WYKŁAD 11

Wybrane zagadnienia z geometrii analitycznej

1. Wektory bez układu współrzędnych
Wielkości

charakteryzowane

liczbami

rzeczywistymi

nazywamy

skalarami, np. masa, temperatura, moc, energia. Wielkości, które do
pełnego opisu wymagają również podania kierunku i orientacji nzw.
wektorami,

np.

siła,

prędkość,

przyspieszenie,

natężenie

pola

elektrycznego i magnetycznego.

Można powiedzieć, że wektorem o początku A i końcu B ,

nazywamy uporządkowaną parę punktów A i B , którą oznaczamy AB



.

Wektory można również oznaczać jedną literą, np. a, b, c itd. Odległość

punktów A i B nazywamy długością wektora AB



i oznaczamy AB



lub

AB

, a w zapisie a -

a

lub a. Zwrotem wektora AB



nazywamy zwrot

półprostej AB . Dwa wektory nazywamy równymi, jeśli mają ten sam
kierunek, zwrot i równe długości. Wyróżniamy:

- wektor jednostkowy (wersor), którego długość wynosi 1;

- wektor zerowy o, którego długość wynosi 0 (koniec pokrywa się

z początkiem i nie jest oznaczony jego kierunek);

- wektor wodzący r punktu P – wektor

OP



, zaczepiony w

początku układu współrzędnych;

- wektory współliniowe (kolinearne)–równoległe do jednej prostej;
- wektory komplanarne – równoległe do jednej płaszczyzny;

Własności dodawania wektorów:

a + b = b + a

(przemienność)

(

) (

)

a + b + c = a + b + c

(łączność)

a + o = a

( )

a + -a = o

Własności mnożenia wektora przez liczbę:

1

⋅

a = a

( ) ( )

λ µ

λµ

=

a

a

(

)

λ

λ

λ

+

=

+

a b

a

b

(

)

λ µ

λ

µ

+

=

+

a

a

a

Jeżeli mamy dane n wektorów

1

2

3

n

a ,a ,a , ...,a oraz n liczb

1

2

,

,...,

n

λ λ

λ

, to

wyrażenie:

1

ν

κ

λ

λ

λ

λ

2

∑

n

1

2

n

k

k =1

a +

a + ... +

a =

a

nazywamy

kombinacją

liniową wektorów

1

2

n

a ,a , ...,a .

Jeżeli istnieją liczby

1

2

,

,...,

n

λ λ

λ

, nie wszystkie równe zeru i takie, że:

κ

λ

=

∑

n

k

k =1

a

o , to wektory

1

2

3

n

a ,a ,a , ...,a nazywamy liniowo zależnymi.

Iloczyn skalarny wektorów

cos

a b

ϕ

⋅ = ⋅ ⋅

a b

Gdzie:

ϕ

- kąt między wektorami a, b zaczepionymi w tym samym

punkcie

Ze wzoru tego można obliczyć kąt między wektorami oraz długość
wektora.
Przykład 1
Obliczyć iloczyn skalarny wektorów

a

i b , jeżeli a = 3p - 2q , b = p - 5q ,

przy czym p i q są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi.

(

)(

)

⋅ =

⋅

⋅

⋅

⋅ =

a b

3p - 2q p - 5q = 3p p - 15p q - 2q p + 10q q

3

cos 0 17

cos

10

cos 0 13

2

p p

p q

q q

π

=

⋅ ⋅

−

⋅ ⋅

+

⋅ ⋅

=

Przykład 2
Znajdź kąt pomiędzy wektorami

a

i b wiedząc, że wektor a + 3b jest

prostopadły do wektora 7a - 5b , a wektor a - 4b prostopadły do 7a - 2b .

