RADY GENIALNYCH MATEMATYKÓW cz. 3

Autor: dr Stanisław Domoradzki

O kształtowaniu pojęcia funkcji



Celem tej publikacji jest ukazanie poglądu dynamicznego w odniesieniu do pojęcia funkcji, które
w większości podręczników i opracowań przedstawiane jest w ujęciu teorii mnogości jako relacja (pod-
zbiór iloczynu kartezjańskiego). W szkole średniej (mam na myśli gimnazjum i liceum) potrzebujemy
poglądu dynamicznego – funkcja przedstawiana jako zależność jednej zmiennej od drugiej. Jest to
zgodne z podejściem historycznym. Pojęcie funkcji w swoich początkach sięga czasów starożytnych.
Rozwój tego pojęcia można rozbić na kilka etapów



:

– Starożytność – wtedy badano zależność pomiędzy różnymi wielkościami,
– Wieki średnie (XIII–XIV w.) – wtedy pojęcie funkcji zostało sformułowane w sposób jawny, wy-

rażone geometrycznie bądź mechanicznie, ze słownym opisem zależności funkcjonalnej,

– Koniec XVI–początek XVIII w. – wtedy dominowały metody analityczne opisu funkcji, na przy-

klad za pomocą szeregów potęgowych,

– XIX wiek – wtedy uściślono pojęcie funkcji rzeczywistej, w drugiej połowie XIX wieku ukształto-

wało się ogólne pojęcie funkcji z użyciem pojęć teorii zbiorów.

W szkolnym nauczaniu często pierwsze trzy etapy pomija się, z wielka szkodą dla uczniów zaczyna
się od końcowego.
W podręczniku, który omawiamy, Stefan Banach wprowadził najpierw pojęcie zmiennej (o literach,
które w danym zagadnieniu oznaczać mogą rozmaite liczby, będziemy mówić, że oznaczają zmienne)
i podał następujące przykłady:

1. Długość obwodu koła L=2πr gdzie L oznacza obwód koła w cm, r długość promienia w cm, π jest

ściśle określoną liczbą 3,14...

. Długość odcinka na osi liczbowej. Na prostej obieramy początek, zwrot dodatni i jednostkę dłu-

gości. Jeżeli jakiś punkt ma współrzędną s, to długość odcinka OA przy obranej jednostce wy-
nosi s , to jest bezwzględną wartość s. Po czym, żeby uczeń mógł zrozumieć sformułowaną
wcześniej zależność, podaje konkretne przykłady. „Jeżeli na przykład s = +1, +, –1, – itd., to
długość odcinka 0A wynosi odpowiednio +1 = 1, + = , –1 = 1, – =  itd. W tym przykładzie
zmienna s oznaczać może dowolną liczbę dodatnią, ujemną lub zero.”

Pierwsze dwa przykłady są geometryczne i odnoszą się do znanych uczniowi pojęć. Trzeci przykład
związany jest z doświadczeniem dnia codziennego:

3. „Jeżeli ze zwoju sukna o długości 15 m sprzedano x m, to reszta wynosi w metrach: 15-x, zmien-

na x oznacza dowolną liczbę zawartą między 0 a 15. Zapisujemy to: 0≤

x≤15.”

1

S. Banach, Algebra dla III klasy gimnazjalnej, Lwów – Warszawa 1935.



Por.: W. Więsław, Matematyka i jej historia, Opole 1997.

Jak pomóc w przezwyciężaniu trudności w uczeniu się matematyki?



RADY GENIALNYCH MATEMATYKÓW cz. 3

Autor: dr Stanisław Domoradzki

W celu właściwego ukształtowania pojęcia zmiennej autor przedstawia zadania, w tym dwa rozsze-
rzające występowanie zmiennej w fizyce i życiu.

Zapoznań się z zadaniami przedstawionymi poniżej i porównaj je z zadaniami
wprowadzającymi pojęcie zmiennej w podręczniku, z którego korzystasz.

Oto wspomniane zadania:

- Jeżeli v cm

3

żelaza waży Q g, zaś d g/cm

3

oznacza ciężar właściwy żelaza, to Q = vd. Które z liter

oznaczają zmienne?

- Ktoś, mając 50 zł, zapłacił za x kg towaru po 3 zł za kg. Jakie wartości może przyjmować zmienna x?

Pojęcie funkcji zostaje wprowadzone na kilku przykładach:
- Pole kwadratu zależy od długości jego boku. Jeżeli autor przez y oznacza pole kwadratu w cm,

zaś przez x długość jego boku w cm, to y+x

2

. „Jeżeli x = , to odpowiednia wartość y = 4, jeżeli

x = 5, to odpowiednia wartość y = 5 itd. Każdej więc wartości zmiennej x odpowiada jedna tyl-
ko wartość zmiennej y. Zdanie to wyrażamy jeszcze inaczej: zmienna y jest funkcją zmiennej x.
Z uwagi na to, że y oznacza pole kwadratu, zaś x długość jego boku, mówimy pole kwadratu jest
funkcją długości jego boku. W tym zagadnieniu zmienna x może przyjmować tylko wartości do-
datnie, gdyż długość boku jest liczbą dodatnią.”

- Przykład dotyczący doświadczeń dnia codziennego: y = x, jeśli 1 kg pewnego towaru wynosi

 zł, to mówimy: „wartość

3

towaru jest funkcją ilości kg tego towaru”.

Kolejny przykład związany jest z tabelką ceny biletów kolejowych III klasy w zależności od drogi:

s km od 1–6

7–9

10–1

13–15

16–17

18–0

1–3

4–6

7–9

z zł

0,40

0,60

0,80

1

1,0

1,40

1,60

1,80



Autor zwraca uwagę na odczytanie, jeżeli np. s = 19, to odpowiednia wartość z = 1,40.... „Zmienna
z jest funkcją zmiennej s; cena biletu jest funkcją długości drogi, na jaką ten bilet jest wystawiony.
W tym przykładzie zmienna s może przyjmować tylko wartości dodatnie.” Zauważmy, że pojęcie
funkcji zostało rozszerzone o przykład funkcji, która nie jest różnowartościowa. W uwagach do tego
przykładu zauważono, że znajomość ceny biletu kolejowego nie wystarcza do oznaczenia długości
drogi, na jaką bilet był wystawiony.

3

Wtedy na dzisiejsze słowo „wartość” używano słowa „cena”.

ZASTANÓW SIĘ



RADY GENIALNYCH MATEMATYKÓW cz. 3

Autor: dr Stanisław Domoradzki

- W następnym przykładzie Banach rozszerza zakres zmiennej zależnej na liczby ujemne i zero.

Przykład pochodzi z fizyki. „Przypuśćmy, że po osi porusza się punkt. Obierzmy dowolną chwilę za
początkową, a za jednostkę czasu 1 sekundę. Niechaj t oznacza liczbę względną, określającą chwilę,
w której punkt ruchomy obserwujemy, zaś s współrzędną punktu ruchomego w tej chwili”. Poło-
żenie podano w tabelce:

t

–

–1

0

+1

+

s

–3

0

+1

0

–1

„Również i tutaj każdej wartości zmiennej t odpowiada jedna tylko wartość zmiennej s. Zmienna s
jest funkcją zmiennej t. Współrzędna punktu jest funkcją czasu. [...] Gdyby punkt był w spoczynku,
wówczas zmienna s przyjmowałaby tę samą wartość dla każdej wartości zmiennej t. W tym przypad-
ku zmienna s jest również funkcją zmiennej t.

Zapoczątkuj dyskusję z uczniami na temat funkcji stałej w oparciu o przykłady
wprowadzające pojęcie funkcji z podręcznika uczniów.

Dopiero po tych przykładach podana jest definicja funkcji: „ilekroć dwie zmienne, na przykład x i y,
są tak ze sobą związane, że każdej wartości zmiennej x odpowiada tylko jedna wartość zmiennej y,
mówimy, że zmienna y jest f u n k c j ą z m i e n n e j x”.

Całość wprowadzenia dopełnia szeroki zestaw zadań związanych z matematyką, naukami przyrod-
niczymi i doświadczeniami dnia codziennego typu:
- Wyjaśnij, dlaczego pierwsza zmienna jest funkcją drugiej:

a) Objętość sześcianu, długość krawędzi,
b) Powierzchnia sześcianu, długość krawędzi,
c) Pole koła, obwód koła,
d) Pole prostokąta o podstawie 5 cm, długość wysokości,
e) Objętość 1 kg żelaza, jego temperatura,
f) Temperatura pewnego człowieka, czas (w którym ją mierzono),
g) Wzrost pewnego człowieka, jego wiek.

ZAPLANUJ



RADY GENIALNYCH MATEMATYKÓW cz. 3

Autor: dr Stanisław Domoradzki

W których z podanych przykładów potrafisz podać odpowiedni wzór?
W następnym zadaniu uczeń ma wyjaśnić, dlaczego pierwsza zmienna nie jest funkcją drugiej:

a) Pole trójkąta, długość jego podstawy,
b) Czas, temperatura chorego w tym czasie,
c) Waga paczki (brutto), ciężar towaru (netto),
d) Objętość prostopadłościanu, jego wysokość.

Stopniowo autor przechodzi do zadań coraz trudniejszych, na przykład:
- Z miejscowości A wyjeżdża pociąg o godzinie 1.00 i przyjeżdża do miejscowości B o godzinie 17.00.
Odległość obu miejscowości wynosi x km. Jeżeli v oznacza przeciętną prędkość pociągu, czy v jest
funkcją x? Czy x jest funkcją v? Podaj odpowiednie wzory.

Następne zadania dotyczą jeszcze bardziej skomplikowanych problemów związanych z obserwacja-
mi przyrody: Czy ciężary 1 cm3 wody w dwóch punktach na tym samym równoleżniku są równe? Czy
można powiedzieć, że czas wahnienia wahadła o długości 1 m, jest funkcją kąta wychylenia?

Po takim wprowadzeniu pojawia się paragraf Funkcje określone wzorami. Dla konkretnych zadań (pole
kwadratu zależy od długości boku) autor snuje rozważania, czy uda się znaleźć wzór dla obliczenia
wartości funkcji. Są zadania, które pozwolą później określić złożenie funkcji: oblicz f(a+1) dla rożnych
funkcji y = f(x)), przeciwobraz, parzystość i nieparzystość funkcji, wartości najmniejsze, największe,
równość wartości rożnych funkcji. Następny rozdział (VI) zatytułowany Tablice składa się z dwóch
części: Tablice matematyczne, Tablice empiryczne. Tablice służą szybkiemu i łatwemu wyznaczeniu
wartości funkcji odpowiadających danym wartościom zmiennej niezależnej. Tablice empiryczne po-
dają wartości zależnej zmiennej przy pomocy pomiarów. Jako przykłady Banach podaje tablice sta-
tystyczne. W rozdziale następnym (VII) wprowadzony został układ współrzędnych, pojęcie wykresu
funkcji wprowadzone najpierw nieformalnie, przy pomocy tablicy.

Oto fragment podręcznika, w którym jest wprowadzone pojęcie wykresu.



RADY GENIALNYCH MATEMATYKÓW cz. 3

Autor: dr Stanisław Domoradzki

Rozwiąż z uczniami zadania proponowane w podręczniku Banacha.

ZAPLANUJ