1
gdzie:
Energia kinetyczna ciała rozp
ę
dzanego przez stał
ą
sił
ę
F
kinet
poczatkowa
kinet
końońco
E
E
m
m
t
t
m
s
ma
s
F
W
−
=
−
=
+
−
=
⋅
=
⋅
=
2
2
2
2
0
2
0
0
v
v
v
v
v
v
2
)
(
2
)
(
2
0
2
0
0
2
0
t
t
t
t
at
t
s
v
v
v
v
v
v
+
=
−
+
=
+
=
Przykłady energii
potencjalnej
Energia potencjalna w pobliżu powierzchni Ziemi (punkt odniesienia na powierzchni Ziemi y
0
= 0)
mgh
y
mg
E
y
E
i
i
y
p
p
=
∆
−
−
=
∑
∞
=
→
∆
1
0
)
(
)
0
(
)
(
lim
0
)
0
(
=
p
E
dla:
Energia potencjalna idealnej nieważkiej sprężyny (punkt odniesienia x
0
= 0)
2
1
0
2
1
)
(
)
0
(
)
(
lim
kx
x
kx
E
x
E
i
i
i
y
p
p
=
∆
−
−
=
∑
∞
=
→
∆
0
)
0
(
=
p
E
dla:
∑
∞
=
→
∆
∆
−
=
1
0
0
lim
)
(
)
(
i
i
i
z
x
p
p
x
F
x
E
x
E
2
Energia potencjalna w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi, odległym o r od środka Ziemi
(zerową energię potencjalną przypisujemy punktowi odniesienia w nieskończoności r → ∞).
r
Mm
G
r
r
Mm
G
E
r
E
i
i
i
y
p
p
−
=
∆
−
−
∞
=
∑
∞
=
→
∆
1
0
lim
)
(
)
(
r
Mm
G
r
E
p
−
=
)
(
0
)
(
=
∞
p
E
dla:
2
r
Mm
G
F
−
=
2
ctg
2
v
m
f
mgh
mgh
k
=
−
θ
)
ctg
1
(
2
θ
k
f
gh
−
=
v
2
2
1
1
k
p
niezach
k
p
E
E
W
E
E
+
=
+
+
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
Przykład
praca sił niezachowawczych
(strata energii mechanicznej)
niezach
mech
mech
mech
W
E
E
E
=
−
=
∆
)
(
1
2
energia mechaniczna
zamienia się w energię wewnętrzną
0
1
=
k
E
mgh
E
p
=
1
2
2
2
v
m
E
k
=
0
1
=
p
E
energia mechaniczna (E
mech
):
θ
θ
θ
θ
ctg
cos
sin
cos
k
k
k
T
niezach
f
mgh
mg
f
h
mg
f
s
W
W
−
=
−
=
−
=
=
praca sił niezachowawczych (tarcia):
3
2) Jak
ą
pr
ę
dko
ść
nale
ż
y nada
ć
obiektowi przy powierzchni Ziemi, aby opu
ś
cił on pole
grawitacyjne Ziemi.
Z
Z
p
k
R
m
M
G
m
E
E
−
=
+
2
2
v
Na powierzchni Ziemi:
Na wysoko
ś
ci r
→
∞
nad Ziemi
ą
:
0
0
=
=
p
k
E
E
const.
=
+
p
k
E
E
Pr
ę
dko
ś
ci kosmiczne
2
2
R
m
M
G
R
m
Z
=
v
1) Pr
ę
dko
ść
na orbicie o promieniu R:
(pierwsza pr
ę
dko
ść
kosmiczna)
R
M
G
Z
I
=
v
s
km
I
/
91
.
7
=
v
Otrzymujemy pr
ę
dko
ść
ucieczki:
(druga pr
ę
dko
ść
kosmiczna)
Z
Z
II
R
M
G
2
=
v
s
km
II
/
19
.
11
=
v
Zderzenia:
-doskonale niesprężyste
-doskonale sprężyste
-inne
p
1
+p
2
=p’
doskonale niesprężyste:
-zas. zach. energii mechanicznej –
-niespełniona
- zas. zach. pędu -
spełniona
+
−
=
+
−
=
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
'
'
m
m
m
m
m
m
m
y
y
x
x
x
v
v
v
v
v
+
=
−
+
=
−
'
(
'
(
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
y
y
x
x
x
m
m
m
m
m
m
m
)v
v
)v
v
v
Uwaga: w równaniach uwzględniono znaki „+” i „-” przed zderzeniem
dla przykładu pokazanego na rysunku
4
p
1
+p
2
=p
1
’+ p
2
’
doskonale sprężyste:
- zas. zach. energii mechanicznej -
spełniona
- zas. zach. pędu -
spełniona
E
k1
+E
k2
=E
k1
’+ E
k2
’
przykład zderzenia centralnego ( m
1
= m
2
= m
)
+
=
2
2
2
1
2
1
1
)
'
(
)
'
(
'
'
v
v
v
v
v
v
m
2
1
+
m
2
1
=
m
2
1
m
m
m
2
1
zas. zach. energii
zas. zach. pędu
+
−
=
−
2
2
1
1
2
1
1
)
'
(
)
'
)(
'
(
'
)
'
(
v
v
v
v
v
v
v
v
=
1
1
+
=
−
'
)
'
(
'
)
'
(
2
1
2
1
1
v
v
v
v
v
v
=
1
1
1
'
v
v
≠
=
=
1
2
1
'
0
'
v
v
v
przykład zderzenia niecentralnego
−
=
+
=
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
sin
'
sin
'
0
cos
'
cos
'
θ
θ
θ
θ
v
v
v
v
v
m
m
m
m
m
2
2
2
1
)
'
(
)
'
(
v
v
v
m
2
1
+
m
2
1
=
m
2
1
2
1
2
1
1
zas. zach. energii
zas. zach. pędu
Uwaga: w równaniach uwzględniono znaki „+” i „-” przed i po zderzeniu dla przykładu pokazanego na
rysunku
5
przykład zderzenia centralnego (
θ
1
= θ
2
=0
)
+
=
2
2
2
1
2
2
1
1
1
1
)
'
(
)
'
(
'
'
v
v
v
v
v
v
m
2
1
+
m
2
1
=
m
2
1
m
m
m
2
1
2
1
1
zas. zach. energii
zas. zach. pędu
+
−
=
−
2
2
1
1
2
2
1
1
1
)
'
(
)
'
)(
'
(
'
)
'
(
v
v
v
v
v
v
v
v
m
=
m
m
m
2
1
1
1
+
=
−
'
)
'
(
'
)
'
(
2
1
2
2
1
1
1
v
v
v
v
v
v
=
m
m
1
+
+
=
−
'
)
'
(
)
'
(
)
'
(
2
1
1
2
1
1
1
v
v
v
v
v
v
v
=
m
m
1
1
+
=
+
−
=
v
v
v
v
1
1
m
m
m
m
m
m
m
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
'
'
przypadek szczególny gdy m
1
=m
2
=m:
=
=
1
2
1
'
0
'
v
v
v
1
1
'
v
v
≠
→
−
≈
0
'
'
2
1
1
v
v
v
przypadek szczególny gdy m
1
<<m
2: