13/ 1

13 FALE DŹWIĘKOWE

(3 strony)

Rozchodzenie się fal dźwiękowych
Aby mogła w danym ośrodku (np. powietrzu) mogła powstać fala dźwiękowa musi w nim
istnieć jakieś źródło fal, np poruszać się jakiś obiekt, który zapoczątkuje zburzenia. Jeżeli
ruch tego obiektu jest dostatecznie szybki, to powoduje sprężanie powietrza. Gdy w pewnym
miejscu gęstość cząsteczek jest większa niż w sąsiednim, cząsteczki poruszają się z obszaru o
większej gęstości do obszaru o mniejszej gęstości, aż do wyrównania ciśnień. Aby mogła
powstać fala dźwiękowa cząsteczki wybiegając z obszaru o większej gęstości i ciśnieniu
muszą przekazywać pęd cząsteczkom znajdującym się w obszarze o mniejszej gęstości. Jest
to możliwe jeżeli odstęp między grzbietem i doliną ciśnienia jest znacznie większy od
średniej drogi swobodnej cząsteczek, czyli od odległości jaką przebywają cząsteczki zanim
zderzą się z innymi cząsteczkami.
Aby możliwie uprościć rozważania będziemy zajmowali się falami w jednym wymiarze.
Opisujemy ruch powietrza przy pomocy funkcji

χ

(x,t) określającej przemieszczenie środka

masy małego obszaru gazu ale nie dotyczącej zachowania pojedynczych cząsteczek.

Zjawiska fizyczne zachodzące w czasie propagacji fali dźwiękowej:

1.

Ruch gazu wywołuje zmianę gęstości:

x

∆

χ

∆

ρ

ρ

∆

0

−

=

lub

x

d

∂

∂

−

=

χ

ρ

ρ

0

2.

Zmianie gęstości odpowiada zmiana ciśnienia:

ρ

Κ∆

∆

=

P

3.

Nierównomierny rozkład ciśnienia wywołuje ruch gazu:

x

P

t

∂

∂

−

=

∂

∂

2

2

0

χ

ρ

)

(

)

(

0

P

x

P

P

x

x

P

∆

∆

∂

∂

=

+

∂

∂

=

∂

∂

Po podstawieniu (1) do (2) a potem do (3) otrzymujemy:

2

2

0

0

2

2

0

x

x

K

x

t

∂

∂

=













∂

∂

⋅

−

∂

∂

−

=

∂

∂

χ

Κ

ρ

χ

ρ

χ

ρ

x

t

2

2

2

2

∂

∂

=

∂

∂

χ

Κ

χ

gdzie

ρ

Κ

d

dP

=

po podstawieniu K=v

2

otrzymuje się równanie ruchu falowego dla fal dźwiękowych

rozchodzących się w powietrzu:

t

v

x

2

2

2

2

2

1

∂

∂

=

∂

∂

χ

χ

gdzie

χ

opisuje przemieszczanie środka masy pewnego małego obszaru z jego normalnego

położenia równowagi. Takie samo równanie opisuje też zmiany ciśnienia oraz zmiany
gęstości gazu. Rozwiązaniem równania falowego jest dowolna, dwukrotnie różniczkowalna
funkcja argumentu (x-vt)

13/ 2

(

)

vt

x

f

−

=

χ

lub

(

)

kx

t

g

−

=

ω

χ

gdzie k=

ω

/v

W trzech wymiarach równanie falowe ma postać:

t

v

z

y

x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

∂

∂

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

χ

χ

χ

χ

O rozwiązaniu

(

)

x

k

t

g

−

=

ω

χ

gdzie k jest wektorem falowym

(k

x

, k

y

, k

z

) o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i

zwrotem propagacji fali i o wartości danej równaniem

gdzie

(

)

v

k

k

k

k

z

y

x

ω

=

+

+

=

2

1

2

2

2

Zjawisko Dopplera

Efektem typowym dla ruchu falowego jest efekt Dopplera. Zjawisko to polega na zależności
częstości fal odbieranych przez odbiornik od prędkości źródła fal i odbiornika względem
ośrodka w którym rozchodzi się fala. Rozważmy to zjawisko na przykładzie fal
dźwiękowych. Niech dla uproszczenia źródło i obserwator poruszają się po tej samej prostej.
Możliwe są cztery przypadki:

•

Gdy obserwator zbliża się od źródła:

Obserwowana częstość

f’

wynosi więc:

λ

λ

0

v

c

v

f

+

=

′

=

′

Podstawiając:

f

c

=

λ

otrzymujemy:

c

v

c

f

f

0

+

=

′

•

Gdy obserwator oddala się od źródła

v’ = c – v,

a obserwowana częstość wynosi

c

v

c

f

f

0

−

=

′

Jeżeli

obserwator

porusza

się

w

stronę

nieruchomego źródła napotyka fale o nie
zmienionej długości.

λ

= const.

które względem niego rozchodzą się z prędkością:

v' = c + v

0

gdzie c-prędkość dźwięku

13/ 3

•

Gdy źródło dźwięku się porusza to zmianie ulega długość fali a jej prędkość względem
nieruchomego obserwatora pozostaje stała. Jeżeli źródło porusza się w kierunku
obserwatora to kolejne fronty falowe wysyłane są z coraz mniejszej odległości. Zatem
długość fal się zmniejsza.

•

Gdy źródło oddala się od obserwatora λ' = λ + s

z

i wówczas

z

v

c

c

f

f

+

=

′

Ogólnie

gdzie θ

0

i θz są to kąty utworzone przez wektory prędkości odbiornika v

0

i prędkości źródła v

z

z wektorem R łączącym odbiornik i źródło fal.

Elementy akustyki fizjologicznej

Słyszalne fale dźwiękowe są to fale o częstotliwościach od 16 do 20000 Hz. Fale te działają
na organy słuchu człowieka powodując wrażenia słuchowe. Fale o częstotliwościach f ≤ 16
Hz nazywają się infradźwiękami lub poddźwiękami. Fale o częstotliwościach f ≥ 2·10

-4

Hz

nazywają się ultradźwiękami lub naddźwiękami.
Charakter wrażeń słuchowych zależy od widma częstotliwości dźwięku. Szumy mają ciągłe
widmo częstotliwości z jakiegoś przedziału. Dźwięki muzyczne mają dyskretne widmo
częstotliwości: f, 2f, 3f ...
Sinusoidalna fala dźwiękowa nazywa się tonem, wysokość tonu zależy od jego częstości, im
większa częstość tym wyższy ton. Ton podstawowy złożonego dźwięku muzycznego to ton
odpowiadający najmniejszej częstości f

0

. Barwa dźwięku zależy od tonów harmonicznych o

częstościach 2f

0

, 3f

0

, ... występujących razem z tonem podstawowym.

Miarą wielkości wrażeń słuchowych jest poziom głośności. Poziom głośności zależy od
częstości i ciśnienia akustycznego, jest on wielkością subiektywną, zależną od
indywidualnych możliwości percepcji ucha ludzkiego. Wyraża się go w skali decybelowej w
odniesieniu do poziomu progu słyszalności

f

v

z

−

=

′

λ

λ

z

z

v

c

v

c

f

f

θ

θ

cos

cos

0

0

+

+

=

′

0

lg

2

p

p

k

L

e

=

p

0

– próg słyszalności

k = 1 daje wynik w belach [B]
k = 10 daje wynik w decybelach [dB]

f

v

T

v

s

s

z

z

z

z

=

=

−

=

′

λ

λ

z

v

c

c

f

f

−

=

′

f

v

f

c

f

c

z

−

=

'