C16 wykład
Mechanika Budowli I
Piotr Iwicki
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html
Wykład nr 8.
Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych
Linią wpływu pewnej wielkości statycznej Z (reakcja, moment zginający, siła tnąca,
siła normalna) nazywamy wykres przedstawiający zależność pomiędzy wartością Z a
położeniem poruszającej się po układzie siły jednostkowej o określonym kierunku.
Linie wpływu można wyznaczać wprost z definicji. W tym celu należy rozwiązując
zadanie wyrazić wielkości statyczne w funkcji położenia siły jednostkowej.
L
P=1
A
C
D
B -
α
Drugi sposób to wykorzystanie twierdzenia o wzajemności reakcji i przemieszczeń.
Z twierdzenia o wzajemności prac Betti-Maxwell’a:
∑
∑
=
I
ki
II
k
II
ik
I
i
P
P
δ
δ
zakładając, że w I układzie działa siła P a podpory nie ulegają przemieszczeniom, a w
drugim układzie mamy przemieszczenia a siły są równe zeru otrzymamy:
0
=
∆
−
II
k
I
ki
II
ik
I
i
R
P
δ
zakładając ponadto, że:
1
,
1
=
∆
=
II
k
I
i
P
otrzymujemy twierdzenie Mullera Breslaua
II
ik
I
ki
R
δ
=
; wykład 8; 2003/2004 sem.4
C16 wykład
Mechanika Budowli I
Piotr Iwicki
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html
Reakcja na podporze k od obciążenia jednostkowego w punkcje i jest
równa liczbowo przemieszczeniu punktu i (w kierunku tego obciążenia)
wywołanemu jednostkowym przemieszczeniem podpory k przeciwnie do
zwrotu reakcji. (zasada Mullera-Breslau’a)
Twierdzenie to może służyć do kinematycznego wyznaczania linii
wpływu.
Linia wpływu danej wielkości statycznej Z pokrywa się z linią ugięcia
części konstrukcji (po których porusza się siła jednostkowa) wywołaną
odpowiednim jednostkowym wymuszeniem kinematycznym
skierowanym przeciwnie do wielkości Z
.
Przykłady wymuszeń kinematycznych do wyznaczania linii wpływu:
•
Wyznaczanie linii wpływu momentu zginającego: zmiana kąta obrotu
przekrojów
•
Wyznaczanie linii wpływu siły tnącej: rozsunięcie przekrojów pręta
w kierunku siły tnącej
T
T
∆=1
•
Linia wpływu reakcji: przesunięcie podpory o 1 przeciwnie
skierowane do zwrotu reakcji.
•
Linia wpływu momentu podporowego : obrót podpory o kąt
jednostkowy przeciwnie skierowany do działającego momentu.
; wykład 8; 2003/2004 sem.4
M
M
C16 wykład
Mechanika Budowli I
Piotr Iwicki
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html
•
Linia wpływu siły normalnej: rozsunięcie przekroju o 1 w kierunku
normalnej
N
N
∆=1
Własności linii wpływu:
•
Tam gdzie kierunek przemieszczenia powstałego przy wymuszeniu
kinematycznym jest zgodny z kierunkiem działania siły jednostkowej
znak linii wpływu jest dodatni.
•
W układzie statycznie niewyznaczalnym linie wpływu są liniami
gładkimi (nie mają załamań i nieciągłości) za wyjątkiem przekroju w
którym nastąpiło wymuszenie oraz przegubów.
•
W obrębie wspornika linia wpływu jest linią prostą
•
W układach statycznie wyznaczalnych również można wyznaczać
linię wpływu w sposób kinematyczny. W układach statycznie
wyznaczalnych linia wpływu jest linią prostą lub składa się z linii
prostych.
; wykład 8; 2003/2004 sem.4
•
Przy podporach kształt linii wpływu jest zgodny z warunkami
brzegowymi (na przykład w utwierdzeniu styczna pozioma)
C16 wykład
Mechanika Budowli I
Piotr Iwicki
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html
Przykład. Wyznaczanie linii wpływu metodą bezpośrednią – wprost z definicji.
Wyznaczyć za pomocą metoda sił linie wpływu: R
A
R
B
M
A
M
α
T
α.
