Kwadraty magiczne

i kwadraty

greko-łacińskie

w pracach Eulera

Krótka historia

Kwadrat magiczny Loh-Shu

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Krótka historia

Albrecht Dürer – „Melancholia”

16

3

2

13

5

10 11

8

9

6

7

12

4

15 14

1

De quadratis magicis

Petersburska Akademia Nauk – 17 październik 1776

Kwadrat magiczny jest to taka figura, w którą wpisane zostały liczby naturalne

w taki sposób, że suma liczb w każdej kolumnie, w każdym wierszu oraz obu
przekątnych jest równa.

De quadratis magicis

mx + n

mx

– litera łacińska

n

– litera grecka

a +

α

Kwadrat magiczny 3x3

a

b

c

b

c

a

c

a

b

γ

β

α

α

γ

β

β

α

γ

a

γ bβ cα

b

α cγ aβ

c

β aα bγ

Kwadrat magiczny 3x3

2 9 4
7 5 3
6 1 8

8 3 4
1 5 9
6 7 2

2 7 6
9 5 1
4 3 8

8 1 6
3 5 7
4 9 2

c = 3, γ = 2

a = 0, b = 6
α = 1, β = 3

a = 6, b = 0
α = 1, β = 3

a = 0, b = 6
α = 3, β = 1

a = 6, b = 0
α = 3, β = 1

Kwadraty magiczne 4x4

a

b

c

d

Kwadraty magiczne 4x4

a

b

c

d

c

Kwadraty magiczne 4x4

a

α

b

c

d

d

c

γ

b

a

b

a

d

δ

c

c

d

a

b

β

a

b

c

d

d

c

b

a

b

a

d

c

c

d

a

b

Kwadraty magiczne 4x4

1

4 14 15

13 16 2

3

8

5 11 10

12 9

7

6

a

α aδ dβ dγ

d

α dδ aβ aγ

b

δ bα cγ cβ

c

δ cα bγ bβ

a

b

c

d

d

c

b

a

b

a

d

c

c

d

a

b

a

α bδ cβ dγ

d

β cγ bα aδ

b

γ aβ dδ cα

c

δ dα aγ bβ

Kwadraty magiczne 5x5 i 6x6

a

α aζ aβ fε

f

γ

f

δ

f

α fζ

f

β aε aγ aδ

b

α bζ bβ eε eγ eδ

e

ζ eα eε bβ bδ bγ

c

ζ cα cε dβ dδ dγ

d

ζ dα dε cβ cδ cγ

b

δ

c

γ

d

β eα

a

ε

c

α

d

δ

a

γ

b

ε

e

β

e

γ

b

β cε

a

δ

d

α

d

ε

a

α eδ

c

β

b

γ

a

β eε

b

α dγ

c

δ

8

20

2

21 14

16

3

15

9

22

25

7

19 13

1

4

11 23 17 10

12 24

6

5

18

Recherches sur une nouvelle

espece de quarres magiques

Middelburg w 1782

Problem 36 oficerów:
Kolumna

żołnierzy składa się z 36 oficerów z 6 różnych regimentów i w 6

ró

żnych rangach (każdy regiment jest reprezentowany przez 6 oficerów

w ró

żnych rangach). Czy można ich ustawić w kwadrat tak, aby żadna ranga

i

żaden regiment nie zostały powtórzone w tym samym wierszu ani w tej samej

kolumnie?

Kwadraty greko-łacińskie -

zamiana

a

α bζ cδ dγ eη

f

ε

g

β

b

β cη aε eδ dα gζ

f

γ

c

γ

f

α

e

ζ

g

ε aβ dη bδ

d

δ eβ

f

η

a

ζ gγ bα cε

e

ε

a

γ gα bη

f

δ

c

β dζ

f

ζ

g

δ dβ cα bε

e

γ aη

g

η dε

b

γ

f

β

c

ζ aδ eα

1

1

2

6

3

4

4

3

5

7

6

5

7

2

2

2

3

7

1

5

5

4

4

1

7

6

6

3

3

3

6

1

5

6

7

5

1

2

4

7

2

4

4

4

5

2

6

7

1

6

7

3

2

1

3

5

5

5

1

3

7

1

2

7

6

4

3

2

4

6

6

6

7

4

4

2

3

1

2

5

5

3

1

7

7

7

4

5

2

3

6

2

3

6

1

4

5

1

Konstrukcja

1

2

3

4

5

6

7

2

3

1

5

4

7

6

3

6

5

7

1

4

2

4

5

6

1

7

2

3

5

1

7

2

6

3

4

6

7

4

3

2

5

1

7

4

2

6

3

1

5

dla wykładnika 1 mamy 1 6 7 3 4 2 5
dla wykładnika 2 mamy 2 5 4 6 1 3 7
dla wykładnika 3 mamy 3 1 2 4 7 5 6
dla wykładnika 4 mamy 4 7 3 5 6 1 2
dla wykładnika 5 mamy 5 4 1 7 2 6 3
dla wykładnika 6 mamy 6 2 5 1 3 7 4
dla wykładnika 7 mamy 7 3 6 2 5 4 1

