ELEMENTY TERORII WARTOŚCI PIENIĄDZA W CZASIE
1.
Zagadnienie 1 – wartość przyszła pieniądza bez kapitalizacji odsetek (standard
future value – SFV)
:
r – stopa zwrotu w okresie oszczędzania,
n – n-ty okres,
X
0
- kwota wpłacona na początek okresu.
r
X
X
X
∗
+
=
0
0
1
r
n
n
n
X
X
X
∗
+
=
+
1
jeśli n=1, to:
)
(
*
r
r
r
n
X
X
X
X
X
2
1
0
0
0
0
1
+
=
+
∗
+
=
+
uogólniając:
)
(
r
n
i
n
X
SFV
∗
+
=
+
1
0
Przykład:
Pan Kowalski wpłacił na początek bieżącego roku kwotę 100zł. na rachunek bankowy
oprocentowany nominalnie w skali roku -10%. Odsetki nie są kapitalizowane. Oblicz
wartość kapitału na koniec 10 roku oszczędzania.
00
,
200
)
1
,
0
*
10
10
(
*
100
10
=
+
=
SFV
2.
Zagadnienie 2 – wartość przyszła pieniądza z kapitalizacją odsetek (future value –
FV):
r – stopa zwrotu w okresie oszczędzania,
n – n-ty okres,
X
0
- kwota wpłacona na początek okresu.
X
1
X
0
X
n
……………
X
n
1
+
t
r
X
X
X
∗
+
=
0
0
1
r
X
X
X
∗
+
=
1
1
2
z tego:
(
)
(
)
r
X
r
X
X
X
X
X
X
X
X
r
r
r
r
+
=
∗
+
∗
∗
+
=
∗
+
+
∗
+
=
1
2
0
2
0
0
2
0
0
0
0
0
2
*
czyli:
)
(
...
r
X
X
X
X
n
r
n
n
n
+
+
=
=
∗
+
=
+
1
1
0
1
)
(
,
r
X
FV
n
r
n
+
=
1
0
gdzie:
)
(
,
r
FVIV
n
r
n
+
=
1
- czynnik wartości przyszłej (future value interest factor).
Przykład:
Pan Kowalski wpłaca na początek roku kwotę 100zł. na rachunek bankowy
oprocentowany nominalnie w skali roku -10%. Odsetki są kapitalizowane na koniec
każdego roku. Oblicz wartość kapitału na koniec 10 roku oszczędzania.
37
,
259
100
)
1
,
0
1
(
10
10
=
=
+
FV
3.
Zagadnienie 3 – wartość przyszła pieniądza z kapitalizacją odsetek w trakcie okresu
nominalnego:
r – stopa zwrotu w okresie oszczędzania,
n – n-ty okres,
X
0
- kwota wpłacona na początek okresu.
m – ilość okresów kapitalizacji w n-tym okresie nominalnym
)
(
,
,
m
r
X
FV
nm
r
m
n
+
=
1
0
.
X
1
X
0
X
n
……………
X
n
1
+
Efektywna (sumaryczna) stopa procentowa wynosi:
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
−
=
⇒
=
+
+
+
m
r
r
m
r
r
m
e
nm
n
e
Przykład:
Pan Kowalski wpłaca na początek roku kwotę 100zł. na rachunek bankowy
oprocentowany nominalnie w skali roku -10%. Odsetki są kapitalizowane na koniec
każdego kwartału. Oblicz wartość kapitału na koniec 10 roku oszczędzania oraz
efektywną stopę procentową.
m = 12m-cy / 3m-ce = 4
00
,
269
100
)
4
1
,
0
1
(
10
*
4
4
,
10
=
=
+
FV
%
,
,
)
,
(
38
10
1038
0
1
4
4
1
0
1
=
=
−
=
+
r
e
4.
Zagadnienie 4 – wartość bieżąca pieniądza z kapitalizacją odsetek w trakcie okresu
nominalnego
)
(
)
(
,
,
,
,
r
FV
PV
r
PV
FV
n
r
n
r
n
n
r
n
r
n
+
+
=
⇒
=
1
1
, a
)
(
,
r
PVIV
i
r
n
+
=
1
1
- czynnik wartości bieżącej (present value interest factor).
