Matematyka - semestr III

1

Spis tre´

sci

1

Analiza zespolona

4

1.1

Postacie liczby zespolonej i dzia̷lania na nich . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Metryka w ℂ, otoczenia i obszary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Poj

,

ecie funkcji, cz

,

e´sci rzeczywiste i urojone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Granica i ci

,

ag̷lo´s´

c funkcji

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Funkcje elementarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5.1

Funkcja wyk̷ladnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5.2

Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.3

Funkcje hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.4

Funkcja logarytmiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6

Funkcja pot

,

egowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.7

Pochodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.8

Funkcje holomorficzne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.9

Szeregi pot

,

egowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2

R´

ownania r´

o ˙zniczkowe I rz

,

edu

27

3

R´

ownania r´

o ˙zniczkowe rz

,

edu 𝑛.

33

3.1

Sprowadzanie r´

ownania rz

,

edu 𝑛 do r´

ownania pierwszego rz

,

edu . . . . . . . . .

34

3.2

Przypomnienie poj

,

e´

c i tw. z analizy matematycznej . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.3

Dow´

od Twierdzenia Picarda-Lindel¨

ofa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4

Og´

olna teoria r´

owna´

n liniowych rz

,

edu 𝑛.

39

4.1

Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.2

Twierdzenie Picarda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.3

Wyznacznik Wro´

nskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.4

Uk̷lad fundamentalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.5

Wymiar przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.6

Rozwi

,

azanie og´

olne r´

ownania niejednorodnego . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5

Uk̷lady r´

owna´

n liniowych

48

5.1

Teoria r´

owna´

n I rz

,

edu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.2

Macierz fundamentana i wro´

nskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.3

Istnienie uk̷ladu fundamentalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.4

Niejednorodne uk̷lady r´

owna´

n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.5

Uk̷lady r´

owna´

n o sta̷lych wsp´

o̷lczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2

5.6

Konstrukcja macierzy fundamentalnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.7

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

6

Transformaty ca̷lkowe

68

6.1

Ca̷lki z funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej . . . . . . . . . . . . . . . .

68

6.2

Definicja operator´

ow ca̷lkowych: Fouriera i Laplace’a . . . . . . . . . . . . . .

70

6.3

Orygina̷ly i transformaty Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

6.4

Podstawowe w̷lasno´sci przekszta̷lcenia Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

6.5

Transformaty Laplace’a wa˙zniejszych funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

6.6

Zastosowania operatora ca̷lkowego Laplace’a do ca̷lkowania r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych 74

3

1

Analiza zespolona

1.1

Postacie liczby zespolonej i dzia̷lania na nich

Definicja 1.1. Postacie liczby zespolonej

a) algebraiczna: 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦,

𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦- sprz

,

e˙zenie

dzia̷lania: 𝑧

1

= 𝑥

1

+ 𝑖𝑦

1

, 𝑧

2

= 𝑥

2

+ 𝑖𝑦

2

𝑧

1

± 𝑧

2

:= (𝑥

1

± 𝑥

2

) + 𝑖(𝑦

1

± 𝑖𝑦

2

)

𝑧

1

⋅ 𝑧

2

= (𝑥

1

+ 𝑖𝑦

1

) ⋅ (𝑥

2

+ 𝑖𝑦

2

) := (𝑥

1

𝑥

2

− 𝑦

1

𝑦

2

) + 𝑖(𝑥

2

𝑦

1

+ 𝑥

1

𝑦

2

)

𝑧

1

𝑧

2

:=

𝑧

1

⋅ 𝑧

2

𝑧

2

⋅ 𝑧

2

𝑧

2

∕= 0

b) trygonometryczna: 𝑧 = ∣𝑧∣(cos(𝜑) + 𝑖 sin(𝜑)), dla 𝑧 ∕= 0.

∣𝑧∣ :=

√

𝑥

2

+ 𝑦

2

− modu̷l liczby zespolonej,

arg(𝑧) := 𝜑 ∈ [0, 2𝜋) − argument g̷l´

owny

Arg(z) := {𝜑 + 2𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ}.

dzia̷lania: 𝑧

1

= ∣𝑧

1

∣(cos(𝜑

1

) + 𝑖 sin(𝜑

1

)), 𝑧

2

= ∣𝑧

2

∣(cos(𝜑

2

) + 𝑖 sin(𝜑

2

))

𝑧

1

⋅ 𝑧

2

:= ∣𝑧

1

∣∣𝑧

2

∣(cos(𝜑

1

+ 𝜑

2

) + 𝑖 sin(𝜑

1

+ 𝜑

2

))

𝑧

1

𝑧

2

:=

∣𝑧

1

∣

∣𝑧

2

∣

(cos(𝜑

1

− 𝜑

2

) + 𝑖 sin(𝜑

1

− 𝜑

2

))

𝑧

2

∕= 0

c) wyk̷ladnicza 𝑧 := ∣𝑧∣𝑒

𝑖𝜑

,

wz´

or Eulera 𝑒

𝑖𝜑

= 𝑐𝑜𝑠(𝜑) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜑)

dzia̷lania: 𝑧

1

= 𝑒

𝑖𝜑

1

, 𝑧

2

= 𝑒

𝑖𝜑

2

𝑧

1

⋅ 𝑧

2

:= ∣𝑧

1

⋅ 𝑧

2

∣𝑒

𝑖(𝜑

1

+𝜑

2

)

𝑧

1

𝑧

2

:=

∣𝑧

1

∣

∣𝑧

2

∣

𝑒

𝑖(𝜑

1

−𝜑

2

)

𝑧

2

∕= 0

Oznaczenia 1.2. Zbi´

or liczb zespolonych ℂ := {𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 : 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} mo˙zna uto˙zsamia´c z

p̷laszczyzn

,

a dwuwymiarow

,

a ℝ

2

, kt´

or

,

a tak˙ze b

,

edziemy oznacza´

c symbolem ℂ.

4

1.2

Metryka w ℂ, otoczenia i obszary

W p̷laszczy´

znie zespolonej ℂ wprowadzamy metryk

,

e euklidesow

,

a

𝑑(𝑧

1

, 𝑧

2

) :=

√

(Re𝑧

1

− Re𝑧

2

)

2

+ (Im𝑧

1

− Im𝑧

2

)

2

= ∣𝑧

1

− 𝑧

2

∣.

Definicja 1.3. Kul

,

a otwart

,

a (odp. domkni

,

et

,

a) 𝐾(𝑧

0

, 𝑟) (odp. 𝐾(𝑧

0

, 𝑟)) o ´

srodku w punkcie

𝑧

0

∈ ℂ i promieniu 𝑟 > 0 nazywamy zbi´or

𝐾(𝑧

0

, 𝑟) = {𝑧 ∈ ℂ : 𝑑(𝑧, 𝑧

0

) = ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑟}

𝐾(𝑧

0

, 𝑟) = {𝑧 ∈ ℂ : 𝑑(𝑧, 𝑧

0

) = ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ ≤ 𝑟}

Definicja 1.4. Pier´

scieniem 𝑃 (𝑧

0

, 𝑅

1

, 𝑅

2

) o ´

srodku w punkcie 𝑧

0

∈ ℂ i promieniach

0 ≤ 𝑅

1

, 𝑅

2

≤ ∞ nazywamy zbi´

or

𝑃 (𝑧

0

, 𝑅

1

, 𝑅

2

) := {𝑧 ∈ ℂ : 𝑅

1

< 𝑑(𝑧, 𝑧

0

) = ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑅

2

}

Przyk̷lad 1.5. P´

o̷lp̷laszczyzn

,

e 𝐻

1

= {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ

2

: 𝑦 > 𝑥} zapiszemy teraz

𝐻

1

= {𝑧 ∈ ℂ : Im𝑧 > Re𝑧} = {𝑧 ∈ ℂ : 𝜋/4 < arg𝑧 < 5/4𝜋}

Przyk̷lad 1.6. P´

o̷lp̷laszczyzn

,

e 𝐻

2

= {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ

2

:

√

3

3

< 𝑦 <

√

3𝑥} zapiszemy teraz

𝐻

2

= {𝑧 ∈ ℂ :

√

3

3

Re𝑧 < Im𝑧 <

√

3Re𝑧} = {𝑧 ∈ ℂ : 𝜋/6 < arg𝑧 < 𝜋/3}

Przyk̷lad 1.7. Zbi´

or postaci

𝐿 = {𝑧 ∈ ℂ : ∣𝑧 − 𝑧

1

∣ = ∣𝑧 − 𝑧

2

∣}

jest symetraln

,

a odcinka o ko´

ncach 𝑧

1

, 𝑧

2

. Natomiat

𝐻

1

= {𝑧 ∈ ℂ : ∣𝑧 − 𝑧

1

∣ < ∣𝑧 − 𝑧

2

∣}

opisuje p´

o̷lp̷laszczyzn

,

e powstal

,

a z ℂ rozci

,

et

,

a prost

,

a 𝐿, zawieraj

,

ac

,

a punkt 𝑧

1

. Analogicznie

𝐻

2

= {𝑧 ∈ ℂ : ∣𝑧 − 𝑧

1

∣ > ∣𝑧 − 𝑧

2

∣}

jest p´

o̷lp̷laszczyzn

,

e powstal

,

a z ℂ rozci

,

et

,

a prost

,

a 𝐿, zawieraj

,

ac

,

a punkt 𝑧

2

.

Zadanie 1.8. Niech

𝐷

1

= {𝑧 ∈ ℂ : 𝜋 < arg𝑧 < 2𝜋 ∧ 0 < ∣𝑧∣ < −2𝑠𝑖𝑛(arg𝑧)} .

Co to za zbi´

or?

5

Odp. 𝐷

1

= {𝑧 ∈ ℂ : ∣𝑧 − (−𝑖)∣ < 1}

Zadanie 1.9. Niech 𝐷

2

= {𝑧 ∈ ℂ : −𝜋/2 < arg𝑧 < 𝜋/2 ∧ 2𝑐𝑜𝑠(arg𝑧) < ∣𝑧∣ < 4𝑐𝑜𝑠(arg𝑧)} .

Co to za zbi´

or?

Odp. 𝐷

2

= {𝑧 ∈ ℂ : 1 < ∣𝑧 − 1∣ < 2}.

Definicja 1.10. Zbi´

or 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) = {𝑧 ∈ ℂ : 𝑑(𝑧, 𝑧

0

) = ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝜖} nazywamy 𝜖-otoczeniem

punktu 𝑧

0

∈ ℂ w p̷laszczy´znie ℂ.

Definicja 1.11. S

,

asiedztwem lub otoczeniem nak̷lutym punktu 𝑧

0

∈ ℂ w p̷laszczy´znie ℂ nazy-

wamy zbi´

or 𝑈 (𝑧

0

, 𝜖) ∖ {𝑧

0

} = {𝑧 ∈ ℂ : 0 < ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝜖}.

Definicja 1.12. Obszarem 𝐷 nazywamy zbi´

or punkt´

ow p̷laszczyzny ¯

ℂ spe̷lniaj

,

acy warunki:

- (otwarto´

s´

c) ∀𝑎 ∈ 𝐷

∃ 𝑈 (𝑎, 𝜖)-otoczenie takie, ˙ze 𝑈 (𝑎, 𝜖) ⊂ 𝐷,

- (̷lukowa sp´

ojno´

s´

c) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷 istnieje krzywa o ko´

ncach a,b zawarta w 𝐷.

Krzyw

,

a o ko´

ncach 𝑎, 𝑏 nazywamy obraz funkcji ci

,

ag̷lej 𝛾 : [𝑡

0

, 𝑡

1

] → ¯

ℂ takiej, ˙ze

𝛾(𝑡

0

) = 𝑎, 𝛾(𝑡

1

) = 𝑏.

Uwaga 1.13. Dla zbior´

ow otwartych zawartych w ℂ ̷lukowa sp´ojno´s´c pokrywa si

,

e ze spo-

jno´

sci

,

a zbior´

ow.

Definicja 1.14. Obszar 𝐷 ⊂ ℂ nazywamy jednosp´ojnym, je´sli jego brzeg jest zbiorem sp´ojnym.
W przeciwnym przypadku obszar nazywamy wielosp´

ojnym.

(*) P´

o´

zniej podamy inn

,

a definicj

,

e jednosp´

ojno´sci.

1.3

Poj

,

ecie funkcji, cz

,

e´

sci rzeczywiste i urojone

Definicja 1.15. Odwzorowanie

𝐷 ⊂ ℂ 𝑓 : 𝐷 → ℂ

𝑧 → 𝑤 = 𝑓 (𝑧)

nazywamy funkcj

,

e zespolon

,

a zmiennej zespolonej.

6

Oznaczenia 1.16. Argument 𝑧 funkcji 𝑓 i jej warto´

s´

c 𝑤 = 𝑓 (𝑧) rozk̷ladamy na cz

,

e´

s´

c rzeczy-

wist

,

a i urojon

,

a tzn. 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣. Otrzymujemy w ten spos´

ob rozk̷lad funkcji

𝑤 = 𝑓 (𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)

na cz

,

e´

s´

c rzeczywist

,

a Re𝑓 (𝑧) := 𝑢(𝑥, 𝑦) i cz

,

e´

s´

c urojon

,

a Im𝑓 (𝑧) := 𝑣(𝑥, 𝑦).

Uwaga 1.17. Cz

,

e´

s´

c rzeczywista i urojona funkcji zespolonej 𝑓 jest funkcj

,

a rzeczywist

,

a dw´

och

zmiennych 𝑥, 𝑦.

Przyk̷lad 1.18. Znale´

z´

c cz

,

e´

s´

c rzeczywist

,

a i urojon

,

a funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑖𝑧

2

.

𝑓 (𝑧) = 𝑖𝑧

2

= 𝑖(𝑥 + 𝑖𝑦)

2

= 𝑖(𝑥

2

+ 2𝑖𝑥𝑦 − 𝑦

2

) = 𝑖𝑥

2

− 2𝑥𝑦 − 𝑖𝑦

2

= −2𝑥𝑦 + 𝑖(𝑥

2

− 𝑦

2

). Zatem

Re𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) = −2𝑥𝑦,

Im𝑓 (𝑧) = 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑥

2

− 𝑦

2

.

Zadanie 1.19. : Znale´

z´

c cz

,

e´

s´

c rzeczywist

,

a i urojon

,

a funkcji:

1. 𝑓 (𝑧) = 𝑧

3

+ 𝑖¯

𝑧

2

,

2. 𝑓 (𝑧) =

𝑧+1
𝑧−1

.

Przyk̷lad 1.20. Dane s

,

a cz

,

e´

s´

c rzeczywista 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦 i urojona 𝑣(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦 funkcji

zespolonej 𝑓 . Przedstawi´

c funkcj

,

e 𝑓 jako funkcj

,

e zmiennej zespolonej 𝑧.

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦,

¯

𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦

⇒

𝑥 =

𝑧 + ¯

𝑧

2

,

𝑦 =

𝑧 − ¯

𝑧

2𝑖

.

Podstawiamy

𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦) + 𝑖4𝑥𝑦 =

( 𝑧 + ¯

𝑧

2

)

−

( 𝑧 − ¯

𝑧

2𝑖

)

+ 𝑖4

( 𝑧 + ¯

𝑧

2

) ( 𝑧 − ¯

𝑧

2𝑖

)

= 𝑧

( 1

2

−

1

2𝑖

)

+ ¯

𝑧

( 1

2

+

1

2𝑖

)

− (𝑧

2

− ¯

𝑧

2

) = 𝑧

( 1

2

+ 𝑖

1

2

)

+ ¯

𝑧

( 1

2

− 𝑖

1

2

)

+ 𝑧

2

− ¯

𝑧

2

.

Zadanie 1.21. : Dana jest cz

,

e´

s´

c rzeczywista 𝑢(𝑥, 𝑦) i cz

,

e´

s´

c urojona 𝑣(𝑥, 𝑦) funkcji zespolonej

𝑓 . Przedstawi´

c t

,

e funkcj

,

e jako funkcj

,

e zmiennej zespolonej 𝑧:

1. 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥

4

− 6𝑥

2

𝑦

2

+ 𝑦

4

− 𝑥, 𝑣(𝑥, 𝑦) = 4𝑥

3

𝑦 − 4𝑥𝑦

3

− 𝑦,

2. 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥

2

− 𝑦

2

+ 𝑥, 𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 + 𝑦,

7

3. 𝑢(𝑥, 𝑦) =

𝑥

𝑥

2

+𝑦

2

+ 𝑥, 𝑣(𝑥, 𝑦) =

−𝑦

𝑥

2

+𝑦

2

− 𝑦.

Zadanie 1.22. Dane s

,

a cz

,

e´

sci rzeczywista i urojona

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑦𝑒

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑦

𝑣(𝑥, 𝑦) = −𝑦𝑒

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑒

𝑥

𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦

funkcji zespolonej 𝑓 . Zapisa´

c 𝑓 jako funkcj

,

e zmiennej zespolonej 𝑧.

Odp. 𝑓 (𝑧) = 𝑧𝑒

𝑧

.[Rozwi

,

azanie tego zadania b

,

edzie mo˙zliwe dopiero, gdy poznamy definicj

,

e

funkcji 𝑒

𝑧

oraz r´

ownania Cauchy’ego-Riemana.]

Zadanie 1.23. Dane s

,

a cz

,

e´

sci rzeczywista i urojona

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐ℎ𝑦

𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠ℎ𝑦

funkcji zespolonej 𝑓 . Zapisa´

c 𝑓 jako funkcj

,

e zmiennej zespolonej 𝑧.

Odp.

𝑓 (𝑧) = 𝑠𝑖𝑛(𝑧).

[Rozwi

,

azanie tego zadania b

,

edzie mo˙zliwe dopiero, gdy poznamy

definicj

,

e funkcji 𝑠𝑖𝑛𝑧 oraz r´

ownania Cauchy’ego-Riemana.]

1.4

Granica i ci

,

ag̷lo´

s´

c funkcji

Definicja 1.24. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧

0

-punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → ℂ. M´owimy, ˙ze 𝑓 ma

granic

,

e w punkcie 𝑧

0

r´

own

,

a 𝑔 ∈ ℂ je´sli:

∀𝜖 > 0

∃𝛿 > 0

∀𝑧 ∈ 𝐷

0 < 𝑑(𝑧, 𝑧

0

) < 𝛿 ⇒ 𝑑(𝑓 (𝑧), 𝑔) < 𝜖.

Lemat 1.25. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧

0

-punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → ℂ.

lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) = 𝑔 ⇔

lim

(𝑥,𝑦)→(𝑥

0

,𝑦

0

)

𝑢(𝑥, 𝑦) = Re𝑔

i

lim

(𝑥,𝑦)→(𝑥

0

,𝑦

0

)

𝑣(𝑥, 𝑦) = Im𝑔.

Definicja 1.26. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧

0

-punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑧

0

∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → ℂ. M´owimy,

˙ze funkcja 𝑓 jest ci

,

ag̷la w punkcie 𝑧

0

je´

sli:

∀𝜖 > 0

∃𝛿 > 0

∀𝑧 ∈ 𝐷

𝑑(𝑧, 𝑧

0

) < 𝛿 ⇒ 𝑑(𝑓 (𝑧), 𝑔) < 𝜖.

Lemat 1.27. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧

0

-punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑧

0

∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → ℂ. Funkcja 𝑓

jest ci

,

ag̷la w punkcie 𝑧

0

wtedy i tylko wtedy, gdy

lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) = 𝑓 (𝑧

0

).

Lemat 1.28. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧

0

-punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑧

0

∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → ℂ, 𝑓(𝑧) =

𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦). 𝑓 jest ci

,

ag̷la jest ci

,

ag̷la w 𝑧

0

⇔ funkcje 𝑢 i 𝑣 s

,

a ciag̷le w (𝑥

0

, 𝑦

0

), gdzie

𝑧

0

= 𝑥

0

+ 𝑖𝑦

0

.

8

1.5

Funkcje elementarne

1.5.1

Funkcja wyk̷ladnicza

Definicja 1.29. Funkcj

,

e wyk̷ladnicz

,

a w dziedzinie zespolonej zdefiniujemy tak samo jak w

analizie rzeczywistej tzn.

∀𝑧 ∈ ℂ 𝑒

𝑧

:= lim

𝑛→∞

(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛

.

Wyka˙zemy istnienie tej granicy dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ.

1. Najpierw poka˙zemy zbie˙zno´s´

c modu̷l´

ow tzn.

lim

𝑛→∞





(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛





= 𝑒

𝑥

.

(1.1)

Skorzystamy z w̷lasno´sci, ˙ze ∣𝑧

𝑛

∣ = ∣𝑧∣

𝑛

. Zatem





(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛





=

[

(

1 +

𝑥

𝑛

)

2

+

𝑦

2

𝑛

2

]

𝑛/2

=

[

1 +

2𝑥

𝑛

+

𝑥

2

+ 𝑦

2

𝑛

2

]

𝑛/2

.

Przechodz

,

ac do granicy otrzymamy, ˙ze

lim

𝑛→∞





(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛





= 𝑒

𝑥

,

czyli zachodzi (1.1).

2. Niech arg𝑧 oznacza argument g̷l´

owny liczby 𝑧. Poka˙zemy, ˙ze

lim

𝑛→∞

arg

[(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛

]

= 𝑦.

(1.2)

Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze

𝑎𝑟𝑔

(

1 +

𝑧

𝑛

)

= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑦

𝑛

1 +

𝑥
𝑛

.

Poniewa˙z arg(𝑧

𝑛

) = 𝑛arg(𝑧), to

arg

[(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛

]

= 𝑛𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

(

𝑦

𝑛

1 +

𝑥
𝑛

)

.

Przechodz

,

ac do granicy otrzymamy, ˙ze

lim

𝑛→∞

(

𝑛𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

(

𝑦

𝑛

1 +

𝑥
𝑛

))

= 𝑦,

czyli zachodzi (1.2).

9

3. Korzystamy z w̷lasno´sci zbie˙zno´sci ci

,

agu liczb zespolonych:

[𝑤

𝑛

= ∣𝑤

𝑛

∣𝑒

𝑖arg(𝑤

𝑛

)

→ ∣𝑤∣ = ∣𝑤∣𝑒

𝑖arg𝑤

] ⇐⇒ [(∣𝑤

𝑛

∣ → ∣𝑤∣) ∧ (arg(𝑤

𝑛

) → arg(𝑤))]

U nas

∣𝑤

𝑛

∣ :=





(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛





−→ 𝑒

𝑥

.

arg(𝑤

𝑛

) := arg

[(

1 +

𝑧

𝑛

)

𝑛

]

−→ 𝑦.

St

,

ad i z jednoznaczno´sci zapisu liczby zespolonej w postaci wyk̷ladniczej otrzymamy, ˙ze

𝑤 = ∣𝑤∣𝑒

𝑖arg(𝑤)

= 𝑒

𝑥

𝑒

𝑖𝑦

= 𝑒

𝑥

(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦)
|

{z

}

.

Oznaczylismy 𝑤 = 𝑒

𝑧

, zatem

𝑒

𝑧

= 𝑒

𝑥

(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦).

(1.3)

Udowodnili´smy

Twierdzenie 1.30. Dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ zachodzi:

𝑒

𝑧

= 𝑒

𝑥

(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦)

Wniosek 1.31.

𝑒

𝑧

= 𝑒

𝑥+𝑖𝑦

= 𝑒

𝑥

𝑒

𝑖𝑦

.

W̷lasno´sci

a) Cz

,

e´s´

c rzeczywista i urojona funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑒

𝑧

wynosz

,

a odpowiednio

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑦,

𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑦.

b) ∣𝑒

𝑧

∣ = 𝑒

𝑥

.

c) ∀𝑧 ∈ ℂ,

𝑒

𝑧

∕= 0.

Przypu´s´

cmy, ˙ze

𝑒

𝑧

= 0 ⇐⇒ 𝑒

𝑥

(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦) = 0 ⇐⇒ 𝑒

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑦 = 0 ∧ 𝑒

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑦 = 0.

Poniewa˙z 𝑒

𝑥

∕= 0 to 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 0 i 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 0. Pierwsza r´

owno´s´

c zachodzi dla 𝑦 =

𝜋

2

+ 𝑘𝜋,

druga za´s dla 𝑦 = 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 ∈ ℤ. Poniewa˙z obie r´owno´sci nie mog

,

a zachodzi´

c

jednocze´snie, otrzymana sprzeczno´s´

c dowodzi, ˙ze 𝑒

𝑧

∕= 0 dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ.

10

d) ∀𝑧

1

, 𝑧

2

∈ ℂ 𝑒

𝑧

1

+𝑧

2

= 𝑒

𝑧

1

⋅ 𝑒

𝑧

2

.

e) funkcja 𝑒

𝑧

jest okresowa o okresie podstawowym 𝑇 = 2𝜋𝑖.

Dla 𝑘 ∈ ℤ korzystaj

,

ac z okresowo´sci funkcji trygonometrycznych 𝑠𝑖𝑛𝑥 i 𝑐𝑜𝑠𝑥 mamy

𝑒

𝑧+2𝑘𝜋𝑖

= 𝑒

𝑧

𝑒

2𝑘𝜋𝑖

= 𝑒

𝑧

(𝑐𝑜𝑠(2𝑘𝜋) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(2𝑘𝜋)) = 𝑒

𝑧

(1 + 𝑖0) = 𝑒

𝑧

.

f) funkcja 𝑒

𝑧

jest rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji wyk̷ladniczej 𝑒

𝑥

.

Niech 𝑧 = 𝑥 + 𝑖0 ∈ ℝ. Wtedy 𝑒

𝑧

= 𝑒

𝑥

(𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖𝑠𝑖𝑛0) = 𝑒

𝑥

(1 + 𝑖0) = 𝑒

𝑥

.

g) funkcja wyk̷ladnicza 𝑒

𝑧

rozwija si

,

e w szereg Maclaurina tzn.

𝑒

𝑧

=

∞

∑

𝑘=1

𝑧

𝑘

𝑘!

dla ka˙zdego

𝑧 ∈ ℂ.

Zadanie 1.32. Znale´

z´

c obraz prostej pionowej 𝐿

1

= {𝑧 ∈ ℂ : Re𝑧 = 𝑎}

Odp. okr

,

ag {𝑧 ∈ ℂ : ∣𝑧∣ = 𝑎}

Zadanie 1.33. Znale´

z´

c obraz prostej poziomej 𝐿

2

= {𝑧 ∈ ℂ : Im𝑧 = 𝑏}, gdzie 0 ≤ 𝑏 < 2𝜋.

Odp. p´

o̷lprosta {𝑧 ∈ ℂ : 𝑧 = 𝑟𝑒

𝑖𝑏

, 𝑟 ∈ (0, +∞)}.

1.5.2

Funkcje trygonometryczne

Definicja 1.34. Funkcje 𝑐𝑜𝑠𝑧 i 𝑠𝑖𝑛𝑧 w dziedzinie zespolonej definiujemy nast

,

epuj

,

aco:

𝑐𝑜𝑠𝑧 :=

𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑒

−𝑖𝑧

2

,

𝑠𝑖𝑛𝑧 :=

𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

2𝑖

,

𝑡𝑔𝑧 =

𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑐𝑜𝑠𝑧

=

𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

𝑖(𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑒

−𝑖𝑧

)

,

𝑐𝑡𝑔𝑧 =

𝑐𝑜𝑠𝑧

𝑠𝑖𝑛𝑧

=

𝑖(𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑒

−𝑖𝑧

)

(𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

)

.

W̷lasno´sci

11

a) 𝑐𝑜𝑠

2

𝑧 + 𝑠𝑖𝑛

2

𝑧 = 1.

𝑐𝑜𝑠

2

𝑧 + 𝑠𝑖𝑛

2

𝑧 =

( 𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑒

−𝑖𝑧

2

)

2

+

( 𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

2𝑖

)

2

=

1

4

(𝑒

2𝑖𝑧

+ 2𝑒

𝑖𝑧

𝑒

−𝑖𝑧

+ 𝑒

−2𝑖𝑧

) −

1

4

(𝑒

2𝑖𝑧

− 2𝑒

𝑖𝑧

𝑒

−𝑖𝑧

+ 𝑒

−2𝑖𝑧

)

=

4𝑒

𝑖𝑧

𝑒

−2𝑖𝑧

4

= 1.

b) Cz

,

e´sci rzeczywiste i urojone funkcji trygonometrycznych wynosz

,

a odpowiednio:

𝑠𝑖𝑛𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠ℎ𝑦

𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐ℎ𝑦 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠ℎ𝑦

𝑡𝑔𝑧 =

𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ2𝑦

+ 𝑖

𝑠ℎ2𝑦

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ2𝑦

Dow´

od podamy dla funkcji 𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑠𝑖𝑛𝑧 =

𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

2𝑖

=

𝑒

𝑖(𝑥+𝑖𝑦)

− 𝑒

−𝑖(𝑥+𝑖𝑦)

2𝑖

=

𝑒

−𝑦+𝑖𝑥

− 𝑒

𝑦−𝑖𝑥

2𝑖

=

𝑒

−𝑦

(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥) − 𝑒

𝑦

(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥)

2𝑖

= 𝑐𝑜𝑠𝑥

( 𝑒

−𝑦

− 𝑒

𝑦

2𝑖

)

+ 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥

( 𝑒

−𝑦

+ 𝑒

𝑦

2𝑖

)

= 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠ℎ𝑦.

c) Funkcje trygonometryczne 𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑐𝑜𝑠𝑧, 𝑡𝑔𝑧 s

,

a rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji

𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑡𝑔𝑥.

