5. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A.

I. Znaleźć przekształcenie Laplace’a dla funkcji

1.

t

t

f

3

cos

)

(

2

2.

t

t

f

4

sin

)

(

2

3.

t

t

t

f

8

cos

8

sin

)

(

2

2

4.

t

t

t

f

7

cos

7

sin

)

(

2

2

5.

t

e

t

f

t

2

sin

)

(

6.

)

3

(

2

sin

)

(

t

t

f

7.

t

sh

t

f

3

)

(

8.

cht

t

t

f

)

(

9.

t

t

t

f

5

cos

)

(

2

10.

2

3

)

(

)

(

1

a

t

a

at

sh

t

f

11.

)

(

1

)

(

1

)

(

a

t

t

t

f

12.

)

4

(

1

)

(

5

t

e

t

f

t

13.

]

)

-

1(t

-

1(t)

[

sin

)

(

t

t

f

14.

0

),

(

1

)

(

1

)

(

T

T

t

t

t

f

T

T

t

T

t

15.

t

t

e

t

f

t

2

cos

)

(

5

16.

2

3

)

(

t

e

t

f

t

17.

)

cos(

)

(

b

at

t

f

18.

7

3

5

)

(

2

3

t

t

t

f

II. Obliczyć splot funkcji oraz transformatę splotu

1.

t

t sin

2.

2

t

t

3.

t

t

4.

t

t

e

e

5.

t

t sin

cos

6.

3

2

t

t

7.

t

e

t

8.

t

e

t

cos

III. Obliczyć transformatę funkcji okresowej

o okresie T, gdzie

1.

6

,

3

,

0

dla

1

)

6

,

3

(

dla

0

)

3

,

0

(

dla

2

)

(

t

t

t

t

t

t

f

,

6

T

2.

2

,

1

,

0

dla

0

)

2

,

1

(

dla

1

)

1

,

0

(

dla

1

)

(

t

t

t

t

t

t

f

,

2

T

3.

4

,

1

(

dla

0

1

dla

1

)

1

,

0

dla

2

)

(

t

t

t

t

t

f

,

4

T

4.

2

,

1

dla

2

1

,

0

dla

)

(

t

t

t

t

t

f

,

2

T

Odpowiedzi.

I 1.

)

36

(

18

2

2

z

z

z

2.

)

64

(

32

2

z

z

3.

z

1

4.

196

2

z

z

5.

4

)

1

(

2

2

z

6.

4

2

2

3z

-

e

z

7.

9

3

2

z

8.

2

2

2

)

1

(

1

z

z

9.

3

2

2

)

25

(

)

75

(

2

z

z

z

10.

)

(

1

2

2

2

a

z

z

11.

)

1

(

1

az

e

z

12.

)

5

(

4

5

1

z

e

z

13.

)

e

(1

z

-

1

1

2

z

14.

)

1

(

2

1

1

z

T

e

z

T

15.

2

2

2

)

4

)

5

((

4

)

5

(

z

z

16.

3)

-

2(z

-3

17.

z

a

b

e

a

z

z

2

2

18.

z

z

z

7

6

30

3

4

II. 1.

t

t

t

f

sin

)

(

)

1

(

1

2

2

)

(

z

z

z

F

2.

4

12

1

)

(

t

t

f

5

2

)

(

z

z

F

3.

3

6

1

)

(

t

t

f

4

)

(

z

z

F

4.

t

te

t

f

)

(

2

)

1

(

)

(

z

z

F

5.

t

t

t

f

sin

)

(

2

1

2

2

)

1

(

)

(

z

z

z

F

6.

6

60

1

)

(

t

t

f

7

12

)

(

z

z

F

7.

1

-

t

-

)

(

t

e

t

f

)

1

(

1

2

)

(

z

z

z

F

8.

)

cos

sin

(

)

(

2

1

t

t

e

t

f

t

)

1

)(

1

(

)

(

2

z

z

z

z

F

III 1.

)

1

(

2

3z

e

z

2.

z

z

e

e

z

1

1

1

3.

))

1

(

(

1

1

4

1

1

2

z

z

z

z

e

e

z

4.

z

z

e

e

z 1

1

1

2