1. Z odcinka <0,1> wybieramy losowo i niezale»nie dwie liczby x i y. Zdarzenie A polega na tym, »e 2x+2y ≤

3
2

,

zdarzenie B na tym, »e x − y ≤ 0, Czy zdarzenia A i B s¡ niezale»ne?

2. Ze zbioru {−1, 1, 0, 2} losujemy bez zwracania dwie liczby x i y. Jakie jest prawdopodobie«stwo zdarzenia:

w±ród wylosowanych liczb jest 1, je±li wiadomo, »e |x − y| = 1.

3. Zmienna losowa X ma rozkªad okre±lony funkcj¡ g¦sto±ci

f (x) =

(

1 − |x|

dla x ∈< −1, 1 > .

0

w p.p.

Wyznaczy¢ dystrybuant¦ tej zmiennej losowej.

4. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad prawdopodobie«stwa okre±lony tabel¡.

x\y

-1

0

1

2

-2

0,1 0,3

0

0,2

-1

0,1

0

0,2 0,1

a) Wyznaczy¢ rozkªady brzegowe zmiennych losowych X i Y .

b)Sprawdzi¢, czy zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne.

c)Wyznaczy¢ P (XY < 0).

5. Rzucamy 100 razy niesymetryczn¡ monet¡ (prawdopodobie«stwo wyrzucenia reszki

3
4

)

. Okre±li¢ w przybli»e-

niu prawdopodobie«stwo zdarzenia : orzeª wypadª co najmniej 25 razy

6. (N

t

: t ≥ 0)

jest procesem Poissona z parametrem λ = 2. Obliczy¢ P (N

t

= 1, N

4t

= 3, N

5t

= 3)

.

CZ†‘‚ ZADANIOWA

1. Studenci dziel¡ si¦ na pilnych (jest ich 95% i taki student zawala rok z prawdopodobie«stwem 0,01) i mniej

pilnych (jest ich 5% i taki student zawala rok z prawdopodobie«stwem 0,3). Wybrany losowo student nie

zawaliª roku 2009 i 2010. Jaka jest szansa, »e zawali rok w roku 2011?

Uwaga: zdarzenia student zawaliª rok w roku kalendarzowym i , i=1,2,.... traktujemy jako niezale»ne.

2. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad prawdopodobie«stwa okre±lony funkcj¡ g¦sto±ci:

f (x, y) =

(

cx

2

y

dla y ≥ 0 ∧ x

2

+ y

2

≤ 1

0

w p.p

(a) Wyznaczy¢ staª¡ c.

(b) Wyznaczy¢ g¦sto±ci rozkªadów brzegowych zmiennych losowych X i Y .

(c) Zbada¢, czy zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne.

3. Ze zbioru {1, 2, 3, 4} losujemy po jednej liczbie ze zwracaniem. Niech X

n

= k

wtedy i tylko wtedy, gdy k jest

najwi¦ksz¡ z liczb, która si¦ pojawiªa w n pocz¡tkowych losowaniach.

(a) Poda¢ macierz prawdopodobie«stw przej±cia ªa«cucha Markowa (X

n

: n ≥ 1)

.

(b) Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia {X

2

= 2, X

3

= 3}

.

1