Ca y wyk ad

dr Violetta Lipi«ska

Matematyka ubezpiecze« »yciowych

wykªad

Instytut Matematyki
Politechnika ódzka

Wydziaª Fizyki Technicznej,

Informatyki i Matematyki Stosowanej

Politechnika ódzka

ód¹ 2008/2009

Spis tre±ci

Rozdziaª 1. Wykªad 1

1.1. Efektywna stopa procentowa

1.2. Odsetki proste

1.3. Odsetki zªo»one

1.4. Warto±¢ obecna

Rozdziaª 2. Wykªad 2

2.1. Efektywna stopa dyskontowa

2.2. Nominalna stopa procentowa i nominalna stopa dyskontowa

2.3. Intensywno±¢ oprocentowania i dyskontowania

Rozdziaª 3. Wykªad 3

3.1. Intensywno±¢ oprocentowania i dyskontowania - cd.

3.2. Inne systemy oprocentowania

3.3. Renty pewne pªatne z doªu

3.4. Renty pewne pªatne z góry

3.5. Warto±ci renty wyznaczone w dowolnej chwili

Rozdziaª 4. Wykªad 4

4.1. Renty wieczyste

4.2. Renty nie uwzgl¦dniaj¡ce zªo»onego systemu naliczania odsetek

4.3. Renty niezgodne

4.4. Renty ci¡gªe

Rozdziaª 5. Wykªad 5

5.1. Renty ró»ne

5.2. Teoria prze»ywalno±ci

Rozdziaª 6. Wykªad 6

SPIS TRECI

Rozdziaª 7. Wykªad 7

Rozdziaª 8. Wykªad 8

Ubezpieczenia na »ycie

8.1. Ubezpieczenia pªatne w chwili ±mierci (ci¡gªe)

Rozdziaª 9. Wykªad 9

Ubezpieczenia na »ycie cd.

9.1. Ubezpieczenia pªatne na koniec roku ±mierci (dyskretne)

Rozdziaª 10. Wykªad 10

Ubezpieczenia na »ycie cd.

Rozdziaª 11. Wykªad 11

Ubezpieczenia na »ycie cd. Renty »yciowe

11.1. Renty »yciowe

11.2. Renty »yciowe ci¡gªe

Rozdziaª 12. Wykªad 12

Renty »yciowe cd.

Rozdziaª 13. Wykªad 13

Renty »yciowe cd.

13.1. Renty »yciowe dyskretne pªatne z góry

13.2. Renty »yciowe dyskretne pªatne z doªu

Rozdziaª 14. Wykªad 14

Renty »yciowe cd.

14.1. Renty »yciowe dyskretne pªatne mrazy w roku

Rozdziaª 15. Wykªad 15

Renty »yciowe cd. Ratalne skªadki netto

15.1. Ratalne skªadki netto

Rozdziaª 16. Dodatek1

102

Rozdziaª 17. Dodatek2

105

ROZDZIA 1

Wykªad 1

Funkcja akumulacji, efektywna stopa procentowa, odsetki proste i

zªo»one, warto±¢ obecna pieni¡dza, funkcja dyskontuj¡ca

Pocz¡tkow¡ kwot¦ pieni¦dzy, które b¦dziemy inwestowali nazywamy kapitaªem

(ang. principal), natomiast kwot¦ uzyskan¡ po pewnym okresie inwestycji nazywamy
kwot¡ zakumulowan¡ (ang. accumulated value). Ró»nic¦ mi¦dzy tymi dwiema
warto±ciami nazywamy kwot¡ odsetek lub po prostu odsetkami zarobionymi
w czasie inwestycji (ang. interest).

Zaªó»my teraz, »e znany jest kapitaª pocz¡tkowy oraz w czasie trwania inwe-

stycji nie dodawany ani odejmowany jest »aden kapitaª. W dalszej cz¦±ci wykªadu
pominiemy zaªo»enie o braku mo»liwo±ci dodawania lub odejmowania kapitaªu.

Niech t oznacza czas trwania inwestycji zwany okresem inwestycji (ang. period).

Przyjmuje si¦ ró»ne jednostki do pomiaru okresu inwestycji. Najcz¦±ciej jest to 1 rok.

Rozwa»my teraz inwestycj¦, w której kapitaª pocz¡tkowy ma warto±¢ 1 [jm]

(jm oznacza jednostk¦ monetarn¡). Chcieliby±my teraz zdeniowa¢ funkcj¦ opisuj¡-
c¡ przyrost kapitaªu w czasie, czyli tzw. funkcj¦ akumulacji (ang. accumulation
function). Funkcja ta powinna posiada¢ nast¦puj¡ce wªasno±ci:

1. Poniewa» rozwa»amy inwestycj¦ o kapitale pocz¡tkowym 1, wi¦c funkcja

akumulacji powinna speªnia¢ warunek:

a(0) = 1.

2. W ogólnym przypadku funkcja ta powinna by¢ rosn¡ca lub w ogólno±ci

niemalej¡ca. Malej¡ca funkcja akumulacji oznaczaªaby bowiem, »e wzrost t
poci¡ga za sob¡ ujemne odsetki. Matematycznie taka sytuacja jest dopusz-
czalna, niemniej jednak nie jest obserwowalna w praktyce. Jednak»e ujemne
odsetki mo»na by równie» zinterpretowa¢ jako strat¦ z inwestycji, ale takiej

1.1. EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA

sytuacji nie b¦dziemy tutaj rozwa»a¢. Ponadto staªa funkcja akumulacji
poci¡ga za sob¡ zerowe odsetki.

3. Je±li odsetki gromadzone s¡ w sposób ci¡gªy, to funkcja akumulacji jest

równie» funkcj¡ ci¡gª¡. W przypadku, gdy odsetki gromadz¡ si¦ co pewien
czas, funkcja akumulacji ma punkty nieci¡gªo±ci.

Najcz¦±ciej jednak inwestowany kapitaª ma inn¡ warto±¢ ni» 1. Zaªó»my wi¦c,

»e jego pocz¡tkowa warto±¢ jest równa k > 0. Zdeniujmy zatem funkcj¦, która
b¦dzie odpowiednikiem funkcji akumulacji, ale b¦dzie opisywaªa warto±¢ kapitaªu

w czasie t. Funkcja ta opisana jest wzorem

A(t) = k · a(t),

(1.1)

gdzie a(t) jest funkcj¡ akumulacji. Poniewa» z pierwszej wªasno±ci funkcji akumulacji
mamy, »e a(0) = 1, wi¦c A(0) = k. Ponadto dwie pozostaªe wªasno±ci funkcji
akumulacji przechodz¡ na funkcj¦ A(t).

Oznaczmy teraz poprzez I

kwot¦ odsetek uzyskanych z inwestycji w ntym

okresie (ang. amount of interest). Wówczas

= A(n) − A(n − 1)

(1.2)

dla caªkowitej liczby n  1.

Przykªad 1.1.

Przykªady funkcji A(t):

•

Liniowa: A(t) =

1
2

t + k

•

Nieliniowa, np. wykªadnicza: A(t) = exp{2t} + k.

•

Staªa: A(t) = k.

•

Schodkowa.

1.1. Efektywna stopa procentowa

Efektywn¡ stop¡ procentow¡ i (ang. eective rate of interest) nazywamy

kwot¦ pieni¦dzy jak¡ uzyskamy na ko«cu okresu inwestycyjnego, inwestuj¡c 1 [jm]
na pocz¡tku tego okresu, przy czym odsetki wypªacane s¡ na ko«cu okresu.

Wykorzystuj¡c funkcj¦ akumulacji mo»emy zapisa¢, »e

i = a(1) − a(0)

(1.3)

1.2. ODSETKI PROSTE

lub

a(1) = 1 + i.

(1.4)

Uwaga 1.1.

Kilka uwag dotycz¡cych efektywnej stopy procentowej:

1. Efektywna stopa procentowa pªacona jest raz w danym okresie inwesty-

cyjnym. Ró»ni si¦ ona od nominalnej stopy procentowej, która pªacona
jest cz¦±ciej ni» 1 raz w okresie inwestycyjnym (stop¦ nominaln¡ omówimy
w dalszej cz¦±ci wykªadu).

2. Efektywna stopa procentowa wyra»ana jest cz¦sto w procentach, ale oczy-

wi±cie rozumiana jest zgodnie z równaniem (1.3). Oznacza to, »e mówi¡c

mamy na my±li przyrost kapitaªu o warto±¢ 0, 08.

3. W czasie jednego okresu inwestycyjnego kapitaª musi mie¢ warto±¢ staª¡,

czyli nie mo»e pojawi¢ si¦ dodatkowy strumie« gotówki (wpªywaj¡cy lub
wypªywaj¡cy z inwestycji).

4. Efektywna stopa procentowa pªacona jest zawsze na ko«cu okresu inwesty-

cyjnego.

Efektywna stopa procentowa mo»e by¢ równie» zdeniowana nast¦puj¡co:

i =

(1 + i) − 1

a(1) − a(0)

a(0)

A(1) − A(0)

A(0)

(1.5)

Zatem alternatywna denicja efektywnej stopy procentowej mo»e by¢ nast¦puj¡ca:
Efektywna stopa procentowa jest liczb¡ b¦d¡c¡ stosunkiem odsetek zarobionych
w danym okresie inwestycyjnym do pocz¡tkowo zainwestowanego kapitaªu.

Efektywn¡ stop¦ procentow¡ mo»na wyznacza¢ dla ka»dego okresu inwestycyj-

nego. Wówczas efektywna stopa procentowa w ntym okresie inwestycyjnym, i

wyra»a si¦ wzorem:

A(n) − A(n − 1)

A(n − 1)

(1.6)

dla ka»dej liczby naturalnej n.

1.2. Odsetki proste

Zaªó»my, »e kapitaª pocz¡tkowy wynosi 1 [jm], oraz »e odsetki zarobione w ka»-

dym okresie inwestycyjnym s¡ staªe (tzn. maj¡ tak¡ sam¡ warto±¢). Wówczas funkcja

1.3. ODSETKI ZOONE

akumulacji ma posta¢:

a(t) = 1 + it

(1.7)

dla caªkowitych t  0. Wówczas takie odsetki nazywamy prostymi (ang. simple
interest). Poka»emy teraz, »e odsetki proste nie implikuj¡ staªej stopy procentowej:

a(n) − a(n − 1)

a(n − 1)

[1 + in] − [1 + i(n − 1)]

1 + i(n − 1)

(1.8)

dla caªkowitych n  1. Poniewa» funkcja i

opisana w powy»szym jest malej¡ca ze

wzgl¦du na n, wi¦c nie jest to funkcja staªa.

Wniosek 1.1.

Odsetki proste nie implikuj¡ staªej stopy procentowej.

1.3. Odsetki zªo»one

Odsetki zªo»one (ang. compound interest) W odró»nieniu od odsetek prostych,

odsetki w systemie zªo»onym s¡ reinwestowane. Oznacza to, »e odsetki dopisane do
kapitaªu pocz¡tkowego po pierwszym okresie tworz¡ razem z tym kapitaªem kapitaª
pocz¡tkowy drugiego okresu. Warto±¢ kapitaªu pocz¡tkowego na pocz¡tku ka»dego
okresu inwestycyjnego mo»na gracznie przedstawi¢ w nast¦puj¡cy sposób:

⇒ 1 · (1 + i) ⇒ (1 + i) · (1 + i) ⇒ (1 + i)

· (1 + i) ⇒ . . .

Funkcja akumulacji dla odsetek zªo»onych ma posta¢:

a(t) = (1 + i)

(1.9)

dla caªkowitych t  0.
Poka»emy teraz, »e odsetki zªo»one implikuj¡ staª¡ stop¦ procentow¡:

a(n) − a(n − 1)

a(n − 1)

(1 + i)

− (1 + i)

n−1

(1 + i)

n−1

(1 + i) − 1

= i

(1.10)

dla caªkowitych n  1. Poniewa» funkcja i

opisana w powy»szym nie zale»y od n,

wi¦c jest to funkcja staªa.

Wniosek 1.2.

Odsetki zªo»one implikuj¡ staª¡ stop¦ procentow¡.

1.4. WARTO OBECNA

1.4. Warto±¢ obecna

Zdarza si¦ bardzo cz¦sto, »e chcieliby±my porównywa¢ warto±ci inwestycji. Ale

na ogóª inwestycje maj¡ ró»ne czasy trwania, ró»ne odsetki naliczane b¡d¹ w sys-
temie prostym b¡d¹ zªo»onym, itp. Tak wi¦c jest wiele czynników, które ró»nicuj¡
wszystkie inwestycje. Dlatego mo»na te inwestycje porównywa¢ pod k¡tem warto-
±ci obecnej (ang. present value), czyli warto±ci jak¡ ma dana inwestycja w obecnej
chwili. T¡ chwil¡ mo»e by¢ zarówno moment pocz¡tkowy inwestycji lub np. pierwsza
rocznica, niemniej jednak dla dokªadnego ustalenia punktu obliczania tej warto±ci
chwil¦ inn¡ ni» pocz¡tek inwestycji nazywa¢ b¦dziemy bie»¡c¡ (ang. current). Je±li
wiemy, »e za 1 rok b¦dziemy potrzebowali 1 [jm], to ile musimy w chwili obecnej
zainwestowa¢, np. w systemie prostym? Kwot¦, któr¡ chcemy wi¦c zainwestowa¢
oznaczmy k. Oczywiste jest, »e aby odpowiedzie¢ na to pytanie, wystarczy rozwi¡-
za¢:

1 = (1 + i) · k.

St¡d po prostym przeksztaªceniu otrzymujemy:

k =

1 + i

Takie samo pytanie mo»na postawi¢, je±li chcieliby±my 1 [jm] otrzyma¢ po dwóch
latach. Wówczas

1 = (1 + i)

· k

i natychmiast otrzymujemy

k =

(1 + i)

1 + i

Post¦puj¡c analogicznie, mo»emy powiedzie¢, »e aby po n latach uzyska¢ 1 [jm]
nale»y zainwestowa¢

k =

(1 + i)

1 + i

Bior¡c pod uwag¦ fakt, »e w systemie odsetek zªo»onych a(n) = (1+i)

otrzymujemy

k =

(1 + i)

a(n)

= a

−1

(n).

Analizuj¡c analogicznie z system odsetek prostych otrzymamy

k =

1 + in

a(n)

= a

−1

(n).

1.4. WARTO OBECNA

Zauwa»my, »e w systemie odsetek zªo»onych pojawia si¦ wielko±¢

v =

1 + i

T¦ wielko±¢ nazywa¢ b¦dziemy wspóªczynnikiem dyskontuj¡cym (ang. discount
factor), natomiast wielko±¢ 1 + i nazywa¢ b¦dziemy wspóªczynnikiem akumu-
luj¡cym (ang. accumulation factor).
W ogólno±ci funkcj¦ v(t) = a

−1

(t)

nazywa¢ b¦dziemy funkcj¡ dyskontuj¡c¡

i w systemie odsetek prostych ma ona posta¢:

−1

(t) =

1 + it

natomiast w systemie odsetek zªo»onych

−1

(t) =

(1 + i)

= v

Zauwa»my, »e funkcje akumuluj¡ca i dyskontuj¡ca s¡ swoimi odwrotno±ciami.

Warto±¢ inwestycji na ko«cu nazywa¢ b¦dziemy warto±ci¡ zakumulowan¡

(ang. accumulated value).

ROZDZIA 2

Wykªad 2

Efektywna stopa dyskontowa, zasada równowa»no±ci, nominalna stopa

procentowa i dyskontowa, intensywno±¢ oprocentowania

i dyskontowania

2.1. Efektywna stopa dyskontowa

We wcze±niejszej cz¦±ci wykªadu efektywna stopa procentowa deniowana byªa

jako miara odsetek wypªacanych na koniec okresu inwestycyjnego. Jako miar¦ odse-
tek wypªacanych na pocz¡tku tego okresu przyjmowa¢ b¦dziemy efektywn¡ stop¦
dyskontow¡ (ang. eective rate of discount).

Przykªad 2.1.

Inwestor A po»ycza na 1 rok od banku 100 PLN przy efektywnej stopie pro-

centowej 6%. Na koniec tego roku musi odda¢ 106 PLN.

Gdyby inwestor A po»yczyª na 1 rok od banku 100 PLN przy efektywnej stopie

dyskontowej 6%, to bank na pocz¡tku tego roku zabraªby mu 6 PLN i daª do r¦ki

PLN. Po roku inwestor musi odda¢ 100 PLN.

Oczywistym jest fakt, »e efektywna stopa procentowa 6% nie jest równowa»na

efektywnej stopie dyskontowej 6%.

Efektywn¡ stop¡ dyskontow¡ d (ang. eective rate of discount) nazywamy

kwot¦ pieni¦dzy jak¡ uzyskamy na pocz¡tku okresu inwestycyjnego, inwestuj¡c tak,
»e na ko«cu tego okresu uzyskamy 1 [jm].

Efektywna stopa dyskontowa mo»e by¢ wyliczana dla ka»dego okresu inwesty-

cyjnego nast¦puj¡co:

A(n) − A(n − 1)

A(n)

(2.1)

dla ka»dej liczby naturalnej n.

2.1. EFEKTYWNA STOPA DYSKONTOWA

Uwaga 2.1.

Je±li mamy do czynienia z odsetkami zªo»onymi, to efektywna stopa procentowa

jest staªa. Wówczas równie» efektywna stopa dyskontowa jest staªa.
Tak wi¦c zªo»one dyskonto jest analogiczne do zªo»onych odsetek.

Jak ju» wspomniano, efektywna stopa procentowa 6% nie jest równowa»na efek-

tywnej stopie dyskontowej 6%. Wprowadzimy teraz poj¦cie równowa»no±ci tych
stóp (ang. equivalency).
Stopa procentowa i dyskontowa s¡ sobie równowa»ne, je±li pocz¡tkowa kwota zain-
westowana na okres takiej samej dªugo±ci ma tak¡ sam¡ warto±¢ zakumulowan¡.

Aby poda¢ równowa»n¡ stopie procentowej i stop¦ dykontow¡ d, nale»y, przyj-

muj¡c taki sam kapitaª pocz¡tkowy, porówna¢ warto±¢ zakumulowan¡, tzn.:

d =

A(1) − A(0)

A(1)

⇒ A(1) =

A(0)

1 − d

i =

A(1) − A(0)

A(0)

⇒ A(1) = A(0) · (1 − i)

i w konsekwencji porównuj¡c warto±ci A(1), przy zaªo»eniu, »e A(0) jest takie samo,
otrzymujemy:

1 + i =

1 − d

St¡d

i =

1 − d

(2.2)

lub

d =

1 + i

(2.3)

Prostszy sposób zapisu warunku równowa»no±ci jest nast¦puj¡cy:

(1 + i)(1 − d) = 1.

Zwi¡zek mi¦dzy obiema stopami mo»e by¢ podany na kilka sposobów

d =

1 + i

(2.4)

= iv

1 + i

−

1 + i

(2.5)

= 1 − v.

2.2. NOMINALNA STOPA PROCENTOWA I NOMINALNA STOPA DYSKONTOWA

Ponadto

d = iv

= i(1 − d)

= i − id

lub

i − d = id.

(2.6)

Powy»ej omówiona zostaªa stopa dyskontowa w systemie zªo»onym. Mo»na te» de-
niowa¢ j¡ w systemie prostym. Zaªó»my, »e stopa dyskontowa jest taka sama w ka»-
dym okresie inwestycyjnym. Aby uzyska¢ zakumulowan¡ warto±¢ 1 [jm] na ko«cu
okresu inwestycyjnego nale»y (przy prostej stopie dyskontowej) zainwestowa¢ po-
cz¡tkow¡ kwot¦ opisan¡ wzorem:

v(t) = a

−1

(t) = 1 − dt

dla 0 ¬ t < 1/d.

(2.7)

W przypadku dyskonta zªo»onego obecna warto±¢ zainwestowanych pieni¦dzy (przy
ko«cowej kwocie 1 [jm]) wyra»a si¦ wzorem:

v(t) = a

−1

(t) = v

= (1 − d)

dla t  0.

(2.8)

wiczenie 2.1.

Pokaza¢, »e:

(1) staªe odsetki proste implikuj¡ malej¡c¡ efektywn¡ stop¦ procentow¡, nato-

miast staªe dyskonto proste implikuje rosn¡c¡ efektywn¡ stop¦ procentow¡
(oczywi±cie monotoniczno±¢ zachodzi dla rosn¡cego czasu);

(2) staªa i zªo»ona stopa dyskontowa generuj¡ takie same wyniki przez jeden

okres inwestycyjny. W dªu»szym czasie (t > 1), prosta stopa dyskonto-
wa generuje mniejsz¡ warto±¢ obecn¡ ni» zªo»ona stopa dyskontowa oraz
zachodzi odwrotna zale»no±¢ przy okresie krótszym ni» 1 (t < 1).

2.2. Nominalna stopa procentowa i nominalna stopa dyskontowa

Poj¦cie efektywnej stopy procentowej i efektywnej stopy dyskontowej zwi¡-

zane byªo z faktem wypªacania odsetek tylko jeden raz w ci¡gu okresu inwesty-
cyjnego (np. 1 rok). Teraz zajmiemy si¦ odsetkami wypªacanymi cz¦±ciej ni» jeden

2.2. NOMINALNA STOPA PROCENTOWA I NOMINALNA STOPA DYSKONTOWA

raz w ci¡gu okresu inwestycyjnego. Stopa procentowa i stopa dyskontowa nazywa-
ne b¦d¡ wówczas nominalnymi (ang. nominal). W przypadku systemów prostych
poj¦cia te s¡ równowa»ne. Warto zatem omówi¢ je jedynie w przypadku zªo»onej
stopy procentowej i zªo»onej stopy dyskontowej.

