Macierz odwrotna
Macierz jednostkowa jest to macierz kwadratowa, w której
na przekątnej głównej znajdują się same jedynki, zaś poza
tą przekątną same zera.
Symbolem macierz jednostkowej jest litera I.
Przykład. Macierz jednostkowa wymiaru 4x4:
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
I
Własność macierzy jednostkowej
Dla dowolnej macierzy A o wymiarze takim, jak wymiar
macierzy I jest:
A
A
I
I
A
Macierz odwrotna
Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej
A
jest to taka
macierz
1
A
, że
I
A
A
A
A
1
1
Uwagi:
1. Macierz
1
A
istnieje wtedy i tylko wtedy gdy
0
det
A
(macierz A jest nieosobliwa)
2. Macierz
1
A
– jeżeli istnieje – ma wymiar taki, jak
macierz A.
Algorytm wyznaczania macierzy odwrotnej
Dana jest macierz kwadratowa A.
1. Obliczamy
A
det
. Jeżeli
0
det
A
, to kontynuujemy.
2. Tworzymy macierz dopełnień algebraicznych
macierzy A zastępując każdy element
ij
a
tej macierzy
liczbą
ij
j
i
M
)
1
(
(przypomnienie:
ij
M oznacza minor
elementu
ij
a
). Tak utworzoną macierz oznaczamy
D
A
.
3. Transponujemy macierz
D
A
tzn. kolejne wiersze tej
macierzy zapisujemy jako kolejne kolumny nowej
macierzy, którą oznaczamy
T
D
A
.
Tę macierz nazywamy macierzą dołączoną, jest ona
również oznaczana symbolem adj A.
4. Stosujemy wzór:
T
D
A
A
A
det
1
1
Przykład. Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy
2
4
0
1
3
0
0
1
2
A
.
1.
4
2
2
2
4
1
3
2
2
4
0
1
3
0
0
1
2
det
A
.
Ponieważ
0
det
A
, więc
1
A
istnieje.
2.
3
0
1
2
1
0
0
2
1
3
0
1
4
0
1
2
2
0
0
2
2
4
0
1
4
0
3
0
2
0
1
0
2
4
1
3
D
A
6
2
1
8
4
2
0
0
2
3.
T
D
A
6
8
0
2
4
0
1
2
2
4.
4
1
det
1
1
T
D
A
A
A
6
8
0
2
4
0
1
2
2
5
,
1
2
0
5
,
0
1
0
25
,
0
5
,
0
5
,
0
Sprawdzenie. Aby sprawdzić, czy nie było pomyłek
rachunkowych możemy wykonać mnożenie
1
A
A
lub
A
A
1
. Powinniśmy otrzymać macierz jednostkową.
Sprawdź!
Równania macierzowe
Są to równania, w których niewiadomą jest macierz.
1. Równania postaci
B
X
A
, gdzie
B
A,
macierze dane,
X
macierz niewiadoma
Obie strony danego równania pomnożymy lewostronnie
przez macierz
1
A
:
B
A
X
A
A
1
1
Ponieważ
I
A
A
1
, więc
B
A
X
I
1
Ale
X
X
I
zatem:
B
A
X
1
Przykład. Rozwiązać równanie:
3
1
7
2
1
1
3
2
X
Mamy:
1
1
3
2
A
,
3
1
7
2
B
Wyznaczymy macierz
1
A
:
1.
1
det
A
2.
2
3
1
1
D
A
3.
2
1
3
1
T
D
A
4.
T
D
A
A
A
det
1
1
2
1
3
1
1
1
2
1
3
1
Teraz stosujemy wyprowadzony wzór:
B
A
X
1
2
1
3
1
1
0
2
1
3
1
7
2
Poprawność rachunków można sprawdzić wstawiając
wyznaczoną macierz X do danego w zadaniu równania.
2. Równania postaci
B
A
X
, gdzie
B
A,
macierze dane,
X
macierz niewiadoma
Obie strony danego równania pomnożymy prawostronnie
przez macierz
1
A
:
1
1
A
B
A
A
X
Zatem:
1
A
B
X
Przykład. Rozwiązać równanie:
1
7
1
3
0
2
X
Mamy:
1
3
0
2
A
,
1
7
B
Wyznaczymy macierz
1
A
:
1.
2
det
A
2.
2
0
3
1
D
A
3.
2
3
0
1
T
D
A
4.
T
D
A
A
A
det
1
1
2
3
0
1
2
1
1
5
,
1
0
5
,
0
Teraz stosujemy wyprowadzony wzór:
1
A
B
X
1
7
1
2
1
5
,
1
0
5
,
0
Poprawność rachunków można sprawdzić wstawiając
wyznaczoną macierz X do danego w zadaniu równania.
Rozwiązywanie układów równań liniowych za pomocą
macierzy odwrotnej
Dany jest układ n równań liniowych z n niewiadomymi:
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
........
..........
..........
..........
..........
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
Dany układ równań możemy zapisać w postaci
macierzowej:
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
..
..........
..........
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
n
n
b
b
b
x
x
x
....
....
2
1
2
1
Oznaczmy:
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
..
..........
..........
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
,
n
n
x
x
x
X
b
b
b
B
....
,
....
2
1
2
1
Wówczas:
B
X
A
Zatem:
B
A
X
1
Przykład. Rozwiążemy układ równań:
0
3
5
2
0
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Układ jest oznaczony i ma rozwiązanie:
3
,
1
,
2
3
2
1
x
x
x
