dwiczenia ze statystyki – D. Kosiorowski

18

. Wiadomo, że 2% paczek bananów psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób przypadkowy

wybrano 3 paczki. Niech oznacza liczbę paczek z zepsutymi bananami spośród trzech wybranych. Znaleźd
rozkład prawdopodobieostwa zmiennej losowej .

19.

Przy każdym z pięciu stoisk w sklepie pracuje jedna ekspedientka. Zakładamy, że ekspedientki pracują

niezależnie od siebie. Każda z nich obsługuje klientów przez 20% czasu przeznaczonego na pracę. Intensywnośd
napływu klientów jest taka sama w ciągu całego dnia. Niech oznacza liczbę ekspedientek jednocześnie
obsługujących

klientów. Znaleźd rozkład

prawdopodobieostwa zmiennej losowej

. Obliczyd

prawdopodobieostwo, że liczba ekspedientek jednocześnie obsługujących klientów jest równa co najwyżej 2.
Znaleźd najbardziej prawdopodobną wartośd zmiennej losowej

20.

Sprawdzid, czy funkcja

jest gęstością prawdopodobieostwa. Znaleźd dystrybuantę . Obliczyd prawdopodobieostwa

oraz

. Zinterpretowad te prawdopodobieostwa na wykresie gęstości i dystrybuanty.

21.

Zmienna losowa ma nastepujący rozkład prawdopodobieostwa:

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

P(X=x) 1/16 1/16 1/8 1/4 1/4 1/8 1/16 1/16

Znaleźd rozkład prawdopodobieostwa zmiennych losowych

oraz

, obliczyd ich wartości

oczekiwane.

22.

Znaleźd gęstośd prawdopodobieostwa zmiennej losowej

, jeśli gęstośd zmiennej losowej jest

postaci:

a)

, b)

.

Rozważamy pewne doświadczenie losowe o możliwych wynikach

które realizują się z

prawdopodobieostwami odpowiednio

.

Informacją otrzymaną przez nas w rezultacie doświadczenia nazywamy zmienną losową

przyjmującą wartości

z prawdopodobieostwami

.

Wartośd oczekiwana tej zmiennej losowej (informacji):

,

określa się mianem entropii doświadczenia G. Entropia charakteryzuje nieokreślonośd doświadczenia.

Z1: Rozważamy doświadczenie losowe – jednokrotny rzut symetryczną kością do gry. Ile wynosi entropia
doświadczenia?. Jak zmienia się entropia jeżeli kośd nie jest symetryczna (prawdopodobieostwo wypadnięcia
jednego z oczek jest większe od pozostałych)?.

Z2: Rozważamy doświadczenie losowe o dwóch możliwych wynikach „1” oraz „0”, które realizują się z
prawdopodobieostwami odpowiednio p oraz 1-p. Dla jakiej wartości p entropia doświadczenia jest największa?

Z3: Czy istnieje związek pomiędzy entropią i wariancją zmiennej losowej?.


23. Stopa zwrotu (%) z inwestycji w akcje spółek składających się na indeks TRN jest zmienną losową X o
rozkładzie normalnym N(0, 1). Obliczyd prawdopodobieostwa:
a) P(X>1) b) P(X>-1) c) P(|X|<2) d) P(X<-0.5).

dwiczenia ze statystyki – D. Kosiorowski

24. Niech X ma rozkład normalny N(5,10). Obliczyd:

a) P(X<5) b) P(X>7) c) P(-5<X<2.5)

25. Zakładając, że czas oczekiwania na poczcie po odbiór awizowanej przesyłki (w minutach) ma rozkład
normalny N(7, 2), określid:
a) jakie jest prawdopodobieostwo odbioru przesyłki w czasie nie dłuższym niż 3 minuty,
b) jaki procent klientów będzie czekad od 10 do 14 minut

26. Zmienna losowa ma rozkład normalny z

i

. Korzystając z tablic dystrybuanty rozkładu

normalnego, wyznaczyd wartości , dla których:

a)

b)

c)

d)