C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

Wykład nr 8.

Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych

Linią wpływu pewnej wielkości statycznej Z (reakcja, moment zginający, siła tnąca,
siła normalna) nazywamy wykres przedstawiający zależność pomiędzy wartością Z a
położeniem poruszającej się po układzie siły jednostkowej o określonym kierunku.

Linie wpływu można wyznaczać wprost z definicji. W tym celu należy rozwiązując
zadanie wyrazić wielkości statyczne w funkcji położenia siły jednostkowej.

L

P=1

A

C

D

B -

α

Drugi sposób to wykorzystanie twierdzenia o wzajemności reakcji i przemieszczeń.
Z twierdzenia o wzajemności prac Betti-Maxwell’a:

∑

∑

=

I

ki

II

k

II

ik

I

i

P

P

δ

δ

zakładając, że w I układzie działa siła P a podpory nie ulegają przemieszczeniom, a w
drugim układzie mamy przemieszczenia a siły są równe zeru otrzymamy:

0

=

∆

−

II

k

I

ki

II

ik

I

i

R

P

δ

zakładając ponadto, że:

1

,

1

=

∆

=

II

k

I

i

P

otrzymujemy twierdzenie Mullera Breslaua

II

ik

I

ki

R

δ

=

; wykład 8; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

Reakcja na podporze k od obciążenia jednostkowego w punkcje i jest
równa liczbowo przemieszczeniu punktu i (w kierunku tego obciążenia)
wywołanemu jednostkowym przemieszczeniem podpory k przeciwnie do
zwrotu reakcji. (zasada Mullera-Breslau’a)
Twierdzenie to może służyć do kinematycznego wyznaczania linii
wpływu.
Linia wpływu danej wielkości statycznej Z pokrywa się z linią ugięcia
części konstrukcji (po których porusza się siła jednostkowa) wywołaną
odpowiednim jednostkowym wymuszeniem kinematycznym

skierowanym przeciwnie do wielkości Z

.

Przykłady wymuszeń kinematycznych do wyznaczania linii wpływu:

•

Wyznaczanie linii wpływu momentu zginającego: zmiana kąta obrotu
przekrojów

•

Wyznaczanie linii wpływu siły tnącej: rozsunięcie przekrojów pręta
w kierunku siły tnącej

T

T

∆=1

•

Linia wpływu reakcji: przesunięcie podpory o 1 przeciwnie
skierowane do zwrotu reakcji.

•

Linia wpływu momentu podporowego : obrót podpory o kąt
jednostkowy przeciwnie skierowany do działającego momentu.

; wykład 8; 2003/2004 sem.4

M

M

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

•

Linia wpływu siły normalnej: rozsunięcie przekroju o 1 w kierunku
normalnej

N

N

∆=1

Własności linii wpływu:

•

Tam gdzie kierunek przemieszczenia powstałego przy wymuszeniu
kinematycznym jest zgodny z kierunkiem działania siły jednostkowej
znak linii wpływu jest dodatni.

•

W układzie statycznie niewyznaczalnym linie wpływu są liniami
gładkimi (nie mają załamań i nieciągłości) za wyjątkiem przekroju w
którym nastąpiło wymuszenie oraz przegubów.

•

W obrębie wspornika linia wpływu jest linią prostą

•

W układach statycznie wyznaczalnych również można wyznaczać
linię wpływu w sposób kinematyczny. W układach statycznie
wyznaczalnych linia wpływu jest linią prostą lub składa się z linii
prostych.

; wykład 8; 2003/2004 sem.4

•

Przy podporach kształt linii wpływu jest zgodny z warunkami
brzegowymi (na przykład w utwierdzeniu styczna pozioma)

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

Przykład. Wyznaczanie linii wpływu metodą bezpośrednią – wprost z definicji.
Wyznaczyć za pomocą metoda sił linie wpływu: R

A

R

B

M

A

M

α

T

α.