Niech 𝑧 = 𝑥 + 𝑖0 ∈ ℝ. Wtedy

𝑠𝑖𝑛𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐ℎ0 + 𝑖𝑐𝑜𝑠0𝑠ℎ0 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑖0 = 𝑠𝑖𝑛𝑥.

𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐ℎ0 − 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠ℎ0 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑖0 = 𝑐𝑜𝑠𝑥.

𝑡𝑔𝑧 =

𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ0

+ 𝑖

𝑠ℎ0

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ0

=

2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

1 + (2𝑐𝑜𝑠

2

𝑥 − 1)

= 𝑡𝑔𝑥.

d) Funkcje trygonometryczne s

,

a okresowe tzn.

12

– 𝑠𝑖𝑛𝑧 i 𝑐𝑜𝑠𝑧 o okresie podstawowym 𝑇 = 2𝜋.

– 𝑡𝑔𝑧 i 𝑐𝑡𝑔𝑧 o okresie podstawowym 𝑇 = 𝜋.

𝑠𝑖𝑛(𝑧 + 2𝜋) =𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑖𝑦 + 2𝜋) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 2𝜋)𝑐ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 2𝜋)𝑠ℎ𝑦

=𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠ℎ𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑧.

Dow´

od dla 𝑐𝑜𝑠𝑧 jest analogiczny.

𝑡𝑔(𝑧 + 𝜋) =

𝑠𝑖𝑛2(𝑥 + 𝜋)

𝑐𝑜𝑠2(𝑥 + 𝜋) + 𝑐ℎ2𝑦

+ 𝑖

𝑠ℎ2𝑦

𝑐𝑜𝑠2(𝑥 + 𝜋) + 𝑐ℎ2𝑦

=

𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ2𝑦

+ 𝑖

𝑠ℎ2𝑦

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ2𝑦

= 𝑡𝑔𝑧.

e) ∣𝑠𝑖𝑛𝑧∣ =

√𝑠𝑖𝑛

2

𝑥 + 𝑠ℎ

2

𝑦 oraz ∣𝑐𝑜𝑠𝑧∣ =

√𝑐𝑜𝑠

2

𝑥 + 𝑠ℎ

2

𝑦.

Poniewa˙z funkcja hiperboliczna 𝑠ℎ𝑦 jest nieograniczona, wynika st

,

a, ˙ze w przeciwie´

nstwie

do funkcji rzeczywistych funkcje 𝑠𝑖𝑛𝑧 i 𝑐𝑜𝑠𝑧 s

,

a nieograniczone.

f) 𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑡𝑔𝑧, 𝑐𝑡𝑧 to funkcje nieparzyste, natomiast 𝑐𝑜𝑠𝑧 jest funkcj

,

a parzyst

,

a

tzn. 𝑠𝑖𝑛(−𝑧) = −𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑐𝑜𝑧(−𝑧) = 𝑐𝑜𝑠𝑧.

g) 𝑠𝑖𝑛(¯

𝑧) = 𝑠𝑖𝑛𝑧,

𝑐𝑜𝑠(¯

𝑧) = 𝑐𝑜𝑠𝑧

𝑡𝑔(¯

𝑧) = 𝑡𝑔𝑧

𝑐𝑡𝑔(¯

𝑧) = 𝑐𝑡𝑔𝑧.

h) 𝑠𝑖𝑛(𝑧

1

± 𝑧

2

) = 𝑠𝑖𝑛𝑧

1

𝑐𝑜𝑠𝑧

2

± 𝑐𝑜𝑠𝑧

1

𝑠𝑖𝑛𝑧

2

.

𝑐𝑜𝑠(𝑧

1

+ 𝑧

2

) = 𝑐𝑜𝑠𝑧

1

𝑐𝑜𝑠𝑧

2

− 𝑠𝑖𝑛𝑧

1

𝑠𝑖𝑛𝑧

2

.

𝑐𝑜𝑠(𝑧

1

− 𝑧

2

) = 𝑐𝑜𝑠𝑧

1

𝑐𝑜𝑠𝑧

2

+ 𝑠𝑖𝑛𝑧

1

𝑠𝑖𝑛𝑧

2

.

i) Funkcje 𝑠𝑖𝑛𝑧 oraz 𝑐𝑜𝑠𝑧 przyjmuj

,

a wszystkie warto´sci z p̷laszczyzny otwartej ℂ.

Funkcje 𝑡𝑔𝑧 i 𝑐𝑡𝑔𝑧 omijaj

,

a dwie warto´sci 𝑖, −𝑖, natomiast przyjmuj

,

a warto´s´

c ∞, 𝑡𝑔𝑧 w

punktach 𝑧

𝑘

=

𝜋

2

+ 𝑘𝜋, 𝑐𝑡𝑔𝑧 w punktach 𝑧

𝑘

= 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.

1.5.3

Funkcje hiperboliczne

Definicja 1.35. Funkcje 𝑐ℎ𝑧 i 𝑠ℎ𝑧 w dziedzinie zespolonej definiujemy tak samo jak w dziedzinie
rzeczywistej tzn.

𝑐ℎ𝑧 :=

𝑒

𝑧

+ 𝑒

−𝑧

2

,

𝑠ℎ𝑧 :=

𝑒

𝑧

− 𝑒

−𝑧

2

,

𝑡ℎ𝑧 :=

𝑠ℎ𝑧

𝑐ℎ𝑧

=

𝑒

𝑧

− 𝑒

−𝑧

𝑒

𝑧

+ 𝑒

−𝑧

,

𝑐𝑡ℎ𝑧 :=

𝑐ℎ𝑧

𝑠ℎ𝑧

=

𝑒

𝑧

+ 𝑒

−𝑧

𝑒

𝑧

− 𝑒

−𝑧

.

13

W̷lasno´sci

a) 𝑐ℎ

2

𝑧 − 𝑠ℎ

2

𝑧 = 1 dla ∀𝑧 ∈ ℂ.

b) Cz

,

e´sci rzeczywiste i urojone funkcji hiperbolicznych wynosz

,

a odpowiednio:

𝑠ℎ𝑧 = 𝑠ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑐ℎ𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦,

𝑐ℎ𝑧 = 𝑐ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠ℎ𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦,

𝑡ℎ𝑧 =

𝑠ℎ2𝑥

𝑐ℎ2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑦

+ 𝑖

𝑠𝑖𝑛2𝑦

𝑐ℎ2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑦

.

c) Funkcje hiperboliczne 𝑠ℎ𝑧, 𝑐ℎ𝑧, 𝑡ℎ𝑧, 𝑐𝑡ℎ𝑧 s

,

a rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji

𝑠ℎ𝑥, 𝑐ℎ𝑥, 𝑡ℎ𝑥, 𝑐𝑡ℎ𝑥.

d) Funkcje hiperboliczne s

,

a okresowe tzn.

– 𝑠ℎ𝑧 i 𝑐ℎ𝑧 o okresie podstawowym 𝑇 = 2𝜋𝑖.

– 𝑡ℎ𝑧 i 𝑐𝑡ℎ𝑧 o okresie podstawowym 𝑇 = 𝜋𝑖.

e) ∣𝑠ℎ𝑧∣ =

√𝑠ℎ

2

𝑥 + 𝑠𝑖𝑛

2

𝑦 oraz ∣𝑐ℎ𝑧∣ =

√𝑠ℎ

2

𝑥 + 𝑐𝑜𝑠

2

𝑦.

f) 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑧 = 𝑐ℎ𝑧,

𝑠𝑖𝑛𝑖𝑧 = 𝑖𝑠ℎ(𝑧).

Zadanie 1.36. Rozwi

,

aza´

c r´

ownania:

1. 𝑐𝑜𝑠𝑧 = 4,

2. 𝑠𝑖𝑛𝑧 = −2𝑖,

3. (𝑧

4

− 1) sin 𝜋𝑧 = 0,

4. (𝑧

6

+ 1)𝑐ℎ𝑧 = 0,

5. Wykaza´

c, ˙ze 𝑡𝑎𝑛(𝑧) ∕= ±𝑖 dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ.

Zadanie 1.37. Znale´

z´

c obrazy prostych 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 oraz 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡:

1. przy odwzorowaniu 𝑓 (𝑧) = 𝑠𝑖𝑛𝑧,

2. przy odwzorowaniu 𝑓 (𝑧) = 𝑡𝑔𝑧.

14

Odpowiedz:

a) Obrazami prostych 𝑥 = const ∕= 0 s

,

a ga̷l

,

ezie hiperboli o r´

ownaniu

(

𝑢

2

sin

2

𝑥

−

𝑣

2

cos

2

𝑥

)

= 1,

za´s obrazami prostych 𝑦 = const ∕= 0 s

,

a p´

o̷lelipsy o r´

ownaniu

𝑢

2

1
4

(𝑒

𝑦

+ 𝑒

−𝑦

)

+

𝑣

2

1
4

(𝑒

𝑦

+ 𝑒

−𝑦

)

= 1.

Hiperbole s

,

a ortogonalne do elips.

b) Obrazami prostych 𝑥 = const ∕= 0 jest p

,

ek hiperboliczny okr

,

eg´

ow

(

𝑢 +

cos 2𝑥

sin 2𝑥

)

+ 𝑣

2

=

1

sin 2𝑥

przechodz

,

acych przez 𝑤 = ±𝑖, za´s obrazami prostych 𝑦 = const ∕= 0 jest p

,

ek eliptyczny

okr

,

eg´

ow

𝑢

2

+

(

𝑣 −

cosh 2𝑦

sinh 2𝑦

)

=

1

sinh 2𝑦

,

wzgl

,

edem kt´

orych punkty 𝑤 = ±𝑖 s

,

a symetryczne.

1.5.4

Funkcja logarytmiczna

Niech 𝑧 ∈ ℂ ∖ {0}. Ka˙zd

,

a liczb

,

e zespolon

,

a 𝑤 spe̷lniaj

,

ac

,

a r´

ownanie

𝑒

𝑤

= 𝑧

nazywamy logarytmem liczby 𝑧 i oznaczamy 𝑙𝑛𝑧. Niech

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑒

𝑤

= 𝑒

𝑢+𝑖𝑣

= 𝑒

𝑢

(𝑐𝑜𝑠𝑣 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑣).

(1.4)

Zatem ∣𝑧∣ = 𝑒

𝑢

czyli 𝑢 = 𝑙𝑛∣𝑧∣ = ln

√𝑥

2

+ 𝑦

2

. Z (1.4) wynika, ˙ze 𝑣 = arg𝑧 + 2𝑘𝜋 dla pewnego

𝑘 ∈ ℤ, gdzie arg𝑧 oznacza argument g̷l´owny liczby 𝑧.

Ka˙zda liczba zespolona 𝑧 ∈ ℂ ∖ {0} ma niesko´nczenie wiele logarytm´ow wyra˙zonych wzorem

𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣 = 𝑙𝑛∣𝑧∣ + 𝑖(arg𝑧 + 2𝑘𝜋),

𝑘 ∈ ℤ.

15

Definicja 1.38. Funkcj

,

e zdefiniowan

,

a wzorem

𝐿𝑛𝑧 = 𝑙𝑛∣𝑧∣ + 𝑖𝐴𝑟𝑔𝑧

(1.5)

dla 𝑧 ∕= 0 nazywamy funkcj

,

a logarytmiczn

,

a.

Uwaga 1.39. Funkcja 𝐿𝑛𝑧 jest niesko´

nczenie wielowarto´

sciowa.

Definicja 1.40. Funkcj

,

e

𝑙𝑛𝑧 = 𝑙𝑛∣𝑧∣ + 𝑖arg𝑧,

−𝜋 < arg𝑧 ≤ 𝜋

(1.6)

nazywamy ga̷lezi

,

a g̷l´

own

,

a logarytmu. Z (1.5) i (1.6) wynika, ˙ze

𝐿𝑛𝑧 = 𝑙𝑛𝑧 + 𝑖2𝑘𝜋,

𝑘 ∈ ℤ.

Uwaga 1.41. W ka˙zdym obszarze jednosp´

ojnym nie zawieraj

,

acym 0 i ∞ istnieje jednoznaczna

ga̷l

,

a´

z logarytmu. Takim obszarem jest np. p̷laszczyzna rozci

,

eta wzd̷lu˙z osi ujemnej tzn.

𝐸 = ℂ ∖ {𝑥 ∈ ℝ : 𝑥 ≤ 0}.

Przyk̷lad 1.42. Policzy´

c 𝐿𝑛(1)?

𝑧 = 1 =⇒ ∣𝑧∣ = 1 ∧ 𝐴𝑟𝑔(1) = 0 + 2𝑘𝜋 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 𝐿𝑛(1) = 𝑙𝑛∣1∣ + 𝑖𝐴𝑟𝑔(1) = 𝑖2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Przyk̷lad 1.43. Policzy´

c 𝐿𝑛(−1)?

𝑧 = −1 =⇒ ∣𝑧∣ = 1 ∧ 𝐴𝑟𝑔(−1) = 𝜋 + 2𝑘𝜋 = 𝑖(2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 𝐿𝑛(−1) = 𝑙𝑛∣ − 1∣ + 𝑖𝐴𝑟𝑔(−1) = 𝑖(2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Zadanie 1.44. Wykaza´

c, ˙ze funkcje odwrotne do f. trygonometrycznych i hiperbolicznych

wyra˙zaj

,

a si

,

e za pomoc

,

a funkcji logarytmicznej nast

,

epuj

,

acymi wzorami:

1. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑧 = −𝑖𝐿𝑛(𝑖𝑧 +

√

1 − 𝑧

2

),

2. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑧 = −𝑖𝐿𝑛(𝑧 +

√

𝑧

2

− 1),

3. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 =

1

2𝑖

𝐿𝑛

(

1+𝑖𝑧
1−𝑖𝑧

),

4. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑧 = −

1

2𝑖

𝐿𝑛

(

𝑖𝑧+1
𝑖𝑧−1

),

5. 𝑎𝑟𝑐𝑠ℎ𝑧 = 𝐿𝑛(𝑧 +

√

𝑧

2

+ 1),

6. 𝑎𝑟𝑐𝑐ℎ𝑧 = 𝑙𝑛(𝑧 +

√

𝑧

2

− 1),

7. 𝑎𝑟𝑐𝑡ℎ𝑧 =

1
2

𝐿𝑛

(

1+𝑧
1−𝑧

),

8. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡ℎ𝑧 =

1
2

𝐿𝑛

(

𝑧+1
𝑧−1

).

16

1.6

Funkcja pot

,

egowa

Definicja 1.45. Niech 𝜇 b

,

edzie dowoln

,

a liczb

,

a zespolon

,

a, 𝐸 obszarem sp´

ojnym w kt´

orym ist-

nieje jednoznaczna ga̷l

,

a´

z logarytmu zmiennej 𝑧. Funkcj

,

e potegow

,

a o wyk̷ladniku 𝜇 nazywamy

funkcj

,

e zdefiniowan

,

a wzorem

𝑧

𝜇

= 𝑒

𝜇𝐿𝑛𝑧

.

(1.7)

Uwaga 1.46. Jest to tak˙ze fukcja wielowarto´

sciowa. Ga̷l

,

ezi

,

a g̷l´

own

,

a tej funkcji nazywamy

ga̷l

,

a´

z zdefiniowan

,

a za pomoc

,

a ga̷l

,

ezi g̷l´

ownej logarytmu tzn.

𝑒

𝜇𝑙𝑛𝑧

.

Przyk̷lad 1.47. Policzy´

c 𝑖

𝑖

? Wiemy, ˙ze 𝑧

𝜇

= 𝑒

𝜇𝐿𝑛𝑧

. Zatem

𝐿𝑛(𝑖) = 𝑙𝑛∣𝑖∣ + 𝑖(𝜋/2 + 2𝑘𝜋) = (2𝑘 +

1

2

)𝜋𝑖, 𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 𝑖 ln(𝑖) = [(2𝑘 +

1

2

)𝜋𝑖]𝑖 = −(2𝑘 +

1

2

)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 𝑖

𝑖

= 𝑒

(2𝑘+

1
2

)𝜋

, 𝑘 ∈ ℤ

Przyk̷lad 1.48. Policzy´

c 1

1

? Wiemy, ˙ze 𝑧

𝜇

= 𝑒

𝜇𝐿𝑛𝑧

. Zatem

𝐿𝑛(1) = 𝑙𝑛∣1∣ + 𝑖2𝑘𝜋 = 2𝑘𝜋𝑖, 𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 1 ln(1) = 2𝑘𝜋𝑖, 𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 1

1

= 𝑒

2𝑘𝜋𝑖

𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 1

1

= 𝑐𝑜𝑠(2𝑘𝜋) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(2𝑘𝜋) = 1 𝑘 ∈ ℤ

Przyk̷lad 1.49. Szczeg´

olnym przyk̷ladem funkcji pot

,

egowej jest funkcja

𝑛

√

𝑧 = 𝑒

(1/𝑛)𝑙𝑛𝑧

zwana

pierwiastkiem 𝑛-stopnia z liczby 𝑧 ∈ ℂ ∖ {0}. W ka˙zdym obszarze jednosp´ojnym nie za-
wieraj

,

acym zera i ∞ istnieje dok̷ladnie 𝑛 ga̷l

,

ezi r´

o˙zni

,

acych si

,

e czynnikiem 𝑒

2𝑘𝜋𝑖/𝑛

,

𝑘 =

0, 1, . . . 𝑛 − 1.

Uwaga 1.50. Wz´

or Moivre’a wynika z definicji funkcji pot

,

egowej.

17

1.7

Pochodna

Definicja 1.51. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧

0

-punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑧

0

∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → ℂ. Je´sli

istnieje granica w̷la´

sciwa ilorazu r´

o˙znicowego

lim

Δ𝑧→0

𝑓 (𝑧

0

+ Δ𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

)

Δ𝑧

,

Δ𝑧 := 𝑧 − 𝑧

0

to nazywamy j

,

a pochodn

,

a funkcji 𝑓 w punkcie 𝑧

0

i oznaczamy 𝑓

′

(𝑧

0

).

Inny zapis

𝑓

′

(𝑧

0

) := lim

𝑧→𝑧

0

𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

)

𝑧 − 𝑧

0

.

Lemat 1.52. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧 ∈ 𝐷 -punkt skupienia zbioru 𝑓, 𝑔 : 𝐷 → ℂ. Je˙zeli funkcje 𝑓 i
𝑔 maj

,

a pochodn

,

a w punkcie 𝑧, to

1. (𝑓 ± 𝑔)

′

(𝑧) = 𝑓

′

(𝑧) ± 𝑔

′

(𝑧).

2. (𝑓 𝑔)

′

(𝑧) = 𝑓

′

(𝑧)𝑔(𝑧) + 𝑓 (𝑧)𝑔

′

(𝑧).

3.

(

𝑓

𝑔

)

′

(𝑧) =

𝑓

′

(𝑧)𝑔(𝑧)−𝑓 (𝑧)𝑔

′

(𝑧)

[𝑔(𝑧)]

2

dla

𝑧 /

∈ 𝑔

−1

(0).

Lemat 1.53. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧

0

∈ 𝐷-punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑔 : 𝐷 → 𝔻

′

⊂ ℂ, 𝑤

0

= 𝑔(𝑧

0

) ∈

𝐷

′

-punkt skupienia zbioru 𝐷

′

, 𝑓 : 𝐷

′

→ ℂ. Je˙zeli funkcja 𝑓 i 𝑔 maj

,

a pochodne odpowiednio

w punkcie 𝑤

0

i 𝑧

0

, to

(𝑓 ∘ 𝑔)

′

(𝑧

0

) = 𝑓

′

(𝑔(𝑧

0

))𝑔

′

(𝑧

0

).

Twierdzenie 1.54. (Warunek konieczny istnienia pochodnej) Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧

0

-punkt skupi-

enia zbioru 𝐷, 𝑧

0

∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → 𝐶, 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦). Je˙zeli fnkcja 𝑓 ma w punkcie

𝑧

0

= 𝑥

0

+ 𝑖𝑦

0

pochodn

,

a 𝑓

′

(𝑧

0

), to istniej

,

a w punkcie (𝑥

0

, 𝑦

0

) pochodne cz

,

astkowe

∂𝑢
∂𝑥

,

∂𝑢
∂𝑦

,

∂𝑣
∂𝑥

,

∂𝑣
∂𝑦

i spe̷lniaj

,

a w punkcie (𝑥

0

, 𝑦

0

) warunki:

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

),

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = −

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

),

zwane warunkami Cauchy’ego-Riemanna.

Dow´

od. Zak̷ladamy, ˙ze istnieje

𝑓

′

(𝑧

0

) = lim

Δ𝑧→0

𝑓 (𝑧

0

+ Δ𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

)

Δ𝑧

.

Niech Δ𝑧 = Δ𝑥 + 𝑖Δ𝑦

18

(1) Δ𝑦 = 0 ⇒ Δ𝑧 = Δ𝑥

𝑓

′

(𝑧

0

) = lim

Δ𝑥→0

𝑢(𝑥

0

+ Δ𝑥, 𝑦

0

) + 𝑖𝑣(𝑥

0

+ Δ𝑥, 𝑦

0

) − 𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

) − 𝑖𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑥

= lim

Δ𝑥→0

[ 𝑢(𝑥

0

+ Δ𝑥, 𝑦

0

) − 𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑥

+ 𝑖

𝑣(𝑥

0

+ Δ𝑥, 𝑦

0

) − 𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑥

]

=

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

).

(2) Δ𝑥 = 0 ⇒ Δ𝑧 = 𝑖Δ𝑦

𝑓

′

(𝑧

0

) = lim

Δ𝑦→0

𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

+ Δ𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

+ Δ𝑦) − 𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

) − 𝑖𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

)

𝑖Δ𝑦

= lim

Δ𝑦→0

[ 𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

+ Δ𝑦) − 𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

)

𝑖Δ𝑦

+

𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

+ Δ𝑦) − 𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑦

]

= −𝑖

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) +

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

).

Zatem

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = −𝑖

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) +

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

).

St

,

ad

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

oraz

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = −

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

).

Wniosek 1.55. Je˙zeli istnieje pochodna funkcji 𝑓 w punkcie 𝑧

0

, to:

𝑓

′

(𝑧

0

) =

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) − 𝑖

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

=

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) − 𝑖

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

).

Wniosek 1.56. Pochodne cz

,

astkowe funkcji 𝑓 wyra˙zaj

,

a si

,

e wzorami

∂𝑓

∂𝑥

(𝑧) =

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥, 𝑦) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥, 𝑦)

∂𝑓

∂𝑦

(𝑧) =

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥, 𝑦) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥, 𝑦).

19

St

,

ad i z wniosku 1.56 otrzymamy nast

,

epuj

,

ace wzory na pochodn

,

a funkcji 𝑓 w punkcie 𝑧

0

.

𝑓

′

(𝑧

0

) =

∂𝑓

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = −𝑖

∂𝑓

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

).

Twierdzenie 1.57. (Warunek dostateczny istnienia pochodnej) Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧

0

-punkt

skupienia zbioru 𝐷, 𝑧

0

∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → 𝐶, 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦). Je˙zeli funkcje 𝑢(𝑥, 𝑦) i

𝑣(𝑥, 𝑦) s

,

a r´

o˙zniczkowalne w punkcie (𝑥

0

, 𝑦

0

) i spe̷lniaj

,

a w tym punkcie warunki Cauchy’ego

Riemanna, to funkcja 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) ma pochodn

,

a 𝑓

′

(𝑧

0

).

Dow´

od. Funkcje 𝑢 i 𝑣 s

,

a r´

o˙zniczkowalne w punkcie (𝑥

0

, 𝑦

0

), wi

,

ec

(1)

Δ𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

) = 𝑢(𝑥, 𝑦) − 𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)Δ𝑥 +

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)Δ𝑦 + 𝑜

1

(∣Δ𝑧∣),

gdzie ∣Δ𝑧∣ =

√(Δ𝑥)

2

+ (Δ𝑦)

2

, 𝑜

1

jest wielko´sci

,

a ma̷lego rz

,

edu tzn. lim

Δ𝑧→0

𝑜

1

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

= 0.

Analogicznie

(2)

Δ𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

) = 𝑣(𝑥, 𝑦) − 𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)Δ𝑥 +

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)Δ𝑦 + 𝑜

2

(∣Δ𝑧∣),

𝑜

2

jest wielko´sci

,

a ma̷lego rz

,

edu tzn. lim

Δ𝑧→0

𝑜

2

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

= 0.

Δ𝑓 (𝑧

0

) = 𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

).

(3)

Δ𝑓 (𝑧

0

) = 𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧

0

) = Δ𝑢(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖Δ𝑣(𝑥

0

, 𝑦

0

).

Podstawiaj

,

ac (1) i (2) do (3) otrzymamy:

Δ𝑓

Δ𝑧

(𝑧

0

) =

Δ𝑢

Δ𝑧

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

Δ𝑣

Δ𝑧

(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

( ∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑥

Δ𝑧

+

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑦

Δ𝑧

)

+

𝑜

1

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

+ 𝑖

( ∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑥

Δ𝑧

+

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

Δ𝑦

Δ𝑧

)

+ 𝑖

𝑜

2

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

=

( ∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

) Δ𝑥

Δ𝑧

+

( ∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

) Δ𝑦

Δ𝑧

+

𝑜

1

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

+ 𝑖

𝑜

2

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

.

Korzystaj

,

ac z za̷lo˙zenia, ˙ze funkcje 𝑢(𝑥, 𝑦) i 𝑣(𝑥, 𝑦) spe̷lniaj

,

a warunki Cauchy’ego-Riemanna

∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) =

∂𝑣

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

i

∂𝑢

∂𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = −

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

20

otrzymamy, ˙ze

Δ𝑓

Δ𝑧

(𝑧

0

) =

( ∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

) ( Δ𝑥 + 𝑖Δ𝑦

Δ𝑧

)

+

𝑜

1

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

+ 𝑖

𝑜

2

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

.

Zatem

lim

Δ𝑧→0

Δ𝑓

Δ𝑧

(𝑧

0

) = lim

Δ𝑧→0

( ∂𝑢

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) + 𝑖

∂𝑣

∂𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

)

+

𝑜

1

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

+ 𝑖

𝑜

2

(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧

.

St

,

ad wynika, ˙ze istnieje granica w̷la´sciwa ilorazu r´

o˙znicowego w punkcie 𝑧

0

, czyli istnieje

pochodna 𝑓

′

(𝑧

0

).

Przyk̷lad 1.58. Dla jakich punkt´

ow 𝑧 ∈ ℂ funkcja 𝑓 (𝑧) = 𝑧¯

𝑧 = ∣𝑧∣

2

= 𝑥

2

+ 𝑦

2

ma pochodn

,

a?

Re𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥

2

+ 𝑦

2

, Im𝑓 (𝑧) = 𝑣(𝑥, 𝑦) ≡ 0 Funkcje 𝑢 i 𝑣 s

,

a r´

o˙zniczkowalne dla

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ

2

. Sprawdzamy warunki C-R.

𝑢

′
𝑥

= 2𝑥,

𝑢

′
𝑦

= 2𝑦,

𝑣

′

𝑥

= 𝑣

′

𝑦

= 0.

St

,

ad

𝑢

′
𝑥

= 𝑣

′

𝑦

⇔ 𝑥 = 0,

𝑢

′
𝑦

= −𝑣

′

𝑥

⇔ 𝑦 = 0.

Zatem warunki Cauchy’ego - Riemanna s

,

a spe̷lnione tylko w punkcie 𝑧

0

= 0. Z Twierdzenia

2.2 wynika, ˙ze tylko w tym punkcie spe̷lniony jest warunek konieczny istnienia pochodnej. Z
twierdzenia 2.3 za´s wynika, ˙ze w punkcie 𝑧

0

= 0 spe̷lnione sa r´

ownie˙z warunki dostateczne

istnienia pochodnej funkcji 𝑓 . Pochodn

,

a funkcji policzymy z definicji.

𝑓

′

(0) = lim

𝑧→0

𝑓 (𝑧) − 𝑓 (0)

𝑧 − 0

= lim

𝑧→0

𝑧 ¯

𝑧

𝑧

= lim

𝑧→0

¯

𝑧 = 0.

Zadanie 1.59. Zbada´

c istnienie pochodnej funkcji 𝑓 oraz znale´

z´

c jej pochodn

,

a w punktach w

kt´

orych istnieje:

1. 𝑓 (𝑧) = 𝑧

2

,

2. 𝑧Im𝑧,

3. 𝑓 (𝑧) = ∣𝑧∣

2

+ 2𝑧,

4. 𝑓 (𝑧) = ∣𝑧∣.

21

1.8

Funkcje holomorficzne

Definicja 1.60. Niech 𝐷 ⊂ ℂ otwarty, 𝑓 : 𝐷 → ℂ. Funkcj

,

e 𝑓 nazywamy holomorficzn

,

a

(r´

o˙zniczkowaln

,

a w sensie zespolonym) w zbiorze 𝐷 je´

sli w ka˙zdym punkcie 𝑧 ∈ 𝐷 istnieje

pochodna 𝑓

′

(𝑧).