(

)(

)

(

)(

)

3

7

5

0

7

16

15

0

210

480

450

0

4

7

2

0

7

30

8

0

112

480

128

0







⋅

⋅







⇔

⇔







−

⋅

−

⋅













2

2

2

2

2

2

2

2

a + b

a - b =

a +

a b -

b =

a +

a b -

b =

a - b

a - b =

a

a b + b =

a

a b +

b =

2

2

322

322

a

b

a

b

=

⇒

=

⇒

=

2

2

a

b

2

1

7

15

16

0

2

a

b

a

−

+

⋅ = ∧ =

⇒

⋅ =

2

2

a

b

a b

a b

( )

( )

2

2

1

1

2

cos

2

3

a

ab

a

π

⋅

=

=

=

⇒

=

a b

a,b

a,b

∢

Przykład 3
Znajdź rzut wektora

a

na oś o kierunku wektora b , jeżeli

( )

5,

3,

3

a

b

π

=

=

=

a, b

∢

( )

1

5

cos

5

2 3

6

a

b

= ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ =

b

b

c

a, b

b

Iloczyn wektorowy, iloczyn mieszany

Iloczynem wektorowym a × b wektorów nie kolinearnych

a

i b ,

nazywamy wektor

=

c

a × b

, spełniający warunki:

1.

długość wektora

c

jest równa polu równoległoboku rozpiętego na

wektorach

a

i b , czyli

( )

sin

ab

=

=

c

a × b

a,b

;

2.

wektor

c

jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez

a

i b ;

3.

zwrot wektora

c

jest taki, by uporządkowana trójka wektorów a, b, c

miała orientację zgodną z przyjętą orientacją przestrzeni;

Własności iloczynu wektorowego:
-

( )

(

) (

)

(

) (

)

;

;

λ

λ

=

a × b = -b × a

a × b

a × b

a + b × c = a × c + b × c

Iloczynem mieszanym

( )

abc

wektorów a, b, c nazywamy liczbę

( ) (

)

=

⋅

abc

a × b c

Z definicji iloczyny skalarnego i wektorowego wynika, że wektory a, b, c

są komplanarne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn mieszany

( )

0

=

abc

.

Własności iloczynu mieszanego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

abc = - bac ; abc = - acb ; abc = cab = bca

Objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach nie komplanarnych

a, b, c

o początkach umieszczonych w jednym punkcie:

(

)

V

=

⋅

a × b c

Objętość czworościanu rozpiętego na wektorach nie komplanarnych

a, b, c

o początkach umieszczonych w jednym punkcie:

(

)

1

6

V

=

⋅

a × b c

Podwójny iloczyn wektorowy:

(

)

( ) ( )

(

) ( ) ( )

;

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

a × b × c

b a c - a b c

a × b × c

b a c - c a b

2. Wektory w układzie współrzędnych
Niech i oraz j oznaczają wektory jednostkowe odpowiednio osi 0x i 0 y

oraz niech punkt A ma współrzędne

1

1

,

x y , a punkt B – współrzędne

2

2

,

x y . Wtedy wektor AB



można zapisać w postaci:

(

) (

)

2

1

2

1

AB

x

x

y

y

=

−

+

−

i

j



lub

[

]

2

1

2

1

,

AB

x

x y

y

=

−

−



Liczby

2

1

2

1

,

x

y

a

x

x a

y

y

= −

=

−

nazywamy współrzędnymi wektora AB



w

danym układzie osi 0

x y

.

W przestrzeni trójwymiarowej długość wektora

,

,

x

y

z

AB

a a a





=







wyraża

się wzorem:

2

2

2

x

y

z

AB

a

a

a

a

= =

+

+



Sumę wektorów tworzymy dodając odpowiednie współrzędne:

Jeżeli

,

,

,

,

x

y

z

x

y

z

a a a

b b b









=

∧ =









a

b

, to

,

,

x

x

y

y

z

z

a

b a

b a

a





+ =

+

+

+





a b

Iloczyn wektora

a

i danej liczby

λ

:

,

,

,

,

x

y

z

x

y

z

a a a

a

a

a

λ

λ

λ λ λ









=

=









a

Dwa wektory niezerowe

,

,

,

,

x

y

z

x

y

z

a a a

b b b









=

∧ =









a

b

są kolinearne,

wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne tych wektorów są proporcjonalne:

y

x

z

x

y

z

a

a

a

b

b

b

=

=

Gdy wektor

,

,

x

y

z

a a a





=





a

tworzy z

osiami układu współrzędnych kąty od-
powiednio

, ,

α β γ

, to cosinusy tych

kątów

nazywane

są

cosinusami

kierunkowymi wektora

a

:

cos

, cos

, cos

y

x

z

a

a

a

a

a

a

α

β

γ

=

=

=

i

2

2

2

cos

cos

cos

1

α

β

γ

+

+

=

Iloczyn skalarny wektorów

Iloczyn skalarny wektorów

,

,

,

,

x

y

z

x

y

z

a a a

b b b









=

∧ =









a

b

wyraża się

wzorem:

x x

y

y

z z

a b

a b

a b

⋅ =

+

+

a b

Dwa wektory są ortogonalne, wtedy i tylko wtedy, gdy:

