Kwadraty magiczne
i kwadraty
greko-łacińskie
w pracach Eulera
Kwadraty magiczne
i kwadraty
greko-łacińskie
w pracach Eulera
Krótka historia
Kwadrat magiczny Loh-Shu
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Krótka historia
Albrecht Dürer – „Melancholia”
16
3
2
13
5
10 11
8
9
6
7
12
4
15 14
1
De quadratis magicis
Petersburska Akademia Nauk – 17 październik 1776
Kwadrat magiczny jest to taka figura, w którą wpisane zostały liczby naturalne
w taki sposób, że suma liczb w każdej kolumnie, w każdym wierszu oraz obu
przekątnych jest równa.
De quadratis magicis
mx + n
mx
– litera łacińska
n
– litera grecka
a +
α
Kwadrat magiczny 3x3
a
b
c
b
c
a
c
a
b
γ
β
α
α
γ
β
β
α
γ
a
γ bβ cα
b
α cγ aβ
c
β aα bγ
Kwadrat magiczny 3x3
2 9 4
7 5 3
6 1 8
8 3 4
1 5 9
6 7 2
2 7 6
9 5 1
4 3 8
8 1 6
3 5 7
4 9 2
c = 3, γ = 2
a = 0, b = 6
α = 1, β = 3
a = 6, b = 0
α = 1, β = 3
a = 0, b = 6
α = 3, β = 1
a = 6, b = 0
α = 3, β = 1
Kwadraty magiczne 4x4
a
b
c
d
Kwadraty magiczne 4x4
a
b
c
d
c
Kwadraty magiczne 4x4
a
α
b
c
d
d
c
γ
b
a
b
a
d
δ
c
c
d
a
b
β
a
b
c
d
d
c
b
a
b
a
d
c
c
d
a
b
Kwadraty magiczne 4x4
1
4 14 15
13 16 2
3
8
5 11 10
12 9
7
6
a
α aδ dβ dγ
d
α dδ aβ aγ
b
δ bα cγ cβ
c
δ cα bγ bβ
a
b
c
d
d
c
b
a
b
a
d
c
c
d
a
b
a
α bδ cβ dγ
d
β cγ bα aδ
b
γ aβ dδ cα
c
δ dα aγ bβ
Kwadraty magiczne 5x5 i 6x6
a
α aζ aβ fε
f
γ
f
δ
f
α fζ
f
β aε aγ aδ
b
α bζ bβ eε eγ eδ
e
ζ eα eε bβ bδ bγ
c
ζ cα cε dβ dδ dγ
d
ζ dα dε cβ cδ cγ
b
δ
c
γ
d
β eα
a
ε
c
α
d
δ
a
γ
b
ε
e
β
e
γ
b
β cε
a
δ
d
α
d
ε
a
α eδ
c
β
b
γ
a
β eε
b
α dγ
c
δ
8
20
2
21 14
16
3
15
9
22
25
7
19 13
1
4
11 23 17 10
12 24
6
5
18
Recherches sur une nouvelle
espece de quarres magiques
Middelburg w 1782
Problem 36 oficerów:
Kolumna
żołnierzy składa się z 36 oficerów z 6 różnych regimentów i w 6
ró
żnych rangach (każdy regiment jest reprezentowany przez 6 oficerów
w ró
żnych rangach). Czy można ich ustawić w kwadrat tak, aby żadna ranga
i
żaden regiment nie zostały powtórzone w tym samym wierszu ani w tej samej
kolumnie?
Kwadraty greko-łacińskie -
zamiana
a
α bζ cδ dγ eη
f
ε
g
β
b
β cη aε eδ dα gζ
f
γ
c
γ
f
α
e
ζ
g
ε aβ dη bδ
d
δ eβ
f
η
a
ζ gγ bα cε
e
ε
a
γ gα bη
f
δ
c
β dζ
f
ζ
g
δ dβ cα bε
e
γ aη
g
η dε
b
γ
f
β
c
ζ aδ eα
1
1
2
6
3
4
4
3
5
7
6
5
7
2
2
2
3
7
1
5
5
4
4
1
7
6
6
3
3
3
6
1
5
6
7
5
1
2
4
7
2
4
4
4
5
2
6
7
1
6
7
3
2
1
3
5
5
5
1
3
7
1
2
7
6
4
3
2
4
6
6
6
7
4
4
2
3
1
2
5
5
3
1
7
7
7
4
5
2
3
6
2
3
6
1
4
5
1
Konstrukcja
1
2
3
4
5
6
7
2
3
1
5
4
7
6
3
6
5
7
1
4
2
4
5
6
1
7
2
3
5
1
7
2
6
3
4
6
7
4
3
2
5
1
7
4
2
6
3
1
5
dla wykładnika 1 mamy 1 6 7 3 4 2 5
dla wykładnika 2 mamy 2 5 4 6 1 3 7
dla wykładnika 3 mamy 3 1 2 4 7 5 6
dla wykładnika 4 mamy 4 7 3 5 6 1 2
dla wykładnika 5 mamy 5 4 1 7 2 6 3
dla wykładnika 6 mamy 6 2 5 1 3 7 4
dla wykładnika 7 mamy 7 3 6 2 5 4 1
Formuły przewodnie
Przykład wyznaczania
formuły przewodniej
Przykład dla wykładnika 6
6 5 2 1
1
2
3
4
5
6
7
2
3
1
5
4
7
6
3
6
5
7
1
4
2
4
5
6
1
7
2
3
5
1
7
2
6
3
4
6
7
4
3
2
5
1
7
4
2
6
3
1
5
Przykład wyznaczania
formuły przewodniej
Przykład dla wykładnika 6
6 5 2 1
1
2
3
4
5
6
7
2
3
1
5
4
7
6
3
6
5
7
1
4
2
4
5
6
1
7
2
3
5
1
7
2
6
3
4
6
7
4
3
2
5
1
7
4
2
6
3
1
5
Przykład wyznaczania
formuły przewodniej
Przykład dla wykładnika 6
4
7
6
6
3
4
3
1
5
I kolumna – wykładnik 6 przy 3
II kolumna – wykładnik 6 przy 7
III kolumna – wykładnik 6 przy 4
6 5 2 1
Klasyfikacja kwadratów
łacińskich
Stopnia I
1
2
3
4
5
6
...