Ozn. f ∈ H(D).

Definicja 1.61. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑓 : 𝐷 → ℂ. Funkcj

,

e 𝑓 nazywamy holomorficzn

,

a (r´

o˙zniczkowaln

,

a

w sensie zespolonym) w punkcie 𝑧

0

∈ 𝐷 je´sli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu tego

punktu.

Przyk̷lad 1.62. Zbada´

c holomorficzno´

s´

c funkcji 𝑓 (𝑧) = ∣𝑧∣

2

= 𝑧 ¯

𝑧.

Z przyk̷ladu 1.58, wiemy, ˙ze ˙ze 𝑓 ma pochodn

,

a tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna

ani w punkcie 𝑧

0

= 0, ani w ca̷lej p̷laszczy´

znie. ℂ.

Wniosek 1.63. Je˙zeli 𝑓 jest holomorficzna w punkcie 𝑧

0

to ma pochodn

,

a w 𝑧

0

. Natomiast

twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe przyk̷lad 1.62).

Przyk̷lad 1.64. Zbada´

c holomorficzno´

s´

c funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑧 dla 𝑧 ∈ ℂ.

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ; 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑦.

Obie te funkcje s

,

a klasy 𝐶

1

(ℝ

2

) (faktycznie klasy 𝐶

∞

(ℝ

2

)).

Poka˙zemy, ˙ze spe̷lniaj

,

a r´

ownania Cauchy’ego-Riemanna:

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ

2

mamy 𝑢

′
𝑥

(𝑥, 𝑦) = 1,

𝑢

′
𝑦

(𝑥, 𝑦) = 0

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ

2

mamy 𝑣

′

𝑥

(𝑥, 𝑦) = 0,

𝑣

′

𝑦

(𝑥, 𝑦) = 1,

Zatem dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ

𝑢

′
𝑥

(𝑥, 𝑦) = 𝑣

′

𝑦

(𝑥, 𝑦),

𝑢

′
𝑦

(𝑥, 𝑦) = −𝑣

′

𝑥

(𝑥, 𝑦).

Korzystaj

,

ac ze wzoru na pochodn

,

a

𝑓

′

(𝑧) = 𝑢

′
𝑥

(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣

′

𝑥

(𝑥, 𝑦) = 1 + 𝑖0 = 1.

Czyli 𝑓 (𝑧) = 𝑧 ∈ 𝐻(ℂ).

Przyk̷lad 1.65. Zbada´

c holomorficzno´

s´

c funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦 dla 𝑧 ∈ ℂ.

22

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ; 𝑣(𝑥, 𝑦) = −𝑦. Obie te funkcje s

,

a klasy 𝐶

1

(ℝ

2

) (faktycznie klasy 𝐶

∞

(ℝ

2

)).

Sprawdzimy, gdzie spe̷lniaj

,

a r´

ownania Cauchy’ego-Riemanna:

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ

2

mamy 𝑢

′
𝑥

(𝑥, 𝑦) = 1,

𝑢

′
𝑦

(𝑥, 𝑦) = 0

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ

2

mamy 𝑣

′

𝑥

(𝑥, 𝑦) = 0,

𝑣

′

𝑦

(𝑥, 𝑦) = −1,

Zatem

𝑢

′
𝑥

(𝑥, 𝑦) = 1 ∕= 𝑣

′

𝑦

(𝑥, 𝑦) = −1,

𝑢

′
𝑦

(𝑥, 𝑦) = 0 = −𝑣

′

𝑥

(𝑥, 𝑦).

czyli 𝑓 (𝑧) = 𝑧 nie ma pochodnej w ˙zadnym punkcie.

Przyk̷lad 1.66. Zbada´

c holomorficzno´

s´

c funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑒

𝑧

dla 𝑧 ∈ ℂ.

Przypomnijmy, ˙ze cz

,

e´s´

c rzeczywista 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑦 i urojona 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑦.

Obie

te funkcje s

,

a klasy 𝐶

1

(ℝ

2

) (faktycznie klasy 𝐶

∞

(ℝ

2

)). Poka˙zemy, ˙ze spe̷lniaj

,

a r´

ownania

Cauchy’ego-Riemanna:

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ

2

𝑢

′
𝑥

(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑦,

𝑢

′
𝑦

(𝑥, 𝑦) = −𝑒

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑦,

𝑣

′

𝑥

(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑦,

𝑣

′

𝑦

(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑦,

Zatem dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ

𝑢

′
𝑥

(𝑥, 𝑦) = 𝑣

′

𝑦

(𝑥, 𝑦),

𝑢

′
𝑦

(𝑥, 𝑦) = −𝑣

′

𝑥

(𝑥, 𝑦).

Korzystaj

,

ac ze wzoru na pochodn

,

a

𝑓

′

(𝑧) = 𝑢

′
𝑥

(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣

′

𝑥

(𝑥, 𝑦) = 𝑒

𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑒

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑦 = 𝑒

𝑥

(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦) = 𝑒

𝑧

.

Czyli 𝑒

𝑧

∈ 𝐻(ℂ).

Zadanie 1.67. Zbada´

c holomorficzno´

s´

c funkcji:

1. 𝑓 (𝑧) = ∣𝑧∣

2

+ 2𝑧,

2. 𝑓 (𝑧) = ¯

𝑧

2

,

3. 𝑓 (𝑧) = (𝑧

2

+ 1)∣𝑧∣,

4. 𝑓 (𝑧) = ∣𝑧∣ + 2𝑧,

5. 𝑓 (𝑧) = ∣𝑧∣

2

(𝑧 + 1).

Lemat 1.68.

1. Je´

sli 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐻(𝐷), to (𝑓 ± 𝑔) ∈ 𝐻(𝐷) oraz 𝑓 𝑔 ∈ 𝐻(𝐷).

23

2. Je´

sli 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐻(𝐷), to

𝑓

𝑔

∈ 𝐻(𝐷 ∖ (𝑔

−1

(0)).

3. Je´

sli 𝑔 ∈ 𝐻(𝐷), 𝑓 ∈ 𝐻(𝑓 (𝐷)), to (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝐻(𝐷).

Wniosek 1.69. Funkcje wymierne (w tym wielomiany), funkcje trygonometryczne i hiperbo-
liczne s

,

a holomorficzne w swojej dziedzinie.

Korzystamy z faktu, ˙ze funkcja wyk̷ladnicza 𝑒

𝑧

jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a oraz z w̷lasno´sci

dzia̷la´

n na tych funkcjach. St

,

ad mo˙zna wyprowadzi´

c wzory na pochodn

,

a:

(𝑐𝑜𝑠𝑧)

′

=

1

2

(𝑖𝑒

𝑖𝑧

− 𝑖𝑒

−𝑖𝑧

) =

𝑖

2

(𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

) = −

1

2𝑖

(𝑒

𝑖𝑧

− 𝑒

−𝑖𝑧

) = −𝑠𝑖𝑛𝑧.

(𝑠𝑖𝑛𝑧)

′

=

1

2𝑖

(𝑖𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑖𝑒

−𝑖𝑧

) =

𝑖

2𝑖

(𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑒

−𝑖𝑧

) =

1

2

(𝑒

𝑖𝑧

+ 𝑒

−𝑖𝑧

) = 𝑐𝑜𝑠𝑧.

(𝑡𝑔𝑧)

′

=

1

𝑐𝑜𝑠

2

𝑧

(𝑐𝑡𝑔𝑧)

′

=

−1

𝑠𝑖𝑛

2

𝑧

.

Zadanie 1.70. Jakimi wzorami wyra˙zaj

,

a si

,

e:

1. pochodne funkcji zdefiniowanych w zadaniu 1.44?

2. pochodna funkcji pot

,

egowej 𝑓 (𝑧) = 𝑧

𝜇

?

Zadanie 1.71. Znale´

z´

c funkcj

,

e holomorficzn

,

a 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) je´

sli 𝑣(𝑥, 𝑦) =

𝑦 cos 𝑥 cosh 𝑦 − 𝑥 sin 𝑥 sinh 𝑦. Zapisa´

c 𝑓 w postaci zespolonej.

Zadanie 1.72. Znale´

z´

c funkcj

,

e holomorficzn

,

a 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) je´

sli 𝑢(𝑥, 𝑦) =

𝑥 cos 𝑥 cosh 𝑦 + 𝑦 sin 𝑥 sinh 𝑦. Zapisa´

c 𝑓 (𝑧) w postaci zespolonej.

1.9

Szeregi pot

,

egowe

Definicja 1.73. Szeregiem pot

,

egowym o ´

srodku w punkcie 𝑧

0

∈ ℂ nazywamy szereg postaci

∞

∑

𝑛=0

𝑎

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

,

(1.8)

gdzie 𝑎

𝑛

∈ ℂ.

Definicja 1.74. Promieniem zbie˙zno´

sci szeregu potegowego (1.8) nazywamy kres g´

orny zbioru

tych liczb 𝑟, ˙ze dany szereg jest zbie˙zny w kole {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑟}.

24

Lemat 1.75. (Wz´

or Cauchy’ego-Hadamarda)

Niech dany b

,

edzie szereg pot

,

egowy (1.8). W´

owczas

1

𝑅

= lim sup

𝑛→∞

𝑛

√∣𝑎

𝑛

∣,

(1.9)

gdzie 0 ≤ 𝑅 ≤ ∞ (przyjmujemy, ˙ze

1
0

= ∞,

1

∞

= 0). Ponadto szereg (1.8) jest

∙ zbie˙zny w ka˙zdym punkcie z, dla kt´

orego ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ < 𝑅

∙ rozbie˙zny w ka˙zdym punkcie 𝑧, dla kt´

orego ∣𝑧 − 𝑧

0

∣ > 𝑅.

Przyk̷lad 1.76.

1. Szereg

∑

∞
𝑛=0

𝑧

𝑛

jest zbie˙zny w kole 𝐾(0, 1) = {𝑧 : ∣𝑧∣ < 1}, poniewa˙z

lim sup

𝑛→∞

𝑛

√∣𝑎

𝑛

∣ =

1

𝑅

= 1.

Je´

sli ∣𝑧∣ = 1, to szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑧

𝑛

nie jest zbie˙zny, bo nie zachodzi warunek konieczny

zbie˙zno´

sci - wyraz 𝑧

𝑛

= 𝑒

𝑖𝑛𝜙

ma modu̷l r´

owny 1, czyli nie d

,

a˙zy do zera.

2. Szereg

∑

∞
𝑛=1

𝑧

𝑛

𝑛

2

jest zbie˙zny w kole 𝐾(0, 1) = {𝑧 : ∣𝑧∣ ≤ 1}, poniewa˙z

lim sup

𝑛→∞

𝑛

√






1

𝑛

2






=

1

𝑅

= 1

oraz ∀𝑛 ∈ ℕ




𝑧

𝑛

𝑛

2




≤

1

𝑛

2

. (

∑

∞
𝑛=0

1

𝑛

2

< ∞.) Zatem szereg jest zbie˙zny w kole i na brzegu.

3. Dla szeregu

∑

∞
𝑛=0

𝑛

𝑛

𝑧

𝑛

promie´

n zbie˙zno´

sci 𝑅 = 0, poniewa˙z

lim sup

𝑛→∞

𝑛

√∣𝑛

𝑛

∣ = lim sup

𝑛→∞

𝑛 = ∞ =

1

𝑅

.

Szereg jest zbie˙zny tylko dla 𝑧 = 0.

Twierdzenie 1.77. (o holomorficzno´

sci sumy szeregu pot

,

egowego)

Je˙zeli promie´

n 𝑅 zbie˙zno´sci szeregu pot

,

egowego

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

𝑧

𝑛

jest dodatni, to 𝑓 -suma tego

szeregu jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a w kole 𝐾(0, 𝑅) = {𝑧 : ∣𝑧∣ < 𝑅} i dla ka˙zdego 𝑧 ∈ 𝐾(0, 𝑅)

𝑓

′

(𝑧) =

∞

∑

𝑛=1

𝑛𝑎

𝑛

𝑧

𝑛−1

.

(Szereg pot

,

egowy wewn

,

atrz ko̷la zbie˙zno´sci mo˙zna r´

o˙zniczkowa´

c wyraz po wyrazie).

25

Wniosek 1.78. Szereg pot

,

egowy ma pochodn

,

a dowolnego rz

,

edu:

∀𝑘 ∈ ℕ 𝑓

(𝑘)

(𝑧) =

∞

∑

𝑛=𝑘

𝑛(𝑛 − 1) . . . (𝑛 − 𝑘 + 1)𝑎

𝑛

𝑧

𝑛−𝑘

.

Definicja 1.79. Niech 𝐷 ⊂ ℂ obszar, funkcj

,

e 𝑓 : 𝐷 → ℂ nazywamy analityczn

,

a w 𝐷 ⇔

gdy dla ka˙zdego 𝑧

0

∈ 𝐷 istnieje szereg pot

,

egowy postaci

∑

∞
𝑛=0

𝑎

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

zbie˙zny w kole

𝐾(𝑧

0

, 𝑟) ⊂ 𝐷 taki, ˙ze 𝑓 (𝑧) =

∑

∞
𝑛=0

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

dla 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧

0

, 𝑟).

Oznaczenia 1.80. 𝐴(𝐷) oznacza zbi´

or wszystkich funkcji analitycznych w 𝐷.

Wniosek 1.81. Z twierzenia o holomorficzno´

sci sumy szeregu wynika

𝐴(𝐷) ⊂ 𝐻(𝐷).

Twierdzenie 1.82. (o rozwijaniu funkcji holomorficznej w szereg Taylora)
𝐷 ⊂ ℂ, 𝐷-obszar. Je˙zeli funkcja 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷), 𝑧

0

∈ 𝐷, 𝐷(𝑧

0

, 𝑟) ⊂ 𝐷, to 𝑓 mo˙zna przedstawi´

c

w tym kole w postaci sumy szeregu pot

,

egow

,

ego

𝑓 (𝑧) =

∞

∑

𝑛=0

𝑐

𝑛

(𝑧 − 𝑧

0

)

𝑛

𝑖

𝑐

𝑛

=

1

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷(𝑧

0

,𝑟)

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛+1

𝑑𝜁,

gdzie ∂𝐷(𝑧

0

, 𝑟) jest zorientowany dodatnio.

czyli

𝑓

(𝑛)

(𝑧

0

) =

𝑛!

2𝜋𝑖

∫

∂𝐷(𝑧

0

,𝑟)

𝑓 (𝜁)

(𝜁 − 𝑧

0

)

𝑛+1

𝑑𝜁.

Wniosek 1.83. Z twierdzenia 7.8 i wniosku 4.3 wynika, ˙ze A(D)=H(D)

W analize zespolonej je ˙zeli funkcja jest raz r´

o ˙zniczkowalna, to

∙ jest r´

o ˙zniczkowalna niesko´

nczenie wiele razy,

∙ jest analityczna.

26

2

R´

ownania r´

o ˙zniczkowe I rz

,

edu

Definicja 2.1. 𝐺 ⊂ ℝ

3

zbi´

or sp´

ojny, 𝑓 : 𝐺 :→ ℝ funkcja. R´ownaniem r´o˙zniczkowym I rz

,

edu

nazywamy r´

ownanie postaci

𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥) = 0

[𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦

′

) = 0].

(2.1)

Tak

,

a posta´

c r´

ownania nazywamy nierozwik̷lan

,

a wzgl

,

edem pochodnej. Je˙zeli (2.1) mo˙zna za-

pisa´

c w postaci

˙𝑥 = 𝑓 (𝑡, 𝑥),

(2.2)

to nazywamy je rozwik̷lanym wzgl

,

edem pochodnej.

Oznaczenia 2.2. Inna notacja

∙ (2.1) - posta´c og´

olna r.r. I rz

,

edu

∙ (2.1) - posta´c normalna r.r. I rz

,

edu

Definicja 2.3. Rozwi

,

azaniem r´

ownania (2.1) (odp.(2.2)) nazywamy funkcj

,

e 𝑥 : 𝐼 → ℝ

(𝐼 ⊂ ℝ przedzia̷l) klasy 𝐶

1

na 𝐼 taka, ˙ze dla ka˙zdego 𝑡 ∈ 𝐼 zachodzi ˙𝑥(𝑡) = 𝑓 (𝑡, 𝑥(𝑡)).

Przyk̷lad 2.4. Przyk̷lad r´

ownania I rz

,

edu

˙𝑥 = −𝑘𝑥,

𝑘 > 0

Inny zapis ˙𝑥(𝑡) = −𝑘𝑥(𝑡).

∙ Je˙zeli funkcja 𝑥(𝑡) nie jest to˙zsamo´sciowo r´

owna 0, to dzielimy stronami przez 𝑥(𝑡) i

mno˙zymy przez 𝑑𝑡

𝑑𝑥

𝑥

= −𝑘𝑑𝑡.

Ca̷lkujemy stronami

∫

𝑑𝑥

𝑥

=

∫

−𝑘𝑑𝑡 = −𝑘

∫

𝑑𝑡

=⇒ 𝑙𝑛∣𝑥∣ = −𝑘𝑡 + 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ ℝ.

Lepiej napisa´

c tak

𝑙𝑛∣𝑥∣ = −𝑘𝑡 + ln ∣𝐶

1

∣,

𝐶

1

∈ ℝ ∖ {0}

𝑒

𝑙𝑛∣𝑥∣

= 𝑒

−𝑘𝑡+𝑙𝑛∣𝐶

1

∣

= ∣𝐶

1

∣𝑒

−𝑘𝑡

,

𝐶

1

∈ ℝ ∖ {0},

𝑡 ∈ 𝐼 = ℝ

∣𝑥∣ = ∣𝐶

1

∣𝑒

−𝑘𝑡

,

𝐶

1

∈ ℝ ∖ {0},

𝑡 ∈ 𝐼 = ℝ.

Opuszczamy modu̷ly

𝑥(𝑡) = 𝐶

1

𝑒

−𝑘𝑡

,

𝐶

1

∈ ℝ ∖ {0},

𝑡 ∈ 𝐼 = ℝ.

27

∙ Je˙zeli funkcja 𝑥 = 𝑥(𝑡) ≡ 0

=⇒ ˙𝑥(𝑡) = 0 =⇒ 𝑥(𝑡) = 𝐶 ∈ ℝ

ale ˙𝑥 = 𝑥(𝑡) =⇒ 𝐶 = 0

∙ Rzwi

,

azanie og´

olne ma posta´

c

𝑥(𝑡) = 𝐶𝑒

−𝑘𝑡

,

𝐶 ∈ ℝ,

𝑡 ∈ 𝐼 = ℝ

Przyk̷lad 2.5. Bank prowadzi konta z ci

,

ag̷la kapitalizacj

,

a odsetek. Pokaza´

c, ˙ze kapita̷l 𝐾(𝑡)

w chwili 𝑡, z̷lo˙zony w tym banku, spe̷lnia r´

ownanie r´

o˙zniczkowe

𝐾

′

(𝑡) = 𝑟𝐾(𝑡),

gdzie 𝑟 jest roczn

,

a stop

,

a procent´

ow, a czas 𝑡 jest liczony w latach.

Odp. Niech 𝐾

0

= 𝐾(0) oznacza kapita̷l pocz

,

atkowy z̷lo˙zony w banku. Gdyby bank dokonywa̷l

kapitalizacji odsetek w stosunku rocznym, to po 𝑡 - latach kapita̷l ur´

os̷lby do kwoty 𝐾

0

(1+𝑟)

𝑡

,

poniewa˙z

po roku - 𝐾

0

+ 𝑟𝐾

0

= 𝐾

0

(1 + 𝑟),

po dw´

och latach - 𝐾

0

(1 + 𝑟) + 𝑟𝐾

0

(1 + 𝑟) = 𝐾

0

(1 + 𝑟)

2

,

po t latach - 𝐾

0

(1 + 𝑟)

𝑡

.

Za̷l´

o˙zmy teraz, ˙ze kapitalizacja odsetek nast

,

epuje 𝑛-razy w ci

,

agu roku. Wtedy kapita̷l po 𝑡

latach ur´

os̷lby do kwoty

𝐾

0

(

1 +

𝑟

𝑛

)

𝑛𝑡

Przechodz

,

ac w powy˙zszym wzorze 𝑛 → ∞ otrzymamy kwot

,

e, do jakiej uro´snie kapita̷l po 𝑡-

latach przy ci

,

ag̷lej kapitalizacji odsetek. Mamy wi

,

ec

𝐾(𝑡) = lim

𝑛→∞

𝐾

0

(

1 +

𝑟

𝑛

)

𝑛𝑡

= lim

𝑛→∞

[

𝐾

0

(

1 +

𝑟

𝑛

)

𝑛/𝑟

]

𝑟𝑡

= 𝐾

0

𝑒

𝑟𝑡

.

R´

o˙zniczkuj

,

ac po 𝑡 otrzymamy

𝐾

′

(𝑡) = 𝐾

0

𝑟𝑒

𝑟𝑡

= 𝑟𝐾(𝑡).

28

Definicja 2.6. Warunek postaci 𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

, 𝑥

0

, 𝑡

0

∈ ℝ, nazywamy warunkiem pocz

,

atkowym

(warunkiem Cauchy’ego), za´s uk̷lad

{

˙𝑥 = 𝑓 (𝑡, 𝑥)

𝑥(𝑡

0

) = 𝑦

0

(2.3)

lub

{ 𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥) = 0

𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

(2.4)

nazywamy zagadnieniem pocz

,

atkowym Cauchy’ego.

Definicja 2.7. Rozwi

,

azaniem zagadnienia pocz

,

atkowego (1.3), (1.4) na przedziale [𝑡

0

, 𝑡

0

+ 𝜀)

nazywamy funkcj

,

e 𝑥 = 𝑥(𝑡) klasy 𝐶

1

na tym przedziale, spe̷lniaj

,

ac

,

a r´

ownanie ˙𝑥 = 𝑓 (𝑡, 𝑥) lub

𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥) = 0 na przedziale [𝑡

0

, 𝑡

0

+ 𝜀) oraz warunek 𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

. Takie rozwi

,

azanie nazywamy

rozwi

,

azaniem szczeg´

olnym.

Przyk̷lad 2.8. Znale´

z´

c rozwi

,

azanie zagadnienia Cauchy’ego.

{

˙𝑥(𝑡) = −𝑘𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

,

𝑥

0

∈ ℝ

gdzie 𝑥

0

jest ustalone!

Odp. Wiemy, ˙ze rozwi

,

azane og´

olne ma posta´

c

𝑥(𝑡) = 𝐶𝑒

−𝑘𝑡

∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐼 = ℝ.

Szukamy warto´sci 𝐶, kt´

or

,

a b

,

edzie spe̷lnia´

c warunek pocz

,

atkowy 𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

. Zatem

𝑥(𝑡

0

) = 𝐶

0

𝑒

−𝑘𝑡

0

=⇒ 𝐶

0

= 𝑥

0

𝑒

𝑘𝑡

0

=⇒ 𝑥(𝑡) = 𝑥

0

𝑒

𝑘𝑡

0

𝑒

−𝑘𝑡

= 𝑥

0

𝑒

−𝑘(𝑡−𝑡

0

)

∧ 𝑡 ∈ ℝ.

Definicja 2.9. Wykres rozwi

,

azania 𝑥(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼, w przestrzeni ℝ

2

zmiennych (𝑡, 𝑥) nazywamy

krzyw

,

a ca̷lkow

,

a.

Definicja 2.10. Je˙zeli 𝑥 = 𝑥(𝑡, 𝑐), 𝑡 ∈ 𝐼, jest rodzin

,

a funkcji rzeczywistych zmiennej 𝑡

sparametryzowan

,

a parametrem 𝑐, tak

,

a, ˙ze dla ka˙zdego 𝑐 ∈ 𝐴 ⊂ ℝ, 𝑥 = 𝑥(𝑡, 𝑐) jest krzyw

,

a

ca̷lkow

,

a r´

ownania (2.1) lub (2.2) i dla ka˙zdego (𝑡

0

, 𝑥

0

) ∈ 𝐺 istnieje 𝑐

0

∈ 𝐴 takie, ˙ze 𝑥(𝑡, 𝑐

0

)

jest krzyw

,

a ca̷lkow

,

a przechodz

,

ac

,

a przez puunkt (𝑡

0

, 𝑥

0

), to rodzin

,

e 𝑥 = 𝑥(𝑡, 𝑐) nazywamy

rozwi

,

azaniem og´

olnym r´

ownania (2.1) lub (2.2).

Definicja 2.11. Je˙zeli rozwiazania maj

,

a posta´

c uwik̷lan

,

a Φ(𝑡, 𝑥, 𝑐) = 0, to nazywamy je ca̷lk

,

a

og´

oln

,

a r´

ownania.

29

Twierdzenie 2.12. (Picarda-Lindel¨

ofa o istnieniu i jednoznaczno´

sci rozwi

,

aza´

n

lokalnych.)

𝑄 = {(𝑡, 𝑥) ∈ ℝ

2

: ∣𝑡 − 𝑡

0

∣ ≤ 𝑎 ∧ ∣𝑥 − 𝑥

0

∣ ≤ 𝑏},

0 < 𝑎, 𝑏 < ∞.

Niech 𝑓 : 𝑄 → ℝ b

,

edzie funkcj

,

a ci

,

ag̷l

,

a, kt´

ora spe̷lnia warunek Lipschitza wzgl

,

edem zmiennej

𝑥 tzn. ∃ 0 < 𝐿 < ∞ taka, ˙ze ∀𝑥

1

, 𝑥

2

∈ [𝑥

0

− 𝑏, 𝑥

0

+ 𝑏]

∣𝑓 (𝑡, 𝑥

1

) − 𝑓 (𝑡, 𝑥

2

)∣ ≤ 𝐿∣𝑥

1

− 𝑥

2

∣.

Wtedy zagadnienie Cauchy’ego

{

˙𝑥 = 𝑓 (𝑡, 𝑥)

𝑥(𝑡

0

) = 𝑦

0

ma dok̷ladnie jedno rozwi

,

azanie na przedziale ∣𝑡 − 𝑡

0

∣ ≤ 𝛼, gdzie 𝛼 < min{𝑎, 𝑏/𝑀, 1/𝐿} i

𝑀 = sup

(𝑡,𝑥)∈𝑄

∣𝑓 (𝑡, 𝑥)∣

Twierdzenie 2.13. (Peano o istnieniu rozwi

,

aza´

n lokalnych.)

𝑄 = {(𝑡, 𝑥) ∈ ℝ

2

: 𝑡 ∈ [𝑡

0

, 𝑡

0

+ 𝑎], 𝑥 ∈ [𝑥

0

, 𝑥

0

+ 𝑏],

0 < 𝑎, 𝑏 < ∞.

Niech 𝑓 : 𝑄 → ℝ b

,

edzie funkcj

,

a ci

,

agl

,

a. Wtedy zagadnienie Cauchy’ego

{

˙𝑥 = 𝑓 (𝑡, 𝑥)

𝑥(𝑡

0

) = 𝑦

0

ma rozwi

,

azanie na przedziale [𝑡

0

, 𝑡

0

+ 𝛼], gdzie 𝛼 < min{𝑎, 𝑏/𝑀 } i 𝑀 = sup

(𝑡,𝑥)∈𝑄

∣𝑓 (𝑡, 𝑥)∣.

Przyk̷lad 2.14. W przyk̷ladzie 2.4, w kt´

orym rozwi

,

azywali´

smy r´

ownanie ˙𝑥 = −𝑘𝑥,

𝑘 > 0,

funkcja po prawej stronie r´

ownania 𝑓 (𝑡, 𝑥) = −𝑘𝑥 spe̷lnia warunek Lipschitza na ca̷lej prostej

ℝ.

Odp. Wiemy, ˙ze je´sli 𝑔 ∈ 𝐶

1

([𝑎, 𝑏]) to sta̷la Lipschitza szacuje si

,

e jako

𝐿 = sup

𝑥∈[𝑎,𝑏]

∣𝑓

′

(𝑥)∣.

U nas

∂𝑓 (𝑡,𝑥)

∂𝑥

= −𝑘 to sta̷la

𝐿 = sup

𝑥∈ℝ






∂𝑓 (𝑡, 𝑥)

∂𝑥






= ∣ − 𝑘∣ = 𝑘 ∕= 0

st

,

ad

∀𝑥

1

, 𝑥

2

∈ ℝ ∣𝑓(𝑡, 𝑥

1

) − 𝑓 (𝑡, 𝑥

2

)∣ = ∣𝑘𝑥

1

− 𝑘𝑥

2

∣ ≤ 𝑘 ⋅ ∣𝑥

1

− 𝑥

2

∣

30

Przyk̷lad 2.15. Znale´

z´

c rozwi

,

azanie zagadnienia Cauchy’ego

{

˙𝑥(𝑡) = 𝑥

1/3

(𝑡)

𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

,

𝑥

0

∈ ℝ

gdzie 𝑥

0

jest ustalone!

Odp.

W tym przyk̷ladzie funkcja po prawej stronie r´

ownania 𝑓 (𝑡, 𝑥) = 𝑥

1
3

NIE spe̷lnia

warunku Lipschitza w punkcie 𝑥

0

= 0.

Poka˙zemy, ˙ze dla 𝑥

0

= 0 zagadnienie Cauchy’ego posiada wi

,

ecej rozwi

,

aza´

n ni˙z jedno.

Zatem to za̷lo ˙zenie jest ISTOTNE.

(1.) Je´sli 𝑥(𝑡) nie jest funkcj

,

a to˙zsamo´sciowo r´

own

,

a 0, to nasze r´

ownanie mo˙zna zapisa´

c

𝑑𝑥

𝑥

1/3

= 𝑑𝑡

(a) dla 𝑥 > 𝑥

0

i 𝑡 > 𝑡

0

∫

𝑥

𝑥

0

𝑑𝑦

𝑦

1/3

=

∫

𝑡

𝑡

0

𝑑𝑠 =⇒

[ 𝑦

2/3

2
3

]

𝑥

𝑥

0

= 𝑡 − 𝑡

0

=⇒ 𝑥

2/3

(𝑡) − 𝑥

2/3
0

= 3/2(𝑡 − 𝑡

0

) =⇒ 𝑥

2/3

(𝑡) = 𝑥

2/3
0

+ 3/2(𝑡 − 𝑡

0

) ∧ 𝑡 > 𝑡

0

=⇒ 𝑥(𝑡) =

(

𝑥

2/3
0

+ 3/2(𝑡 − 𝑡

0

)

)

3/2

∧ 𝑡 > 𝑡

0

oraz

𝑥(𝑡

0

) = ((𝑥

2/3
0

))

3/2

= 𝑥

0

(b) dla 𝑥 < 𝑥

0

i 𝑡 > 𝑡

0

∫

𝑥

0

𝑥

𝑑𝑦

𝑦

1/3

=

∫

𝑡

𝑡

0

𝑑𝑠 =⇒

[ 𝑦

2/3

2
3

]

𝑥

𝑥

0

= 𝑡 − 𝑡

0

=⇒ 𝑥

2/3
0

− 𝑥

2/3

(𝑡) = 3/2(𝑡 − 𝑡

0

) =⇒ 𝑥

2/3

(𝑡) = 𝑥

2/3
0

− 3/2(𝑡 − 𝑡

0

) ∧ 𝑡 > 𝑡

0

=⇒ 𝑥(𝑡) =

(

𝑥

2/3
0

− 3/2(𝑡 − 𝑡

0

)

)

3/2

∧ 𝑡 > 𝑡

0

oraz

𝑥(𝑡

0

) = ((𝑥

2/3
0

))

3/2

= 𝑥

0

(2.) 𝑥(𝑡) ≡ 0 dla ∀𝑡 ∈ ℝ.

31

Konkluzja dla 𝑡

0

∈ ℝ niech 𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

= 0. Wtedy mamy co najmniej trzy rozwi

,

azania

spe̷lniaj

,

ace ten warunek pocz

,

atkowy

(1)

𝑥(𝑡) ≡ 0, 𝑡 ∈ ℝ

(2)

𝑥(𝑡) =

(

𝑥

2/3
0

+ 3/2(𝑡 − 𝑡

0

)

)

3/2

= (3/2(𝑡 − 𝑡

0

))

3/2

∧ 𝑡 > 𝑡

0

(3)

𝑥(𝑡) =

(

𝑥

2/3
0

− 3/2(𝑡 − 𝑡

0

)

)

3/2

= (−3/2(𝑡 − 𝑡

0

))

3/2

∧ 𝑡 > 𝑡

0

Definicja 2.16. Rozwi

,

azanie 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼, nazywamy osobliwym, gdy przez ka˙zdy punkt

odpowiadaj

,

acej mu krzywej ca̷lkowej przechodzi inna krzywa ca̷lkowa tego r´

ownania.

Definicja 2.17. Obwiedni

,

a krzywych ca̷lkowych nazywamy krzyw

,

a, kt´

ora w ka˙zdym punkcie

jest styczna do co najmniej jednej krzywej ca̷lkowej z tej rodziny.

Uwaga 2.18. Zatem obwiednia krzywych ca̷lkowych jest krzyw

,

a, kt´

ora odpowiada rozwi

,

azaniu

osobliwemu.

Uwaga 2.19. Rozwi

,

azanie 𝑥(𝑡) ≡ 0, 𝑡 ∈ ℝ, r´ownania 𝑓 (𝑡, 𝑥) = 𝑥

1
3

jest rozwi

,

azaniem osobli-

wym.

32

3

R´

ownania r´

o ˙zniczkowe rz

,

edu 𝑛.

Definicja 3.1. 𝐺 ⊂ ℝ

𝑚+1

zbi´

or sp´

ojny, 𝐹 : 𝐺 → ℝ funkcja. R´ownaniem r´o˙zniczkowym

zwyczajnym rz

,

edu 𝑛 nazywamy r´

ownanie postaci:

𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, ¨

𝑥, . . . , 𝑥

(𝑛)

) = 0

[𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦

′

, 𝑦

′′

, . . . 𝑦

(𝑛)

) = 0].

(3.1)

Tak

,

a posta´

c r´

ownania nazywamy nierozwik̷lan

,

a wzgl

,

edem pochodnej. Je˙zeli (3.1) mo˙zna za-

pisa´

c w postaci

𝑥

(𝑛)

(𝑡) = 𝑓 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, ¨

𝑥, . . . , 𝑥

(𝑛−1)

),

(3.2)

to nazywamy je rozwik̷lanym wzgl

,

edem pochodnej.

Oznaczenia 3.2. Inna notacja

∙ (3.1) - posta´c og´

olna r.r. rz

,

edu 𝑛

∙ (3.2) - posta´c normalna r.r. rz

,

edu 𝑛.

Definicja 3.3. Rozwi

,

azaniem r´

ownania (3.2) ( odp.(3.1)) nazywamy funkcj

,

e 𝑥 : 𝐼 → ℝ

(𝐼 ⊂ ℝ przedzia̷l) klasy 𝐶

𝑛

na 𝐼 tak

,

a, ˙ze dla ka˙zdego 𝑡 ∈ 𝐼 zachodzi 𝑥

(𝑛)

(𝑡) = 𝑓 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, . . . , 𝑥

(𝑛−1)

)

(odp. 𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, ¨

𝑥, . . . , 𝑥

(𝑛)

) = 0).

Definicja 3.4. Warunek postaci 𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

, ˙𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

1

, . . . , 𝑥

(𝑛−1)

(𝑡

0

) = 𝑥

𝑛−1

, gdzie (𝑥

0

, . . . , 𝑥

𝑛−1

) ∈

ℝ

𝑛

, 𝑡

0

∈ ℝ, nazywamy warunkiem pocz

,

atkowym (warunkiem Cauchy’ego), za´s uk̷lad

⎧











⎨











⎩

𝑥

(𝑛)

= 𝑓 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, . . . , 𝑥

(𝑛−1)

)

𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

˙𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

1

..

.
𝑥

(𝑛−1)

(𝑡

0

) = 𝑥

𝑛−1

(3.3)

lub

⎧











⎨











⎩

𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, ¨

𝑥, . . . , 𝑥

(𝑛)

) = 0

𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

˙𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

1

..

.
𝑥

(𝑛−1)

(𝑡

0

) = 𝑥

𝑛−1

(3.4)

nazywamy zagadnieniem pocz

,

atkowym Cauchy’ego.

33

Definicja 3.5. Rozwi

,

azaniem zagadnienia pocz

,

atkowego (1.3), (1.4) na przedziale [𝑡

0

, 𝑡

0

+ 𝜀)

nazywamy funkcj

,

e 𝑥 = 𝑥(𝑡) klasy 𝐶

𝑛

na tym przedziale, spe̷lniaj

,

ac

,

a r´

ownanie 𝑥

(𝑛)

(𝑡) =

𝑓 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, . . . , 𝑥

(𝑛−1)

) lub 𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, ¨

𝑥, . . . , 𝑥

(𝑛)

) = 0 na przedziale [𝑡

0

, 𝑡

0

+ 𝜀) oraz warunek

𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

, ˙𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

1

, . . . , 𝑥

(𝑛−1)

(𝑡

0

) = 𝑥

𝑛−1

. Takie rozwi

,

azanie nazywamy rozwi

,

azaniem

szczeg´

olnym.

3.1

Sprowadzanie r´

ownania rz

,

edu 𝑛 do r´

ownania pierwszego rz

,

edu

Dane jest r´

ownanie r´

o˙zniczkowe rz

,

edu 𝑛

𝑥

(𝑛)

(𝑡) = 𝑓 (𝑥, ˙𝑥, ¨

𝑥, . . . , 𝑥

𝑛−1

).

(3.5)

Oznaczmy

⎧











⎨











⎩

𝑥

0

(𝑡) := 𝑥(𝑡)

𝑥

1

(𝑡) := ˙𝑥(𝑡)

𝑥

2

(𝑡) := ¨

𝑥 = ˙𝑥

1

(𝑡)

..

.

..

.

𝑥

𝑛−1

(𝑡) := 𝑥

(𝑛−1)

(𝑡) = ˙𝑥

𝑛−2

(𝑡).

Oznaczenia:

𝑥(𝑡) =

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑥

0

(𝑡)

𝑥

1

(𝑡)

𝑥

2

(𝑡)

..

.

𝑥

𝑛−1

(𝑡)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

,

𝑔(𝑡, 𝑥) =

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝑥

1

(𝑡)

𝑥

2

(𝑡)

..

.

𝑓 (𝑥, ˙𝑥, ¨

𝑥, . . . , 𝑥

𝑛−1

)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

.

Zauwa˙zmy, ˙ze 𝑥(𝑡) i 𝑔(𝑡, 𝑥) s

,

a funkcjami wektorowymi o warto´sciach w ℝ

𝑛

. Zatem r´

ownanie

(3.5) mo˙zna zapisa´

c w postaci

˙𝑥(𝑡) = 𝑔(𝑡, 𝑥).

(3.6)

Jest to uk̷lad 𝑛 r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych zwyczajnych pierwszego rz

,

edu lub r´

ownanie r´

o˙zniczkowe

zwyczajne pierwszego rz

,

edu w kt´

orym funkcja niewiadoma jest funkcj

,

a wektorow

,

a jednej

zmien-nej.

3.2

Przypomnienie poj

,

e´

c i tw. z analizy matematycznej

Definicja 3.6. Przestrze´

n metryczn

,

a nazywamy zupe̷ln

,

a je´

sli ka˙zdy ci

,

ag Cauchy’ego jest

zbie˙zny (tzn. jego granica nale˙zy do tej przestrzeni).

34

Przyk̷lad 3.7. Niech 𝐸(ℝ) := {𝑓 : ℝ → ℝ; 𝑓 ci

,

ag̷la i ograniczona}. Wprowadzamy metryk

,

e

za pomoc

,

a normy

𝜌(𝑓, 𝑔) := ∣∣𝑓 − 𝑔∣∣ = sup

𝑥∈ℝ

∣𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)∣.

To odpowiada zbie˙zno´

sci jednostajnej ci

,

agu funkcji, poniewa˙z 𝑓

𝑛

→ 𝑓

0

jednostajnie wtedy i

tylko wtedy, gdy

∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝑛

0

∈ ℕ sup

𝑥∈𝑋

∣𝑓

𝑛

(𝑥) − 𝑓

0

(𝑥)∣ < 𝜀.

Wtedy para (𝐸(ℝ), 𝜌) jest przestrzeni

,

a metryczn

,

a zupe̷ln

,

a.

Zupe̷lno´

s´

c wynika z faktu, ˙ze

granica ci

,

agu funkcji ci

,

ag̷lych zbie˙znego jednostajnie jest funkcj

,

a ci

,

ag̷l

,

a. Ograniczono´

s´

c funkcji

granicznej jest oczywista. Czyli granica ci

,

agu nale˙zy do 𝐸(ℝ).

Definicja 3.8. Niech (𝑋, 𝜌) - przestrze´

n metryczna, 𝐹 : 𝑋 → 𝑋 operator. Powiemy, ˙ze

𝐹 jest kontrakcj

,

a (odwzorowaniem zw

,

e˙zaj

,

acym), je´

sli istnieje 𝛼 ∈ (0, 1) taka, ˙ze dla ka˙zdych

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 zachodzi

𝜌(𝐹 (𝑥), 𝐹 (𝑦) ≤ 𝛼𝜌(𝑥, 𝑦).

Twierdzenie 3.9. Twierdzenie Banacha
Jesli (𝑋, 𝜌)-przestrze´

n metryczna zupe̷lna, 𝐹 : 𝑋 → 𝑋- operator zw

,

e˙zaj

,

acy, to istnieje

dok̷ladnie jeden punkt sta̷ly 𝑥

0

∈ 𝑋, tzn.

𝐹 (𝑥

0

) = 𝑥

0

, oraz dla ka˙zdego 𝑥 ∈ 𝑋 ci

,

ag

{𝑥

𝑛

}

𝑛∈ℕ

= {𝐹

𝑛

(𝑥)}

𝑛∈ℕ

jest zbie˙zny do 𝑥

0

. Ponadto

𝜌(𝑥

𝑛

, 𝑥

0

) ≤

𝛼

𝑛

1 − 𝛼

𝜌(𝑥

1

, 𝑥

0

) → 0

𝑛 → ∞.

Definicja 3.10. Zbi´

or 𝐼 ⊂ ℝ

𝑛

nazywamy zwartym je´

sli z ka˙zdego ci

,

agu {𝑥

𝑛

}

𝑛∈ℕ

⊂ 𝐼 mo˙zna

wybra´

c podci

,

ag zbie˙zny, kt´

orego granica tak˙ze nale˙zy do zbioru 𝐼.

Uwaga 3.11. Je´

sli 𝐼 ⊂ ℝ

𝑛

, to 𝐼 jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkni

,

ety i ogranic-

zony.

Przyk̷lad 3.12. 𝐼 = [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ (𝑎 ∕= −∞, 𝑏 ∕= +∞) jest zwarty. Podobnie 𝐼

𝑛

= 𝐼 × 𝐼 . . . × 𝐼

|

{z

}

𝑛

jest zwarty.

𝐶(𝐼) := {𝑓 : 𝑋 → ℝ : 𝑓 ci

,

ag̷la}

𝐶

1

(𝐼) := {𝑓 : 𝑋 → ℝ : 𝑓 ma ci

,

ag̷l

,

a pochodn

,

a}

Twierdzenie 3.13. Tw. Weierstrassa I.
Niech 𝐼 = [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ (𝑎 ∕= −∞, 𝑏 ∕= +∞). Je˙zeli 𝑓 ∈ 𝐶(𝐼), to 𝑓 jest ograniczona tzn.
∃ 0 ≤ 𝑀 < +∞ takie, ˙ze dla ka˙zdego 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] zachodzi ∣𝑓 (𝑥)∣ ≤ 𝑀 .

35

Uwaga 3.14. Ug´

olnienie Tw. Weierstrassa w ℝ

𝑛

.

Niech 𝐼 = [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ

𝑛

zwarty, 𝑓 ∈ 𝐶(𝐼), to 𝑓 jest ograniczona ∃ 0 ≤ 𝑀 < +∞ takie, ˙ze dla

ka˙zdego 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] zachodzi ∣𝑓 (𝑥)∣ ≤ 𝑀 .

Definicja 3.15. Niech 𝐼 ⊂ ℝ, 𝑓 : 𝐼 → ℝ. M´owimy ˙ze 𝑓 spe̷lnia warunek Lipschitza na 𝐼,
je´

sli istnieje 0 ≤ 𝐿 < +∞ taka, ˙ze dla ka˙zdych 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 zachodzi

∣𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑦)∣ ≤ 𝐿∣𝑦 − 𝑥∣.

Wniosek 3.16. Niech 𝐼 = [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ

𝑛

zwarty, 𝑓 ∈ 𝐶

1

(𝐼), to 𝑓 spe̷lnia warunek Lipschitza,

ze sta̷l

,

a 𝐿 := sup

𝑥∈𝐼

∣∣𝑓

′

(𝑥)∣∣, gdzie ∣∣ ⋅ ∣∣ oznacza norm

,

e w ℝ

𝑛

.

Dow´

od Je´sli 𝑓 ∈ 𝐶

1

(𝐼) , to 𝑓

′

∈ 𝐶(𝐼). Z twierdzenia Weierstrassa wiemy, 𝑓

′

(𝑥) jest funkcj

,

a

ograniczon

,

a. Niech 𝐿 := sup

𝑥∈𝐼

∣𝑓

′

(𝑥)∣. Z tw. Taylora wynika, ˙ze dla dowolnych 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼

zachodzi

∣𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑦)∣ ≤ sup

𝑧∈𝐼

∣∣𝑓

′

(𝑧)∣∣ ⋅ ∣∣𝑥 − 𝑦∣∣ ≤ 𝐿∣∣𝑥 − 𝑦∣∣.

3.3

Dow´

od Twierdzenia Picarda-Lindel¨

ofa

Wersja dla r´

ownania pierwszego rz

,

edu, gdzie 𝑥(𝑡) jest funkcj

,

a jednej zmiennej.

Twierdzenie 3.17. (Picarda-Lindel¨

ofa o istnieniu i jednoznaczno´

sci rozwi

,

aza´

n

lokalnych.)

𝑄 = {(𝑡, 𝑥) ∈ ℝ

2

: ∣𝑡 − 𝑡

0

∣ ≤ 𝑎 ∧ ∣𝑥 − 𝑥

0

∣ ≤ 𝑏},

0 < 𝑎, 𝑏 < ∞.

Niech 𝑓 : 𝑄 → ℝ b

,

edzie funkcj

,

a ci

,

ag̷l

,

a, kt´

ora spe̷lnia warunek Lipschitza wzgl

,

edem zmiennej

𝑥 tzn. ∃ 0 < 𝐿 < ∞ taka, ˙ze ∀𝑥

1

, 𝑥

2

∈ [𝑥

0

− 𝑏, 𝑥

0

+ 𝑏]

∣𝑓 (𝑡, 𝑥

1

) − 𝑓 (𝑡, 𝑥

2

)∣ ≤ 𝐿∣𝑥

1

− 𝑥

2

∣.

Wtedy zagadnienie Cauchy’ego

{

˙𝑥 = 𝑓 (𝑡, 𝑥)

𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

ma dok̷ladnie jedno rozwi

,

azanie na przedziale ∣𝑡 − 𝑡

0

∣ ≤ 𝛼, gdzie 𝛼 < min{𝑎, 𝑏/𝑀, 1/𝐿} i

𝑀 = sup

(𝑡,𝑥)∈𝑄

∣𝑓 (𝑡, 𝑥)∣

36

Wersja dla r´

ownania pierwszego rz

,

edu, gdzie 𝑥(𝑡) jest funkcj

,

a wektorow

,

a jednej zmiennej

tzn. 𝑥(𝑡) = (𝑥

1

(𝑡), . . . , 𝑥

𝑛

(𝑡)).

Twierdzenie 3.18. (Picarda-Lindel¨

ofa o istnieniu i jednoznaczno´

sci rozwi

,

aza´

n

lokalnych.)

𝑄 = {(𝑡, 𝑥) ∈ ℝ

𝑚+1

: ∣𝑡 − 𝑡

0

∣ ≤ 𝑎 ∧ ∣∣𝑥 − 𝑥

0

∣∣ ≤ 𝑏},

0 < 𝑎, 𝑏 < ∞.

Niech 𝑓 : ℝ

𝑚+1

→ ℝ b

,

edzie funkcj

,

a ci

,

ag̷l

,

a na 𝑄, kt´

ora spe̷lnia warunek Lipschitza wzgl

,

edem

zmiennej 𝑥 tzn. ∃ 0 < 𝐿 < ∞ taka, ˙ze ∀𝑥

1

, 𝑥

2

∈ [𝑥

0

− 𝑏, 𝑥

0

+ 𝑏]

∣𝑓 (𝑡, 𝑥

1

) − 𝑓 (𝑡, 𝑥

2

)∣ ≤ 𝐿∣∣𝑥

1

− 𝑥

2

∣∣.

Wtedy zagadnienie Cauchy’ego

(𝑍𝐶)

{

˙𝑥 = 𝑓 (𝑡, 𝑥)

𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

ma dok̷ladnie jedno rozwi

,

azanie 𝑥(𝑡) na przedziale ∣𝑡 − 𝑡

0

∣ ≤ 𝛼, gdzie 𝛼 < min{𝑎, 𝑏/𝑀, 1/𝐿}

i 𝑀 = sup

(𝑡,𝑥)∈𝑄

∣𝑓 (𝑡, 𝑥)∣.

Dow´

od. W dowodzie wykorzystamy twierdzenie Banacha o punkcie sta̷lym. W tym celu

rozwa˙zamy zbi´

or

𝐸 := {𝑥(𝑡) ∈ 𝐶([𝑡

0

− 𝑎, 𝑡

0

+ 𝑎]) : 𝑥(𝑡

0

) = 𝑥

0

, ∣∣𝑥(𝑡) − 𝑥

0

∣∣ ≤ 𝑏, ∣𝑡 − 𝑡

0

∣ ≤ 𝛼}.

Jest to domkni

,

ety podzbi´

or przestrzeni zupe̷lnej

𝐵(ℝ

𝑚+1

) := {𝑓 : ℝ

𝑚+1

→ ℝ; 𝑓 ci

,

ag̷la i ograniczona}

z metryk

,

a

𝜌(𝑓, 𝑔) := ∣∣𝑓 − 𝑔∣∣ =

sup

𝑥∈ℝ

𝑚+1

∣𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)∣.

Nietrudno wykaza´

c, ˙ze podzbi´

or domkni

,

ety przestrzeni zupe̷lnej jest tak˙ze przestrzeni

,

a zupe̷ln

,

a.

Aby skorzysta´

c z tw. Banacha definiujemy odwzorowanie 𝐹 : 𝐸 → 𝐶(ℝ

𝑚+1

)

𝐹 (𝑥(𝑡)) := 𝑥

0

+

∫

𝑡

𝑡

0

𝑓 (𝑠, 𝑥(𝑠))𝑑𝑠

(3.7)

37

Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze je´sli istnieje punkt sta̷ly tego odwzorowania tzn. 𝐹 (𝑥(𝑡)) = 𝑥(𝑡), to
spe̷lnia on r´

ownanie (ZC). Dlaczego? R´

ownanie 𝐹 (𝑥(𝑡)) = 𝑥(𝑡) oznacza, ˙ze

𝑥(𝑡) := 𝑥

0

+

∫

𝑡

𝑡

0

𝑓 (𝑠, 𝑥(𝑠))𝑑𝑠.

(3.8)

Z ciag̷lo´sci funkcji 𝑓 i z w̷lasno´sci ca̷lki oznaczonej ( dla f. jednej zmiennej skorzysta´

c ze

wzoru Newtona- Leibnitza) wynika, ˙ze funkcja 𝑥(𝑡) zdefiniowana wzorem (3.8) jest funkcj

,

a

r´

o˙zniczkowaln

,

a o ci

,

ag̷lej pochodnej. Po zr´

o˙zniczkowaniu otrzymujemy (ZC).

Teraz sprawdzamy czy 𝐹 jest kontrakcj

,

a. Najpierw poka˙zemy, ˙ze 𝐹 : 𝐸 → 𝐸 czyli

∣𝐹 (𝑥(𝑡)) − 𝑥

0

∣ ≤ 𝑏.

Mamy

sup

∣𝑡−𝑡

0

∣≤𝑎

∣𝐹 (𝑥(𝑡)) − 𝑥

0

∣ = sup

∣𝑡−𝑡

0

∣≤𝑎






∫

𝑡

𝑡

0

𝑓 (𝑠, 𝑥(𝑠))𝑑𝑠






≤ sup

∣𝑡−𝑡

0

∣≤𝑎

∫

𝑡

𝑡

0

sup

𝑠∈[𝑡

0

,𝑡]

∣𝑓 (𝑠, 𝑥(𝑠))∣ 𝑑𝑠

≤

sup

∣𝑡−𝑡

0

∣≤𝛼

𝑀

∫

𝑡

𝑡

0

𝑑𝑠 =

(

sup

∣𝑡−𝑡

0

∣≤𝛼

𝑀 ∣𝑡 − 𝑡

0

∣

)

≤ 𝑀 𝛼 ≤ 𝑏,

przy czym w przedostatniej nier´

owno´sci korzystamy, z za̷lo˙zenia, ˙ze 𝛼 ≤

𝑏

𝑀

.

Na koniec

udowodnimy, ˙ze 𝐹 jest kontrakcj

,

a.

sup

∣𝑡−𝑡

0

∣≤𝛼

∣𝐹 (𝑥

1

(𝑡) − 𝐹 (𝑥

2

(𝑡))∣ =

sup

∣𝑡−𝑡

0

∣≤𝛼






∫

𝑡

𝑡

0

𝑓 (𝑠, 𝑥

1

(𝑠))𝑑𝑠 −

∫

𝑡

𝑡

0

𝑓 (𝑠, 𝑥

1

(𝑠))𝑑𝑠






=

sup

∣𝑡−𝑡

0

∣≤𝛼






∫

𝑡

𝑡

0

(𝑓 (𝑠, 𝑥

1

(𝑠))𝑑𝑠 − 𝑓 (𝑠, 𝑥

2

(𝑠))𝑑𝑠






≤

sup

∣𝑡−𝑡

0

∣≤𝛼

∫

𝑡

𝑡

0

∣𝑓 (𝑠, 𝑥

1

(𝑠))𝑑𝑠 − 𝑓 (𝑠, 𝑥

2

(𝑠))∣ 𝑑𝑠

=

sup

∣𝑡−𝑡

0

∣≤𝛼

∫

𝑡

𝑡

0

𝐿 ∣∣𝑥

1

(𝑠) − 𝑥

2

(𝑠)∣ ∣𝑑𝑠 ≤

sup

∣𝑡−𝑡

0

∣≤𝛼

∫

𝑡

𝑡

0

𝐿 sup

∣𝑠−𝑡

0

∣≤𝛼

∣∣𝑥

1

(𝑠) − 𝑥

2

(𝑠)∣ ∣𝑑𝑠

=

sup

∣𝑡−𝑡

0

∣≤𝛼

𝐿 sup

∣𝑠−𝑡

0

∣≤𝛼

∣∣𝑥

1

(𝑠) − 𝑥

2

(𝑠)∣ ∣

∫

𝑡

𝑡

0

𝑑𝑠 ≤ 𝐿 sup

∣𝑠−𝑡

0

∣≤𝛼

∣∣𝑥

1

(𝑠) − 𝑥

2

(𝑠)∣ ∣∣𝑡 − 𝑡

0

∣

≤ 𝛼𝐿∣∣𝑥

1

− 𝑥

2

∣∣ < ∣∣𝑥

1

− 𝑥

2

∣∣,

przy czym w przedostatniej nier´

owno´sci korzystamy, z za̷lo˙zenia, ˙ze 𝛼𝐿 < 1. Z twierdzenia

Banacha 𝐹 ma punkt sta̷ly b

,

ed

,

acy granic

,

a ciagu {𝑥

𝑛

(𝑡) = 𝐹

𝑛

(𝑥(𝑡))}

𝑛∈ℕ

. Jest to jedyny punkt

sta̷ly, zatem mamy tylko jedno rozwi

,

azanie zagadnienia Cauchy’ego (ZC).

38

4

Og´

olna teoria r´

owna´

n liniowych rz

,

edu 𝑛.

4.1

Podstawowe definicje

Definicja 4.1. R´

ownaniem liniowym rz

,

edu 𝑛 nazywamy r´

ownanie postaci

˜

𝑝

0

(𝑥)𝑦

(𝑛)

+ ˜

𝑝

1

(𝑥)𝑦

(𝑛−1)

+ . . . + ˜

𝑝

𝑛−1

(𝑥)𝑦

′

+ ˜

𝑝

𝑛

(𝑥)𝑦 = ˜

𝑓 (𝑥).

Je˙zeli 𝑝

0

(𝑥) nie jest to˙zsamo´sciowo r´

owna zeru, to dzielimy stronami przez 𝑝

0

(𝑥) dostajemy

posta´

c unormowan

,

a.

𝑦

(𝑛)

+ 𝑝

1

(𝑥)𝑦

(𝑛−1)

+ . . . + 𝑝

𝑛−1

(𝑥)𝑦

′

+ 𝑝

𝑛

(𝑥)𝑦 = 𝑓 (𝑥).

(4.1)

Od tej pory zak̷ladamy, ˙ze r´

ownianie liniowe rz

,

edu 𝑛 ma posta´

c unormowan

,

a.

Definicja 4.2. Je˙zeli 𝑓 (𝑥) ≡ 0 dla 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), to r´

ownanie (4.1) przyjmuje posta´

c

𝑦

(𝑛)

+ 𝑝

1

(𝑥)𝑦

(𝑛−1)

+ . . . + 𝑝

𝑛−1

(𝑥)𝑦

′

+ 𝑝

𝑛

(𝑥)𝑦 = 0

(4.2)

i nazywamy je r´

ownaniem liniowym jednorodnym - RLJ. W przeciwnym przypadku jest to

r´

ownanie liniowe niejednorodne-RLNJ.

4.2

Twierdzenie Picarda

Twierdzenie 4.3. Je˙zeli w (4.1) funkcje 𝑓 (𝑥) i 𝑝

𝑖

(𝑥), 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 s

,

a ci

,

ag̷le na (𝑎, 𝑏),

to przez ka˙zdy punkt obszaru 𝑄 := (𝑎, 𝑏) × ℝ przechodzi dok̷ladnie jedna krzywa ca̷lkowa
b

,

ed

,

aca wykresem rozwi

,

azania r´

ownania (4.1) z warunkami pocz

,

atkowymi 𝑦(𝑥

0

) = 𝑦

0

, 𝑦

′

(𝑥

0

) =

𝑦

1

, . . . , 𝑦

(𝑛−1)

(𝑥

0

) = 𝑦

𝑛−1

∈ ℝ

(𝑛−1)

, 𝑥

0

∈< 𝑎, 𝑏 >.

Od tej pory zak̷ladamy, ˙ze funkcje 𝑝

1

(𝑥), . . . , 𝑝

𝑛

(𝑥) s

,

a ci

,

ag̷le na przedziale (𝑎, 𝑏).

Niech ℱ := {𝑓 : (𝑎, 𝑏) → ℝ, 𝑓 ∈ 𝐶

𝑛

(𝑎, 𝑏)}. Wprowadzamy operator r´

o˙zniczkowy liniowy

𝐿 : ℱ → ℱ zdefiniowany wzorem

𝐿(𝑦) := 𝑦

(𝑛)

+ 𝑝

1

(𝑥)𝑦

(𝑛−1)

+ 𝑝

2

(𝑥)𝑦

(𝑛−2)

+ . . . + 𝑝

𝑛−1

(𝑥)𝑦

′

+ 𝑝

𝑛

(𝑥)𝑦

Operator 𝐿 ma nast

,

epuj

,

ace w̷lasno´sci. Niech 𝑦

1

, . . . , 𝑦

𝑛

∈ ℱ .

1. 𝐿(𝑘𝑦) = 𝑘𝐿(𝑦), 𝑘 ∈ ℝ

2. 𝐿(𝑦

1

+ 𝑦

2

) = 𝐿(𝑦

1

) + 𝐿(𝑦

2

),

3. 𝐿(

∑

𝑛
𝑘=1

𝑦

𝑘

) =

∑

𝑛
𝑘=1

𝐿(𝑦

𝑘

).

39

4.3

Wyznacznik Wro´

nskiego

Definicja 4.4. Niech funkcje 𝑦

𝑘

(𝑥), 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 maj

,

a pochodne do rz

,

edu 𝑛 − 1 w̷l

,

acznie na

przedziale (𝑎, 𝑏). Wyznacznik postaci

𝑊 (𝑥) = det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

(𝑥)

𝑦

2

(𝑥)

. . .

𝑦

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

𝑛

(𝑥)

𝑦

′

1

(𝑥)

𝑦

′

2

(𝑥)

. . .

𝑦

′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′

𝑛

(𝑥)

𝑦

′′

1

(𝑥)

𝑦

′′

2

(𝑥)

..

.

𝑦

′′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′′

𝑛

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

𝑦

(𝑛−1)

1

(𝑥) 𝑦

(𝑛−1)

2

(𝑥) . . . 𝑦

(𝑛−1)

𝑛−1

(𝑥) 𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

nazywamy wyznacznikiem Wro´

nskiego lub wro´

nskienem dla funkcji 𝑦

1

, 𝑦

2

, . . . , 𝑦

𝑛

w punkcie

𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

Twierdzenie 4.5. Je˙zeli funkcje 𝑦

1

, 𝑦

2

, . . . , 𝑦

𝑛

s

,

a liniowo zale˙zne na przedziale (𝑎, 𝑏), to ich

wro´

nskian jest to˙zasmo´

sciowo r´

owny zeru na przedziale (𝑎, 𝑏).

Dow´

od. Patrzymy na kombinach

,

e liniow

,

a funkcji 𝑦

1

, 𝑦

2

, . . . , 𝑦

𝑛

. Niech 𝛼

1

𝑦

1

+𝛼

2

𝑦

2

+. . . 𝛼

𝑛

𝑦

𝑛

=

0 dla 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) oraz np. 𝛼

𝑛

∕= 0. Wtedy

𝑦

𝑛

= −

𝛼

1

𝑦

1

𝛼

𝑛

−

𝛼

2

𝑦

2

𝛼

𝑛

− . . . −

𝛼

𝑛−1

𝑦

𝑛−1

𝛼

𝑛

dla 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Ro˙zniczkujemy to r´

ownanie 𝑛 − 1 razy i wstawiamy do 𝑛 -tej kolumny w

wyznaczniku 𝑊 (𝑥). Otrzymamy wyznacznik postaci

det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

(𝑥)

𝑦

2

(𝑥)

. . .

𝑦

𝑛−1

(𝑥)

−

𝛼

1

𝑦

1

(𝑥)

𝛼

𝑛

−

𝛼

2

𝑦

2

(𝑥)

𝛼

𝑛

− . . . −

𝛼

𝑛−1

𝑦

𝑛−1

(𝑥)

𝛼

𝑛

𝑦

′

1

(𝑥)

𝑦

′

2

(𝑥)

. . .

𝑦

′

𝑛−1

(𝑥)

−

𝛼

1

𝑦

′

1

(𝑥)

𝛼

𝑛

−

𝛼

2

𝑦

′

2

(𝑥)

𝛼

𝑛

− . . . −

𝛼

𝑛−1

𝑦

′

𝑛−1

(𝑥)

𝛼

𝑛

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

𝑦

(𝑛−1)

1

(𝑥) 𝑦

(𝑛−1)

2

(𝑥) . . . 𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥) −

𝛼

1

𝑦

(𝑛−1)

1

(𝑥)

𝛼

𝑛

−

𝛼

2

𝑦

(𝑛−1)

2

(𝑥)

𝛼

𝑛

− . . . −

𝛼

𝑛−1

𝑦

(𝑛−1)

𝑛−1

(𝑥)

𝛼

𝑛

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

.

Zatem dla ka˙zdego 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) ten wyznacznik r´

owna si

,

e zeru, poniewa˙z ostatnia kolumna jest

kombinacj

,

a liniow

,

a pozosta̷lych kolumn.

Wniosek 4.6. Je˙zeli dla pewnego 𝑥

0

∈ (𝑎, 𝑏), 𝑊 (𝑥

0

) ∕= 0, to funkcje 𝑦

1

, . . . , 𝑦

𝑛

s

,

a liniowo

niezale˙zne.

40

Twierdzenie 4.7. Je˙zeli funkcje 𝑦

1

, 𝑦

2

, . . . , 𝑦

𝑛

s

,

a liniowo niezale˙znymi rozwi

,

azaniami r´

ownania

jednorodnego

𝐿(𝑦) = 𝑦

(𝑛)

+ 𝑝

1

(𝑥)𝑦

(𝑛−1)

+ . . . + 𝑝

𝑛−1

(𝑥)𝑦

′

+ 𝑝

𝑛

(𝑥)𝑦 = 0.

(4.3)

na przedziale (𝑎, 𝑏), to wro´

nskian jest r´

o˙zny od zera w ka˙zdym punkcie przedzia̷lu (𝑎, 𝑏).

Dow´

od. Przypu´smy, ˙ze tak nie jest. Niech 𝑊 (𝑥

0

) = 0 dla pewnego 𝑥

0

∈ (𝑎, 𝑏). Utw´

orzmy

𝑛-r´

owna´

n

𝐶

1

𝑦

1

(𝑥

0

) + 𝐶

2

𝑦

2

(𝑥

0

) + . . . + 𝐶

𝑛

𝑦

𝑛

(𝑥

0

) = 0

𝐶

1

𝑦

′

1

(𝑥

0

) + 𝐶

2

𝑦

′

2

(𝑥

0

) + . . . + 𝐶

𝑛

𝑦

′

𝑛

(𝑥

0

) = 0

..

.

𝐶

1

𝑦

(𝑛−1)

1

(𝑥

0

) + 𝐶

2

𝑦

(𝑛−1)

2

(𝑥

0

) + . . . + 𝐶

𝑛

𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥

0

) = 0

(4.4)

w kt´

orym niewiadomymi s

,

a sta̷le 𝐶

1

, 𝐶

2

, . . . , 𝐶

𝑛

. Wyznacznik tego uk̷ladu jest r´

owny 𝑊 (𝑥

0

).

Poniewa˙z wyznacznik jest r´

owny zero, to uk̷lad ma (NIEZEROWE) rozwi

,

azania 𝐶

0

1

, . . . , 𝐶

0

𝑛

tzn.

𝐶

0

1

𝑦

1

(𝑥

0

) + 𝐶

0

2

𝑦

2

(𝑥

0

) + . . . + 𝐶

0

𝑛

𝑦

𝑛

(𝑥

0

) = 0

𝐶

0

1

𝑦

′

1

(𝑥

0

) + 𝐶

0

2

𝑦

′

2

(𝑥

0

) + . . . + 𝐶

0

𝑛

𝑦

′

𝑛

(𝑥

0

) = 0

..

.

𝐶

0

1

𝑦

(𝑛−1)

1

(𝑥

0

) + 𝐶

0

2

𝑦

(𝑛−1)

2

(𝑥

0

) + . . . + 𝐶

0

𝑛

𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥

0

) = 0,

(4.5)

tzn. wsr´

od sta̷lych 𝐶

0

1

, . . . , 𝐶

0

𝑛

co najmniej jedna jest r´

o˙zna od zera. Utw´

orzmy kombinacj

,

e

liniow

,

a

𝑦 = 𝐶

0

1

𝑦

1

+ 𝐶

0

2

𝑦

2

+ . . . + 𝐶

0

𝑛

𝑦

𝑛

.

(4.6)

Teraz

𝐿(𝑦) = 𝐿(

𝑛

∑

𝑘=1

𝐶

0

𝑘

𝑦

𝑘

) =

𝑛

∑

𝑘=1

𝐶

0

𝑘

𝐿(𝑦

𝑘

) = 0,

poniewa˙z z za̷lo˙zenia 𝑦

𝑘

, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 s

,

a rozwi

,

azaniami r´

ownania liniowego jednorodnego

(4.2). Ponadto 𝑦 zdefiniowane w (4.6) spe̷lnia warunki pocz

,

atkowe opisane w (4.4). Poniewa˙z

je spe̷lna tak˙ze rozwi

,

azanie 𝑦(𝑥) ≡ 0, to z Tw. Picarda (Twierdzenie 4.3) o jednoznaczno´sci

wynika, ˙ze 𝐶

0

1

𝑦

1

+ 𝐶

0

2

𝑦

2

+ . . . + 𝐶

𝑛

𝑦

𝑛

≡ 0, przy czym co najmniej jedno 𝐶

0

𝑘

∕= 0. Zatem

rowi

,

azania 𝑦

1

, . . . , 𝑦

𝑛

s

,

a liniowo zale˙zne wbrew za̷lo˙zeniom.

Z Twierdzenia 4.5 i Twierdzenia 4.7 wynika nast

,

epuj

,

acy wniosek.

41

Wniosek 4.8. Warunkiem koniecznym i dostatecznym liniowej niezale˙zno´

sci 𝑛-rozwi

,

aza´

n

r´

ownania jednorodnego (4.2) jest aby ich wro´

nskian by̷l r´

o˙zny od zera przynajmniej w jednym

punkcie przedzia̷lu (𝑎, 𝑏).

Twierdzenie 4.9. -Wz´

or Liouville’a. Jez

,

eli funkcje 𝑦

1

, . . . 𝑦

𝑛

s

,

a liniowo niezale˙zne na

przedziale (𝑎, 𝑏) oraz 𝑥

0

∈ (𝑎, 𝑏), to ich wro´

nskian wyra˙za si

,

e wzorem

𝑊 (𝑥) = 𝑊 (𝑥

0

) exp

(

−

∫

𝑥

𝑥

0

𝑝

1

(𝑠)𝑑𝑠

)

.

Dow´

od. Mamy

𝑊 (𝑥) = det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

(𝑥)

𝑦

2

(𝑥)

. . .

𝑦

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

𝑛

(𝑥)

𝑦

′

1

(𝑥)

𝑦

′

2

(𝑥)

. . .

𝑦

′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′

𝑛

(𝑥)

𝑦

′′

1

(𝑥)

𝑦

′′

2

(𝑥)

..

.

𝑦

′′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′′

𝑛

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

𝑦

(𝑛−1)

1

(𝑥) 𝑦

(𝑛−1)

2

(𝑥) . . . 𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥) 𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

.

Zr´

o˙zniczkujemy ten wyznacznik po 𝑥

𝑊

′

(𝑥) = det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

′

1

(𝑥)

𝑦

′

2

(𝑥)

. . .

𝑦

′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′

𝑛

(𝑥)

𝑦

′

1

(𝑥)

𝑦

′

2

(𝑥)

. . .

𝑦

′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′

𝑛

(𝑥)

𝑦

′′

1

(𝑥)

𝑦

′′

2

(𝑥)

..

.

𝑦

′′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′′

𝑛

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

𝑦

(𝑛−1)

1

(𝑥) 𝑦

(𝑛−1)

2

(𝑥) . . . 𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥) 𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

+

+ det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

(𝑥)

𝑦

2

(𝑥)

. . .

𝑦

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

𝑛

(𝑥)

𝑦

′′

1

(𝑥)

𝑦

′′

2

(𝑥)

. . .

𝑦

′′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′′

𝑛

(𝑥)

𝑦

′′

1

(𝑥)

𝑦

′′

2

(𝑥)

. . .

𝑦

′′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′′

𝑛

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

𝑦

(𝑛−1)

1

(𝑥) 𝑦

(𝑛−1)

2

(𝑥) . . . 𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥) 𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

+ . . . det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

(𝑥)

𝑦

2

(𝑥)

. . .

𝑦

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

𝑛

(𝑥)

𝑦

′

1

(𝑥)

𝑦

′

2

(𝑥)

. . .

𝑦

′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′

𝑛

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

𝑦

(𝑛−2)

1

(𝑥) 𝑦

(𝑛−2)

2

(𝑥) . . . 𝑦

(𝑛−2)

𝑛

(𝑥) 𝑦

(𝑛−2)

𝑛

(𝑥)

𝑦

(𝑛)

1

(𝑥)

𝑦

(𝑛)

2

(𝑥)

. . .

𝑦

(𝑛)

𝑛

(𝑥)

𝑦

(𝑛)

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

.

42

Wszystkie wyznaczniki z wyj

,

atkiem ostatniego zeruj

,

a si

,

e bo maj

,

a identyczne dwa wiersze.

Zatem

𝑊

′

(𝑥) = det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

(𝑥)

𝑦

2

(𝑥)

. . .

𝑦

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

𝑛

(𝑥)

𝑦

′

1

(𝑥)

𝑦

′

2

(𝑥)

. . .

𝑦

′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′

𝑛

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

𝑦

(𝑛−2)

1

(𝑥) 𝑦

(𝑛−2)

2

(𝑥) . . . 𝑦

(𝑛−2)

𝑛

(𝑥) 𝑦

(𝑛−2)

𝑛

(𝑥)

𝑦

(𝑛)

1

(𝑥)

𝑦

(𝑛)

2

(𝑥)

. . .

𝑦

(𝑛)

𝑛

(𝑥)

𝑦

(𝑛)

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

.

Mno˙zymy elementy pierwszych 𝑛 − 1 wierszy odpowiednio przez 𝑝

𝑛

(𝑥), 𝑝

𝑛−1

(𝑥), . . . , 𝑝

2

(𝑥)

det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑝

𝑛

(𝑥)𝑦

1

(𝑥)

𝑝

𝑛

(𝑥)𝑦

2

(𝑥)

. . .

𝑝

𝑛

(𝑥)𝑦

𝑛−1

(𝑥)

𝑝

𝑛

(𝑥)𝑦

𝑛

(𝑥)

𝑝

𝑛−1

(𝑥)𝑦

′

1

(𝑥)

𝑝

𝑛−1

(𝑥)𝑦

′

2

(𝑥)

. . . 𝑝

𝑛−1

(𝑥)𝑦

′

𝑛−1

(𝑥)

𝑝

𝑛−1

(𝑥)𝑦

′

𝑛

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

𝑝

2

(𝑥)𝑦

(𝑛−2)

1

(𝑥) 𝑝

2

(𝑥)𝑦

(𝑛−2)

2

(𝑥) . . .

𝑝

2

(𝑥)𝑦

(𝑛−2)

𝑛

(𝑥)

𝑝

2

(𝑥)𝑦

(𝑛−2)

𝑛

(𝑥)

𝑦

(𝑛)

1

(𝑥)

𝑦

(𝑛)

2

(𝑥)

. . .

𝑦

(𝑛)

𝑛

(𝑥)

𝑦

(𝑛)

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

a nast

,

epnie tak pomno˙zone wierze dodajemy do ostatniego wiersza i otrzymujemy wyznacznik

(korzystamy z zale˙zno´sci (4.6))

𝑊

′

(𝑥) = det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

(𝑥)

𝑦

2

(𝑥)

. . .

𝑦

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

𝑛

(𝑥)

𝑦

′

1

(𝑥)

𝑦

′

2

(𝑥)

. . .

𝑦

′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′

𝑛

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

𝑦

(𝑛−2)

1

(𝑥)

𝑦

(𝑛−2)

2

(𝑥)

. . .

𝑦

(𝑛−2)

𝑛

(𝑥)

𝑦

(𝑛−2)

𝑛

(𝑥)

−𝑝

1

(𝑥)𝑦

(𝑛)

1

(𝑥) −𝑝

1

(𝑥)𝑦

(𝑛)

2

(𝑥) . . . 𝑝

1

(𝑥)(𝑦

(𝑛)

𝑛

(𝑥) −𝑝

1

(𝑥)𝑦

(𝑛)

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

= −𝑝

1

(𝑥)𝑊 (𝑥).

Czyli

𝑊

′

(𝑥) + 𝑝

1

(𝑥)𝑊 (𝑥) = 0.

St

,

ad po sca̷lkowaniu otrzymamy

𝑊 (𝑥) = 𝑊 (𝑥

0

) exp

(

−

∫

𝑥

𝑥

0

𝑝

1

(𝑠)𝑑𝑠

)

.

43

Uwaga 4.10.

∙ Je˙zeli wro´

nskian 𝑊 (𝑥) jest r´

owny zero w jednym punkcie, to jest r´

owny

zero w ka˙zdym punkcie 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

∙ Je˙zeli wro´

nskian 𝑊 (𝑥) jest r´

o˙zny od zera w jednym punkcie, to jest r´

o˙zny od zero w

ka˙zdym punkcie 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

4.4

Uk̷lad fundamentalny

Definicja 4.11. Uk̷lad 𝑛-liniowo niezale˙znych rozwi

,

aza´

n r´

ownania jednorodnego (4.2) nazy-

wamy uk̷ladem fundamentalnym rozwi

,

aza´

n tego r´

ownania.

Uwaga 4.12. Z poprzednich rozwa˙za´

n wynika, ˙ze na to aby, uk̷lad rozwi

,

aza´

n by̷l fundamen-

talny potrzeba i wystarcza, aby wro´

skian tych rozwi

,

aza´

n by̷l r´

o˙zny od zera przynajmniej w

jednym punkcie przedzia̷lu (𝑎, 𝑏).

Twierdzenie 4.13. Je˙zeli wsp´

o̷lczynniki r´

ownania (4.2) s

,

a ci

,

ag̷le na przedziale (𝑎, 𝑏), to

istnieje uk̷lad fundamentalny rozwi

,

aza´

n okre´

slonych w tym przedziale.

Dow´

od. We´

zmy 𝑥

0

∈ (𝑎, 𝑏). Zdefiniujemy warunki pocz

,

atkowe

𝑦

1

(𝑥

0

) = 1, 𝑦

2

(𝑥

0

) = 0, . . . , 𝑦

𝑛

(𝑥

0

) = 0

Z Twierdzenia 4.3 wynika, ˙ze istnieje dok̷ladnie jedno rozwi

,

azanie 𝑦

1

(𝑥), 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) spe̷lniaj

,

ace

te warunki. Analogicznie na podstawie Twierdzenia 4.3 istnieje dok̷ladnie jedno rozwi

,

azanie

zagadnienia Cauchy’ego

𝑦

1

(𝑥

0

) = 0, 𝑦

2

(𝑥

0

) = 1, . . . , 𝑦

𝑛

(𝑥

0

) = 0,

kt´

ore oznaczymy symbolem 𝑦

2

(𝑥), 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Postepuj

,

ac analogicznie znajdziemy rowi

,

azania

𝑦

𝑖

(𝑥), 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑖 = 3, . . . , 𝑛. nast

,

epuj

,

acych zagadnie´

n pocz

,

atkowych

𝑦

1

(𝑥

0

) = 0, 𝑦

2

(𝑥

0

) = 0, . . . , 𝑦

𝑖

(𝑥

0

) = 1, . . . , 𝑦

𝑛

(𝑥

0

) = 0, 𝑖 = 3, . . . , 𝑛

Obliczaj

,

ac ich wro´

nskian w punkcie 𝑥

0

otrzymamy

𝑊 (𝑥) = det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

1 0 . . .

0

0

0 1 . . .

0

0

0 0

1

. . . 0

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

0 0 . . .

0

1

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

∕= 0.

44

Zatem jest to uk̷lad fundamentalny r´

ownania jednorodnego (4.2). Taki uk̷lad fundamentalny

nzywamy unormowanym.

Zauwa˙zmy, ˙ze z Twierdzenia 4.3 wynika, ˙ze istnieje dok̷ladnie

jeden unormowany uk̷lad fundamentalny. Z tej metody wynika tak˙ze, ˙ze dla danego r´

ownania

istnieje niesko´

nczenie wiele uk̷lad´

ow fundamentalnych. W tym celu wystarczy wzi

,

a´s´

c zamiast

1 i 0 wstawi´

c 𝑛

2

liczb, kt´

orych wyznacznik jest niezerowy. W´

owczas 𝑊 (𝑥

0

) ∕= 0.

Zajmiemy si

,

e teraz konstrukcj

,

a rozwi

,

azania og´

olnego r´

ownania jednorodnego.

Twierdzenie 4.14. Je˙zeli funkcje 𝑦

1

, . . . , 𝑦

𝑛

tworz

,

a uk̷lad fundamentalny r´

ownania jednorod-

nego (4.2), to rozwi

,

azanie postaci

𝑦 = 𝐶

1

𝑦

1

+ . . . 𝐶

𝑛

𝑦

𝑛

,

𝐶

1

, . . . , 𝐶

𝑛

∈ ℝ jest rozwi

,

azaniem og´

olnym r´

ownania jednborodnego.

Dow´

od. Niech

𝑦 = 𝐶

1

𝑦

1

+ . . . + 𝐶

𝑛

𝑦

𝑛

.

(4.7)

Utw´

orzmy nastepuj

,

acy uk̷lad r´

o˙zniczkuj

,

ac (𝑛 − 1) razy funkcj

,

e zdefinowan

,

a w (4.7).

𝑦 =𝐶

0

1

𝑦

1

+ 𝐶

0

2

𝑦

2

+ . . . + 𝐶

0

𝑛

𝑦

𝑛

𝑦

′

=𝐶

0

1

𝑦

′

1

+ 𝐶

0

2

𝑦

′

2

+ . . . + 𝐶

0

𝑛

𝑦

′

𝑛

..

.

𝑦

(𝑛−1)

=𝐶

0

1

𝑦

(𝑛−1)

1

+ 𝐶

0

2

𝑦

(𝑛−1)

2

+ . . . + 𝐶

0

𝑛

𝑦

(𝑛−1)

𝑛

.

(4.8)

Jest to uk̷lad, kt´

orego niewiadomymi s

,

a sta̷le 𝐶

1

, . . . , 𝐶

𝑛

. Poniewa˙z wyznacznik tego uk̷ladu

jest wro´

nskianem (r´

o˙znym od zera bo funkcje 𝑦

1

, 𝑦

2

, . . . , 𝑦

𝑛

tworz

,

a uk̷lad fundamentalny), to

nasz uk̷lad ma niezerowe rozwi

,

azanie. Zatem funkcja 𝑦 zdefiniowana wzorem (4.7) nie jest

to˙zsamo´sciow r´

owna zeru, poniewa˙z co najmniej jedna ze sta̷lych 𝐶

1

, . . . , 𝐶

𝑛

jest r´

o˙zna od

zera. Z w̷lasno´sci liniowo´sci operatora 𝐿 wynika, ˙ze 𝐿(

∑

𝑛
𝑘=1

𝐶

𝑘

𝑦

𝑘

) =

∑

𝑛
𝑘=1

𝐶

𝑘

𝐿(𝑦

𝑘

) = 0,

poniewa˙z ka˙zda z funkcji 𝑦

𝑘

jest rozwi

,

azaniem.

Uwaga 4.15. Aby uzyska´

c rozwi

,

azanie szczeg´

olne z rozwi

,

azania og´

olnego nale˙zy warunki

pocz

,

atkowe do wstawi´

c do r´

owna´

n (4.8) i wyliczy´

c warto´

sci sta̷lych 𝐶

0

1

, . . . , 𝐶

0

𝑛

.

Dow´

od. Zadane s

,

a warunki pocz

,

atkowe

𝑦(𝑥

0

) = 𝑦

0

0

, . . . , 𝑦

𝑛

(𝑥

0

) = 𝑦

0

𝑛

(4.9)

45

Wstawiamy je do r´

owna´

n (4.8) i otrzymujemy uk̷lad r´

owna´

n

𝑦

0

0

=𝐶

1

𝑦

1

(𝑥

0

) + 𝐶

2

𝑦

2

(𝑥

0

) + . . . + 𝐶

𝑛

𝑦

𝑛

(𝑥

0

)

𝑦

0

1

=𝐶

1

𝑦

′

1

(𝑥

0

) + 𝐶

2

𝑦

′

2

(𝑥

0

) + . . . + 𝐶

𝑛

𝑦

′

𝑛

(𝑥

0

)

..

.

𝑦

0

𝑛−1

=𝐶

1

𝑦

(𝑛−1)

1

(𝑥

0

) + 𝐶

2

𝑦

(𝑛−1)

2

(𝑥

0

) + . . . + 𝐶

𝑛

𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥

0

)

(4.10)

Poniewa˙z jego wyznacznik jest wro´

nskianem, to istnieje dok̷ladnie jedno niezerowe rozwi

,

azanie

𝐶

0

1

, . . . , 𝐶

0

𝑛

, kt´

ore wstawiamy do (4.7). Jest to szukane rozwi

,

azanie szczeg´

olne.

4.5

Wymiar przestrzeni

Poka˙zemy teraz, ˙ze r´

ownanie (4.2) nie mo˙ze mie´

c wi

,

ecej ni˙z 𝑛 liniowo nizezale˙znych rozwi

,

aza´

n.

Istotnie przypu´smy, ˙ze mamy 𝑛+1 rozwi

,

aza´

n szczeg´

olnych 𝑦

1

, . . . , 𝑦

𝑛+1

. Rozwa˙zmy pierwszych

𝑛 rozwi

,

aza´

n. Je˙zeli s

,

a one liniowo zale˙zne, to tak˙ze wszystkie 𝑛 + 1 rozwi

,

aza´

n jest liniowo

zale˙znych, gdzy˙z mamy zwi

,

azek 𝛼

1

𝑦

1

+ 𝛼

2

𝑦

2

+ . . . + 𝛼

𝑛

𝑦

𝑛

+ 0 ⋅ 𝑦

𝑛+1

= 0, gdzie nie wszystkie

stale 𝛼

𝑖

s

,

a r´

owne zeru. Je˙zeli za´s rozwi

,

azania 𝑦

1

, . . . , 𝑦

𝑛

s

,

a liniowo niezale˙zne, to zgodnie to z

twierdzenia 4.14 wynika, ˙ze 𝑦

𝑛+1

= 𝐶

0

1

𝑦

1

+ 𝐶

0

2

+ . . . + 𝐶

0

𝑛

𝑦

𝑛

, zatem rozwi

,

azania 𝑦

1

, . . . , 𝑦

𝑛

, 𝑦

𝑛+1

s

,

a liniowo zale˙zne wbrew za̷lo˙zeniu.

4.6

Rozwi

,

azanie og´

olne r´

ownania niejednorodnego

Opiszemy metod

,

e Lagrange’a uzmienniania sta̷lych. Poka˙zemy, ˙ze mo˙zna znale´

z´

c rozwi

,

azanie

og´

olne r´

ownania niejednorodnego (4.1) je´sli znamy rozwi

,

azanie og´

olne r´

ownania jednorodnego.

Niech 𝑦(𝑥) =

∑

𝑛
𝑘=1

𝐶

𝑘

𝑦

𝑘

(𝑥) b

,

edzie rozwi

,

azaniem og´

olnym RLJ (4.2). Rozwi

,

azania r´

ownania

jednorodnego poszukujemy w postaci

𝑦(𝑥) =

𝑛

∑

𝑘=1

𝐶

𝑘

(𝑥)𝑦

𝑘

(𝑥).

Zatem trzeba je 𝑛- krotnie zr´

o˙zniczkowa´

c i wstawi´

c do r´

ownania (4.1). Otrzymamy wtedy

nast

,

epuj

,

acy uk̷lad r´

owna´

n

𝐶

′

1

(𝑥)𝑦

1

(𝑥) + 𝐶

′

2

(𝑥)𝑦

2

(𝑥)+

+ . . . 𝐶

′

𝑛

(𝑥)𝑦

𝑛

(𝑥) =

0

𝐶

′

1

(𝑥)𝑦

′

1

(𝑥) + 𝐶

′

2

(𝑥)𝑦

′

2

(𝑥)+

+ . . . 𝐶

′

𝑛

(𝑥)𝑦

′

𝑛

(𝑥) =

0

..

.

=

0

𝐶

′

1

(𝑥)𝑦

(𝑛−2)

1

(𝑥) + 𝐶

′

2

(𝑥)𝑦

(𝑛−2)

2

(𝑥)+ . . . + 𝐶

′

𝑛

(𝑥)𝑦

(𝑛−2)

𝑛

(𝑥) =

0

𝐶

′

1

(𝑥)𝑦

(𝑛−1)

1

(𝑥) + 𝐶

′

2

(𝑥)𝑦

(𝑛−1)

2

(𝑥)+ . . . + 𝐶

′

𝑛

(𝑥)𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥) = 𝑓 (𝑥)

(4.11)

46

Jego wyznacznik, to wro´

nskian

𝑊 (𝑥) = det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

(𝑥)

𝑦

2

(𝑥)

. . .

𝑦

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

𝑛

(𝑥)

𝑦

′

1

(𝑥)

𝑦

′

2

(𝑥)

. . .

𝑦

′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′

𝑛

(𝑥)

𝑦

′′

1

(𝑥)

𝑦

′′

2

(𝑥)

..

.

𝑦

′′

𝑛−1

(𝑥)

𝑦

′′

𝑛

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

𝑦

(𝑛−1)

1

(𝑥) 𝑦

(𝑛−1)

2

(𝑥) . . . 𝑦

(𝑛−1)

𝑛−1

(𝑥) 𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

,

zatem jest r´

o˙zny od zera dla ka˙zdego 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

Rozwi

,

azujemy uk̷lad (4.11) korzystaj

,

ac z metod algebry liniowej tzn.

𝑊

𝐶

′

𝑖

(𝑥)

= det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

(𝑥)

𝑦

2

(𝑥)

. . . 0 . . .

𝑦

𝑛

(𝑥)

𝑦

′

1

(𝑥)

𝑦

′

2

(𝑥)

. . . 0 . . .

𝑦

′

𝑛

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

0

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

0

..

.

..

.

𝑦

(𝑛−2)

1

(𝑥) 𝑦

(𝑛−2)

2

(𝑥) . . . 0 . . . 𝑦

(𝑛−2)

𝑛

(𝑥)

𝑦

(𝑛−1)

1

(𝑥) 𝑦

(𝑛−1)

2

(𝑥) . . . 0 . . . 𝑦

(𝑛−1)

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

.

(4.12)

Wtedy

𝐶

𝑖

(𝑥) =

∫

𝑊

𝐶

′

𝑖

(𝑥)

𝑊 (𝑥)

𝑑𝑥 + 𝐶

𝑖

,

gdzie 𝐶

𝑖

∈ ℝ. Tak obliczone funkcje 𝐶

𝑖

(𝑥), 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) wstawiamy do

𝑦(𝑥) =

𝑛

∑

𝑘=1

𝐶

𝑘

𝑦

𝑘

(𝑥).

Zatem rozwi

,

azanie og´

olne r´

ownania niejednorodnego ma posta´

c

𝑦(𝑥) = 𝐶

1

𝑦

1

(𝑥) + 𝐶

1

𝑦

1

(𝑥) + . . . + 𝐶

𝑛

𝑦

𝑛

(𝑥)

|

{z

}

𝑅𝑂𝑅𝐿𝐽

+ 𝑦

𝑠

1

(𝑥) + . . . 𝑦

𝑠

𝑛

(𝑥)

|

{z

}

𝑅𝑆𝑅𝐿𝑁 𝐽

.

Tym samym udownili´smy nast

,

epuj

,

ace twierdzenie

Twierdzenie 4.16. Niech

𝑦

(𝑛)

+ 𝑝

1

(𝑥)𝑦

(𝑛−1)

+ . . . + 𝑝

𝑛−1

(𝑥)𝑦

′

+ 𝑝

𝑛

(𝑥)𝑦 = 𝑓 (𝑥).

(4.13)

Rozwi

,

azanie og´

olne tego r´

ownania jest sum

,

a rozwi

,

azania og´

olnego r´

ownania liniowego jed-

norodnego

𝑦

(𝑛)

+ 𝑝

1

(𝑥)𝑦

(𝑛−1)

+ . . . + 𝑝

𝑛−1

(𝑥)𝑦

′

+ 𝑝

𝑛

(𝑥)𝑦 = 0

(4.14)

i rozwi

,

azania szczeg´

olnego r´

owniania niejednorodnego (kt´

ore zale˙zy od funkcji 𝑓 ).

Symbolicznie tez

,

e tego twierdzenia mo˙zna zapisa´

c tak RORLNJ=RORLJ+RSRLNJ.

47

5

Uk̷lady r´

owna´

n liniowych

5.1

Teoria r´

owna´

n I rz

,

edu

B

,

edziemy zajmowa´

c si

,

e uk̷ladami r´

owna´

n liniowych. Wiemy ju˙z jak r´

ownanie rz

,

edu 𝑛 sprowadzi´

c

do uk̷ladu r´

owna´

n pierwszego rz

,

edu i takie w̷la´snie uk̷lady b

,

edziemy bada´

c.

Definicja 5.1. Uk̷lad r´

owna´

n liniowych pierwszego rz

,

edu ma posta´

c

𝑌

′

(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝑌 (𝑥) + 𝐹 (𝑥)

(5.1)

gdzie 𝐴(𝑥) jest macierz

,

a 𝑛 × 𝑛

𝐴(𝑥) =

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝑎

11

(𝑥)

𝑎

12

(𝑥)

. . . 𝑎

1𝑛

(𝑥)

𝑎

21

(𝑥)

𝑎

22

(𝑥)

. . . 𝑎

2𝑛

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

𝑎

𝑛1

(𝑥) 𝑎

𝑛2

(𝑥) . . . 𝑎

𝑛𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

,

natomiast 𝐹 (𝑥) i 𝑌 (𝑥) s

,

a funkcjami wektorowymi tzn.

𝐹 (𝑥) =

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑓

1

(𝑥)

𝑓

2

(𝑥)

𝑓

3

(𝑥)

..

.

𝑓

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

𝑌 (𝑥) =

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

(𝑥)

𝑦

2

(𝑥)

𝑦

3

(𝑥)

..

.

𝑦

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

.

Definicja 5.2. Warunek poczatkowy ma posta´

c

𝑌 (𝑥

0

) = 𝑌

0

.

(5.2)

Cho´

c r´

ownanie (5.1) ma posta´

c wektorow

,

a, to wiele jego w̷lasno´sci udowodnionych dla

r´

owna´

n skalarnych zachodzi tak˙ze dla r´

owna´

n wektorowych.

Twierdzenie 5.3. Jezeli funkcje 𝐴(𝑥) i 𝐹 (𝑥) s

,

a ci

,

ag̷le dla 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), to przez ka˙zdy punkt

zbioru 𝑄 = (𝑎, 𝑏) × ℝ

𝑛

przechodzi dok̷ladnie jedna krzywa ca̷lkowa r´

ownania (5.1). Maksy-

malnym przedzia̷lem istnienia ka˙zdego rozwi

,

azania jest przedzia̷l (𝑎, 𝑏).

B

,

edziemy bada´

c r´

ownanie liniowe jednorodne

𝑌

′

(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝑌 (𝑥)

(5.3)

Z jednoznaczno´sci rozwi

,

azania gwarantowanej przez twierdzenie 5.3 wynika, ˙ze je´sli 𝑌 (𝑥

0

) = 0

dla pewnego 𝑥

0

∈ (𝑎, 𝑏), to 𝑌 (𝑥) jest to˙zsamo´sciowo r´

owne zeru.

48

Twierdzenie 5.4.

∙ Rozwi

,

azania r´

ownania jednorodnego (5.3) tworz

,

a 𝑛-wymiarow

,

a przestrze´

n

liniow

,

a 𝐸.

∙ Je´sli 𝑌

0

(𝑥) jst rozwi

,

azaniem szczeg´

olnym r´

ownania niejednorodnego (5.1), a wektory

𝑌

𝑖

(𝑥), 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 tworz

,

a baz

,

e przestrzeni 𝐸, to rozwi

,

azania og´

olne r´

ownania niejed-

norodnego ma posta´

c

𝑌 (𝑥) = 𝑌

0

(𝑥) +

𝑛

∑

𝑖=1

𝐶

𝑖

𝑌

𝑖

(𝑥),

gdzie 𝐶

𝑖

∈ ℝ, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛.

Dow´

od. Niech 𝐸 b

,

edzie zbiorem wszystkich rozwi

,

aza´

n r´

ownania (5.3). Je´sli 𝑌

1

(𝑥), 𝑌

2

(𝑥) ∈ 𝐸,

to 𝑌 (𝑥) + 𝐶

1

𝑌

1

(𝑥) + 𝐶

2

𝑌

2

(𝑥) ∈ 𝐸, poniewa˙z

𝑌

′

(𝑥) = 𝐶

1

𝑌

′

1

(𝑥) + 𝐶

2

𝑌

′

2

(𝑥) = 𝐶

1

𝐴(𝑥)𝑌

1

(𝑥) + 𝐶

2

𝐴(𝑥)𝑌

2

(𝑥) = 𝐴(𝑥)(𝐶

1

𝑌

1

(𝑥) + 𝐶

2

𝑌

2

(𝑥)).

Zatem 𝐸 jest przestrzeni

,

a liniow

,

a. Udowodnimy teraz, ˙ze dim(𝐸) = 𝑛. Niech 𝑥

0

∈ (𝑎, 𝑏) i

zdefinujemy odwzorowanie

𝐿 : 𝑌 (𝑥) → 𝑌 (𝑥

0

) = 𝑌

0

∈ ℝ

𝑛

.

Jest to odwzorowanie liniowe

𝐿(𝐶

1

𝑌

1

(𝑥) + 𝐶

2

𝑌

2

(𝑥)) = 𝐶

1

𝐿(𝑌

1

(𝑥)) + 𝐶

2

𝐿(𝑌

2

(𝑥))

i odwzorowuje 𝐸 w ℝ

𝑛

. Poka˙zemy, ˙ze jest ono izomorfizmem. W tym celu zauwa˙zmy, ˙ze je´sli

ustalimy 𝑥

0

∈ ℝ

𝑛

, to istnieje rozwi

,

azanie r´

ownania (5.3) z warunkiem 𝑌 (𝑥

0

) = 𝑌

0

. Wynika

to z twierdzenia 5.3. Zatem odwzorowanie 𝐿 jest ’na’. Udowodnimy teraz, ˙ze jest wzajemnie
jednoznaczne. W tym celu wystarczy zauwa˙zy´

c, ˙ze je´sli 𝑌 (𝑥

0

) = 0, to 𝑌 (𝑥) jest to˙zsamo´sciowo

r´

owne zeru, co oznacza, ˙ze wymiar j

,

adra jest r´

owny zeru czyli wymiar 𝐸 jest r´

owny 𝑛. Tym

samym udowdnili´smy podpunkt pierwszy. Dow´

od drugiego przypadku jest taki sam jak w

przypadku r´

ownania liniowego.

5.2

Macierz fundamentana i wro´

nskian

Za̷l´

o˙zmy, ˙ze mamy pewn

,

a baz

,

e przestrzeni 𝐸 rozwi

,

aza´

n r´

ownania jednorodnego

𝑌

′

(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝑌 (𝑥).

49

Baza sk̷lada si

,

e z 𝑛 funkcji 𝑌

1

(𝑥), 𝑌

2

(𝑥), . . . , 𝑌

𝑛

(𝑥). Zbudujemy macierz

𝑋(𝑥) :=

⎛

⎝

𝑌

1

(𝑥)

| {z }

1 𝑘𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎

𝑌

2

(𝑥)

| {z }

2 𝑘𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎

. . .

𝑌

𝑛

(𝑥)

| {z }

𝑛−𝑡𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎

⎞

⎠

=

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

1

(𝑥) 𝑦

2

1

(𝑥) . . . 𝑦

𝑛

1

(𝑥)

𝑦

1

2

(𝑥) 𝑦

2

2

(𝑥) . . . 𝑦

𝑛

2

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

𝑦

1

𝑛

(𝑥)

| {z }

𝑌

1

𝑦

2

𝑛

(𝑥)

| {z }

𝑌

2

. . . 𝑦

𝑛

𝑛

(𝑥)

| {z }

𝑌

𝑛

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

(5.4)

Jej kolumnami s

,

a rozwi

,

azania 𝑌

𝑘

(𝑥), 𝑘 = 1, . . . , 𝑛. Tak zdefiniowana macierz 𝑋(𝑥) spe̷lnia

nast

,

epuj

,

ace r´

ownanie

𝑋

′

(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝑋(𝑥)

(5.5)

poniewa˙z wektory 𝑌

𝑘

(𝑥) s

,

a rozwi

,

azaniami r´

owniania ˙

𝑌 (𝑥) = 𝐴(𝑥)𝑌 (𝑥). Warto zauwa˙zy´

c,

˙ze jesli macierz 𝑋(𝑥) spe̷lnia r´

ownanie (5.5), to jej kolumny spe̷lniaj

,

a r´

ownanie jednorodne

(5.3). Zatem mamy wzajemn

,

a jednoznaczno´s´

c mi

,

edzy r´

ownaniem (5.3) i (5.5).

Definicja 5.5. Macierz kwadratowa 𝑋(𝑥) o wymiarze 𝑛 × 𝑛 spe̷lniaj

,

aca r´

ownanie (5.5) czyli

𝑋

′

(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝑋(𝑥) dla kt´

orej wyznacznik det 𝐴(𝑥) ∕= 0 nazywamy macierz

,

a fundamen-

taln

,

a.

Wektory 𝑌

1

(𝑥), . . . , 𝑌

𝑛

(𝑥) b

,

ed

,

ace kolumnami macierzy fundamentalnej nazywamy

uk̷ladem fundamentalnym rozwi

,

aza´

n r´

ownania jednorodnego (5.3). Wyznacznik macierzy

𝑋(𝑥) nazywamy wyznacznikiem Wro´

nskiego.

Twierdzenie 5.6. Niech 𝑋(𝑥) b

,

edzie macierz

,

a spe̷lniaj

,

ac

,

a r´

ownanie (5.5) na przedziale (𝑎, 𝑏)

oraz 𝑊 (𝑥) := det(𝑋(𝑥)). Dla ka˙zdych 𝑥, 𝑥

0

∈ (𝑎, 𝑏) zachodzi

𝑊 (𝑥) = 𝑊 (𝑥

0

) exp

∫

𝑥

𝑥

0

𝑡𝑟𝐴(𝑠)𝑑𝑠,

(5.6)

gdzie 𝑡𝑟𝐴(𝑠) =

∑

𝑛
𝑘=1

𝑎

𝑘𝑘

(𝑠) oznacza ´

slad macierzy 𝐴(𝑠).

Dow´

od. Niech 𝐴(𝑥) = 𝑎

𝑖𝑗

(𝑥)

𝑖,𝑗=1,...,𝑛

oraz

𝑋(𝑥) =

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

1

(𝑥) 𝑦

2

1

(𝑥) . . . 𝑦

𝑛

1

(𝑥)

𝑦

1

2

(𝑥) 𝑦

2

2

(𝑥) . . . 𝑦

𝑛

2

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

𝑦

1

𝑛

(𝑥) 𝑦

2

𝑛

(𝑥) . . . 𝑦

𝑛

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

50

R´

ozniczkuj

,

ac wyznacznik 𝑊 (𝑥) otrzymamy

˙

𝑊 (𝑥) = det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

˙

𝑦

1

1

(𝑥)

˙

𝑦

1

2

(𝑥) . . . ˙

𝑦

1

𝑛

(𝑥)

𝑦

1

2

(𝑥)

𝑦

2

2

(𝑥)

. . . 𝑦

𝑛

2

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

𝑦

1

𝑛

(𝑥)

𝑦

2

𝑛

(𝑥)

. . . 𝑦

𝑛

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

+ . . . +

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

1

(𝑥)

𝑦

2

1

(𝑥)

. . . 𝑦

𝑛

1

(𝑥)

𝑦

1

2

(𝑥)

𝑦

2

2

(𝑥)

. . . 𝑦

𝑛

2

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

˙

𝑦

𝑛

1

(𝑥)

˙

𝑦

𝑛

2

(𝑥) . . . ˙

𝑦

𝑛

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

.

R´

ownanie (5.5) jest r´

ownowa˙zne uk̷ladowi r´

owna´

n

˙

𝑦

𝑖

𝑗

(𝑥) =

𝑛

∑

𝑘=1

𝑎

𝑖𝑘

(𝑥)𝑦

𝑗

𝑘

,

𝑖 = 1, . . . , 𝑛.

Korzystaj

,

ac z niego otrzymamy

˙

𝑊 (𝑥) = det

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝑎

11

˙

𝑦

1

1

(𝑥) 𝑎

11

˙

𝑦

1

2

(𝑥) . . . 𝑎

11

˙

𝑦

1

𝑛

(𝑥)

𝑦

1

2

(𝑥)

𝑦

2

2

(𝑥)

. . . 𝑦

𝑛

2

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

𝑦

1

𝑛

(𝑥)

𝑦

2

𝑛

(𝑥)

. . . 𝑦

𝑛

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

+ . . .

+

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

1

(𝑥)

𝑦

2

1

(𝑥)

. . . 𝑦

𝑛

1

(𝑥)

𝑦

1

2

(𝑥)

𝑦

2

2

(𝑥)

. . . 𝑦

𝑛

2

(𝑥)

..

.

..

.

..

.

𝑎

𝑛𝑛

˙

𝑦

𝑛

1

(𝑥) 𝑎

𝑛𝑛

˙

𝑦

𝑛

2

(𝑥) . . . 𝑎

𝑛𝑛

˙

𝑦

𝑛

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

czyli

˙

𝑊 (𝑥) = 𝑊 (𝑥)

𝑛

∑

𝑖=1

𝑎

𝑖𝑖

(𝑡).

Ca̷lkuj

,

ac to r´

ownanie otrzymamy

𝑊 (𝑥) = 𝑊 (𝑥

0

)

∫

𝑥

𝑥

0

𝑡𝑟𝐴(𝑠)𝑑𝑠,

co ko´

nczy dow´

od.

Uwaga 5.7. Je´

sli det 𝑋(𝑥

0

) ∕= 0 dla pewnego 𝑥

0

∈ (𝑎, 𝑏), to det 𝑋(𝑥) ∕= 0 dla ka˙zdego

𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

51

5.3

Istnienie uk̷ladu fundamentalnego

Twierdzenie 5.8. Ka˙zde r´

ownanie liniowe jednorodne (5.3) ma uk̷lad fundamentalny.

Dow´

od. Wybierzmy 𝑛 liniowo niezale˙znych wektor´

ow 𝑌

1

0

, 𝑌

1

0

, . . . , 𝑌

𝑛

0

i rozwi

,

azujemy r´

ownanie

˙

𝑌 (𝑥) = 𝐴(𝑥)𝑌 (𝑥)

z warunkami poczatkowymi

𝑌 (𝑥

0

) = 𝑌

𝑖

0

,

𝑖 = 1, . . . , 𝑛

gdzie 𝑥

0

∈ (𝑎, 𝑏). Otrzymane rozwi

,

azania tworz

,

a uk̷lad fundantalny bo 𝑊 (𝑥

0

) ∕= 0 z liniowej

niezale˙zno´sci wektor´

ow 𝑌

𝑖

0

. Zatem 𝑊 (𝑥) ∕= 0 dla ka˙zdego 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).

Z powy˙zszego dowodu wynika, ˙ze dany uk̷lad ma niesko´

nczenie wiele uk̷lad´

ow fundamen-

talnych. Poniewa˙z ka˙zdemu z nich odpowiada macierz fundamentalna, to te˙z dany uk̷lad
ma niesko´

nczenie wiele macierzy fundamentalnych. Uk̷lady fundamentalne s

,

a bazami, zatem

istnieje nieosobliwa macierz przejscia kt´

ora przekszta̷lca jeden uk̷lad na drugi. Ta zalezno´sc

b

,

edzie wykorzystana przy badaniu uk̷lad´

ow r´

owna´

n o sta̷lych wsp´

o̷lczynnikach.

5.4

Niejednorodne uk̷lady r´

owna´

n

Twierdzenie 5.9. Niech dany b

,

edzie niejednorodny uk̷lad r´

owna´

n zdefiniowany w (5.1) z

warunkami pocz

,

atkowymi (5.2). Rozwi

,

azanie og´

olne tego r´

ownania ma posta´

c

𝑌 (𝑥) = 𝑋(𝑥)𝑋

−1

(𝑥

0

)𝑌 (𝑥

0

) + 𝑋(𝑥)

∫

𝑥

𝑥

0

𝑋(𝑠)

−1

𝐹 (𝑠)𝑑𝑠,

gdzie 𝑋(𝑥) jest macierz

,

a fundamentalna zdefiniowana w (5.4).

Dow´

od. Niech 𝑌

1

(𝑥), . . . , 𝑌

𝑛

(𝑥) tworz

,

a uk̷lad fundamentalny rozwi

,

aza´

n r´

ownania jednorod-

nego (5.3). Wtedy ka˙zde rozwi

,

azanie tego r´

ownania jest kombinacj

,

a liniow

,

a tych rowi

,

aza´

n

tzn.

𝑌 (𝑥) =

𝑛

∑

𝑘=1

𝐶

𝑘

𝑌

𝑘

(𝑥).

(5.7)

Rozwi

,

azania r´

ownania niejednorodnego b

,

edziemy poszukiwa´

c uzmienniaj

,

ac sta̷le czyli

𝑌 (𝑥) =

𝑛

∑

𝑘=1

𝐶

𝑘

(𝑥)𝑌

𝑘

(𝑥).

(5.8)

52

Niech 𝑋(𝑥) oznaca macierz fundamentalna a

𝐶(𝑥) =

⎛

⎜
⎝

𝐶

1

(𝑥)

..

.

𝐶

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎠

.

Zatem (5.8) mo˙zna zapisa´

c w postaci

𝑌 (𝑥) = 𝑋(𝑥)𝐶(𝑥).

Podstawiaj

,

ac to wyra˙zenie do r´

ownania niejednorodnego

𝑌

′

(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝑌 (𝑥) + 𝐹 (𝑥)

otrzymamy

˙

𝑋(𝑥)𝐶(𝑥) + 𝑋(𝑥) ˙

𝐶(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝑋(𝑥)𝐶(𝑥) + 𝐹 (𝑥).

Poniewa˙z 𝑋(𝑥) spe̷lnia r´

ownania ˙

𝑋(𝑥) = 𝐴(𝑥)𝑋(𝑥), to

𝑋(𝑥) ˙

𝐶(𝑥) = 𝐹 (𝑥).

Macierz 𝑋(𝑥) jest nieosobliwa, to istnieje macierz odwrotna 𝑋

−1

(𝑥) i ostanie r´

ownanie przy-

muje posta´

c

˙

𝐶(𝑥) = 𝑋

−1

(𝑥)𝐹 (𝑥).

Ca̷lkuj

,

ac je otrzymamy

𝐶(𝑥) = 𝐶(𝑥

0

) +

∫

𝑥

𝑥

0

𝑋

−1

(𝑠)𝐹 (𝑠)𝑑𝑠.

Warunek pocz

,

atkowy oznacza, ˙ze

𝑋(𝑥

0

)𝐶(𝑥

0

) = 𝑌

0

czyli

𝐶(𝑥

0

) = 𝑋

−1

(𝑥

0

)𝑌

0

.

Zatem

𝐶(𝑥) = 𝑋

−1

(𝑥

0

)𝑌

0

+

∫

𝑥

𝑥

0

𝑋

−1

(𝑠)𝐹 (𝑠)𝑑𝑠.

Mno˙z

,

ac ostatni

,

a zale˙zno´s´

c przez 𝑋(𝑥) otrzymamy tez

,

e twierdzenia.

53

5.5

Uk̷lady r´

owna´

n o sta̷lych wsp´

o̷lczynnikach

Rozwa˙zmy uk̷lad jednorodny

𝑌

′

(𝑥) = 𝑅𝑌 (𝑥)

(5.9)

gdzie 𝑅 jest macierz

,

a sta̷l

,

a o wymiarze 𝑛 × 𝑛, oraz warunek pocz

,

atkowy

𝑌 (𝑥

0

) = 𝑌

0

.

(5.10)

Gdyby to by̷lo r´

ownanie skalarne, to rozwi

,

azaniem zagadnienia (5.9) i (5.10) by̷laby funkcja

𝑦(𝑥) = 𝑒

𝑅(𝑥−𝑥

0

)

.

Poka˙zemy teraz, ˙ze identyczny wz´

or zachodzi tak˙ze dla r´

ownania wek-

torowego.

Definicja 5.10. Je´

sli 𝐴 jest macierz

,

a kwadratow

,

a 𝑛 × 𝑛, to 𝑒

𝐴

definujemy jako sum

,

e szeregu

𝑒

𝐴

= 𝐼 + 𝐴 +

𝐴

2

2!

+

𝐴

3

3!

+ . . . +

𝐴

𝑛

𝑛!

+ . . . ,

(5.11)

gdzie napis 𝐴

𝑛

oznacza 𝑛-krotne mno˙zenie macierzy 𝐴.

Zbie˙zno´s´

c szeregu wynika z faktu, ˙ze je´sli norma macierzy 𝐴 r´

owna si

,

e 𝐾, to szereg w

(5.11) jest majoryzowany przez szereg

1 + 𝐾 +

𝐾

2

2!

+

𝐾

3

3!

+ . . . +

𝐾

𝑛

𝑛!

+ . . . = 𝑒

𝐾

.

Twierdzenie 5.11. Niech ˙

𝑌 = 𝑅𝑌 .

Wtedy macierz fundamentalna tego r´

ownania jest

postaci 𝑋(𝑥) = exp(𝑅𝑥) = 𝑒

𝑅𝑥

.

Dow´

od. Poka˙zemy, ˙ze macierz 𝑋(𝑥) = exp(𝑅𝑥) spe̷lnia r´

ownanie ˙

𝑋(𝑥) = 𝑅𝑋(𝑥). Policzymy

𝑑𝑒

𝑅𝑥

𝑑𝑥

=

𝑑

𝑑𝑥

(

𝐼 + 𝑅𝑥 +

𝑅

2

𝑥

2

2!

+

𝑅

3

𝑥

3

3!

+ . . . +

𝑅

𝑛

𝑥

𝑛

𝑛!

+ . . .

)

=

(

𝑅 + 𝑅

2

𝑥 +

𝑅

3

2!

𝑥

2

+ . . . +

𝑅

𝑛

(𝑛 − 1)!

𝑥

𝑛−1

+ . . .

)

= 𝑅

(

𝐼 +

𝑅

1!

𝑥 +

𝑅

2

2!

𝑥

2

+ . . . +

𝑅

𝑛−1

(𝑛 − 1)!

𝑥

𝑛−1

+ . . .

)

= 𝑅𝑒

𝑅𝑥

.

.

54

5.6

Konstrukcja macierzy fundamentalnej

Je´sli macierz 𝑅 jest diagonalna tzn. ma posta´

c

𝑅 =

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝜆

1

0

. . .

0

0

𝜆

2

. . .

0

..

.

0

0

0

. . . 𝜆

𝑛

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

,

to

𝑒

𝑅𝑥

:= 𝐼 + 𝑅𝑥 +

𝑅

2

𝑥

2

2!

+

𝑅

3

𝑥

3

3!

+ . . . +

𝑅

𝑛

𝑥

𝑛

𝑛!

+ . . . + =

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝑒

𝜆

1

𝑥

0

. . .

0

0

𝑒

𝜆

2

𝑥

. . .

0

..

.

0

0

0

. . . 𝑒

𝜆

𝑛

𝑥

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

,

poniewa˙z pot

,

egi macierzy diagonalnej s

,

a macierzami diagonalnymi. Je´sli macierz 𝑅 nie ma

postaci diagonalnej, to pomimo, ˙ze macierz jest rzeczywista b

,

edziemy j

,

a traktowa´

c jak odw-

zorowanie z ℂ

𝑛

→ ℂ

𝑛

. Na mocy twierdzenia Jordana, istnieje macierz nieosobliwa 𝑄 taka, ˙ze

𝑄

−1

𝑅𝑄 = 𝐽 , gdzie 𝐽 jest macierz

,

a w postaci kanonicznej

𝐽 =

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝐽

1

0

. . .

0

0

𝐽

2

. . .

0

..

.

0

0

0

. . . 𝐽

𝑘

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

,

gdzie ka˙zda z klatek Jordana jest klatk

,

a diagonaln

,

a albo klatk

,

a postaci

𝐽

𝑘

=

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝜆

𝑘

0

0

. . .

0

1

𝜆

𝑘

0

. . .

0

0

1

𝜆

𝑘

. . .

0

..

.

0

0

. . .

1

𝜆

𝑘

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

.

Przestrzen ℂ

𝑛

rozpada si

,

e na sum

,

e prost

,

a podprzestrzeni 𝐻

𝑘

o tej w̷lasno´sci, ˙ze ka˙zda 𝐻

𝑘

jest

przestrzeni

,

a niezmiennicz

,

a dla 𝐽 i 𝐽

𝑘

. Zatem

𝑒

𝐽 𝑥

=

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝑒

𝐽

1

𝑥

0

. . .

0

0

𝑒

𝐽

2

𝑥

. . .

0

..

.

0

0

0

. . . 𝑒

𝐽

𝑘

𝑥

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

,

55

czyli wystarczy skonstruowa´

c macierz 𝑒

𝐽

𝑖

𝑥

, 𝑖 = 1, . . . , 𝑘. Je´sli macierz 𝐽

𝑖

jest diagonalna, to

wiemy jak skonstruowa´

c macierz 𝑒

𝐽

𝑖

𝑥

. Je̷li zas macierz 𝐽

𝑖

ma posta´

c

𝐽

𝑖

=

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝜆

𝑘

0

0

. . .

0

1

𝜆

𝑘

0

. . .

0

0

1

𝜆

𝑘

. . .

0

..

.

0

0

. . .

1

𝜆

𝑖

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

,

to rozk̷ladamy 𝐽

𝑖

na sum

,

e 𝐽

𝑖

= 𝜆

𝑖

𝐼

𝑘

+ 𝐾

𝑘

gdzie 𝑘 jest wymiarem klatki 𝐽

𝑖

. Zatem

𝑒

𝐽

𝑖

𝑥

= 𝑒

𝜆

𝑖

𝑥

𝐼

𝑘

𝑒

𝐾

𝑘

𝑥

czyli trzeba znale´

z´

c macierz 𝑒

𝐾

𝑘

𝑥

. Obliczymy kolejne pot

,

egi macierzy 𝐾

𝑘

:

𝐾

𝑘

=

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

0 0

0

. . . 0

1 0

0

. . . 0

0 1

0

. . . 0

..

.

0 0 . . .

1

0

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

,

czyli 𝐾

𝑘

zawiera jedynki na g̷l´

ownej podprzek

,

atnej. Wtedy

𝐾

2

𝑘

=

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

0 0 . . . 0 0 0
0 0 . . . 0 0 0
1 0 . . . 0 0 0

..

.

0 0 . . . 1 0 0

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

,

tzn. 𝐾

2

𝑘

ma same jedynki na drugiej pdprzek

,

atnej. St

,

ad 𝐾

𝑘

𝑘

ma same zera. Teraz mo˙zemy

policzy´

c macierz

𝑒

𝐾

𝑘

𝑥

= 𝐼 + 𝐾

𝑘

𝑥 +

𝐾

2

𝑘

𝑥

2

2!

+

𝐾

3

𝑘

𝑥

3

3!

+ . . . +

𝐾

𝑛

𝑘

𝑥

𝑛

𝑛!

+ . . . + =

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

1

0

0

. . . 0

𝑥

1

0

. . . 0

𝑥

2

2!

𝑥

1

. . . 0

..

.

𝑥

𝑘−1

(𝑘−1)!

. . .

𝑥

1

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

.

56

Zatem znamy ju˙z posta´

c 𝑒

𝐽

𝑖

𝑥

= 𝑒

𝜆

𝑖

𝑥

𝐼

𝑘

𝑒

𝐾

𝑘

𝑥

. Tym samym obliczymy 𝑒

𝐽 𝑥

. Poniewa˙z 𝑄

−1

𝑅𝑄 =

𝐽 , to

𝑅

𝑛

= 𝑄𝐽

𝑛

𝑄

−1

oraz

𝑒

𝑅𝑥

= 𝑄𝑒

𝐽 𝑥

𝑄

−1

.

Jednak wad

,

a tej konstrukcji polega na tym, ˙ze znalezienie macierzy 𝑄 nie jest spraw

,

a

prost

,

a.

Dlatego praktyczna metoda bazuje na fakcie, ˙ze macierz fundamentalna spe̷lnia

r´

ownanie

˙

𝑋(𝑥) = 𝑅𝑋(𝑥).

Szukamy warto´sci w̷lasnych tej macierzy czyli pierwiastk´

ow r´

ownania

𝑝(𝜆) = det(𝑅 − 𝜆𝐼) = 0.

∙ Macierz 𝑅 ma tylko jednokrotne pierwiatki rzeczywiste 𝜆

𝑖

, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛. Szukamy

wektor´

ow w̷lasnych odpowiadaj

,

acych tym warto´sciom w̷lasnym tzn. 𝑅 ⃗

𝑉

𝑖

= 𝜆

𝑖

⃗

𝑉

𝑖

, gdzie

⃗

𝑉

𝑖

=

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝑣

1

1

𝑣

𝑖

2

..

.

𝑣

𝑖

𝑛

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

.

Takiemu wektorowi odpowiada rozwi

,

azanie r´

ownania jednorodnego:

𝑌

𝑖

(𝑥) = 𝑒

𝜆

𝑖

𝑥

⃗

𝑉

𝑖

=

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝑒

𝜆

𝑖

𝑥

𝑣

1

1

𝑒

𝜆

𝑖

𝑥

𝑣

𝑖

2

..

.

𝑒

𝜆

𝑖

𝑥

𝑣

𝑖

𝑛

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

.

Wtedy macierz fundamentalna ma posta´

c

𝑋(𝑥) :=

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

1

1

𝑒

𝜆

2

𝑥

𝑣

2

1

. . . 𝑒

𝜆

𝑛

𝑥

𝑣

𝑛

1

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

1

2

𝑒

𝜆

2

𝑥

𝑣

2

2

. . . 𝑒

𝜆

𝑛

𝑥

𝑣

𝑛

2

. . .

. . .

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

1

𝑛

| {z }

𝑌

1

𝑒

𝜆

2

𝑥

𝑣

2

𝑛

| {z }

𝑌

2

. . . 𝑒

𝜆

𝑛

𝑥

𝑣

𝑛

𝑛

|

{z

}

𝑌

𝑛

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

.

57

St

,

ad rozwi

,

azanie og´

olne jednorodnego uk̷ladu r´

owna´

n ma posta´

c

𝑌 (𝑥) = 𝑋(𝑥)𝐶 =

⎛

⎜
⎜
⎜
⎜
⎝

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

1

1

𝑒

𝜆

2

𝑥

𝑣

2

1

. . . 𝑒

𝜆

𝑛

𝑥

𝑣

𝑛

1

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

1

2

𝑒

𝜆

2

𝑥

𝑣

2

2

. . . 𝑒

𝜆

𝑛

𝑥

𝑣

𝑛

2

. . .

. . .

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

1

𝑛

| {z }

𝑌

1

𝑒

𝜆

2

𝑥

𝑣

2

𝑛

| {z }

𝑌

2

. . . 𝑒

𝜆

𝑛

𝑥

𝑣

𝑛

𝑛

|

{z

}

𝑌

𝑛

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

⋅

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝐶

1

𝐶

2

..

.

𝐶

𝑛

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

,

(5.12)

gdzie 𝐶

1

, . . . , 𝐶

𝑛

∈ ℝ. Inny zapis rozwi

,

azania og´

olnego:

𝑦

1

(𝑥) = 𝐶

1

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

1

1

+ 𝐶

2

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

2

1

+ . . . + 𝐶

𝑛

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

𝑛

1

𝑦

2

(𝑥) = 𝐶

1

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

1

2

+ 𝐶

2

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

2

2

+ . . . + 𝐶

𝑛

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

𝑛

2

..

.

𝑦

𝑛

(𝑥) = 𝐶

1

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

1

𝑛

+ 𝐶

2

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

2

𝑛

+ . . . + 𝐶

𝑛

𝑒

𝜆

1

𝑥

𝑣

𝑛

𝑛

(5.13)

gdzie

𝑌 (𝑥) =

⎛

⎜
⎜
⎜
⎝

𝑦

1

(𝑥)

𝑦

2

(𝑥)

..

.

𝑦

𝑛

(𝑥)

⎞

⎟
⎟
⎟
⎠

.

∙ Macierz ma 𝑛 krotn

,

a warto´

s´

c w̷lasn

,

a 𝜆 rzeczywist

,

a. Szukamy pierwszego wektora

w̷lasnego ⃗

𝑉

1

tzn. 𝑅⃗

𝑉

1

= 𝜆⃗

𝑉

1

co jest r´

ownowa˙zne r´

ownaniu

(𝑅 − 𝜆𝐼)⃗

𝑉

1

= ⃗0.

Jemu odpowiada pierwszy element uk̷ladu fundamentalnego 𝑌

1

= 𝑒

𝜆𝑥

⃗

𝑉

1

. Drugi wektor

w̷lasny szukamy korzystaj

,

ac z zale˙zno´sci

(𝑅 − 𝜆𝐼)⃗

𝑉

2

= ⃗

𝑉

1

.

Wtedy 𝑌

2

, czyli drugi element macierzy fundamentalnej, ma posta´

c

𝑌

2

= 𝑒

𝜆

2

𝑥

( ⃗

𝑉

2

+ 𝑥(𝑅 − 𝜆𝐼)⃗

𝑉

2

)

= 𝑒

𝜆

2

𝑥

( ⃗

𝑉

2

+ 𝑥⃗

𝑉

1

)

.

Za̷lo˙zmy, ˙ze znale´

zli´smy wektor ⃗

𝑉

𝑛−1

. Wtedy ⃗

𝑉

𝑛

szukamy korzystaj

,

ac ze zwi

,

azku

(𝑅 − 𝜆𝐼)⃗

𝑉

𝑛

= ⃗

𝑉

𝑛−1

.

58

Wtedy 𝑌

𝑛

, czyli 𝑛-ty element macierzy fundamentalnej, ma posta´

c

𝑌

𝑛

= 𝑒

𝜆𝑥

(

⃗

𝑉

𝑛

+ 𝑥(𝑅 − 𝜆𝐼)⃗

𝑉

𝑛

+

𝑥

2

2!

(𝑅 − 𝜆𝐼)

2

⃗

𝑉

𝑛

+ . . . +

𝑥

𝑛−1

(𝑛 − 1)!

(𝑅 − 𝜆𝐼)

𝑛−1

⃗

𝑉

𝑛

)

= 𝑒

𝜆𝑥

(

⃗

𝑉

𝑛

+ 𝑥⃗

𝑉

𝑛−1

+

𝑥

2

2!

⃗

𝑉

𝑛−2

+ . . . +

𝑥

𝑛−1

(𝑛 − 1)!

⃗

𝑉

1

)

.

Zatem macierz fundamentalna ma posta´

c

𝑋(𝑥) :=

⎛

⎝

𝑒

𝜆

1

𝑥

⃗

𝑉

1

| {z }

𝑌

1

𝑒

𝜆

2

𝑥

( ⃗

𝑉

2

+ 𝑥⃗

𝑉

1

)

|

{z

}

𝑌

2

. . . 𝑒

𝜆𝑥

(

⃗

𝑉

𝑛

+ 𝑥⃗

𝑉

𝑛−1

+

𝑥

2

2!

⃗

𝑉

𝑛−2

+ . . . +

𝑥

𝑛−1

(𝑛 − 1)!

⃗

𝑉

1

)

|

{z

}

𝑌

𝑛

⎞

⎠

.

Rozwi

,

azanie ogolne ma posta´

c analogiczn

,

a jak w (5.12) czyli

𝑌 (𝑥) =

𝑛

∑

𝑘=1

𝑌

𝑘

(𝑥)𝐶

𝑘

,

gdzie 𝐶

𝑘

∈ ℝ, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛.

∙ Macierz 𝑅 ma zespolon

,

a warto´

s´

c w̷lasn

,

a 𝜆 = 𝛼 + 𝑖𝛽, wtedy 𝜆

2

= 𝛼

𝑖

𝛽 jest tak˙ze

warto´sci

,

a w̷lasn

,

a macierzy 𝑅. Niech ⃗

𝑣

1

= 𝑢+𝑖𝑤 b

,

edzie wektorem w̷lasnym odpowiadaj

,

acym

warto´sci w̷lasnej 𝜆

1

tzn.

𝑅⃗

𝑣

1

= 𝜆

1

⃗

𝑣

1

,

gdzie 𝑢 i 𝑤 s

,

a wektorami rzeczywistymi. Wtedy wektorem w̷lasnym odpowiadaj

,

acym

warto´sci w̷lasnej 𝜆

2

jest wektor w̷lasny ⃗

𝑣

2

= 𝑢 − 𝑖𝑤.

R´

ownanie 𝑅⃗

𝑣

1

= 𝜆

1

⃗

𝑣

1

mo˙zna zapisa´

c w postaci

(𝛼𝑢 − 𝛽𝑤) + 𝑖(𝛼𝑤 + 𝛽𝑢) = 𝑅𝑢 + 𝑖𝑅𝑤.

Odpowiednio zale˙zno´s´

c

𝑅⃗

𝑣

2

= 𝜆

2

⃗

𝑣

2

mo˙zna zapisa´

c

(𝛼𝑢 − 𝛽𝑤) − 𝑖(𝛼𝑤 + 𝛽𝑢) = 𝑅𝑢 − 𝑖𝑅𝑤.

Wtedy 𝑌

1

(𝑥) := 𝑒

𝜆

1

𝑥

⃗

𝑣

1

i 𝑌

2

(𝑥) := 𝑒

𝜆

2

𝑥

⃗

𝑣

2

s

,

a rozwi

,

azaniami zespolonymi naszego uk̷ladu

r´

owna´

n. Niech

𝑍

1

(𝑥) :=

1

2

(𝑌

1

(𝑥) + 𝑌

2

(𝑥)

)

59

𝑍

2

(𝑥) :=

1

2

(𝑌

1

(𝑥) − 𝑌

2

(𝑥)

)

. Wtedy 𝑍

1

(𝑥) i 𝑍

2

(𝑥) s

,

a dwoma liniowo niezale˙znymi rozwi

,

azaniami rzeczywistymi

r´

ownania ˙

𝑌 (𝑥) = 𝑅𝑌 (𝑥). Rozwi

,

azanie 𝑍

1

(𝑥) ma posta´

c

𝑍

1

(𝑥) =

1

2

(𝑌

1

(𝑥) + 𝑌

2

(𝑥)

)

=

1

2

(𝑒

𝛼𝑥

(cos 𝑏𝑥 + 𝑖𝑒

𝛼𝑥

sin 𝛽𝑥)(𝑢 + 𝑖𝑤) + 𝑒

𝛼𝑥

(cos 𝑏𝑥 − 𝑖𝑒

𝛼𝑥

sin 𝛽𝑥)(𝑢 − 𝑖𝑤)()

=𝑒

𝛼𝑥

(𝑢 cos 𝛽𝑥 − 𝑤 sin 𝛽𝑥)

(5.14)

oraz

𝑍

2

(𝑥) =

1

2

(𝑌

1

(𝑥) − 𝑌

2

(𝑥)

) = 𝑒

𝛼𝑥

(𝑢 cos 𝛽𝑥 + 𝑤 sin 𝛽𝑥).

(5.15)

Rozwi

,

azania 𝑍

1

(𝑥) i 𝑍

2

(𝑥) s

,

a kolumnami macierzy fundamentalnej.

5.7

Zadania

Przyk̷lad 5.12. Znale´

z´

c macierz fundamentaln

,

a i rozwi

,

azanie og´

olne ukladu r´

owna´

n

𝑌

′

(𝑥) = 𝑅𝑌 (𝑥), gdzie

𝑅 =

⎛

⎝

−1

1

1

1

−1 1

1

1

1

⎞

⎠

𝑌 (𝑥) =

⎛

⎝

𝑦

1

(𝑥)

𝑦

2

(𝑥)

𝑦

3

(𝑥)

⎞

⎠

𝑌

′

(𝑥) =

⎛

⎝

𝑦

′

1

(𝑥)

𝑦

′

2

(𝑥)

𝑦

′

3

(𝑥)

⎞

⎠

Odp. Wielomian charakterystyczny ma posta´

c

𝑝(𝜆) = det(𝑅 − 𝜆𝐼) = det

⎛

⎝

−1 − 𝜆

1

1

1 −1 − 𝜆

1

1

1 1 − 𝜆

⎞

⎠

= −(𝜆 + 2)(𝜆 + 1)(𝜆 − 2)

∙ dla 𝜆

1

= −2 szukamy wektora w̷lasnego (𝑅 − 𝜆

1

𝐼)⃗

𝑣

1

= ⃗0 czyli

(𝑅 + 2𝐼)⃗

𝑣

1

=

⎛

⎝

1 1 1
1 1 1
1 1 3

⎞

⎠

⃗

𝑣

1

= ⃗0.

Zatem

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0

.

60

St

,

ad

⃗

𝑣

1

= 𝑐

⎛

⎝

1

−1

0

⎞

⎠

gdzie 𝑐 ∈ ℝ jest dowolne. Niech 𝑐 = 1. Wtedy

𝑌

1

(𝑥) = 𝑒

−2𝑥

⎛

⎝

1

−1

0

⎞

⎠

jest pierwszym elementem uk̷ladu fundamentalnego.

∙ dla 𝜆

2

= −1 szukamy wektora w̷lasnego (𝑅 − 𝜆

2

𝐼)⃗

𝑣

2

= ⃗0 czyli

(𝑅 + 𝐼)⃗

𝑣

2

=

⎛

⎝

0 1 1
1 0 1
1 1 2

⎞

⎠

⃗

𝑣

2

= ⃗0.

Zatem

0𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

𝑥 + 0𝑦 + 𝑧 = 0

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

.

St

,

ad

⃗

𝑣

2

= 𝑐

⎛

⎝

1
1

−1

⎞

⎠

gdzie 𝑐 ∈ ℝ jest dowolne. Niech 𝑐 = 1. Wtedy

𝑌

2

(𝑥) = 𝑒

−𝑥

⎛

⎝

1
1

−1

⎞

⎠

jest drugim elementem uk̷ladu fundamentalnego.

∙ dla 𝜆

3

= 2 szukamy wektora w̷lasnego (𝑅 − 𝜆

3

𝐼)⃗

𝑣

3

= ⃗0 czyli

(𝑅 − 2𝐼)⃗

𝑣

3

=

⎛

⎝

−3

1

1

1

−3

1

1

1

−1

⎞

⎠

⃗

𝑣

3

= ⃗0.

61

Zatem

−3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0

.

St

,

ad

⃗

𝑣

3

= 𝑐

⎛

⎝

1
1
2

⎞

⎠

gdzie 𝑐 ∈ ℝ jest dowolne. Niech 𝑐 = 1. Wtedy

𝑌

3

(𝑥) = 𝑒

2𝑥

⎛

⎝

1
1
2

⎞

⎠

jest trzecim elementem uk̷ladu fundamentalnego.

Macierz fundamentalna ma posta´

c

𝑋(𝑥) =

⎛

⎝

𝑒

2𝑥

𝑒

−𝑥

𝑒

2𝑥

−𝑒

2𝑥

𝑒

−𝑥

𝑒

2𝑥

0

−𝑒

−𝑥

2𝑒

2𝑥

⎞

⎠

.

Rozwi

,

azanie og´

olne

𝑦

1

(𝑥) =

𝐶

1

𝑒

2𝑥

+ 𝐶

2

𝑒

−𝑥

+ 𝐶

3

𝑒

2𝑥

𝑦

2

(𝑥) = −𝐶

1

𝑒

2𝑥

+ 𝐶

2

𝑒

−𝑥

+ 𝐶

3

𝑒

2𝑥

𝑦

3

(𝑥) =

−𝐶

2

𝑒

−𝑥

+ 2𝐶

3

𝑒

2𝑥

gdzie 𝐶

1

, 𝐶

2

, 𝐶

3

∈ ℝ.

Przyk̷lad 5.13. Znale´

z´

c macierz fundamentaln

,

a ukladu r´

owna´

n

𝑌

′

(𝑥) = 𝑅𝑌 (𝑥), gdzie

𝑅 =

⎛

⎝

1 0

0

0 1 −1
0 1

1

⎞

⎠

.

Odp. Wielomian charakterystyczny ma posta´

c

𝑝(𝜆) = det(𝑅 − 𝜆𝐼) = det

⎛

⎝

1 − 𝜆

0

0

0 1 − 𝜆

−1

0

1 1 − 𝜆

⎞

⎠

= −(𝜆 − 1)(𝜆 − 1 − 𝑖)(𝜆 − 1 + 𝑖)

62

∙ dla 𝜆

1

= 1 wektor w̷lasny

⃗

𝑣

1

= 𝑐

⎛

⎝

1
0
0

⎞

⎠

gdzie 𝑐 ∈ ℝ jest dowolne. Niech 𝑐 = 1. Wtedy

𝑌

1

(𝑥) = 𝑒

𝑥

⎛

⎝

1
0
0

⎞

⎠

jest pierwszym elementem uk̷ladu fundamentalnego.

∙ mamy dwa sprz

,

e˙zone pierwiastki zespolone 𝜆

2

= 1 + 𝑖 i 𝜆

3

= 1 + 𝑖. Szukamy wektora

w̷lasnego dla 𝜆

2

tzn. (𝑅 − 𝜆

2

𝐼)⃗

𝑣

2

= ⃗0 czyli

(𝑅 − (1 + 𝑖)𝐼)⃗

𝑣

2

=

⎛

⎝

−𝑖

0

0

1

−𝑖 −1

0

1

−𝑖

⎞

⎠

⃗

𝑣

2

= ⃗0.

St

,

ad dla 𝑐 = 1

⃗

𝑣

2

=

⎛

⎝

0

𝑖

1

⎞

⎠

=

⎛

⎝

0
0
1

⎞

⎠

+ 𝑖

⎛

⎝

0
1
0

⎞

⎠

Korzystaj

,

ac ze wzor´

ow (5.14) i (5.15)

𝑍

1

(𝑥) = 𝑒

𝑥

⎛

⎝

cos 𝑥

⎛

⎝

0
0
1

⎞

⎠

− sin 𝑥

⎛

⎝

0
1
0

⎞

⎠

⎞

⎠

= 𝑒

𝑥

⎛

⎝

0

− sin 𝑥

cos 𝑥

⎞

⎠

.

𝑍

2

(𝑥) = 𝑒

𝑥

⎛

⎝

cos 𝑥

⎛

⎝

0
1
0

⎞

⎠

+ sin 𝑥

⎛

⎝

0
0
1

⎞

⎠

⎞

⎠

= 𝑒

𝑥

⎛

⎝

0

cos 𝑥

sin 𝑥

⎞

⎠

.

otrzymamy drugi i trzeci element uk̷ladu fundamentalnego.

Zatem macierz fundamentalna ma posta´

c

𝑋(𝑥) =

⎛

⎝

𝑒

𝑥

0

0

0

−𝑒

𝑥

sin 𝑥 𝑒

𝑥

cos 𝑥

0

𝑒

𝑥

cos 𝑥

𝑒

𝑥

sin 𝑥

⎞

⎠

.

63

Przyk̷lad 5.14. Znale´

z´

c macierz fundamentaln

,

a i rozwi

,

azanie og´

olne ukladu r´

owna´

n

𝑌

′

(𝑥) = 𝑅𝑌 (𝑥), gdzie

𝑅 =

⎛

⎝

2 1

3

0 2 −1
0 0

2

⎞

⎠

.

Odp. Wielomian charakterystyczny ma posta´

c

𝑝(𝜆) = det(𝑅 − 𝜆𝐼) = det

⎛

⎝

2 − 𝜆

1

3

0 2 − 𝜆

−1

0

0 2 − 𝜆

⎞

⎠

= −(𝜆 − 2)

3

.

∙ dla 𝜆 = 2 szukamy pierwszego wektora w̷lasnego (𝑅 − 𝜆𝐼)⃗𝑣

1

= ⃗0 czyli

(𝑅 − 2𝐼)⃗

𝑣

1

=

⎛

⎝

0 1

3

0 0 −1
0 0

0

⎞

⎠

⃗

𝑣

1

= ⃗0.

St

,

ad

⃗

𝑣

1

= 𝑐

⎛

⎝

1
0
0

⎞

⎠

gdzie 𝑐 ∈ ℝ jest dowolne. Niech 𝑐 = 1. Wtedy

𝑌

1

(𝑥) = 𝑒

2𝑥

⎛

⎝

1
0
0

⎞

⎠

jest pierwszym elementem uk̷ladu fundamentalnego.

∙ dla 𝜆 = 2 szukamy drugiego wektora w̷lasnego

(𝑅 − 𝜆𝐼)⃗

𝑣

2

= ⃗

𝑣

1

czyli

(𝑅 − 2𝐼)⃗

𝑣

2

=

⎛

⎝

0 1

3

0 0 −1
0 0

0

⎞

⎠

⃗

𝑣

2

=

⎛

⎝

1
0
0

⎞

⎠

.

St

,

ad

⃗

𝑣

2

= 𝑐

⎛

⎝

0
1
0

⎞

⎠

64

gdzie 𝑐 ∈ ℝ jest dowolne. Niech 𝑐 = 1. Wtedy

𝑌

2

(𝑥) = 𝑒

2𝑥

(⃗

𝑣

2

+ 𝑥(𝑅 − 2𝐼)⃗

𝑣

2

) = 𝑒

2𝑥

(⃗

𝑣

2

+ 𝑥⃗

𝑣

1

) = 𝑒

2𝑥

⎛

⎝

𝑥

1
0

⎞

⎠

jest drugim elementem uk̷ladu fundamentalnego.

∙ dla 𝜆 = 2 szukamy trzeciego wektora w̷lasnego (𝑅 − 𝜆𝐼)⃗𝑣

3

= ⃗

𝑣

2

czyli

(𝑅 − 2𝐼)⃗

𝑣

3

=

⎛

⎝

0 1

3

0 0 −1
0 0

0

⎞

⎠

⃗

𝑣

3

=

⎛

⎝

0
1
0

⎞

⎠

.

St

,

ad

⃗

𝑣

3

= 𝑐

⎛

⎝

0
3

−1

⎞

⎠

gdzie 𝑐 ∈ ℝ jest dowolne. Niech 𝑐 = 1. Wtedy

𝑌

3

(𝑥) = 𝑒

2𝑥

(

⃗

𝑣

3

+ 𝑥(𝑅 − 2𝐼)⃗

𝑣

3

+

𝑥

2

2

(𝑅 − 2𝐼)

2

⃗

𝑣

3

)

= 𝑒

2𝑥

(

⃗

𝑣

3

+ 𝑥⃗

𝑣

2

+

𝑥

2

2

⃗

𝑣

1

)

= 𝑒

2𝑥

⎛

⎝

𝑥

2

2

𝑥 + 3

−1

⎞

⎠

.

Zatem macierz fundamentalna ma posta´

c

𝑋(𝑥) =

⎛

⎝

𝑒

2𝑥

𝑥𝑒

2𝑥

𝑥

2

2

𝑒

2𝑥

0

𝑒

𝑥

(𝑥 + 3)𝑒

2𝑥

0

0

−𝑒

𝑥

⎞

⎠

.

Przyk̷lad 5.15. Znale´

z´

c macierz fundamentaln

,

a ukladu r´

owna´

n

𝑌

′

(𝑥) = 𝑅𝑌 (𝑥), gdzie

𝑅 =

⎛

⎝

1 1 0
0 1 0
0 0 2

⎞

⎠

.

Odp. Wielomian charakterystyczny ma posta´

c

𝑝(𝜆) = det(𝑅 − 𝜆𝐼) = −(𝜆 − 1)

2

(𝜆 − 2).

65

∙ dla 𝜆

1

= 2 szukamy wektora w̷lasnego (𝑅 − 𝜆

1

𝐼)⃗

𝑣

1

= ⃗0 czyli

(𝑅 − 2𝐼)⃗

𝑣

1

=

⎛

⎝

−1

1

0

0

−1 0

0

0

0

⎞

⎠

⃗

𝑣

1

= ⃗0.

St

,

ad

⃗

𝑣

1

=

⎛

⎝

0
0
1

⎞

⎠

.

Wtedy

𝑌

1

(𝑥) = 𝑒

2𝑥

⎛

⎝

0
0
1

⎞

⎠

jest pierwszym elementem uk̷ladu fundamentalnego.

∙ 𝜆 = 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, to szukamy dw´

och wektor´

ow w̷lasnych. Zatem

(𝑅 − 𝜆𝐼)⃗

𝑣

2

= ⃗0 czyli

(𝑅 − 𝐼)⃗

𝑣

2

=

⎛

⎝

0 1 0
0 0 0
0 0 1

⎞

⎠

⃗

𝑣

2

= ⃗0.

