MO

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

1

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

Z2/11.1. Zadanie 11

Wyznaczyć analitycznie reakcje we wszystkich przegubach rzeczywistych A, B i C układu trójprzegu-

bowego przedstawionego na rysunku Z2/11.1.

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

[m]

I

II

Rys. Z2/11.1. Układ trójprzegubowy

Z2/11.2. Analiza kinematyczna układu trójprzegubowego

Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz sztywnych mających razem sześć stopni swobody. 

Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C odbierają razem także sześć stopni swobody. Został więc 
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4).

Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C nie leżą na jednej prostej. Został tym samym spełniony 

warunek dostateczny geometrycznej niezmienności.

Ponieważ   układ   trójprzegubowy   przedstawiony   na   rysunku   Z2/11.1   spełnia   warunek   konieczny   i 

dostateczny geometrycznej niezmienności jest więc on układem geometrycznie niezmiennym i statycznie 
wyznaczalnym. 

Z2/11.3. Analiza statyczna układu trójprzegubowego

W przegubie rzeczywistym jak wiadomo działa jedna reakcja. Wiemy o niej tylko to, że kierunek jej 

musi przejść przez przegub rzeczywisty. W takim przypadku rozkładamy reakcję w przegubie rzeczywistym 
na   dwie   składowe:   poziomą   i   pionową.   Założone   zwroty   składowych   reakcji   w   przegubach   A   i   C 
przedstawia rysunek Z2/11.2.

Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym A najwygodniej możemy wyznaczyć z równania 

sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu C. Dodatni 
moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w 
przegubie rzeczywistym A ma więc wartość

 M

C

=V

A

⋅9,0−12,0⋅7,0−8,0⋅3,0−16,0⋅2,0−6,0⋅4,0=0

V

A

=18,22 kN

(Z2/11.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

2

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

V

A

H

A

H

C

V

C

[m]

X

Y

I

II

Rys. Z2/11.2. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C

A

B

2,0

2,0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

V

A

H

A

[m]

X

Y

V

B

(I)

H

B

(I)

I

Rys. Z2/11.3. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na tarczę sztywną numer I

Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym C najwygodniej możemy wyznaczyć z równania 

sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu A. Dodatni 
moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w 
przegubie rzeczywistym C ma więc wartość

 M

A

=−V

C

⋅9,012,0⋅2,0−8,0⋅3,016,0⋅7,0−6,0⋅4,0=0

V

C

=9,778 kN

(Z2/11.2)

Obie   pionowe   składowe   reakcji   w   przegubach  A  i   C  mają   więc   zwroty   zgodne   z   przyjętymi   na 

początku   obliczeń.   W   celu   sprawdzenia   obliczeń   zastosujemy   równanie   sumy   rzutów   wszystkich   sił 
działających na cały układ trójprzegubowy na oś pionową Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze 
zwrotem osi Y. Równanie to ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

3

 Y

=

V

A



V

C

−

12,0

−

16,0

=

18,22



9,778

−

28,0

=−

0,002

≈

0

.

(Z2/11.3)

Równanie równowagi (Z2/11.3) zostało spełnione możemy więc stwierdzić, że pionowe składowe reakcji w 
przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek Z2/11.3 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na 

tarczę sztywną numer I. Poziomą składową reakcji w przegubie A wyznaczymy z równania sumy momentów 
wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer I względem punktu B. Dodatni moment będzie jak 
wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie rzeczywistym 
A ma więc wartość

 M

B



I



=−H

A

⋅5,0V

A

⋅4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0

−H

A

⋅5,018,22⋅4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0

H

A

=12,98 kN

.

(Z2/11.4)

B

C

3,0

2,0

1,

0

4,

0

16,0 kN

6,0 kN

H

C

V

C

[m]

X

Y

II

V

B

(II)

H

B

(II)

Rys. Z2/11.4. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach B i C działające na tarczę sztywną numer II

B

V

B

(I)

H

B

(I)

V

B

(II)

H

B

(II)

Rys. Z2/11.5. Założone zwroty reakcji w przegubie rzeczywistym B

Rysunek Z2/11.4 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach B i C działające na 

tarczę sztywną numer II. Zwroty składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B wynikają z założonych 
reakcji działających w przegubie rzeczywistym B przedstawionych na rysunku Z2/11.5.

Poziomą składową reakcji w przegubie C wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił 

działających na tarczę sztywną numer II względem punktu B. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił 
zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie rzeczywistym C ma więc 
wartość

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

4

 M

B



II



=H

C

⋅5,0−V

C

⋅5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0

H

C

⋅5,0−9,778⋅5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0

H

C

=−1,022 kN

.

