dwiczenia ze statystyki – D. Kosiorowski
18
. Wiadomo, że 2% paczek bananów psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób przypadkowy
wybrano 3 paczki. Niech oznacza liczbę paczek z zepsutymi bananami spośród trzech wybranych. Znaleźd
rozkład prawdopodobieostwa zmiennej losowej .
19.
Przy każdym z pięciu stoisk w sklepie pracuje jedna ekspedientka. Zakładamy, że ekspedientki pracują
niezależnie od siebie. Każda z nich obsługuje klientów przez 20% czasu przeznaczonego na pracę. Intensywnośd
napływu klientów jest taka sama w ciągu całego dnia. Niech oznacza liczbę ekspedientek jednocześnie
obsługujących
klientów. Znaleźd rozkład
prawdopodobieostwa zmiennej losowej
. Obliczyd
prawdopodobieostwo, że liczba ekspedientek jednocześnie obsługujących klientów jest równa co najwyżej 2.
Znaleźd najbardziej prawdopodobną wartośd zmiennej losowej
20.
Sprawdzid, czy funkcja
jest gęstością prawdopodobieostwa. Znaleźd dystrybuantę . Obliczyd prawdopodobieostwa
oraz
. Zinterpretowad te prawdopodobieostwa na wykresie gęstości i dystrybuanty.
21.
Zmienna losowa ma nastepujący rozkład prawdopodobieostwa:
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
P(X=x) 1/16 1/16 1/8 1/4 1/4 1/8 1/16 1/16
Znaleźd rozkład prawdopodobieostwa zmiennych losowych
oraz
, obliczyd ich wartości
oczekiwane.
22.
Znaleźd gęstośd prawdopodobieostwa zmiennej losowej
, jeśli gęstośd zmiennej losowej jest
postaci:
a)
, b)
.
Rozważamy pewne doświadczenie losowe o możliwych wynikach
które realizują się z
prawdopodobieostwami odpowiednio
.
Informacją otrzymaną przez nas w rezultacie doświadczenia nazywamy zmienną losową
przyjmującą wartości
z prawdopodobieostwami
.
Wartośd oczekiwana tej zmiennej losowej (informacji):
,
określa się mianem entropii doświadczenia G. Entropia charakteryzuje nieokreślonośd doświadczenia.
Z1: Rozważamy doświadczenie losowe – jednokrotny rzut symetryczną kością do gry. Ile wynosi entropia
doświadczenia?. Jak zmienia się entropia jeżeli kośd nie jest symetryczna (prawdopodobieostwo wypadnięcia
jednego z oczek jest większe od pozostałych)?.
Z2: Rozważamy doświadczenie losowe o dwóch możliwych wynikach „1” oraz „0”, które realizują się z
prawdopodobieostwami odpowiednio p oraz 1-p. Dla jakiej wartości p entropia doświadczenia jest największa?
Z3: Czy istnieje związek pomiędzy entropią i wariancją zmiennej losowej?.
23. Stopa zwrotu (%) z inwestycji w akcje spółek składających się na indeks TRN jest zmienną losową X o
rozkładzie normalnym N(0, 1). Obliczyd prawdopodobieostwa:
a) P(X>1) b) P(X>-1) c) P(|X|<2) d) P(X<-0.5).