Analogicznie, przy kapitalizacji m-krotnej w okresie stopy procentowej:
)
(
,
,
,
,
m
r
FV
PV
nm
r
m
n
r
m
n
+
=
1
Przykład:
Pan Kowalski ma zamiar zgromadzić w ciągu 10 lat na rachunku bankowym, wpłacając
jedną kwotę na początku okresu oszczędzania, kapitał w wysokości 300,00. Rachunek
oprocentowany jest w wysokości 10% w skali roku. Oblicz jaką kwotę Pan Kowalski
musi wpłacić na dany rachunek przy założeniu rocznej i kwartalnej kapitalizacji
odsetek.
83
,
115
300
)
1
,
0
1
(
10
10
=
=
+
PV
73
,
111
300
)
4
1
,
0
1
(
4
*
10
4
,
10
=
=
+
PV
5.
Zagadnienie 5 – zaktualizowana wartość netto strumienia pieniężnego
Zakładamy, że inwestujemy na początku okresu kwotę Io i uzyskujemy na koniec
każdego okresu różne dochody Ct. Zakładając alternatywę tej samej inwestycji na
rachunku bankowym o stopie procentowej r, można korzystając z poprzednich wzorów
obliczyć:
a. wartość bieżąca dochodów z inwestycji:
∑
+
+
+
+
=
=
+
+
+
=
n
t
t
t
n
n
r
t
r
C
r
C
r
C
r
C
PV
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
...
,
b. zaktualizowaną wartość netto dochodów z inwestycji (wartość dochodów
pomniejszoną o nakład
I
r
C
NPV
n
t
t
t
r
t
0
1
,
)
1
(
1
−
=
∑
+
=
NPV – net prezent value.
Przykład:
Przedsiębiorstwo „Alfa” zainwestowało 10’000 w przedsięwzięcie, które na koniec
każdego z kolejnych okresów obrachunkowych przyniosło następujące dochody netto: 1
- 3000, 2 – 2500, 3 – 3500, 4 – 1000, 5 – 1500. Oblicz zaktualizowaną wartość netto
inwestycji, przyjmując alternatywną stopę procentową w wysokości 10%.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
958
10000
9042
10000
61
,
1
1500
46
,
1
1000
33
,
1
3500
21
,
1
2500
1
,
1
3000
10000
1
1500
1
1000
1
3500
1
2500
1
,
0
1
1
3000
1
,
0
1
1
,
0
1
1
,
0
1
1
,
0
1
5
4
3
2
5
−
=
−
=
−
+
+
+
+
=
−
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
NPV
6.
Zagadnienie 6 – zyskowność prosta inwestycji:
Stopa zyskowności inwestycji:
I
I
NPV
R
0
0
+
=
Przykład:
Dane jak w zagadnieniu 5. Oblicz stopę zyskowności inwestycji.
90
,
0
10000
958
10000
=
−
=
R
7.
Zagadnienie 7 – wewnętrzna stopa zwrotu
Przyjmując, że NPV=0 można obliczyć tzw. wewnętrzną stopę zwrotu (internal rate of
return
) IRR:
0
1
0
1
,
)
1
(
=
−
=
∑
+
=
I
IRR
C
NPV
n
t
t
t
r
t
I
IRR
C
n
t
t
t
0
1
)
1
(
1
=
∑
+
=
Określa ona dochód w stosunku do zainwestowanego kapitału uzyskany w wyniku
realizacji danej inwestycji.
Przykład.
Dokonano inwestycji, w której nakład początkowy 100 przyniósł następujące dochody:
na koniec pierwszego roku 30, drugiego 60, a pod koniec trzeciego 70.
)
1
(
)
1
(
3
2
70
60
)
1
(
30
100
IRR
IRR
IRR
+
+
+
+
+
=
W wyniku obliczeń otrzymuje się:
%
96
,
23
=
IRR
Czyli, chcąc otrzymać taki sam dochód jak z realizowanej inwestycji, należałoby wpłacić
pieniądze na rachunek bankowy oprocentowany 23,96%.
