ELEMENTY TERORII WARTOŚCI PIENIĄDZA W CZASIE

1.

Zagadnienie 1 – wartość przyszła pieniądza bez kapitalizacji odsetek (standard

future value – SFV)

:

r – stopa zwrotu w okresie oszczędzania,

n – n-ty okres,

X

0

- kwota wpłacona na początek okresu.

r

X

X

X

∗

+

=

0

0

1

r

n

n

n

X

X

X

∗

+

=

+

1

jeśli n=1, to:

)

(

*

r

r

r

n

X

X

X

X

X

2

1

0

0

0

0

1

+

=

+

∗

+

=

+

uogólniając:

)

(

r

n

i

n

X

SFV

∗

+

=

+

1

0

Przykład:

Pan Kowalski wpłacił na początek bieżącego roku kwotę 100zł. na rachunek bankowy

oprocentowany nominalnie w skali roku -10%. Odsetki nie są kapitalizowane. Oblicz

wartość kapitału na koniec 10 roku oszczędzania.

00

,

200

)

1

,

0

*

10

10

(

*

100

10

=

+

=

SFV

2.

Zagadnienie 2 – wartość przyszła pieniądza z kapitalizacją odsetek (future value –

FV):

r – stopa zwrotu w okresie oszczędzania,

n – n-ty okres,

X

0

- kwota wpłacona na początek okresu.

X

1

X

0

X

n

……………

X

n

1

+

t

r

X

X

X

∗

+

=

0

0

1

r

X

X

X

∗

+

=

1

1

2

z tego:

(

)

(

)

r

X

r

X

X

X

X

X

X

X

X

r

r

r

r

+

=

∗

+

∗

∗

+

=

∗

+

+

∗

+

=

1

2

0

2

0

0

2

0

0

0

0

0

2

*

czyli:

)

(

...

r

X

X

X

X

n

r

n

n

n

+

+

=

=

∗

+

=

+

1

1

0

1

)

(

,

r

X

FV

n

r

n

+

=

1

0

gdzie:

)

(

,

r

FVIV

n

r

n

+

=

1

- czynnik wartości przyszłej (future value interest factor).

Przykład:

Pan Kowalski wpłaca na początek roku kwotę 100zł. na rachunek bankowy

oprocentowany nominalnie w skali roku -10%. Odsetki są kapitalizowane na koniec

każdego roku. Oblicz wartość kapitału na koniec 10 roku oszczędzania.

37

,

259

100

)

1

,

0

1

(

10

10

=

=

+

FV

3.

Zagadnienie 3 – wartość przyszła pieniądza z kapitalizacją odsetek w trakcie okresu

nominalnego:

r – stopa zwrotu w okresie oszczędzania,

n – n-ty okres,

X

0

- kwota wpłacona na początek okresu.

m – ilość okresów kapitalizacji w n-tym okresie nominalnym

)

(

,

,

m

r

X

FV

nm

r

m

n

+

=

1

0

.

X

1

X

0

X

n

……………

X

n

1

+

Efektywna (sumaryczna) stopa procentowa wynosi:

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

−

=

⇒

=

+

+

+

m

r

r

m

r

r

m

e

nm

n

e

Przykład:

Pan Kowalski wpłaca na początek roku kwotę 100zł. na rachunek bankowy

oprocentowany nominalnie w skali roku -10%. Odsetki są kapitalizowane na koniec

każdego kwartału. Oblicz wartość kapitału na koniec 10 roku oszczędzania oraz

efektywną stopę procentową.

m = 12m-cy / 3m-ce = 4

00

,

269

100

)

4

1

,

0

1

(

10

*

4

4

,

10

=

=

+

FV

%

,

,

)

,

(

38

10

1038

0

1

4

4

1

0

1

=

=

−

=

+

r

e

4.

Zagadnienie 4 – wartość bieżąca pieniądza z kapitalizacją odsetek w trakcie okresu

nominalnego

)

(

)

(

,

,

,

,

r

FV

PV

r

PV

FV

n

r

n

r

n

n

r

n

r

n

+

+

=

⇒

=

1

1

, a

)

(

,

r

PVIV

i

r

n

+

=

1

1

- czynnik wartości bieżącej (present value interest factor).

