1

Wyznaczanie stałej tensometru
Tensometry służą głównie do pomiaru naprężeń, które poprzez moduł Younga mogą zostać
przeliczone na odkształcenia, a następnie na szukaną wartość nieznanej wielkości
oddziałującej na badany obiekt w oparciu o jego dane geometryczne.
W budowie tensometrów wykorzystywane jest zjawisko zmiany rezystancji przewodnika.

Rys. 1 Tensometr foliowy

Mostki tensometryczne

Rys. 2 Pełny i pół mostek tensometryczny

Dla uproszczenia załóżmy, że tensometry w układzie pełnego mostka są zasilane ze źródła

in

U

o zerowej rezystancji wewnętrznej a wyjście

out

U

jest nieobciążone dzięki połączeniu

ze wzmacniaczem o nieskończenie wielkiej rezystancji. Mamy wtedy

)

)(

(

4

3

2

1

3

2

4

1

T

T

T

T

T

T

T

T

in

out

R

R

R

R

R

R

R

R

U

U

+

+

−

=

W wyniku pojawienia się odkształcenia występuje przyrost temperatury

4

...,

,

1

,

=

Δ

+

⇒

i

R

R

R

Ti

Ti

Ti

Stąd

)

)(

(

)

)(

(

...

)

)(

(

...

...

)

)(

(

)

)(

(

...

)

)((

(

4

4

2

2

4

4

1

1

3

3

2

2

3

3

2

2

3

3

1

1

4

4

1

1

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

in

iout

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

U

U

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

+

+

+

+

+

+

+

+

−

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

2

Po łatwych przekształceniach otrzymujemy

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Δ

+

Δ

+

Δ

+

Δ

+

−

−

+

=

Δ

4

4

2

2

3

3

1

1

3

2

4

1

2

4

)

(

T

T

T

T

T

T

T

T

R

R

R

R

in

out

R

R

R

R

R

R

R

R

U

U

ε

ε

ε

ε

Przyjmuje się, że

2

4

4

2

2

3

3

1

1

<<

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Δ

+

Δ

+

Δ

+

Δ

T

T

T

T

T

T

T

T

R

R

R

R

R

R

R

R

skąd otrzymjemy

)

(

4

1

3

2

4

1

R

R

R

R

in

out

U

U

ε

ε

ε

ε

−

−

+

=

Δ

Wyznaczenie stałej tensometru

l

R

k

ε

ε

=

Musimy wyznaczyć względne odkształcenia:

l

l

l

Δ

ε

=

oraz

R

R

R

Δ

=

ε

Odkształcenie

l

l

l

Δ

ε

=

wyznaczamy używając wzorcowanej belki stalowej o danych jak na

poniższym rysunku.

3

Z zależności geometrycznych możemy napisać:

L

l

b

b

l

=

0

więc

L

l

b

b

l

0

=

Odkształcenie

ε

jest ilorazem, w zakresie odkształceń sprężystych, naprężenia

σ

i modułu

Young’a E (tzw. moduł sprężystości liniowej)

E

l

σ

ε

=

naprężenie

σ jest ilorazem momentu

g

M

gnącego i wskaźnika wytrzymałości

g

W

g

g

W

M

=

δ

g

W

oraz

g

M

dla belki z rysunku wynoszą

6

2

h

b

W

l

g

=

,

Fl

M

g

=

a więc

2

0

2

2

6

6

6

h

Eb

FL

h

Eb

Fl

h

b

E

Fl

l

l

l

=

⋅

=

=

ε

gdzie

2

2

5

2

11

2

7

21

10

1

.

2

10

1

.

2

10

1

.

2

mm

ton

mm

N

m

N

mm

G

E

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

Odkształcenie

l

ε

przenosi się na tensometry

1

T

R

i

2

T

R

, które są naklejone na belkę za

pomocą specjalnego kleju tensometrycznego np. X60 albo Z70 firmy HBM Hottinger
Baldwin Messtechnik, przenoszącego odkształcenie belki (bazy) na tensometry.

Metoda zerowa

Odkształcenie

R

R

R

Δ

=

ε

metodą zerową wyznaczamy korzystając z mostka prądu stałego

wraz z belką z powyższego rysunku z naklejonymi na nią dwoma tensometrami. Układ
pomiarowy obrazuje rysunek

4

Układ do wyznaczenia

R

ε

tensometrów

Wstępnie zrównoważony za pomocą rezystorów

1

b

R i

2

b

R mostek rozrównoważamy po

zadziałaniu na belkę znaną siłą F, występującą w uprzednio wyznaczonej zależności na

l

ε

i równoważymy ponownie regulując np. rezystancję

2

b

R

na

'

2

b

R

. Zadziałanie siły F

spowoduje, że tensometr naklejony na górnej powierzchni belki wzrośnie o

Δ a naklejony na

dolnej zmaleje o

Δ .