(Z2/11.5)

Pozioma składowa reakcji w przegubie A ma zwrot zgodny z założonym natomiast pozioma składowa 

reakcji w przegubie C ma zwrot przeciwny do założonego. W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy rów-
nanie sumy rzutów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy na oś poziomą X. Jako dodatni 
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Równanie to, zgodnie z rysunkiem Z2/11.2, ma postać

 X =H

A

−H

C

−8,0−6,0=12,98−



−1,022



−14,0=0,002≈0

.

(Z2/11.6)

Równanie równowagi (Z2/11.6) zostało spełnione, możemy więc stwierdzić, że poziome składowe reakcji w 
przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek   Z2/11.6   przedstawia   prawidłowe   wartości   i   zwroty   składowych   reakcji   w   przegubach 

rzeczywistych A i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na obie tarcze sztywne znajdują się 
w równowadze.

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

[m]

I

II

18,22 kN

9,778 kN

12,98 kN

1,022 kN

Rys. Z2/11.6. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C

Aby  wyznaczyć   poziomą   składową   reakcji   w   przegubie   B  działającą   na   tarczę   sztywną   numer   I 

zastosujemy   równanie   sumy   rzutów   wszystkich   sił   działających   na   tę   tarczę   na   oś   X.   Jako   dodatni 
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/11.3 składowa ta ma wartość

 X

I 

=−

H

B

I 



H

A

−

8,0

=

0

−

H

B

I 



12,98

−

8,0

=

0

H

B

I 

=

4,98 kN

.

(Z2/11.7)

Aby  wyznaczyć   pionową   składową   reakcji   w   przegubie   B   działającą   na   tarczę   sztywną   numer   I 

zastosujemy   równanie   sumy   rzutów   wszystkich   sił   działających   na   tę   tarczę   na   oś   Y.   Jako   dodatni 
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/11.3 składowa ta ma wartość

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

5

 Y



I



=V

B



I



V

A

−12,0=0

V

B



I



18,22−12,0=0

V

B



I



=−6,22kN

.

(Z2/11.8)

Pozioma składowa reakcji w przegubie B ma zwrot zgodny z założonym natomiast pionowa składowa 

reakcji w przegubie B ma zwrot przeciwny do założonego. Rysunek Z2/11.7 przedstawia prawidłowe zwroty 
składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B działające na tarczę sztywną numer I.

A

B

2,0

2,0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

I

18,22 kN

12,98 kN

4,98 kN

6,22 kN

B

C

3,0

2,0

1,

0

4,

0

16,0 kN

6,0 kN

[m]

II

9,778 kN

1,022 kN

6,22 kN

4,98 kN

Rys. Z2/11.7. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A, B i C

Składowe reakcji w przegubie B działające na tarczę sztywną numer II mają takie same wartości ale 

przeciwne zwroty jak te same składowe działające na tarczę sztywną numer I. Wynika to bezpośrednio z 
równowagi   założonych   zwrotów   składowych   reakcji   w   przegubie   rzeczywistym   B   przedstawionych   na 
rysunku Z2/11.5. Możemy więc napisać, że

H

B

II 

=

H

B

I 

=

4,98 kN

,

(Z2/11.9)

V

B



II



=V

B



I



=−6,22 kN

.

(Z2/11.10)

W celu sprawdzenia obliczeń składowych reakcji w przegubie B zastosujemy równania sumy rzutów 

wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer II na osie: poziomą X i pionową Y. Jako dodatnie 
przyjmiemy kierunki zgodne ze zwrotami osi X i Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/11.4 równanie sumy rzutów na 
oś X ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

6

 X



II



=H

B



II



−H

C

−6,0=4,98−



−1,022



−6,0=0,002≈0

.

(Z2/11.11)

Zgodnie z rysunkiem Z2/11.4 równanie sumy rzutów na oś Y ma postać

 Y



II



=−V

B



II



V

C

−16,0=−



−6,22



9,778−16,0=−0,002≈0

.

(Z2/11.12)

Równania równowagi (Z2/11.11) i (Z2/11.12) zostały spełnione, możemy więc stwierdzić, że poziome i 
pionowe składowe reakcji w przegubie B zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek   Z2/11.7   przedstawia   prawidłowe   wartości   i   zwroty   składowych   reakcji   w   przegubach 

rzeczywistych A, B i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na każdą z tarcz sztywnych 
znajdują się w równowadze. 

Rysunek   Z2/11.8   przedstawia   prawidłowe   wartości   i   zwroty   składowych   reakcji   działających   w 

przegubie rzeczywistym B.

B

6,22 kN

4,98 kN

6,22 kN

4,98 kN

Rys. Z2/11.8. Składowe reakcji działających w przegubie rzeczywistym B

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni