MATEMATYKA - WYKŁAD Z 11.10.2010r., CZ 1. – ZBIORY 

K@di Company®  

All Rights Reserved

 

 

Podstawowe zbiory liczbowe:

 

 

= {1, 2, 3, …} 

  = {0, 1, 2, …} 

 

- liczby całkowite 

 

- liczby wymierne 

 

- liczby rzeczywiste 

 

- symbol zarezerwowany dla liczb zespolonych 

 

Kwantyfikatory:

 

ogólny 

 

czyta się jako: dla każdego x należącego do zbioru A (…) 

szczegółowy 

 

czyta się jako: istnieje takie x należące do zbioru A, że (…) 

 

Podstawowe pojęcia logiki matematycznej:

 

definicja  wypowiedź służąca do wyjaśnienia nowego pojęcia. 

twierdzenie  zdanie  orzekające,  najczęściej  mające  postać  implikacji,  posiadające  dwa  człony:  założenie  i 

tezę. Rozumowanie wykazujące prawdziwość twierdzenia, nazywamy dowodem. 
Twierdzenie, które powstało z danego przez zamianę założenia z tezą, nazywamy odwrotnym 
względem danego. Nie każde twierdzenie odwrotne  jest prawdziwe.  

aksjomat  pewnik; zdanie systemu dedukcyjnego, przyjęte bez dowodu jako wyjściowe twierdzenie tego 

systemu.  Z  aksjomatów  wyprowadza  się  dalsze  twierdzenia,  stosując  określone  w  systemie 
reguły. 

(nie są to dosłowne definicje tych pojęć podane na wykładzie) 

 

Równoważność:

 

symbol: 

 

 

czyta się jako: (…) wtedy i tylko wtedy, gdy (…)  skrót: wkw (warunek konieczny i wystarczający) 
 

Definicje: 

•

 

Mówimy, że zbiór 

 jest ograniczony od góry wtedy i tylko wtedy, gdy 

. 

•

 

Mówimy, że zbiór 

jest ograniczony od dołu wtedy i tylko wtedy, gdy 

. 

•

 

Mówimy, że zbiór 

 jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony od góry i od dołu. 

Dla powyższych definicji: 

•

 

M jest majorantą zbioru A, 

•

 

m jest minorantą zbioru B. 

 

Twierdzenie: 

Zbiór 

 jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy 

. 

 

 

Symbole związane ze zbiorami:

 

 

suma zbiorów A i B 

 

iloczyn zbiorów A i B (część wspólna) 

  zbiór A zawarty w zbiorze B 

 

element a należy do zbioru A 

 

element a nie należy do zbioru A 

 

zbiór pusty 

Funkcja signum: 

zwraca znak argumentu, jest zdefiniowana 
następująco: 

 

Wartość bezwzględna (moduł): 
funkcja zdefiniowana następująco: 

 

Po rozpisaniu: 

 

Z powyższych definicji wynika zatem wzór:  

. 

 

 

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej: 

wartość bezwzględna liczby jest równa jej odległości od  
zera na osi liczbowej. 

Twierdzenie:

 

Niech 

 i 

. Wtedy: 

1) 

, 

2)

 

.

 

 

Własności wartości bezwzględnej:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Definicje: 

Kresem górnym (łac. supremum) zbioru 

 

nazywamy najmniejszą majorantę zbioru A. 
Kresem dolnym (łac. infimum) zbioru 

 

nazywamy największą minorantę zbioru B. 

Symbole:

 

kres górny zbioru A:  

 

kres dolny zbioru B: 

 

 

Przykłady:

 

•

 

zbiór liczb naturalnych nie posiada majoranty, a 
zatem  nie  posiada  kresu  górnego  i  nie  jest 
ograniczony od góry; 

•

 

zbiór 

  posiada  majoranty:  2,  3,  1,  5,  itd., 

ale  kresem  górnym  jest  1,  co  zapisujemy: 

, 

•

 

zbiór 

  posiada  minoranty:  -5,  -1,  0,  itp., 

ale  kresem  dolnym  jest  0,  co  zapisujemy: 

. 

 

Aksjomat ciągłości zbioru liczb rzeczywistych: 

Każdy zbiór ograniczony od góry posiada kres górny. 

Jeżeli powyższe zdanie przyjmiemy za aksjomat, to twierdzeniem na nim opartym będzie zdanie: 

Każdy zbiór ograniczony od dołu posiada kres dolny. 

 

Otoczenie punktu:

 

otoczenie punktu 

: 

 

często oznacza się, jako: 

 

 

otoczenie 

: 

zbiór 

 

otoczenie 

: 

zbiór 

 

 

Sąsiedztwo punktu: 

, gdzie V oznacza otoczenie punktu x

0

.