1
TEST PRZED PRÓBNĄ MATURĄ 2008
MODELE ODPOWIEDZI DO PRZYKŁADOWEGO
ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO Z MATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
Numer
zadania
Modele odpowiedzi
Liczba punktów
zapisanie równania w formie alternatywy układów:
=
+
+
−
<
∨
=
−
−
−
≥
0
6
5
5
6
0
6
5
5
6
2
2
x
x
x
x
x
x
1 pkt
rozwiązanie pierwszego układu:
6
=
x
1
−
=
∨
x
1 pkt
1.
rozwiązanie drugiego układu:
2
3
−
=
∨
−
=
x
x
1 pkt
narysowanie wykresu funkcji
x
y
log
=
1 pkt
narysowanie wykresu funkcji
1
log
−
=
x
y
1 pkt
podanie miejsc zerowych funkcji:
3
,
0
2
1
=
=
x
x
1 pkt
2.
naszkicowanie wykresu funkcji
)
(x
g
1 pkt
obliczenie wartości liczby
a
:
8
125
=
a
2 pkt (1 pkt za
działania
wewnątrz nawiasu
kwadratowego
i 1 pkt za
pozostałe
obliczenia)
obliczenie wartości liczby b :
20
=
b
2 pkt (1 pkt za
zastosowanie
wzoru skróconego
mnoŜenia i 1 pkt
za pozostałe
obliczenia)
3.
wykonanie obliczeń procentowych i podanie odpowiedzi:
Liczba b stanowi 128 % liczby
a
.
1 pkt
zapisanie współczynników kierunkowych funkcji:
4
3
2
1
+
+
=
m
m
a
,
5
1
2
=
a
1 pkt
zapisanie równania spełniającego warunki zadania:
5
4
3
2
−
=
+
+
m
m
1 pkt
4.
wykazanie, Ŝe równanie nie ma rozwiązanie, więc nie istnieje
parametr spełniający warunki zadania:
0
<
∆
1 pkt
2
analiza zadania:
x
– liczba pracowników,
x
360
– cena za
autokar, jaką płaciłby jeden pracownik, gdyby pojechali
wszyscy,
4
360
−
x
– cena za autokar, jaką płaciłby jeden
pracownik, gdyby nie pojechały 4 osoby
1 pkt
ułoŜenie równania:
x
360
N
x
x
∈
−
=
+
,
4
360
3
4
>
∧
x
1 pkt
5.
rozwiązanie równania:
24
=
x
2 pkt (1 pkt za
obliczenia i 1 pkt
za wybór
odpowiedzi)
opis schematu Beroulliego:
sukces
A
−
– wyrzucenie orła,
n
– liczba prób,
{
}
n
k
,...,
3
,
2
,
1
∈
– liczba sukcesów,
2
1
,
2
1
=
=
q
p
, B – wyrzucenie orła co najmniej raz na
n
rzutów
1 pkt
zapisanie zdarzenia przeciwnego:
'
B
– wyrzucenie samych
reszek
1 pkt
ułoŜenie równania:
16
15
2
1
2
1
0
1
0
=
−
n
n
,
+
∈
N
n
1 pkt
6.
rozwiązanie równania:
4
=
n
1 pkt
zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego:
r
r
2
6
,
6
,
6
+
+
1 pkt
zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego:
2
6
,
6
,
6
r
r
1 pkt
ułoŜenie równania wynikającego z treści zadania:
2
6
6
6
2
6
6
6
r
r
r
r
+
+
=
+
+
+
+
1 pkt
7.
rozwiązanie równania:
4
33
1
4
33
1
+
−
=
∨
−
−
=
r
r
1 pkt
wprowadzenie oznaczeń lub narysowanie ośmiościanu
z dokładnymi oznaczeniami:
a
– długość krawędzi,
'
,
,
,
,
,
S
S
D
C
B
A
– wierzchołki, przy czym cztery pierwsze
tworzą kwadrat
1 pkt
obliczenia odległości przeciwległych wierzchołków kwadratu:
2
a
AC
=
1 pkt
8.
skorzystanie z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia
Pitagorasa i wykazanie tezy zadania:
( )
2
2
2
2
a
a
a
=
+
, więc
kąt między krawędziami niesąsiadującymi wychodzącymi
z jednego wierzchołka jest prosty
1 pkt
sporządzenie rysunku lub wprowadzenie dokładnie opisanych
oznaczeń:
r
S
R
S
,
,
,
2
1
– odpowiednio: środek i promień
większego okręgu, środek i promień mniejszego okręgu,
B
A,
–
punkty styczności większego i mniejszego okręgu z daną prostą
1 pkt
9.
narysowanie odcinka
D
S
2
równoległego do odcinka
A
S
D
AB
1
,
∈
1 pkt
3
ułoŜenie równania:
(
)
( )
(
)
2
2
2
r
R
AB
r
R
+
=
+
−
1 pkt
rozwiązanie równania:
Rr
AB
2
=
1 pkt
obliczenie pola powstałego czworokąta ( trapezu):
(
)
Rr
r
R
P
+
=
1 pkt
wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się danych
prostych:
(
)
2
,
1
2
+
−
=
m
m
A
2 pkt (1 punkt za
zapisanie układu
równań i 1 pkt za
obliczenia)
zapisanie równania wynikającego z treści zadania:
(
)
2
1
2
2
−
=
+
m
m
2
+
1 pkt
10.
rozwiązanie równania:
1
,
4
1
2
1
=
=
m
m
1 pkt
wyznaczenie funkcji wynikającej z treści zadania jako
parametru
(
)
2
2
)
6
5
(
)
(
:
+
−
−
=
m
m
m
m
f
m
1 pkt
podanie załoŜeń:
0
2
≥
∆
∧
−
≠
m
1 pkt
wyznaczenie dziedziny ułoŜonej funkcji:
3
,
1
=
D
1 pkt
wyznaczenie pochodnej funkcji:
(
)
2
2
'
2
44
20
5
)
(
+
−
+
=
m
m
m
x
f
2 pkt (1 pkt za
zastosowanie
wzoru na
pochodną ilorazu i
1 pkt za
obliczenia)
obliczenie miejsca zerowego pochodnej:
5
5
8
10
0
+
−
=
m
1 pkt
11.
uzasadnienie, Ŝe w wyznaczonym miejscu zerowym jest
minimum funkcji, które jest najmniejszą wartością tej funkcji:
zmiana znaku pochodnej z ujemnego na dodatni przy przejściu
przez
0
m
1 pkt
wyznaczenie dziedziny równania:
C
k
k
k
R
D
∈
+
−
=
,
4
3
,
π
π
π
2 pkt (po 1 pkt za
odrzucenie kaŜdej
grupy liczb)
rozwiązanie równania bez uwzględnienia dziedziny:
π
k
x
=
1 pkt
12.
zapisanie wniosku: Wyznaczona liczba nie naleŜy do dziedziny,
więc równanie nie ma rozwiązania.
1 pkt