Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
180
14. MIMOŚRODOWE ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE
14.1. Naprężenia i odkształcenia
Mimośrodowe rozciąganie pręta pryzmatycznego występuje wówczas gdy układ sił
zewnętrznych po jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje się do wypadkowej
N
równoległej do osi pręta, zaczepionej poza jego środkiem ciężkości. Poszukiwać będziemy
elementów macierzy naprężeń i odkształceń dowolnym punkcie tak obciążonego pręta.
Rozważmy więc, pokazany na rys. 14.1 pręt pryzmatyczny o polu przekroju poprzecznego A
określony w układzie osi (X, Y ,Z) w którym oś X jest osią pręta a osie (Y, Z) są głównymi
centralnymi osiami bezwładności jego przekroju poprzecznego. Materiał pręta jest
izotropowy, liniowo sprężysty o stałych materiałowych E oraz
ν. Wypadkowa
N
, normalna
do przekroju, zaczepiona jest w punkcie o współrzędnych y
N
oraz z
N
.
Przy rozwiązywaniu postawionego zadanie wykorzystamy wyniki uzyskane dla przypadku
osiowego rozciągania i prostego zginania.
Zgodnie z zasadą de Saint-Venanta statycznie równoważne obciążenia wywołują jednakowe
stany naprężenia i odkształcenia, a to pozwala zastąpić wypadkową
N
,zaczepioną w punkcie
(
y
N
, z
N
) równoważnym układem złożonym z
siły podłużnej
N
, zaczepionej w środku
ciężkości pręta i dwoma momentami
N
y
z
N
M
=
i
N
z
y
N
M
=
, których wektory są
równoległe do odpowiednich osi układu odniesienia (rys. 14.1). W ten sposób otrzymaliśmy
osiowe rozciąganie i dwa proste zginania względem osi
Y
i
Z
, dla których macierze naprężeń
są już nam znane. We wszystkich tych trzech przypadkach jedynym niezerowym elementem
macierzy naprężeń jest naprężenie normalne
x
σ
. Sumowanie, zgodnie z zasadą superpozycji,
daje wzór określające te naprężenia, dla analizowanego przypadku, w postaci:
y
J
M
z
J
M
A
N
z
z
y
y
x
+
+
=
σ
(14.1)
lub, po wykorzystaniu zależności między N oraz,
y
M
i
z
M
w formie:
y
J
y
N
z
J
z
N
A
N
z
N
y
N
x
+
+
=
σ
.
(14.2)
Macierz odkształceń odpowiadając temu stanowi naprężenia łatwo wyznaczymy z równań
M
z
M
y
Y
Z
N
Rys. 14.1
N
Z
Y
x
(
)
0
0
1 ,
,
v
I
II
(
y
N
, z
N
)
N
X
A
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie
181
Hooke’a, i będzie ona zawierała jedynie trzy odkształcenia liniowe, z których dwa są sobie
równe.
Wyżej otrzymane wzory mogą być również stosowane w tej formie przy mimośrodowym
ś
ciskaniu prętów bardzo krępych, gdyż tylko wówczas spełniona jest zasada zesztywnienia,
przy której założeniu wzory te zostały wyprowadzone może być przyjęta. W przypadku
ś
ciskania przypadku wypadkowa N ma zwrot przeciwny do normalnej zewnętrznej, a jej
współrzędnej
N
przypisujemy znak ujemny.
Jeżeli we wzorze (14.2) przestrzegać będziemy umowy znakowania sił podłużnych (plus dla
siły rozciągającej, minus dla ściskającej) oraz tego, że (
y
N
, z
N
) oraz (
y, z
) oznaczają
współrzędne punktów w których wyznaczamy naprężenia w przyjętym układzie odniesienia,
to wyznaczone naprężenia będą miały znaki zgodne z przyjętą dla nich umową znakowania.
13.2. Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
W tym przypadku w pręcie występuje jednoosiowy, niejednorodny stan naprężenia. Wartości
naprężeń normalnych
x
σ
nie zależą od zmiennej x, są liniową funkcją zmiennych
y
i
z
.
Wyniki analizy stanu naprężenia i odkształcenia są analogiczne jak w przypadkach osiowego
rozciągania, prostego czy ukośnego zginania. Podobnie też jak w poprzednich przypadkach
końce wektorów naprężenia
x
σ
leżą na płaszczyźnie - płaszczyźnie naprężeń. Krawędź
przecięcia się płaszczyzny naprężeń z płaszczyzną przekroju poprzecznego - oś obojętna-
stanowi miejsce geometryczne punktów, w których wartości naprężeń normalnych spełniają
równanie:
0
=
x
σ
.
Podstawiając do niego wyrażenie (14.2), a następnie dokonując kolejnych przekształceń
dostajemy równanie osi obojętnej dla rozważanego przypadku:
1
0
1
0
2
2
−
=
+
→
=
+
+
→
=
+
+
z
N
y
N
z
N
y
N
z
N
y
N
i
y
*
y
i
z
*
z
A
J
y
*
y
A
J
z
*
z
y
J
y
N
z
J
z
N
A
N
1
=
+
z
y
a
z
a
y
,
(14.3)
gdzie:
N
z
y
y
i
a
2
−
=
,
N
y
z
z
i
a
2
−
=
,
to odcinki jakie o
ś
oboj
ę
tna odcina na osiach
głównych centralnych (patrz rys.14.2), a
A
J
i
y
y
=
2
oraz
A
J
i
z
z
=
2
- kwadraty głównych
centralnych promieni bezwładno
ś
ci przekroju
poprzecznego.
Analizuj
ą
c równanie osi oboj
ę
tnej (14.3) spostrzegamy,
ż
e w przypadku mimo
ś
rodowego
rozci
ą
gania:
• poło
ż
enie osi oboj
ę
tnej nie zale
ż
y od warto
ś
ci siły obci
ąż
aj
ą
cej N,
(14.4)
a
y
a
z
oś obojętna
Y
Z
( y
N
, z
N
)
Rys. 14.2
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
182
• o
ś
oboj
ę
tna nie przechodzi przez
ś
rodek ci
ęż
ko
ś
ci przekroju poprzecznego, a odcinki jakie
odcina na osiach układu współrz
ę
dnych znajduj
ą
si
ę
w jego
ć
wiartce po przeciwnej
stronie punktu przyło
ż
enia siły,
• poło
ż
enie osi oboj
ę
tnej zale
ż
y od współrz
ę
dnych punktu przyło
ż
enia siły obci
ąż
aj
ą
cej i
geometrii przekroju poprzecznego.