2.2.1. Nominalna stopa procentowa. Nominaln¡ stop¦ procentow¡ pªatn¡

razy w ci¡gu okresu inwestycyjnego oznacza¢ b¦dziemy i

(m)

, gdzie m jest liczb¡

naturaln¡ wi¦ksz¡ od 1 (dla m = 1 mieliby±my efektywn¡ stop¦ procentow¡). Pªat-
no±¢ m razy w ci¡gu okresu inwestycyjnego oznacza, »e w ka»dym z m podokresów
wypªacane s¡ odsetki w wysoko±ci

(m)

, a nie i

(m)

Z zasady równowa»no±ci otrzymujemy

1 + i =

1 +

(m)

(2.9)

co wynika z porównania warto±ci zakumulowanych, uzyskanych przy kapitale po-
cz¡tkowym 1 [jm].
St¡d natychmiast otrzymujemy proste zale»no±ci:

i =

1 +

(m)

− 1

(2.10)

oraz

(m)

= m[(1 + i)

− 1].

(2.11)

2.2.2. Nominalna stopa dyskontowa. Analogiczne rzecz si¦ ma, je±li chodzi

o nominaln¡ stop¦ dyskontow¡. Mówi¡c o nominalnej stopie dyskontowej pªatnej

razy w ci¡gu okresu inwestycyjnego, rozumie¢ b¦dziemy stop¦ dyskontow¡ pªatn¡

w wysoko±ci

(m)

w ka»dym z m podokresów.

Korzystaj¡c z zasady równowa»no±ci otrzymujemy

1 − d =

1 −

(m)

(2.12)

co wynika z porównania warto±ci bie»¡cych, uzyskanych przy kapitale ko«cowym 1
[jm].
St¡d natychmiast otrzymujemy proste zale»no±ci:

d = 1 −

1 −

(m)

(2.13)

2.3. INTENSYWNO OPROCENTOWANIA I DYSKONTOWANIA

oraz

(m)

= m[1 − (1 − d)

] = m[1 − v

(2.14)

Post¦puj¡c analogicznie jak przy wyprowadzaniu zale»no±ci na równowa»no±¢

efektywnej stopy procentowej i efektywnej stopy dyskontowej, otrzymujemy analo-
giczny warunek na równowa»no±¢ nominalnej stopy procentowej i nominalnej stopy
dyskontowej (przyjmowa¢ b¦dziemy tu ró»ne krotno±ci wypªacania odsetek):

1 +

(m)

1 −

(p)

−p

(2.15)

lub

1 +

(m)

1 −

(p)

= 1.

(2.16)

W przypadku, gdy m = p otrzymujemy

1 +

(m)

1 −

(m)

−1

(2.17)

Ponadto mo»na wyprowadzi¢, analogiczn¡ do (2.6), zale»no±¢:

(m)

−

(m)

(2.18)

2.3. Intensywno±¢ oprocentowania i dyskontowania

2.3.1. Intensywno±¢ oprocentowania. Wa»nym poj¦ciem jest równie» in-

tensywno±¢ oprocentowania (ang. force of interest). Jest ona deniowana nast¦-
puj¡co:

(t)

A(t)

(t)

a(t)

(2.19)

Powy»szy wzór mo»na zapisa¢ w postaci:

ln A(t) =

ln a(t).

(2.20)

Zamieniaj¡c indeks t na r oraz caªkuj¡c obie strony w granicach od 0 do t otrzymu-
jemy:

dr =

ln A(r)dr =

= ln A(r)]

t
0

= ln

A(t)

A(0)

i w konsekwencji

A(t)

A(0)

a(t)

a(0)

= a(t).

(2.21)

2.3. INTENSYWNO OPROCENTOWANIA I DYSKONTOWANIA

Ponadto, wykorzystuj¡c zale»no±¢ A(t)δ

= A

(t)

, otrzymujemy

A(t)δ

dt =

(t)dt = A(t)]

n
0

= A(n) − A(0).

(2.22)

2.3.2. Intensywno±¢ dyskontowania. Analogicznie deniuje si¦ intensyw-

no±¢ stopy dyskontowej (oznaczonej δ

= −

−1

(t)

−1

(t)

(2.23)

Uwaga 2.2.

Poniewa» funkcja dyskonta a

−1

(t)

jest funkcj¡ nierosn¡c¡, to wyra»enie

−1

(t)

−1

(t)

przyjmowaªoby warto±ci niedodatnie. Tak wi¦c, aby intensywno±¢ dyskontowania
byªa wielko±ci¡ nieujemn¡, nale»y przed tym wyra»eniem postawi¢ znak −.

Mo»na ponadto pokaza¢, »e δ

= δ

. Zauwa»my mianowicie, »e

= −

−1

(t)

−1

(t)

−2

(t)

a(t)

−1

(t)

−2

(t)a(t)δ

−1

(t)

z (2.19)

= δ

ROZDZIA 3

Wykªad 3

3.1. Intensywno±¢ oprocentowania i dyskontowania - cd.

W teorii intensywno±¢ oprocentowania mo»e by¢ zmienna. Niemniej jednak w prak-

tyce jest staªa. Je±li intensywno±¢ oprocentowania jest staªa , to efektywna stopa
procentowa jest równie» staªa (w przypadku zªo»onego naliczania odsetek). Wyko-
rzystuj¡c wzór (2.21) dla n okresów mamy

= e

nδ

je±li δ

= δ

dla 0 ¬ t ¬ n

= a(n) =

= (1 + i)

zatem

= 1 + i

(3.1)

lub

i = e

− 1.

(3.2)

Ponadto, mo»na teraz poda¢ zale»no±¢ na δ:

δ = ln(1 + i).

(3.3)

Ten sam wzór mo»na uzyska¢, stosuj¡c denicj¦ intensywno±ci oprocentowania (lub
dyskontowania). Mianowicie:

δ =

(1 + i)

ln(1 + i)

(1 + i)

= ln(1 + i)

co, jak wida¢, jest niezale»ne od t.

Podamy teraz kilka zale»no±ci wi¡»¡cych wprowadzone wcze±niej poj¦cia:

•

zwi¡zek nominalnej stopy procentowej i stopy dyskontowej z intensywno±ci¡
oprocentowania w modelu zªo»onym naliczania odsetek

1 +

(m)

= 1 + i = v

−1

= (1 − d)

−1

1 −

(p)

= e

(3.4)

3.2. INNE SYSTEMY OPROCENTOWANIA

•

zwi¡zek efektywnej stopy procentowej z intensywno±ci¡ oprocentowania
w systemie odsetek prostych

a(t)

(1 + it)

1 + it

dla 0 ¬ t,

(3.5)

•

zwi¡zek efektywnej stopy dyskontowej z intensywno±ci¡ oprocentowania
(dyskontowania) w systemie dyskonta prostego

= δ

= −

−1

(t)

−1

(t)

= −

(1 − dt)

1 − dt

dla 0 ¬ t < 1/d.

(3.6)

3.2. Inne systemy oprocentowania

Podstawow¡ formuª¡ wykorzystywan¡ w problemach zawieraj¡cych ró»norodne

intensywno±ci oprocentowania jest poni»szy wzór:

a(t) = e

(3.7)

W przypadku, gdy caªka jest mo»liwa do obliczenia, wynik jest natychmiastowy.
W innym przypadku nale»y do caªkowania stosowa¢ metody aproksymacyjne.

W drugim modelu zakªada si¦ inn¡ stop¦ procentow¡ w ka»dym okresie inwe-

stycyjnym. Wówczas

a(t) = (1 + i

)(1 + i

) · . . . · (1 + i

) =

k=1

(1 + i

(3.8)

Renty pewne

Rent¦ mo»emy zdeniowa¢ jako strumie« pªatno±ci robionych w okresach o takiej

samej dªugo±ci. Je±li pªatno±ci dokonywane s¡ na pewno co pewien ustalony czas, to
renty takie nazywamy rentami pewnymi (ang. annuitycertain). Renty, w których
pªatno±ci nie s¡ pewne nazywamy rentami niepewnymi (ang. contingent annuity).
Renty niepewne mog¡ by¢ zale»ne od tego, »e np. pªatnik rent »yje. Takie renty
nazywamy rentami »yciowymi (ang. life annuity).

3.3. RENTY PEWNE PATNE Z DOU

3.3. Renty pewne pªatne z doªu

Rozwa»my rent¦ pewn¡ pªatn¡ na koniec ka»dego okresu, gdzie pªatno±¢ doko-

nywana jest w kwocie 1 PLN i trwa przez n okresów (ang. annuityimmediate). Dla
takiej renty warto±¢ obecna wszystkich pªatno±ci (w chwili t = 0) oznaczana jest a

i wynosi

= v + v

+ ... + v

(3.9)

Korzystaj¡c z podstawowych wzorów matematycznych otrzymujemy:

= v + v

+ ... + v

= v

1 − v

= v

1 − v

(3.10)

W analogiczny sposób mo»na wyznaczy¢ zakumulowan¡ warto±¢ wszystkich pªat-
no±ci. Mianowicie:

= 1 + (1 + i) + (1 + i)

+ ... + (1 + i)

n−1

(3.11)

oraz stosuj¡c proste przeksztaªcenia

= 1 + (1 + i) + (1 + i)

+ ... + (1 + i)

n−1

(1 + i)

− 1

(1 + i) − 1

(1 + i)

− 1

(3.12)

Czasami, w obu oznaczeniach, oprócz indeksu n| pojawia si¦ warto±¢ stopy procen-
towej u»ywanej do dyskontowania (lub naliczania odsetek), tzn. pojawia si¦ czasem
symbol a

10|0,07

lub s

15|0,05

Zachodzi tak»e prosta zale»no±¢ mi¦dzy warto±ci¡ obecn¡ a warto±ci¡ zakumu-

lowan¡ strumienia pªatno±ci. Jest ona postaci

= a

(1 + i)

(3.13)

lub

1 = ia

+ v

(3.14)

3.4. RENTY PEWNE PATNE Z GÓRY

Inna relacja mi¦dzy warto±ci¡ obecn¡ a warto±ci¡ zakumulowan¡ strumienia pªat-
no±ci

+ i.

(3.15)

Mo»na j¡ wyprowadzi¢ w nast¦puj¡cy sposób:

+ i =

(1 + i)

− 1

+ i =

i + i(1 + i)

− i

(1 + i)

− 1

+ i =

1 − v

(3.16)

3.4. Renty pewne pªatne z góry

Rozwa»my rent¦ pewn¡ pªatn¡ na pocz¡tku ka»dego okresu, gdzie pªatno±¢ do-

konywana jest w kwocie 1 PLN i trwa przez n okresów (ang. annuitydue). Dla
takiej renty warto±¢ obecna wszystkich pªatno±ci (w chwili t = 0) oznaczana jest ¨a

i wynosi

= 1 + v + v

+ ... + v

n−1

(3.17)

Korzystaj¡c z podstawowych wzorów matematycznych otrzymujemy:

= 1 + v + v

+ ... + v

n−1

1 − v

(3.18)

W analogiczny sposób mo»na wyznaczy¢ zakumulowan¡ warto±¢ wszystkich pªat-
no±ci. Mianowicie:

= (1 + i) + (1 + i)

+ ... + (1 + i)

(3.19)

oraz stosuj¡c proste przeksztaªcenia

= (1 + i) + (1 + i)

+ ... + (1 + i)

= (1 + i)

(1 + i)

− 1

(1 + i) − 1

3.5. WARTOCI RENTY WYZNACZONE W DOWOLNEJ CHWILI

(1 + i)

− 1

(1 + i)

− 1

(3.20)

Zachodzi prosta zale»no±¢ mi¦dzy warto±ci¡ obecn¡ a warto±ci¡ zakumulowan¡ stru-
mienia pªatno±ci. Jest ona postaci

= ¨

(1 + i)

(3.21)

i jest ona analogiczna do formuªy (3.13). Inna relacja mi¦dzy warto±ci¡ obecn¡
a warto±ci¡ zakumulowan¡ strumienia pªatno±ci

+ d

(3.22)

i jest ona analogiczna do formuªy (3.15).

Ponadto zachodz¡ zwi¡zki mi¦dzy warto±ciami obecnymi rent pªatnych z góry

i z doªu oraz mi¦dzy warto±ciami zakumulowanymi rent pªatnych z góry i z doªu.
Mianowicie

= a

(1 + i)

(3.23)

oraz

= s

(1 + i).

(3.24)

Ponadto zachodzi nast¦puj¡ca zale»no±¢

= 1 + a

n−1|

(3.25)

i mo»e by¢ ona wyprowadzona ze wzoru (3.10).
Analogiczna formuªa zachodzi dla warto±ci zakumulowanych

= s

n+1|

− 1.

(3.26)

3.5. Warto±ci renty wyznaczone w dowolnej chwili

3.5.1. Warto±¢ obecna renty wyznaczona wcze±niej ni» jeden okres

przed momentem pierwszej pªatno±ci. Niech dana b¦dzie renta pªatna z doªu
w kwocie 1 PLN przez n okresów i pªatno±¢ nie jest dokonywana przez m okresów.
Oznacza to, »e ostatnia pªatno±¢ nast¦puje na koniec (m+n)tego okresu. Taka renta

3.5. WARTOCI RENTY WYZNACZONE W DOWOLNEJ CHWILI

nazywana jest rent¡ odroczon¡ pªatn¡ z doªu (ang. deered annuity). Wówczas
warto±¢ obecna takiej renty opisana jest wzorem

= a

m+n|

− a

(3.27)

Warto zauwa»y¢, »e renta taka mo»e by¢ równie» traktowana jako renta pªatna
z góry odroczona o (m + 1) okresów. Wówczas warto±¢ obecna mo»e by¢ opisana
wzorem

m+1

= ¨

m+n+1|

− ¨

m+1|

(3.28)

ROZDZIA 4

Wykªad 4

4.0.2. Warto±¢ zakumulowana renty wyznaczona pó¹niej ni» jeden

okres po momencie ostatniej pªatno±ci. Niech dana b¦dzie renta pªatna z do-
ªu w kwocie 1 PLN przez n okresów. Warto±¢ zakumulowana takiego strumienia
pªatno±ci wyliczona m okresów po ostatniej pªatno±ci jest równa

(1 + i)

= s

n+m|

− s

(4.1)

Analogicznie jak w przypadku warto±ci obecnej, rent¦ tak¡ mo»na traktowa¢ jako
rent¦ pªatn¡ z góry i wówczas warto±¢ zakumulowana mo»e by¢ opisana nast¦puj¡co

(1 + i)

m−1

= ¨

n+m−1|

− ¨

m−1|

(4.2)

4.0.3. Warto±¢ bie»¡ca obliczana w chwili pomi¦dzy pierwsz¡ a ostat-

ni¡ pªatno±ci¡. Warto±¢ bie»¡ca renty pªatnej z doªu przez n okresów liczona po

okresach (m < n) jest równa

(1 + i)

= v

n−m

= s

+ a

n−m|

(4.3)

4.1. Renty wieczyste

Rent¡ wieczyst¡ (ang. perpetuities) nazywamy rent¦, w której pªatno±ci trwaj¡

w niesko«czono±¢. W przypadku rent wieczystych rozró»niamy równie» renty pªatne
z doªu i renty pªatne z góry.
Warto±¢ obecna renty wieczystej pªatnej z doªu opisana jest nast¦puj¡co

∞|

= v + v

+ v

+ . . . =

1 − v

(4.4)

4.2. RENTY NIE UWZGLDNIAJCE ZOONEGO SYSTEMU NALICZANIA ODSETEK 23

Mo»emy, alternatywnie, zapisa¢

∞|

= lim

n→∞

= lim

n→∞

1 − v

(4.5)

poniewa»

lim

n→∞

= 0.

Analogicznie mo»na wyprowadzi¢ wzór na warto±¢ obecn¡ renty wieczystej pªatnej
z góry:

∞|

(4.6)

Uwaga 4.1.

Nie istnieje warto±¢ zakumulowana renty wieczystej.

4.2. Renty nie uwzgl¦dniaj¡ce zªo»onego systemu naliczania odsetek

Przyjmijmy teraz, »e odsetki nie s¡ naliczane w zªo»onym systemie, tzn. »e mamy

dowoln¡ funkcj¦ akumulacji postaci a(t). Wówczas, aby obliczy¢ warto±¢ obecn¡
takiej renty nale»y bra¢ pod uwag¦ funkcj¦ dyskontuj¡c¡ v(t) = a

−1

(t)

. Zatem

t=1

a(t)

(4.7)

Natomiast warto±¢ zakumulowana takiej renty wyliczana jest zgodnie ze wzorem

t=1

a(n)

a(t)

= a(n)

t=1

a(t)

(4.8)

Wydaje si¦, »e takie post¦powanie jest poprawne w przypadku, gdy mamy do

czynienia z ró»n¡ intensywno±ci¡ oprocentowania w ci¡gu n okresów. Niemniej jed-
nak okazuje si¦, »e wzory te nie daj¡ poprawnych wyników we wszystkich przypad-
kach. Np. w systemie prostym naliczania odsetek dla renty terminowej (n okresów)
pªatnej z doªu mamy

= 1 + (1 + i) + (1 + 2i) + . . . + [1 + (n − 1)i] =

n−1

t=0

a(t)

(4.9)

co jest poprawnym sposobem wyliczania warto±ci zakumulowanej. Mo»na jednak
pokaza¢, »e wzory (4.8) i (4.9) nie daj¡ tego samego wyniku.
Analogicznie, wykorzystuj¡c wzór (4.9), mo»na zapisa¢

n−1

t=0

a(t)

a(n)

n−1

t=0

a(t).

(4.10)

Mo»na równie» pokaza¢, »e wzory (4.7) i (4.10) nie daj¡ tych samych wyników.

4.3. RENTY NIEZGODNE

Nale»y zatem zwróci¢ uwag¦ na fakt, »e wyliczanie warto±ci rent w systemie

odsetek prostych nie jest tak proste, jak w przypadku odsetek zªo»onych.

4.3. Renty niezgodne

Rent¡ niezgodn¡ nazywa¢ b¦dziemy rent¦, w której pªatno±ci dokonywane s¡

cz¦±ciej lub rzadziej ni» naliczane s¡ odsetki.

4.3.1. Renty wypªacane rzadziej ni» naliczane s¡ odsetki.
4.3.1.1. Renty pªatne z doªu. Niech k oznacza ile razy w ci¡gu jednego okresu

pªatno±ci renty naliczane s¡ odsetki (tzn. oznacza liczb¦ odsetek w ci¡gu jednego
okresu pªatno±ci renty) oraz zaªó»my, »e w ka»dym z tych k okresów naliczana jest
stopa procentowa i. Niech n oznacza liczb¦ okresów wypªacania renty i niech n b¦-
dzie mierzone w liczbie okresów naliczania odsetek. Zaªó»my ponadto, »e w ka»dym
z okresów wypªacania renty odsetki naliczane s¡ caªkowit¡ liczb¦ razy. Oznacza to,
»e zarówno n jak i k s¡ liczbami naturalnymi oraz liczba pªatno±ci renty wynosi

n/k

i jest równie» liczb¡ naturaln¡. Wówczas warto±¢ obecna renty, w której pªat-

no±¢ w kwocie 1 PLN wypªacana jest na ko«cu ka»dego ktego okresu odsetkowego,
wynosi

+ v

+ . . . + v

n
k

·k

− v

n+k

1 − v

(1 + i)

− 1

(4.11)

Zakumulowana warto±¢ takiej renty opisana jest nast¦puj¡co

(1 + i)

(4.12)

Wzór (4.11) mo»na uzyska¢ rozwa»aj¡c sytuacj¦ alternatywn¡ do opisanej powy»ej.
Mianowicie:

•

niech R oznacza wysoko±¢ pªatno±ci dokonywanej na ko«cu ka»dego okresu
odsetkowego (czyli dokonywana jest n razy),

4.3. RENTY NIEZGODNE

•

mo»na ni¡ zast¡pi¢ pªatno±ci 1 PLN na koniec ka»dego ktego okresu od-
setkowego pªatne przez n okresów odsetkowych (czyli pªatno±¢ 1 PLN do-
konywana jest n/k razy).

Wówczas warto±¢ obecna takiej renty opisana jest nast¦puj¡co

Ponadto na ko«cu ka»dego okresu pªatno±ci renty warto±¢ zakumulowana pªatno±¢ R
na ko«cu ka»dego okresu odsetkowego powinna by¢ równa pªatno±ci 1 PLN zrobionej
w tej»e chwili. Oznacza to, »e

= 1.

Wyznaczaj¡c teraz z powy»szego R = 1/s

i wstawiaj¡c do wzoru na warto±¢ obecn¡

otrzymujemy wzór (4.11).

4.3.1.2. Renty pªatne z góry. W przypadku takich rent sytuacja jest analogiczna

do rent pªatnych z doªu. Wówczas warto±¢ obecna takiej renty opisana jest wzorem

1 + v

+ v

+ . . . + v

n−k

1 − v

(4.13)

Natomiast warto±¢ zakumulowana jest równa

(1 + i)

(4.14)

4.3.1.3. Renty wieczyste. W sposób analogiczny mo»na wyprowadzi¢ wzór na

warto±¢ obecn¡ renty wieczystej pªatnej z doªu:

+ v

+ . . . =

1 − v

(1 + i)

− 1

(4.15)

co mo»na równie» otrzyma¢ w przej±ciu granicznym we wzorze (4.11).
Natomiast w przypadku renty wieczystej pªatnej z góry warto±¢ obecna jest równa

(4.16)

4.3. RENTY NIEZGODNE

4.3.2. Renty wypªacane cz¦±ciej ni» naliczane s¡ odsetki. Renty wy-

pªacane cz¦±ciej ni» naliczane s¡ odsetki zdarzaj¡ si¦ w praktyce cz¦±ciej ni» renty
wypªacane rzadziej ni» naliczane s¡ odsetki.

4.3.2.1. Renty pªatne z doªu. Niech m b¦dzie liczb¡ pªatno±ci renty w jednym

okresie odsetkowym, n b¦dzie dªugo±ci¡ renty liczon¡ w okresach odsetkowych oraz

b¦dzie stop¡ procentow¡ naliczan¡ w okresie odsetkowym. Zaªó»my, »e ka»dy okres

odsetkowy zawiera caªkowit¡ (dodatni¡) liczb¦ okresów wypªacania renty; wówczas
zarówno m jak i n s¡ liczbami naturalnymi. Ponadto liczba pªatno±ci renty w ci¡-
gu caªego czasu jej trwania jest równa mn. Zakªadamy ponadto, »e ka»da pªatno±¢
renty jest dokonywana w wysoko±ci 1/m [jm] (oznacza to, »e w jednym okresie od-
setkowym wypªacono w sumie 1 [jm]). Wówczas warto±¢ obecna takiej renty opisana
jest nast¦puj¡co:

(m)
n|

+ v

+ . . . + v

n−

+ v





− v

1 − v





1 − v

(1 + i)

− 1

1 − v

(m)

(4.17)

Ponadto warto±¢ zakumulowana opisana jest wzorem

(m)
n|

= a

(m)
n|

(1 + i)

− 1

(m)

(4.18)

Warto zauwa»y¢, »e wzory (4.17) i (4.18) s¡ analogiczne do wzorów (3.10) i (3.12).
Ró»ni¡ si¦ jedynie mianownikami, w których zamiast efektywnej stopy procentowej

jest nominalna stopa procentowa i

(m)

. Tak wi¦c mo»na poda¢ zale»no±ci mi¦dzy

i a

(m)
n|

oraz mi¦dzy s

i s

(m)
n|

, mianowicie

(m)
n|

(m)

(4.19)

oraz

(m)
n|

(m)

(4.20)

4.3. RENTY NIEZGODNE

Uwaga 4.2.

Wyra»enie

(m)

cz¦sto zapisywane jest jako s

(m)

4.3.2.2. Renty pªatne z góry. Rozwa»my teraz rent¦ analogiczn¡ do renty opisa-

nej w poprzednim podpunkcie z wypªat¡ ka»dej kwoty 1/m na pocz¡tku ka»dego
okresu. Wówczas warto±¢ obecna takiej renty opisana jest nast¦puj¡co:

(m)
n|

1 − v

(m)

(4.21)

Ponadto warto±¢ zakumulowana opisana jest wzorem

(m)
n|

= ¨

(m)
n|

(1 + i)

− 1

(m)

(4.22)

Mo»na poda¢ nast¦puj¡ce zale»no±ci

(m)
n|

(m)

(4.23)

oraz

(m)
n|

(m)

(4.24)

Uwaga 4.3.

Wyra»enie

(m)

cz¦sto zapisywane jest jako ¨s

(m)

Mo»na ponadto poda¢ inne zale»no±ci mi¦dzy ¨a

(m)
n|

i a

oraz mi¦dzy ¨s

(m)
n|

i s

(m)
n|

= (1 + i)

(m)
n|

1 +

(m)

(4.25)

oraz analogicznie

(m)
n|

(m)

(4.26)

4.3.2.3. Renty wieczyste. W przypadku rent wieczystych zachodz¡ nast¦puj¡ce

zale»no±ci:

(m)
∞|

(m)

(4.27)

oraz

(m)
∞|

(m)

(4.28)

4.4. RENTY CIGE

4.4. Renty ci¡gªe

Renta ci¡gªa jest szczególnym przypadkiem renty naliczanej cz¦±ciej ni» odsetki.

Ci¡gªo±¢ oznacza, »e cz¦sto±¢ pªatno±ci takiej renty staje si¦ niesko«czono±ci¡ (m →
∞

Zaªó»my, »e renta pªatna jest w sposób ci¡gªy przez n okresów, przy czym ª¡czna

kwota wypªacona przez 1 okres odsetkowy jest równa 1. Wówczas

dt.

(4.29)

Po scaªkowaniu prawej strony (4.29) otrzymujemy

ln v

1 − v

(4.30)

Zauwa»my, »e wzór (4.30) jest analogiczny do wzoru (3.10). Powy»szy wzór mo»e
by¢ równie» uzyskany po zastosowaniu przej±cia granicznego, mianowicie

= lim

m→∞

(m)
n|

= lim

m→∞

1 − v

(m)

1 − v

(4.31)

lub

= lim

m→∞

(m)
n|

= lim

m→∞

1 − v

(m)

1 − v

(4.32)

wiczenie 4.1.

Udowodni¢, »e

lim

m→∞

(m)

= lim

m→∞

(m)

= δ.

Aby wyrazi¢ warto±¢ ¯a

za pomoc¡ a

nale»y zastosowa¢ poni»szy wzór:

= ¯

(4.33)

Dla warto±ci zakumulowanej otrzymujemy

(1 + i)

(4.34)

(1 + i)

ln(1 + i)

(1 + i)

− 1

(4.35)

4.4. RENTY CIGE

= ¯

lim

m→∞

(m)
n|

= lim

m→∞

(m)
n|

(4.36)

Ró»niczkuj¡c (4.34) po n i nast¦pnie zamieniaj¡c n na t otrzymujemy:

= (1 + i)

= 1 + δ¯

(4.37)

Analogicznie, ró»niczkuj¡c (4.29), mamy

= v

= 1 − δ¯

(4.38)

Ponadto, wykorzystuj¡c intensywno±¢ oprocentowania δ i wzór (4.30), mo»emy za-
pisa¢:

1 − e

−nδ

(4.39)

oraz wykorzystuj¡c wzór (4.35) otrzymujemy

nδ

− 1

(4.40)

ROZDZIA 5

Wykªad 5

5.1. Renty ró»ne

5.1.1. Renty, w których kolejne pªatno±ci stanowi¡ ci¡g arytmetyczny.
5.1.1.1. Renty rosn¡ce. Rozwa»my rent¦ terminow¡, n letni¡,pªatn¡ z doªu, w któ-

rej pierwsza pªatno±¢ jest w wysoko±ci P > 0, a ka»da kolejna wzrasta o staª¡ kwot¦

. W przypadku, gdy Q > 0 dostajemy rent¦ o rosn¡cych wypªatach. Niech (W O)

oznacza warto±¢ obecn¡ takiej renty. Wówczas

(W O) = P v + (P + Q)v

+ (P + 2Q)v

+ . . . + [P + (n − 2)Q]v

n−1

+ [P + (n − 1)Q]v

Mno»¡c obie strony powy»szej równo±ci przez (1 + i) otrzymujemy

(1+i)(W O) = P +(P +Q)v+(P +2Q)v

+. . .+[P +(n−2)Q]v

n−2

+[P +(n−1)Q]v

n−1

Odejmuj¡c od drugiego równania pierwszego mamy

i(W O) = P + Q(v + v

+ . . . + v

n−1

) − P v

− (n − 1)Qv

= P (1 − v

) + Q(v + v

+ . . . + v

n−1

+ v

) − Qnv

Tak wi¦c

(W O) = P

1 − v

+ Q

− nv

= P a

+ Q

− nv

(5.1)

Warto±¢ zakumulowana jest równa

P s

+ Q

− n

(5.2)

Szczególnym przypadkiem jest renta, w której P = 1 i Q = 1. Wówczas warto±¢
obecna oznaczona jest symbolem (Ia)

i opisana jest wzorem

(Ia)

= a

− nv

5.1. RENTY RÓNE

1 − v

+ a

− nv

n+1|

− (n + 1)v

− nv

(5.3)

Warto±¢ zakumulowana oznaczana jest natomiast (Is)

i opisana jest wzorem

(Is)

= (Ia)

(1 + i)

− n

n+1|

− (n + 1)

(5.4)

5.1.1.2. Renty malej¡ce. Rozwa»my rent¦ terminow¡, n letni¡,pªatn¡ z doªu,

w której pierwsza pªatno±¢ jest w wysoko±ci P > 0, a ka»da kolejna wzrasta o staª¡
kwot¦ Q. W przypadku, gdy Q < 0 dostajemy rent¦ o malej¡cych wypªatach.
Szczególnym przypadkiem jest renta, w której P = n i Q = −1. Wówczas warto±¢
obecna oznaczona jest symbolem (Da)

i opisana jest wzorem

(Da)

= na

−

− nv

n(1 − v

) − a

+ nv

n − a

(5.5)

Warto±¢ zakumulowana oznaczana jest natomiast (Ds)

i opisana jest wzorem

(Ds)

= (Da)

(1 + i)

n(1 + i)

− s

(5.6)

5.1.2. Renty, w których kolejne pªatno±ci stanowi¡ ci¡g geometrycz-

ny. Przyjmijmy teraz, »e kolejne pªatno±ci stanowi¡ ci¡g geometryczny, tzn. ka»da
kolejna pªatno±ci stanowi (1 + k) · 100% poprzedniej, (k > −1). Wówczas warto±¢
obecna jest równa

(W O) =











v + (1 + k)v

+ . . . + (1 + k)

n−1

1−[(1+k)v]

i−k

dla i 6= k;

v + v + . . . + v = nv,

dla i = k.

(5.7)

Natomiast warto±¢ zakumulowana opisana jest nast¦puj¡co

(W A) = (W O)(1 + i)











(1+i)

−(1+k)

i−k

dla i 6= k;

n(1 + i)

n−1

dla i = k.

(5.8)

5.2. TEORIA PRZEYWALNOCI

5.2. Teoria prze»ywalno±ci

5.2.1. Czas »ycia. Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ czas »ycia czªo-

wieka mierzony od chwili narodzin do chwili ±mierci. Niech F (x) b¦dzie dystrybu-
ant¡ zmiennej losowej X. Zatem

F (x) =











P (X ¬ x),

dla x  0;

dla x < 0.

(5.9)

Poniewa» zmienna losowa X jest typu ci¡gªego, wi¦c F (0) = 0. Oznaczmy teraz
przez s(x) ogon dystrybuanty F . Funkcj¦ t¦ nazywa¢ b¦dziemy funkcj¡ prze»y-
walno±ci (ang. survival function). Ponadto z denicji ogona dystrybuanty mamy

s(x) = 1 − F (x) =











P (X > x),

dla x  0;

dla x < 0.

(5.10)

Funkcja ta jest równie» ci¡gªa oraz s(0) = 1.

Wykorzystuj¡c teraz denicj¦ dystrybuanty mo»emy zapisa¢

P (x < X ¬ z) = F (z) − F (x) = s(x) − s(z).

(5.11)

Rozwa»my teraz prawdopodobie«stwo warunkowe, »e noworodek umrze pomi¦dzy
wiekiem x i z o ile do»yje wieku x. Wówczas

P (x < X ¬ z|X > x) =

F (z) − F (x)

1 − F (x)

s(x) − s(z)

s(x)

(5.12)

Niech T (x) b¦dzie zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ przyszªy czas »ycia osoby b¦d¡cej
w wieku x (ang. future lifetime of (x)).

Przyjmijmy teraz nast¦puj¡ce zaªo»enie

P (X > x + t|X > x) = P (T (x) > t)

dla t, x  0.

(5.13)

W teorii prze»ywalno±ci mo»na pomin¡¢ zaªo»enie (5.13). Mamy wówczas do czy-
nienia z tzw. selektywn¡ teori¡ prze»ywalno±ci.

Przyjmijmy teraz nast¦puj¡ce oznaczenia

= P (T (x) ¬ t),

dla t  0;

(5.14)

= 1 −

= P (T (x) > t),

dla t  0.

(5.15)

5.2. TEORIA PRZEYWALNOCI

Symbol

mo»e by¢ interpretowany jako prawdopodobie«stwo tego, »e osoba w wie-

ku x umrze w przeci¡gu kolejnych t lat. Tak wi¦c mo»na powiedzie¢, »e funkcja

jest dystrybuant¡ zmiennej losowej T (x). Zauwa»my, »e

= s(x)

dla x  0.

(5.16)

Dla t = 1 przyjmujemy oznaczenia

= P (T (x) ¬ 1),

= 1 − q

= P (T (x) > 1).

Twierdzenie 5.1.

Przy speªnieniu zaªo»enia (5.13) prawdziwe s¡ poni»sze równo±ci

s(x + t)

s(x)

(5.17)

x+t

(5.18)

Dowód.

Wyka»emy równo±¢ (5.17):

= P (T (x) > t) = P (X > x + t|X > x) =

P (X > x + t)

P (X > x)

s(x + t)

s(x)

Korzystaj¡c z równo±ci (5.17) wyka»emy równo±¢ (5.18):

s(x + t

+ t

)

s(x)

s(x + t

+ t

)

s(x + t

)

s(x + t

)

s(x)

x+t

Przyjmijmy teraz kolejne oznaczenie (dla t  0)

t|u

= P (t < T (x) ¬ t + u).

(5.19)

Twierdzenie 5.2.

Przy speªnieniu zaªo»enia (5.13) prawdziwe s¡ poni»sze równo±ci

t|u

x+t

(5.20)

t|u

t+u

−

t+u

(5.21)

Dowód.

5.2. TEORIA PRZEYWALNOCI

Wyka»emy równo±¢ (5.20):

t|u

= P (t < T (x) ¬ t + u) =

s(x + t) − s(x + t + u)

s(x)

s(x + t)

s(x)

s(x + t) − s(x + t + u)

s(x + t)

x+t

Dowód równo±ci (5.21) jest bardzo analogiczny do powy»szego:

t|u

s(x + t) − s(x + t + u)

s(x)

s(x + t)

s(x)

−

s(x + t + u)

s(x)

−

t+u

−

Dla u = 1 przyjmujemy oznaczenie

t|1

Niech teraz K(x) b¦dzie zmienn¡ losow¡ typu dyskretnego opisuj¡c¡ caªkowit¡,
przyszª¡ liczb¦ prze»ytych lat osoby w wieku x, tzn. K(x) = [T (x)]. Wówczas ma
ona rozkªad

P (K(x) = k) = P (k ¬ T (x) < k + 1)

= P (k < T (x) ¬ k + 1)

−

k+1

(5.22)

· q

x+k

dla k = 0, 1, 2 . . .

Korzystaj¡c z denicji dystrybuanty otrzymujemy

P (K(x) ¬ k) =

i=0

P (K(x) = i) =

i=0

(

−

i+1

)

i=0

(

i+1

−

)

k+1

(5.23)

5.2. TEORIA PRZEYWALNOCI

W konsekwencji otrzymujemy, »e funkcja

k+1

jest dystrybuant¡ zmiennej losowej

K(x)

5.2.2. Intensywno±¢ wymieralno±ci.

Definicja 5.1.

Intensywno±ci¡ wymieralno±ci nazywamy funkcj¦ zdeniowan¡ nast¦puj¡co:

= −

(x)

s(x)

f (x)

1 − F (x)

(5.24)

ROZDZIA 6

Wykªad 6

Intensywno±¢ umieralno±ci mo»e by¢ wykorzystana do wyznaczania rozkªadu

zmiennej losowej X. Zauwa»my bowiem, »e

−µ

ln s(y).

Caªkuj¡c teraz obie strony w granicach od x do x + n otrzymujemy

−

x+n

dy = ln

s(x + n)

s(x)

= ln

St¡d

= exp

−

x+n

(6.1)

Stosuj¡c teraz w powy»szej caªce podstawienie s = y − x otrzymujemy

= exp

−

x+s

(6.2)

Korzystaj¡c teraz z (5.16) otrzymujemy

= s(x) = exp

−

(6.3)

Niech G(t) oraz g(t) oznaczaj¡, odpowiednio, dystrybuant¦ oraz g¦sto±¢ zmiennej
losowej T (x). Na mocy (5.14) mamy

G(t) =

dla t  0 i przy ustalonym x  0.

Ponadto

g(t) =

[

]

1 −

s(x + t)

s(x)

s(x + t)

s(x)

−

(x + t)

s(x + t)

· µ

x+t

dla t  0 i przy ustalonym x  0.

(6.4)

6. WYKAD 6

Tak wi¦c zmienna losowa T (x) ma g¦sto±¢ g(t) =

· µ

x+t

przy ustalonym x  0.

St¡d

∞

· µ

x+t

dt = 1.

Przykªad 6.1.

Zadanie 1 (termin 05.10.96)

Funkcja µ

100

opisuje nat¦»enie zgonów. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e osoba

w wieku 15 lat umrze mi¦dzy trzydziestym pi¡tym a czterdziestym pi¡tym rokiem
»ycia.
Rozwi¡zanie:

P (20 < T (15) < 30) =

20|10

−

= e

−

100

− e

−

100

= e

−5

− e

−9

6.0.3. Tablice trwania »ycia. Niech l

oznacza liczb¦ noworodków. Cz¦sto

przyjmuje si¦, »e l

= 100000

. Czas »ycia ka»dego z noworodków opisany jest za

pomoc¡ funkcji prze»ycia s(x). Niech L(x) oznacza liczb¦ noworodków, które do»yj¡
do wieku x. Niech 1

b¦dzie funkcj¡, która ma warto±¢ 1, gdy jty noworodek do»yje

do wieku x oraz warto±¢ 0, gdy nie do»yje, tzn.











gdy jty noworodek do»yje do wieku x;

gdy jty noworodek nie do»yje do wieku x.

(6.5)

Wówczas mo»emy zapisa¢, »e

L(x) =

j=1

(6.6)

Przyjmuj¡c zaªo»enie, »e wszystkie noworodki nale»¡ do tej samej kohorty (maj¡
t¦ sam¡ funkcj¦ prze»ywalno±ci) oraz, »e czasy »ycia dla noworodków z tej samej
kohorty s¡ zmiennymi losowymi niezale»nymi, otrzymujemy, »e L(x) jest zmienn¡
losow¡ maj¡c¡ rozkªad dwumianowy Bernoulliego z parametrami (l

, s(x))

. Oznacza

to, »e warto±¢ oczekiwana liczby noworodków, które do»yj¡ do wieku x jest równa

= E[L(x)] = l

· s(x).

(6.7)

Ponadto

Var[L(x)] = l

· s(x) · (1 − s(x)).

(6.8)

6. WYKAD 6

Uwaga 6.1.

Zauwa»my, »e przy obliczaniu warto±ci oczekiwanej E[L(x)] nie jest wymagana

niezale»no±¢ zmiennych losowych X.

Natomiast najbardziej prawdopodobna liczba noworodków, które do»yj¡ do wie-

ku x opisana jest nast¦puj¡ca:











= (l

+ 1)s(x) − 1

lub k

= (l

+ 1)s(x),

gdy (l

+ 1)s(x)

jest liczb¡ caªkowit¡;

(6.9)

oraz











k = [(l

+ 1)s(x)],

gdy (l

+ 1)s(x)

nie jest liczb¡ caªkowit¡.

(6.10)

W analogiczny sposób zdeniujmy teraz zmienn¡ losow¡

opisuj¡c¡ liczb¦

zgonów pomi¦dzy wiekiem x oraz x + n (spo±ród kohorty niemowl¡t o pocz¡tko-
wej liczno±ci l

). Wówczas warto±¢ oczekiwana tej zmiennej losowej opisana jest

nast¦puj¡co

= E[

] = l

x|n

= l

· [

x+n

−

] = l

· [

−

x+n

]

= l

· [s(x) − s(x + n)] = l

− l

x+n

(6.11)

W przypadku, gdy n = 1 zapisujemy d

oraz D

6.0.4. Inne funkcje opisywane w tablicach trwania »ycia. Oznaczmy te-

raz przez ˙e

przeci¦tny dalszy czas »ycia dla osoby w wieku x. Wówczas ˙e

= E[T (x)]

oraz

˙e

= E[T (x)] =

∞

t · g(t)dt =

∞

t ·

· µ

x+t

dt.

(6.12)

Twierdzenie 6.1.

Niech T b¦dzie zmienn¡ losow¡ typu ci¡gªego o zadanej dystrybuancie G(t)

maj¡cej wªasno±¢ G(0) = 0 oraz g¦sto±ci g(t). Niech z(t) b¦dzie funkcj¡ nieujemn¡,
monotoniczn¡, ró»niczkowaln¡ oraz tak¡, »e istnieje warto±¢ oczekiwana E[z(T )].
Wówczas

E[z(T )] =

∞

z(t) · g(t)dt

= z(0) +

∞

(t) · [1 − G(t)]dt.

(6.13)

6. WYKAD 6

Dowód.

Zauwa»my, »e

z(t) · g(t)dt = −

z(t) · [1 − G(t)]

dt.

Wykorzystuj¡c teraz wzór na caªkowanie przez cz¦±ci otrzymujemy

−

z(t) · [1 − G(t)]

dt = −z(t) · [1 − G(t)]

t=s

t=0

(t) · [1 − G(t)]dt

= −z(s) · [1 − G(s)] + z(0) +

(t) · [1 − G(t)]dt.

Zauwa»my, »e twierdzenie zachodzi, gdy lim

s→∞

z(s) · [1 − G(s)] = 0

. Rozwa»my dwa

przypadki.

•

Je±li funkcja z(t) jest nierosn¡ca, to natychmiast dostajemy

lim

s→∞

z(s) · [1 − G(s)] = 0.

•

Je±li funkcja z(t) jest niemalej¡ca, to

0 ¬ z(s) · [1 − G(s)] = z(s)

∞

g(t)dt ¬

∞

z(t) · g(t)dt.

Z faktu, »e warto±¢ oczekiwana E[z(T )] istnieje wynika, »e

lim

s→∞

∞

z(t) · g(t)dt = 0.

St¡d na mocy twierdzenia o trzech funkcjach otrzymujemy, »e

lim

s→∞

z(s) · [1 − G(s)] = 0

i w konsekwencji dostajemy tez¦.

Niech z(t) = t oraz G(t) =

= 1 −

dla t  0. Wówczas na mocy twierdze-

nia 6.1 otrzymujemy

˙e

∞

dt.

(6.14)

Ponadto

E[T

(x)] =

∞

· µ

x+t

= 2

∞

t ·

dt.

(6.15)

6. WYKAD 6

Tak wi¦c

Var[T (x)] = E[T

(x)] − E

[T (x)]

= 2

∞

t ·

dt − ˙e

2
x

(6.16)

Inn¡ charakterystyk¡, za pomoc¡ której mo»na opisywa¢ zmienn¡ T (x) jest media-
na. Oznaczamy j¡ przez m(x) i mo»e by¢ wyznaczona z nast¦puj¡cego warunku

P (T (x) > m(x)) =

(6.17)

lub

s (x + m(x))

s(x)

(6.18)

Mo»na te» wprowadzi¢ mod¦, która jest takim argumentem t, dla którego funkcja

g(t) =

· µ

x+t

osi¡ga warto±¢ najwi¦ksz¡.

Analogicznie mo»na deniowa¢ parametry rozkªadu dla zmiennej losowej dys-

kretnej K(x).
Oznaczmy teraz przez e

przeci¦tny dalszy czas »ycia. Wówczas e

= E[K(x)]

oraz

= E[K(x)] =

∞

k=0

k ·

· q

x+k

(6.19)

Twierdzenie 6.2.

Niech K b¦dzie zmienn¡ losow¡ typu dyskretnego przyjmuj¡c¡ warto±ci k =

0, 1, . . .

. Niech H(k) b¦dzie dystrybuant¡ oraz h(k) b¦dzie funkcj¡ rozkªadu praw-

dopodobie«stwa tej zmiennej losowej. Niech z(k) b¦dzie ci¡giem monotonicznym
o warto±ciach nieujemnych takim, »e istnieje warto±¢ oczekiwana E[z(K)]. Wów-
czas

E[z(K)] =

∞

k=0

z(k) · h(k)

= z(0) +

∞

k=0

∆z(k) · [1 − H(k)],

(6.20)

gdzie ∆f(k) = f(k + 1) − f(k).

Dowód.

6. WYKAD 6

Zauwa»my, »e

1 − H(j − 1) = P (K(x) > j − 1)

i st¡d

∆[1 − H(j − 1)] = P (K(x) > j) − P (K(x) > j − 1)

= 1 − H(j) − 1 + H(j − 1) = H(j − 1) − H(j)

= P (K(x) ¬ j − 1) − P (K(x) ¬ j) = −P (K(x) = j) = −h(j).

Zatem

k−1

j=0

z(j) · h(j) = −

k−1

j=0

z(j) · ∆[1 − H(j − 1)].

Wykorzystuj¡c teraz wzór na sumowanie przez cz¦±ci (lub odpowiednio grupuj¡c
skªadniki w powy»szej sumie) otrzymujemy

−

k−1

j=0

z(j) · ∆[1 − H(j − 1)] = −z(j) · [1 − H(j − 1)]

j=k

j=0

k−1

j=0

∆z(j) · [1 − H(j)]

= −z(k) · [1 − H(k − 1)] + z(0) +

k−1

j=0

∆z(j) · [1 − H(j)].

Zauwa»my, »e twierdzenie zachodzi, gdy lim

k→∞

z(k) · [1 − H(k − 1)] = 0

. Rozwa»my

dwa przypadki.

•

Je±li funkcja z(k) jest nierosn¡ca, to natychmiast dostajemy

lim

k→∞

z(k) · [1 − H(k − 1)] = 0.

•

Je±li funkcja z(k) jest niemalej¡ca, to

0 ¬ z(k) · [1 − H(k − 1)] = z(k)

∞

j=k

h(k) ¬

∞

j=k

z(k) · h(k).

Z faktu, »e warto±¢ oczekiwana E[z(K)] istnieje wynika, »e

lim

k→∞

∞

j=k

z(k) · h(k) = 0.

St¡d na mocy twierdzenia o trzech ci¡gach otrzymujemy, »e

lim

k→∞

z(k) · [1 − H(k − 1)] = 0

i w konsekwencji dostajemy tez¦.

6. WYKAD 6

Niech z(k) = k, h(k) =

· q

x+k

oraz H(k) =

k+1

= 1 −

k+1

dla

t  0

. Wówczas na mocy twierdzenia 6.2 otrzymujemy

∞

k=0

k+1

(6.21)

Ponadto

E[K

(x)] =

∞

k=0

· q

x+k

∞

k=0

(2k + 1) ·

k+1

(6.22)

Tak wi¦c

Var[K(x)] = E[K

(x)] − E

[K(x)]

∞

k=0

(2k + 1) ·

k+1

− e

2
x

(6.23)

Przykªad 6.2.

Zadanie 1 (termin 21.06.97)

Oczekiwane dalsze trwanie »ycia osoby w wieku x lat wynosi e

= E[K(x)] = 28, 5

roku. Znajd¹ p

, je±li e

x+1

= 27, 7

roku. Podaj najbli»sz¡ warto±¢.

Rozwi¡zanie:

= E[K(x)] =

∞

k=0

k+1

= p

∞

k=1

k+1

x+1

∞

k=0

k+1

x+1

∞

k=0

k+2

∞

k=1

k+1

− p

x+1

+ 1

28, 5

28, 7

≈ 0, 99303.

ROZDZIA 7

Wykªad 7

7.0.5. Inne funkcje opisywane w tablicach trwania »ycia cd. W przy-

padku zmiennej losowej skokowej K(x) mediana mo»e by¢ wyznaczona z nast¦pu-
j¡cego ukªadu warunków











P (K(x) ¬ m(x))

1
2

P (K(x)  m(x))

1
2

(7.1)

Przykªad 7.1.

Zadanie 3.13 Bowers

Rozwa»my grup¦ noworodków, która zostaªa podzielona na dwie podgrupy. O pierw-
szej z nich wiadomo, »e skªada si¦ z 1600 noworodków, natomiast w drugiej za-
obserwowano po 10 latach, »e do wieku 10 lat do»yªo 540 osób. Wyci¡g z tabeli
±miertelno±ci dla populacji, z której pochodziªy noworodki, jest nast¦puj¡cy:

Niech Y

oraz Y

oznaczaj¡ liczb¦ osób, które do»yj¡ do wieku 70 lat, odpowiednio,

z pierwszej i drugiej podgrupy. Wyznaczy¢ staª¡ c, dla której zachodzi

P (Y

+ Y

> c) = 0, 05.

Zaªo»y¢ niezale»no±¢ zmiennych losowych T

(x)

oraz przyj¡¢ przybli»enia dla licz-

no±ci populacji.
Rozwi¡zanie:
Korzystaj¡c z podanej tabeli otrzymujemy

t
10

= s(10) · l

t
0

= s(10) · 40 ⇒ s(10) =

7. WYKAD 7

Zatem

2
10

= s(10) · l

2
0

⇒ l

2
0

540 · 40

≈ 554.

Poniewa» l

2
0

= 554

oraz l

1
0

= 1600

, wi¦c l

= 2154

. Z tre±ci zadania wiadomo,

»e Y

+ Y

jest ª¡czn¡ liczb¡ osób, które do»yj¡ do wieku 70 lat. Analogicznie

jak w przypadku deniowania zmiennej losowej opisanej w (6.6), zmienna loso-
wa Y = Y

+ Y

ma rozkªad dwumianowy Bernoulliego z parametrami (l

, s(70))

gdzie s(70) =

t
70

t
0

13
20

. Tak wi¦c E[Y ] = l

· s(70) =

13
20

· 2154

oraz Var[Y ] =

· s(70) · (1 − s(70)) =

13
20

· 2154

. Zauwa»my, »e

P (Y

+ Y

> c) = P





+ Y

) − E(Y

+ Y

)

Var(Y

+ Y

)

c −

13
20

· 2154

13
20

· 2154





= 0, 05.

Na mocy prawa wielkich liczb otrzymujemy

1 − Φ





c −

13
20

· 2154

13
20

· 2154





= 0, 95

i w konsekwencji

c −

13
20

· 2154

13
20

· 2154

≈ 1, 645 ⇒ c ≈ 1436, 4136.

7.0.6. Podstawowe zaªo»enia. Aby móc wykorzysta¢ dyskretne tablice »ycia

do opisywania ci¡gªej zmiennej losowej T (x) przyjmuje si¦ pewne zaªo»enia teore-
tyczne o funkcji s(x).
Niech x ∈ {0, 1, . . .}, 0 ¬ t ¬ 1. Wówczas

(1) Zaªo»enie o jednostajnej wymieralno±ci mi¦dzy caªkowitymi licz-

bami lat (UDD - ang. uniform distribution of death):

s(x + t) = (1 − t)s(x) + ts(x + 1)

(2) Zaªo»enie o staªej intensywno±ci wymierania (ang. Constant force

of mortality):

s(x + t) = s(x)e

−µ

, gdzie µ

= − ln p

(3) Zaªo»enie Balducciego:

s(x+t)

1−t

s(x)

s(x+1)

7. WYKAD 7

Zachowywanie si¦ podstawowych parametrów prze»ywalno±ci przy poszczególnych
zaªo»eniach:

Parametr

UDD

Constant force of mortality Balducciego

t · q

1 − e

−µ

·t

t·q

1−(1−t)·q

1 − t · q

−µ

·t

1−(1−t)·q

x+t

y·q

1−t·q

1 − e

−µ

·y

y·q

1−(1−y−t)·q

x+t

1−t·q

1−(1−t)·q

· µ

x+t

−µ

·t

· µ

·q

[1−(1−t)·q

]

dla 0 < t < 1, 0 ¬ y ¬ 1, y + t ¬ 1. Trzy pierwsze zwi¡zki zachodz¡ równie» dla

t = 0

oraz t = 1.

Przykªad 7.2.

Wykaza¢ prawdziwo±¢ wzorów w powy»szej tabeli dla zaªo»enia UDD.

Rozwi¡zanie:

•

= 1 −

s(x+t)

s(x)

= |

zaªo»enie UDD | = 1 −

(1−t)s(x)+ts(x+1)

s(x)

= 1 − (1 − t) − t

s(x+1)

s(x)

= t − t

s(x+1)

s(x)

= t

1 −

s(x+1)

s(x)

= t · q

•

x+t

= 1 −

s(x+t+y)

s(x+t)

= |

zaªo»enie UDD | = 1 −

(1−t−y)s(x)+(t+y)s(x+1)

(1−t)s(x)+ts(x+1)

ys(x)−ys(x+1)

s(x)−t[s(x)−s(x+1)]

[

1−

s(x+1)

s(x)

]

1−t

[

1−

s(x+1)

s(x)

]

y·q

1−t·q

• µ

x+t

= −

(x+t)

s(x+t)

= |

zaªo»enie UDD | =

s(x)−s(x+1)

(1−t)s(x)+ts(x+1)

1−

s(x+1)

s(x)

1−t

(

1−

s(x+1)

s(x)

)

1−t·q

Przykªad 7.3.

Zadanie 3.24 Bowers

Wykorzystuj¡c tabel¦ 3.2 z Bowers str. 55 oraz zaªo»enie UDD, wyznaczy¢ median¦
dla zmiennej losowej T (x) dla x = 0.
Rozwi¡zanie:
Poniewa» zmienna losowa T (0) jest typu ci¡gªego, wi¦c aby wyznaczy¢ median¦,
nale»y rozwi¡za¢ poni»sze równanie:

P (T (0) > m(0)) =

lub równowa»ne

s(m(0)) =

m(0)

7. WYKAD 7

Z tabeli 3.2 odczytujemy, »e l

= 51599

oraz l

= 48878

. Tak wi¦c szukana mediana

znajduje si¦ w przedziale (77; 78). Korzystaj¡c z zaªo»enia UDD otrzymujemy

s(77 + t) = (1 − t) · s(77) + t · s(78) = 0, 5

co jest równowa»ne równaniu

(1 − t) · l

+ t · l

= 50000.

W konsekwencji

t = 0, 5876516.

Tak wi¦c szukan¡ median¡ jest

m(0) = 77, 5876516.

Niech

T (x) = K(x) + S(x),

(7.2)

gdzie S(x) jest zmienn¡ losow¡ typu ci¡gªego opisuj¡c¡ cz¦±¢ roku, jak¡ prze»yje
osoba w wieku x po uko«czeniu k caªkowitych lat. Wówczas

P (k < T (x) ¬ k + s) = P (K(x) = k ∩ S(x) ¬ s)

k|s

x+k

Wykorzystuj¡c teraz zaªo»enie UDD otrzymujemy

P (K(x) = k ∩ S(x) ¬ s) =

· s · q

x+k

= s ·

(7.3)

= P (K(x) = k) · P (S(x) ¬ s).

(7.4)

Wniosek 7.1.

Przy zaªo»eniu UDD zmienne losowe K(x) oraz S(x) s¡ niezale»ne. Ponadto

P (S(x) ¬ s) = s

dla 0 < s < 1,

a to oznacza, »e zmienna losowa S(x) ma rozkªad jednostajny na przedziale (0, 1).

7. WYKAD 7

7.0.7. Selektywne i ultymatywne tablice trwania »ycia. Dotychczas za-

kªadali±my, »e P (X > x + t|X > x) = P (T (x) > t). Je±li jednak ta równo±¢ nie
zachodzi, to mamy do czynienia z selektywnymi tablicami »ycia.

Niech [x] oznacza wiek osoby, która jest w wyró»nionej (w wyselekcjonowanej)

grupie. Przyczyn¡ selekcji mog¡ by¢ np. przebyte choroby. Zdarza si¦, »e czynnik,
który dziaªa w chwili selekcji, wraz z upªywem czasu dziaªa coraz sªabiej. Przypu-
±¢my, »e r jest tak¡ pewn¡ liczb¡ naturaln¡, »e

∀j > 0 q

[x−j]+r+j

≈ q

[x]+r

= q

x+r

Je±li zachodzi powy»sza zale»no±¢, to tablice selektywne mo»na zako«czy¢ jedn¡
kolumn¡, tak¡ jak w zwykªych tablicach. Tablice te nazywaj¡ si¦ selektywne i ulty-
matywne. Stosuje si¦ je jak klasyczne tablice umieralno±ci.
Oznacza to, »e po upªywie czasu r osoba, która znalazªa si¦ w wyselekcjonowanej
grupie (np. osób po przebytym zawale serca), przechodzi znów do grupy osób nie
obj¦tych selekcj¡.

Przykªad 7.4.

Wykorzystuj¡c tablic¦ 3.7 (Bowers, str. 75) obliczy¢

[30]

oraz

[31]+1

Rozwi¡zanie:

[30]

[30]+2

[30]

= |

czas selekcji r = 2| =

[30]

33795
33829

= 0, 99899

[31]+1

= 1 −

[31]+1+3

[31]+1

= |

czas selekcji r = 2| = 1 −

[31]+1

= 1 −

33719
33791

= 0, 00213.

ROZDZIA 8

Wykªad 8

Ubezpieczenia na »ycie

8.1. Ubezpieczenia pªatne w chwili ±mierci (ci¡gªe)

Niech osoba w wieku x wykupuje ubezpieczenie »yciowe. Ubezpieczenie to mo»e

by¢ zawarte na wypadek ±mierci ubezpieczonego lub jego do»ycia do ustalonego
w umowie wieku.
Przyjmijmy nast¦puj¡ce oznaczenia:

• b

funkcja opisuj¡ca wysoko±¢ wypªaconego ±wiadczenia w chwili t,

• v

funkcja dyskontuj¡ca.

Wówczas warto±¢ obecna kwoty wypªaconej w chwili t ma warto±¢

= b

· v

(8.1)

Poniewa» czas wypªaty z tytuªu umowy ubezpieczeniowej jest zmienn¡ losow¡, tak
wi¦c warto±¢ obecna wypªaty jest równie» zmienn¡ losow¡ oraz

Z = b

T (x)

· v

T (x)

(8.2)

8.1.1. nletnie terminowe ubezpieczenie na wypadek ±mierci. W n

letnim terminowym ubezpieczeniu na wypadek ±mierci, nazywanym równie»
ubezpieczeniem na »ycie (ang. nyear term life insurance), pªatno±¢ dokonywana
jest jedynie w przypadku, gdy ubezpieczony umrze w czasie trwania tego ubezpie-
czenia. Wówczas











gdy t ¬ n;

gdy t > n,

= v

gdy t  0,











T (x)

gdy T (x) ¬ n;

gdy T (x) > n.

8.1. UBEZPIECZENIA PATNE W CHWILI MIERCI (CIGE)

W przypadku, gdy mamy do czynienia z ubezpieczeniami »yciowymi (tzn. dotycz¡-
cymi ±mierci ubezpieczonego lub jego do»ycia do ustalonego umow¡ wieku), warto±¢
oczekiwana warto±ci obecnej pªatno±ci, czyli E[Z], jest pojedyncz¡ skªadk¡ netto
(ang. net single premium).

Dla nletniego terminowego ubezpieczenia na wypadek ±mierci pojedyncz¡ skªad-

k¦ netto oznaczamy A

1
x:n|

i obliczamy zgodnie z poni»szym

1
x:n|

= E[Z] =

∞

· g(t)dt =

· µ

x+t

dt.

(8.3)

Ponadto jty moment zmiennej losowej Z mo»na wyliczy¢ korzystaj¡c z nast¦pu-
j¡cego wzoru

· µ

x+t

−(δ·j)t

· µ

x+t

dt.

Zauwa»my, »e jty moment zmiennej Z jest równy pojedynczej skªadce netto dla

letniego terminowego ubezpieczenia na wypadek ±mierci z jednostkow¡ pªatno±ci¡

dokonan¡ w chwili ±mierci, ale wyliczon¡ dla intensywno±ci oprocentowania (j · δ).

Twierdzenie 8.1.

Rozwa»my ubezpieczenie »yciowe dla xlatka. Niech intensywno±¢ oprocento-

wania w chwili t opisana b¦dzie funkcj¡ δ

oraz niech b

i v

b¦d¡, odpowiednio,

funkcj¡ wypªaty i funkcj¡ dyskonuj¡c¡. Je±li b

j
t

= b

dla ka»dego t, to E[Z

]

liczona

przy intensywno±ci oprocentowania δ

jest równa warto±ci E[Z] liczonej przy inten-

sywno±ci oprocentowania (j · δ

)

dla j > 0. Oznacza to, »e E[Z

]@δ

= E[Z]@(j · δ

)

Dowód.

Zauwa»my, »e

= E

T (x)

· v

T (x)

)

= E

j
T (x)

· v

T (x)

= E

T (x)

· v

T (x)

W ogólno±ci

= exp

−

(8.4)

8.1. UBEZPIECZENIA PATNE W CHWILI MIERCI (CIGE)

gdzie t oznacza czas od pocz¡tku trwania umowy do chwili ±mierci ubezpieczonego.
Podnosz¡c obie strony równo±ci (8.4) do pot¦gi j otrzymujemy

= exp

−

j · δ

(8.5)

co daje funkcj¦ dyskontuj¡c¡ dla intensywno±ci oprocentowania (j · δ

)

Na mocy twierdzenia 8.1 otrzymujemy

Var[Z] =

1
x:n|

−

1
x:n|

(8.6)

gdzie

1
x:n|

jest pojedyncz¡ skªadk¡ netto dla nletniego ubezpieczenia na wypadek

±mierci liczon¡ przy intensywno±ci oprocentowania 2δ.

8.1.2. Caªkowite ubezpieczenie »yciowe. W caªkowitym ubezpieczeniu

»yciowym, nazywanym równie» caªkowitym ubezpieczeniem na »ycie (ang. whole
life insurance), pªatno±¢ dokonywana jest w chwili ±mierci ubezpieczonego. Wówczas

= 1,

gdy t  0,

= v

gdy t  0,

= v

T (x)

gdy T (x) 0.

Wówczas pojedyncza skªadka netto opisana jest nast¦puj¡co

= E[Z] =

∞

· µ

x+t

dt.

(8.7)

Ponadto

Var[Z] =

−

(8.8)

gdzie

jest równe warto±ci skªadki netto w caªkowitym ubezpieczeniu »yciowym

liczonej przy intensywno±ci oprocentowania 2δ.

Przykªad 8.1.

Zadanie 2 (termin 30.05.98)

W danej populacji ±miertelno±¢ podlega prawu de Moivre'a z granicznym wiekiem

ω = 100

Oblicz (wska» najbli»sz¡ liczb¦) wariancj¦ obecnej warto±ci ±wiadcze« w beztermi-
nowym ubezpieczeniu na »ycie dla (40), wypªacaj¡cym 100 zª w momencie ±mierci.

