ

>>

Zatem rozciąganie (ściskanie jest pomijane)

Projektowanie wału lub osi – 1 etap

Projektowanie wstępne – obliczenia wytrzymałościowe

x

g

g

W

M

=

σ

W pierwszym etapie projektowania nie posiadamy
informacji o naprężeniach a tylko o obciążeniach.

o

s

s

W

M

=

τ

x

o

W

W

⋅

=

2

Dla przekrojów kołowych
typowych dla wałów i osi

9

Projektowanie wału lub osi – 1 etap

Projektowanie wstępne – obliczenia wytrzymałościowe

Zatem

( )

go

x

z

s

g

x

z

k

W

M

M

M

W

≤

=













⋅

+

=

2

2

2

1

α

σ

W przypadku przewagi
naprężeń normalnych

( )

(

)

so

sj

s

o

z

s

g

o

z

k

k

k

W

M

M

M

W

≤

=

+













=

2

2

2

1

α

τ

W przypadku przewagi
naprężeń stycznych

g

s

M

M

⋅

<

2

g

s

M

M

⋅

≥

2

Projektowanie wału lub osi – 1 etap

Projektowanie wstępne – obliczenia wytrzymałościowe

Stąd odpowiednio

3

32

go

z

k

M

d

⋅

⋅

≥

π

W przypadku przewagi
naprężeń normalnych

W przypadku przewagi
naprężeń stycznych

3

16

s

z

k

M

d

⋅

⋅

≥

π

so

sj

k

k

10

Przykład 5.01
Projektowanie wału – 1 etap

Zaprojektować wstępnie wał z kołem zębatym o zębach śrubowych.
Dane:
M

s

= 95,5 Nm

P = 3265 N
P

w

= 754 N

P

r

= 1182 N

d = 58,50 mm
l = 100 mm

Materiał: stal 41Cr4
k

go

= 110 MPa

k

sj

= 120 MPa

Przykład 5.01
Projektowanie wału – 1 etap

1. Obliczenie obciążeń wału – reakcji

Obliczenia można prowadzić w dwóch prostopadłych

Płaszczyzna XZ

∑

=

0

iA

M

0

2

1

=

⋅

−

⋅

⋅

l

R

l

P

Bx

N

5

,

1632

2

1

=

⋅

=

P

R

Bx

∑

=

0

iz

P

0

=

+

−

Bx

Ax

R

P

R

N

5

,

1632

=

−

=

Bx

Ax

R

P

R

11

Przykład 5.01
Projektowanie wału – 1 etap

1. Obliczenie obciążeń wału – reakcji

Płaszczyzna YZ

∑

=

0

iA

M

0

2

2

1

=

⋅

−

⋅

+

⋅

⋅

l

R

d

P

l

P

By

w

r

N

5

,

811

2

2

1

=

⋅

+

=

l

d

P

P

R

w

r

By

∑

=

0

iz

P

0

=

+

−

By

r

Ay

R

P

R

N

5

,

370

=

−

=

By

r

Ay

R

P

R

Przykład 5.01
Projektowanie wału – 1 etap

2. Obliczenie momentów zginających także w dwóch płaszczyznach

Płaszczyzna XZ

0

=

zxA

M

Nm

63

,

81

2

1

1

=

⋅

⋅

=

l

R

M

Ax

xz

Obliczenia prowadzone są jedynie dla najważniejszych punktów wału –
czyli dla czopów: osadzenie łożysk i koła zębatego (punkty A, B i 1)

Konieczna zmiana zasady
wyznaczania znaku momentu

0

=

zxB

M

12

Przykład 5.01
Projektowanie wału – 1 etap

2. Obliczenie momentów zginających także w dwóch płaszczyznach

Płaszczyzna YZ

0

=

yzA

M

Nm

53

,

18

2

1

)

(

1

=

⋅

⋅

=

l

R

M

Ay

przed

yz

0

=

yzB

M

Nm

58

,

40

2

2

1

)

(

1

=

⋅

+

⋅

⋅

=

d

P

l

R

M

w

Ay

po

yz

Przykład 5.01
Projektowanie wału – 1 etap

3. Obliczenie wypadkowego momentu zginającego

Momenty zginające z dwóch płaszczyzn składamy geometrycznie

2

2

yz

xz

g

M

M

M

+

=

0

=

gA

M

0

=

gB

M

Nm

16

,

91

2

)

(

1

2

1

1

=

+

=

po

yz

xz

g

M

M

M

Zatem:

13

Przykład 5.01
Projektowanie wału – 1 etap

4. Obliczenie momentu zastępczego

Jedynie moment
skręcający

Nm

5

,

95

=

=

s

zA

M

M

Oba momenty ale moment skręcający nie przeważa –
redukcja na moment gnący

2

2

1

2













+

=

s

g

zA

M

M

M

α

92

,

0

=

=

sj

go

k

k

α

Nm

2

,

101

=

zA

M

Brak obciążeń

Nm

0

=

zB

M

Przykład 5.01
Projektowanie wału – 1 etap

5. Obliczenie średnic teoretycznych

Podpora A:

mm

94

,

15

16

3

=

⋅

⋅

=

sj

zA

A

k

M

d

π

Koło zębate 1:

mm

08

,

21

32

3

1

=

⋅

⋅

=

go

zA

k

M

d

π

Podpora B:

mm

0

=

B

d

14

Przykład 5.01
Projektowanie wału – 1 etap

6. Wstępne projektowanie wału

Łożysko

Łożysko

Wielowypust –
połączenie ze
sprzęgłem

Wielowypust –
połączenie z
kołem

Uszczelnienie

Wymiary dobierane są z norm!

