Macierze

Macierz jest to prostokątna tablica liczb. Macierz składa
się z wierszy i kolumn.

Przykład:















3

3

,

0

0

1

5

2

Ta macierz ma 2 wiersze i 3 kolumny.

Mówimy, że ma wymiar „2 na 3”, co zapiszemy: 2 x 3.

Dodawanie macierzy

Założenie: Dane są macierze A oraz B o tych samych
wymiarach.

Macierz A + B jest to macierz otrzymana przez
dodawanie do siebie wyrazów znajdujących się w danych
macierzach na tych samych miejscach.

Macierz A + B ma ten sam wymiar, co macierze A i B.

Przykład. Dane są macierze:













































0

2

2

5

3

2

,

5

0

1

2

4

3

B

A

Wówczas:



























































5

2

3

7

7

5

0

5

2

0

2

1

5

2

3

4

2

3

B

A

Odejmowanie macierzy

Założenie: Dane są macierze A oraz B o tych samych
wymiarach.

Macierz

B

A



jest to macierz otrzymana przez

odejmowanie od siebie wyrazów znajdujących się w
danych macierzach na tych samych miejscach.

Macierz

B

A



ma ten sam wymiar, co macierze A i B.

Przykład. Dane są macierze:













































0

2

2

5

3

2

,

5

0

1

2

4

3

B

A

Wówczas:

































































5

2

1

3

1

1

0

5

2

0

2

1

5

2

3

4

2

3

B

A

Mnożenie liczby przez macierz

Założenie: Dana jest dowolna liczba k i dowolna macierz
A.

Macierz

A

k



jest to macierz otrzymana przez

pomnożenie każdego wyrazu macierzy A przez liczbę k.
Macierz

A

k



ma ten sam wymiar, co macierz A.

Przykład. Dana jest liczba 4 i macierz















1

2

4

3

A

Wówczas:







































4

8

16

12

4

1

4

2

4

4

3

4

4 A

Mnożenie wiersza przez kolumnę

Założenie: Dane są macierze A oraz B takie, że macierz
A ma tyle kolumn, co macierz B wierszy.

Mnożenie wiersza przez kolumnę polega na mnożeniu
kolejnych elementów wiersza przez odpowiednie elementy
kolumny i sumowaniu wyników. Wynikiem tego mnożenia
jest liczba.

Przykład. Dane są macierze:





































0

2

2

5

3

2

,

3

1

2

1

4

3

B

A

Pomnożymy (przykładowo) drugi wiersz macierzy A przez
pierwszą kolumnę macierzy B:

IIw x Ik =

15

6

5

4

2

3

5

1

2

2



















Mnożenie macierzy przez macierz

Założenie: Dane są macierze A oraz B takie, że macierz
A ma tyle kolumn, co macierz B wierszy.

Mnożenie macierzy A przez macierz B polega na
pomnożeniu każdego wiersza macierzy A przez każdą
kolumnę macierzy B.

Otrzymana w ten sposób macierz ma tyle wierszy, co
macierz A i tyle kolumn, co macierz B.

Przykład. Dane są macierze:





































0

2

2

5

3

2

,

3

1

2

1

4

3

B

A







































































8

15

17

28

0

3

2

1

3

2

2

3

5

1

2

2

0

1

2

4

3

3

2

1

5

4

2

3

B

A

Przykład. Pomnożymy te macierze w odwrotnej kolejności











































































































































2

8

6

11

22

19

11

11

12

3

0

1

2

1

0

4

2

2

0

3

2

3

2

1

5

1

2

4

5

2

2

3

5

3

3

1

2

1

3

4

2

2

3

3

2

3

1

2

1

4

3

0

2

2

5

3

2

A

B

Wniosek. Mnożenie macierzy nie jest przemienne:

A

B

B

A







Uwaga. Może się zdarzyć, że jedno z tych mnożeń można
wykonać, a drugiego – nie, np. gdy macierz A ma wymiar
3x4, zaś macierz B ma wymiar 4x5, to wynikiem mnożenia

B

A



jest macierz o wymiarze 3x5. Mnożenia

A

B



nie

można wykonać, gdyż liczba kolumn macierzy B jest inna
niż liczba wierszy macierzy A.