1

TEST PRZED PRÓBNĄ MATURĄ 2008

MODELE ODPOWIEDZI DO PRZYKŁADOWEGO

ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO Z MATEMATYKI

POZIOM ROZSZERZONY

Numer

zadania

Modele odpowiedzi

Liczba punktów

zapisanie równania w formie alternatywy układów:











=

+

+

−

<

∨











=

−

−

−

≥

0

6

5

5

6

0

6

5

5

6

2

2

x

x

x

x

x

x

1 pkt

rozwiązanie pierwszego układu:

6

=

x

1

−

=

∨

x

1 pkt

1.

rozwiązanie drugiego układu:

2

3

−

=

∨

−

=

x

x

1 pkt

narysowanie wykresu funkcji

x

y

log

=

1 pkt

narysowanie wykresu funkcji

1

log

−

=

x

y

1 pkt

podanie miejsc zerowych funkcji:

3

,

0

2

1

=

=

x

x

1 pkt

2.

naszkicowanie wykresu funkcji

)

(x

g

1 pkt

obliczenie wartości liczby

a

:

8

125

=

a

2 pkt (1 pkt za
działania
wewnątrz nawiasu
kwadratowego
i 1 pkt za
pozostałe
obliczenia)

obliczenie wartości liczby b :

20

=

b

2 pkt (1 pkt za
zastosowanie
wzoru skróconego
mnożenia i 1 pkt
za pozostałe
obliczenia)

3.

wykonanie obliczeń procentowych i podanie odpowiedzi:
Liczba b stanowi 128 % liczby

a

.

1 pkt

zapisanie współczynników kierunkowych funkcji:

4

3

2

1

+

+

=

m

m

a

,

5

1

2

=

a

1 pkt

zapisanie równania spełniającego warunki zadania:

5

4

3

2

−

=

+

+

m

m

1 pkt

4.

wykazanie, że równanie nie ma rozwiązanie, więc nie istnieje
parametr spełniający warunki zadania:

0

<

∆

1 pkt

2

analiza zadania:

x

– liczba pracowników,

x

360

– cena za

autokar, jaką płaciłby jeden pracownik, gdyby pojechali

wszyscy,

4

360

−

x

– cena za autokar, jaką płaciłby jeden

pracownik, gdyby nie pojechały 4 osoby

1 pkt

ułożenie równania:

x

360

N

x

x

∈

−

=

+

,

4

360

3

4

>

∧

x

1 pkt

5.

rozwiązanie równania:

24

=

x

2 pkt (1 pkt za
obliczenia i 1 pkt
za wybór
odpowiedzi)

opis schematu Beroulliego:

sukces

A

−

– wyrzucenie orła,

n

– liczba prób,

{

}

n

k

,...,

3

,

2

,

1

∈

– liczba sukcesów,

2

1

,

2

1

=

=

q

p

, B – wyrzucenie orła co najmniej raz na

n

rzutów

1 pkt

zapisanie zdarzenia przeciwnego:

'

B

– wyrzucenie samych

reszek

1 pkt

ułożenie równania:

16

15

2

1

2

1

0

1

0

=





































−

n

n

,

+

∈

N

n

1 pkt

6.

rozwiązanie równania:

4

=

n

1 pkt

zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego:

r

r

2

6

,

6

,

6

+

+

1 pkt

zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego:

2

6

,

6

,

6

r

r

1 pkt

ułożenie równania wynikającego z treści zadania:

2

6

6

6

2

6

6

6

r

r

r

r

+

+

=

+

+

+

+

1 pkt

7.

rozwiązanie równania:

4

33

1

4

33

1

+

−

=

∨

−

−

=

r

r

1 pkt

wprowadzenie oznaczeń lub narysowanie ośmiościanu
z dokładnymi oznaczeniami:

a

– długość krawędzi,

'

,

,

,

,

,

S

S

D

C

B

A

– wierzchołki, przy czym cztery pierwsze

tworzą kwadrat

1 pkt

obliczenia odległości przeciwległych wierzchołków kwadratu:

2

a

AC

=

1 pkt

8.

skorzystanie z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia

Pitagorasa i wykazanie tezy zadania:

( )

2

2

2

2

a

a

a

=

+

, więc

kąt między krawędziami niesąsiadującymi wychodzącymi
z jednego wierzchołka jest prosty

1 pkt

sporządzenie rysunku lub wprowadzenie dokładnie opisanych
oznaczeń:

r

S

R

S

,

,

,

2

1

– odpowiednio: środek i promień

większego okręgu, środek i promień mniejszego okręgu,

B

A,

–

punkty styczności większego i mniejszego okręgu z daną prostą

1 pkt

9.

narysowanie odcinka

D

S

2

równoległego do odcinka

A

S

D

AB

1

,

∈

1 pkt

3

ułożenie równania:

(

)

( )

(

)

2

2

2

r

R

AB

r

R

+

=

+

−

1 pkt

rozwiązanie równania:

Rr

AB

2

=

1 pkt

obliczenie pola powstałego czworokąta ( trapezu):

(

)

Rr

r

R

P

+

=

1 pkt

wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się danych
prostych:

(

)

2

,

1

2

+

−

=

m

m

A

2 pkt (1 punkt za
zapisanie układu
równań i 1 pkt za
obliczenia)

zapisanie równania wynikającego z treści zadania:

(

)

2

1

2

2

−

=

+

m

m

2

+

1 pkt

10.

rozwiązanie równania:

1

,

4

1

2

1

=

=

m

m

1 pkt

wyznaczenie funkcji wynikającej z treści zadania jako

parametru

(

)

2

2

)

6

5

(

)

(

:

+

−

−

=

m

m

m

m

f

m

1 pkt

podanie założeń:

0

2

≥

∆

∧

−

≠

m

1 pkt

wyznaczenie dziedziny ułożonej funkcji:

3

,

1

=

D

1 pkt

wyznaczenie pochodnej funkcji:

(

)

2

2

'

2

44

20

5

)

(

+

−

+

=

m

m

m

x

f

2 pkt (1 pkt za
zastosowanie
wzoru na
pochodną ilorazu i
1 pkt za
obliczenia)

obliczenie miejsca zerowego pochodnej:

5

5

8

10

0

+

−

=

m

1 pkt

11.

uzasadnienie, że w wyznaczonym miejscu zerowym jest
minimum funkcji, które jest najmniejszą wartością tej funkcji:
zmiana znaku pochodnej z ujemnego na dodatni przy przejściu
przez

0

m

1 pkt

wyznaczenie dziedziny równania:

C

k

k

k

R

D

∈













+

−

=

,

4

3

,

π

π

π

2 pkt (po 1 pkt za
odrzucenie każdej
grupy liczb)

rozwiązanie równania bez uwzględnienia dziedziny:

π

k

x

=

1 pkt

12.

zapisanie wniosku: Wyznaczona liczba nie należy do dziedziny,
więc równanie nie ma rozwiązania.

1 pkt