1

gdzie:

Energia kinetyczna ciała rozp

ę

dzanego przez stał

ą

sił

ę

F

kinet
poczatkowa

kinet

końońco

E

E

m

m

t

t

m

s

ma

s

F

W

−

=

−

=













+













−

=

⋅

=

⋅

=

2

2

2

2

0

2

0

0

v

v

v

v

v

v

2

)

(

2

)

(

2

0

2

0

0

2

0

t

t

t

t

at

t

s

v

v

v

v

v

v

+

=













−

+

=













+

=

Przykłady energii
potencjalnej

Energia potencjalna w pobliżu powierzchni Ziemi (punkt odniesienia na powierzchni Ziemi y

0

= 0)

mgh

y

mg

E

y

E

i

i

y

p

p

=

∆

−

−

=

∑

∞

=

→

∆

1

0

)

(

)

0

(

)

(

lim

0

)

0

(

=

p

E

dla:

Energia potencjalna idealnej nieważkiej sprężyny (punkt odniesienia x

0

= 0)

2

1

0

2

1

)

(

)

0

(

)

(

lim

kx

x

kx

E

x

E

i

i

i

y

p

p

=

∆

−

−

=

∑

∞

=

→

∆

0

)

0

(

=

p

E

dla:

∑

∞

=

→

∆

∆

−

=

1

0

0

lim

)

(

)

(

i

i

i

z

x

p

p

x

F

x

E

x

E

2

Energia potencjalna w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi, odległym o r od środka Ziemi
(zerową energię potencjalną przypisujemy punktowi odniesienia w nieskończoności r → ∞).

r

Mm

G

r

r

Mm

G

E

r

E

i

i

i

y

p

p

−

=

∆













−

−

∞

=

∑

∞

=

→

∆

1

0

lim

)

(

)

(

r

Mm

G

r

E

p

−

=

)

(

0

)

(

=

∞

p

E

dla:

2

r

Mm

G

F

−

=

2

ctg

2

v

m

f

mgh

mgh

k

=

−

θ

)

ctg

1

(

2

θ

k

f

gh

−

=

v

2

2

1

1

k

p

niezach

k

p

E

E

W

E

E

+

=

+

+

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII

Przykład

praca sił niezachowawczych

(strata energii mechanicznej)

niezach

mech

mech

mech

W

E

E

E

=

−

=

∆

)

(

1

2

energia mechaniczna

zamienia się w energię wewnętrzną

0

1

=

k

E

mgh

E

p

=

1

2

2

2

v

m

E

k

=

0

1

=

p

E

energia mechaniczna (E

mech

):

θ

θ

θ

θ

ctg

cos

sin

cos

k

k

k

T

niezach

f

mgh

mg

f

h

mg

f

s

W

W

−

=

−

=

−

=

=

praca sił niezachowawczych (tarcia):

3

2) Jak

ą

pr

ę

dko

ść

nale

ż

y nada

ć

obiektowi przy powierzchni Ziemi, aby opu

ś

cił on pole

grawitacyjne Ziemi.

Z

Z

p

k

R

m

M

G

m

E

E

−

=

+

2

2

v

Na powierzchni Ziemi:

Na wysoko

ś

ci r

→

∞

nad Ziemi

ą

:

0

0

=

=

p

k

E

E

const.

=

+

p

k

E

E

Pr

ę

dko

ś

ci kosmiczne

2

2

R

m

M

G

R

m

Z

=

v

1) Pr

ę

dko

ść

na orbicie o promieniu R:

(pierwsza pr

ę

dko

ść

kosmiczna)

R

M

G

Z

I

=

v

s

km

I

/

91

.

7

=

v

Otrzymujemy pr

ę

dko

ść

ucieczki:

(druga pr

ę

dko

ść

kosmiczna)

Z

Z

II

R

M

G

2

=

v

s

km

II

/

19

.

11

=

v

Zderzenia:

-doskonale niesprężyste
-doskonale sprężyste
-inne

p

1

+p

2

=p’

doskonale niesprężyste:

-zas. zach. energii mechanicznej –

-niespełniona

- zas. zach. pędu -

spełniona













+

−

=

+

−

=

2

1

2

2

2

1

2

2

1

1

'

'

m

m

m

m

m

m

m

y

y

x

x

x

v

v

v

v

v







+

=

−

+

=

−

'

(

'

(

2

1

2

2

2

1

2

2

1

1

y

y

x

x

x

m

m

m

m

m

m

m

)v

v

)v

v

v

Uwaga: w równaniach uwzględniono znaki „+” i „-” przed zderzeniem

dla przykładu pokazanego na rysunku

4

p

1

+p

2

=p

1

’+ p

2

’

doskonale sprężyste:

- zas. zach. energii mechanicznej -

spełniona

- zas. zach. pędu -

spełniona

E

k1

+E

k2

=E

k1

’+ E

k2

’

przykład zderzenia centralnego ( m

1

= m

2

= m

)











+

=

2

2

2

1

2

1

1

)

'

(

)

'

(

'

'

v

v

v

v

v

v

m

2

1

+

m

2

1

=

m

2

1

m

m

m

2
1

zas. zach. energii

zas. zach. pędu







+

−

=

−

2

2

1

1

2

1

1

)

'

(

)

'

)(

'

(

'

)

'

(

v

v

v

v

v

v

v

v

=

1

1







+

=

−

'

)

'

(

'

)

'

(

2

1

2

1

1

v

v

v

v

v

v

=

1

1

1

'

v

v

≠







=

=

1

2

1

'

0

'

v

v

v

przykład zderzenia niecentralnego







−

=

+

=

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1

sin

'

sin

'

0

cos

'

cos

'

θ

θ

θ

θ

v

v

v

v

v

m

m

m

m

m

2

2

2

1

)

'

(

)

'

(

v

v

v

m

2

1

+

m

2

1

=

m

2

1

2

1

2

1

1

zas. zach. energii

zas. zach. pędu

Uwaga: w równaniach uwzględniono znaki „+” i „-” przed i po zderzeniu dla przykładu pokazanego na

rysunku

5

przykład zderzenia centralnego (

θ

1

= θ

2

=0

)









+

=

2

2

2

1

2

2

1

1

1

1

)

'

(

)

'

(

'

'

v

v

v

v

v

v

m

2

1

+

m

2

1

=

m

2

1

m

m

m

2

1

2

1

1

zas. zach. energii

zas. zach. pędu







+

−

=

−

2

2

1

1

2

2

1

1

1

)

'

(

)

'

)(

'

(

'

)

'

(

v

v

v

v

v

v

v

v

m

=

m

m

m

2

1

1

1







+

=

−

'

)

'

(

'

)

'

(

2

1

2

2

1

1

1

v

v

v

v

v

v

=

m

m

1







+

+

=

−

'

)

'

(

)

'

(

)

'

(

2

1

1

2

1

1

1

v

v

v

v

v

v

v

=

m

m

1

1













+

=

+

−

=

v

v

v

v

1

1

m

m

m

m

m

m

m

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

'

'

przypadek szczególny gdy m

1

=m

2

=m:







=

=

1

2

1

'

0

'

v

v

v

1

1

'

v

v

≠







→

−

≈

0

'

'

2

1

1

v

v

v

przypadek szczególny gdy m

1

<<m

2: