dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ

Uniwersytet Jagielloński

Instytut Informatyki

———

ul. Łojasiewicza 6

30-348 Kraków

Algebra Liniowa I

Semestr zimowy

Zestaw ćwiczeń 3

Kraków, 16.10.2013

1

III. Liczby zespolone: pierwiastkowanie, postać wykładnicza.

Zadanie 3.1. ([2, 41/3.1], [1, 15/V.D.1; 19/IX.A.4])
Stosując postać wykładniczą liczby zespolonej z rozwiązać podane równania:

(a) z

7

= z;

(b) z

4

= z

2

|z

2

|; (c) z

2

|z

2

| =

4

z

2

;

(d)

|z|

3

= iz

3

;

(e) z

6

= z

6

;

(f )

|z

8

| = z

4

;

(g)

|z|

6

= iz

6

;

(h) z

4

=

−z

4

.

Zadanie 3.2. ([2, 41/3.2])
Stosując wzory Eulera wyrazić podane funkcje w postaci sum sinusów i cosinusów wielokrotności kąta x:

(a) sin

3

x;

(b) cos

2

x;

(c) sin

5

x;

(d) sin

4

x + cos

4

x.

Zadanie 3.3. ([2, 41/3.4], [1, 11/II.C.4; 12/III.D.2; 14/V.A.1, V.B.2; 16/VI.D.4, VII.A.2;
19/IX.B.1])
Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej podane pierwiastki:

(a)

√

−1 + i

√

3;

(b)

3

√

−27i;

(c)

4

√

−4; (d)

6

√

−64;

(e)

5

√

32i;

(f )

3

√

−1 + i;

(g)

4

√

−16;

(h)

4

√

−8 + 8i

√

3;

(i)

3

√

i;

(j)

√

1 + 2i;

(k)

3

√

−i; (l)

3

√

−8i;

(m)

3

√

−64i.

Zadanie 3.4. ([2, 41/3.5])
Odgadując jeden z elementów podanych pierwiastków obliczyć ich pozostałe elementy:

(a)

√

(5

− 4i)

4

;

(b)

4

√

(

−2 + 3i)

4

;

(c)

3

√

(2

− i)

6

;

(d)

3

√

(2

− 2i)

9

.

Zadanie 3.5. ([2, 41/3.7], [1, 9/I.A.3, I.B.3; 10/I.C.3, I.D.3, II.A.1; 11/III.A.2; 12/III.B.4;
13/IV.A.3; 14/IV.D.3; 15/V.C.3; 18/VIII.D.1])
Rozwiązać równania:

(a) z

4

= (1

− i)

4

;

(b) (z

− 1)

6

= (i

− z)

6

;

(c) z

3

= (iz + 1)

3

;

(d) z

6

= (1 + 3i)

12

;

(e) z

6

= (1

− 3i)

12

;

(f ) z

6

= (3

− i)

12

;

(g) z

6

= (3 + i)

12

;

(h) z

8

− (

√

3 + i)

8

= 0;

(i) z

3

= (1

− 3i)

6

;

(j) z

4

= (1 + 2i)

8

;

(k) z

4

=

−18

1 + i

√

3

;

(l) z

8

= (1 + i)

8

;

(m) (z + 1)

3

= (z

− 1)

3

;

(n) z

3

= 8(1 + i)

3

.

Zadanie 3.6. ([1, 10/II.B.3; 11/II.C.1; 17/VII.D.2; 19/IX.C.4; 21/X.D.3])
Rozwiązać równania:

(a) z

7

+ 2z

4

+ z = 0;

(b) z

4

− iz

2

+ 2 = 0;

(c) z

2

− 3z + 3 − i = 0;

(d) 2z

3

− 3z

2

+ 2z

− 1 = 0; (e) z

4

+ z

3

+ 2z

2

+ z + 1 = 0.

Zadanie 3.7. ([1, 12/III.D.1; 15/VI.A.1; 17/VII.B.2, VIII.A.2; 20/X.A.1, X.B.1, X.C.1; 21/X.D.1])
Rozwiązać równania:

(a)

|z|

2

+ (1 + i)z = 0;

(b)

|z|z = iz

2

;

(c) z

3

=

−4z;

(d) z

3

= 2zz;

(e) zz

4

= 32;

(f ) z

2

= z

2

;

(g) z

3

= (1

− i)

2

;

(h) z

3

− iz = 0.

Literatura

[1] Marian Gewart and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy. Oficyna Wydawnicza

GiS, wydanie IX uzupełnione, Wrocław, 2005.

[2] Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza

GiS, wydanie VIII poprawione, Wrocław, 2002.