Napr
ęż
enia normalne
x
σ
osi
ą
gaj
ą
warto
ś
ci ekstremalne w punktach przekroju poprzecznego
najdalej poło
ż
onych od osi oboj
ę
tnej.
Rozkład tych napr
ęż
e
ń
w przekroju
poprzecznym pr
ę
ta pokazuje rys.14.3.
Jest on wynikiem dodania do siebie
rozkładów z osiowego rozci
ą
gania i
dwóch prostych zgina
ń
wzgl
ę
dem osi
Y
oraz Z.
14.3. Wymiarowanie prętów mimośrodowo rozciąganych lub ściskanych
Ograniczymy si
ę
, jak poprzednio tylko do wymiarowania ze wzgl
ę
du na stan graniczny
no
ś
no
ś
ci przyjmuj
ą
c,
ż
e b
ę
dzie on osi
ą
gni
ę
ty je
ś
li przynajmniej w jednym punkcie przekroju
poprzecznego wielko
ść
napr
ęż
enia normalnego b
ę
dzie równa wytrzymało
ś
ci obliczeniowej.
Je
ś
li pr
ę
t wykonany jest z materiału, którego wytrzymało
ś
ci obliczeniowe przy rozci
ą
ganiu R
r
i
ś
ciskaniu R
c
, s
ą
ró
ż
ne to warunek stanu granicznego no
ś
no
ś
ci stanowi
ą
nierówno
ś
ci:
r
r
x
R
max
≤
σ
i
c
c
x
R
max
≤
σ
gdzie:
r
x
max
σ i
c
x
max
σ
- najwi
ę
ksze napr
ęż
enia rozci
ą
gaj
ą
ce i
ś
ciskaj
ą
ce w przekroju
poprzecznym.
W przypadku materiału o tej samej wytrzymało
ś
ci obliczeniowej na rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
(materiał izonomiczny) warunek wymiarowania b
ę
dzie jeden:
R
max
x
≤
σ
.
W przypadku materiału o tej samej wytrzymało
ś
ci obliczeniowej na rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
(materiał izonomiczny) warunek wymiarowania b
ę
dzie jeden:
R
max
x
≤
σ
.
Gdy przekrój poprzeczny pr
ę
ta ma dwie osie symetrii i obrys zewn
ę
trzny jego kształtu jest
prostok
ą
tny np. dwuteownik, prostok
ą
t z wyci
ę
tymi otworami itp., to maksymalne napr
ęż
enia
normalne wyst
ą
pi w naro
ż
u po przeciwnej stronie osi oboj
ę
tnej i b
ę
dzie miało warto
ść
:
z
z
y
y
x
W
M
W
M
A
N
max
+
+
=
σ
.
W tym miejscu ponownie nale
ż
y podkre
ś
li
ć
,
ż
e w przypadku mimo
ś
rodowego
ś
ciskania
konieczne jest spełnienie warunków pozwalaj
ą
cych na przyj
ę
cie zasady zesztywnienia, co
ogranicza zastosowanie wyprowadzonych zale
ż
no
ś
ci do kr
ę
pych pr
ę
tów.
Rys.14.3
X
Z
Y
o
ś
oboj
ę
tna
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
183
13.4. Rdzeń przekroju
Jak ju
ż
wy
ż
ej powiedziano, w przypadku mimo
ś
rodowego rozci
ą
gania lub
ś
ciskania o
ś
oboj
ę
tna nie przechodzi przez
ś
rodek ci
ęż
ko
ś
ci przekroju poprzecznego, jej poło
ż
enie nie
zale
ż
y od wielko
ś
ci siły obci
ąż
aj
ą
cej i okre
ś
la je równanie odcinkowe prostej (14.3):
1
=
+
z
y
a
z
a
y
.
Dowiedziemy dwóch prostych twierdze
ń
o osi oboj
ę
tnej wynikaj
ą
cych z tego równania.
Twierdzenie
1: oddalaniu si
ę
punktu przyło
ż
enia siły od
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci przekroju
poprzecznego towarzyszy przybli
ż
anie si
ę
osi oboj
ę
tnej do
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci i odwrotnie.
Niech punkt 1 (rys.14.4) o współrz
ę
dnych (
1
1
N
N
z
,
y
) okre
ś
la
pocz
ą
tkowe przyło
ż
enie siły, a
1
2
1
N
z
y
y
i
a
−
=
oraz
1
2
1
N
y
z
z
i
a
−
=
poło
ż
enie odpowiadaj
ą
cej mu
osi oboj
ę
tnej l
1
. Niech punkt 2 o współrz
ę
dnych (
2
2
N
N
z
,
y
)
okre
ś
la nowe przyło
ż
enie siły, a
2
2
2
N
z
y
y
i
a
−
=
oraz
2
2
2
N
y
z
z
i
a
−
=
poło
ż
enie odpowiadaj
ą
cej mu
osi oboj
ę
tnej l
2
.
Poniewa
ż
1
2
N
N
y
y
>
oraz
1
2
N
N
z
z
>
to
1
2
y
y
a
a
<
oraz
1
2
z
z
a
a
<
, co dowodzi
prawdziwo
ś
ci twierdzenia 1.
Twierdzenie
2: obrotowi osi oboj
ę
tnej wokół ustalonego punktu odpowiada przemieszczanie
si
ę
punktu przyło
ż
enia siły po prostej.
Niech punkt A o współrz
ę
dnych
(
)
A
A
z
,
y
(rys.14.5) le
ż
y na osi
oboj
ę
tnej l odpowiadaj
ą
cej przyło
ż
eniu siły w punkcie 1 o
współrz
ę
dnych
(
)
N
N
z
,
y
.
Współrz
ę
dne obu punktów spełniaj
ą
równanie osi oboj
ę
tnej
(14.3)
(
) (
)
1
2
2
=
−
+
−
N
y
A
N
z
A
z
i
z
y
i
y
.
Je
ś
li przekształcimy to równanie do postaci:
(
) (
)
1
2
2
=
−
+
−
A
y
N
A
z
N
z
i
z
y
i
y
w którym współrz
ę
dne
(
)
A
A
z
,
y
b
ę
d
ą
ustalone, to wida
ć
,
ż
e
współrz
ę
dne punktów przyło
ż
enia siły
(
)
N
N
z
,
y
spełniaj
ą
równanie prostej co dowodzi słuszno
ś
ci twierdzenia 2.
