13/ 1
13 FALE DŹWIĘKOWE
(3 strony)
Rozchodzenie się fal dźwiękowych
Aby mogła w danym ośrodku (np. powietrzu) mogła powstać fala dźwiękowa musi w nim
istnieć jakieś źródło fal, np poruszać się jakiś obiekt, który zapoczątkuje zburzenia. JeŜeli
ruch tego obiektu jest dostatecznie szybki, to powoduje spręŜanie powietrza. Gdy w pewnym
miejscu gęstość cząsteczek jest większa niŜ w sąsiednim, cząsteczki poruszają się z obszaru o
większej gęstości do obszaru o mniejszej gęstości, aŜ do wyrównania ciśnień. Aby mogła
powstać fala dźwiękowa cząsteczki wybiegając z obszaru o większej gęstości i ciśnieniu
muszą przekazywać pęd cząsteczkom znajdującym się w obszarze o mniejszej gęstości. Jest
to moŜliwe jeŜeli odstęp między grzbietem i doliną ciśnienia jest znacznie większy od
średniej drogi swobodnej cząsteczek, czyli od odległości jaką przebywają cząsteczki zanim
zderzą się z innymi cząsteczkami.
Aby moŜliwie uprościć rozwaŜania będziemy zajmowali się falami w jednym wymiarze.
Opisujemy ruch powietrza przy pomocy funkcji
χ
(x,t) określającej przemieszczenie środka
masy małego obszaru gazu ale nie dotyczącej zachowania pojedynczych cząsteczek.
Zjawiska fizyczne zachodzące w czasie propagacji fali dźwiękowej:
1.
Ruch gazu wywołuje zmianę gęstości:
x
∆
χ
∆
ρ
ρ
∆
0
−
=
lub
x
d
∂
∂
−
=
χ
ρ
ρ
0
2.
Zmianie gęstości odpowiada zmiana ciśnienia:
ρ
Κ∆
∆
=
P
3.
Nierównomierny rozkład ciśnienia wywołuje ruch gazu:
x
P
t
∂
∂
−
=
∂
∂
2
2
0
χ
ρ
)
(
)
(
0
P
x
P
P
x
x
P
∆
∆
∂
∂
=
+
∂
∂
=
∂
∂
Po podstawieniu (1) do (2) a potem do (3) otrzymujemy:
2
2
0
0
2
2
0
x
x
K
x
t
∂
∂
=
∂
∂
⋅
−
∂
∂
−
=
∂
∂
χ
Κ
ρ
χ
ρ
χ
ρ
x
t
2
2
2
2
∂
∂
=
∂
∂
χ
Κ
χ
gdzie
ρ
Κ
d
dP
=
po podstawieniu K=v
2
otrzymuje się równanie ruchu falowego dla fal dźwiękowych
rozchodzących się w powietrzu:
t
v
x
2
2
2
2
2
1
∂
∂
=
∂
∂
χ
χ
gdzie
χ
opisuje przemieszczanie środka masy pewnego małego obszaru z jego normalnego
połoŜenia równowagi. Takie samo równanie opisuje teŜ zmiany ciśnienia oraz zmiany
gęstości gazu. Rozwiązaniem równania falowego jest dowolna, dwukrotnie róŜniczkowalna
funkcja argumentu (x-vt)
13/ 2
(
)
vt
x
f
−
=
χ
lub
(
)
kx
t
g
−
=
ω
χ
gdzie k=
ω
/v
W trzech wymiarach równanie falowe ma postać:
t
v
z
y
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
χ
χ
χ
χ
O rozwiązaniu
(
)
x
k
t
g
−
=
ω
χ
gdzie k jest wektorem falowym
(k
x
, k
y
, k
z
) o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i
zwrotem propagacji fali i o wartości danej równaniem
gdzie
(
)
v
k
k
k
k
z
y
x
ω
=
+
+
=
2
1
2
2
2
Zjawisko Dopplera
Efektem typowym dla ruchu falowego jest efekt Dopplera. Zjawisko to polega na zaleŜności
częstości fal odbieranych przez odbiornik od prędkości źródła fal i odbiornika względem
ośrodka w którym rozchodzi się fala. RozwaŜmy to zjawisko na przykładzie fal
dźwiękowych. Niech dla uproszczenia źródło i obserwator poruszają się po tej samej prostej.
MoŜliwe są cztery przypadki:
•
Gdy obserwator zbliŜa się od źródła:
Obserwowana częstość
f’
wynosi więc:
λ
λ
0
v
c
v
f
+
=
′
=
′
Podstawiając:
f
c
=
λ
otrzymujemy:
c
v
c
f
f
0
+
=
′
•
Gdy obserwator oddala się od źródła
v’ = c – v,
a obserwowana częstość wynosi
c
v
c
f
f
0
−
=
′
JeŜeli
obserwator
porusza
się
w
stronę
nieruchomego źródła napotyka fale o nie
zmienionej długości.
λ
= const.
które względem niego rozchodzą się z prędkością:
v' = c + v
0
gdzie c-prędkość dźwięku
13/ 3
•
Gdy źródło dźwięku się porusza to zmianie ulega długość fali a jej prędkość względem
nieruchomego obserwatora pozostaje stała. JeŜeli źródło porusza się w kierunku
obserwatora to kolejne fronty falowe wysyłane są z coraz mniejszej odległości. Zatem
długość fal się zmniejsza.
•
Gdy źródło oddala się od obserwatora λ' = λ + s
z
i wówczas
z
v
c
c
f
f
+
=
′
Ogólnie
gdzie θ
0
i θz są to kąty utworzone przez wektory prędkości odbiornika v
0
i prędkości źródła v
z
z wektorem R łączącym odbiornik i źródło fal.
Elementy akustyki fizjologicznej
Słyszalne fale dźwiękowe są to fale o częstotliwościach od 16 do 20000 Hz. Fale te działają
na organy słuchu człowieka powodując wraŜenia słuchowe. Fale o częstotliwościach f ≤ 16
Hz nazywają się infradźwiękami lub poddźwiękami. Fale o częstotliwościach f ≥ 2·10
-4
Hz
nazywają się ultradźwiękami lub naddźwiękami.
Charakter wraŜeń słuchowych zaleŜy od widma częstotliwości dźwięku. Szumy mają ciągłe
widmo częstotliwości z jakiegoś przedziału. Dźwięki muzyczne mają dyskretne widmo
częstotliwości: f, 2f, 3f ...
Sinusoidalna fala dźwiękowa nazywa się tonem, wysokość tonu zaleŜy od jego częstości, im
większa częstość tym wyŜszy ton. Ton podstawowy złoŜonego dźwięku muzycznego to ton
odpowiadający najmniejszej częstości f
0
. Barwa dźwięku zaleŜy od tonów harmonicznych o
częstościach 2f
0
, 3f
0
, ... występujących razem z tonem podstawowym.
Miarą wielkości wraŜeń słuchowych jest poziom głośności. Poziom głośności zaleŜy od
częstości i ciśnienia akustycznego, jest on wielkością subiektywną, zaleŜną od
indywidualnych moŜliwości percepcji ucha ludzkiego. WyraŜa się go w skali decybelowej w
odniesieniu do poziomu progu słyszalności
f
v
z
−
=
′
λ
λ
z
z
v
c
v
c
f
f
θ
θ
cos
cos
0
0
+
+
=
′
0
lg
2
p
p
k
L
e
=
p
0
– próg słyszalności
k = 1 daje wynik w belach [B]
k = 10 daje wynik w decybelach [dB]
f
v
T
v
s
s
z
z
z
z
=
=
−
=
′
λ
λ
z
v
c
c
f
f
−
=
′
f
v
f
c
f
c
z
−
=
'