6m

4m

1m

2m

P=1

I

I

I

A

C

D

B -

α

Dla podanego schematu podstawowego metody sił obliczamy:

EJ

EJ

2

1

)

3

1

6

1

(

11

=

×

×

×

=

δ

EJ

EJ

3

10

1

)

3

1

4

1

3

1

6

1

(

22

=

×

×

×

+

×

×

=

δ

EJ

EJ

1

1

)

6

1

6

1

(

12

=

×

×

×

=

δ

X

1

X

2

X

2

A

C

D

B - α

Równanie zgodności przemieszczeń ma postać:

,

3

10

1

1

2

1

20

10

2

1

2

1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

×

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

×

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

δ

δ

X

X

F

X

X

EJ

Następnie wyznaczamy wartości współczynników

w zależności od położenia

siły P. Należy rozpatrzyć trzy przypadki w zależności od przęsła w którym znajduje
się siła.

20

10

,

δ

δ

; wykład 8; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

Siła w przedziale AB

3

)

(

ξ

ξ

ξ

ω

−

=

T

3

)

(

ξ

ξ

ξ

ω

′

−

′

=

′

T

EJ

EJ

l

T

T

)

(

6

1

6

1

)

(

2

1

10

ξ

ω

ξ

ω

δ

′

=

×

×

×

′

=

EJ

EJ

l

T

T

)

(

6

1

6

1

)

(

2

1

20

ξ

ω

ξ

ω

δ

=

×

×

×

=

równania linii wpływu nadliczbowych

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

′

+

−

′

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

×

×

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

17

18

)

(

17

36

)

(

17

60

)

(

17

18

)

(

20

10

1

2

1

ξ

ω

ξ

ω

ξ

ω

ξ

ω

δ

δ

T

T

T

T

F

EJ

X

X

Siła w przedziale BC

0

10

=

δ

EJ

EJ

l

T

T

3

)

(

8

1

6

1

)

(

2

1

20

ξ

ω

ξ

ω

δ

′

=

×

×

×

′

=

równania linii wpływu nadliczbowych

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

′

−

′

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

×

×

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

17

16

)

(

17

8

)

(

20

10

1

2

1

ξ

ω

ξ

ω

δ

δ

T

T

F

EJ

X

X

Siła w przedziale CD

0

10

=

δ

EJ

EJ

l

l

T

3

)

(

4

1

6

1

2

3

20

ξ

ω

ξ

δ

′

−

=

×

×

×

×

−

=

; wykład 8; 2003/2004 sem.4

równania linii wpływu nadliczbowych

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

×

×

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

17

8

)

(

17

4

)

(

20

10

1

2

1

ξ

ω

ξ

ω

δ

δ

T

T

F

EJ

X

X

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

Wyznaczenie linii wpływu sił wewnętrznych i reakcji odbywa się przez zsumowanie
odpowiednich linii wpływu nadliczbowych oraz linii wpływu danej wielkości
statycznej dla układu podstawowego –statycznie wyznaczalnego.

X

1

X

2

X

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

+

=

2

1

2

1

1

1

1

]

[

l

l

X

l

X

R

R

B

B

2

2

]

[

l

X

T

T

−

=

α

α

2

]

[

X

M

M

′

+

=

α

α

α

ξ

Na podstawie przedstawionych zależności wyznaczono wykresy poszczególnych linii
wpływu.

; wykład 8; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

6m

4m

1m

2m

P=1

I

I

I

A

C

D

B -

α

Linia wpływu reakcji RA

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Linia wpływu reakcji RB

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

; wykład 8; 2003/2004 sem.4

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

6m

4m

1m

2m

P=1

I

I

I

A

C

D

B - α

; wykład 8; 2003/2004 sem.4

Linia wpływu reakcji Ma

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C16 wykład

Mechanika Budowli I

Piotr Iwicki

http://www.pg.gda.pl/wil/dydaktyka/c16.html

6m

4m

1m

2m

P=1

I

I

I

A

C

D

B - α

Linia wpływu siły tnącej Ta

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.

11.

12.

Linia wpływu siły tnącej Ma

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.

11.

12.

; wykład 8; 2003/2004 sem.4