0

x x

y

y

z

z

a b

a b

a b

+

+

=

α

β

γ

x

y

z

a

Cosinus kąta między dwoma wektorami niezerowymi:

2

2

2

2

2

2

cos

x x

y

y

z

z

x

y

z

x

y

z

a b

a b

a b

a

a

a

b

b

b

ϕ

+

+

=

+ +

⋅

+ +

Iloczyn wektorowy, iloczyn mieszany wektorów

Niech w prostokątnym układzie współrzędnych dane są trzy wektory

,

,

,

,

,

,

,

,

x

y

z

x

y

z

x

y

z

a a a

b b b

c c c













=

=

=













a

b

c

.

Iloczyn wektorowy a × b :

,

,

x

y

z

y

z

z

y

z

x

x z

x

y

y x

x

y

z

a

a

a

a b

a b a b

a b a b

a b

b

b

b





=

=

−

−

−





i

j

k

a × b

Iloczyn mieszany

( ) (

)

x

y

z

x

y

z

x

y

z

a

a

a

b

b

b

c

c

c

=

⋅ =

abc

a × b c

Trzy wektory są komplementarne, wtedy i tylko wtedy, gdy:

0

x

y

z

x

y

z

x

y

z

a

a

a

b

b

b

c

c

c

=

Ponadto:

( )( )

⋅

⋅

⋅

= ⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

a d

a e

a f

abc def

b d

b e

b f

c d

c e

c f

( )

2

⋅

⋅

= ⋅

⋅

⋅

⋅

2

2

2

a

a b

a c

abc

b a

b

b c

c a

c b

c

2. Geometria analityczna na płaszczyźnie

Odległość punktów na płaszczyźnie

Niech w prostokątnym układzie współrzędnych 0

x y

na płaszczyźnie dane

będą dwa punkty

(

) (

)

1

1

2

2

,

,

,

A x y

B x y

. Długość odcinka AB

d

=

:

(

) (

)

2

2

2

1

2

1

d

x

x

y

y

=

−

+

−

Dzielenie odcinka w danym stosunku

Niech dane będą trzy punkty

(

) (

) ( )

1

1

2

2

,

,

,

,

,

A x y

B x y

C x y

leżące na

jednej prostej. Oznaczmy

/

AC CB

λ

=

. Współrzędne punktu C obliczamy

1

2

1

2

,

1

1

x

x

y

y

x

y

λ

λ

λ

λ

+

+

=

=

+

+

Pole trójkąta

Dane są trzy punkty będące wierzchołkami
trójkąta ABC. Pole trójkąta można obliczyć

ze wzoru

*

S

S

=

, gdzie

*

S

:

1

1

*

2

2

3

3

1

1

1

2

1

x

y

S

x

y

x

y

=

Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby trzy punkty leżały na
jednej prostej jest:

1

1

2

2

3

3

1

1

0

1

x

y

x

y

x

y

=

Przesunięcie i obrót układu współrzędnych

Przesunięcie równoległe
Niech w prostokątnym układzie współrzędnych 0

x y

na płaszczyźnie dany

będzie punkt

( )

,

A x y

. Jeśli dokonamy równoległego przesunięcia układu

0

x y

, przesuwając początek układu współrzędnych do punktu

( )

0

,

a b

′

, to

oznaczając współrzędne punktu A w nowym układzie współrzędnych
przez ,

x y

′ ′

, otrzymamy:

,

lub

,

x

x

a y

y b

x

x

a y

y

b

′

′

′

′

= − = − = + = +

Obrót
Dokonując obrotu prostokątnego układu współrzędnych

0

x y

dookoła

początku układu współrzędnych o kąt

α

, otrzymujemy nowy układ

współrzędnych 0

x y

′ ′

.