Formuły przewodnie

Przykład wyznaczania

formuły przewodniej

Przykład dla wykładnika 6

6 5 2 1

1

2

3

4

5

6

7

2

3

1

5

4

7

6

3

6

5

7

1

4

2

4

5

6

1

7

2

3

5

1

7

2

6

3

4

6

7

4

3

2

5

1

7

4

2

6

3

1

5

Przykład wyznaczania

formuły przewodniej

Przykład dla wykładnika 6

6 5 2 1

1

2

3

4

5

6

7

2

3

1

5

4

7

6

3

6

5

7

1

4

2

4

5

6

1

7

2

3

5

1

7

2

6

3

4

6

7

4

3

2

5

1

7

4

2

6

3

1

5

Przykład wyznaczania

formuły przewodniej

Przykład dla wykładnika 6

4

7

6

6

3

4

3

1

5

I kolumna – wykładnik 6 przy 3

II kolumna – wykładnik 6 przy 7

III kolumna – wykładnik 6 przy 4

6 5 2 1

Klasyfikacja kwadratów

łacińskich

Stopnia I

1

2

3

4

5

6

...

n

2

3

4

5

6

...

n

1

3

4

5

6

...

n

1

2

4

5

6

...

n

1

2

3

5

6

...

n

1

2

3

4

6

...

n

1

2

3

4

5

itd.

Klasyfikacja kwadratów

łacińskich

Stopnia II

1

2

3

4

5

6

...

2

1

4

3

6

5

...

3

4

5

6

7

8

...

4

3

6

5

8

7

...

5

6

7

8

9

10

...

6

5

8

7

10

9

...

itd.

Klasyfikacja kwadratów

łacińskich

1

2

3

4

5

6

7

8

9 ...

2 3

1

5

6

4

8

9

7 ...

3

1

2

6

4

5

9

7

8 ...

4

5

6

7

8

9 10 11 12 ...

5

6

4

8

9

7 11 12 10 ...

6

4

5

9

7

8 12 10 11 ...

Stopnia III

itd.

Kwadraty łacińskie stopnia I

n

= 2

1

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1

1

Kwadraty łacińskie stopnia I

n

= 3

1

2

3

2

3

1

3

1

2

1

1

2

3

3

2

2

2

3

1

1

3

3

3

1

2

2

1

dla wykładnika 1 1 3 2

dla wykładnika 2 2 1 3

dla wykładnika 3 3 2 1

Formuły przewodnie

n

= 4

1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3

W §20 [2] Euler stwierdza: Dla wszystkich przypadków, gdy n
jest liczb

ą parzystą, kwadraty łacińskie stopnia pierwszego

nie posiadaj

ą rozwiązania, tzn. nie jest możliwe znalezienie

dla nich formuł przewodnich.

Liczba kwadratów

magicznych dla zadanego n

n

Liczba odmian

1

0

2

1

3

1 = 1·1 + 0·0

4

3 = 2·1 + 1·1

5

11 = 3·3 + 2·1

6

53 = 4·11 + 3·3

7

309 = 5·53 + 4·11

8

2119 = 6·309 + 5·53

9

16687 = 7·2119 + 6·309

10

148329 = 8·16687 + 7·2119

itd

itd

Obliczanie liczby kwadratów

magicznych

P

, Q, R, S - liczba odmian kwadratów łacińskich, które odpowiadają kolejno

liczbom n, n+1, n+2, n+3

P

n

nQ

R

)

1

( −

+

=

nQ

R

n

S

+

+

=

)

1

(

)

)(

1

(

P

Q

n

Q

R

+

−

=

−

Q

P

Q

R

n

+

−

=

− 1

)

(

R

Q

n

R

S

+

=

−

Obliczanie liczby kwadratów

magicznych

P

, Q, R, S - liczba odmian kwadratów łacińskich, które odpowiadają kolejno

liczbom n, n+1, n+2, n+3

R

Q

R

S

n

+

−

=

Q

P

Q

R

R

Q

R

S

+

−

−

+

−

=

1

Q

P

PR

QR

PR

PQ

S

+

+

+

+

=

2

2

• Alter R., How many Latin squares are there, Amer. Math. Monthly,

82 (6) (1975), 632-634.

• Bose R.C, Shrikhande SS., On the falsity of Euler's conjecture about the

non- existence of 2 orthogonal Latin squares of order 4T+2

, Proc. Nat.

Acad. Sci. USA, 45 (5) (1959), 734-737.

• Finney D. J., Latin squares of the 6th order, Experientia, 2 (10) (1946),

404-405.

• Hedayat A., On a statistical optimality of magic squares, Stat. Probabil. Lett.,

5 (3) (1987), 191-192.

• Kirton H. C., Mutually orthogonal partitions of the Latin squares, Utilitas

Mathematica, 27 (MAY) (1985), 265-274.

• Parker E. T., Orthogonal Latin squares, Proc. Nat. Acad. Sci. USA,

45 (6) (1959), 859-862.

• Uko L.U., The anatomy of magic squares, ARS Combinatoria, 67 (2003),

115-128.

• Ullrich P., Officers, playing cards, and sheep - on the history of Eulerian

squares and of the design of experiments

, Metrika, 56 (3) (2002), 189-204.

Dziękuję za

uwagę!

Copyright © by Arczi 2009 All rights reserved