W przypadku mimo
ś
rodowego rozci
ą
gania i
ś
ciskania napr
ęż
enia normalne w przekroju
mog
ą
by
ć
jednakowego lub ró
ż
nych znaków. B
ę
d
ą
one miały we wszystkich punktach
1
2
a
y
1
a
z
1
Y
Z
l
1
a
y
2
l
2
a
z
2
Rys. 14.4
l
Y
Z
A
Rys. 14.5
1
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
184
przekroju ten sam znak jedynie wtedy, gdy o
ś
oboj
ę
tna – której poło
ż
enie zale
ż
y od
współrz
ę
dnych poło
ż
enia wypadkowej sił obci
ąż
aj
ą
cych – b
ę
dzie le
ż
ała poza przekrojem lub
była styczna do niego
.
Miejsce geometryczne punktów przekroju poprzecznego pr
ę
ta w
których przyło
ż
ona siła, równoległa do jego osi wywołuje napr
ęż
enia normalne jednego
znaku w całym przekroju nazywa
ć
b
ę
dziemy rdzeniem przekroju. Zagadnienie wyznaczenia
rdzenia przekroju ma istotne znaczenie praktyczne w przypadku pr
ę
tów mimo
ś
rodowo
ś
ciskanych wykonanych z materiałów o niewielkiej wytrzymało
ś
ci na rozci
ą
ganie (np. słupy
betonowe czy filary ceglane). Takie konstrukcje dobrze jest kształtowa
ć
w formie
zapewniaj
ą
cej poło
ż
enie wypadkowej siły
ś
ciskaj
ą
cej wewn
ą
trz rdzenia przekroju, co
zapewnia wyst
ę
powanie jedynie napr
ęż
e
ń
ś
ciskaj
ą
cych. Wyznaczenie rdzenia przekroju
prze
ś
ledzimy (nie trac
ą
ogólno
ś
ci rozwa
ż
a
ń
) na przykładzie pokazanym na rys.14.6.
Po wyznaczeniu głównych centralnych osi
bezwładno
ś
ci (Y, Z) i warto
ś
ci ich promieni
bezwładno
ś
ci
y
i
oraz
z
i
prowadzimy styczn
ą
1-1 uwa
ż
aj
ą
c j
ą
za o
ś
oboj
ę
tn
ą
. Styczna 1-1
odcina na osiach układu współrz
ę
dnych
odcinki
1
y
a
oraz
1
z
a
.
Współrz
ę
dne punktu 1 przyło
ż
enia siły,
któremu
odpowiada
o
ś
oboj
ę
tna
1-1
wyznaczamy wykorzystuj
ą
c zale
ż
no
ś
ci (14.4)
wyst
ę
puj
ą
ce w ogólnym równaniu osi
oboj
ę
tnej
1
2
1
y
z
N
a
i
y
−
=
,
1
2
1
z
y
N
a
i
z
−
=
.
Powtarzaj
ą
c rozumowanie dla kolejnych stycznych do obrysu przekroju dostajemy punkty 2,
3, 4 i 5, które s
ą
punktami krzywej rdzeniowej tzn. krzywej o tej własno
ś
ci,
ż
e przyło
ż
enie
siły w jej punktach daje osie oboj
ę
tne, styczne do przekroju. Cał
ą
krzyw
ą
rdzeniow
ą
otrzymujemy ł
ą
cz
ą
c te punkty odcinkami prostych. Wynika to z twierdzenia 2 bo od osi
oboj
ę
tnej 1-1 do osi oboj
ę
tnej 2-2 przechodzimy obracaj
ą
c je wokół punktu A, temu za
ś
zgodnie z tym twierdzeniem towarzyszy przesuwanie si
ę
punktu przyło
ż
enia siły po prostej.
Punktom przyło
ż
enia siły wewn
ą
trz krzywej rdzeniowej odpowiadaj
ą
osie oboj
ę
tne poza
przekrojem i wynika to z twierdzenia 1 o oddalaniu si
ę
osi od
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci je
ś
li siła
zbli
ż
a si
ę
do niego. Zatem rdze
ń
przekroju w analizowanym przypadku stanowi ten
zacieniony obszar.
Z opisanej metody konstrukcji rdzenia wynika kilka prostych wskazówek odno
ś
nie kształtu
rdzenia dla przekrojów ograniczonych odcinkami prostych:
• rdze
ń
jest figur
ą
wypukł
ą
• ma tyle boków, ile boków ma najmniejszy wielobok opisany na przekroju
• jest figur
ą
symetryczn
ą
dla symetrycznego przekroju.
W przypadku przekrojów o brzegu krzywoliniowym, równanie stycznej do brzegu razem ze
znanym równaniem brzegu i zale
ż
no
ś
ciami (14.4) pozwala na napisanie równania krzywej
rdzeniowej i tym samym wyznaczenie ich rdzenia przekroju.
1
2
3
4
5
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Y
Z
Rys. 14.6
A
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
185
14.5. Przykłady
Przykład 14.5.1.
Drewniany słup o przekroju
prostok
ą
tnym
36
20
×
=
× h
b
cm
i
niewielkiej
wysoko
ś
ci obci
ąż
ony jest w naro
ż
u sił
ą
ś
ciskaj
ą
c
ą
100
=
P
kN.
Wyznaczy
ć
rozkład
napr
ęż
e
ń
normalnych w przekroju poprzecznym słupa i
poło
ż
enie osi oboj
ę
tnej.
Rozwiązanie
Wyst
ę
puje tu klasyczny przypadek mimo
ś
rodowego
ś
ciskania, w którym przy przyj
ę
tym układzie osi
odniesienia (to osie główne centralne przekroju
poprzecznego):
100
−
=
N
kN,
10
2
=
=b
y
N
cm,
18
2
=
= h
z
N
cm,
720
36
20
=
=
=
*
h
b
A
cm
2
,
77760
12
36
20
12
3
3
=
=
=
*
h
b
J
y
cm
4
,
24000
12
20
36
12
3
3
=
=
=
*
b
h
J
z
cm
4
,
108
720
77760
2
=
=
=
A
J
i
y
y
cm
2
,
33
33
720
24000
2
.
A
J
i
z
z
=
=
=
cm
2
.
Napr
ęż
enia normalne okre
ś
la zale
ż
no
ść
:
y
J
y
N
z
J
z
N
A
N
z
N
y
N
x
+
+
=
σ
,
która, po podstawieniu wy
ż
ej otrzymanych warto
ś
ci, przyjmuje form
ę
:
(
)
6
10
667
41
148
23
389
1
*
y
.
z
.
.
x
−
−
−
=
σ
.
Warto
ś
ci napr
ęż
e
ń
w naro
ż
ach s
ą
równe:
(
)
(
)
[
]
722
9
10
10
0
667
41
18
0
148
23
389
1
6
1
.
*
.
.
.
.
.
,
x
−
=
−
−
−
=
σ
MPa,
(
)
(
)
[
]
389
1
10
10
0
667
41
18
0
148
23
389
1
6
2
.
*
.
.
.