Analogicznie, przy kapitalizacji m-krotnej w okresie stopy procentowej:

)

(

,

,

,

,

m

r

FV

PV

nm

r

m

n

r

m

n

+

=

1

Przykład:

Pan Kowalski ma zamiar zgromadzić w ciągu 10 lat na rachunku bankowym, wpłacając

jedną kwotę na początku okresu oszczędzania, kapitał w wysokości 300,00. Rachunek

oprocentowany jest w wysokości 10% w skali roku. Oblicz jaką kwotę Pan Kowalski

musi wpłacić na dany rachunek przy założeniu rocznej i kwartalnej kapitalizacji

odsetek.

83

,

115

300

)

1

,

0

1

(

10

10

=

=

+

PV

73

,

111

300

)

4

1

,

0

1

(

4

*

10

4

,

10

=

=

+

PV

5.

Zagadnienie 5 – zaktualizowana wartość netto strumienia pieniężnego

Zakładamy, że inwestujemy na początku okresu kwotę Io i uzyskujemy na koniec

każdego okresu różne dochody Ct. Zakładając alternatywę tej samej inwestycji na

rachunku bankowym o stopie procentowej r, można korzystając z poprzednich wzorów

obliczyć:

a. wartość bieżąca dochodów z inwestycji:

∑

+

+

+

+

=

=

+

+

+

=

n

t

t

t

n

n

r

t

r

C

r

C

r

C

r

C

PV

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

...

,

b. zaktualizowaną wartość netto dochodów z inwestycji (wartość dochodów

pomniejszoną o nakład

I

r

C

NPV

n

t

t

t

r

t

0

1

,

)

1

(

1

−

=

∑

+

=

NPV – net prezent value.

Przykład:

Przedsiębiorstwo „Alfa” zainwestowało 10’000 w przedsięwzięcie, które na koniec

każdego z kolejnych okresów obrachunkowych przyniosło następujące dochody netto: 1

- 3000, 2 – 2500, 3 – 3500, 4 – 1000, 5 – 1500. Oblicz zaktualizowaną wartość netto

inwestycji, przyjmując alternatywną stopę procentową w wysokości 10%.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

958

10000

9042

10000

61

,

1

1500

46

,

1

1000

33

,

1

3500

21

,

1

2500

1

,

1

3000

10000

1

1500

1

1000

1

3500

1

2500

1

,

0

1

1

3000

1

,

0

1

1

,

0

1

1

,

0

1

1

,

0

1

5

4

3

2

5

−

=

−

=

−

+

+

+

+

=

−

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

NPV

6.

Zagadnienie 6 – zyskowność prosta inwestycji:

Stopa zyskowności inwestycji:

I

I

NPV

R

0

0

+

=

Przykład:

Dane jak w zagadnieniu 5. Oblicz stopę zyskowności inwestycji.

90

,

0

10000

958

10000

=

−

=

R

7.

Zagadnienie 7 – wewnętrzna stopa zwrotu

Przyjmując, że NPV=0 można obliczyć tzw. wewnętrzną stopę zwrotu (internal rate of

return

) IRR:

0

1

0

1

,

)

1

(

=

−

=

∑

+

=

I

IRR

C

NPV

n

t

t

t

r

t

I

IRR

C

n

t

t

t

0

1

)

1

(

1

=

∑

+

=

Określa ona dochód w stosunku do zainwestowanego kapitału uzyskany w wyniku

realizacji danej inwestycji.

Przykład.

Dokonano inwestycji, w której nakład początkowy 100 przyniósł następujące dochody:

na koniec pierwszego roku 30, drugiego 60, a pod koniec trzeciego 70.

)

1

(

)

1

(

3

2

70

60

)

1

(

30

100

IRR

IRR

IRR

+

+

+

+

+

=

W wyniku obliczeń otrzymuje się:

%

96

,

23

=

IRR

Czyli, chcąc otrzymać taki sam dochód jak z realizowanej inwestycji, należałoby wpłacić

pieniądze na rachunek bankowy oprocentowany 23,96%.