8.1. UBEZPIECZENIA PATNE W CHWILI MIERCI (CIGE)

Dane jest a

60|

= 20

przy tej samej intensywno±ci oprocentowania, któr¡ wykorzysta-

no do kalkulacji A

. Dla uªatwienia podajemy warto±¢ a

60|

= 10, 6

przy intensyw-

no±ci oprocentowania dwukrotnie wy»szej od tej, któr¡ wykorzystano do kalkulacji

Rozwi¡zanie:
Zauwa»my, »e

)

|100

100 · v

s(40 + t)

s(40)

−s

(40 + t)

s(40 + t)

s(x) = 1 −

100

· a

60|δ

100

· 20 =

100

(

)

|100

(100)

· v

s(40 + t)

s(40)

−s

(40 + t)

s(40 + t)

s(x) = 1 −

100

10.000

· a

60|δ

=2·δ

10.000

· 10, 6

oraz

Var(Z) =

10.000

· 10, 6 −

100

≈ 655, (5),

co daje odpowied¹ najbli»sz¡ 660 (odpowied¹ (A)).

8.1.3. nletnie ubezpieczenie na do»ycie. W nletnim ubezpieczeniu

na do»ycie (ang. nyear pure endowment) wypªata nast¦puj¦ na koniec ntego
roku pod warunkiem, »e ubezpieczony prze»yje przynajmniej n kolejnych lat od
momentu podpisania polisy. Wówczas











gdy t ¬ n;

gdy t > n,

= v

gdy t  0,











gdy T (x) ¬ n;

gdy T (x) > n.

Wówczas

x:n|

= E[Z] = v

· P (T (x) > n) = v

(8.9)

8.1. UBEZPIECZENIA PATNE W CHWILI MIERCI (CIGE)

oraz

E[Z

] = v

· P (T (x) > n) = v

(8.10)

Zatem

Var[Z] = v

− (v

)

= v

x:n|

−

x:n|

(8.11)

8.1.4. nletnie ubezpieczenie na wypadek ±mierci i na do»ycie. W n

letnim ubezpieczeniu na wypadek ±mierci i na do»ycie (ang. nyear endow-
ment insurance) pªatno±¢ dokonywana jest w chwili ±mierci, gdy zgon ubezpieczo-
nego nast¡piª w czasie trwania umowy ubezpieczeniowej lub na koniec ntego roku,
gdy ubezpieczony prze»yje przynajmniej n kolejnych lat od momentu podpisania
polisy. Zatem

= 1,

gdy t  0,











gdy t ¬ n;

gdy t > n,











T (x)

gdy T (x) ¬ n;

gdy T (x) > n.

Pojedyncza skªadka netto dla takiego ubezpieczenia oznaczana jest symbolem A

x:n|

Niech Z

, Z

oraz Z

oznaczaj¡ warto±ci obecne zmiennych losowych, odpo-

wiednio, w nletnim ubezpieczeniu na wypadek ±mierci, nletnim ubezpieczeniu na
do»ycie oraz nletnim ubezpieczeniu na wypadek ±mierci i na do»ycie. Wówczas











T (x)

gdy T (x) ¬ n;

gdy T (x) > n,











gdy T (x) ¬ n;

gdy T (x) > n,











T (x)

gdy T (x) ¬ n;

gdy T (x) > n.

Z powy»szego wynika, »e

= Z

+ Z

(8.12)

8.1. UBEZPIECZENIA PATNE W CHWILI MIERCI (CIGE)

oraz

x:n|

= A

1
x:n|

+ A

x:n|

(8.13)

Ponadto, poniewa»

@δ = E [Z

] @(j · δ),

wi¦c

Var [Z

] =

x:n|

−

x:n|

(8.14)

Zauwa»my teraz, »e

Var[Z

] = Var[Z

+ Z

] = Var[Z

] + Var[Z

] + 2 Cov[Z

, Z

(8.15)

Zauwa»my ponadto, »e

· Z

= 0.

Tak wi¦c

Cov[Z

, Z

] = − E[Z

] · E[Z

W konsekwencji

Cov[Z

, Z

] = −A

1
x:n|

· A

x:n|

(8.16)

Podstawiaj¡c teraz wzory (8.6) oraz (8.11) do wzoru (8.15) otrzymujemy wzór na

Var [Z

]

wyra»ony za pomoc¡ pojedynczych skªadek netto w nletnim ubezpieczeniu

na »ycie oraz n-letni ubezpieczeniu na do»ycie.

Uwaga 8.1.

Poniewa»

Cov[Z

, Z

] = −A

1
x:n|

· A

x:n|

6= 0,

wi¦c zmienne losowe Z

oraz Z

s¡ zale»ne.

Przykªad 8.2.

Zadanie 2 (termin 16.11.96

Niech Z

, Z

oznaczaj¡, odpowiednio, warto±ci obecne wypªat z nast¦puj¡cych

polis wystawionych dla 40latka: terminowej 20letniej na »ycie, 20letniej na do-
»ycie oraz 20letniej na »ycie i do»ycie.
Oblicz E(Z

)

oraz E(Z

)

, je±li wiadomo, »e:

(1) Var(Z

) = 0, 0081

, Var(Z

) = 0, 0625

, Var(Z

) = 0, 0106

8.1. UBEZPIECZENIA PATNE W CHWILI MIERCI (CIGE)

(2) A

40:20|

= 0, 4

(w orginalenej wersji zadania podano A

40:20|

, ale poniewa» nie

podano tutaj informacji, kiedy nast¦puje wypªata z tytuªu ±wiadczenia, to
równie» mo»e by¢ w tym zadaniu podana warto±¢ A

40:20|

na potrzeby tego

wykªadu zmodykowano dane).

Rozwi¡zanie:
Zauwa»my, »e

Var(Z

) = Var(Z

+ Z

) = Var(Z

) + Var(Z

) − E(Z

) · E(Z

)

oraz

E(Z

) = E(Z

) + E(Z

Przyjmijmy oznaczenia:

E(Z

) = x, E(Z

) = y.

Wówczas otrzymujemy nast¦puj¡cy ukªad równa«











x + y = 0, 4

0, 0106 = 0, 0081 + 0, 0625 − 2xy,

co w rezultacie daje odpowied¹ E(Z

) = 0, 3

oraz E(Z

) = 0, 1

lub E(Z

) = 0, 1

oraz

E(Z

) = 0, 3

(odpowied¹ (A)).

8.1.5. Bezterminowe ubezpieczenie odroczone o m lat. W beztermi-

nowym ubezpieczeniu odroczonym o m lat (ang. myear deferred insurance)
pªatno±¢ dokonywana jest w chwili ±mierci, ale dopiero wtedy, gdy ubezpieczony
prze»yje przynajmniej m lat od momentu podpisania polisy. Wówczas











gdy t > m;

gdy t ¬ m,

= v

gdy t > 0,











T (x)

gdy T (x) > m;

gdy T (x) ¬ m.

Warto±¢ pojedynczej skªadki netto w takim ubezpieczeniu jest równa

∞

· µ

x+t

dt.

(8.17)

8.1. UBEZPIECZENIA PATNE W CHWILI MIERCI (CIGE)

Przykªad 8.3.

Rozwa»my ubezpieczenie caªkowite odroczone o 5 lat z wypªat¡ w chwili ±mierci

ubezpieczonego. Zaªó»my, »e intensywno±¢ wymieralno±ci µ = 0, 04 oraz intensyw-
no±¢ oprocentowania δ = 0, 10. Wyznaczy¢

a. warto±¢ oczekiwan¡,

b. wariancj¦,

c. median¦

dla zmiennej losowej opisuj¡cej warto±¢ obecn¡ wypªaty.
Rozwi¡zanie:
a. Dla staªej µ i δ mamy

∞

−δt

· e

−µt

· µdt =

µ + δ

−5(µ+δ)

St¡d

−0,7

= 0, 1419.

b. Na mocy twierdzenia 8.1 otrzymujemy

Var[Z] =

µ + 2δ

−5(µ+2δ)

−

µ + δ

−5(µ+δ)

0, 04

0, 04 + 0, 20

−5(0,04+0,20)

−

−1,4

= 0, 0301.

c. Zauwa»my, »e zmienna losowa Z w powy»szym przykªadzie ma rozkªad skokowo
ci¡gªy:

P (Z = 0) = P (T (x) ¬ 5) = 1 − e

−5µ

= 1 − e

−0,20

= 0, 1813 <

oraz

P (Z > 0) = P (T (x) > 5) = e

−5µ

= e

−0,20

= 0, 8187.

Tak wi¦c mediana dla zmiennej losowej Z b¦dzie w przedziale (0, ∞) i b¦dzie speª-
niaªa

P (Z ¬ me

(x)) = P (Z = 0) + P (0 < Z ¬ me

(x)) = 0, 5,

co poci¡ga za sob¡ zale»no±¢

P (0 < Z ¬ me

(x)) = 0, 5 − 0, 1813 = 0, 3187.

8.1. UBEZPIECZENIA PATNE W CHWILI MIERCI (CIGE)

Wówczas

P (0 < Z ¬ me

(x)) = P

T (x)

¬ me

(x)

= P (T (x) · ln v  ln(me

(x)))

= P

T (x)

ln(me

(x))

ln v

= 0, 3187.

Niech h =

ln(me

(x))

ln v

. Zatem, aby wyznaczy¢ median¦ zmiennej losowej Z wystarczy

znale¹¢ takie h, aby speªniony byª warunek

= 0, 3187.

Zatem

−µh

= 0, 3187,

h =

ln(0, 3187)

−µ

ln(me

(x))

ln(e

−δ

)

ln(0, 3187)

−µ

ln(me

(x)) =

ln(0, 3187),

(x) = 0, 3187

= 0, 0573.

ROZDZIA 9

Wykªad 9

Ubezpieczenia na »ycie cd.

9.0.6. Terminowe ubezpieczenie odroczone o m lat. W terminowym

(nletnim) ubezpieczeniu odroczonym o m lat pªatno±¢ dokonywana jest
w chwili ±mierci, ale jedynie wtedy, gdy ubezpieczony umrze pomi¦dzy mtym
a m + ntym rokiem od momentu podpisania polisy. Wówczas











gdy m ¬ t < m + n;

gdy t < m ∨ t m + n,

= v

gdy t > 0,











T (x)

gdy m ¬ T (x) < m + n;

gdy t < m ∨ T (x)  m + n.

Warto±¢ pojedynczej skªadki netto w takim ubezpieczeniu jest równa

m|n

m+n

· µ

x+t

dt.

(9.1)

9.0.7. Ubezpieczenia o ró»nych wypªatach.
9.0.7.1. Caªkowite ubezpieczenie o zmiennej funkcji wypªaty.

(1) Rozwa»my ubezpieczenie »yciowe, w którym funkcja wypªaty ro±nie w ko-

lejnych latach trwania ubezpieczenia w taki sposób, »e w pierwszym roku
trwania wypªata ma warto±¢ 1, w drugim roku 2, w trzecim 3, itp.
Wówczas

= [t + 1],

gdy t  0,

= v

gdy t  0,

= [T (x) + 1] · v

T (x)

gdy T (x) 0.

Warto±¢ pojedynczej skªadki netto w takim ubezpieczeniu jest równa

(IA)

∞

[t + 1] · v

· µ

x+t

dt.

(9.2)

9. WYKAD 9 UBEZPIECZENIA NA YCIE CD.

(2) Rozwa»my ubezpieczenie »yciowe nletnie, w którym funkcja wypªaty zmie-

nia si¦ jak w poprzednim przypadku. Wówczas











[t + 1],

gdy 0 ¬ t ¬ n;

gdy t > n,

= v

gdy t  0,











[T (x) + 1] · v

T (x)

gdy 0 ¬ T (x) ¬ n;

gdy T (x) > n,

Warto±¢ pojedynczej skªadki netto w takim ubezpieczeniu jest równa

(IA)

1
x:n|

[t + 1] · v

· µ

x+t

dt.

(9.3)

(3) Rozwa»my ubezpieczenie »yciowe, w którym funkcja wypªaty ro±nie m razy

w ci¡gu roku w taki sposób, »e w pierwszym z m podokresów pierwszego ro-
ku trwania wypªata ma warto±¢ 1/m, w drugim z m podokresów pierwszego
roku2/m, w trzecim z m podokresów pierwszego roku3/m, itp. Wówczas

[t · m + 1]

gdy t  0,

= v

gdy t  0,

[T (x) · m + 1]

· v

T (x)

gdy T (x) 0.

Warto±¢ pojedynczej skªadki netto w takim ubezpieczeniu jest równa

(m)

∞

[t · m + 1]

· v

· µ

x+t

dt.

(9.4)

(4) Rozwa»my ubezpieczenie »yciowe, w którym funkcja wypªaty ro±nie linio-

wo. Jest to przypadek opisany w poprzednim podpunkcie przy m → ∞.
Wówczas

= t,

gdy t  0,

= v

gdy t  0,

= T (x) · v

T (x)

gdy T (x) 0.

Warto±¢ pojedynczej skªadki netto w takim ubezpieczeniu jest równa

(I A)

∞

t · v

· µ

x+t

dt.

(9.5)

9. WYKAD 9 UBEZPIECZENIA NA YCIE CD.

Zauwa»my, »e

(I A)

∞

· v

· µ

x+t

∞

· µ

x+t

∞

dm.

(5) Rozwa»my terminowe ubezpieczenie »yciowe, w którym funkcja wypªaty

ro±nie liniowo przez n lat oraz wypªata z tytuªu zgonu ubezpieczonego
nast¦puje jedynie do ko«ca n lat od chwili podpisania zawarcia ubezpie-
czenia. Wówczas warto±¢ pojedynczej skªadki netto w takim ubezpieczeniu
jest równa

(I A)

1
x:n|

t · v

· µ

x+t

dt.

(9.6)

9.0.7.2. Ubezpieczenia o malej¡cej funkcji wypªaty.

(1) Rozwa»my nletnie ubezpieczenie na »ycie, w którym funkcja wypªaty ma-

leje w kolejnych latach trwania ubezpieczenia w taki sposób, »e w pierwszym
roku trwania wypªata ma warto±¢ n, w drugim roku n−1, w trzecimn−2,
itp. Wówczas











n − [t],

gdy t ¬ n;

gdy t > n,

= v

gdy t  0,

Z =











(n − [T (x)]) · v

T (x)

gdy T (x) ¬ n;

gdy T (x) > n.

Warto±¢ pojedynczej skªadki netto w takim ubezpieczeniu jest równa

1
x:n|

(n − [t]) · v

· µ

x+t

dt.

(9.7)

(2) Rozwa»my nletnie ubezpieczenie na »ycie, w którym funkcja wypªaty ma-

leje liniowo w kolejnych latach trwania ubezpieczenia. Wówczas











n − t,

gdy t ¬ n;

gdy t > n,

= v

gdy t  0,

Z =











(n − T (x)) · v

T (x)

gdy T (x) ¬ n;

gdy T (x) > n.

9.1. UBEZPIECZENIA PATNE NA KONIEC ROKU MIERCI (DYSKRETNE)

Warto±¢ pojedynczej skªadki netto w takim ubezpieczeniu jest równa

(D A)

1
x:n|

(n − t) · v

· µ

x+t

dt.

(9.8)

9.1. Ubezpieczenia pªatne na koniec roku ±mierci (dyskretne)

Rozwa»my teraz ubezpieczenia, w których ±wiadczenie z tytuªu ±mierci wypªa-

cane jest na koniec roku, w którym ten zgon nast¡piª.

Tak wi¦c, je±li np. zgon nast¡piª w pierwszym roku trwania umowy ubezpiecze-

niowej (czyli K(x) = 0), ±wiadczenie wypªacone jest na ko«cu pierwszego roku. W
konsekwencji rozwa»a¢ b¦dziemy funkcje:

• b

k+1

funkcja opisuj¡ca wysoko±¢ ±wiadczenia wypªaconego na koniec roku,

w którym nast¡piª zgon,

• v

k+1

funkcja dyskontuj¡ca.

Wówczas warto±¢ obecna kwoty wypªaconej z tytuªu zgonu ma warto±¢

k+1

= b

k+1

· v

k+1

(9.9)

9.1.1. nletnie terminowe ubezpieczenie na wypadek ±mierci. W tego

rodzaju ubezpieczeniu zakªadamy, »e

k+1











gdy k = 0, 1, . . . , n − 1;

gdy k = n, . . .,

k+1

= v

k+1











K(x)+1

gdy K(x) = 0, 1, . . . , n − 1;

gdy K(x) = n, . . ..

Wówczas warto±¢ pojedynczej skªadki netto opisana jest wzorem

1
x:n|

= E[Z] =

n−1

k=0

k+1

· q

x+k

(9.10)

Zgodnie z twierdzeniem 8.1, po zmianie oznacze«, otrzymujemy

Var[Z] =

1
x:n|

− (A

1
x:n|

)

(9.11)

gdzie

1
x:n|

n−1

k=0

−2δ(k+1)

· q

x+k

9.1. UBEZPIECZENIA PATNE NA KONIEC ROKU MIERCI (DYSKRETNE)

9.1.2. Caªkowite ubezpieczenie »yciowe. Warto±¢ pojedynczej skªadki net-

to opisana jest wzorem

= E[Z] =

∞

k=0

k+1

· q

x+k

(9.12)

Zauwa»my, »e mno»¡c obie strony równo±ci (9.12) przez l

otrzymujemy

· A

∞

k=0

k+1

· d

x+k

(9.13)

9.1.3. nletnie ubezpieczenie na wypadek ±mierci i na do»ycie. W tego

rodzaju ubezpieczenia

k+1

= 1,

gdy k = 0, 1, . . . ;

k+1











k+1

gdy k = 0, 1, . . . , n − 1;

gdy k = n, . . .,











K(x)+1

gdy K(x) = 0, 1, . . . , n − 1;

gdy K(x) = n, . . ..

Wówczas warto±¢ pojedynczej skªadki netto opisana jest wzorem

x:n|

n−1

k=0

k+1

· q

x+k

+ v

(9.14)

9.1.3.1. Caªkowite ubezpieczenie o rosn¡cej funkcji wypªaty. Rozwa»my ubezpie-

czenie »yciowe, w którym funkcja wypªaty ro±nie w kolejnych latach trwania ubez-
pieczenia w taki sposób, »e je±li zgon ubezpieczonego nast¡piª w pierwszym roku
umowy, to wypªata z tytuªu tego ubezpieczenia ma warto±¢ 1, w drugim roku 2,
w trzecim 3, itp. Wówczas

k+1

= k + 1,

gdy k = 0, 1, . . . ;

k+1

= v

k+1

gdy k = 0, 1, . . . ;

= (K(x) + 1) · v

K(x)+1

gdy k = 0, 1, . . . .

Warto±¢ pojedynczej skªadki netto w takim ubezpieczeniu jest równa

(IA)

∞

k=0

(k + 1) · v

k+1

· q

x+k

(9.15)

9.1. UBEZPIECZENIA PATNE NA KONIEC ROKU MIERCI (DYSKRETNE)

9.1.3.2. Ubezpieczenia o malej¡cej funkcji wypªaty. Rozwa»my nletnie ubezpie-

czenie na »ycie, w którym funkcja wypªaty maleje w kolejnych latach trwania ubez-
pieczenia w taki sposób, »e je±li zgon ubezpieczonego nast¡piª w pierwszym roku
trwania umowy, to wypªata ma warto±¢ n, w drugim roku n − 1, w trzecimn − 2,
itp. Wówczas

k+1











n − k,

gdy k = 0, 1, . . . , n − 1;

gdy k = n, n + 1 . . .,

k+1

= v

k+1

gdy k = 0, 1, . . . ;











(n − K(x)) · v

K(x)+1

gdy K(x) = 0, 1, . . . , n − 1;

gdy K(x) = n, n + 1 . . .

Warto±¢ pojedynczej skªadki netto w takim ubezpieczeniu jest równa

(DA)

1
x:n|

n−1

k=0

(n − k) · v

k+1

· q

x+k

(9.16)

Ponadto

(DA)

1
x:n|

n−1

k=0

(n − k) · v

k+1

· q

x+k

n−1

k=0

(n − k) · (v

) · (v · q

x+k

)

(9.17)

n−1

k=0

(n − k) ·

1
x:1|

Zamieniaj¡c w powy»szym

n − k =

n−k−1

j=0

(1)

otrzymujemy

(DA)

1
x:n|

n−1

k=0

n−k−1

j=0

(1) · v

k+1

· q

x+k

po zamianie kolejno±ci sumowania

n−1

j=0

n−j−1

k=0

(1) · v

k+1

· q

x+k

n−1

j=0

1
x:n−j|

ROZDZIA 10

Wykªad 10

Ubezpieczenia na »ycie cd.

10.0.4. Zwi¡zki mi¦dzy ubezpieczeniami ci¡gªymi i dyskretnymi.
10.0.4.1. Ubezpieczenia caªkowite. Na mocy (8.7) mamy

∞

· µ

x+t

∞

k=0

k+1

· µ

x+t

∞

k=0

k+s

· µ

x+k+s

∞

k=0

k+1

s−1

x+k

· µ

x+k+s

ds.

(10.1)

Wykorzystuj¡c teraz zaªo»enie UDD (

x+k

· µ

x+k+s

= q

x+k

dla 0 ¬ s ¬ 1) otrzymu-

jemy

∞

k=0

k+1

· q

x+k

(1 + i)

1−s

· ds

(10.2)

Zauwa»my, »e równo±¢ (10.2) mo»na uzyska¢ stosuj¡c wªasno±¢ zmiennej losowej

T (x)

. Mianowicie, wykorzystuje si¦ fakt, »e

T (x) = K(x) + S(x),

gdzie S(x) jest zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ cz¡stkow¡ cz¦±¢ roku ±mierci ubezpieczo-
nego. Ponadto pokazali±my, »e przy zaªo»eniu UDD zmienne losowe K(x) i S(x)
s¡ niezale»ne oraz, »e zmienna losowa S(x) ma rozkªad jednostajny na przedziale

(0, 1)

. Zatem

= E[v

T (x)

] = E[v

K(x)+S(x)

] = E[v

K(x)+1

(1 + i)

1−S(x)

]

= E[v

K(x)+1

] E[(1 + i)

1−S(x)

] = A

· E[(1 + i)

1−S(x)

]

(10.3)

10. WYKAD 10 UBEZPIECZENIA NA YCIE CD.

oraz

E[(1 + i)

1−S(x)

] =

(1 + i)

1−s

ds =

(10.4)

10.0.4.2. Ubezpieczenie nletnie rosn¡ce w kolejnych latach. W ubezpieczeniu

letnim rosn¡cym w kolejnych latach (ci¡gªym) mamy

Z =











[T (x) + 1] · v

T (x)

gdy 0 ¬ T (x) ¬ n;

gdy T (x) > n.

Poniewa» [T (x) + 1] = K(x) + 1, wi¦c mo»emy zapisa¢

Z =











(K(x) + 1) · v

K(x)+1

· v

S(x)−1

gdy 0 ¬ T (x) ¬ n;

gdy T (x) > n.

Oznaczmy teraz przez W zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ warto±¢ obecn¡ wypªaconego
±wiadczenia w ubezpieczeniu dyskretnym nletnim rosn¡cym w kolejnych latach,
tzn.

W =











(K(x) + 1) · v

K(x)+1

gdy 0 ¬ T (x) ¬ n;

gdy T (x) > n.

Wówczas

Z = W · (1 + i)

1−S(x)

i w konsekwencji

E[Z] = E[W ] · E[(1 + i)

1−S(x)

Zatem

E[Z] = (IA)

1
x:n|

(10.5)

Uwaga 10.1.

Odpowiednie zale»no±ci mi¦dzy jednorazowymi skªadkami dla ubezpiecze« ci¡-

gªych i dyskretnych mo»na zapisa¢, gdy b

T (x)

= b

∗
K(x)+1

oraz v

T (x)

= v

T (x)

. Wówczas

= b

∗
K(x)+1

· v

T (x)

= b

∗
K(x)+1

· v

K(x)+1

S(x)−1

= b

∗
K(x)+1

· v

K(x)+1

(1 + i)

1−S(x)

W konsekwencji

E[Z] = E[b

∗
K(x)+1

· v

K(x)+1

] · E[(1 + i)

1−S(x)

]

= E[b

∗
K(x)+1

· v

K(x)+1

] ·

(10.6)

10. WYKAD 10 UBEZPIECZENIA NA YCIE CD.

Przykªad 10.1.

Obliczy¢ pojedyncz¡ skªadk¦ netto oraz wariancj¦ dla 30letniego ubezpieczenia

na wypadek ±mierci i do»ycie dla m¦»czyzny 35letniego. Zakªadamy, »e ±wiadczenie
w wysoko±ci 10.000 PLN wypªacane jest w chwili ±mierci lub po 30 latach, w przy-
padku do»ycia oraz stopa procentowa i = 0, 06. Wykorzysta¢ Ilustruj¡ce Tablice
ycia z Bowers str. 566 oraz przyj¡¢ zaªo»enie UDD. (Wówczas

1
35:30|

= 0, 0309294

Rozwi¡zanie:
Zauwa»my, »e w ubezpieczeniu na do»ycie nie jest speªnione zaªo»enie v

T (x)

= v

T (x)

Zatem nie mo»emy wykorzysta¢ uwagi 10.1. Niemniej jednak dla ubezpieczenia wy-
pªacaj¡cego 1 PLN mamy

35:30|

· A

1
35:30|

+ A

35:30|

Zauwa»my ponadto, »e

1
x:n|

n−1

k=0

k+1

· q

x+k

∞

k=0

k+1

· q

x+k

−

∞

k=n

k+1

· q

x+k

= A

−

∞

t=0

t+n+1

t+n

· q

x+t+n

= A

− v

∞

t=0

t+1

x+n

· q

(x+n)+t

= A

− v

∞

t=0

t+1

x+n

· q

(x+n)+t

= A

− v

· A

x+n

= A

− v

x+n

· A

x+n

(10.7)

Tak wi¦c

35:30|

· [A

− v

35+30

· A

35+30

] + v

= 0, 208727.

Natomiast wariancja zmiennej losowej Z mo»e by¢ obliczona ze wzoru

Var[Z] =

35:30|

− (A

35:30|

)

= 0, 0309294 + (v

)

− (0, 208727)

= 0, 011606.

Natomiast dla ubezpieczenia, które wypªaca 10.000 PLN jednorazowa skªadka netto
ma warto±¢ 10.000 · 0, 208727 = 2.087, 27, natomiast wariancja 10.000

· 0, 011606 =

1.160.600

10. WYKAD 10 UBEZPIECZENIA NA YCIE CD.

10.0.5. Wzory rekurencyjne. Podany zostanie teraz jeden z wzorów reku-

rencyjnych dla ubezpieczenia dyskretnego caªkowite.
I sposób
Zauwa»my, »e

∞

k=0

k+1

· q

x+k

= v · q

∞

k=1

k+1

· q

x+k

= v · q

+ v · p

∞

k=1

k−1

x+1

· q

x+k

= v · q

+ v · p

∞

j=0

j+1

x+1

· q

x+1+j

= v · q

+ v · p

· A

x+1

II sposób

= E[Z] = E[v

K(x)+1

K(x) 0]

= E[v

K(x)+1

K(x) = 0] · P (K(x) = 0) + E[v

K(x)+1

K(x) 1] · P (K(x) 1)

= v · q

+ v · E[v

(K(x)−1)+1

(K(x) − 1) 0] · p

Zauwa»my teraz, »e je±li K(x) jest zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ przyszªy caªkowity czas
»ycia xlatka, to zmienna losowa K(x) − 1 jest zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ przyszªy
caªkowity czas »ycia x + 1latka. St¡d

E[v

(K(x)−1)+1

(K(x) − 1) 0] = A

x+1

i w konsekwencji

= v · q

+ v · A

x+1

· p

Twierdzenie 10.1.

x+1

− A

= i · A

− q

· (1 − A

x+1

Dowód.

10. WYKAD 10 UBEZPIECZENIA NA YCIE CD.

Z poprzedniego wyprowadzenia mamy

= v · q

+ v · A

x+1

· p

Mno»¡c teraz obie strony przez (1 + i) otrzymujemy

(1 + i) · A

= q

+ A

x+1

· (1 − q

)

i porz¡dkuj¡c odpowiednio mamy

x+1

− A

= i · A

− q

· (1 − A

x+1

Analogicznie mo»na poda¢ wzór na przyrost (mierzony pochodn¡) w przypadku

caªkowitego ci¡gªego ubezpieczenia na wypadek ±mierci.

Twierdzenie 10.2.

Dla caªkowitego ci¡gªego ubezpieczenia na wypadek ±mierci zachodzi

= −µ

+ A

(δ + µ

) = δ · A

− µ

(1 − A

(10.8)

Dowód.

Niech h > 0.

Zauwa»my, »e

= E[v

T (x)

]

= E[v

T (x)

|0 ¬ T (x) ¬ h] · P (0 ¬ T (x) ¬ h)

+ E[v

T (x)

|T (x) > h] · P (T (x) > h).

(10.9)

Zauwa»my teraz, »e warunkowa g¦sto±¢ g(t|0 ¬ T (x) ¬ h) opisana jest wzorem

g(t|0 ¬ T (x) ¬ h) =











g(t)

G(h)

·µ

x+t

G(h)

dla 0 ¬ t ¬ h;

dla pozostaªych t,

St¡d

E[v

T (x)

|0 ¬ T (x) ¬ h] =

· µ

x+t

oraz

E[v

T (x)

|T (x) > h] = v

E[v

T (x)−h

|T (x) − h > 0] = v

· A

x+h

10. WYKAD 10 UBEZPIECZENIA NA YCIE CD.

W efekcie mo»na zapisa¢, »e

· µ

x+t

dt ·

+ v

· A

x+h

(10.10)

Tak wi¦c

x+h

− A

= −

· µ

x+t

dt + A

x+h

(1 − v

Aby udowodni¢ równo±¢ (10.8), wystarczy obliczy¢ lim

h→∞

x+h

−A

. Zauwa»my, »e

lim

h→∞

−

· µ

x+t

= |

z reguªy d'Hospitala| = v

· µ

x+h

= −µ

oraz

lim

h→∞

1 − v

= |

z reguªy d'Hospitala|

= − ln(v) · v

s(x + h)

s(x)

− v

(x + h)

s(x)

= δ + µ

W konsekwencji

= −µ

+ A

(δ + µ

) = δ · A

− µ

(1 − A

ROZDZIA 11

Wykªad 11

Ubezpieczenia na »ycie cd. Renty »yciowe

11.0.6. Funkcje komutacyjne. Zauwa»my, »e zgodnie ze wzorem (9.13)

· A

∞

k=0

k+1

· d

x+k

natomiast po pomno»eniu obu stron przez v

otrzymujemy

· l

· A

∞

k=0

x+k+1

· d

x+k

(11.1)

To oraz dyskretna posta¢ tablic »ycia motywuje do wprowadzenia pewnych funkcji
zwanych funkcjami komutacyjnymi. Mianowicie

= v

· l

(11.2)

= v

x+1

· d

(11.3)

∞

k=0

x+k

(11.4)

∞

k=0

x+k

∞

k=0

(k + 1)C

x+k

(11.5)

Dzi¦ki tym funkcjom mo»emy zapisa¢ wzory na pojedyncze skªadki netto w ubez-
pieczeniach.

Przykªadowe wykorzystanie funkcji komutacyjnych dla ubezpiecze«

dyskretnych.

(1) Na mocy (11.1) oraz powy»szych wzorów

∞

k=0

x+k

(11.6)

11. WYKAD 11 UBEZPIECZENIA NA YCIE CD. RENTY YCIOWE

(2) Dla dyskretnego nletniego ubezpieczenia o wypªacie rosn¡cej latami mamy

(IA)

1
x:n|

n−1

k=0

(k + 1) · v

k+1

· q

x+k

n−1

k=0

(k + 1) · v

x+k+1

· l

· q

x+k

· l

n−1

k=0

(k + 1) · v

x+k+1

· d

x+k

· l

n−1

k=0

(k + 1)C

x+k

n−1

k=0

x+k

− n ·

∞

k=0

x+n+k

∞

k=0

x+k

−

∞

k=n

x+k

− n · M

x+n

− R

x+n

− n · M

x+n

(11.7)

(3) Dla ubezpieczenia na do»ycie mamy

x:n|

= v

x+n

· l

x+n

· l

x+n

(11.8)

(4) Dla nletniego ubezpieczenia dyskretnego na wypadek ±mierci mamy

1
x:n|

− M

x+n

(11.9)

(5) Dla nletniego ubezpieczenia dyskretnego na wypadek ±mierci i do»ycie

mamy

x:n|

− M

x+n

+ D

x+n

(11.10)

Przykªad 11.1.

Przyjmijmy, »e osoba kupuj¡ca polis¦ jest w wieku 30 lat. Wyznaczy¢ warto±¢

pojedynczej skªadki netto dla malej¡cego ubezpieczenia pªac¡cego w pierwszym roku

10.000

w chwili ±mierci, w drugim 9.000, i tak dalej, je±li

a. ubezpieczenie ko«czy si¦ po 10ciu latch,

b. ubezpieczenie ko«czy si¦ po 5ciu latch.

11.1. RENTY YCIOWE

Wykorzysta¢ ilustruj¡ce tablice »ycia, przyj¡¢ zaªo»enie UDD oraz i = 0, 06.
Rozwi¡zanie:
a. Zauwa»my, »e zgodnie z uwag¡ 10.1 mo»emy zapisa¢

10.000 · (DA)

1
30:10|

= 10.000 ·

(DA)

1
30:10|

Aby zapisa¢ teraz warto±¢ pojedynczej skªadki netto w malej¡cym dyskretnym 10
letnim ubezpieczeniu na wypadek ±mierci mo»emy potraktowa¢ je jak 10 ubezpie-
cze« na wypadek ±mierci: pierwsze 10letnie, drugie 9letnie i tak dalej. Wówczas

(DA)

1
30:10|

= A

1
30:10|

+ A

1
30:9|

+ . . . + A

1
30:1|

wykorzystuj¡c (11.9)

− M

30+10

) + (M

− M

30+9

) + . . . + (M

− M

30+1

)

10 · M

−

9
k=0

30+k+1

10 · M

−

∞
k=0

30+k+1

∞
k=10

30+k+1

10 · M

− R

30+1

+ R

30+11

St¡d

10.000 · (DA)

1
30:10|

= 10.000 ·

(DA)

1
30:10|

= 80, 49.

b.Podobnie mo»na rozdzieli¢ ubezpieczenie 5letnie: 5 ubezpiecze«

11.1. Renty »yciowe

Rozwa»my jednostkow¡ pªatno±¢ na koniec ntego roku dokonan¡ dla osoby

w wieku x. W poª¡czeniu z ubezpieczeniami »yciowymi, mo»emy powiedzie¢, »e jest
to pªatno±¢ wynikaj¡ca z umowy ubezpieczenia na do»ycie. Wówczas oczekiwana
warto±¢ obecna tej pªatno±ci równa jest

= A

x:n|

= v

(11.11)

Oczekiwan¡ warto±¢ obecn¡ pªatno±ci nazywa¢ b¦dziemy aktuarialn¡ warto±ci¡
obecn¡ (ang. actuarial present value). Tak wi¦c

jest aktuarialn¡ warto±ci¡

obecn¡ pªatno±ci 1 na koniec ntego roku.

11.1. RENTY YCIOWE

Przykªad 11.2.

Przykªad 5.1 Bowers

Wyznaczy¢ aktuarialn¡ warto±¢ obecn¡ 10.000 wypªaconych na ko«cu 40 roku trwa-
nia lokaty, dla osoby b¦d¡cej w wieku 25 lat w chwili wpªacania. Przyj¡¢ i = 0, 06.
Rozwi¡zanie:
Zauwa»my, »e aktuarialna warto±¢ obecna takiej lokaty opisana jest wzorem

10.000 ·

= 10.000 · v

= 765, 78

Zauwa»my, »e wzór (11.11) mo»na zapisa¢ nast¦puj¡co:

· (1 + i)

= l

x+n

(11.12)

Interpretacja powy»szej równo±ci jest nast¦puj¡ca:
je±li l

osób zainwestuje kapitaª o wysoko±ci

ka»da przy efektywnej stopie pro-

centowej i, to na koniec ntego roku ka»da z nich otrzyma 1 jednostk¦ monetarn¡,
tzn. ª¡cznie otrzymaj¡ l

x+n

[jm].

Zdeniujmy teraz aktuarialn¡ warto±¢ zakumulowan¡ na ko«cu ntego roku

pªatno±ci 1 dokonanej przez osob¦ w wieku x:

S =

= (1 + i)

x+n

(11.13)

Przykªad 11.3.

Przykªad 5.2 Bowers

Wyznaczy¢ warto±¢ zakumulowan¡ lokaty w chwili 65 oraz dokonanej w chwili 25
w kwocie 1.000. Przyj¡¢ i = 0, 06 oraz skorzysta¢ z ilustruj¡cych tablic »ycia (Bo-
wers).
Rozwi¡zanie:

1.000 · S = 1.000 ·

= 1.000 · (1, 06)

= 13.058, 6.

Definicja 11.1.

Rent¡ »yciow¡ (ang. life annuity) nazywamy ci¡g pªatno±ci, w którym liczba

lat zale»y od zdarzenia losowego jakim jest ±mierci osoby zwi¡zanej z tym ci¡giem
pªatno±ci.

11.2. RENTY YCIOWE CIGE

Aby wyznaczy¢ warto±¢ obecn¡ renty »yciowej stosuje si¦ dwie metody:

(1) metoda pªatno±ci zagregowanych (ang. aggregate payment technique)

w tej metodzie deniujemy zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ warto±¢ obecn¡ renty,
a nast¦pnie liczymy warto±¢ oczekiwan¡ tej zmiennej losowej.

(2) metoda pªatno±ci indywidualnych (ang. current payment technique)

w tej metodzie obliczamy aktuarialne warto±ci obecne pªatno±ci renty i su-
mujemy (caªkujemy) wszystkie te warto±ci.

11.2. Renty »yciowe ci¡gªe

11.2.1. Renta »yciowa bezterminowa. Rozwa»my rent¦ pªatn¡ w sposób

ci¡gªy w wysoko±ci 1 [jm] rocznie. Wówczas

(1) w metodzie pªatno±ci zagregowanych mamy (dla uproszczenia zapisów w in-

deksach zamiast pisa¢ T (x), b¦dziemy pisa¢ T ):

Y = ¯

T |

(11.14)

oraz

= E[Y ] = E[¯

T |

] =

∞

· µ

x+t

dt,

(11.15)

gdzie ¯a

1−v

(2) w metodzie pªatno±ci indywidualnych rozwa»amy aktuarialn¡ warto±¢ obec-

n¡ v

· dt

pªatno±ci dokonanej w chwili t w wysoko±ci dt. Nast¦pnie

caªkujemy te wszystkie warto±ci i w konsekwencji otrzymujemy

∞

· dt.

(11.16)

Zauwa»my, »e stosuj¡c twierdzenie 6.1 (dla z(T ) = ¯a

T |

) mo»emy wzór (11.15) zapisa¢

w postaci

T |

∞

· (1 −

)dt =

∞

dt,

(11.17)

a to daje ten sam wzór co (11.16). Stosuj¡c teraz twierdzenie 6.1 do wzoru (8.7)
otrzymujemy

= 1 +

∞

· ln(v) ·

= 1 − δ¯

(11.18)

11.2. RENTY YCIOWE CIGE

oraz

1 = δ¯

+ A

(11.19)

T¦ sam¡ zale»no±¢ mo»na uzyska¢ wykorzystuj¡c zwi¡zek mi¦dzy zmiennymi loso-
wymi Z i Y ,mianowicie

Y =

1 − v

T (x)

1 − Z

St¡d

= E

1 − Z

1 − E[Z]

1 − A

Ponadto, wykorzystuj¡c ten zwi¡zek do obliczenia wariancji zmiennej losowej Y ,
mamy

Var[Y ] = Var

1 − Z

Var[Z]

− (A

)

(11.20)

ROZDZIA 12

Wykªad 12

Renty »yciowe cd.

12.0.2. Renta »yciowa terminowa. W przypadku tej renty pªatno±¢ doko-

nywana jest do chwili ±mierci osoby zwi¡zanej z t¡ rent¡, ale nie dªu»ej ni» przez

lat, przy czym suma wypªat w ci¡gu roku jest równa 1. Wówczas

(1) w metodzie pªatno±ci zagregowanych mamy:

Y =











T |

gdy 0 ¬ T (x) < n;

gdy T (x)  n.

(12.1)

Wówczas

x:n|

= E[Y ] = E[¯

T |

] =

· µ

x+t

dt + ¯

(12.2)

(2) w metodzie pªatno±ci indywidualnych otrzymujemy

x:n|

· dt.

(12.3)

Caªkuj¡c teraz przez cz¦±ci wyra»enie

·µ

x+t

ze wzoru (12.2) otrzymujemy

· µ

x+t

dt = −

1 − v

· dt,

co w rezultacie daje wzór

x:n|

· dt,

co jest jednakowe ze wzorem (12.7).

Zauwa»my, »e zale»no±¢ zmiennych losowych Y oraz Z jest nast¦puj¡ca

Y =

1 − Z

gdzie

Z =











T (x)

gdy 0 ¬ T (x) < n;

gdy T (x)  n.

12. WYKAD 12 RENTY YCIOWE CD.

Tak wi¦c

x:n|

= E[Y ] =

1 − E[Z]

1 −

x:n|

(12.4)

co w konsekwencji daje zale»no±¢ analogiczn¡ do (11.19), tzn.

1 = δ · ¯

x:n|

+ A

x:n|

(12.5)

Ponadto

Var[Y ] =

Var[Z]

x:n|

− (A

x:n|

)

(12.6)

= |

po wykorzystaniu wzoru (12.8)|

x:n|

−

x:n|

−

x:n|

(12.7)

12.0.3. Renta »yciowa bezterminowa odroczona. W przypadku tej renty

pªatno±¢ dokonywana jest do chwili ±mierci osoby zwi¡zanej z t¡ rent¡, ale dopiero
wtedy, gdy osoba ta prze»yje przynajmniej n lat od chwili rozpocz¦cia wypªacania
renty, przy czym suma wypªat w ci¡gu roku jest równa 1. Wówczas

(1) w metodzie pªatno±ci zagregowanych mamy:

Y =











gdy 0 ¬ T (x) < n;

· ¯

T −n|

gdy T (x)  n.

(12.8)

Wówczas

= E[Y ] =

∞

· ¯

t−n|

· µ

x+t

∞

· ¯

n+s

· µ

x+n+s

= v

∞

x+n

· µ

x+n+s

· ¯

x+n

(12.9)

(2) w metodzie pªatno±ci indywidualnych otrzymujemy

∞

· dt.

(12.10)

Wykorzystuj¡c twierdzenie 6.1 do wyra»enia

∞

x+n

· µ

x+n+s

otrzymu-

jemy

∞

x+n

· µ

x+n+s

ds =

∞

x+n

· ds,

12. WYKAD 12 RENTY YCIOWE CD.

co w rezultacie daje wzór

∞

· dt,

co jest jednakowe ze wzorem (12.10). Ponadto

Var[Y ] =

∞

· (¯

t−n|

)

· µ

x+t

dt − (

)

= v

∞

(¯

)

n+x

· µ

x+n+s

ds − (

)

= |

na mocy twierdzenia 6.1|

= v

∞

2 · ¯

· v

n+x

ds − (

)

∞

− v

) ·

n+x

ds − (

)

x+n

−

x+n

− (

)

(12.11)

12.0.4. Renta »yciowa terminowa odroczona. W przypadku tej renty pªat-

no±¢ dokonywana jest do chwili ±mierci osoby zwi¡zanej z t¡ rent¡, ale dopiero wtedy,
gdy osoba ta prze»yje przynajmniej n lat od chwili rozpocz¦cia wypªacania renty
i nie dªu»ej ni» n + m lat, przy czym suma wypªat w ci¡gu roku jest równa 1.
Wówczas

(1) w metodzie pªatno±ci zagregowanych mamy:

Y =











gdy 0 ¬ T (x) < n;

· ¯

T −n|

gdy n ¬ T (x) ¬ n + m,

· ¯

gdy T (x) > n + m.

(12.12)

Wówczas

n|m

= E[Y ] =

n+m

· ¯

t−n|

· µ

x+t

dt + v

· ¯

n+m

(12.13)

(2) w metodzie pªatno±ci indywidualnych otrzymujemy

n|m

n+m

· dt.

(12.14)

Caªkuj¡c teraz przez cz¦±ci wyra»enie

n+m

· ¯

t−n|

· µ

x+t

we wzorze

(12.13) otrzymujemy

n+m

· ¯

t−n|

· µ

x+t

dt =

m+n

− v

m+n

dt.

12. WYKAD 12 RENTY YCIOWE CD.

Jak wida¢, w rezultacie dostajemy wzór

n|m

m+n

· dt,

który jest taki sam jak wzór (12.14). Ponadto

n|m

m+n

= ¯

x:m+n|

− ¯

x:n|

(12.15)

x:n|

− A

x:n+m|

(12.16)

· ¯

x+n:m|

(12.17)

Na zako«czenie rozdziaªu dotycz¡cego aktuarialnych rent ci¡gªych podamy wzór na
pochodn¡ wyra»enia ¯a

. Mianowicie

d¯

∞

∂

∂x

∞

· (µ

− µ

x+t

) dt

= µ

− A

= µ

− (1 − δ · ¯

)

i w efekcie

d¯

= (µ

+ δ)¯

− 1.

(12.18)

ROZDZIA 13

Wykªad 13

Renty »yciowe cd.

13.1. Renty »yciowe dyskretne pªatne z góry

13.1.1. Renta »yciowa bezterminowa pªatna z góry. Rozwa»my teraz ¨a

aktuarialn¡ warto±¢ obecn¡ renty wieczystej pªatnej z góry w wysoko±ci 1 [jm] dla
osoby w wieku x. Poniewa» aktuarialna warto±¢ obecna pªatno±ci z góry dokonanej
w chwili k w wielko±ci 1 [jm] dla xlatka ma warto±¢

= v

wi¦c dla metody bie»¡cych pªatno±ci otrzymujemy

∞

k=0

(13.1)

Natomiast dla metody zagregowanych pªatno±ci mamy

Y = ¨

K+1|

oraz

= E[Y ] = E[¨

K+1|

] =

∞

k=0

k+1|

(13.2)

Zauwa»my, »e

∆¨

k+1|

= v

k+1

oraz

H(j) =

j+1

Wykorzystuj¡c teraz twierdzenie 6.2, otrzymujemy

= 1 +

∞

k=0

k+1

13.1. RENTY YCIOWE DYSKRETNE PATNE Z GÓRY

co jest równowa»ne wzorowi (13.1).
Ponadto mo»emy zapisa¢, »e

= E

1 − v

K+1

[1 − A

] ,

(13.3)

co w efekcie prowadzi do zale»no±ci

1 = d · ¨

+ A

(13.4)

Powy»szy wzór jest analogiczny do wzorów (11.19) oraz (12.5). Natomiast wariancja
zmiennej losowej w tym modelu jest opisana nast¦puj¡c¡ formuª¡

Var[¨

K+1|

] = Var

1 − v

K+1

Var

K+1

− A

2
x

(13.5)

co jest analogiczne do wzoru (11.20).

13.1.2. Renta »yciowa terminowa pªatna z góry. W przypadku tej renty

aktuarialna warto±¢ obecna strumienia pªatno±ci opisana jest nast¦puj¡co:

(1) w metodzie pªatno±ci zagregowanych mamy:

Y =











K+1|

gdy 0 ¬ K(x) < n;

gdy K(x)  n.

(13.6)

Wówczas

x:n|

= E[Y ] =

n−1

k=0

k+1|

+ ¨

(13.7)

(2) w metodzie pªatno±ci indywidualnych otrzymujemy

x:n|

n−1

k=0

(13.8)

Aby wykaza¢ równowa»no±¢ wzorów (13.7) oraz (13.8) wykorzystamy dowód

twierdzenia 6.2, mianowicie fakt, »e przy speªnionych zaªo»eniach tego twierdzenia
mamy

k−1

j=0

z(j) · h(j) = −z(k) · [1 − H(k − 1)] + z(0) +

k−1

j=0

∆z(j) · [1 − H(j)],

13.1. RENTY YCIOWE DYSKRETNE PATNE Z GÓRY

gdzie w naszym modelu

∆¨

k+1|

= v

k+1

oraz

H(j) =

j+1

St¡d

x:n|

= E[Y ] =

n−1

k=0

k+1|

+ ¨

= −

1 − v

n+1

[1 −

] +

1 − v

n−1

k=0

k+1

1 − v

n+1

− v

1 − v

+ 1 +

k=1

= 1 − v

k=1

n−1

k=0

Zauwa»my, »e zale»no±¢ zmiennych losowych Y oraz Z jest nast¦puj¡ca

Y =

1 − Z

gdzie

Z =











K(x)+1

gdy 0 ¬ K(x) < n;

gdy K(x)  n.

St¡d mo»emy zapisa¢, »e

x:n|

= E

1 − v

K+1

1 − A

x:n|

(13.9)

co w efekcie prowadzi do zale»no±ci

1 = d · ¨

x:n|

+ A

x:n|

(13.10)

Natomiast wariancja zmiennej losowej w tym modelu jest opisana nast¦puj¡c¡ for-
muª¡

Var[Y ] = Var

1 − v

K+1

Var

K+1

x:n|

− A

2
x:n|

(13.11)

13.1. RENTY YCIOWE DYSKRETNE PATNE Z GÓRY

13.1.3. Renta »yciowa bezterminowa odroczona pªatna z góry. Wyli-

czenie aktuarialnej warto±ci obecnej strumienia pªatno±ci mo»liwe jest równie» za
pomoc¡ dwóch wcze±niej poznanych metod.Mianowicie:

(1) w metodzie pªatno±ci zagregowanych mamy:

Y =











gdy 0 ¬ K(x) < n;

· ¨

K+1−n|

gdy K(x)  n.

(13.12)

Wówczas

= E[Y ] =

∞

k=n

· ¨

k+1−n|

(13.13)

= ¨

− ¨

x:n|

(13.14)

x:n|

− A

· ¨

x+n

(13.15)

(2) w metodzie pªatno±ci indywidualnych otrzymujemy

∞

k=n

(13.16)

Wyka»emy teraz prawdziwo±¢ równo±ci (13.14). Mianowicie:

∞

k=n

1 − v

k+1−n

−

∞

k=n

k+1

−

∞

k=0

k+1

n−1

k=0

k+1

∞

k=0

1 − v

k+1

−

∞

k=0

−

n−1

k=0

1 − v

k+1

n−1

k=0

+ ¨

−

n−1

k=0

1 − v

k+1

−

∞

k=n

= −

1 − v

+ ¨

−

n−1

k=0

1 − v

k+1

= ¨

− ¨

x:n|

Pozostaªe równo±ci s¡ natychmiastowe (ªatwe do wykazania praca domowa).

13.2. RENTY YCIOWE DYSKRETNE PATNE Z DOU

Równowa»no±¢ wzorów (13.13) oraz (13.16) mo»na ªatwo wykaza¢ korzystaj¡c

ze wzoru (13.14), mianowicie

= ¨

− ¨

x:n|

∞

k=0

−

n−1

k=0

∞

k=n

13.2. Renty »yciowe dyskretne pªatne z doªu

Wszystkie wzory opisuj¡ce aktuarialn¡ warto±¢ obecn¡ rent pªatnych z doªu

mo»na zapisa¢ wykorzystuj¡c aktuarialne warto±ci obecne rent pªatnych z góry.
Dlatego w tej cz¦±ci rozdziaªu podamy takie wªa±nie zale»no±ci (i nie tylko).

13.2.1. Renta »yciowa bezterminowa pªatna z doªu. Poniewa» w rentach

pªatnych z doªu pierwsza pªatno±¢ nast¦puje dopiero po upªywie 1 roku, o ile osoba
pobieraj¡ca lub pªac¡ca t¦ rent¦ prze»yje 1 rok od chwili podpisania umowy. Tak
wi¦c w metodzie pªatno±ci indywidualnych otrzymujemy

= ¨

− 1 =

∞

k=1

(13.17)

lub w metodzie pªatno±ci zagregowanych

= E

∞

k=1

(13.18)

Poniewa»

= E

1 − v

= E

1 − (1 + i)v

K+1

[1 − (1 + i) · A

] ,

wi¦c

1 = i · a

+ (1 + i) · A

(13.19)

ROZDZIA 14

Wykªad 14

Renty »yciowe cd.

14.0.2. Renta »yciowa terminowa pªatna z doªu. W przypadku renty bez-

terminowej mamy

x:n|

k=1

(14.1)

oraz

x:n|

= ¨

x:n|

− 1 +

(14.2)

Poniewa»

x:n|

n−1

k=0

= 1 +

n−1

k=1

= 1 + a

x:n−1|

(14.3)

wi¦c

x:n|

= a

x:n−1|

(14.4)

14.0.3. Renta »yciowa bezterminowa odroczona pªatna z doªu.

∞

k=n+1

(14.5)

= a

− a

x:n|

(14.6)

· a

x+n

(14.7)

14.0.4. Zwi¡zki mi¦dzy ¨a, a oraz A.

(1)

= E[v

K+1

]

= E[a

K+1|

− a

]

= E[v¨

K+1|

− a

]

14.1. RENTY YCIOWE DYSKRETNE PATNE MRAZY W ROKU

= v¨

− a

(14.8)

(2)

1
x:n|

= v¨

x:n|

− a

x:n|

(14.9)

(3)

x:n|

= v¨

x:n|

− a

x:n−1|

(14.10)

14.1. Renty »yciowe dyskretne pªatne mrazy w roku

14.1.1. Renta »yciowa bezterminowa pªatna z góry mrazy w roku.

Przyjmijmy teraz, »e renta wypªacana jest z góry mrazy w roku oraz »e kwota
wypªacana ma warto±¢ 1/m. Niech teraz K

(m)

(x)

b¦dzie zmienn¡ losow¡ okre±la-

j¡c¡ liczb¦ caªkowitych prze»ytych mtych podokresów. Zmienna ta ma rozkªad
prawdopodobie«stwa postaci:

P (K

(m)

(x) = h) =

dla h = 0, 1, 2, . . .

(14.11)

oraz dystrybuant¦

P (K

(m)

(x) ¬ h) =

l=0

h+1

dla h = 0, 1, 2, . . .

(14.12)

Wówczas

(1) w metodzie pªatno±ci zagregowanych mamy:

Y = ¨

(m)

x:(K

(m)

+1)/m|

(14.13)

Wówczas

(m)
x

= E[Y ] = E

(m)

x:(K

(m)

+1)/m|

∞

h=0

(m)

x:(h+1)/m|

(14.14)

(2) w metodzie pªatno±ci indywidualnych otrzymujemy

(m)
x

∞

h=0

h/m

(14.15)

Aby wykaza¢ równowa»no±¢ wzorów (14.14) oraz (14.15) wykorzystamy twier-

dzenie 6.2, w którym zmienn¡ losow¡ b¦dzie K

(m)

(x)

, dystrybuant¡ - funkcja opisa-

na wzorem (14.12), funkcj¡ rozkªadu prawdopodobie«stwa - funkcja opisana wzorem

14.1. RENTY YCIOWE DYSKRETNE PATNE MRAZY W ROKU

(14.11), natomiast funkcja z b¦dzie postaci z(h) =

1−v

h+1

(m)

. Wówczas

(m)
x

= E






1 − v

K(m)(x)+1

(m)






∞

h=0

1 − v

h+1

(m)

1 − v

(m)

∞

h=0

h+1

1 − v

(m)

1 −

h+1

1 − v

(m)

∞

h=0

· v

h+1

a to jest równowa»ne (14.15).

Mo»na pokaza¢, »e zachodzi (analogiczna do (13.4)) zale»no±¢:

1 = d

(m)

· ¨

(m)
x

+ A

(m)
x

(14.16)

Tak wi¦c

1 = d

(m)

· ¨

(m)
x

+ A

(m)
x

= d · ¨

+ A

(14.17)

Korzystaj¡c teraz z powy»szego mo»emy zapisa¢:

(m)
x

(m)

−

(m)

(m)
x

− A

= ¨

(m)

· ¨

− ¨

(m)
∞|

(m)
x

− A

(14.18)

1 − A

(m)
x

(m)

= ¨

(m)
∞|

− ¨

(m)
∞|

· A

(m)
x

(14.19)

Twierdzenie 14.1.

Je±li speªnione jest zaªo»enie UDD, to

(m)
x

(m)

= s

(m)

(14.20)

Dowód.

14.1. RENTY YCIOWE DYSKRETNE PATNE MRAZY W ROKU

Zauwa»my, »e dla ubezpieczenia bezterminowego wypªacaj¡cego 1 [jm] na koniec

tego podokresu, w którym nast¡piª zgon, mo»emy zapisa¢:

Z = v

K(x)+

[S(x)·m+1]

gdzie [x] oznacza cz¦±¢ caªkowit¡ z x. Korzystaj¡c z zaªo»enia UDD mamy:

(m)
x

= E

K(x)+

[S(x)·m+1]

= E

K(x)+1

· E

[S(x)·m+1]

−1

[s·m+1]

−1

1/m

ds +

2/m

1/m

2/m

ds + . . . +

(m−1)/m

vds

1/m

+ v

2/m

+ . . . + v

1/m

(1 − v)

mv(1 − v

1/m

)

m[(1 + i)

1/m

− 1]

1 − v

(m)

Do wylicze« warto±ci ¨a

(m)
x

stosuje si¦ cz¦sto metod¦ aproksymacyjn¡ Woolho-

use'a. Mianowicie, zgodnie z t¡ metod¡

f (0) + f

+ . . . + f (n)

=m [f (0) + f (1) + . . . + f (n)]

−

m − 1

[f (n) + f (0)]

−

− 1

12m

(1)

(n) − f

(1)

(0)

− 1

720m

(3)

(n) − f

(3)

(0)

+ . . . .

Nast¦pnie wystarczy obliczy¢ granic¦ dla obu stron (n → ∞).
Zauwa»my, »e zgodnie ze wzorem (14.15) mamy:

(m)
x

∞

h=0

h/m

Przyjmuj¡c zatem

f (j) =

· v

14.1. RENTY YCIOWE DYSKRETNE PATNE MRAZY W ROKU

otrzymujemy:

(1)

(n) =

· v

[−δ − µ

x+n

(1)

(0) =

· [−δ − µ

St¡d (pomijaj¡c wyra»enie z trzecimi pochodnymi) otrzymujemy

(m)
x

∼

· m · lim

n→∞

k=0

−

m − 1

lim

n→∞

· v

−

− 1

12m

lim

n→∞

· v

[−δ − µ

x+n

] −

· [−δ − µ

]

=¨

−

m − 1

−

− 1

12m

[δ + µ

] .

W praktyce stosuje si¦ wzór aproksymacyjny

(m)
x

∼

= ¨

−

m − 1

(14.21)

Niech

x+h/m

= v

x+h/m

· l

x+h/m

(14.22)

Przykªad 14.1.

Przykªad 5.15 Bowers

Przyjmuj¡c zaªo»enie o przedziaªowej liniowo±ci funkcji komutacyjnej zdeniowanej
w (14.22), tzn.

x+h/m

= D

−

− D

x+1

]

dla h = 0, . . . , m − 1

(14.23)

pokaza¢, »e zachodzi ten sam wynik aproksymacyjny co w (14.21).
Rozwi¡zanie:

(m)
x

∞

h=0

h/m

∞

h=0

h/m+x

· l

h/m+x

(

m−1

h=0

h/m+x

· l

h/m+x

2m−1

h=m

h/m+x

· l

h/m+x

14.1. RENTY YCIOWE DYSKRETNE PATNE MRAZY W ROKU

3m−1

h=2m

h/m+x

· l

h/m+x

+ . . .

)

(

m−1

h=0

−

− D

x+1

)

m−1

h=0

x+1

−

x+1

− D

x+2

)

m−1

h=0

x+2

−

x+2

− D

x+3

)

+ . . .

)

m −

m − 1

x+1

+ D

x+1

m −

m − 1

x+2

m −

m − 1

x+3

+ . . .

m [D

+ D

x+1

+ D

x+2

+ . . .] −

m − 1

∞

k=0

x+k

−

m − 1

∞

k=0

−

m − 1

= ¨

−

m − 1

Uwaga 14.1.

Poniewa» aproksymacja (14.21) daje, dla wysokich stóp procentowych i niskich

wska¹ników umieralno±ci, mylne wyniki (takie jak fakt, »e ¨a

(12)

x:1|

> ¨

(12)

), wi¦c zast¦-

puje si¦ j¡ wzorem

(m)
x

= ¨

(m)

· ¨

−

(m)

− 1

(m)

lub alternatywnym

(m)
x

= s

(m)

· ¨

(m)

· ¨

−

(m)

− 1

(m)

(14.24)

Klasycznie wzór (14.24) zapisuje si¦ w postaci

(m)
x

= α(m) · ¨

− β(m)

(14.25)

lub

(m)
x

= ¨

(m)

· ¨

− β(m) · A

(14.26)

gdzie

α(m) = s

(m)

· ¨

(m)

· d

(m)

(14.27)

14.1. RENTY YCIOWE DYSKRETNE PATNE MRAZY W ROKU

oraz

β(m) =

(m)

− 1

(m)

i − i

(m)

· d

(m)

(14.28)

14.1.2. Renta »yciowa terminowa pªatna z góry mrazy w roku. Renta

ta jest analogiczna z rent¡ bezterminow¡, z t¡ oczywi±cie ró»nic¡, »e wypªacana jest
nie dªu»ej ni» przez n lat od chwili rozpocz¦cia tej renty. Poniewa» mi¦dzy rent¡
terminow¡ i bezterminow¡ zachodzi nast¦puj¡cy warunek:

(m)
x:n|

= ¨

(m)
x

−

· ¨

(m)
x+n

wi¦c

(m)
x:n|

= ¨

(m)

· ¨

− β(m) · A

−

(m)

· ¨

x+n

− β(m) · A

x+n

= ¨

(m)

· ¨

x:n|

− β(m) · A

1
x:n|

(14.29)

14.1.3. Renta »yciowa bezterminowa odroczona pªatna z góry mrazy

w roku. Renta ta jest analogiczna z rent¡ bezterminow¡, z t¡ oczywi±cie ró»nic¡,
»e wypªacana jest dopiero po upªywie n lat. Wówczas

(m)
x

= ¨

(m)

− β(m) ·

(14.30)

= α(m) ·

− β(m) ·

(14.31)

14.1.4. Renta »yciowa bezterminowa i terminowa pªatne z doªu m

razy. Aby wyliczy¢ warto±ci obecne dla rent pªatnych z doªu wystarczy skorzysta¢
z zale»no±ci mi¦dzy rentami pªatnymi z doªu i rentami pªatnymi z góry, mianowicie:

(m)
x

= ¨

(m)
x

−

(14.32)

(m)
x:n|

= ¨

(m)
x:n|

−

(1 −

) .

(14.33)

Nast¦pnie nale»y wykorzysta¢ wzory wyprowadzone w poprzednich podrozdziaªach.

ROZDZIA 15

Wykªad 15

Renty »yciowe cd. Ratalne skªadki netto

15.0.5. Funkcje komutacyjne. Jedn¡ z wcze±niej wprowadzonych funkcji ko-

mutacyjnych jest

= v

· l

Poniewa»

= v

n+x

wi¦c

n+x

Ogólniej mówi¡c aktuarialna warto±¢ obecna w chwili x pªatno±ci o warto±ci b zre-
alizowanej w chwili y opisana jest nast¦puj¡co:

b · v

y−x

= b ·

Tak wi¦c aktuarialna warto±¢ obecna renty w chwili x o pªatno±ciach w wysoko±ci

dokonywanych w chwilach y, y + 1, . . . , z − 1 opisana jest wzorem

z−1

u=y

(15.1)

Wprowadzaj¡c now¡ funkcj¦ komutacyjn¡

∞

u=x

wzór (15.1) mo»emy zapisa¢ w nast¦puj¡cej postaci

− N

) .