n
2
3
4
5
6
...
n
1
3
4
5
6
...
n
1
2
4
5
6
...
n
1
2
3
5
6
...
n
1
2
3
4
6
...
n
1
2
3
4
5
itd.
Klasyfikacja kwadratów
łacińskich
Stopnia II
1
2
3
4
5
6
...
2
1
4
3
6
5
...
3
4
5
6
7
8
...
4
3
6
5
8
7
...
5
6
7
8
9
10
...
6
5
8
7
10
9
...
itd.
Klasyfikacja kwadratów
łacińskich
1
2
3
4
5
6
7
8
9 ...
2 3
1
5
6
4
8
9
7 ...
3
1
2
6
4
5
9
7
8 ...
4
5
6
7
8
9 10 11 12 ...
5
6
4
8
9
7 11 12 10 ...
6
4
5
9
7
8 12 10 11 ...
Stopnia III
itd.
Kwadraty łacińskie stopnia I
n
= 2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
Kwadraty łacińskie stopnia I
n
= 3
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1
1
2
3
3
2
2
2
3
1
1
3
3
3
1
2
2
1
dla wykładnika 1 1 3 2
dla wykładnika 2 2 1 3
dla wykładnika 3 3 2 1
Formuły przewodnie
n
= 4
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
W §20 [2] Euler stwierdza: Dla wszystkich przypadków, gdy n
jest liczb
ą parzystą, kwadraty łacińskie stopnia pierwszego
nie posiadaj
ą rozwiązania, tzn. nie jest możliwe znalezienie
dla nich formuł przewodnich.
Liczba kwadratów
magicznych dla zadanego n
n
Liczba odmian
1
0
2
1
3
1 = 1·1 + 0·0
4
3 = 2·1 + 1·1
5
11 = 3·3 + 2·1
6
53 = 4·11 + 3·3
7
309 = 5·53 + 4·11
8
2119 = 6·309 + 5·53
9
16687 = 7·2119 + 6·309
10
148329 = 8·16687 + 7·2119
itd
itd
Obliczanie liczby kwadratów
magicznych
P
, Q, R, S - liczba odmian kwadratów łacińskich, które odpowiadają kolejno
liczbom n, n+1, n+2, n+3
P
n
nQ
R
)
1
( −
+
=
nQ
R
n
S
+
+
=
)
1
(
)
)(
1
(
P
Q
n
Q
R
+
−
=
−
Q
P
Q
R
n
+
−
=
− 1
)
(
R
Q
n
R
S
+
=
−
Obliczanie liczby kwadratów
magicznych
P
, Q, R, S - liczba odmian kwadratów łacińskich, które odpowiadają kolejno
liczbom n, n+1, n+2, n+3
R
Q
R
S
n
+
−
=
Q
P
Q
R
R
Q
R
S
+
−
−
+
−
=
1
Q
P
PR
QR
PR
PQ
S
+
+
+
+
=
2
2
• Alter R., How many Latin squares are there, Amer. Math. Monthly,
82 (6) (1975), 632-634.
• Bose R.C, Shrikhande SS., On the falsity of Euler's conjecture about the
non- existence of 2 orthogonal Latin squares of order 4T+2
, Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, 45 (5) (1959), 734-737.
• Finney D. J., Latin squares of the 6th order, Experientia, 2 (10) (1946),
404-405.
• Hedayat A., On a statistical optimality of magic squares, Stat. Probabil. Lett.,
5 (3) (1987), 191-192.
• Kirton H. C., Mutually orthogonal partitions of the Latin squares, Utilitas
Mathematica, 27 (MAY) (1985), 265-274.
• Parker E. T., Orthogonal Latin squares, Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
45 (6) (1959), 859-862.
• Uko L.U., The anatomy of magic squares, ARS Combinatoria, 67 (2003),
115-128.
• Ullrich P., Officers, playing cards, and sheep - on the history of Eulerian
squares and of the design of experiments
, Metrika, 56 (3) (2002), 189-204.
Dziękuję za
uwagę!
Copyright © by Arczi 2009 All rights reserved