Zależności

między

nowymi

i

starymi

współrzędnymi punktu

( )

,

A x y

są następujące:

x

y

0

A

B

C

x

1

x

3

x

2

y

1

y

2

y

3

cos

sin ,

sin

cos

x

x

y

y

x

y

α

α

α

α

′

′

′

′

=

−

=

+

cos

sin ,

sin

cos

x

x

y

y

x

y

α

α

α

α

′

′

=

+

= −

+

Wzory na współrzędne przy obrocie o kąt

α

i przesunięciu początku układu do punktu

( )

0

,

a b

′

:

cos

sin

,

sin

cos

x

x

y

a

y

x

y

b

α

α

α

α

′

′

′

′

=

−

+ =

+

+

Prosta

Równanie ogólne prostej na płaszczyźnie:

2

2

0,

0

Ax

By C

gdzie A

B

+

+ =

+

>

Liczby A i B są współrzędnymi wektora prostopadłego do prostej.

Równanie ogólne prostej otrzymuje się
korzystając z warunku, że wektory

[

]

,

A B

n

i

[

]

0

0

,

PM

x

x y

y

= −

−



są

prostopadłe.

Dwie proste

1

1

1

2

2

2

0,

0

A x

B y

C

A x

B y C

+

+

=

+

+

=

są równoległe, wtedy

i tylko wtedy, gdy wektory

[

]

1

1

1

,

A B

n

i

[

]

2

2

2

,

A B

n

są równoległe, tzn. gdy

1

1

2

2

A

B

A

B

=

. Dwie proste są prostopadłe, gdy wektory

[

]

1

1

1

,

A B

n

i

[

]

2

2

2

,

A B

n

są prostopadłe, tzn. gdy

1

2

1

2

0

A A

B B

+

=

.

Kąt między prostymi przecinającymi się, jest to jeden z kątów

przyległych, należący do przedziału 0;

2

π

. Kąt ten można wyznaczyć:

1

2

1

2

2

2

2

2

1 2

1

1

2

2

cos

A A

B B

n n

A

B

A

B

α

+

=

=

+

⋅

+

1

2

n n

Odległość punktu

(

)

0

0

0

,

P x y

od prostej jest określona wzorem:

0

0

2

2

Ax

By

C

d

A

B

+

+

=

+

Jeśli proste nie są równoległe, to równania dwusiecznych kątów
utworzonych przez te proste wyznaczamy z zależności:

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

A x

B y

C

A x

B y C

A

B

A

B

+

+

+

+

=

+

+

Równanie pęku prostych o środku wyznaczonym przez dwie przecinające
się proste zapisujemy w postaci:

(

) (

)

2

2

1

1

1

2

2

2

0,

0

A x

B y

C

A x

B y

C

α

β

α

β

+

+

+

+

+

= +

>

Równanie normalne prostej ma postać:

cos

sin

0

x

y

p

α

α

+

− =

,

gdzie

α

-kąt jaki wektor

[

]

,

A B

n

tworzy z dodatnim kierunkiem osi 0x , a

p – odległość prostej od początku układu współrzędnych.
Równanie odcinkowe prostej ma postać:

1,

,

x

y

C

C

a

b

a

b

A

B

+ = = −

= −

Liczby a i b są miarami odcinków, jakie prosta odcina na osiach układu
współrzędnych.

Równanie prostej przechodzącej przez punkt

(

)

0

0

0

,

P x y

i

równoległej

do

wektora

[ ]

,

λ µ

=

u

,

otrzymujemy

z

warunku

równoległości wektorów

0

P P



i

[ ]

,

λ µ

=

u

. Jest to postać kanoniczna

równania prostej:

0

0

x

x

y

y

λ

µ

−

−

=

Oznaczając współczynnik proporcjonalności przez t, otrzymujemy
równania parametryczne prostej:

0

0

,

x

x

t y

y

t

λ

µ

= +

=

+

Równanie prostej przechodzącej przez punkt

(

)

0

0

0

,

P x y

i nierównoległej

do osi 0 y :

(

)

0

0

,

tg

y

y

m x

x

m

wspólczynnik kierunkowy prostej

µ

α

λ

−

=

−

= =

−

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

(

) (

)

,

,

,

A

A

B

B

A x

y

B x

y

:

(

)

B

A

A

A

B

A

y

y

y

y

x

x

x

x

−

−

=

−

−

x

y

0

M(x,y)