Dla ponownie zrównoważonego mostka mamy:

)

(

)

(

'

2

'

2

1

1

Δ

Δ

+

+

=

−

+

T

p

b

p

b

T

p

b

p

b

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

i

Δ

Δ

−

+

=

+

+

T

T

p

b

p

b

p

b

p

b

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

)

(

)

(

1

'

2

'

2

1

a po uproszczeniu

p

R

Δ

Δ

−

+

=

+

+

T

T

p

b

b

p

b

b

R

R

R

R

R

R

R

R

)

(

)

(

1

'

2

'

2

1

Po wymnożeniu stronami otrzymujemy

)

2

(

)

(

1

'

2

'

2

1

'

2

1

p

b

p

b

b

b

p

b

p

b

T

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

+

+

=

−

Δ

i szukaną wartość

T

R

R

Δ

ε

=

w postaci

5

)

(

2

'

2

1

'

2

1

'

2

1

b

b

p

b

b

b

b

p

T

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

−

+

−

=

=

Δ

ε

Dzieląc wyznaczone

R

ε przez

l

ε

otrzymujemy szukaną stałą tensometru.

Metoda wychyłowa

Oznaczmy przez:

g

R

- rezystancję galwanometru

1

R

- wypadkową rezystancję w 1 gałęzi mostka

p

b

p

b

R

R

R

R

R

+

=

1

1

1

2

R

- wypadkową rezystancję w 2 gałęzi mostka

p

b

p

b

R

R

R

R

R

+

=

2

2

2

oraz załóżmy zerową rezystancję źródła zasilania mostka.
Niech, dla tych oznaczeń, gdy

0

≠

Δ

zachodzi

Δ

+

=

T

R

R

3

Δ

−

=

T

R

R

4

i wtedy przez galwanometr popłynie prąd

g

I , który z zasady Thevenina wynosi

z

g

g

R

R

U

I

+

=

0

gdzie

)

(

4

3

3

2

1

1

0

R

R

R

R

R

R

U

U

+

−

+

=

4

3

4

3

2

1

2

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

z

+

+

+

=

Wstawiając powyższe do wzoru na prąd

g

I

oraz uwzględniają, że

T

R

R

R

2

4

3

=

+

2

2

4

3

Δ

−

=

T

R

R

R

otrzymujemy

6

)

2

)(

(

2

)

)(

(

2

[

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

T

T

g

T

T

T

g

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

U

I

Δ

Δ

−

+

+

+

+

+

+

−

=

czyli

)

)(

(

2

)

(

2

)

(

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Δ

Δ

−

+

+

+

+

+

−

−

=

T

T

g

T

T

T

g

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

U

I

Zakładając w ostatnim równaniu

2

2

T

R

<<

Δ

oraz mnożąc go przez

T

T

R

R otrzymujemy

ostatecznie

)

(

2

)

(

2

)

(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

U

I

T

g

T

g

+

+

+

+

+

−

−

=

Δ

Wyznaczenia

R

ε

dokonujemy w dwóch krokach.

1. Wstępnie rozrównoważamy mostek oporem

b

R

2

na

'

2b

R

uzyskując opór wypadkowy tej

gałęzi wynoszący

'

2

R

Dla

0

=

F

i

0

=

Δ

prąd galwanometru i jego wychylenie wynosi teraz

)

(

2

)

(

2

'

2

1

'

2

1

'

2

1

'

2

1

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

U

I

T

g

g

g

+

+

+

+

−

=

=

α

2. Dla ustalonej wartości

'

2

R zadajemy znaną siłę

F co powoduje powstanie

0

>

Δ

i nowy

prąd równy

)

(

2

)

(

2

)

(

'

2

1

'

2

1

'

2

1

'

2

1

'

2

1

2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

U

I

T

g

T

g

g

+

+

+

+

+

−

−

=

=

Δ

α

Dzieląc przez siebie ostatnie dwa równania otrzymujemy

)

(

'

2

1

'

2

1

'

2

1

2

1

R

R

R

R

R

R

R

T

g

g

+

−

−

−

=

Δ

α

α

7

skąd

)

1

(

1

2

'

2

1

'

2

1

g

g

T

R

R

R

R

R

R

α

α

Δ

ε

−

+

−

=

=

Uwzględniając poprzednie założenia na

1

R

i

'

2

R mamy

)

(

2

'

2

1

'

2

1

'

2

1

'

2

'

2

1

1

'

2

'

2

1

1

'

2

1

'

2

1

b

b

p

b

b

b

b

p

b

p

b

p

b

p

b

p

b

p

b

p

b

p

b

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

+

+

−

=

+

+

+

+

−

+

=

+

−

więc ostatecznie

)

1

(

)

(

2

1

2

'

2

1

'

2

1

'

2

1

g

g

b

b

p

b

b

b

b

R

R

R

R

R

R

R

R

α

α

ε

−

+

+

−

=