St

,

ad

⃗

𝑣

2

=

⎛

⎝

1
0
0

⎞

⎠

.

Wtedy

𝑌

2

(𝑥) = 𝑒

𝑥

⎛

⎝

1
0
0

⎞

⎠

jest drugim elementem uk̷ladu fundamentalnego.

Szukamy drugiego wektora w̷lasnego dsla 𝜆 = 1. Zatem (𝑅 − 𝜆𝐼)⃗

𝑣

3

= ⃗

𝑣

2

czyli

(𝑅 − 𝐼)⃗

𝑣

3

=

⎛

⎝

0 1 0
0 0 0
0 0 1

⎞

⎠

⃗

𝑣

3

=

⎛

⎝

1
0
0

⎞

⎠

.

66

St

,

ad

⃗

𝑣

3

=

⎛

⎝

0
1
0

⎞

⎠

.

Wtedy

𝑌

3

(𝑥) = 𝑒

𝑥

(⃗

𝑣

3

+ 𝑥(𝑅 − 𝐼)⃗

𝑣

3

) = 𝑒

𝑥

⎛

⎝

⎛

⎝

0
1
0

⎞

⎠

+ 𝑥

⎛

⎝

1
0
0

⎞

⎠

⎞

⎠

= 𝑒

𝑥

⎛

⎝

𝑥

1
0

⎞

⎠

jest trzecim elementem uk̷ladu fundamentalnego.

Macierz fundamentalna ma posta´

c

𝑋(𝑥) =

⎛

⎝

0

𝑒

𝑥

𝑥𝑒

𝑥

0

0

𝑒

𝑥

𝑒

2𝑥

0

0

⎞

⎠

.

67

6

Transformaty ca̷lkowe

6.1

Ca̷lki z funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej

Niech 𝐼 =< 𝛼, 𝛽 >⊂ ℝ. Dana jest funkcja zespolona ograniczona zmiennej rzeczywistej

𝐼 =< 𝛼, 𝛽 >∋ 𝑡 → 𝑓 (𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝑖𝑣(𝑡) ∈ ℂ.

We´

zmy podzia̷l normalny odcinka < 𝛼, 𝛽 > tzn. 𝛼 = 𝑡

0

< 𝑡

1

< 𝑡

2

. . . 𝑡

𝑛

= 𝛽, obierzmy w

ka˙zdym przedziale punkt 𝜃

𝑗

∈< 𝑡

𝑗−1

, 𝑡

𝑗

> i utw´

orzmy sum

,

e ca̷lkow

,

a

𝑆

𝑛

=

𝑛

∑

𝑗=1

𝑓 (𝜃

𝑗

)(𝑡

𝑗

− 𝑡

𝑗−1

),

𝑛 = 1, 2, . . .

Je˙zeli dla ka˙zdego normalnego ci

,

agu podzia̷l´

ow podzia̷l´

ow przedzia̷lu < 𝛼, 𝛽 > ci

,

ag sum

cz

,

e´sciowych (𝑆

𝑛

) jest zbie˙zny do tej samej granicy, niezale˙znej od wyboru punkt´

ow 𝜃

𝑘

, to

granic

,

e t

,

e nazywamy ca̷lk

,

a funkcji zespolonej 𝑓 po odcinku 𝐼 =< 𝛼, 𝛽 >⊂ 𝐼𝑅 i oznaczamy

∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡.

Sum

,

e ca̷lkow

,

a 𝑆

𝑛

mo˙zna zapisa´

c jako sumy ca̷lkowe cz

,

esi rzeczywistej i cz

,

esci urojonej funkcji

𝑓 tzn. jako

𝑆

𝑛

=

𝑛

∑

𝑗=1

𝑢(𝜃

𝑗

)(𝑡

𝑗

− 𝑡

𝑗−1

) + 𝑖

𝑛

∑

𝑗=1

𝑣(𝜃

𝑗

)(𝑡

𝑗

− 𝑡

𝑗−1

),

𝑛 = 1, 2, . . . .

Poniewa˙z lim

𝑛→∞

𝑆

𝑛

istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istniej

,

a granice ci

,

agu sum cz

,

e´sciowych

odpowiadaj

,

acych cz

,

es´

ci rzeczywistej 𝑢(𝑡) i cz

,

e´sci urojonej 𝑣(𝑡), zatem

Uwaga 6.1. Funkcja 𝑓 (𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝑖𝑣(𝑡) jest ca̷lkowalna w przedziale < 𝛼, 𝛽 > wtedy i tylko
wtedy, gdy funkcje 𝑢(𝑡) i 𝑣(𝑡) s

,

a ca̷lkowalne oraz

∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 =

∫

𝛽

𝛼

𝑢(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑖

∫

𝛽

𝛼

𝑣(𝑡)𝑑𝑡

W̷lasno´

sci

1. Je˙zeli funkcja 𝑓 (𝑡) jest ci

,

ag̷la w przedziale domkni

,

etym (lub og´

olniej: ograniczona i

maj

,

aca sko´

nczon

,

a ilo´s´

c punkt´

ow nieci

,

ag̷lo´sci) jest ca̷lkowalna, poniewa˙z wtedy funkcje

𝑢(𝑡) i 𝑣(𝑡) s

,

a ca̷lkowalne.

68

2. Je˙zeli 𝛾 ∈ (𝛼, 𝛽) to

∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 =

∫

𝛾

𝛼

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 +

∫

𝛽

𝛾

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡

3. Je˙zeli funkcja 𝑓 (𝑡) jest ca̷lkowalna, to jej modu̷l jest funkcj

,

a ca̷lkowaln

,

a oraz






∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡






≤

∫

𝛽

𝛼

∣𝑓 (𝑡)∣𝑑𝑡

4. Je˙zeli funkcja 𝑓 (𝑡) jest ci

,

ag̷la w przedziale < 𝛼, 𝛽 >, to funkcja 𝐹 (𝑡) zdefiniowana

wzorem

𝐹 (𝑡) =

∫

𝑡

𝛼

𝑓 (𝑠)𝑑𝑠,

𝑡 ∈< 𝛼, 𝛽 >

jest funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji 𝑓 (𝑡) tzn. 𝐹 (𝑡) ma pochodn

,

a 𝐹

′

(𝑡) = 𝑓 (𝑡) okre´slon

,

a w

ca̷lym przedziale < 𝛼, 𝛽 >

5. Je˙zeli funkcja 𝐹 (𝑡) jest funkcj

,

a pierwotn

,

a funkcji 𝑓 (𝑡) w przedziale < 𝛼, 𝛽 >, to

∫

𝛽

𝛼

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹 (𝛽) − 𝐹 (𝛼)

Przyk̷lad 6.2. Funkcja 𝑓 (𝑡) = (𝑎 + 𝑖𝑡)

𝑛

ma funkcje pierwotn

,

a r´

owna

(𝑎+𝑖𝑡)

𝑛

𝑖(𝑛+1)

+ 𝐶, st

,

ad

∫

1

0

(𝑎 + 𝑖𝑡)

𝑛

𝑑𝑡 =

[ (𝑎 + 𝑖𝑡)

𝑛

𝑖(𝑛 + 1)

]

1

0

=

(𝑎 + 𝑖)

𝑛+1

𝑖(𝑛 + 1)

−

𝑎

𝑛

𝑖(𝑛 + 1)

Przyk̷lad 6.3. Funkcja 𝑓 (𝑡) = 𝑒

𝑡+𝑖𝑡

ma funkcje pierwotn

,

a r´

owna

𝑒

𝑡+𝑖𝑡

1+𝑖

+ 𝐶, st

,

ad

∫

1

0

𝑒

𝑡+𝑖𝑡

𝑑𝑡 =

[ 𝑒

𝑡+𝑖𝑡

1 + 𝑖

]

1

0

=

𝑒

1+𝑖

1 + 𝑖

−

1

1 + 𝑖

Przyk̷lad 6.4. Funkcja 𝑓 (𝑡) = 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑡 + 𝑏), 𝑎 ∕= 0 ma funkcje pierwotn

,

a r´

owna −

1
𝑎

𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡 +

𝑏) + 𝐶.

69

6.2

Definicja operator´

ow ca̷lkowych: Fouriera i Laplace’a

Niech dane b

,

ed

,

a:

∙ Zbi´

or funkcji 𝒜 := {𝑓 : ℝ → ℝ}

∙ ustalona funkcja 𝐾 : ℂ × ℝ → ℂ, 𝐾 : (𝑠, 𝑡) → 𝐾(𝑠, 𝑡) kt´ora jest lokalnie ca̷lkowalna

wzgl

,

edem 𝑡, przy czym dla ka˙zdej funkcji 𝑓 ∈ 𝒜 ca̷lka

∫

+∞

−∞

𝐾(𝑠, 𝑡)𝑓 (𝑡)𝑑𝑡

jes zbie˙zna na pewnym podzbiorze 𝑆 ⊂ ℂ.

∙ Niech 𝑇 (𝑓 ) :=

∫

+∞

−∞

𝐾(𝑠, 𝑡)𝑓 (𝑡)𝑑𝑡

∙ ℬ := {𝑇 (𝑓 ) : 𝑓 ∈ 𝒜}

Definicja 6.5. Odwzorowanie

𝑇 : 𝒜 → ℬ

𝑇 : 𝑓 → 𝑇 (𝑓 )

nazywamy przekszta̷lceniem ca̷lkowym funkcji zmiennej rzeczywistej nale˙z

,

acej do klasy 𝒜

w zbi´

or ℬ (na og´

o̷l zawieraj

,

acy funkcje zmiennej zespolonej o warto´

sciach zespolonych). Ar-

gumenty 𝑓 ∈ 𝒜 nazywamy orygina̷lami, ich obrazy 𝑇 (𝑓 )- transformatami, za´

s 𝐾 j

,

adrem

przekszta̷lcenia 𝑇 .

Oznaczenia 6.6. Dla ka˙zdego 𝑓 ∈ 𝒜

𝑇 [𝑓 (𝑡)] =

[∫

+∞

−∞

𝐾(𝑠, 𝑡)𝑓 (𝑡)𝑑𝑥

]

.

Definicja 6.7. Rodzaje przeksza̷lce´

n ca̷lkowych:

1. dla 𝑠 = 0 + 𝑖𝜔 ∈ Imℂ niech 𝐾(𝑖𝜔, 𝑡) = 𝑒

−𝑖𝜔𝑡

. Wtedy otrzymujemy przekszta̷lcenie

Fouriera okre´

slone wzorem

𝑇

𝐹

[𝑓 (𝑡)] = [𝐹 (𝜔)] =

[∫

+∞

−∞

𝑒

−𝑖𝜔𝑡

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡

]

,

𝜔 ∈ ℝ.

70

2. dla

𝐾(𝑠, 𝑡) =

{ 0

𝑡 < 0

𝑒

−𝑠𝑡

𝑡 ≥ 0

otrzymujemy przekszta̷lcenie Laplace’a okre´

slone wzorem

𝐿[𝑓 (𝑡)] = [Φ(𝑠)] =

[∫

+∞

0

𝑒

−𝑠𝑡

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡

]

,

𝑠 ∈ 𝑆.

6.3

Orygina̷ly i transformaty Laplace’a

Niech 𝒜 oznacza zbi´

or funkcji 𝑓 : ℝ → ℝ spe̷lniaj

,

acych warunki:

1. ∀ 𝑡 < 0 𝑓 (𝑡) = 0.

2. 𝑓 spe̷lnia I i II warunek Dirichleta na ka˙zdym przedziale otwartym (𝑎, 𝑏) ⊂ ℝ

3. ∃ 𝐾 ≥ 0

∃ 𝛼 > 0

∀ 𝑡 ∈ ℝ ∣𝑓(𝑡)∣ ≤ 𝐾𝑒

𝛼𝑡

.

Twierdzenie 6.8. Dla ka˙zdej funkcji 𝑓 z klasy 𝒜 ca̷lka

∫

+∞

0

𝑒

−𝑠𝑥

𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 jest zbie˙zna bezwgl

,

ednie

w p´

o̷lp̷laszcz´

znie 𝐻 = {𝑠 = 𝜆 + 𝑖𝜔 ∈ ℂ : Re(𝑠) = 𝜆 > 𝛼}. To znaczy, ˙ze transformata

Laplace’a [Φ(𝑠)] = 𝐿[𝑓 (𝑡)] istnieje dla ka˙zdej funkcji z klasy 𝐴 i jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a w

zbiorze 𝑆.

Dow´

od. Szacujemy modu̷l funkcji podca̷lkowej

∣𝑓 (𝑡)𝑒

−𝑠𝑡

∣ = ∣𝑓 (𝑡)∣∣𝑒

−𝑠𝑡

∣ = ∣𝑓 (𝑡)∣∣𝑒

−𝑡(𝜆+𝑖𝜔)

∣ = ∣𝑓 (𝑡)∣∣𝑒

−𝜆𝑡

∣∣𝑒

−𝑖𝜔𝑡

∣ = ∣𝑓 (𝑡)∣𝑒

−𝜆𝑡

.

Korzystaj

,

ac z trzeciego za̷lo˙zenia w definicji klasy 𝒜 otrzymamy:

∫

+∞

0

∣𝑓 (𝑡)𝑒

−𝑠𝑡

∣𝑑𝑡 =

∫

+∞

0

∣𝑓 (𝑡)∣∣𝑒

−𝑠𝑡

∣𝑑𝑡 ≤ 𝐾

∫

+∞

0

𝑒

𝛼𝑡

𝑒

−𝜆𝑡

𝑑𝑡

=

∫

+∞

0

𝑒

−(𝜆−𝛼)𝑡

𝑑𝑡 = 𝐾 lim

𝑏→+∞

∫

𝑏

0

𝑒

−(𝜆−𝛼)𝑡

𝑑𝑡 =

𝐾

𝜆 − 𝛼

𝑑𝑙𝑎

𝜆 > 𝛼.

Wynika st

,

ad, ˙ze ca̷lka

∫

+∞

0

∣𝑓 (𝑡)𝑒

−𝑠𝑡

∣𝑑𝑡 jest ograniczona dla 𝜆 > 𝛼, czyli jest zbie˙zna bezwgl

,

ednie,

a wi

,

ec jest zbie˙zna.

Przyk̷lad 6.9. Znale´

z´

c transformat

,

e Laplace’a funkcji

71

∙

𝜂(𝑡) =

{ 0 𝑡 < 0

1

𝑡 ≥ 0

Jest to tzw. funkcja Heaviside’a.

∙ 𝑔(𝑡) := 𝜂(𝑡)𝑒

𝑎𝑡

, 𝑡 ∈ ℝ

∙ 𝑔(𝑡) = 𝜂(𝑡) sin 𝑡, 𝑡 ∈ ℝ.

Odp. Ka˙zda z tych funkcji nale˙zy do klasy 𝒜. Zatem posiadaj

,

a transformaty Laplace’a.

Niech

𝐿[𝜂(𝑡)] = Φ(𝑠) :=

∫

+∞

0

𝑒

−𝑠𝑡

𝑑𝑡 = lim

𝑏→+∞

∫

𝑏

0

𝑒

−𝑠𝑡

𝑑𝑡 = lim

𝑏→+∞

−

1

𝑠

[𝑒

−𝑠𝑡

]

𝑏

0

= lim

𝑏→+∞

[1 − 𝑒

−𝑠𝑏

]

𝑠

= lim

𝑏→+∞

[1 − 𝑒

−(𝑥+𝑖𝑦)𝑏

]

𝑠

= lim

𝑏→+∞

[1 − 𝑒

−𝑥𝑏

𝑒

−𝑖𝑦𝑏

]

𝑠

1

𝑠

dla Re𝑠 = 𝑥 > 0. Zatem

𝐿[𝜂(𝑡)] =

[ 1

𝑠

]

.

𝐿[𝜂(𝑡)𝑒

𝑎𝑡

] =

∫

+∞

0

𝑒

−𝑠𝑡

𝑒

𝑎𝑡

𝑑𝑡 =

[∫

+∞

0

𝑒

(𝑎−𝑠)𝑡

𝑑𝑡

]

= lim

𝑏→+∞

𝑒

(𝛼−𝑠)𝑡

𝛼 − 𝑠

=

[

1

𝑠 − 𝛼

]

dla Re𝑠 = 𝑥 > 0.

𝐿[𝜂(𝑡) sin 𝑏𝑡] =

∫

+∞

0

𝑒

−𝑠𝑡

sin 𝑏𝑡𝑑𝑡 = lim

𝑐→+∞

[

𝑒

−𝑠𝑡

𝑠

2

+ 𝑏

2

(−𝑠 sin 𝑏𝑡 − 𝑏 cos 𝑏𝑡)

]

𝑐

0

=

[

𝑏

𝑠

2

+ 𝑏

2

]

dla Re𝑠 = 𝑥 > 0.

6.4

Podstawowe w̷lasno´

sci przekszta̷lcenia Laplace’a

Twierdzenie 6.10. (liniowo´s´

c) Niech 𝑓

1

, 𝑓

2

∈ 𝒜, 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ

𝐿[𝛼𝑓

1

+ 𝛽𝑓

2

] = 𝛼𝐿[𝑓

1

] + 𝛽𝐿[𝑓

2

].

Twierdzenie 6.11. Je˙zeli 𝑓 ∈ 𝒜 jest ci

,

ag̷la dla 𝑡 > 0 oraz 𝑓

′

jest przedzia̷lami ci

,

ag̷la na

ka˙zdym sko´

nczonym przedzia̷le zawartym w < 0, +∞), to istnieje transformata 𝑓

′

i

𝐿[𝑓

′

(𝑡)] =

[𝑠𝐿[𝑓 (𝑡)] − 𝑓 (0

+

)

] .

72

Twierdzenie 6.12. Je˙zeli 𝑓, 𝑓

′

∈ 𝒜 oraz 𝑓, 𝑓

′

s

,

a ci

,

ag̷le dla 𝑡 > 0 oraz 𝑓

′′

jest przedzia̷lami

ci

,

ag̷la na ka˙zdym sko´

nczonym przedzia̷le zawartym w < 0, +∞), to istnieje transformata 𝑓

′′

i

𝐿[𝑓

′′

(𝑡)] =

[𝑠

2

𝐿[𝑓 (𝑡)] − 𝑠𝑓 (0

+

) − 𝑓

′

(0

+

)

] .

Przy odpowiednich za̷lo˙zeniach (analogicznych do ostatniego tw.)

𝐿[𝑓

(𝑛)

(𝑡)] =

[𝑠

𝑛

𝐿[𝑓 (𝑡)] − 𝑠

𝑛−1

𝑓 (0

+

) − 𝑠

𝑛−2

𝑓

′

(0

+

) − . . . − 𝑠𝑓

(𝑛−2)

(0

+

) − 𝑓

(𝑛−1)

(0

+

)

] .

Twierdzenie 6.13. (o ca̷lkowaniu orygina̷lu) Je˙zeli 𝑓 ∈ 𝒜, to

𝐿

[∫

𝑡

0

𝑓 (𝑢)𝑑𝑢

]

=

1

𝑠

[𝑓 (𝑡)] .

Twierdzenie 6.14. (o przesuni

,

eciu argument´

ow transformaty) Je˙zeli 𝐿[𝑓 (𝑡)] = Φ(𝑠), to

𝐿[𝑒

−𝑎𝑡

𝑓 (𝑡)] = 𝜙(𝑠 + 𝛼).

Twierdzenie 6.15. (o przesuni

,

eciu argumentu orygina̷lu) Je˙zeli 𝐿[𝑓 (𝑡)] = Φ(𝑠), to dla 𝑎 > 0

𝐿[𝜂(𝑡 − 𝑎)𝑓 (𝑡 − 𝑎)] = 𝑒

−𝑎𝑠

𝜙(𝑠).

Twierdzenie 6.16. (o zmianie skali) Je˙zeli 𝐿[𝑓 (𝑡)] = Φ(𝑠), to dla 𝑎 > 0

𝐿[𝑓 (𝑎𝑡)] =

1

𝑎

𝜙

(

𝑠

𝑎

)

.

Twierdzenie 6.17. (o r´

o˙zniczkowaniu transformaty) Je˙zeli 𝐿[𝑓 (𝑡)] = Φ(𝑠), to dla ka˙zdego

𝑛 ∈ ℕ

𝐿[𝑡

𝑛

𝑓 (𝑡)] = (−1)

𝑛

𝜙

(𝑛)

(𝑠).

Definicja 6.18. Splotem funkcji 𝑓, 𝑔 : ℝ → ℝ nazywamy funkcj

,

e ℎ := 𝑓 ∗ 𝑔 : ℝ → ℝ

zdefiniowan

,

a wzorem

ℎ(𝑡) =

∫

+∞

−∞

𝑓 (𝑡 − 𝑢)𝑔(𝑢)𝑑𝑢

.

Uwaga 6.19. Splot jest przemienny tzn. 𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑔 ∗ 𝑓 .

Twierdzenie 6.20. (Tw. Borela o splocie) Je˙zeli 𝑓, 𝑔 ∈ 𝒜, to

𝐿[𝑓

1

(𝑡) ∗ 𝑓

2

(𝑡)] = 𝐿[𝑓

1

(𝑡)]𝐿[𝑓

2

(𝑡)].

Twierdzenie 6.21. (o transformacie odwrotnej) Transformata Laplace’a jest przekszta̷lceniem
odwracalnym tzn. istnieje 𝐿

−1

takie, ˙ze jesli Φ(𝑠) = 𝐿[𝑓 (𝑡)], to

𝐿

−1

[Φ(𝑠)] = [𝑓 (𝑡)].

73

6.5

Transformaty Laplace’a wa ˙zniejszych funkcji

𝑓 (𝑡) ∈ 𝒜 ⇒

Φ(𝑠)

1

⇒

1

𝑠

𝑡

𝑛

⇒

𝑛!

𝑠

𝑛+1

𝑒

𝑎𝑡

⇒

1

𝑠 − 𝑎

sin 𝑏𝑡

⇒

𝑏

𝑠

2

+ 𝑏

2

cos 𝑏𝑡

⇒

𝑠

𝑠

2

+ 𝑏

2

𝑡

𝑛

𝑒

𝑎𝑡

⇒

𝑛!

(𝑠 − 𝑎)

𝑛+1

𝑒

𝑎𝑡

sin 𝑏𝑡

⇒

𝑏

(𝑠 − 𝑎)

2

+ 𝑏

2

𝑒

𝑎𝑡

cos 𝑏𝑡

⇒

𝑠 − 𝑎

(𝑠 − 𝑎)

2

+ 𝑏

2

sinh 𝑏𝑡

⇒

𝑏

𝑠

2

− 𝑏

2

cosh 𝑏𝑡

⇒

𝑠

𝑠

2

− 𝑏

2

6.6

Zastosowania operatora ca̷lkowego Laplace’a do ca̷lkowania r´

owna´

n

r´

o ˙zniczkowych

Przyk̷lad 6.22.

𝑥

′

+ 𝑥 = cos 𝑡 ∧ 𝑥(0) = 1

Odp. Stosujemy przekszta̷lcenie Laplace’a do obu stron r´

ownania:

𝐿[𝑥

′

+ 𝑥] = 𝐿[cos 𝑡].

Niech Φ(𝑠) = 𝐿[𝑥(𝑡)]. Zatem korzystaj

,

ac z twierdzenia o transformacie pochodnej i wyko-

rzystuj

,

ac zadane warunki pocz

,

atkowe otrzymamy

𝑠Φ(𝑠) − 1 + Φ(𝑠) =

𝑠

𝑠 + 1

⇒ Φ(𝑠) =

𝑠

2

+ 𝑠 + 1

(𝑠 + 1)(𝑠

2

+ 1)

.

74

Rozk̷ladamy funkcj

,

e Φ na u̷lamki proste tzn.

𝑠

2

+ 𝑠 + 1

(𝑠 + 1)(𝑠

2

+ 1)

=

1

2

( 𝑠 + 1

𝑠

2

+ 1

+

1

𝑠 + 1

)

Zatem

𝑥(𝑡) =

1

2

𝐿

−1

[ 𝑠 + 1

𝑠

2

+ 1

+

1

𝑠 + 1

]

=

1

2

𝐿

−1

[

𝑠

𝑠

2

+ 1

]

+

1

2

𝐿

−1

[

1

𝑠

2

+ 1

]

+

1

2

𝐿

−1

[

1

𝑠 + 1

]

=

1

2

(cos 𝑡 + sin 𝑡 + 𝑒

−𝑡

)

Przyk̷lad 6.23. Niech

⎧

⎨

⎩

𝑥

′

= 𝑥 + 𝑦

∧

𝑥(0) = 1

𝑦

′

= 𝑦 + 𝑧

∧

𝑦(0) = 0

𝑧

′

= 𝑧

∧

𝑧(0) = 1

Odp. Niech (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) oznaczaj

,

a rozwi

,

azania zagadnienia pocz

,

atkowego. Wtedy

stosuj

,

ac przekszta̷lcenie Laplace’a do obu stron otrzymamy:

⎧

⎨

⎩

𝐿[𝑥

′

(𝑡)] = 𝐿[𝑥(𝑡)] + 𝐿[𝑦(𝑡)]

𝐿[𝑦

′

(𝑡)] = 𝐿[𝑦(𝑡)] + 𝐿[𝑧(𝑡)]

𝐿[𝑧

′

(𝑡)] = 𝐿[𝑧(𝑡)]

Niech 𝑋(𝑠) = 𝐿[𝑥(𝑡)], 𝑌 (𝑠) = 𝐿[𝑦(𝑡)], 𝑍(𝑠) = 𝐿[𝑥(𝑡)].

Korzystaj

,

ac z liniowo´sci przek-

szta̷lcenia oraz ze wzoru na transformat

,

e pochodnej mo˙zemy powy˙zszy uk̷lad zapisa´

c w

postaci:

⎧

⎨

⎩

𝑠𝑋(𝑠) − 𝑥(0

+

) = 𝑋(𝑠) + 𝑌 (𝑠)

𝑠𝑌 (𝑠) − 𝑦(0

+

) = 𝑌 (𝑠) + 𝑍(𝑠)

𝑠𝑍(𝑠) − 𝑧(0

+

) = 𝑍(𝑠)

Uwzgl

,

edniaj

,

ac warunki pocz

,

atkowe otrzymamy

⎧

⎨

⎩

𝑠𝑋(𝑠) = 𝑋(𝑠) + 𝑌 (𝑠) + 1
𝑠𝑌 (𝑠) = 𝑌 (𝑠) + 𝑍(𝑠) + 1
𝑠𝑍(𝑠) = 𝑍(𝑠) + 1

Zatem

𝑋(𝑠) =

𝑠

2

+ 2𝑠 + 2

(𝑠 − 1)

2

=

1

𝑠 − 1

+

4

(𝑠 − 1)

2

+

5

(𝑠 − 1)

3

75

St

,

ad

𝑥(𝑡) = 𝐿

−1

[𝑋(𝑠)] = (1 + 4𝑡𝑒

𝑡

+

5

2

𝑡

2

)𝑒

𝑡

𝑌 (𝑠) =

1

(𝑠 − 1)

2

⇒ 𝑦(𝑡) = 𝐿

−1

[𝑌 (𝑠)] = 𝑡𝑒

𝑡

𝑍(𝑠) =

1

𝑠 − 1

⇒ 𝑧(𝑡) = 𝐿

−1

[𝑍(𝑠)] = 𝑒

𝑡

czyli szukane rozwi

,

azanie ma posta´

c (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) = 𝑒

𝑡

(1 + 4𝑡𝑒

𝑡

+

5
2

𝑡

2

, 𝑡, 1).

Przyk̷lad 6.24. Niech

{ 𝑥

′

+ 𝑥 − 3𝑦 = 0

∧

𝑥(0) = 1

𝑦

′

− 𝑥 − 𝑦 = 𝑒

𝑡

∧

𝑦(0) = 1

Stosujemy przekszta̷lcenie Laplace’a do obu stron r´

owna´

n. Niech 𝑋(𝑠) = 𝐿[𝑥(𝑡)], 𝑌 (𝑠) =

𝐿[𝑦(𝑡)]. Zatem

{ 𝑠𝑋(𝑠) − 1 + 𝑋(𝑠) − 3𝑌 (𝑠) = 0

𝑠𝑌 (𝑠) − 1 − 𝑋(𝑠) − 𝑌 (𝑠) =

1

𝑠+1

Wyliczaj

,

ac st

,

ad 𝑋(𝑠) i 𝑌 (𝑠) mamy

𝑋(𝑠) =

𝑠

2

+ 3𝑠 + 5

(𝑠

2

− 4)(𝑠 + 1)

,

𝑌 (𝑠) =

𝑠 + 3

𝑠

2

− 4

.

Korzystaj

,

ac z transformaty odwrotnej otrzymamy:

𝑥(𝑡) = 𝐿

−1

[𝑋(𝑠)] =

3

4

𝑒

−2𝑡

+

5

4

𝑒

2𝑡

− 𝑒

−𝑡

𝑦(𝑡) = 𝐿

−1

[𝑌 (𝑠)] −

1

4

𝑒

−2𝑡

+

5

4

𝑒

2𝑡

.

76