.
.
,
x
−
=
−
−
−
−
=
σ
MPa,
(
)
(
)
[
]
944
6
10
10
0
667
41
18
0
148
23
389
1
6
3
.
*
.
.
.
.
.
,
x
=
−
−
−
−
−
=
σ
MPa,
(
)
(
)
[
]
389
1
10
10
0
667
41
18
0
148
23
389
1
6
4
.
*
.
.
.
.
.
,
x
−
=
−
−
−
−
=
σ
MPa.
O
ś
oboj
ę
tna jest prost
ą
o równaniu:
1
=
+
z
y
a
z
a
y
Y
Z
P
b
h
X
4
P
3
2
1
Y
Z
2
b
2
h
2
b
2
h
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
186
w którym
33
3
10
33
33
2
.
.
y
i
a
N
z
y
−
=
−
=
−
=
cm oraz
00
6
18
108
2
.
z
i
a
N
y
z
−
=
−
=
−
=
cm to odcinki
jakie ta prosta odcina na głównych centralnych osiach bezwładno
ś
ci przekroju poprzecznego.
Rozkład napr
ęż
e
ń
pokazuje poni
ż
szy rysunek.
Przykład 14.5.2.
Stalowy słupek wykonany z dwuteownika 500 pokazany na rysunku,
przenosił osiowo równomiernie rozło
ż
one obci
ąż
enie q = 13 MN/m
2
ze sztywnej
ż
eliwnej
płyty o wymiarach b
×
h
= 0.7
×0.4 m. Słupek postanowiono wzmocni
ć
przyspawanym
ceownikiem 260 na całej jego wysoko
ś
ci.
Sprawdzi
ć
jak zmieni
ą
si
ę
warto
ś
ci napr
ęż
e
ń
normalnych w wyniku wzmocnienia, wyznaczy
ć
wykresy napr
ęż
e
ń
normalnych w przekrojach słupka przed i po wzmocnieniu.
Y
o
ś
oboj
ę
tna
6.945
1.389
σ
x
MPa
1.389
9.723
9.723
1.389
Z
1.389
a
z
a
y
40.0
Z
Y
18.0
Profil walcowany PN
I
500
A
= 180 cm
2
J
y
= 68740 cm
4
, J
z
= 2480 cm
4
W
y
= 2750 cm
3
, W
z
= 268 cm
3
25.0
25.0
P
q
= 1300 kN/m
2
70.0
50.0
X
Y
Z
Y
50
18
Z
Y
Profil walcowany PN
[
260
A
= 48.3 cm
2
J
y
= 4820 cm
4
, J
z
= 317 cm
4
2.36
26
9
wymiary w cm
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
187
Rozwiązanie
Wypadkowa obci
ąż
enia działaj
ą
ca na słupek
64
3
4
0
7
0
13
.
.
*
.
*
qbh
P
=
=
=
MN.
Stan przed wzmocnieniem
Słupek jest
ś
ciskany osiowo sił
ą
podłu
ż
n
ą
64
3.
N
−
=
MN i napr
ęż
enia normalne w
ka
ż
dym punkcie jego przekroju s
ą
równe:
22
202
10
180
64
3
4
.
*
.
A
N
x
−
=
−
=
=
−
σ
MPa.
Stan po wzmocnieniu
Nale
ż
y wyznaczy
ć
poło
ż
enie głównych centralnych osi
wzmocnionego przekroju. O
ś
Y nie zmieni poło
ż
enia.
Poło
ż
enie
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci wzmocnionego przekroju
3
228
3
48
180
.
.
A
=
+
=
cm
2
,
49
1321
36
27
3
48
0
.
)
.
(
*
.
S
z
−
=
−
=
cm
3
,
79
5
3
228
49
1321
0
0
.
.
.
A
S
y
z
−
=
−
=
=
cm.
Poniewa
ż
poło
ż
enie wypadkowej obci
ąż
enia nie zmieniło si
ę
mamy teraz do czynienia z mimo
ś
rodowym
ś
ciskaniem w
którym siła na mimo
ś
rodzie 5.79 cm powoduje zginanie
wzgl
ę
dem osi Z momentem o warto
ś
ci:
211
0
10
79
5
64
3
2
.
*
.
*
.
M
z
=
=
−
MNm.
Moment bezwładno
ś
ci przekroju wzgl
ę
dem osi zginania:
(
)
97564
57
21
3
48
317
79
5
180
68740
2
2
=
−
+
+
+
=
.
*
.
.
*
J
z
cm
4
Rozkład napr
ęż
e
ń
normalnych:
y
J
M
A
N
z
z
x
−
=
σ
Warto
ś
ci napr
ęż
e
ń
we włóknach skrajnych wynosz
ą
:
(
)
03
226
3079
0
10
97564
211
0
10
3
228
64
3
8
4
1
1
.
.
*
.
*
.
.
x
−
=
−
−
=
−
−
−
σ
MPa,
(
)
43
98
2821
0
10
97564
211
0
10
3
228
64
3
8
4
2
2
.
.
*
.
*
.
.
x
−
=
−
−
−
=
−
−
−
σ
MPa.
Wyniki oblicze
ń
dowodz
ą
,
ż
e planowane wzmocnienie pogorszy stan mechaniczny słupka,
powoduj
ą
c zwi
ę
kszenie napr
ęż
e
ń
normalnych.
N
Z
Y
202.22
σ
x
MPa
25.0
25.0
σ
x
MPa
M
z
1
2
1
2
28.21
30.79
Z
0
Z
9
25
25
N
Y
5.79
98.43
226.03
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
188
Przykład 14.5.3.
Belka wspornikowa o
przekroju prostok
ą
tnym
24
0
12
0
.
.
h
b
×
=
×
m
i długo
ś
ci
0
2.
l
=
m obci
ąż
ona jest, jak na
rysunku, obci
ąż
eniem ci
ą
głym
0
2.
q
=
kN/m,
działaj
ą
cym w płaszczy
ź
nie nachylonej pod
k
ą
tem
o
30
=
α
do płaszczyzny (X
,
Z
) oraz
dwiema siłami skupionymi
0
20.
P
=
kN i
0
1
1
.
P
=
kN.
W
przekroju
utwierdzenia
wyznaczy
ć
rozkład napr
ęż
e
ń
normalnych i
stycznych oraz poło
ż
enie osi oboj
ę
tnej.
Rozwiązanie
Zadanie rozwi
ąż
emy, wykorzystuj
ą
c zasad
ę
superpozycji sumuj
ą
c momenty zginaj
ą
ce, siły
poprzeczne i podłu
ż
ne w przekroju utwierdzenia od poszczególnych obci
ąż
e
ń
.