P(x

0

,y

0

n=[A,B]

x

x'

y

y'

x

y

x'

y'

0

α

A(x,y)

Równanie kierunkowe prostej:

y

mx

k

=

+

Dwie proste o równaniach

1

1

y

m x

k

=

+

i

2

2

y

m x

k

=

+

są równoległe, gdy

1

2

m

m

=

, a prostopadłe, gdy

1

2

1

m m

⋅

= −

. Tangens kąta między prostymi:

2

1

1

2

tg

1

m

m

m m

α

−

=

+

Okrąg

Okręgiem

nazywamy

zbiór

wszystkich

punktów płaszczyzny oddalonych o

0

r

>

(promień okręgu) od stałego punktu

( )

,

S a b

-

ś

rodka okręgu. Współrzędne punktów leżą-

cych na okręgu spełniają równanie:

(

) (

)

2

2

2

x a

y b

r

−

+ −

=

Jeżeli

2

2

0

a

b

c

+ − >

, to równanie okręgu można zapisać w postaci:

2

2

2

2

2

2

2

0,

:

x

y

ax

by

c

gdzie c = a

b

r

+

−

−

+ =

+ −

Jeżeli punkt

(

)

0

0

0

,

P x y

leży na okręgu, to równanie stycznej do okręgu w

tym punkcie ma postać:

(

)(

) (

)(

)

2

0

0

x a

x

a

y b

y

b

r

−

− + −

− =

Prosta potęgowa jest to prosta przechodząca przez punkty przecięcia
dwóch okręgów (jeśli okręgi się przecinają)

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

0,

2

2

0

x

y

a x

b y

c

x

y

a x

b y

c

+

−

−

+ = +

−

−

+ =

Równanie prostej potęgowej:

(

)

(

)

2

1

2

1

1

2

2

2

0

a

a x

b

b y

c

c

−

+

−

+ − =

Elipsa

Elipsą nazywamy zbiór punktów
płaszczyzny,

których

suma

odległości od dwóch ustalonych
punktów

1

F i

2

F , zwanych ogniska-

mi elipsy, jest stała i równa 2a .
Jeśli

(

) ( )

1

2

, 0 ,

, 0

F

c

F c

−

są og-

niskami, to równanie elipsy ma
postać:

2

2

2

2

2

2

2

1,

x

y

gdzie b

a

c

a

b

+

=

=

−

Punkty

1

2

1

2

,

,

,

A A B B nazywają się wierzchołkami elipsy, odcinek

1

2

2

A A

a

=

- osią wielką elipsy, odcinek

1

2

2

B B

b

=

- osią małą elipsy.

Stosunek długości odcinków

1

2

F F i

1

2

A A nazywa się mimośrodem elipsy e:

2

2

c

c

e

a

a

=

=

Kierownicami elipsy nazywa się dwie proste o równaniach:

2

a

a

x

e

c

= ± = ±

Ogniskowymi promieniami wodzącymi elipsy nazywa się odcinki

1

1

2

2

,

F P

r F P

r

=

=

, równe odpowiednio:

1

2

,

r

a

ex

r

a ex

= + = −

Stosunek odległości dowolnego punktu elipsy

( )

,

P x y

od ogniska do

odległości tego punktu od odpowiedniej kierownicy, jest stały i równy
mimośrodowi:

1

2

1

2

r

r

e

d

d

=

=

Ś

rednicą elipsy nazywamy każdą cięciwę przechodzącą przez środek

elipsy. Średnicami sprzężonymi elipsy nazywamy dwie średnice, z których
każda przechodzi przez środki cięciw równoległych do drugiej. Między
współczynnikami kierunkowymi średnic sprzężonych zachodzi związek:

2

1

2

2

b

m m

a

= −

Równanie stycznej do elipsy w punkcie

(

)

0

0

0

,

P x y

należącym do elipsy:

0

0

2

2

1

x x

y y

a

b

⋅

⋅

+

=

Hiperbola

Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których
wartość bezwzględna różnicy odległości od 2 ustalonych punktów F

1

i F

2

(ognisk hiperboli) jest stała i równa 2a.

