Macierze
Macierz jest to prostokątna tablica liczb. Macierz składa
się z wierszy i kolumn.
Przykład:
3
3
,
0
0
1
5
2
Ta macierz ma 2 wiersze i 3 kolumny.
Mówimy, że ma wymiar „2 na 3”, co zapiszemy: 2 x 3.
Dodawanie macierzy
Założenie: Dane są macierze A oraz B o tych samych
wymiarach.
Macierz A + B jest to macierz otrzymana przez
dodawanie do siebie wyrazów znajdujących się w danych
macierzach na tych samych miejscach.
Macierz A + B ma ten sam wymiar, co macierze A i B.
Przykład. Dane są macierze:
0
2
2
5
3
2
,
5
0
1
2
4
3
B
A
Wówczas:
5
2
3
7
7
5
0
5
2
0
2
1
5
2
3
4
2
3
B
A
Odejmowanie macierzy
Założenie: Dane są macierze A oraz B o tych samych
wymiarach.
Macierz
B
A
jest to macierz otrzymana przez
odejmowanie od siebie wyrazów znajdujących się w
danych macierzach na tych samych miejscach.
Macierz
B
A
ma ten sam wymiar, co macierze A i B.
Przykład. Dane są macierze:
0
2
2
5
3
2
,
5
0
1
2
4
3
B
A
Wówczas:
5
2
1
3
1
1
0
5
2
0
2
1
5
2
3
4
2
3
B
A
Mnożenie liczby przez macierz
Założenie: Dana jest dowolna liczba k i dowolna macierz
A.
Macierz
A
k
jest to macierz otrzymana przez
pomnożenie każdego wyrazu macierzy A przez liczbę k.
Macierz
A
k
ma ten sam wymiar, co macierz A.
Przykład. Dana jest liczba 4 i macierz
1
2
4
3
A
Wówczas:
4
8
16
12
4
1
4
2
4
4
3
4
4 A
Mnożenie wiersza przez kolumnę
Założenie: Dane są macierze A oraz B takie, że macierz
A ma tyle kolumn, co macierz B wierszy.
Mnożenie wiersza przez kolumnę polega na mnożeniu
kolejnych elementów wiersza przez odpowiednie elementy
kolumny i sumowaniu wyników. Wynikiem tego mnożenia
jest liczba.
Przykład. Dane są macierze:
0
2
2
5
3
2
,
3
1
2
1
4
3
B
A
Pomnożymy (przykładowo) drugi wiersz macierzy A przez
pierwszą kolumnę macierzy B:
IIw x Ik =
15
6
5
4
2
3
5
1
2
2
Mnożenie macierzy przez macierz
Założenie: Dane są macierze A oraz B takie, że macierz
A ma tyle kolumn, co macierz B wierszy.
Mnożenie macierzy A przez macierz B polega na
pomnożeniu każdego wiersza macierzy A przez każdą
kolumnę macierzy B.
Otrzymana w ten sposób macierz ma tyle wierszy, co
macierz A i tyle kolumn, co macierz B.
Przykład. Dane są macierze:
0
2
2
5
3
2
,
3
1
2
1
4
3
B
A
8
15
17
28
0
3
2
1
3
2
2
3
5
1
2
2
0
1
2
4
3
3
2
1
5
4
2
3
B
A
Przykład. Pomnożymy te macierze w odwrotnej kolejności
2
8
6
11
22
19
11
11
12
3
0
1
2
1
0
4
2
2
0
3
2
3
2
1
5
1
2
4
5
2
2
3
5
3
3
1
2
1
3
4
2
2
3
3
2
3
1
2
1
4
3
0
2
2
5
3
2
A
B
Wniosek. Mnożenie macierzy nie jest przemienne:
A
B
B
A
Uwaga. Może się zdarzyć, że jedno z tych mnożeń można
wykonać, a drugiego – nie, np. gdy macierz A ma wymiar
3x4, zaś macierz B ma wymiar 4x5, to wynikiem mnożenia
B
A
jest macierz o wymiarze 3x5. Mnożenia
A
B
nie
można wykonać, gdyż liczba kolumn macierzy B jest inna
niż liczba wierszy macierzy A.