Obci
ąż
enie ci
ą
głe q
Składowe obci
ąż
enia ci
ą
głego q wynosz
ą
:
00
1
500
0
0
2
.
.
*
.
sin
q
q
y
=
=
=
α
kN/m,
73
1
866
0
0
2
.
.
*
.
cos
q
q
z
=
=
=
α
kN/m.
W przekroju utwierdzenia daje ono dwa
momenty zginaj
ą
ce:
46
3
2
73
1
1
2
.
*
.
*
*
q
M
z
y
=
=
=
kNm,
00
2
2
1
1
2
.
*
*
*
q
M
y
z
=
=
=
kNm, oraz dwie siły
poprzeczne:
00
2
2
1
2
.
*
*
q
Q
y
y
=
=
=
kN,
46
3
2
73
1
2
.
*
.
*
q
Q
z
z
=
=
=
kN.
Siła skupiona P
Siła rozci
ą
gaj
ą
ca P, równoległa do osi pr
ę
ta, jest
zaczepiona w naro
ż
u i daje momenty zginaj
ą
ce:
40
2
12
0
20
2
.
.
*
h
P
M
y
=
=
=
kNm,
20
1
06
0
20
2
.
.
*
b
P
M
z
=
=
=
kNm,
oraz sił
ę
podłu
ż
n
ą
00
20.
N
=
kN.
Siła skupiona P
1
Siła skupiona P
1
działaj
ą
ca w płaszczy
ź
nie (X
,
Y
),
prostopadła do osi pr
ę
ta daje moment zginaj
ą
cy:
00
2
2
1
.
*
P
M
z
=
=
kNm,
oraz sił
ę
poprzeczn
ą
00
1.
Q
y
=
kN.
q
= 2.00
Z
Y
α
= 30 °
α
q
z
= 1.73
q
y
= 1.00
Z
Y
M
y
=
2.40
M
z
= 1.20
N
= 20.00
Z
Y
M
y
= 3.46
M
z
= 2.00
Q
y
= 2.00
Q
z
= 3.46
Z
Y
Q
y
= 1.00
M
z
= 2.00
h
P
X
Z
α
Y
l
b
q
P
1
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
189
W wyniku sumowania w przekroju utwierdzenia
otrzymujemy:
• sił
ę
podłu
ż
n
ą
N
i dwa momenty zginaj
ą
ce
y
M
oraz
z
M
które
to
siły
przekrojowe
generuj
ą
napr
ęż
enia normalne:
y
J
M
z
J
M
A
N
z
z
y
y
x
+
+
=
σ
• dwie siły poprzeczne , które generuj
ą
napr
ęż
enia
styczne:
( )
( )
y
h
J
y
S
Q
z
z
y
xy
−
=
τ
oraz
( )
( )
y
b
J
z
S
Q
y
y
z
xz
−
=
τ
.
Charakterystyki geometryczne przekroju s
ą
równe:
288
24
12
=
=
=
*
h
b
A
cm
2
,
13824
12
24
12
12
3
3
=
=
=
*
h
b
J
y
cm
4
,
3456
12
12
24
12
3
3
=
=
=
*
b
h
J
z
cm
4
,
1152
6
24
12
6
2
2
=
=
=
*
h
b
W
y
cm
3
,
576
6
12
24
6
2
2
=
=
=
*
b
h
W
z
cm
3
Napr
ęż
enia normalne w naro
ż
ach wynosz
ą
:
6
6
3
6
3
4
3
1
10
865
7
10
576
10
20
1
10
1152
10
86
5
10
288
10
20
*
.
*
*
.
*
*
.
*
*
W
M
W
M
A
N
z
z
y
y
x
=
+
+
=
+
+
=
−
−
−
σ
Pa,
6
6
3
6
3
4
3
2
10
309
2
10
576
10
20
1
10
1152
10
86
5
10
288
10
20
*
.
*
*
.
*
*
.
*
*
W
M
W
M
A
N
z
z
y
y
x
−
=
+
−
=
+
−
=
−
−
−
σ
Pa,
6
6
3
6
3
4
3
3
10
476
6
10
576
10
20
1
10
1152
10
86
5
10
288
10
20
*
.
*
*
.
*
*
.
*
*
W
M
W
M
A
N
z
z
y
y
x
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
σ
Pa,
6
6
3
6
3
4
3
4
10
698
3
10
576
10
20
1
10
1152
10
86
5
10
288
10
20
*
.
*
*
.
*
*
.
*
*
W
M
W
M
A
N
z
z
y
y
x
=
−
+
=
−
+
=
−
−
−
σ
Pa.
Równanie osi oboj
ę
tnej:
0
10
3456
10
20
1
10
13824
10
86
5
10
288
10
20
0
8
3
8
3
4
3
=
+
+
→
=
+
+
=
−
−
−
y
*
*
.
z
*
*
.
*
*
y
J
M
z
J
M
A
N
z
z
y
y
x
σ
,
y
.
.
z
818
0
0164
0
−
−
=
.
W przekroju prostok
ą
tnym napr
ęż
enia styczne maj
ą
rozkład paraboliczny i osi
ą
gaj
ą
maksymaln
ą
warto
ść
A
Q
2
3
w punktach na osi zginania, st
ą
d:
6
4
3
10
0521
0
10
288
2
10
1
3
2
3
*
.
*
*
*
*
A
Q
max
y
xy
=
=
=
−
τ
Pa,
Z
Y
M
y
= 5.86
M
z
= 1.20
N
= 20.00
Q
y
= 1.00
Q
z
= 3.46
1
3
4
2
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
190
6
4
3
10
180
0
10
288
2
10
46
3
3
2
3
*
.
*
*
*
.
*
A
Q
max
z
xz
=
=
=
−
τ
Pa.
Rozkłady napr
ęż
e
ń
normalnych i stycznych pokazuj
ą
poni
ż
sze rysunki:
Przykład 14.5.4.
Obliczy
ć
minimaln
ą
grubo
ść
a
betonowej
ś
ciany zbiornika wodnego (patrz
rysunek), przy której u jej podstawy nie b
ę
d
ą
wyst
ę
powały napr
ęż
enia rozci
ą
gaj
ą
ce. Na
ś
cian
ę
o
wysoko
ś
ci h
s
=
8 m oprócz parcia wody działa w jej
płaszczy
ź
nie
ś
rodkowej pionowe obci
ąż
enie q = 50
kN/m. Wysoko
ść
słupa wody h
w
= 6 m. W
obliczeniach nale
ż
y uwzgl
ę
dni
ć
ci
ęż
ar własny
ś
ciany
wykonanej
z
materiału
o
ci
ęż
arze
obj
ę
to
ś
ciowym
γ
b
= 22 kN/m
3
. Ci
ęż
ar obj
ę
to
ś
ciowy
wody
γ
w
= 10 kN/m
3
.
Rozwiązanie
Obliczenia wykonujemy na 1m długo
ś
ci
ś
ciany.
Wpierw zredukujemy obci
ąż
enia działaj
ą
ce na
ś
cian
ę
do
ś
rodka ci
ęż
ko
ś
ci jej przekroju u
podstawy.
Obci
ąż
enie pionowe stanowi sum
ę
obci
ąż
enia
zewn
ę
trznego oraz ci
ęż
aru własnego i działa ono w
ś
rodku ci
ęż
ko
ś
ci.
50
176
22
8
50
1
1
+
=
+
=
+
=
a
*
*
a
*
h
*
*
a
*
q
P
b
s
γ
Obci
ąż
enie poziome wynikaj
ą
ce z parcia wody zaczepione jest w
ś
rodku ci
ęż
ko
ś
ci trójk
ą
ta
parcia i wynosi:
180
10
2
6
2
1
2
2
=
=
=
w
w
h
*
W
γ
kN.
2
a
2
a
Z
Y
M
z
N
1m
2
2
1
1
q
=50 kN/m
W
6 m
a
6 m
8 m
2 m
Y
X
Y
7.865
3.698
σ
x
MPa
2.309
6.476
6.476
3.698
Z
7.865
2.309
Y
0.0521
Z
0.180
τ
xy
MPa
τ
xz
MPa
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
191
Obci
ąż
enie to daje u podstawy
ś
ciany moment:
360
2
180
3
=
=
=
*
h
*
W
M
w
z
kNm.
W rezultacie przekrój u podstawy
ś
ciany obci
ąż
ony jest osiowo sił
ą
ś
ciskaj
ą
c
ą
)
a
(
N
50
176
+
−
=
i momentem
360
=
z
M
kNm ( w wyniku redukcji w przekroju wyst
ę
puje
jeszcze siła pozioma W ale nie wywołuje ona napr
ęż
e
ń
normalnych).
Napr
ęż
enia normalne w przekroju podstawy
ś
ciany wyznaczymy ze wzoru:
y
J
M
A
N
z
z
x
−
=
σ
,
gdzie:
1
*
a
A
=
oraz
12
1
3
a
*
J
z
=
.
Po stronie 1-1 na pewno wyst
ą
pi
ą
napr
ęż
enia
ś
ciskaj
ą
ce, po stronie 2-2 mog
ą
wyst
ą
pi
ć
napr
ęż
enia rozci
ą
gaj
ą
ce (na skutek działania momentu
z
M
). Aby je wyzerowa
ć
nale
ż
y
wykona
ć
ś
cian
ę
o grubo
ś
ci a spełniaj
ą
cej relacj
ę
:
(
)
(
)
37
3
0
2
12
10
360
10
50
176
3
3
3
2
2
.
a
a
a
*
a
*
a
x
=
→
=
−
−
+
−
=
−
σ
m.
Przykład 14.5.5.
Pomiary tensometryczne wykazały,
ż
e odkształcenia liniowe we włóknach
skrajnych 1-1 oraz 2-2 mimo
ś
rodowo rozci
ą
ganego pr
ę
ta stalowego o przekroju prostok
ą
tnym
wynosz
ą
, odpowiednio,
4
1
1
10
8
−
−
= *
x
ε
i
4
2
2
10
1
−
−
= *
x
ε
. Zakładaj
ą
c,
ż
e moduł Younga stali
E =
205 GPa wyznaczy
ć
warto
ś
ci siły P oraz mimo
ś
rodu e.
Rozwiązanie
Napr
ęż
enia normalne we włóknach skrajnych wynosz
ą
:
164
10
8
10
205
4
9
1
1
1
1
=
=
=
−
−
−
*
*
*
E
x
x
ε
σ
MPa,
5
20
10
1
10
205
4
9
2
2
2
2
.
*
*
*
E
x
x
=
=
=
−
−
−
ε
σ
MPa.
W analizowanym przypadku wyst
ę
puje mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie na mimo
ś
rodzie e
wzgl
ę
dem osi Y lub, inaczej osiowe rozci
ą
ganie sił
ą
N
=
P
oraz zginanie wzgl
ę
dem osi Y
momentem
e
P
M
y
=
.
Poniewa
ż
mamy wyznaczone napr
ęż
enia we włóknach skrajnych to mo
ż
emy zastosowa
ć
wzory:
2
2
2
−
x
ε
e
X
Z
P
P
1
1
−
x
ε
2
1
1
e
1.5
Y
Z
P
8.0
wymiary w cm
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
192
Wy
e
P
A
P
W
M
A
N
y
y
x
+
=
+
=
−
1
1
σ
,
y
y
y
x
W
e
P
A
P
W
M
A
N
−
=
−
=
−
2
2
σ
.
Podstawiaj
ą
c do nich
4
4
10
12
10
5
1
8
−
−
=
=
*
*
.
*
A
m
2
i
6
6
2
10
16
6
10
8
5
1
−
−
=
=
*
*
*
.
W
y
m
3
,
otrzymujemy układ równa
ń
z którego mo
ż
emy wyznaczy
ć
poszukiwane warto
ś
ci P oraz e
:
→
−
=
+
=
−
−
−
−
6
4
6
6
4
6
10
16
10
12
10
5
20
10
16
10
12
10
164
*
e
P
*
P
*
.
*
e
P
*
P
*
3
10
70
110
*
.
P
=
N,
2
10
04
1
−
=
*
.
e
m.
Przykład 14.5.6.
Wyznaczy
ć
rdze
ń
przekroju dla prostok
ą
ta.
Rozwiązanie
12
12
2
3
2
h
h
b
h
b
A
J
i
y
y
=
=
=
,
12
12
2
3
2
b
h
b
b
h
A
J
i
z
z
=
=
=
.
Punkty krzywej rdzeniowej:
o
ś
oboj
ę
tna 1-1
∞
=
1
y
a
,
0
12
2
1
2
1
=
∞
−
=
−
=
b
a
i
y
y
z
N
;
2
1
h
a
z
−
=
,
6
2
12
2
1
2
1
h
h
h
a
i
z
z
y
N
=
−
−
=
−
=
.
o
ś
oboj
ę
tna 2-2
2
2
b
a
y
=
,
6
2
12
2
2
2
2
b
b
b
a
i
y
y
z
N
−
=
−
=
−
=
;
∞
=
2
z
a
,
0
12
2
2
2
2
=
∞
−
=
−
=
h
a
i
z
z
y
N
.
Pozostałe punkty symetrycznie.
Przykład 14.5.7.
Wyznaczy
ć
rdze
ń
przekroju dla trójk
ą
ta.
Rozwiązanie
18
2
36
2
3
2
h
h
b
h
b
A
J
i
y
y
=
=
=
,
24
2
48
2
3
2
b
h
b
b
h
A
J
i
z
z
=
=
=
.
Punkty krzywej rdzeniowej:
o
ś
oboj
ę
tna 1-1
1
2
2
b
2
b
3
2h
1
1
Z
2
2
3
h
Y
2
h
2
h
2
b
2
b
1
1
2
2
2
Y
Z
3
h
3
b
1
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
193
∞
=
1
y
a
,
0
24
2
1
2
1
=
∞
−
=
−
=
b
a
i
y
y
z
N
;
3
1
h
a
z
−
=
,
6
3
18
2
1
2
1
h
h
h
a
i
z
z
y
N
=
−
−
=
−
=
.
o
ś
oboj
ę
tna 2-2
3
2
b
a
y
=
,
8
3
24
2
2
2
2
b
b
b
a
i
y
y
z
N
−
=
−
=
−
=
;
3
2
2
h
a
z
=
,
12
3
2
18
2
2
2
2
h
h
h
a
i
z
z
y
N
−
=
−
=
−
=
.
Pozostałe punkty symetrycznie.
Przykład 14.5.8.
Wyznaczy
ć
rdze
ń
dla podanego przekroju.
Rozwiązanie
Osie symetrii (Y, Z) s
ą
osiami głównymi centralnymi.
2
2
10
72
60
2
*
*
A
=
=
cm
2
,
4
4
4
10
1512
12
60
2
12
120
*
J
y
=
−
=
cm
4
,
4
4
10
216
12
60
2
*
J
z
=
=
cm
4
,
2100
10
72
10
1512
2
4
2
=
=
=
*
*
A
J
i
y
y
cm
2
,
300
10
72
10
216
2
4
2
=
=
=
*
*
A
J
i
z
z
cm
2
.
Punkty krzywej rdzeniowej:
o
ś
oboj
ę
tna 1-1
85
84
2
60
1
.
a
y
=
=
cm,
54
3
85
84
300
1
2
1
.
.
a
i
y
y
z
N
−
=
−
=
−
=
cm,
85
84
2
60
1
.
a
z
−
=
−
=
cm,
75
24
85
84
2100
1
2
1
.
.
a
i
z
z
y
N
=
−
−
−
=
cm.
o
ś
oboj
ę
tna 2-2
43
42
2
2
60
2
.
a
y
=
=
cm,
07
7
43
42
300
2
2
2
.
.
a
i
y
y
z
N
−
=
−
=
−
=
cm,
∞
=
2
z
a
,
0
2100
2
2
2
=
∞
−
=
−
=
z
y
N
a
i
z
.
Pozostałe punkty symetrycznie.
2
Y
60 cm
60 cm
60 cm
2
2
1
1
Z
1
60 cm
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
194
Przykład 13.5.9.
Wyznaczy
ć
rdze
ń
dla półkola.
Rozwiązanie
03
63
2
30
30
11
0
2
11
0
2
4
2
4
2
.
*
.
r
r
.
A
J
i
y
y
=
=
=
=
π
π
cm
2
,
00
225
2
30
8
30
2
8
2
4
2
4
2
.
r
r
A
J
i
z
z
=
=
=
=
π
π
π
π
cm
2
.
Punkty krzywej rdzeniowej
o
ś
oboj
ę
tna 1-1
∞
=
1
y
a
,
0
00
225
1
2
1
=
∞
−
=
−
=
.
a
i
y
y
z
N
,
73
12
3
30
4
3
4
1
.
*
r
a
z
−
=
−
=
−
=
π
π
cm,
95
4
73
12
03
63
1
2
1
.
.
.
a
i
z
z
y
N
=
−
−
−
=
cm.
o
ś
oboj
ę
tna 2-2
00
30
2
.
r
a
y
=
=
cm,
50
7
00
30
00
225
2
2
2
.
.
.
a
i
y
y
z
N
−
=
−
=
−
=
cm,
∞
=
2
z
a
,
0
03
63
2
2
2
=
∞
−
=
−
=
.
a
i
z
z
y
N
.
o
ś
oboj
ę
tna 3-3
∞
=
2
y
a
,
0
00
225
2
2
2
=
∞
−
=
−
=
.
a
i
y
y
z
N
27
17
3
30
4
30
3
4
2
.
*
r
r
a
z
=
−
=
−
=
π
π
cm,
65
3
27
17
03
63
2
2
2
.
.
.
a
i
z
z
y
N
−
=
−
=
−
=
cm.
Krzywa rdzeniowa mi
ę
dzy punktami 2 i 3 nie jest prost
ą
(jest połow
ą
elipsy) gdy
ż
od osi
oboj
ę
tnej 2-2 do osi 3-3 przechodzimy ze stycznymi do brzegu w punktach styczno
ś
ci
zmieniaj
ą
cymi zmieniaj
ą
cymi na nim swe poło
ż
enie.
Przykład 14.5.10.
Wyznaczy
ć
rdze
ń
dla podanego przekroju.
r = 30 cm
r = 30 cm
17.27 cm
4r/3
π = 12.73 cm
Z
Y
3
1
1
1
3
2
2
3
2
wymiary w m
0.060
0.120
0.120
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
195
Rozwiązanie
Charakterystyki geometryczne przekroju
Pole powierzchni i
ś
rodek ci
ęż
ko
ś
ci
A
= 0.12*0.06 + 0.5*0.12*0.12 = 144*10
-4
m
2
,
S
yo
= 0.12*0.06*0.06 + 0.5*0.12*0.120*0.04 = 720*10
-6
m
3
,
S
zo
= 0.12*0.06*0.03 + 0.5*0.12*0.12*0.10 = 936*10
-6
m
3
,
y
o
= S
zo
/A = 936*10
-6
/144*10
-4
= 0.065 m.
z
o
= S
yo
/A = 720*10
-6
/144*10
-4
= 0.050 m.
Momenty bezwładno
ś
ci wzgl
ę
dem osi centralnych
J
yc
= 0.06*0.12
3
/12 +0.12*0.06*0.01
2
+ 0.12*0.12
3
/36 +
0.5*0.12*0.12*(-0.01
2
) = 1584*10
-8
m
4
,
J
zc
= 0.12*0.06
3
/12 +0.12*0.06*(-0.035)
2
+ 0.12*0.12
3
/36 +
0.5*0.12*0.12*0.035
2
= 2556*10
-8
m
4
,
J
yczc
= 0.12*0.06*(-0.035)*0.01 - 0.12
2
*0.12
2
/72 +
0.5*0.12*0.12*0.035*(-0.01) = -792*10
-8
m
4
.
Osie główne centralne i momenty bezwładno
ś
ci wzgl
ę
dem tych osi
±
+
=
+
−
±
+
=
−
−
2
10
2556
10
1584
2
2
8
8
2
2
2
1
*
*
J
J
J
J
J
J
yczc
zc
yc
zc
yc
,
(
)
2
8
2
8
8
10
792
2
10
2556
10
1584
−
−
−
−
+
−
*
*
*
J
1
= J
z
= 2999.23*10
-8
m
4
;
4
2
10
828
20
−
=
=
*
.
A
J
i
z
z
m
2
,
J
2
= J
y
= 1140.77 *10
-8
m
4
;
4
2
10
922
7
−
=
=
*
.
A
J
i
y
y
m
2
,
0.03
0.04
0.06
Y
0
Z
0
0.03
0.08
0.06
Y
c
Z
c
Z
Y
0.065
0.050
y
e
z
e
1
4
3
2
wymiary w m
29.23
°
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
196
o
77
60
7869
1
23
2999
2556
792
1
1
1
.
.
.
J
J
J
tg
zc
yczc
=
→
=
−
−
=
−
=
α
α
,
o
23
29
5596
0
77
1140
2556
792
2
2
2
.
.
.
J
J
J
tg
zc
yczc
−
=
→
−
=
−
−
=
−
=
α
α
.
Sprawdzenia:
J
yc
+ J
zc
= J
y
+ J
z
; (2556 + 1584)*10
-8
= (1140.77 + 2999.23)*10
-8
m
4
,
α
1
+
α
2
= 29.23° + 60.77° = 90°.
Wyznaczenie współrz
ę
dnych punktów krzywej rdzeniowej
Rdze
ń
definiowany jest w układzie osi głównych centralnych (Y, Z), nale
ż
y zatem wyznaczy
ć
współrz
ę
dne punktów jego konturu w tym układzie.
Wygodnie jest wyznaczy
ć
je korzystaj
ą
c z macierzy przej
ś
cia od układu osi centralnych
(Y
c
, Z
c
)
do układu osi głównych centralnych (Y, Z).
(
)
(
)
−
=
°
°
°
−
°
−
=
c
c
c
c
z
y
.
,
.
.
,
.
z
y
.
sin
,
.
cos
.
sin
,
.
cos
z
y
8726
0
4884
0
4884
0
8726
0
77
60
77
60
23
29
23
29
Wyznaczone w ten sposób współrz
ę
dne punktów konturu przekroju podane s
ą
w tabelce
poni
ż
ej:
Punkty
Współrz
ę
dne
[10
-2
m]
1
2
3
4
y
c
-6.500
11.500
-0.500
-6.500
z
c
-5.000
-5.000
7.000
7.000
y
-3.230
12.477
-3.855
-9.091
z
-7.538
1.254
5.864
2.934
Dalej przy wyznaczaniu odcinków a
y
i a
z
, przez które o
ś
oboj
ę
tna przechodzi na osiach
głównych centralnych b
ę
dziemy korzysta
ć
z równania prostej przez dwa punkty:
(
)
1
1
2
1
2
1
y
y
y
y
z
z
z
z
−
−
−
=
−
o
ś
oboj
ę
tna 1-2
(
)
2
2
2
10
730
5
560
0
10
230
3
230
3
477
12
538
7
254
1
10
538
7
−
−
−
−
=
→
+
+
+
=
+
*
.
y
.
z
*
.
y
.
.
.
.
*
.
z
2
10
232
10
−
=
*
.
a
y
m,
2
10
730
5
−
−
=
*
.
a
z
m,
2
2
4
2
1
10
035
2
10
232
10
10
828
20
−
−
−
−
=
−
=
*
.
*
.
*
x
.
y
,
N
m,
2
2
4
2
1
10
383
1
10
730
5
10
922
7
−
−
−
=
−
−
=
*
.
*
.
*
.
z
,
N
m.
o
ś
oboj
ę
tna 2-3
Adam Bodnar: Wytrzymało
ść
Materiałów. Mimo
ś
rodowe rozci
ą
ganie i
ś
ciskanie
197
(
)
2
2
2
10
776
4
282
0
10
477
12
477
12
855
3
254
1
864
5
10
254
1
−
−
−
+
−
=
→
−
−
−
−
=
−
*
.
y
.
z
*
.
y
.
.
.
.
*
.
z
2
10
920
16
−
=
*
.
a
y
m,
2
10
776
4
−
=
*
.
a
z
m,
2
2
4
3
2
10
231
1
10
920
16
10
828
20
−
−
−
−
=
−
=
*
.
*
.
*
x
.
y
,
N
m,
2
2
4
3
2
10
659
1
10
776
4
10
922
7
−
−
−
−
=
−
=
*
.
*
.
*
.
z
,
N
m.
o
ś
oboj
ę
tna 3-4
(
)
2
2
2
10
021
8
560
0
10
855
3
855
3
091
9
864
5
934
2
10
864
5
−
−
−
+
=
→
+
+
−
−
=
−
*
.
y
.
z
*
.
y
.
.
.
.
*
.
z
2
10
334
14
−
−
=
*
.
a
y
m,
2
10
021
8
−
=
*
.
a
z
m,
2
2
4
4
3
10
453
1
10
334
14
10
828
20
−
−
−
=
−
−
=
*
.
*
.
*
x
.
y
,
N
m,
2
2
4
4
3
10
988
0
10
021
8
10
922
7
−
−
−
−
=
−
=
*
.
*
.
*
.
z
,
N
m.
o
ś
oboj
ę
tna 1-4
(
)
2
2
2
10
309
13
787
1
10
091
9
091
9
230
3
934
2
538
7
10
934
2
−
−
−
−
−
=
→
+
+
−
−
−
=
−
*
.
y
.
z
*
.
y
.
.
.
.
*
.
z
2
10
448
7
−
−
=
*
.
a
y
m,
2
10
309
13
−
−
=
*
.
a
z
m,
2
2
4
1
4
10
796
2
10
448
7
10
828
20
−
−
−
=
−
−
=
*
.
*
.
*
x
.
y
,
N
m,
2
2
4
1
4
10
595
0
10
309
13
10
922
7
−
−
−
=
−
−
=
*
.
*
.
*
.
z
,
N
m.
Wyznaczony rdze
ń
pokazuje rysunek ni
ż
ej.
0.12
Z
Y
1
4
3
2
wymiary w m
0.06
0.12
(3,4)
(1,2)
(1,4)
(2,3)