(15.2)

Funkcje komutacyjne wykorzystywane s¡ równie» dla rent pªatnych w podokresach.
Wykorzystuj¡c funkcj¦ komutacyjn¡ opisan¡ w (14.22) mo»emy zapisa¢:

(m)
x

∞

h=0

x+h/m

(15.3)

15. WYKAD 15 RENTY YCIOWE CD. RATALNE SKADKI NETTO

co po wprowadzeniu nowej funkcji

(m)

∞

h=0

x+h/m

(15.4)

pozwala zapisa¢:

(m)
x

(m)

(15.5)

Twierdzenie 15.1.

Je±li zaªo»enie UDD jest speªnione, to

(m)

= α(m) · N

− β(m) · D

(15.6)

Dowód.

Zauwa»my, »e je±li speªnione jest zaªo»enie UDD, to zachodzi wzór (14.25). Wy-

korzystuj¡c funkcje komutacyjne mo»emy zapisa¢:

(m)
x

= α(m) · ¨

− β(m)

α(m) · N

− β(m) · D

(15.7)

Porównuj¡c teraz wzór (15.7) ze wzorem (15.5) otrzymujemy tez¦.

Twierdzenie 15.2.

Zachodzi nast¦puj¡cy wzór aproksymacyjny

(m)

∼

= N

−

m − 1

· D

(15.8)

Dowód.

We¹my pod uwag¦ wzór aproksymacyjny (14.21). Wykorzystuj¡c teraz zale»no±¢

(15.5) mamy:

(m)

∼

−

m − 1

−

m−1

co po porównaniu stron w powy»szym otrzymujemy tez¦.

Je±li pªatno±ci dokonywane s¡ w podokresach, to aktuarialna warto±¢ obecna

renty w chwili x o pªatno±ciach w wysoko±ci b/m dokonywanych w chwilach y, y +

, y +

, . . . , z −

opisana jest wzorem

(m)

− N

(m)

(15.9)

15. WYKAD 15 RENTY YCIOWE CD. RATALNE SKADKI NETTO

Dla rent ci¡gªych deniuje si¦ analogiczne funkcje komutacyjne, mianowicie

∞

x+t

dt =

∞

dy.

(15.10)

Ponadto, przy speªnionym zaªo»eniu UDD, zachodzi

= α(∞) · N

− β(∞) · D

(15.11)

gdzie

α(∞) = s

· a

(15.12)

β(∞) =

i − δ

(15.13)

W praktyce stosuje si¦ wzór aproksymacyjny

∼

= N

−

(15.14)

który jest graniczn¡ wersj¡ wzoru (15.8).
Prawdziwa jest równie» formuªa opisuj¡ca aktuarialn¡ warto±¢ renty ci¡gªej:

− ¯

(15.15)

15.0.6. Renty ró»ne. Rozwa»my rent¦ pªatn¡ m krotnie w jednym okresie

odsetkowym. Niech b

, b

x+1

, . . . , b

x+n−1

oznaczaj¡ roczne pªatno±ci dokony-

wane w ratach na pocz¡tku ka»dego mtego podokresu i ko«cz¡ si¦ w wieku x + n.
Wówczas aktuarialna warto±¢ obecna pªatno±ci dokonanych w ci¡gu roku (y, y + 1)
jest równa

· ¨

(m)

y:1|

St¡d aktuarialna warto±¢ obecna (ang. actuarial present value) opisana jest wzorem

(apv)

x+n−1

y=x

· ¨

(m)

y:1|

y−x

(15.16)

Je±li speªnione jest zaªo»enie UDD, to

(apv)

x+n−1

y=x

· [α(m) − β(m)(1 −

)] ·

y−x

(15.17)

Wykorzystuj¡c funkcje komutacyjne mo»emy zapisa¢ powy»szy wzór w postaci

(apv)

x+n−1

y=x

· [α(m)D

− β(m)(D

− D

y+1

)] .

(15.18)

15. WYKAD 15 RENTY YCIOWE CD. RATALNE SKADKI NETTO

Zdeniujmy teraz

(m)

= N

(m)

− N

(m)

y+1

(15.19)

Wówczas

(m)

= α(m)D

− β(m)(D

− D

y+1

(15.20)

St¡d

(apv)

x+n−1

y=x

· D

(m)

(15.21)

Analogiczna formuªa opisuj¡ca aktuarialn¡ warto±¢ obecn¡ renty pªatnej z doªu ma
posta¢

(apv)

x+n−1

y=x

· a

(m)

y:1|

y−x

(15.22)

Przy speªnionym zaªo»eniu UDD zachodzi

(m)

y:1|

= ¨

(m)

y:1|

−

(1 −

) = α(m) −

β(m) +

· [1 −

] ,

(15.23)

a odpowiadaj¡ca formule (15.18) jest formuªa

(apv)

x+n−1

y=x

α(m)D

−

β(m) +

· [D

− D

y+1

]

(15.24)

co skªadnia do zdeniowania kolejnej funkcji komutacyjnej

(m)

= α(m)D

−

β(m) +

· [D

− D

y+1

] .

(15.25)

Wówczas

(apv)

x+n−1

y=x

· ˜

(m)

(15.26)

W przypadku, gdy funkcja b

= b

, czyli jest staªa, wzór (15.21) redukuje si¦ do

postaci b/D

(m)

− N

(m)

x+n

]

. Je±li natomiast funkcja b

jest liniowa, tzn. b

= y

, to

wprowadza si¦ dodatkowe funkcje komutacyjne S

(m)

, tak »e

(m)

= S

(m)

− S

(m)

y+1

co daje, »e

(m)

∞

y=x

(m)

(15.27)

15. WYKAD 15 RENTY YCIOWE CD. RATALNE SKADKI NETTO

15.0.7. Renty z wyrównaniem. Rozwa»my teraz rent¦, która wypªaca 1/m

[j.m.] na koniec ka»dego prze»ytego m tego podokresu plus wyrównanie za niepeªn¡,
prze»yt¡ cz¦±¢ kolejnego podokresu. Warto±¢ obecn¡ takiej renty oznaczamy ˙a

(m)
x

Poniewa» pªatno±¢ 1/m na koniec ka»dego podokresu jest równowa»na pªatno±ci
dokonywanej w sposób ci¡gªy przez caªy podokres w wysoko±ci

1/m|

wi¦c mo»emy zdeniowa¢ wyrównanie w chwili zgonu t nast¦puj¡co:

1/m|

(15.28)

dla 0 < t < 1/m. Tak wi¦c aktuarialna warto±¢ obecna renty pªatnej z doªu w pod-
okresach z wyrównaniem opisana jest wzorem

˙a

(m)
x

(m)

(15.29)

co jest analogiczne do wzoru

(m)
n|

(m)

· ¯

Rozwa»my teraz rent¦, która wypªaca 1/m [j.m.] na pocz¡tku ka»dego m tego

podokresu, pod warunkiem, do»ycia do tej chwili. Wówczas zgon w chwili pomi¦dzy
kolejnymi podokresami powoduj¦, »e wypªata ostatniej raty renty nie byªa pro-
porcjonalna do prze»ytego czasu. Powstaje tzw. kwota refundowana (nadpªacona).
Poniewa» pªatno±¢ 1/m na pocz¡tku ka»dego podokresu jest równowa»na pªatno±ci
dokonywanej w sposób ci¡gªy przez caªy podokres w wysoko±ci

1/m|

wi¦c mo»emy zdeniowa¢ kwot¦ refundowan¡ (nadpªacon¡) w chwili zgonu t nast¦-
puj¡co:

1/m−t|

1/m|

(15.30)

dla 0 < t < 1/m. Tak wi¦c aktuarialna warto±¢ obecna renty pªatnej z góry w pod-
okresach z refundowaniem opisana jest wzorem

{m}
x

(m)

(15.31)

15.1. RATALNE SKADKI NETTO

Zachodz¡ ponadto nast¦puj¡ce wzory jedynkowe:

1 = i

(m)

· ˙a

(m)
x

+ A

(15.32)

1 = d

(m)

· ¨

{m}
x

(15.33)

15.1. Ratalne skªadki netto

W tym rozdziale zajmiemy si¦ wyznaczaniem warto±ci skªadek P za ubezpiecze-

nie »yciowe, z t¡ ró»nic¡, »e skªadki te nie b¦d¡ jednorazowymi, ale b¦d¡ pªacone
ratalnie (np. na pocz¡tku ka»dego roku trwania ubezpieczenia). Warto±¢ skªadki

wyznaczana jest zgodnie z ustalonymi wcze±niej zasadami, np.:

•

zasada I: P jest tak dobrana, aby warto±¢ oczekiwana liczona dla zmiennej
losowej opisuj¡cej warto±¢ obecn¡ straty byªa równa 0,

•

zasada II: P jest tak dobrana, aby prawdopodobie«stwo dodatniej nanso-
wej straty byªo wi¦ksze od pewnej dodatniej liczby a.

Nie s¡ to oczywi±cie wszystkie zasady wyznaczania skªadki P . My jednak zajmiemy
si¦ wyznaczeniem skªadki P zgodnie z zasad¡ I. Uzyskamy w ten sposób rataln¡
skªadk¦ netto. Zasada I nazywana jest zasad¡ równowa»no±ci (ang. equivalence
principle).

Definicja 15.1.

Strat¡ L nazywamy zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ warto±¢ obecn¡ ±wiadczenia

pªaconego przez ubezpieczyciela pomniejszon¡ o warto±¢ obecn¡ ª¡cznej warto±ci
wpªaconych przez osob¦ ubezpieczon¡ skªadek.

Wówczas zgodnie z zasad¡ I

E[L] = 0.

(15.34)

15.1.1. Ratalne skªadki netto dla ubezpieczenia ci¡gªego. Rozwa»my

ubezpieczenie wypªacaj¡ce 1 [j.m.] w chwili ±mierci oraz skªadk¦ ¯

pªacon¡ w sposób

ci¡gªy. Wówczas realizacja straty L opisana jest nast¦puj¡co:

l(t) = v

− ¯

P · ¯

(15.35)

Niech T oznacza zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ przyszªy czas »ycia osoby ubezpieczonej.
Wówczas

L = l(T ) = v

− ¯

P · ¯

T |

(15.36)

15.1. RATALNE SKADKI NETTO

Wówczas zgodnie z zasad¡

E[L] = 0

mamy

− ¯

P (A

) · ¯

= 0

i w konsekwencji

P (A

) =

(15.37)

Ponadto

Var[L] = E[L

co w efekcie daje

Var[v

− ¯

P · ¯

T |

] = Var[v

−

P · (1 − v

)

]

= Var

1 +

−

= Var

1 +

(15.38)

= Var[v

]

1 +

− A

2
x

1 +

St¡d, wykorzystuj¡c wzór (11.19) (1 = δ¯a

+ A

) oraz (15.37), otrzymujemy

Var[L] =

− A

2
x

(δ · ¯

)

(15.39)

Wykorzystuj¡c zasad¦ równowa»no±ci, mo»emy wyznaczy¢ ogólny wzór opisuj¡cy

rataln¡ skªadk¦ netto dla ró»nych ci¡gªych ubezpiecze« »yciowych. W ogólno±ci
strata opisana jest zale»no±ci¡

· v

− ¯

P Y = Z − ¯

P Y,

(15.40)

gdzie

• b

oraz v

s¡, odpowiednio, funkcj¡ wypªaty z tytuªu ubezpieczenia »ycio-

wego oraz funkcj¡ dyskontuj¡c¡,

• ¯

jest symbolem ratalnej skªadki netto,

• Y

jest ci¡gª¡ zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ aktuarialn¡ warto±¢ obecn¡ stru-

mienia skªadek,

15.1. RATALNE SKADKI NETTO

• Z

jest zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ jednorazow¡ skªadk¦ netto w ubezpieczeniu

ci¡gªym.

Wówczas

P =

E[b

· v

]

E[Y ]

Zostanie teraz podana tabelka opisuj¡ca te skªadki.

Plan

· v

Skªadka

bezterminowe ubezpieczenie

»yciowe

T |

P (A

) =

letnie ubezpieczenie

na wypadek ±mierci

T |

, T ¬ n

T > n

P (A

1
x:n|

) =

1
x:n|

x:n|

letnie ubezpieczenie na

wypadek ±mierci i do»ycie

T |

, T ¬ n

T > n

P (A

x:n|

) =

x:n|

ubezpieczenie bezterminowe,

pªatno±¢ przez czas h

T |

, T ¬ h

T > h

P (A

) =

x:h|

letnie ubezpieczenie

na wypadek ±mierci i do»ycie,

pªatno±¢ przez czas h < n

T |

, T ¬ h

h < T ¬ n

T ¬ n

P (A

x:n|

) =

x:n|

x:h|

letnie ubezpieczenie

na do»ycie,

T |

, T ¬ n

T > n

P (A

x:n|

) =

x:n|

15.1.2. Ratalne skªadki netto dla ubezpieczenia dyskretnego. Rozwa»-

my ubezpieczenie wypªacaj¡ce 1 [j.m.] na koniec roku, w którym nast¡piª zgon
ubezpieczonego oraz skªadk¦ P pªacon¡ na pocz¡tku ka»dego roku trwania ubezpie-
czenia. Wówczas zmienna losowa L opisana jest nast¦puj¡co:

L = v

K+1

− P

· ¨

K+1|

dla K = 0, 1, . . . .

(15.41)

Wówczas zgodnie z zasad¡ E[L] = 0 mamy

− P

· ¨

= 0

i w konsekwencji

(15.42)

15.1. RATALNE SKADKI NETTO

Ponadto

Var[L] = E[L

co w efekcie daje

Var[L] =

− A

2
x

(d · ¨

)

(15.43)

Wykorzystuj¡c zasad¦ równowa»no±ci, mo»emy wyznaczy¢ ogólny wzór opisuj¡cy

rataln¡ skªadk¦ netto dla ró»nych dyskretnych ubezpiecze« »yciowych. W ogólno±ci
strata opisana jest zale»no±ci¡

K+1

· v

K+1

− P · Y = Z − P · Y,

(15.44)

gdzie

• b

k+1

oraz v

k+1

s¡, odpowiednio, funkcj¡ wypªaty z tytuªu ubezpieczenia

»yciowego oraz funkcj¡ dyskontuj¡c¡,

• P

jest symbolem ratalnej skªadki netto,

• Y

jest dyskretn¡ zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ aktuarialn¡ warto±¢ obecn¡

strumienia skªadek,

• Z

jest zmienn¡ losow¡ opisuj¡c¡ jednorazow¡ skªadk¦ netto w ubezpieczeniu

dyskretnym.

Wówczas

P =

E[b

K+1

· v

K+1

]

E[Y ]

Zostanie teraz podana tabelka opisuj¡ca te skªadki.

15.1. RATALNE SKADKI NETTO

100

Plan

K+1

· v

K+1

Skªadka

bezterminowe

ubezpieczenie »yciowe

K+1

K+1|

, K = 0, 1, 2, . . .

letnie ubezpieczenie

na wypadek ±mierci

K+1

K+1|

, K = 0, 1, . . . , n − 1

K = n, n + 1, . . .

x:n|

1
x:n|

x:n|

letnie ubezpieczenie na

wypadek ±mierci i do»ycie

K+1

K+1|

, K = 0, 1, . . . , n − 1

K = n, n + 1, . . .

x:n|

ubezpieczenie bezterminowe,

pªatno±¢ przez czas h

K+1

K+1|

, K = 0, 1, . . . , h − 1

K = h, h + 1, . . .

x:h|

letnie ubezpieczenie

na wypadek ±mierci i do»ycie,

pªatno±¢ przez czas h < n

K+1

K+1|

, K = 0, 1, . . . , h − 1

K = h, . . . , n − 1

K = n, n + 1, . . .

x:n|

x:h|

letnie ubezpieczenie

na do»ycie,

K+1|

, K = 0, 1, . . . , n − 1

K = n, n + 1, . . .

x:n|

W praktyce stosuje si¦ jednak mieszane wersje skªadek opisanych w dwóch wcze-

±niejszych podrozdziaªach. Mianowicie, ±wiadczenie z tytuªu ubezpieczenia »yciowe-
go wypªacane jest w chwili ±mierci (ci¡gªe), natomiast skªadka wpªacana jest na
koniec ka»dego roku trwania umowy.

Rozwa»my bezterminowe ubezpieczenie »yciowe wypªacaj¡ce ±wiadczenie w chwi-

li ±mierci uposa»onego, ze skªadkami pªatnymi na koniec roku. Wówczas

P (A

) =

(15.45)

Poniewa» przy speªnionym zaªo»eniu UDD zachodzi zale»no±¢

wi¦c

P (A

) =

(15.46)

Analogicznie

P (A

1
x:n|

) =

· P

x:n|

(15.47)

15.1. RATALNE SKADKI NETTO

101

oraz

P (A

x:n|

) =

· P

x:n|

+ P

x:n|

(15.48)

15.1.3. Ratalne skªadki pªatne w podokresach. Rozwa»my teraz ubezpie-

czenia, w których ratalne skªadki pªatne s¡ w podokresach (m razy w ci¡gu roku).
W poni»szej tabeli podane zostan¡ wzory dla ubezpiecze« ci¡gªych i dyskretnych.

Plan

Ubezpieczenie dyskretne Ubezpieczenie ci¡gªe

bezterminowe

ubezpieczenie »yciowe

(m)

) =

(m)

letnie ubezpieczenie

na wypadek ±mierci

1(m)

x:n|

1
x:n|

(m)
x:n|

(m)

1
x:n|

) =

1
x:n|

(m)
x:n|

letnie ubezpieczenie na

wypadek ±mierci i do»ycie

(m)

x:n|

(m)
x:n|

(m)

x:n|

) =

x:n|

(m)
x:n|

ubezpieczenie bezterminowe,

pªatno±¢ przez czas h

(m)

x:h|

(m)

(

) =

(m)

x:h|

letnie ubezpieczenie

na wypadek ±mierci i do»ycie,

pªatno±¢ przez czas h < n

(m)

x:n|

(m)

x:h|

(m)

x:n|

) =

x:n|

(m)

x:h|

15.1.4. Pªatno±ci z wyrównaniem. Pªatno±¢ przez czas h w podokresach

z góry, ubezpieczenie ci¡gªe. Wówczas

{m}

(

x:n|

) =

x:n|

{m}

x:h|

(15.49)

ROZDZIA 16

Dodatek1

16. Dodatek

103

16. Dodatek

104

principal

kapitaª

accumulated value

kwota zakumulowana

interest

odsetki

period

okres, czas

accumulation function

funkcja akumulacji

amount of interest

kwota odsetek

eective rate of interest

efektywna stopa procentowa

simple interest

odsetki proste

present value

warto±¢ obecna

discount factor

wspóªczynnik dyskontuj¡cy

accumulation factor

wspóªczynnik akumuluj¡cy

eective rate of discount

efektywna stopa dyskontowa

equivalency

równowa»no±¢

nominal

nominalne

force of interest

intensywno±¢ oprocentowania

force of discount

intensywno±¢ dyskontowania

annuitycertain

renta pewna

life annuity

renta »yciowa

annuityimmediate

renta pªatna z doªu

annuitydue

renta pªatna z góry

contingent annuity

renta niepewna, okazjonalna

deered annuity

renta odroczona

perpetuities

renta wieczysta

survival function

funkcja prze»ywalno±ci

future lifetime

przyszªy czas »ycia

year term life insurance

letnie terminowe ubezpieczenie na »ycie

whole life insurance

caªkowite ubezpieczenie na »ycie

year pure endowment

letnie ubezpieczenie na do»ycie

year endowment insurance nletnie ubezpieczenie na wypadek ±mierci i na do»ycie

year deferred insurance

ubezpieczenie odroczone o m lat

actuarial present value

aktuarialna warto±¢ obecna

life annuity

renta »yciowa

aggregate payment technique metoda pªatno±ci zagregowanych
current payment technique

metoda pªatno±ci indywidualnych

ROZDZIA 17

Dodatek2

A(t) = k · a(t)

warto±¢ inwestycji w czasie przy kapitale pocz¡tkowym k

= A(n) − A(n − 1)

kwota odsetek uzyskanych z inwestycji w ntym okresie

i = a(1) − a(0) =

A(0)

efektywna stopa procentowa

A(n)−A(n−1)

A(n−1)

efektywna stopa procentowa w ntym okresie

v(t) = a

−1

(t)

funkcja dyskontuj¡ca

A(n)−A(n−1)

A(n)

efektywna stopa dyskontowa w ntym okresie

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wyk ad 5 6(1)
Wyk ad II
Tkanki wyk ad 1
Ekonomika Transportu wyk+ad 1
Wyk ad Fizyka 2
Wyk ad 04
Na wyk ad id 312279 Nieznany
!BSI, wyk ad 4
PGP-PZP - wyk ad - 30-01-2010, Zamówienia publiczne UEK
PGP-PZP - wyk ad - 13-02-2010, Zamówienia publiczne UEK
Wyk éad
2 Wyk ad pierwszy cz 2z2
PM nst wyk ad nr 4

więcej podobnych podstron