6m
4m
1m
2m
P=1
I
I
I
A
C
D
B -
α
Dla podanego schematu podstawowego metody sił obliczamy:
EJ
EJ
2
1
)
3
1
6
1
(
11
=
×
×
×
=
δ
EJ
EJ
3
10
1
)
3
1
4
1
3
1
6
1
(
22
=
×
×
×
+
×
×
=
δ
EJ
EJ
1
1
)
6
1
6
1
(
12
=
×
×
×
=
δ
X
1
X
2
X
2
A
C
D
B - α
Równanie zgodności przemieszczeń ma postać:
,
3
10
1
1
2
1
20
10
2
1
2
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
δ
δ
X
X
F
X
X
EJ
Następnie wyznaczamy wartości współczynników
w zależności od położenia
siły P. Należy rozpatrzyć trzy przypadki w zależności od przęsła w którym znajduje
się siła.
20
10
,
δ
δ
; wykład 8; 2003/2004 sem.4
C16 wykład
Mechanika Budowli I
Piotr Iwicki
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html
Siła w przedziale AB
3
)
(
ξ
ξ
ξ
ω
−
=
T
3
)
(
ξ
ξ
ξ
ω
′
−
′
=
′
T
EJ
EJ
l
T
T
)
(
6
1
6
1
)
(
2
1
10
ξ
ω
ξ
ω
δ
′
=
×
×
×
′
=
EJ
EJ
l
T
T
)
(
6
1
6
1
)
(
2
1
20
ξ
ω
ξ
ω
δ
=
×
×
×
=
równania linii wpływu nadliczbowych
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
′
+
−
′
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
×
×
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
17
18
)
(
17
36
)
(
17
60
)
(
17
18
)
(
20
10
1
2
1
ξ
ω
ξ
ω
ξ
ω
ξ
ω
δ
δ
T
T
T
T
F
EJ
X
X
Siła w przedziale BC
0
10
=
δ
EJ
EJ
l
T
T
3
)
(
8
1
6
1
)
(
2
1
20
ξ
ω
ξ
ω
δ
′
=
×
×
×
′
=
równania linii wpływu nadliczbowych
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
′
−
′
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
×
×
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
17
16
)
(
17
8
)
(
20
10
1
2
1
ξ
ω
ξ
ω
δ
δ
T
T
F
EJ
X
X
Siła w przedziale CD
0
10
=
δ
EJ
EJ
l
l
T
3
)
(
4
1
6
1
2
3
20
ξ
ω
ξ
δ
′
−
=
×
×
×
×
−
=
; wykład 8; 2003/2004 sem.4
równania linii wpływu nadliczbowych
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
×
×
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
17
8
)
(
17
4
)
(
20
10
1
2
1
ξ
ω
ξ
ω
δ
δ
T
T
F
EJ
X
X
C16 wykład
Mechanika Budowli I
Piotr Iwicki
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html
Wyznaczenie linii wpływu sił wewnętrznych i reakcji odbywa się przez zsumowanie
odpowiednich linii wpływu nadliczbowych oraz linii wpływu danej wielkości
statycznej dla układu podstawowego –statycznie wyznaczalnego.
X
1
X
2
X
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
2
1
2
1
1
1
1
]
[
l
l
X
l
X
R
R
B
B
2
2
]
[
l
X
T
T
−
=
α
α
2
]
[
X
M
M
′
+
=
α
α
α
ξ
Na podstawie przedstawionych zależności wyznaczono wykresy poszczególnych linii
wpływu.
; wykład 8; 2003/2004 sem.4
C16 wykład
Mechanika Budowli I
Piotr Iwicki
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html
6m
4m
1m
2m
P=1
I
I
I
A
C
D
B -
α
Linia wpływu reakcji RA
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Linia wpływu reakcji RB
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
; wykład 8; 2003/2004 sem.4
C16 wykład
Mechanika Budowli I
Piotr Iwicki
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html
6m
4m
1m
2m
P=1
I
I
I
A
C
D
B - α
; wykład 8; 2003/2004 sem.4
Linia wpływu reakcji Ma
-1.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C16 wykład
Mechanika Budowli I
Piotr Iwicki
http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html
6m
4m
1m
2m
P=1
I
I
I
A
C
D
B - α
Linia wpływu siły tnącej Ta
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.
11.
12.
Linia wpływu siły tnącej Ma
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.
11.
12.
; wykład 8; 2003/2004 sem.4