Projektowanie wału lub osi – 2 etap

Projektowanie sprawdzające
2.1 – obliczenia sztywności

Statyczne

Dynamiczne

Ugięcie pod wpływem obciążenia siłami

Niewyrównoważenie

15

Projektowanie wału lub osi – 2 etap

Projektowanie sprawdzające
2.1 – obliczenia sztywności

Sztywność statyczna - zginanie

Obliczana jest z energii odkształcenia sprężystego element

( )

x

g

I

E

l

M

dl

f

d

⋅

−

=

2

2

Projektowanie wału lub osi – 2 etap

Projektowanie sprawdzające
2.1 – obliczenia sztywności

Sztywność statyczna dla wału gładkiego

( )

x

I

E

l

a

l

a

G

f

⋅

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

3

2

2

G

– moduł sprężystości

postaciowej (moduł Kirhoffa)

16

Projektowanie wału lub osi – 2 etap

Projektowanie sprawdzające
2.1 – obliczenia sztywności

Sztywność statyczna - skręcanie

∫

⋅

=

l

o

s

dl

I

G

M

φ

[

]

m

rad

I

G

M

l

o

s

/

⋅

≈

=

φ

ϕ

Wartość względna

Projektowanie wału lub osi – 2 etap

Projektowanie sprawdzające
2.1 – obliczenia sztywności

Sztywność statyczna – wartości dopuszczalne

(

)

l

f

dop

⋅

÷

=

0003

,

0

0002

,

0

[

]

m

rad

dop

/

0025

,

0

=

ϕ

Zginanie:

(

)

m

f

dop

⋅

÷

=

01

,

0

005

,

0

Koła zębate (m-moduł)

Skręcanie:

[

]

m

rad

dop

/

004

,

0

=

ϕ

Skręcanie obustronne

Skręcanie jednostronne

17

Projektowanie wału lub osi – 2 etap

Projektowanie sprawdzające
2.2 – obliczenia dynamiczne

Sztywność dynamiczna - zginanie

Wynika ona z mimośrodowości umieszczenia masy na wale

(

)

c

f

e

f

m

d

d

⋅

=

⋅

+

⋅

2

ω

masa

mimośrodowość

Prędkość kątowa

sztywność

Projektowanie wału lub osi – 2 etap

Projektowanie sprawdzające
2.2 – obliczenia dynamiczne

Sztywność dynamiczna - zginanie

2

2

ω

ω

⋅

−

⋅

⋅

=

m

c

e

m

f

d

Przypadek szczególny:

2

ω

⋅

=

m

c

+∞

=

d

f

Samowyważenie:

REZONANS

18

Projektowanie wału lub osi – 2 etap

Projektowanie sprawdzające
2.2 – obliczenia dynamiczne

Drgania rezonansowe – prędkość krytyczna

m

c

kr

=

ω

f

g

m

c

⋅

=

Dla wału gładkiego:

Statyczna strzałka ugięcia

Zatem:

f

g

kr

=

ω

Projektowanie wału lub osi – 2 etap

Projektowanie sprawdzające
2.2 – obliczenia dynamiczne

Drgania rezonansowe – prędkość krytyczna

m

c

k r

=

ω

Zakres niebezpieczny

(

)

kr

nieb

ω

ω

⋅

÷

=

25

,

1

85

,

0

19

Projektowanie wału lub osi – 2 etap

Projektowanie sprawdzające
2.3 – obliczenia zmęczeniowe

Wyznaczenie rzeczywistego współczynnika bezpieczeństwa

Zgodnie z wykładem 3 – obliczenia zmęczeniowe

Projektowanie wału lub osi – 2 etap

Projektowanie sprawdzające
2.3 – obliczenia zmęczeniowe

MES – metoda elementów skończonych

20

Projektowanie wału lub osi – 3 etap

Końcowe kształtowanie wału

Uwzględnienie obliczeń sprawdzających

Projektowanie wału lub osi – uwagi
konstruktorskie

1. Należy unikać zmniejszenia średnicy w części środkowej

Powoduje to spiętrzenie naprężeń w miejscu dużego obciążenia
oraz zmniejsza sztywność wału (osi) zwiększając podatność na
ugięcie – obniża prędkość krytyczną

2. Łagodne przejścia między średnicami i duże promienie
przejścia

Działanie karbu.

2

,

1

≤

d

D

21

Projektowanie wału lub osi – uwagi
konstruktorskie

3. Zaokrąglenie krawędzi frezów nacinających rowki

4. Czopy wałów powinny być gładkie (mała chropowatość)

Działanie karbu – stan powierzchni.