Jeżeli

(

) ( )

1

2

, 0 ,

, 0

F

c

F c

−

, to równanie hiperboli ma postać:

B

1

B

2

d

2

F

2

(c ,0)

F

1

(-c ,0)

x

y

P (x ,y )

d

1

k

1

k

2

r

1

r

2

a

b

A

1

A

2

x

y

r

S(a,b)

2

2

2

2

2

2

2

1,

x

y

gdzie b

c

a

a

b

−

=

= −

Punkty

1

2

,

A A nazywamy wierzchoł-

kami hiperboli. Odcinek

1

2

2

A A

a

=

-

osią

rzeczywistą,

a

odcinek

1

2

2

B B

b

=

- osią urojoną hiperboli.

Mimośrodem e hiperboli jest stosu-
nek długości odcinków

1

2

F F i

1

2

A A :

2

2

c

c

e

a

a

=

=

Kierownicami hiperboli nazywa się dwie proste o równaniach:

2

a

a

x

e

c

= ± = ±

Ogniskowymi promieniami wodzącymi hiperboli nazywa się odcinki

1

1

2

2

,

F P

r F P

r

=

=

, równe odpowiednio:

dla prawej gałęzi hiperboli:

1

2

,

r

a

ex

r

a ex

= + = − +

dla lewej gałęzi hiperboli:

1

2

,

r

a ex

r

a ex

= − − = −

Stosunek odległości dowolnego punktu P hiperboli od ogniska do
odległości od odpowiedniej kierownicy jest wielkością stałą i równą
mimośrodowi hiperboli:

1

2

1

2

r

r

e

d

d

=

=

Hiperbolę o równaniu:

2

2

2

2

1

x

y

a

b

−

+

=

nazywamy hiperbolą sprzężoną z daną hiperbolą.
Proste:

b

y

x

a

±

są asymptotami hiperboli oraz hiperboli sprzężonej.
Odcinek o końcach leżących na hiperboli i przechodzący przez środek
hiperboli nazywamy średnicą hiperboli. Dwie średnice, z których każda
przechodzi przez środki cięciw równoległych do drugiej, nazywamy

ś

rednicami sprzężonymi hiperboli. Współczynniki kierunkowe średnic

sprzężonych związane są zależnością:

2

1

2

2

b

m m

a

⋅

=

gdzie:

1

2

,

0

m m

≠

. Styczna do hiperboli w punkcie

(

)

0

0

0

,

P x y

ma postać:

0

0

2

2

1

x x

y y

a

b

⋅

⋅

−

=

Parabola

Parabolą nazywamy zbiór wszystkich
punktów płaszczyzny równo oddalonych
od stałego punktu F, zwanego ogniskiem
i stałej prostej zwanej kierownicą. Jeżeli

ogniskiem jest punkt

1

.0

2

F

p













, a

kierownica ma równanie:

1

2

x

p

= −

, to

równanie paraboli ma postać:

2

2

y

px

=

Punkt O nazywamy wierzchołkiem paraboli, liczbę p nazywamy
parametrem paraboli. Mimośród e paraboli jest równy jedności. Odcinek
PM=r nazywamy ogniskowym promieniem wodzącym paraboli. Z
określenia paraboli wynika, że

/

1

(1/ 2)

r d

i r

p

x

= =

+

. Styczna do

paraboli w punkcie

(

)

0

0

0

,

P x y

leżącym na paraboli ma równanie:

(

)

0

0

y y

p x

x

=

+

Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego by prosta

0

Ax

By

C

+

+ =

była styczna do paraboli, jest równość:

2

2

0

pB

AC

−

=

.

Prostą równoległą do osi symetrii paraboli nazywamy średnicą paraboli.
Ś

rodki cięciw paraboli równoległych do prostej y

mx

k

=

+

leżą na

prostej

/

y

p m

=

. Kierunki prostych y

mx

k

=

+

i

/

y

p m

=

nazywamy

kierunkami sprzężonymi paraboli. Równanie paraboli często zapisuje się
w postaci

2

y

ax

=

. Osią symetrii tej paraboli jest oś 0y, a parametr

p=1/2|a|.

P (x ,y )

-(1/2)p

r

d

F ((1/2)p,0)

y

x

k

1

0

B

2

B

1

A

2

A

1

d

2

F

1

(-c,0)

r

2

r

1

y

x

F

2

(c,0)

P(x,y)

k

1

k

2

d

1

2a

2b